G)展开法求解非线性偏微分方程精确解
关于一类五阶非线性发展方程的新精确解
’ 一 ， 、
Ｕ＋ ｆ Ｕ 一Ｊ ｘ默一 ＇ 勰 ＋ ［ Ｕ ｔ Ｕ ｕ
＝０ ・
（ １
其 中 ， ， 为 常数 ，Ｓ １ ＝± ．方程 （ ） １ 是许 多 类似 方程 的一 般 形式 ：当 Ｓ ， ：３ ＝２ ＝１ ０， ０，
中图分类号 ：Ｏ１５２ ７．
文献标识码 ：Ａ
Ｎｅ Ｅｘ ｃ ｏ ｕ ｉ ｎ ｏ ｏ ｅＦｉｔ ・ ｒ ｅ ｏ ｌｎ ａ ｕ ｔｏ ｗ ａ ｔＳ ｌ ｔｏ ｓｆ ｒＳ ｍ ｆｈ ｏ ｄ ｒＮ ｎ ｉ ｅ ｒＥｑ ａ ｉ ｎｓ
ＺＨＡＮＧ ｉ ｇ Ｐｎ
（ ｅ ａｔ ｎ ｆ ｔ ｅ ｔ ｓ＆Ｐ ｙ ｉｓ Ｗｕ ｉ ｎｖ ｒｉ ， ｉｎ ｍｅ ２ ０ ０ Ｃ ｉ ａ Ｄ ｐｒ ｍｅ ｔ ｈ ｍａｉ ｏ Ｍａ ｃ ｈ ｓｃ ， ｙ Ｕ ｉｅｓｔ Ｊａ ｇ ｎ５ ９ ２ ， ｈ ｎ ） ｙ
维普资讯
第２ ２卷 第 １ 期
２０ ０８笠
五 邑 大学 学报 （ 自然 科 学 版 ）
Ｊ ０ＵＲＮＡＬ ＯＦ 、 ＵＹＩ ＵＮⅣ Ｅ Ｉ ＲＳ ｅ ｉｏ ） ｉ
、 ．２ Ｎｏ １ ｂｉ ２ ． Ｆ ｂ ｅ． ２０ ０ ８
ｓ ｌ ｉｎ ， ｒａ ｇ ａ ｅｒｏ ｉ ｏ ｕ ｉ ｎ ｎ Ｏｏ 、 ｏｕｔｏ ｓ ｔｉ ｎ ｕｌｒｐ ｉ ｄｃ ｓ ｌ ｔｏ ｓａ ｄ Ｓ ｎ
Ｋｅ ｒ ｓ ｆｆｈ ｏ ｄ ｒｎ ｎ ｉ ｅ ｒｐ ｒｉ ｌｄｆｅ ｅ ｔａ ｑ ａ ｉ ｎ ； ａ ｏ ｉｅ ｌｐ ｉ ｕｎ ｔｏ ｓ ｏｉａ ｖ ｙ ｗｏ ｄ ： ｉ － ｒ ｅ ｏ ｌｎ ａ ａｔａ ｉ ｒ ｎ ｉ ｌｅ ｕ ｔｏ ｓ Ｊ ｃ ｂ ｌｉ ｔｃｆ ｃｉ ｎ ；ｓ ｌｔ ｒ ｗａ ｅ ｔ ｆ ｙ
解非线性方程的牛顿迭代法及其应用
解非线性方程的牛顿迭代法及其应用一、本文概述非线性方程是数学领域中的一个重要研究对象，其在实际应用中广泛存在，如物理学、工程学、经济学等领域。
求解非线性方程是一个具有挑战性的问题，因为这类方程往往没有简单的解析解，需要通过数值方法进行求解。
牛顿迭代法作为一种古老而有效的数值求解方法，对于求解非线性方程具有重要的应用价值。
本文旨在介绍牛顿迭代法的基本原理、实现步骤以及在实际问题中的应用。
我们将详细阐述牛顿迭代法的基本思想，包括其历史背景、数学原理以及收敛性分析。
我们将通过具体实例，展示牛顿迭代法的计算步骤和实际操作过程，以便读者能够更好地理解和掌握该方法。
我们将探讨牛顿迭代法在各个领域中的实际应用，包括其在物理学、工程学、经济学等领域中的典型应用案例，以及在实际应用中可能遇到的问题和解决方法。
通过本文的介绍，读者可以深入了解牛顿迭代法的基本原理和应用技巧，掌握其在求解非线性方程中的实际应用方法，为进一步的研究和应用提供有力支持。
二、牛顿迭代法的基本原理牛顿迭代法，又称为牛顿-拉夫森方法，是一种在实数或复数域上近似求解方程的方法。
其基本原理是利用泰勒级数的前几项来寻找方程的根。
如果函数f(x)在x0点的导数f'(x0)不为零，那么函数f(x)在x0点附近可以用一阶泰勒级数来近似表示，即：这就是牛顿迭代法的基本迭代公式。
给定一个初始值x0，我们可以通过不断迭代这个公式来逼近f(x)的根。
每次迭代，我们都用当前的近似值x0来更新x0，即：这个过程一直持续到满足某个停止条件，例如迭代次数达到预设的上限，或者连续两次迭代的结果之间的差小于某个预设的阈值。
牛顿迭代法的收敛速度通常比线性搜索方法快，因为它利用了函数的导数信息。
然而，这种方法也有其局限性。
它要求函数在其迭代点处可导，且导数不为零。
牛顿迭代法可能不收敛，如果初始点选择不当，或者函数有多个根，或者根是重根。
因此，在使用牛顿迭代法时，需要谨慎选择初始点，并对迭代过程进行适当的监控和调整。
微分方程罗兆富等编第九章非线性偏微分方程Adomian分解法全篇
学者们已证明, 无论是从算子方程Lxu还是从Lyu开始
都可得到解
u
un
并且这样得到的解都是等价的并且都
收敛于精确解. n0
然而, 在Lx 和Ly 选用哪一个来求解定解问题则依赖 于下列两个基点：
具(1体)能而使言计之算, 量我达们最考小虑;算子形式的非线性微分方程 (2)具有L使xu解 L级yu数具Ru有加F (速u)收 敛g 的附加条件. (9.2.01)
y
),
Lx
4 x4
.
(9.2.04)
(9.2.01)
14
机动 目录 上页 下页 返回 结束
un
0
Lx1g
Lx1
Ly
un
Lx1
R
un
Lx1
An
n0
n0
n0
n0
(9.2.04)
Adomian分解法指出, 通项un的递推公式是
也就是
u0 0 Lx1g,
uun
0LxL1Lx1ygun1Lx1LLyx1uR(uLnx11R)uLxL1xA1nF1(,un)
t xt2dt 0
0
u(x,t) un (x,t)
n0
uu32.((..xx.,,.tt.)).......LL.ntt.11.0.AA.u12.n..(.x.,..t00.t)t00tddtxtt0013
xt
3
x
Lt 1
(
n0
An
)
xt ■
18
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例2. 求解非齐次偏微分方程
机动 目录 上页 下页 返回 结束
例3. 计算F(u)=uux的Adomian多项式.
非线性偏微分方程
非线性偏微分方程及其几种解法综述姓名：柏宝红学号：BY1004120目录1、绪论 (3)1.1背景 (3)1.2 现状 (7)2、非线性偏微分方程的几种解法 (10)2.1逆算符法 (10)2.2 齐次平衡法 (11)2.3 Jacobi椭圆函数方法 (12)2.4 辅助方程方法 (14)2.5 F-展开法 (15)2.6 双曲正切函数展开法 (17)1、绪论以应用为目的，或以物理、力学等其他学科问题为背景的微分方程的研究，不仅是传统应用数学中一个最主要的内容，也是当代数学的一个重要组成部分.它是数学理论与实际应用之间的一座重要桥梁，研究工作一直十分活跃，研究领域日益扩大。
目前微分方程研究的主体是非线性微分方程，特别是非线性偏微分方程(NLPDE).很多意义重大的自然科学和工程技术问题都可归结为非线性偏微分方程的研究.现实生活的许多领域内数学模型都可以用NLPDE来描述，很多重要的物理、力学等学科的基本方程本身就是NLPDE，另外，随着研究的深入，有些原先可用线性微分方程近似处理的问题，也必须考虑非线性的影响，所以对NLPDE的研究，特别是NLPDE求解精确解的研究工作就显示出了很重要的理论和应用价值，但是数学研究的结果，在目前还未能提供一种普遍有效的求精确解的方法.20世纪50年代以来，人们对非线性现象的研究中提出了“孤子”的概念，进而使得对NLPDE求解的研究成为非线性科学中的热点。
下面介绍一下孤立子理论的研究背景、研究现状。
1.1背景孤立子理论己经成为应用数学和数学物理的一个重要组成部分，在流体力学，等离子物理，经典场论，量子论等领域有着广泛的应用。
随着近代物理学和数学的发展，早在1834年由英国科学家Russell发现的孤立波现象近二十多年来引起了人们的极大关注，对这一现象的兴趣与日俱增.这是因为一方面孤立子具有粒子和波的许多性能，在自然界中有一定的普遍性，利用孤立子理论也成功地解释了许多物理上长期用经典理论未能解答的现象;另一方面，随着孤立子物理问题的深入研究，孤立子的数学理论也应运而生，并已初步形成比较完善的理论体系。
(1+1)维混合KdV方程的精确解
第39卷第1期 注 為 科 修 Vol. 39 No. 12021 年 2 月JIANGXI SCIENCE Fl. 2021doi ：10.13990/j. it y l001 -3679.2021.01.005(1+1)维混合KdV 方程的精确解翟子璇，李琪8(东华理工大学理学院,330013,南昌)摘要：讨论一类混合KdV 方程，通过F-展开法及辅助常微分方程,成功得到该方程的精确解。
关键词:F-展开法；混合KdV 方程;精确解中图分类号：0175.29文献标识码:A 文章编号：1001 -3679(2021)01 -022-03Exact Solutions of Mixed (1+1) - Dimensional KdV EquationZHAI Zixuan, LI Qi **收稿日期:2020 -12 -10；修订日期:2021 -01 -12作者简介:翟子璇(1996—),男，硕士研究生，研究方向为非线性可积系统及应用。
基金项目：国家自然科学基金(11561002、11861006)；江西省教育厅科技项目(GJJ191419)。
*通信作者:李 琪(1973—)，女，博士，教授，研究方向为非线性可积系统及应用。
E - mail :qli@ ecut. edu. cn 。
( School of Science , East China University of Technology, 330013 , Nanchang )Abstract : The exact solution' of mixed ( 1 + 1) - dimensional KdV equation are obtained by using F- expansion method and auxiliaie ordinary dVTerentiaO equation .Key words : F 一 expansion method ； mixed ( 1 + 1) 一 dimensional KdV equation ； exact solutions0引言随着人们对自然界更加深入的研究,许多非 线性现象逐渐进入研究者的视野,而非线性发展方程则是对这些现象进行客观描述的有力工具。
应用(G'G2 )展开法求解含三阶色散项的薛定谔方程
u (ξ )= ϕ (ξ ) e (
其中 k , ω 分别表述波速和相速度， c 是包络速度。
i kx −ωt )
, ξ= x − ct
(10)
214
张艳妮 等
将方程(9)转化成如下形式：
i γ 1ϕ ′′′ − 3γ 1k 2ϕ ′ + γ 2ϕ 2ϕ ′ + 2γ 3ϕ 2ϕ ′ − cϕ ′ + 2kϕ ′
Advances in Applied Mathematics 应用数学进展, 2017, 6(2), 212-217 Published Online March 2017 in Hans. /journal/aam https:///10.12677/aam.2017.62024
Open Access
1. 引言
随着科学技术的不断发展，非线性发展方程应用的领域的和其作用已经变得越来越广泛。非线性薛 定谔方程(NLSE)
iut + 1 2 0. u xx + u u = 2
是一种描述光波在弱非线性色散介质中传播的方程，近年来被广泛的应用到通信、非线性的光学现 象以及固体中热脉冲传播等[2]领域。 但NLSE是一个理想化的方程， 它忽略了高阶的色散效应和自频移效 应等，不能很好地处理非零边界的问题，当我们必须考虑这些效应的时候，NLSE方程的可积性就被破坏 了。 最近已有多篇文献对其进行研究，在探讨波长远离零色散波长的暗孤子脉冲的传输特性中，一般认 为在零色散波长附近产生暗孤子所需要的功率可大大降低，在零色散波长附近，即使二阶色散不为零， 对三阶色散的研究也是十分重要的[3] [4]。但采用的方法大多数是数值计算。为此，科研工作者们提出了 许多有效的解析方法， 例如F-展开法[5]， 齐次平衡法[6] [7]， 雅可比椭圆函数法[8]和( G ′ G )展开法[9] [10] [11]等。本文利用( G ′ G 2 )解析展开法求解了含三阶色散的非线性薛定谔方程，得到孤子精确行波解．
物理学中的一个非线性耦合偏微分方程组的精确解
3期 周宇斌等: 物理学中的一个非线性耦合偏微分方程组的粗确解 3 5
5I 5x
由此解得
p = 1, q = 0, m = 0, n = 1.
