二次函数与相似(解析版)

九年级数学下册解法技巧思维培优

专题12 二次函数与相似

【典例1】（2019•醴陵市一模）在平面直角坐标系中，抛物线y =−1

2x 2+3

2x +m ﹣1交x 轴于A 、B 两点，交y 轴于点C ，若A 点坐标为（x 1，0），B 点坐标为（x 2，0）（x 1≠x 2）． （1）求m 的取值范围；

（2）如图1，若x 12+x 22＝17，求抛物线的解析式； （3）在（2）的条件下，请解答下列两个问题： ①如图1，请连接AC ，求证：△ACB 为直角三角形．

②如图2，若D （1，n ）在抛物线上，过点A 的直线y ＝﹣x ﹣1交（2）中的抛物线于点E ，那么在x 轴上点B 的左侧是否存在点P ，使以P 、B 、D 为顶点的三角形与△ABE 相似？若存在，求出P 点坐标；若不存在，说明理由．

【点拨】（1）△＝（3

2）2﹣4×（−1

2）（m ﹣1）=9

4+2m ﹣2＝2m +1

4，即可求解；

（2）∵x 1+x 2＝3，x 1•x 2＝﹣2（m ﹣1），又x 12+x 22＝17，∴（x 1+x 2）2﹣2x 1•x 2＝17，即可求解； （3）①AC 2＝5，BC 2＝20，AB 2＝25，即可求解；

②分△PBD ∽△BAE 、△PBD ∽△EAB 两种情况，分别求解即可． 【解析】解：（1）△＝（3

2

）2﹣4×（−12）（m ﹣1）=94+2m ﹣2＝2m +1

4，

由题可得2m +14

＞0，

∴m ＞−18

；

（2）∵x 1+x 2＝3，x 1•x 2＝﹣2（m ﹣1）， 又x 12+x 22＝17，

∴（x 1+x 2）2﹣2x 1•x 2＝17∴32+4（m ﹣1）＝17， ∴m ＝3，

∴抛物线的解析式为y =−1

2

x 2+32

x +2；

（3）①证明：令y ＝0，−1

2x 2+32x +2＝0， ∴x 1＝﹣1，x 2＝4， ∴A （﹣1，0），B （4，0） 令x ＝0，y ＝2， ∴C （0，2），

∴AC 2＝5，BC 2＝20，AB 2＝25

∴AC 2+BC 2＝AB 2∴△ACB 为直角三角形； ②根据抛物线的解析式易知：D （1，3），

联立直线AE 、抛物线解析式：{y =−x −1y =−12x 2+32x +2解得{x =−1y =0或{x =6y =−7， ∴E （6，﹣7），

∴tan ∠DBO ＝1，即∠DBO ＝45°，tan ∠EAB ＝1，即∠EAB ＝45°， ∴∠DBA ＝∠EAB ，

若以P 、B 、D 为顶点的三角形与△ABE 相似，则有两种情况： ①△PBD ∽△BAE ； ②△PBD ∽△EAB ． 易知BD ＝3√2，EA ＝7√2，AB ＝5，

由①得：PB AB =BD AE ，即PB 5=

√27√2

，即PB =157，OP ＝OB ﹣PB =13

7．

由②得：

PB AE

=BD AB

，即

7√2

=

3√25

，即PB =425，OP ＝OB ﹣BP =−22

5， ∴P （137

，0）或（−

22

5

，0）． 【典例2】（2019•东河区二模）如图1，已知经过原点的抛物线y ＝ax 2+bx 与x 轴交于另一点A （32

，0），在第一象限内与直线y ＝x 交于点B （2，t ） （1）求抛物线的解析式；

（2）在直线OB 下方的抛物线上有一点C ，点C 到直线OB 的距离为2，求点C 的坐标；

（3）如图2，若点M 在抛物线上，且∠MBO ＝∠ABO ，在（2）的条件下，是否存在点P ，使得△POC ∽△MOB ？若存在，求出点P 坐标；若不存在，请说明理由．

【点拨】（1）点B 在直线y ＝x 上，则点B 的坐标为（2，2），将点A 、B 的坐标代入二次函数表达式，即可求解；

（2）如图，过点C 作CH ∥y 轴交AB 于点H ，则∠MHC ＝∠MCH ＝45°，CM =√2，HC =√2CM ＝2，

设点H （t ，t ），则C （t ，2t 2﹣3t ），即可求解；

（3）分点P 在第一象限、第三象限两种情况，分别求解即可． 【解析】解：（1）点B 在直线y ＝x 上，则点B 的坐标为（2，2），

将点A 、B 的坐标代入二次函数表达式得：{0=a(32

)2

+3

2b 2=4a +2b

，解得：{a =2b =−3， 故抛物线的表达式为：y ＝2x 2﹣3x …①； （2）如图，过点C 作CH ∥y 轴交AB 于点H ，

∵∠BAO ＝45°， ∴∠OHC ＝45°， 又∵CM ⊥OB ，

∴∠MHC ＝∠MCH ＝45°， CM =√2， ∴HC =√2CM ＝2，

设点H （t ，t ），则C （t ，2t 2﹣3t ）， ∵点C 在直线BO 的下方， HC ＝t ﹣2t 2+3t ＝2，解得：t ＝1，

∴C （1，﹣1）；

（3）如图（2）BM 交y 轴于点N ，

∵∠MBO ＝∠ABO ，OB ＝OB ，∠NOB ＝∠AOB ＝45°， ∴△BON ≌△AOB （AAS ），

∴ON ＝OA =3

2，

将点B 、N （0，3

2

）坐标代入一次函数表达式并解得：

直线BM 的表达式为：y =1

4

x +32

⋯②，

联立①②并解得：x =−3

8，故点M （−3

8，

4532

），

∵△POC ∽△MOB ，OB ＝2√2，OC =√2，

∴OB OC

=OM OP

=2，

即：OM ＝2OP ，∠MOB ＝∠POC ， ①当点P 在第一象限时，

过点P 作PQ ⊥OA 于点Q ，过点M 作MG ⊥ON 于点G ， ∵∠BON ＝∠AOC ＝45°