(116)
将 (116) 代入 (111) 及 (112) , 则 (111) 和 (112) 简单地具形式 (选择其中线性组合的系数为零)
I=
5f (Υ) 5t
=
f ′Υt,
(111′)
N
=
5g (Υ) 5x
=
g ′Υx ,
(112′)
(215′)
(215′) 是 X (x ) 的线性非齐次方程, 其通解为 其中: c2 是待定常数. 将 (214) 和 (216) 代入 (1113) 得
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得 (011) 和 (012) 的精确解
I= -
1 ab X
T′ +T
,
(1113)
N=
1 a
aX
X′ +T
.
(1114)
此外, 我们还可将 (011) 和 (012) 化为一个二阶方程后, 用齐次平衡方法, 仍可得到结果 (1113)
和 (1114) (见附录).
2 初值 — 边值问题
我们考虑方程组 (011) 和 (012) 的初值 — 边值问题
3期 周宇斌等: 物理学中的一个非线性耦合偏微分方程组的粗确解 3 3
偏微分方程的解析方法
偏微分方程的解析方法偏微分方程（partial differential equations，简称PDEs）是数学领域中重要的研究对象，它涵盖了多个科学领域和工程应用中的问题。
解析方法是其中一种求解偏微分方程的重要工具，本文将介绍偏微分方程的解析方法及其应用。
一、偏微分方程的基本概念偏微分方程是含有多个未知函数的方程，其数学模型常常用来描述物理现象、自然规律和工程问题。
常见的偏微分方程包括波动方程、热传导方程、扩散方程等。
二、解析方法的概述解析方法是指使用数学分析和函数理论等工具，通过求解偏微分方程的导数关系，寻找其解的方法。
对于一些简单的偏微分方程，解析方法可以得到精确的解析解。
三、分离变量法分离变量法是解析方法中常用的一种。
其基本思想是假设待求解函数可以表示为各个变量的乘积形式，通过将待求解方程中涉及多个变量的项分离并令其等于不同常量，得到一系列常微分方程。
进一步对这些常微分方程求解，得到原偏微分方程的解析解。
四、特征线法特征线法是解析方法的另一种重要工具。
它通过引入一组特征曲线，将偏微分方程转化为常微分方程的形式，从而求解原偏微分方程。
在特定的物理问题中，特征线法具有很高的适用性和解决效果。
五、变换方法变换方法是一种通过对偏微分方程进行合适的变量变换，将其转化为更简单的形式以便求解的方法。
常见的变换方法包括拉普拉斯变换、傅里叶变换等，它们能够将原方程转化为代数方程或常微分方程，进而得到解析解。
六、应用领域解析方法在多个科学领域和工程应用中都有重要的作用。
以物理学为例，解析方法可以用来研究电磁场、流体力学、量子力学等问题。
在工程领域，解析方法可以用于求解热传导、结构力学等方程，从而优化设计和改进工艺。
七、数值方法的补充解析方法虽然能够得到精确的解析解，但对于一些复杂的偏微分方程，其求解过程可能非常繁琐甚至无法求解。
此时，数值方法的应用就变得尤为重要。
数值方法通过离散化空间和时间，将偏微分方程转化为代数方程组，通过计算机模拟得到近似解。
一类非线性偏微分方程的改进的Jacobi椭圆函数精确解
１ 方 法 简述
为了 方便应 用 本文 中提 出的改进 方 法 ， 面列 出主要求解 步 骤 ： 下
步骤 １ 对 给定 的非 线性 偏微 分方 程 （ 不妨 假设 仅含有 两 个变 量 ｚ， ￡ ）
Ｆ（ ｔ ，‘， 矗， ， ， ）＝ ０ ，‘ ｚ Ｕ 口 扛 … ｆ ， （） １
方程（ Ｅ） ＮＥ ｓ的精确 解 尤其是 孤 立子 解起 的重 要作 用 引起 了越来 越 多 学 者 的兴 趣 ． 近年来 ， 多 数学 家 许 和 物理 学家 经过 不 懈 努 力 ， 现 了孤 立 子 理 论 中蕴 藏 着 一 系 列 构 造 精 确 解 的有 效 方 法 ， 反 散 射 方 发 如 法 Ｂｉｋｕ ｄ变 换 、 ｒｏ ｘ变 换［ 、 ｒｔ 换 。齐 次 平 衡 法［ Ｐ ｉｌｖ 析［ Ｔ ｎ ｕ、￣ ｌｎ ｃ Ｄａｂ ｕ ３ Ｈｉ ａ变 ‘、 ］ ｏ 、 ａ ｅｅ分 、 ａｈ方 法 及 ｎ 推 广 的 Ｔａ ｈ方法 等［ １ ． ｎ ７ ０ 随着各 种方 法 的出 现 ， 多新 的 、 有重 要 物理 意义 的解 不断被 发现 和应用 ． －］ 许 具 最 近 ， ｉ ｈｋ ｏ等人 提 出 了 Ｊｃｂ 椭 圆函数展 开法 ， 功地 求 出 了一大 类非线 性 演化方 程的一 系 ＬｕＳ ｉｕ ａｏ ｉ 成
方程 （ ） 如下 形式 的解 ： ５有
～ ＋ｌ＾十 ｓ Ｊｌ ｎ ‰．
所求 得 的 Ａ、 、。 ａ ａ 和 。的值代 入 （ ） ， 得如 下精 确解 ： ６中 可
第 一组解 ：
㈤
根据前 述 步骤 ３ ５将 （） 入 （） ， － ， ６代 ５ 中 得到 一个 关 于 Ｄ‘Ａ （＝Ｏ １ ．） ．（ ， ，． 的代 数方 程 （ ） 收集 关 Ｓ ・ 组 ． 于 ｎ Ａ （＝Ｏ１ ．） 同幂 次项 ， ｓ（ ｆ ， ’． 的 ・ 并且 令 它们 的 系数 为零 ， 得到 一 个关 于 Ａ、ｌａ ／ 、。和 ａ ａ 的超 定 非 线 性代 数方 程组 ． 使用 Ｍａ ｌ软 件包 “ ｈ ｒｅｓ求 解上 面 的超 定代 数方 程组 ， ｐｅ Ｃ ａｓｔ” 可得 Ａ、。ａ 、。和 ａ 。的值． 将
(3+1)维非线性发展方程的显式解
(3+1)维非线性发展方程的显式解于兴江【摘要】本文利用推广的(W/G)展开法,研究(3+1)维非线性发展方程,并得到了很多该方程新的显式解,包括单循环孤立子解、三角周期解、有理函数解等.【期刊名称】《聊城大学学报（自然科学版）》【年(卷),期】2013(026)003【总页数】4页(P13-16)【关键词】(3+1)维非线性发展方程;广义(W/G)展开法;齐次平衡法;显式解【作者】于兴江【作者单位】聊城大学数学科学学院,山东聊城252059【正文语种】中文【中图分类】O175.20 引言非线性发展方程的求解问题一直是国内外专家研究的热点之一.为了得到非线性发展方程的精确解，许多有效的方法已经被提出，例如，经典和非经典李群方法，扩展的Ricatti方法，指数函数展开方法，广义tanh函数法，广义的代数方法等［1－7］.王明亮［8］提出（G′／G）展开法可应用于许多非线性方程，在此方法的基础上，李文安［9］提出了（W／G）展开法，可以认为是（G′／G））展开法的推广.本文的目的是利用（W／G）展开法来求（3＋1）维非线性发展方程的显式解.1 （W／G）展开法概述考虑如下偏微分方程u（x，t）是未知函数，F是关于u及其偏导数的已知多项式.（W／G）展开法的步骤包括第1步，作行波变换.令u（x，t）＝u（ξ），ξ＝kx＋lt，则（1）就变为一个关于u＝u（ξ）的常微分方程，第2步，假设（2）有下述形式的解关于（W／G）的项共有m＋1项.这里的（W／G）满足以下方程即其中a，b，c为任意的常数.情况1.1 （G′／G）展开法.当W＝G′，a＝－μ，b＝－λ，c＝－1时，u（ξ）可以表示为其中G满足情况1.2 tanh展开法.当W＝tanhξ，G＝1，a＝1，b＝0，c＝－1时，u（ξ）变为情况1.3 （G′／G2）展开法.当时，u（ξ）变为此时G满足情况1.4 （G′）展开法.当W＝GG′时，u（ξ）变为其中G满足其中αm，αm－1，…α0和m都是待定常数.平衡（2）式中最高阶导数项与最高阶非线性项的次数确定m的值.第3步，确定超定代数方程组.把（3）式和（4）式带入到（2）中，令（W／G）各项的系数为零，得到关于αm，αm－1，…，0的代数方程组P＝0.第4步，确定显式解.解代数方程组P＝0，利用（4）的解得到（2）的行波解，继而得到（1）的显式解.2 （3＋1）维非线性发展方程的显式解考虑以下（3＋1）维非线性发展方程其中h＝h（x，y，z，t）.文献［10］中作者利用广田双线性方法得到N－型孤立子解和朗斯基行列式解.文献［11］中作者得到了格拉姆行列式解.以下利用第一部分中比较新颖的（G′／G2）展开法和（G′）展开法考虑方程（13）.在（13）式中令＝u，则方程（13）化为作行波变换u（x，y，z，t）＝u（ξ），其中ξ＝x＋ky＋mz＋lt，带入（14）式得到常微分方程平衡（15）式中u（5）和u′u‴得到m＝1.由（3）式，假设方程（14）有以下形式的解情况2.1 当时，（16）式化为将（17）式带入（15）式，并利用（10）式，令（G′／G2）的同次幂系数为零，得到一个代数方程组：解上述代数方程组可得以下两组结果第一组第二组其中k，l，m，a，k为非零常数.这里只列出第一组结果对应的解.情况2.1.1 当ac＞0时，此时方程（14）有三角周期解情况2.1.2 当ac＜0时，此时方程（14）有孤立子解情况2.1.3 当a＝0，c≠0时，此时方程（14）有有理函数解以上解中，C1，C2是任意常数.由变换＝u，可以得到原方程（13）的解，此处省略.情况2.2 当W＝GG′时，（16）式化为类似情况2.1，将（22）式带入（15）式，并利用（12）式，令G′的同次幂系数为零，得到代数方程组：解上述代数方程组可得结果其中k，l，m，a，b，c，k为非零常数.情况2.2.1 当Δ＝4ac－b2＜0时，此时方程（14）有单循环孤立子解情况2.2.2 当Δ＝4ac－b2＝0时，此时方程（14）有有理函数解情况2.2.3 当Δ＝4ac－b2＞0时，此时方程（14）有三角周期解由变换＝u，可以得到原方程（13）的解，此处省略.注1 本文中得到的解均已经MAPLE数学软件检验.注2 本文中方程（10）和方程（12）的解均来自文献［9］.3 结论本文利用（W／G）展开法得到了（3＋1）维非线性发展方程一些新的显式解，包括单循环孤立子解、三角周期解、有理函数解等.这些解对于解释复杂动力学现象有着非常重要的作用.（W／G）展开法对于求解其它的非线性发展方程也是非常有效的.参考文献【相关文献】［1］Mostafa F E，Ahmad T A.Nonclassical symmetries for nonlinear partial differential equations via compatibility［J］.Commun Theor Phys，2011，56（4）：611－616. ［2］陈美，刘希强.Konopelchenko－Dubrovsky方程组的对称，精确解和守恒律［J］.纯粹数学与应用数学，2011，27（1）：533－539.［3］谷超豪，胡和生，周子翔.孤立子理论中的达布变换及其几何应用［M］.上海：上海科技出版社，2005.［4］He J H，Abdou.New periodic solutions for nonlinear evolution equations using Exp －function method［J］.Chaos Soliton，Fract，2007：34，1 421－1 429.［5］于金倩，刘希强，王婷婷.（2＋1）维Boiti－Leon－Pempinelli方程的精确解和守恒律［J］.Appl Math Comput，2010，216（8）：2 293－2 300.［6］张颖元，刘希强，王岗伟.Bogoyavlenskii－Kadontsev－Petviashili方程的新的显式解［J］.昆明学院学报，2012，34（3）：55－59.［7］Lu D C，Hong B J.New exact solutions for the（2＋1）－dimensional Generalized Broer－Kaup system ［J］.Appl Math Comput，2008，199：572－580.［8］Wang M L，Li X Z.The（G′／G）－expansion method and traveling wave solution Of nonlinear evolution equation in the mathematical physics［J］.Phy Lett A，2008，372：417－423.［9］Li W A，Chen H，ZhangG G C.The（W／G）－expansion method and its application to Vakhnenko equation［J］.Chin Phys，2009，18：400－404.［10］Geng X G，Ma Y L.N－soliton solution and its Wronskian form of a（3＋ 1）－dimensional nonlinear evolution.equation［J］.Phy Lett A，2007，369：285－289. ［11］Wu J P，Geng X G.Grammian determinant solution and pfa·anization for a（3＋1）－dimensional soliton equation［J］.Commun Theor Phys，2009，52：791－794.。
非线性偏微分方程
非线性偏微分方程（Nonlinear Partial Differential Equation，简称NPDE）是数学中一个研究领域，它被广泛应用于物理、工程和生物等领域。
NPDE不同于线性偏微分方程，因为它们的解不仅取决于初边值条件，还会受到问题本身的非线性特性所影响。
本文将探讨NPDE的概念、应用以及在科学研究领域中的重要性。
一、NPDE的概念NPDE是描述自然现象中非线性变化的方程，它们的解不能通过将其分解为一系列线性的模式来求得。
在实际情况中，由于问题本身的复杂性以及各种因素的相互作用，NPDE被广泛用于模拟和分析自然现象中的非线性行为。
二、应用场景NPDE在物理、工程、生物和社会科学等领域中都有广泛的应用。
例如，在物理学中，研究可以用于描述液体和气体的流动，气体的化学反应和平衡力学系统中的非平衡行为；在工程学中，NPDE被用于模拟机械结构中的应力和变形，以及电磁场和声波等现象；在生物学中，NPDE可以用于研究生物系统的动态行为，例如癌细胞扩散和神经元的活动；在社会科学中，NPDE被用于描述人口增长、经济增长和文化传播等过程中的非线性行为。
三、研究的意义NPDE是自然现象中非线性行为的数学描述，因此其研究具有重要的意义。
首先，NPDE研究将帮助我们更好地理解和预测自然现象中的非线性行为。
例如，在物理学中，研究可以帮助我们更好地理解复杂流体中的湍流现象，从而提高空气动力学和海洋动力学的模拟精度。
其次，NPDE研究也可以为工程设计提供更加精确的方法，以避免由于非线性效应失效造成的问题。
例如，在电力系统设计中，由于线性偏微分方程无法满足电力系统中的非线性特性，因此已成为研究电力系统稳定性的重要工具。
最后，研究也可以为新材料的研究提供理论基础。
例如，在材料科学中，能够描述复杂的物理和化学反应，以预测材料的性能和行为。
总结：尽管为数学中的高阶领域，但其在物理、工程、生物和社会科学等领域中有着广泛的应用。
三个五阶非线性方程的精确解
三个五阶非线性方程的精确解钟鸣华;那仁满都拉;斯仁道尔吉【摘要】为了得到三个五阶非线性方程的精确解,本文通过假设行波解将三个五阶非线性方程化为常微分方程并借助辅助方程法和Mathematica软件对其求解,最终获得了一系列精确解.【期刊名称】《大学数学》【年(卷),期】2015(031)004【总页数】9页(P70-78)【关键词】五阶非线性方程;辅助方程法;精确解【作者】钟鸣华;那仁满都拉;斯仁道尔吉【作者单位】内蒙古师范大学数学科学学院,呼和浩特010022;内蒙古师范大学数学科学学院,呼和浩特010022;内蒙古师范大学数学科学学院,呼和浩特010022【正文语种】中文【中图分类】O175.2非线性偏微分方程在现实生活以及生物、物理等邻域中有着重要而广泛的应用,因此非线性偏微分方程的求解问题就成为非线性科学的前沿研究课题之一.到目前为止，数学和物理工作者在求解非线性偏微分方程的领域积累了大量的经验并先后提出了一系列求解方法,这些方法在许多具体的方程上都得到了应用,如Jacobi椭圆函数法[1]、齐次平衡法[2]、完全近似法[3]、试探函数法[4]、双曲函数展开法[5]、约化摄动法[6]、F-展开法[7]、Exp函数法[8]、辅助方程法[9]等都在具体的文献中被引用,并作为主要求解方法.本文运用辅助方程法精确求解文献[10]中提出的如下三个方程并且得到一些新的精确解.考虑如下形式的非线性偏微分方程假设其行波解为其中k和v是待定常数,则方程(4)可转化为下面形式的常微分方程其中“′”是函数u关于ξ的导数.设方程(6)有如下形式的解其中φ(ξ)满足辅助方程这里n是根据方程中最高阶导数项和最高次幂的非线性项平衡得到的ai,bj,j=0,1,2,3,4是待定常数.把(7),(8)带入到(6),令φ(ξ)的各次幂的系数为零而得到一个非线性代数方程组并求解可得到待定的系数ai,bj.由文献[11]和[12]知,辅助方程(8)有如下几种解:解(一) 当b0=b1=b3时,(8)具有钟状孤子解、三角函数解和有理解:解(二)时,(8)具有扭状孤子解、三角函数解和有理函数解:解(三) 当b0=b1=0,(8)具有如下几种解:解(四) 当b0=b1=b4=0时,(8)具有如下钟状孤子解、三角函数周期解和有理解: 解(五) 当b4=0,b3>0时,(8)具有Weierstrass椭圆函数解:其中.假设方程(1)的行波解为代入方程,积分两次并取积分常数均为零,则有如下常微分方程设u′(ξ)=w(ξ),则以上方程变为根据平衡最高阶导数项和最高幂次的非线性项,得到n=2,所以,设方程(24)有如下形式的解其中φ(ξ)满足方程(8).把(8)和(25)代入到(24),化简后,令φ(ξ)n的系数为零,得到如下关于a2,a0,a1,b2,b0,b1,b3,b4,k,v的超定代数方程组利用Mathematica软件,解方程组,得如下两组解:(Ⅰ)(Ⅱ)把(Ⅰ)代入到解(四)有由b1=0可得a0=0且,或可得且,所以①b2>0时,则代入到(25)可得w(ξ),对w(ξ)求不定积分,即得②b2<0时,则代入到(25)可得w(ξ),对w(ξ)求不定积分,即得把(Ⅰ)代入到解(五)有:b4=0且b3>0时,则代入到(25)可得w(ξ),对w(ξ)求不定积分即可得原方程的解u(ξ).把(Ⅱ)代入到解(一)有①b2>0,b4<0时,令,代入到(25)可得w(ξ),对w(ξ)求不定积分,即得②b2<0,b4>0时,令,代入到(25)可得w(ξ),对w(ξ)求不定积分,即得③b2=0,b4>0时,代入到(25)可得w(ξ),对w(ξ)求不定积分,即得把(Ⅱ)代入到解(二)有①b2<0, b4>0时,令,代入到(25)可得w(ξ),对w(ξ)求不定积分,即得②b2>0, b4>0时,令,代入到(25)可得w(ξ),对w(ξ)求不定积分,即得③b2=0, b4>0时,由b2=0可得v2=12a0k3,则,这时代入到(25)可得w(ξ),对w(ξ)求不定积分,即得把(Ⅱ)代入到解(三)有:由b1=0可得b3=0或情形1:b3=0,则代入(Ⅱ)可得由b0=0可得显然b2<0,所以当b4>0时,则,令,代到(25)可得w(ξ),对w(ξ)求不定积分,即得情形2: 4b4v2-k4-48a0b4k3=0,则可得代入(Ⅱ)有由b0=0可得,而,显然b2<0,本文没有列举这种情况的解,所以不做研究.由于(Ⅱ)中b4≠0,所以不把(Ⅱ)代入到解(四)和解(五)研究.同第一个方程的精确解的求法一样, (2)经行波变换后化为利用Mathematica软件,解平衡后得到的方程组,得如下两组解:(Ⅰ)(Ⅱ)把(Ⅰ)代入到解(四)有:由b1=0可得①b2>0时,则有②b2<0时,则有③b2=0时,可得则有,对w(ξ)积分一次可得把(Ⅰ)代入到解(五)有:b4=0且b3<0时,则有则对w(ξ)求不定积分即可得原方程的解u(ξ).把(Ⅱ)代入到解(一)有①b2>0, b4<0时,令,代入到(25)可得w(ξ),对w(ξ)求不定积分,即得②b2<0, b4>0时,令,代入到(25)可得w(ξ),对w(ξ)求不定积分,即得③b2=0, b4>0时,,代入到(25)可得w(ξ),对w(ξ)求不定积分有把(Ⅱ)代入到解(二)有,则①b2<0, b4>0时,令,代入到(25)可得w(ξ),对w(ξ)求不定积分,即得②b2>0,b4>0时,令,代入到(25)可得w(ξ),对w(ξ)求不定积分,即得③b2=0,b4>0时,由b2=0可得,这时,代到(25)可得w(ξ),对w(ξ)求不定积分,即得把(Ⅱ)代入到解(三)有:由b1=0可得情形1:a1=0,则代入(Ⅱ)且由b0=0得① 当b2<0,b4>0时,则令,代到(25)可得w(ξ),对w(ξ)求不定积分,即得② 当b2>0,b4<0时,则令,代到(25)可得w(ξ),对w(ξ)求不定积分,即得③ 当b2>0,b4>0时,则令,代到(22)可得w(ξ),对w(ξ)求不定积分,即得情形,则有代入(Ⅱ)且由b0=0可得,而,所以若由上知,代入(25)可得w(ξ),对w(ξ)求不定积分,即得:由于(Ⅱ)中b4≠0,所以不把(Ⅱ)代入到解(四)和解(五)研究.方法同上,解不定方程组可得下面两组解:(Ⅰ)(Ⅱ)把(Ⅰ)和(Ⅱ)分别代入解(一)、解(二)、解(三)、解(四)、解(五),可得如下解:本文用行波变换后把三个五阶非线性方程转化为常微分方程,再利用辅助方程法得到了这三个方程的一系列精确解,并且这些解都是首次给出的.【相关文献】[1] 刘官厅,范天佑.一般变换下的Jacobi椭圆函数展开法及应用[J].物理学报, 2004, 53(3): 676-679.[2] 张解放. 变更Boussinesq方程和Kupershmidt方程的多孤子解[J].应用数学和力学, 2000, 21(2): 171-175.[3] 郭鹏,张磊,吕克璞,段文山.一类非线性弹性杆波动方程的求解[J].应用数学和力学,2008,29(1):57-61.[4] 武祥,郭鹏,刘远聪.一类非线性粘性弹性杆波动方程的求解[J].科技信息, 2008(2):203.[5] 杨建荣,毛杰健,张解放.一维弹性杆的非线性波动方程的孤波解[J].毕节师范高等专科学校学报, 2001, 19(4):48-50.[6] 吕克璞,郭鹏,张磊等.非线性弹性杆波动方程的摄动分析[J].应用数学与力学, 2006, 27(9): 1079-1083.[7] 张平.关于一类五阶非线性发展方程的新精确解[J].五邑大学学报(自然科学版), 2008, 22(1): 35-39.[8] 杨昆望.应用指数函数展开法求解非线性发展方程[J].纯粹数学与应用数学,2012,01:85-91.[9]Sirendaoreji.Auxiliaryequationmethodforsolvingnonlinearpartialdifferentialequations[J].Ph ysicsLettersA, 309(5-6)(2003):387-396.[10] Abdul-MajidWazwaz.Kinksolutionsforthreenewfifthordernonlinearequations[J].AppliedMathematicalModelling,2014,33:110-118.[11] 长勒.几类非线性演化方程的精确类孤子解[D].内蒙古：内蒙古师范大学数学科学学院, 2012.[12] 郭玉翠.非线性偏微分方程引论[M].北京:清华大学出版社, 2008.。
几类非线性偏微分方程精确解的研究
几类非线性偏微分方程精确解的研究几类非线性偏微分方程精确解的研究摘要：非线性偏微分方程在数学和物理领域中有着广泛的应用，其求解是一个重要的研究方向。
精确解研究涉及到方法和技术，大大提高了求解的速度和精度。
本论文针对几类非线性偏微分方程进行研究，探讨其精确解。
首先，本文介绍了这些非线性偏微分方程的基本概念和性质，包括一些应用领域和模型的描述。
然后，我们提出了精确解研究的一般思路和流程，并阐述了具体实现方法。
接着，我们选择了几种典型的非线性偏微分方程，分别介绍其数学特性、求解方法、解的性质等方面，并通过实例进行验证和说明。
最后，我们评估了精确解研究的优缺点，探讨其未来发展方向。
关键词：非线性偏微分方程、精确解、方法、技术、数学特性。
正文：第一章绪论1.1 非线性偏微分方程的基本概念偏微分方程（Partial differential equation）是描述自然界中物理学、工程学、化学、社会学等学科中的数量关系的数学方法之一。
偏微分方程的解法往往是比较困难的，因此近年来许多研究者将精力集中在非线性偏微分方程的求解上。
非线性偏微分方程是指，未知函数出现在方程的高次项、积、除法、指数函数等时，即同一方程中出现有关函数和其偏导数的非线性项。
1.2 非线性偏微分方程的应用领域非线性偏微分方程的求解方法及其精度和速度在科学和工程应用中具有广泛的应用。
例如，在流体力学中，非线性偏微分方程可用于描述涡旋流、湍流、振荡流、波浪等。
在分子生物学中，非线性偏微分方程可用于描述分子扩散、蛋白质演化等。
在量子力学中，非线性偏微分方程可用于描述玻色、费米子体系等。
在统计学中，非线性偏微分方程可用于描述随机微分方程、布朗运动等。
1.3 非线性偏微分方程的模型如果要用非线性偏微分方程来描述一个现象，我们需要构造出一个非线性偏微分方程模型。
偏微分方程模型一般包含几个要素，例如：基本方程、边界条件、初始条件、材料参数等。
第二章精确解研究的一般思路和流程2.1 精确解的定义和种类精确解是指以公式的形式表示的解。
一类四阶偏微分方程的对称约化、精确解和守恒律
一类四阶偏微分方程的对称约化、精确解和守恒律张丽香;刘汉泽;辛祥鹏【摘要】利用李群分析研究了一类变系数四阶偏微分方程,求出方程的李点对称,把偏微分方程约化为常微分方程,然后结合(G'/G)展开法及椭圆函数展开法,对约化后的常微分方程求其精确解,从而得到原方程的精确解.进一步,给出这类变系数偏微分方程的守恒律.%The partial differential equation with constant coefficients can merely approximately reflect the law of motion ofsubstances.Relatively the partial differential equation with variable coefficients can reflect the complex movement of substances more accurately.Therefore,it is more important to study the partial differential equations with variable coefficients.This paper investigates a class of variable coefficient partial differential equations.By using Lie symmetry analysis,the symmetries of the equations are obtained,Then the partial differential equations are reduced to ordinary differentialequations.Moreover,we combine with (G'/G) expansion method and elliptic function expansion,so exact solutions to the original equation are obtained.Furthermore,the conservation laws of this kind of variable coefficient differential equations are given.【期刊名称】《华东师范大学学报（自然科学版）》【年(卷),期】2017(000)006【总页数】13页(P50-62)【关键词】变系数方程;李群分析;精确解;守恒律【作者】张丽香;刘汉泽;辛祥鹏【作者单位】聊城大学数学科学学院,山东聊城252059;聊城大学数学科学学院,山东聊城252059;聊城大学数学科学学院,山东聊城252059【正文语种】中文【中图分类】O175.2由于非线性偏微分方程能够描述物理、生物、化学和医学等领域中的复杂现象,而且越来越多的数学、物理和工程问题要转化为非线性偏微分方程的求解问题.因此,研究偏微分方程有重要的意义.而非线性偏微分方程的精确解可以更好地解释某些物理现象.经过多年研究,人们已经提出许多行之有效的方法,比如经典李群方法[1-3],Hirota双线性方法[4-5],修正的CK直接约化方法[6-7],齐次平衡方法[8-10]等.其中李群方法是研究微分方程的有力工具之一,寻找方程的李点对称,由已知解生成新解,从而建立新解和旧解之间的联系.而且这种方法不仅适用于常系数方程和方程组,而且适用于变系数方程.考虑以下变系数四阶偏微分方程其中u=u(x,t),α(t)为t的函数,β为任意常数,p=1,2,3,···.此类方程尤其在研究弹性梁的弯曲状况和解的稳定性中有重要的意义[11].本文由以下几部分组成:第1节求出方程(1)的李点对称;第2节,以p=3为例对方程(1)进行约化;第3节,结合(G′/G)展开法[12-14],幂级数展开法[15-16],构造辅助方程[17-18]等方法,对约化后的常微分方程求其精确解,进而得到原方程的精确解;第4节,给出方程(1)的伴随方程和守恒律[19-21];第5节,作简要总结.设方程(1)的单参数向量场为其中ξ(x,t,u),τ(x,t,u),ϕ(x,t,u)为待定函数.若向量场(2)为方程(1)的李点对称,则下面根据α(t)的取法不同讨论(5),得到方程(1)的生成元.情况(i)当,即α(t)=k(k为非零常数),则生成元为情况(ii)(1)当4tα′(t)+3α(t)=0时,即α(t)=(k为非零常数),则生成元为(2)当4tα′(t)+3α(t)/=0时,有下列几种子情况.(a)α′(t)=kpα(t),即α(t)=lekpt(k为非零常数),则生成元为(b)4tα′(t)+3α(t)=kα′(t),即α(t)=l(4t− k)(k,l为非零常数),则生成元为(c)4tα′(t)+3α(t)=kpα(t),即α(t)=lt(k,l为非零常数),则生成元为(d)C1=C2=C4=0,即α(t)为关于t的任意函数.前文中我们已经求出了方程(1)的李点对称,下面以p=3为例,对方程(1)进行约化. 当α′(t)=0时,即α(t)=k(k为非零常数),方程(1)退化为常系数四阶偏微分方程(a)对于向量场,对应的群不变解为u=将其代入方程(12),得约化方程为其中f′=df/dξ.(b)对于向量场V=V2+cV3=∂t+c∂x,对应的群不变解为u=f(ξ),其中ξ=x−ct,将其代入方程(12),得约化方程为其中f′=df/dξ.(1)当4tα′(t)+3α(t)=0时,即α(t)=(k为非零常数),方程(1)变为对于向量场V1=4t∂t+x∂x,对应的群不变解为u=f(ξ),其中ξ=,将其代入方程(15),得约化方程为其中f′=df/dξ.(2)当4tα′(t)+3α(t)/=0时,有下列几种子情况.(a)α′(t)=kpα(t),即α(t)=lekpt(k为非零常数),方程(1)变为对于向量场V1=∂t−ku∂u,对应的群不变解为u=f(ξ)e−kt,其中ξ=x,将其代入方程(17),得约化方程为其中f′=df/dξ.(b)4tα′(t)+3α(t)=kα′(t),即(k,l为非零常数),方程(1)变为对于向量场V1=(4t− k)∂t+x∂x,对应的群不变解为u=f(ξ),其中将其代入方程(19),得约化方程为其中f′=df/dξ.约化后的方程(20)和方程(16)形式相同.(c)4tα′(t)+3α(t)=kpα(t),即(k,l为非零常数),方程(1)变为对于向量场V1=4t∂t+x∂x−k∂u,对应的群不变解为其中将其代入方程(21),得约化方程为其中f′=df/dξ.(d)C1=C2=C4=0即α(t)为关于t的任意的函数.方程(1)的群不变解为u=f(t),将其代入方程(1)得f′(t)=0.易得方程(1)的精确解为u=C,其中C为任意常数.前文中,我们通过讨论α(t)的不同情况,已经得到了约化方程.本节中,我们结合椭圆函数展开法、(G′/G)展开法及幂级数展开法等对约化后的方程(13)、(14)、(16)和(18)求其精确解,进而得到方程(1)的精确解,包括精确幂级数展开解,椭圆函数展开解及三角函数解等.对方程(13)积分一次,得其中A0是积分常数.假设方程(23)有以下形式的解由齐次平衡原理得m=1,故方程(24)有以下形式的解,且其中φ是Riccati方程的已知解其中A=A(ξ),B=B(ξ),C=C(ξ).把式(25)、(26)代入方程(23)中,比较φi(i=0,1,2,3,4)的同次幂系数得其中C1,C2均为任意常数,B=B(ξ),C=C(ξ).当λ2−4µ＜0时,方程(23)的精确解为其中C1,C2 均为任意常数,B=B(ξ),C=C(ξ).对方程(14)积分一次得其中B0为积分常数.假设方程(27)有如下形式的解由齐次平衡原理得m=1.故方程(27)有如下形式的解其中k1,k0为待定常数,φ(ξ)是Riccati方程的已知解,且其中A,B,C是常数.把式(29)、(30)代入方程(27)中,收集φi(i=0,1,2,3,4)的各项系数,并且令各项系数为零,得到关于k1,k0的代数方程组,解方程组得故方程(27)的解为对于方程(14)的解借助Maple软件,u4(x,t)的图像如图1所示.对于方程(14)的解u5(x,t)的图像如图2所示.对于方程(14)的解u6(x,t)的图像如图3所示.对于方程(14)的解u7(x,t)的图像如图4所示.假设方程(16)有如下形式的幂级数展开解把式(31)代入方程(16)中,得比较式(32)中的系数,可得:当n=0时,C4=其中C0,C1,C2,C3为任意常数.由(33)式可得故方程(16)的解为因此得原方程(15)的精确幂级数展开解为其中C0,C1,C2,C3为任意常数,Cn+4由(33)式确定.假设方程(18)有如下形式的解其中G=G(ξ),且满足二阶线性常微分方程由式(34)和(35)得把式(34)–(38)代入方程(18),平衡最高阶导数项f(4)和最高阶非线性项f3f′的次数,得m=1,故方程(18)有如下形式的解把式(35)–(39)代入方程(18)中,且令式中的各项系数为零,得到关于α0,α1的超定方程组,解方程组得当λ2−4µ＞0时,方程(18)的精确解为故方程(17)的精确解为故方程(17)的精确解为当λ2−4µ=0时,方程(18)的精确解为故原方程(17)的精确解为其中C1,C2均为常数.在这一部分,我们将给出方程(1)的伴随方程和守恒律.方程(1)的伴随方程为设v=ψ(x,t,u),且ψ(x,t,u)/=0.根据Ibragimov给出的定义其中F=ut+α(t)upux+βuxxxx=0.把式(40)、(41)入方程(1),得比较ux,ut,u2x,···的系数得,ψ=ρ,其中ρ为非零常数.利用Ibragimov给出的结论,守恒向量为根据Ibragimov给出的结论,给出向量场的通式那么方程(1)的守恒律由下式决定向量场C=(C1,C2)由下式决定以下面情况(i)和情况(ii)为例,可分别求出显式守恒律.情况(i)考虑方程(12),对于向量场有W=−(u+4tut+xux),情况(ii)考虑方程(17),对于向量场有W=−(ku+ut),以上守恒向量C=(C1,C2)包含了伴随方程(40)的任意解ρ,因此给出了方程的无穷多个守恒律.本文运用李群分析研究了一类变系数四阶偏微分方程,把复杂的偏微分方程约化成常微分方程,通过求常微分方程的精确解,得到原方程的精确解,包括三角函数解,幂级数展开解,椭圆函数解等.进而可以建立新解和旧解之间的关系,能更好地解释复杂的物理现象.李群是研究微分方程的有力工具之一,无论是研究常系数偏微分方程还是变系数偏微分方程,都具有广泛的应用.另外,我们给出了四阶变系数方程的伴随方程和显式守恒律.(责任编辑:林磊)【相关文献】[1] 田畴.李群及其在微分方程中的应用[M].北京:科学出版社,2001.[2] OLVER P.Applications of Lie Groups to Differential Equations[M].NewYork:Springer,1993.[3] BLUMAN G,ANCO S.Symmetry and Integration Methods for DifferentialEquations[M].New York:Springer-Verlag,2002.[4]HIROTA R,SATSUMA J.A variety of nonlinear network equations generated form the B¨acklund transformation for the Tota lattice[J].Suppl Prog Theor Phys,1976,59:64-100. 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固有函数法和分离变量法_解释说明
固有函数法和分离变量法解释说明引言1.1 概述在科学和工程领域中，解决不同类型的数学方程是非常重要的。
其中，固有函数法和分离变量法是两种常见的求解数学方程的方法。
这两种方法在特定情况下都能够提供有效的解决方案，并且在不同领域都有广泛应用。
1.2 文章结构本文将首先介绍固有函数法，包括其理论基础、应用领域以及优缺点。
接着，我们将详细探讨分离变量法，包括其原理解释、实际应用和算法步骤。
然后，我们将比较这两种方法的共同点和不同之处，并提出适用于不同场景的推荐应用。
最后，我们将总结固有函数法和分离变量法的特点和应用价值，并展望未来研究方向与发展趋势。
1.3 目的本文旨在全面深入地介绍固有函数法和分离变量法这两种求解数学方程的方法。
通过对其理论基础、实际应用和优缺点的分析，我们希望读者能够了解到这些方法各自适用于哪些情境，并能够根据具体需求进行选择。
此外，我们也将对这两种方法的研究方向和未来发展进行展望，以期为相关领域的进一步探索提供参考和启示。
2. 固有函数法2.1 理论基础固有函数法是一种数学方法，用于求解偏微分方程（PDE）中的边值问题。
它的核心思想是将待求解的函数表示为问题域内各个位置上的局部特征函数的线性组合形式。
根据泛函分析理论，我们知道一个完备希尔伯特空间中的任何一个元素，都可以用这个空间中的一组正交归一基作展开。
在固有函数法中，将问题域划分成有限或无限多个小区域，并在每个小区域内寻找满足特定边界条件和内部微分方程条件的局部特征函数。
这些局部特征函数通常由常微分方程组成。
固有函数法通过对不同特征函数进行线性叠加来逼近真实解，其中每个特征函数都含有未知系数。
通过确定这些系数，我们可以构造出满足整个问题条件的唯一解。
2.2 应用领域固有函数法广泛应用于物理学和工程学领域中独立变量是时间、空间或它们的某种组合的偏微分方程求解。
例如，在传热学、振动力学和电磁学中，固有函数法被用于求解热传导方程、波动方程和泊松方程等问题。
偏微分方程的数值解法
偏微分方程的数值解法在科学和工程领域中，偏微分方程（Partial Differential Equations，简称PDEs）被广泛应用于描述自然现象和工程问题。
由于许多复杂的PDE难以找到解析解，数值方法成为了求解这些方程的重要途径之一。
本文将介绍几种常见的偏微分方程数值解法，并探讨其应用。
一、有限差分法有限差分法是求解偏微分方程最常用的数值方法之一。
其基本思想是将空间和时间连续区域离散化成有限个点，通过差分逼近偏微分方程中的导数，将偏微分方程转化为差分方程。
然后，利用差分方程的迭代计算方法，求解近似解。
以一维热传导方程为例，其数值解可通过有限差分法得到。
将空间区域离散化为若干个网格点，时间区域离散化为若干个时间步长。
通过差分逼近热传导方程中的导数项，得到差分方程。
然后，利用迭代方法，逐步更新每个网格点的数值，直到达到收敛条件。
最终得到近似解。
二、有限元法有限元法是另一种常用于求解偏微分方程的数值方法。
它将连续的空间区域离散化为有限个单元，将PDE转化为每个单元内的局部方程。
然后，通过将各个单元的局部方程组合起来，构成整个区域的方程组。
最后，通过求解这个方程组来获得PDE的数值解。
有限元法的优势在于可以适应复杂的几何形状和边界条件。
对于二维或三维的PDE问题，有限元法可以更好地处理。
同时，有限元法还可以用于非线性和时变问题的数值求解。
三、谱方法谱方法是利用一组基函数来表示PDE的解，并将其代入PDE中得到一组代数方程的数值方法。
谱方法具有高精度和快速收敛的特点，在某些问题上比其他数值方法更具优势。
谱方法的核心是选择合适的基函数，常用的基函数包括Legendre多项式、Chebyshev多项式等。
通过将基函数展开系数与PDE的解相匹配，可以得到代数方程组。
通过求解这个方程组，可以得到PDE的数值解。
四、有限体积法有限体积法是将空间域划分为有限个小体积单元，将PDE在每个小体积单元上进行积分，通过适当的数值通量计算来近似描述流体在边界上的净流量。
一类广义高阶非线性薛定谔方程的解析解
第１７卷㊀第１期２０１９年３月南京工程学院学报(自然科学版)ＪｏｕｒｎａｌｏｆＮａｎｊｉｎｇＩｎｓｔｉｔｕｔｅｏｆＴｅｃｈｎｏｌｏｇｙ(ＮａｔｕｒａｌＳｃｉｅｎｃｅＥｄｉｔｉｏｎ)Ｖｏｌ.１７ꎬＮｏ.１Ｍａｒ.ꎬ２０１９㊀㊀ｄｏｉ:１０.１３９６０/ｊ.ｉｓｓｎ.１６７２－２５５８.２０１９.０１.０１５投稿网址:ｈｔｔｐ://ｘｂ.ｎｊｉｔ.ｅｄｕ.ｃｎ一类广义高阶非线性薛定谔方程的解析解洪宝剑１ꎬ陈㊀威２ꎬ陈㊀阳２ꎬ刘昊霖２ꎬ廖凯鑫２ꎬ张书青２(１.南京工程学院数理部ꎬ江苏南京２１１１６７ꎻ㊀２.南京工程学院电力工程学院ꎬ江苏南京２１１１６７)摘㊀要:利用光孤子传输信息的光纤通信系统在远距离和大容量传输方面具有极大的优势.非线性薛定谔方程被认为是描述光孤子传播的最佳模型ꎬ但标准薛定谔方程(ＮＬＳ)是光纤无损耗特殊情况下得到的ꎬ故在描述光孤子的特性时ꎬ考虑高阶非线性和高阶色散ꎬ得出的结果往往比低阶的非线性方程更准确㊁有效.利用行波约化方法ꎬ研究一个带有高阶色散项的广义ＮＬＳ方程ꎬ结合(Ｇᶄ/Ｇ) 展开法和辅助方程法ꎬ借助Ｍａｔｈｅｍａｔｉｃａ软件ꎬ求得该方程的几组新解ꎬ包括扭结及反扭结波解㊁奇异波解及三角函数周期波解等.关键词:高阶非线性薛定谔方程ꎻ光纤通讯ꎻ行波约化ꎻ(Ｇᶄ/Ｇ) 展开法ꎻ孤立波中图分类号:Ｏ１７５.２５收稿日期:２０１８－０９－２１ꎻ修回日期:２０１８－０９－２８基金项目:江苏省高等学校自然科学研究项目资助(１８ＫＪＢ１１００１３)ꎻ江苏省大学生实践创新训练计划指导项目(２０１８１１２７６０６０Ｘ)ꎻ南京工程学院科研基金资助项目(ＺＫ２０１５１３).作者简介:洪宝剑ꎬ博士ꎬ副教授ꎬ研究方向为非线性科学.Ｅ￣ｍａｉｌ:ｈｂｊ＠ｎｊｉｔ.ｅｄｕ.ｃｎ引文格式:洪宝剑ꎬ陈威ꎬ陈阳ꎬ等.一类广义高阶非线性薛定谔方程的解析解[Ｊ].南京工程学院学报(自然科学版)ꎬ２０１９ꎬ１７(１):８０－８４.１㊀研究现状非线性薛定谔方程是一类重要的非线性演化方程ꎬ并且被推广到变系数㊁复系数㊁高维㊁高阶㊁非局域和分数阶等包含各类物理效应的ＮＬＳ方程[１－３]ꎬ故研究薛定谔方程的解具有重要的物理意义.本文讨论光孤子领域的一个含有三阶色散㊁四阶色散㊁三次非线性和五次非线性项的高阶薛定谔方程[４－５]:㊀ｉｑｔ＋１２ｑｘｘ＋｜ｑ｜２ｑ＋ｉα(ｑｘｘｘ＋６ｑｘ｜ｑ｜２)＋㊀㊀γ(ｑｘｘｘｘ＋６ｑ２ｘｑ∗＋４ｑ｜ｑｘ｜２＋８ｑｘｘ｜ｑ｜２＋㊀㊀２ｑ∗ｘｘｑ２＋６ｑ｜ｑ｜４)＝０(１)式中:γ为任意常数ꎻｑ为缓变的电场包络.文献[４]通过广义的达布变换获得该方程的怪波解ꎻ文献[５]运用双线性和达布变换方法获得了该方程的孤子解和呼吸子解ꎬ并讨论了解的性质ꎬ当α＝０ꎬγ＝０时ꎬ方程(１)退化为标准的ＮＬＳ方程ꎻ当αʂ０ꎬγ＝０时ꎬ方程(１)退化为著名的Ｈｉｒｏｔａ方程[６－７]ꎻ当γʂ０ꎬα＝０ꎬ方程(１)退化为Ｌａｋｓｈｍａｎａｎ￣Ｐｏｒｓｅｚｉａｎ￣Ｄａｎｉｅｌ(ＬＰＤ)方程[８－９].因而研究方程(１)具有重要的意义.目前ꎬ求解孤子方程有试探函数法㊁ｊａｃｏｂｉ椭圆函数法㊁ｔａｎｈ￣ｃｏｔｈ展开法㊁分步傅里叶法㊁Ｂａｃｋｌｕｎｄ变换法㊁达布变换法㊁形变映射法㊁对称约化法等[１０－１２].利用这些方法ꎬ国内外学者成功求解出不同类型的偏微分方程.这些解有数值解也有精确解ꎬ在不同领域不同的解具有不同的价值.本文通过近期被国内外学者广泛运用的(Ｇᶄ/Ｇ) 展开法[１３]成功求解方程(１)ꎬ得到几组新的行波解ꎬ这些新解对于研究非线性数学物理方程具有重要的意义.２㊀(Ｇᶄ/Ｇ) 展开法及方程求解２.１㊀高阶非线性薛定谔方程行波约化㊀㊀假设方程(１)的精确波解为:㊀ｑ(ｘꎬｔ)＝ｕ(ξ)ｅｉ(ｋｘ＋ωｔ)ꎬξ＝Ｌｘ＋ｍｔ(２)式中:Ｌ㊁ｍ㊁ｋ㊁ω为待定常数.将式(２)代入方程(１)ꎬ得到一个复的常微分第１７卷第１期洪宝剑ꎬ等:一类广义高阶非线性薛定谔方程的解析解方程ꎬ将其分为实部和虚部方程ꎬ得到:㊀(－ｋ２２－ω＋ｋ３α＋ｋ４γ)ｕ＋１－６ｋ２α－１２ｋ２γ()ｕ３＋㊀㊀６γｕ５＋１０Ｌ２γｕ(ｕᶄ)２＋(Ｌ２２－３ｋＬ２α－６ｋ２Ｌ２γ)ｕᵡ＋㊀㊀１０Ｌ２γｕ２ｕᵡ＋Ｌ４γｕ(４)＝０(３)㊀(ｋＬ＋ｍ－３ｋ２Ｌα－４ｋ３Ｌγ)ｕᶄ＋(６Ｌα＋２４ｋＬγ)ｕ２ｕᶄ＋㊀㊀(Ｌ３α＋４ｋＬ３γ)ｕ(３)＝０(４)将式(４)积分得到:㊀(ｋＬ＋ｍ－３ｋ２Ｌα－４ｋ３Ｌγ)ｕ＋(２Ｌα＋８ｋＬγ)ｕ３＋㊀㊀(Ｌ３α＋４ｋＬ３γ)ｕᵡ＝Ａ(５)式中ꎬＡ为积分常数.当α＝０ꎬγ＝０时ꎬ方程(１)退化为标准的薛定谔方程ꎬ但从文献[１４]中可以推断ꎬ在方程(１)系数条件下利用(Ｇᶄ/Ｇ) 展开法没有实数解ꎬ故当α㊁γ不同为０时ꎬ可将式(３)和式(５)合并ꎬ有:㊀(－ｋ２２－ω＋ｋ３α＋ｋ４γ)ｕ＋(１－６ｋ２α－１２ｋ２γ)ｕ３＋６γｕ５＋㊀㊀(Ｌ２２－３ｋＬ２α－６ｋ２Ｌ２γ)(Ａ－(ｋＬ＋ｍ－３ｋ２Ｌα－４ｋ３Ｌγ)ｕ－(２Ｌα＋８)ｕ３)Ｌ３α＋４ｋＬ３γ＋㊀㊀１０Ｌ２γｕ２(Ａ－(ｋＬ＋ｍ－３ｋ２Ｌα－４ｋ３Ｌγ)ｕ－(２Ｌα＋８)ｕ３)Ｌ３α＋４ｋＬ３γ＋１０Ｌ２γｕ(ｕᶄ)２＋Ｌ４γｕ(４)＝０(６)２.２㊀应用(Ｇᶄ/Ｇ) 展开法求解约化后的非线性常微分方程㊀㊀由(Ｇᶄ/Ｇ) 展开法的思想[１５－１６]ꎬ假设式(６)的解为:㊀ｕ(ξ)＝ðｎｉ＝０ａｉＧᶄＧ(７)式中ꎬｎ为平衡常数.根据齐次平衡原则[１７]ꎬ通过平衡方程(６)最高导数阶数ｕ(４)和最高非线性项ｕ５得到ｎ＝１ꎬ从而可设方程(７)的一般形式为:㊀ｕ(ξ)＝ａ０＋ａ１ＧᶄＧ(８)式中ꎬａ０㊁ａ１为待定系数.并且Ｇ＝Ｇ(ξ)满足方程二阶线性常微分方程:㊀Ｇᵡ(ξ)＋λＧᶄ(ξ)＋μＧ(ξ)＝０(９)当λ２－４μ>０ꎬ可以得到方程(９)的双曲函数解:㊀Ｇ＝[Ａ１ｓｉｎｈ(ξλ２－４μ２)＋Ａ２ｃｏｓｈ(ξλ２－４μ２)]ｅ－λ２ξ(１０)㊀ＧᶄＧ＝λ２－４μ２Ａ１ｃｏｓｈ(ξλ２－４μ２)＋Ａ２ｓｉｎｈ(ξλ２－４μ２)Ａ１ｓｉｎｈ(ξλ２－４μ２)＋Ａ２ｃｏｓｈ(ξλ２－４μ２)æèççöø÷÷－λ２(１１)当λ２－４μ<０ꎬ可以得到方程(９)的三角函数周期解:㊀Ｇ＝[Ａ３ｃｏｓ(ξ４μ－λ２２)＋Ａ３ｓｉｎ(ξ４μ－λ２２)]ｅ－λ２ξ(１２)㊀ＧᶄＧ＝４μ－λ２２－Ａ３ｓｉｎ(ξ４μ－λ２２)＋Ａ４ｃｏｓ(ξ４μ－λ２２)Ａ３ｃｏｓ(ξ４μ－λ２２)＋Ａ４ｓｉｎ(ξ４μ－λ２２)æèççöø÷÷－λ２(１３)㊀㊀当λ２－４μ＝０ꎬ可以得到方程(９)的有理解:㊀Ｇ＝(Ａ１ξ＋Ａ２)ｅ－λ２ξ(１４)㊀ＧᶄＧ＝Ａ５Ａ５ξ＋Ａ６－λ２(１５)式中ꎬＡ１㊁Ａ２㊁ ㊁Ａ６为任意常数.将式(９)和式(８)代入方程(６)中得到关于ＧᶄＧ各次幂的多项式ꎬ将各项系数待定为０后ꎬ得到超定非线性代数方程组:㊀－３ａ３１ｋＬα２＋３ａ３１ｋ２Ｌα２＋５ａ３１ｋＬγ＋５ａ３１ｍγ＋７０ａ２０ａ３１Ｌαγ－２７ａ３１ｋ２Ｌαγ＋１２ａ３１ｋ３Ｌαγ＋２８０ａ２０ａ３１ｋＬγ２－㊀㊀２０ａ３１ｋ３Ｌγ２－１０ａ０ａ２１Ｌ３αγλ－４０ａ０ａ２１ｋＬ３γ２λ－５ａ３１Ｌ３αγλ２－２５ａ１Ｌ５αγλ２－２０ａ３１ｋＬ３γ２λ２－㊀㊀１００ａ１ｋＬ５γ２λ２－１０ａ３１Ｌ３αγμ－２０ａ１Ｌ５αγμ－４０ａ３１ｋＬ３γ２μ－８０ａ１ｋＬ５γ２μ＝０㊀Ａ－ａ０ｋＬ－ａ０ｍ－６Ａｋα＋８ａ０ｋ２Ｌα＋６ａ０ｋｍα－２ａ０Ｌωα＋１２ａ３０ｋＬα２－１２ａ３０ｋ２Ｌα２－１６ａ０ｋ３Ｌα２＋２０Ａａ２０γ－㊀㊀１２Ａｋ２γ－２０ａ３０ｋＬγ＋１２ａ０ｋ３Ｌγ－２０ａ３０ｍγ＋１２ａ０ｋ２ｍγ－８ａ０ｋωＬγ－２８ａ５０Ｌαγ＋１０８ａ３０ｋ２Ｌαγ－４８ａ３０ｋ３Ｌαγ－㊀㊀５０ａ０ｋ４Ｌαγ－１１２ａ５０ｋＬγ２＋８０ａ３０ｋ３Ｌγ２－４０ａ０ｋ５Ｌγ２＋２ａ１Ｌ５αγλ３μ＋８ａ１ｋＬ５λ３γ２μ＋２０ａ０ａ２１αＬ３γμ２＋１８南京工程学院学报(自然科学版)２０１９年３月㊀㊀８０ａ０ａ２１ｋＬ３γ２μ２＋１６ａ１Ｌ５αγλμ２＋６４ａ１ｋＬ５γ２λμ２＝０㊀１８ａ０ａ２１ｋＬα２－１８ａ０ａ２１ｋ２Ｌα２＋１０Ａａ２１γ－３０ａ０ａ２１ｋＬγ－３０ａ０ａ２１ｍγ－１４０ａ３０ａ２１Ｌαγ＋１６２ａ０ａ２１ｋ２Ｌαγ－㊀㊀７２ａ０ａ２１ｋ３Ｌαγ－５６０ａ３０ａ２１ｋＬγ２＋１２０ａ０ａ２１ｋ３Ｌγ２＋１０ａ０ａ２１Ｌ３αγλ２＋４０ａ１ａ２１ｋＬ３γ２λ２＋１５ａ１Ｌ５αλ３γ＋㊀㊀６０ａ１ｋＬ５γ２λ３＋２０ａ０ａ２１Ｌ３αγμ＋８０ａ０ａ２１ｋＬ３γ２μ＋２０ａ３１Ｌ３αγλμ＋６０ａ１Ｌ５αγλμ＋８０ａ３１ｋＬ３γ２λμ＋㊀㊀２４０ａ１ｋγ２Ｌ５λμ＝０㊀－ａ１ｋＬ－ａ１ｍ＋８ａ１ｋ２Ｌα＋６ａ１ｋｍα－２ａ１Ｌωα＋３６ａ２０ａ１ｋＬα２－３６ａ２０ａ１ｋ２Ｌα２－１６ａ１ｋ３Ｌα２＋４０Ａａ０ａ１γ－㊀㊀６０ａ２０ａ１ｋＬγ＋１２ａ１ｋ３Ｌγ－６０ａ２０ａ１ｍγ＋１２ａ１ｋ２ｍγ－８ａ１ｋＬωγ－１４０ａ４０ａ１Ｌαγ＋３２４ａ２０ａ１Ｌｋ２αγ－㊀㊀１４４ａ２０ａ１ｋ３Ｌαγ－５０ａ１ｋ４Ｌαγ－５６０ａ４０ａ１ｋＬγ２＋２４０ａ２０ａ１ｋ３Ｌγ２－４０ａ１ｋ５Ｌγ２＋２ａ１Ｌ５αλ４γ＋８ａ１ｋＬ５γ２λ４＋㊀㊀４０ａ０ａ２１Ｌ３αγλμ＋１６０ａ０ａ２１ｋＬ３γ２λμ＋４４ａ１Ｌ５αγλ２μ＋１７６ａ１ｋＬ５γ２λ２μ＋２０ａ３１Ｌ３αγμ２＋３２ａ１Ｌ５αγμ２＋㊀㊀８０ａ３１ｋＬ３γ２μ２＋１２８ａ１ｋＬ５γ２μ２＝０㊀７ａ０ａ４１γ－ａ０ａ２１Ｌ２γ－２ａ３１Ｌ２γλ－６ａ１Ｌ４γλ＝０㊀７ａ５１γ－５ａ３１Ｌ２γ－１２ａ１Ｌ４γ＝０(１６)２.３㊀利用Ｍａｔｈｅｍａｔｉｃａ软件求解用数学Ｍａｔｈｅｍａｔｉｃａ软件求得非线性代数方程组(１６)的解(已略去平凡解)ꎬ有:解组一㊀ａ０＝０ꎬａ１＝ʃ２３７Ｌꎬλ＝０ꎬｋ＝－α４γꎬ㊀ｍ＝Ｌα(α２＋２γ)８γ２ꎬＡ＝０(１７)解组二㊀ａ０＝０ꎬａ１＝ʃｉＬꎬλ＝０ꎬＡ＝０ꎬｋ＝－α４γꎬ㊀ｍ＝Ｌα(α２＋２γ)８γ２(１８)解组三㊀ａ１＝ʃ２３７Ｌꎬμ＝０ꎬλ＝ʃ３７ａ０Ｌꎬα＝０ꎬ㊀Ａ＝０ꎬｍ＝１９(－９ｋＬ－９１ａ２０ｋＬγ＋３６ｋ３Ｌγ)ꎬ㊀ω＝１７２(９１ａ２０－３６ｋ２＋８１２ａ４０γ－１０９２ａ２０ｋ２γ＋７２ｋ４γ)(１９)解组四㊀ａ１＝ʃｉＬꎬλ＝∓２ｉａ０Ｌꎬμ＝０ꎬα＝０ꎬＡ＝０ꎬ㊀ｍ＝－ｋＬ－８ａ２０ｋＬγ＋４ｋ３Ｌγꎬ㊀ω＝１２(２ａ２０－ｋ２＋１２ａ４０γ－２４ａ２０ｋ２γ＋２ｋ４γ)(２０)解组五㊀ａ０＝０ꎬλ＝０ꎬγ＝０ꎬＡ＝０ꎬｋ＝１ꎬ㊀ω＝－Ｌ－ｍ＋８Ｌα＋６ｍα－１６Ｌα２２Ｌα(２１)将不同的解组代入方程(８)ꎬ结合方程(７)的解ꎬ可以得到方程(１)的精确行波解.本文不考虑没有物理意义的虚数解.类型１㊀将解组一代入ꎬ有:１)当μ<０时ꎬ可得方程(１)的孤立波解㊀ｑ１(ｘꎬｔ)＝ʃ２３７Ｌˑ㊀㊀Ａ１－μｓｉｎｈ(－μξ)＋Ａ２－μｃｏｓｈ(－μξ)Ａ１ｃｏｓｈ(－μξ)＋Ａ２ｓｉｎｈ(－μξ)ˑ㊀㊀㊀ｅｉ(ｋｘ＋ωｔ)ꎬξ＝Ｌｘ＋ｍｔ(２２)式中:ｋ＝－α４γꎻｍ＝Ｌα(α２＋２γ)８γ２.２)当μ>０时ꎬ可得方程(１)的三角函数周期波解:㊀ｑ２(ｘꎬｔ)＝ʃ２３７Ｌˑ㊀㊀－Ａ３μｓｉｎ(μξ)＋Ａ４μｃｏｓ(μξ)Ａ３ｃｏｓ(μξ)＋Ａ４ｓｉｎ(μξ)ｅｉ(ｋｘ＋ωｔ)ꎬ㊀㊀ξ＝Ｌｘ＋ｍｔ(２３)式中:ｋ＝－α(４γ)ꎻｍ＝Ｌα(α２＋２γ)(８γ２)ꎻＡ１㊁Ａ２㊁Ａ３㊁Ａ４为任意常数ꎬ当取不同的数时ꎬ可以得到方程(１)的不同情形的行波解.当Ａ２＝０时ꎬｑ１(ｘꎬｔ)退化为方程(１)的(反)扭结波解:㊀ｑ１.１(ｘꎬｔ)＝ʃ２３７Ｌ－μｔａｎｈ(－μξ)ｅｉ(ｋｘ＋ωｔ)ꎬ㊀ξ＝Ｌｘ＋ｍｔ(２４)２８第１７卷第１期洪宝剑ꎬ等:一类广义高阶非线性薛定谔方程的解析解当Ａ１＝０时ꎬｑ２(ｘꎬｔ)退化为方程(１)的奇异之波解:㊀ｑ１.２(ｘꎬｔ)＝ʃ２３７Ｌ－μｃｏｔｈ(－μξ)ｅｉ(ｋｘ＋ωｔ)ꎬ㊀ξ＝Ｌｘ＋ｍｔ(２５)类型２㊀将解组三代入ꎬ便可得方程(１)的孤立波解:㊀ｑ３(ｘꎬｔ)＝ａ０ʃ２３７Ｌ－λＡ７ｅ－λξＡ８＋Ａ７ｅ－λξæèçöø÷ｅｉ(ｋｘ＋ωｔ)ꎬ㊀㊀ξ＝Ｌｘ＋ｍｔ(２６)式中:Ａ７㊁Ａ８为任意常数ꎻλ＝ʃ３７ａ０Ｌꎻｍ＝１９(－９ｋＬ－９１ａ２０ｋＬγ＋３６ｋ３Ｌγ)ꎻω＝１７２(９１ａ２０－３６ｋ２＋８１２ａ４０γ－１０９２ａ２０ｋ２γ＋７２ｋ４γ).类型３㊀将解组五代入ꎬ有:１)当μ<０时ꎬ可得方程(１)的双曲函数解:㊀ｑ４(ｘꎬｔ)＝ａ１ˑ㊀㊀Ａ１－μｓｉｎｈ(－－μξ)＋Ａ２－μｃｏｓｈ(－μξ)Ａ１ｃｏｓｈ(－－μξ)＋Ａ２ｓｉｎｈ(－μξ)ˑ㊀㊀㊀ｅｉ(ｘ＋ωｔ)ꎬξ＝Ｌｘ＋ｍｔ(２７)式中ꎬω＝(－Ｌ－ｍ＋８Ｌα＋６ｍα－１６Ｌα２)(２Ｌα).２)当μ>０时ꎬ可得方程(１)的三角函数周期波解:㊀ｑ５(ｘꎬｔ)＝ａ１－Ａ３μｓｉｎ(μξ)＋Ａ４μｃｏｓ(μξ)Ａ３ｃｏｓ(μξ)＋Ａ４ｓｉｎ(μξ)ｅｉ(ｘ＋ωｔ)ꎬ㊀㊀ξ＝Ｌｘ＋ｍｔ(２８)式中ꎬω＝(－Ｌ－ｍ＋８Ｌα＋６ｍα－１６Ｌα２)(２Ｌα).ｑ１(ｘꎬｔ)~ｑ５(ｘꎬｔ)在文献中尚未出现ꎬ是方程(１)的新解.３㊀结语本文利用(Ｇᶄ/Ｇ) 展开法和辅助方程(９)研究了一类广义的高阶非线性薛定谔方程ꎬ得到了该方程的双曲函数解㊁三角函数周期解㊁奇异波解和孤子解ꎬ这些解对于解释某些非线性现象具有一定的帮助.参考文献:[１]㊀ＷＡＴＡＮＡＢＥＭ.Ｔｉｍｅ￣ｄｅｐｅｎｄｅｎｔｍｅｔｈｏｄｆｏｒｎｏｎ￣ｌｉｎｅａｒＳｃｈｒöｄｉｎｇｅｒｅｑｕａｔｉｏｎｓｉｎｉｎｖｅｒｓｅｓｃａｔｔｅｒｉｎｇｐｒｏｂｌｅｍｓ[Ｊ].ＪｏｕｒｎａｌｏｆＭａｔｈｅｍａｔｉｃａｌＡｎａｌｙｓｉｓａｎｄＡｐｐｌｉｃａｔｉｏｎｓꎬ２０１８ꎬ４５９:９３２－９４４.[２]㊀ＢＥＺＥＲＲＡＦＤＭꎬＣＡＲＶＡＬＨＯＡＮꎬＤＬＯＴＫＯＴꎬｅｔａｌ.ＦｒａｃｔｉｏｎａｌＳｃｈｒöｄｉｎｇｅｒｅｑｕａｔｉｏｎꎻｓｏｌｖａｂｉｌｉｔｙａｎｄｃｏｎｎｅｃｔｉｏｎｗｉｔｈｃｌａｓｓｉｃａｌＳｃｈｒöｄｉｎｇｅｒｅｑｕａｔｉｏｎ[Ｊ].ＪｏｕｒｎａｌｏｆＭａｔｈｅｍａｔｉｃａｌＡｎａｌｙｓｉｓａｎｄＡｐｐｌｉｃａｔｉｏꎬ２０１８ꎬ４５７(１):３３６－３６０.[３]㊀ＪＵＳＴＩＮＭꎬＨＵＢＥＲＴＭＢꎬＢＥＴＣＨＥＷＥＧꎬｅｔａｌ.ＣｈｉｒｐｅｄｓｏｌｉｔｏｎｓｉｎｄｅｒｉｖａｔｉｖｅｎｏｎｌｉｎｅａｒＳｃｈｒöｄｉｎｇｅｒｅｑｕａｔｉｏｎ[Ｊ].ＣｈａｏｓꎬＳｏｌｉｔｏｎｓ＆Ｆｒａｃｔａｌｓꎬ２０１８ꎬ１０７:４９－５４.[４]㊀柳伟ꎬ邱德勤ꎬ贺劲松.Ｌｏｃａｌｉｚｅｄｐｒｏｐｅｒｔｉｅｓｏｆｒｏｇｕｅｗａｖｅｆｏｒａｈｉｇｈｅｒ￣ｏｒｄｅｒｎｏｎｌｉｎｅａｒｓｃｈｒｏｄｉｎｇｅｒｅｑｕａｔｉｏｎ[Ｊ].ＣｏｍｍｕｎｉｃａｔｉｏｎｓｉｎＴｈｅｏｒｅｔｉｃａｌＰｈｙｓｉｃｓꎬ２０１５ꎬ６３(５):５２５－５３４.[５]㊀田艳姣.一个高阶非线性薛定谔方程的精确解研究[Ｄ].北京:华北电力大学ꎬ２０１７.[６]㊀ＨＩＲＯＴＡＲ.ＥｘａｃｔＮ￣ｓｏｌｉｔｏｎｓｏｌｕｔｉｏｎｓｏｆｔｈｅｗａｖｅｅｑｕａｔｉｏｎｏｆｌｏｎｇｗａｖｅｓｉｎｓｈａｌｌｏｗ￣ｗａｔｅｒａｎｄｉｎｎｏｎｌｉｎｅａｒｌａｔｔｉｃｅｓ[Ｊ].ＪｏｕｒｎａｌｏｆＭａｔｈｅｍａｔｉｃｓꎬ１９７３ꎬ１４:８１０－８１３.[７]㊀ＡＮＫＩＥＷＩＣＺＡꎬＳＯＴＯ￣ＣＲＥＳＰＯＪＭꎬＡＫＨＭＥＤＩＥＶＮ.ＲｏｇｕｅｗａｖｅｓａｎｄｒａｔｉｏｎａｌｓｏｌｕｔｉｏｎｓｏｆｔｈｅＨｉｒｏｔａｅｑｕａｔｉｏｎ[Ｊ].ＰｈｙｓｉｃａｌＲｅｖｉｅｗＥꎬ２０１０ꎬ８１:０４６６０２.[８]㊀ＰＯＲＳＥＺＩＡＮＫꎬＬＡＫＳＨＭＡＮＡＮＭ.ＯｎｔｈｅｄｙｎａｍｉｃｓｏｆｔｈｅｒａｄｉａｌｌｙｓｙｍｍｅｔｒｉｃＨｅｉｓｅｎｂｅｒｇｆｅｒｒｏｍａｇｎｅｔｉｃｓｐｉｎｓｙｓｔｅｍ[Ｊ].ＪｏｕｒｎａｌｏｆＭａｔｈｅｍａｔｉｃａｌＰｈｙｓｉｃｓꎬ１９９１ꎬ３２:２９２３－２９２８.[９]㊀ＬＡＫＳＨＭＡＮＡＮＭꎬＰＯＲＳＥＺＩＡＮＫꎬＤＡＮＩＥＬＭ.ＥｆｆｅｃｔｏｆｄｉｓｃｒｅｔｅｎｅｓｓｏｎｔｈｅｃｏｎｔｉｎｕｕｍｌｉｍｉｔｏｆｔｈｅＨｅｉｓｅｎｂｅｒｇｓｐｉｎｃｈａｉｎ[Ｊ].ＰｈｙｓｉｃｓＬｅｔｔｅｒｓＡꎬ１９８８ꎬ１３３:４８３－４８８.[１０]㊀ＢＩＳＷＡＳＡꎬＥＫＩＣＩＭꎬＴＲＩＫＩＨꎬｅｔａｌ.Ｒｅｓｏｎａｎｔｏｐｔｉｃａｌｓｏｌｉｔｏｎｐｅｒｔｕｒｂａｔｉｏｎｗｉｔｈａｎｔｉ￣ｃｕｂｉｃｎｏｎｌｉｎｅａｒｉｔｙｂｙｅｘｔｅｎｄｅｄｔｒｉａｌｆｕｎｃｔｉｏｎｍｅｔｈｏｄ[Ｊ].Ｏｐｔｉｋꎬ２０１８ꎬ１５６:７８４－７９０.[１１]㊀ＨＯＮＧＢＪꎬＬＵＤＣ.Ｍｏｄｉｆｉｅｄｆｒａｃｔｉｏｎａｌｖａｒｉａｔｉｏｎａｌｉｔｅｒａｔｉｏｎｍｅｔｈｏｄｆｏｒｓｏｌｖｉｎｇｔｈｅｇｅｎｅｒａｌｉｚｅｄｔｉｍｅ￣ｓｐａｃｅｆｒａｃｔｉｏｎａｌＳｃｈｒöｄｉｎｇｅｒｅｑｕａｔｉｏｎ[Ｊ].ＴｈｅＳｃｉｅｎｔｉｆｉｃＷｏｒｌｄＪｏｕｒｎａｌꎬ２０１４ꎬＡｒｔｉｃｌｅＩＤ:９６４６４３ꎬ６ｐａｇｅｓ.[１２]㊀洪宝剑ꎬ卢殿臣ꎬ田立新.变系数组合ｋｄｖ￣Ｂｕｒｇｅｒｓ方程的Ａｕｔｏ￣Ｂａｃｋｌｕｎｄ变换和类孤子解[Ｊ].江西师范大学学报(自然科学版)ꎬ２００６(１):４７－４９.[１３]㊀ＡＬ￣ＳＨＡＷＢＡＡＡꎬＧＥＰＲＥＥＬＫＡꎬＡＢＤＵＬＬＡＨＦＡꎬｅｔａｌ.ＡｂｕｎｄａｎｔｃｌｏｓｅｄｆｏｒｍｓｏｌｕｔｉｏｎｓｏｆｔｈｅｃｏｎｆｏｒｍａｂｌｅｔｉｍｅｆｒａｃｔｉｏｎａｌＳａｗａｄａ￣Ｋｏｔｅｒａ￣Ｉｔｏｅｑｕａｔｉｏｎｕｓｉｎｇ(Ｇᶄ/Ｇ)￣ｅｘｐａｎｓｉｏｎｍｅｔｈｏｄ３８南京工程学院学报(自然科学版)２０１９年３月[Ｊ].ＲｅｓｕｌｔｓｉｎＰｈｙｓｉｃｓꎬ２０１８ꎬ９:３３７－３４３.[１４]㊀员保云.非线性薛定谔方程精确解的研究[Ｄ].呼和浩特:内蒙古工业大学ꎬ２０１４.[１５]㊀ＷＡＮＧＭＬꎬＺＨＡＮＧＪＬꎬＬＩＸＺ.ＴｈｅＧᶄ/Ｇ￣ｅｘｐａｎｓｉｏｎｍｅｔｈｏｄａｎｄｔｒａｖｅｌｉｎｇｗａｖｅｓｏｌｕｔｉｏｎｓｏｆｎｏｎｌｉｎｅａｒｅｖｏｌｕｔｉｏｎｅｑｕａｔｉｏｎｓｉｎｍａｔｈｅｍａｔｉｃａｌｐｈｙｓｉｃｓ[Ｊ].ＰｈｙｓＬｅｔｔＡꎬ２００８ꎬ３７２(４):４１７－４２３.[１６]㊀ＮＡＨＥＲＨ.Ｎｅｗａｐｐｒｏａｃｈｏｆ(Ｇᶄ/Ｇ)￣ｅｘｐａｎｓｉｏｎｍｅｔｈｏｄａｎｄｎｅｗａｐｐｒｏａｃｈｏｆｇｅｎｅｒａｌｉｚｅｄ(Ｇᶄ/Ｇ)￣ｅｘｐａｎｓｉｏｎｍｅｔｈｏｄｆｏｒＺＫＢＢＭｅｑｕａｔｉｏｎ[Ｊ].ＪｏｕｒｎａｌｏｆｔｈｅＥｇｙｐｔｉａｎＭａｔｈｅｍａｔｉｃａｌＳｏｃｉｅｔｙꎬ２０１５ꎬ２３(１):４２－４８.[１７]㊀王明亮ꎬ李志斌ꎬ周宇斌.齐次平衡原则及其应用[Ｊ].兰州大学学报(自然科学版)ꎬ１９９９ꎬ３５(３):８－１６.ＡｎａｌｙｔｉｃａｌＳｏｌｕｔｉｏｎｓｏｆａＣｌａｓｓｏｆＧｅｎｅｒａｌｉｚｅｄＨｉｇｈ￣ｏｒｄｅｒＮｏｎｌｉｎｅａｒＳｃｈｒｏｄｉｎｇｅｒＥｑｕａｔｉｏｎＨＯＮＧＢａｏ￣ｊｉａｎ１ＣＨＥＮＷｅｉ２ＣＨＥＮＹａｎｇ２ＬＩＵＨａｏ￣ｌｉｎ２ＬＩＡＯＫａｉ￣ｘｉｎ２ＺＨＡＮＧＳｈｕ￣ｑｉｎｇ２１.ＤｅｐａｒｔｍｅｎｔｏｆＭａｔｈｅｍａｔｉｃａｌａｎｄＰｈｙｓｉｃａｌＳｃｉｅｎｃｅ ＮａｎｊｉｎｇＩｎｓｔｉｔｕｔｅｏｆＴｅｃｈｎｏｌｏｇｙ２.ＦａｃｕｌｔｙｏｆＥｌｅｃｔｒｉｃＰｏｗｅｒＥｎｇｉｎｅｅｒｉｎｇ ＮａｎｊｉｎｇＩｎｓｔｉｔｕｔｅｏｆＴｅｃｈｎｏｌｏｇｙＡｂｓｔｒａｃｔ Ｏｐｔｉｃａｌｃｏｍｍｕｎｉｃａｔｉｏｎｓｙｓｔｅｍｓｂｙｕｓｉｎｇｏｐｔｉｃａｌｓｏｌｉｔｏｎｓｔｏｔｒａｎｓｍｉｔｉｎｆｏｒｍａｔｉｏｎｈａｖｅｇｒｅａｔａｄｖａｎｔａｇｅｓｉｎｔｈｅｆｉｅｌｄｏｆｎｅｗｇｅｎｅｒａｔｉｏｎｃｏｍｍｕｎｉｃａｔｉｏｎｔｅｃｈｎｏｌｏｇｙ ｅｓｐｅｃｉａｌｌｙｉｎｔｈｅｆｉｅｌｄｏｆｌｏｎｇ￣ｄｉｓｔａｎｃｅａｎｄｌａｒｇｅ￣ｃａｐａｃｉｔｙｔｒａｎｓｍｉｓｓｉｏｎ.Ｔｈｅｒｅｆｏｒｅ ｓｔｕｄｉｅｓｏｆｏｐｔｉｃａｌｓｏｌｉｔｏｎｐｒｏｐａｇａｔｉｏｎｃｈａｒａｃｔｅｒｉｓｔｉｃｓｃａｎｐｒｏｖｉｄｅｐｏｓｉｔｉｖｅｈｅｌｐｆｏｒｅｎｇｉｎｅｅｒｉｎｇａｐｐｌｉｃａｔｉｏｎｓ ｎｏｎｌｉｎｅａｒＳｃｈｒｏｄｉｎｇｅｒｅｑｕａｔｉｏｎｉｓｃｏｎｓｉｄｅｒｅｄｔｏｂｅｔｈｅｍｏｓｔｆａｖｏｒａｂｌｅｍｏｄｅｌｔｏｄｅｓｃｒｉｂｅｔｈｅｐｒｏｐａｇａｔｉｏｎｏｆｏｐｔｉｃａｌｓｏｌｉｔｏｎｓ.Ｈｏｗｅｖｅｒ ｔｈｅｓｔａｎｄａｒｄＳｃｈｒｏｄｉｎｇｅｒｅｑｕａｔｉｏｎＮＬＳ ｉｓｏｂｔａｉｎｅｄｕｎｄｅｒｓｐｅｃｉａｌｃｏｎｄｉｔｉｏｎｏｆｌｏｓｓｌｅｓｓｏｐｔｉｃａｌｆｉｂｅｒ.Ｔｈｅｒｅｆｏｒｅ ｗｈｅｎｄｅｓｃｒｉｂｉｎｇｔｈｅｃｈａｒａｃｔｅｒｉｓｔｉｃｓｏｆｏｐｔｉｃａｌｓｏｌｉｔｏｎｓ ｔｈｅｈｉｇｈｅｒ￣ｏｒｄｅｒｎｏｎｌｉｎｅａｒａｎｄｈｉｇｈｅｒ￣ｏｒｄｅｒｄｉｓｐｅｒｓｉｏｎａｒｅｃｏｎｓｉｄｅｒｅｄ ａｎｄｔｈｅｒｅｓｕｌｔｓａｒｅｏｆｔｅｎｍｏｒｅａｃｃｕｒａｔｅａｎｄｅｆｆｅｃｔｉｖｅｔｈａｎｔｈｅｌｏｗｅｒ￣ｏｒｄｅｒｎｏｎｌｉｎｅａｒｅｑｕａｔｉｏｎｓ.Ｉｎｔｈｉｓｐａｐｅｒ ｗｅｕｓｅｔｒａｖｅｌｉｎｇｗａｖｅｒｅｄｕｃｔｉｏｎｍｅｔｈｏｄｔｏｓｔｕｄｙａｇｅｎｅｒａｌｉｚｅｄＮＬＳｅｑｕａｔｉｏｎｗｉｔｈｈｉｇｈｅｒｏｒｄｅｒｄｉｓｐｅｒｓｉｏｎｔｅｒｍｓ.ＣｏｍｂｉｎｅｄｗｉｔｈｔｈｅＧᶄ/Ｇｅｘｐａｎｓｉｏｎｍｅｔｈｏｄａｎｄｔｈｅａｕｘｉｌｉａｒｙｅｑｕａｔｉｏｎｍｅｔｈｏｄ ｓｅｖｅｒａｌｎｅｗｓｏｌｕｔｉｏｎｓｏｆｔｈｅｅｑｕａｔｉｏｎ ｉｎｃｌｕｄｉｎｇｋｉｎｋａｎｄａｎｔｉ￣ｋｉｎｋｗａｖｅｓｏｌｕｔｉｏｎｓ ｓｉｎｇｕｌａｒｗａｖｅｓｏｌｕｔｉｏｎｓａｎｄｐｅｒｉｏｄｉｃｗａｖｅｓｏｌｕｔｉｏｎｓｏｆｔｒｉｇｏｎｏｍｅｔｒｉｃｆｕｎｃｔｉｏｎｓ ａｒｅｏｂｔａｉｎｅｄｂｙｍｅａｎｓｏｆＭａｔｈｅｍａｔｉｃａｓｏｆｔｗａｒｅ.Ｋｅｙｗｏｒｄｓ ｈｉｇｈ￣ｏｒｄｅｒｎｏｎｌｉｎｅａｒｓｃｈｒｏｄｉｎｇｅｒｅｑｕａｔｉｏｎ ｏｐｔｉｃａｌｆｉｂｅｒｃｏｍｍｕｎｉｃａｔｉｏｎ ｔｒａｖｅｌｉｎｇｗａｖｅｒｅｄｕｃｔｉｏｎｍｅｔｈｏｄ Ｇᶄ/Ｇ￣ｅｘｐａｎｓｉｏｎｍｅｔｈｏｄ ａｕｘｉｌｉａｒｙｅｑｕａｔｉｏｎｍｅｔｈｏｄ４８。
一类非线性偏微分方程(组)的精确解
第２ ０卷第 ２期 ２Ｏ Ｏ２年 ６月
湖北 民族学院学报（ 自然科学版）
Ｊｕ ａ ｏ Ｈ ｂｉ ｎｔｕｅｆ ａｉ ａｉｅ（ ａ ｒｌ ｃ ｎｅＦ ｉｏ ） ｏｒ ｌ ｆ ｕ ｅ Ｉｓｔｔ ｏ Ｎ ｔｎｌｉ Ｎ ｔ ａ Ｓｉ ｃ Ａｔｎ ｎ ｉ ｒ ｏ ｔｓ ｕ ｅ ｉ
（ ）之行 波 解 —ｃ （ （ — ｃ） ｃ ， ， １ ｔ＝ ｕ ｔ ， ， ｃ ） 这里 ｃ ， 为 积分 常数 ． ｃ
２ Ｎ ｎｉｅｒＫｅ ｏ ｌ ａ ｌｉ ｎ ｎ—Ｇ ｒｏ ｏｄ ｎ方 程 的 精 确 解
Ｎ ｎｉｅｒ ｌｉ ｏ ｌ ａ ｅ ｎ Ｋ ｎ—Ｇ ｒｏ 程 为 ： ｏｄｎ方
１ 基 本 方 法 说 明
对方程 ： Ｆ ｕ ｕ ， ｕ ｕ ）＝０ （ ， ｕ ， ， （） １
设其 有 行 波解 ｕ ， ）＝ ｕ ）＝ ｕ —ｃ ）其 中 ｃ为 波速 ， 方程 （ ） （ ｔ （ （ ｔ， 则 １ 可化 为非 线 性 常微 分 方程 ：
Ｆ ｕ ｕ ， （ ， ｕ ）＝ ０ （） ２
ｕ ＝ 一 ｕ ＝பைடு நூலகம்
， ２ 解 一 ａＮ ＋２ ＝ 代 式６ 理 方 （ 之 确 ： ｎ 有 ： ｒ／ Ｂ ±，入 （整 得 程３ 精 解 ＝ ｔＡ ｈ ｕ ） ）
［ （ ］ √ 一） ， ３解一 ｈ １ ±， 式 ）理 方 （之 确 ： ｎ 有 ： １ｃ ＝ 代 （整 得 程 ）精 解 ＝ ａ√ ｒ 入６ ３
ｕ ＝ 一 ｓｅ
√ 忐
．
（） ８
：
３有 解 ： ｒｓ １ａｃｉ — ：± √ 代入式（） ６ 整理 得方 程 （）的精 确 解 ： ３ Ａ ￣ “ ／
，
ｕ
＝ ±
基于改进的Riccati方程展开法求非线性发展方程精确解
赤 峰 学 院 学 报（ 自 然 科 学 版 ） Ｊｏｕｒｎａｌ ｏｆ Ｃｈｉｆｅｎｇ Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ（Ｎａｔｕｒａｌ Ｓｃｉｅｎｃｅ Ｅｄｉｔｉｏｎ）
Ｖｏｌ． ２８ Ｎｏ．１２ Ｄｅｃ ２０１２
基于改进的 Ｒｉｃｃａｔｉ 方程展开法求非线性发展方程精确解
姨 ｕ９（ｘ，ｔ）＝ 姨 姨 姨 ｃ ｋ
３ ２
（１－ｃ）
ｃｏｔ（ １
－
１－ｃ ｃｋ２α
姨α
２
－
１－ｃ ｃｋ２α
ξ）
姨 姨 姨 －
３ ２
姨ｃ ｋ
－
１－ｃ ｃｋ２α
姨α
ｔａｎ（
１ ２
－
１－ｃ ｃｋ２α
ξ）
姨 ｕ１０（ｘ，ｔ）＝－ 姨 姨 姨 ｃ ｋ
３ ２
（１－ｃ）
ｔａｎ（ １
－
１－ｃ ｃｋ２α
姨α
２
－
１－ｃ ｃｋ２α
当 ａ０＝０，ｂ２＝０ 时，得到非线性代数方程组：
姨姨ｂｋａ１－ｂｃｋａ１－２ｂ２ｃｋ３αａ１－ｋｂ１＋ｃｋｂ１＋２ｂｃｋ３αｂ１＋ｂｋａ１２ｂ１－ｋａ１ｂ１２＝０
姨 姨 姨
姨姨６ｂ３ｃｋ３αｂ１－ｂｋｂ１３＝０
姨 姨
姨姨姨姨－ｂｋｂ１＋ｂｃｋｂ１＋８ｂ２ｃｋ３αｂ１－ｂｋａ１ｂ１２－ｋｂ１３＝０
姨 姨
常数）下可化为常微分方程： Ｇ（Ｕ，Ｕξ，Ｕξξ，Ｕξξξ，…）＝０
（２）
假设（２）有形式如的解：
ｍ
ｍ＋１
Σ Σ ｕ（ｘ，ｔ）＝Ｕ（ξ）＝ ａｉｙｉ＋ ｂｊｙ－ｊ
（３）
ｉ＝０
ｊ＝１
其中 ｙ（ξ）满足 Ｒｉｃｃａｔｉ 方程 ｙ＇＝ｂ＋ｙ２