(全国通用)高三数学 第21课时 第三章 数列 数列的有关概念专题复习教案

第21课时：第三章 数列——数列的有关概念 一．课题：数列的有关概念 二．教学目标：理解数列的概念，了解数列通项公式的意义，了解递推公式是给出数列的一种方法，并能根据递推公式写出数列的前几项，理解n a 与n S 的关系，培养观

察能力和化归能力．

三．教学重点：数列通项公式的意义及求法，n a 与n S 的关系及应用． 四．教学过程：

（一）主要知识：

1．数列的有关概念；

2．数列的表示方法：（1）列举法；（2）图象法；（3）解析法；（4）递推法．

3．n a 与n S 的关系：11(1)(2)n n

n S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩． （二）主要方法：

1．给出数列的前几项,求通项时,要对项的特征进行认真的分析、化归；

2．数列前n 项的和n S 和通项n a 是数列中两个重要的量，在运用它们的关系式1n n n a S S -=-时，一定要注意条件2n ≥ ，求通项时一定要验证1a 是否适合．

（三）例题分析：

例1． 求下面各数列的一个通项：

14916(1),,,,24578101113--⨯⨯⨯⨯；

(2)数列的前n 项的和 221n S n n =++；

(3)数列{}n a 的前n 项和r ra S n n (1+=为不等于0,1的常数) ．

解：（1）2

(1)(31)(31)n

n n a n n =--+． （2）当1n =时 114a S ==， 当2n ≥时 1n n n a S S -=-=41n -，显然1a 不适合41n a n =- ∴4

(1)41(2)

n n a n n =⎧=⎨-≥⎩．

（3）由n n ra S +=1可得当2≥n 时111--+=n n ra S ，)(11---=-∴n n n n a a r S S ， ∴1n n n a ra ra -=-，∴1(1),n n a r ra --= ∵1,r ≠ ∴11-=-r r a a n n

，∵0r ≠，

∴{}n a 是公比为1-r r

的等比数列．

又当1=n 时，111ra S +=，∴r a -=11

1，∴1

1()11n n r a r r -=--．

说明：本例关键是利用n S 与n a 的关系进行转化．

例2．根据下面各个数列{}n a 的首项和递推关系，求其通项公式：

（1）==+11,1n a a )(2*

N n n a n ∈+； （2）==+11,1n a a 1+n n

)(*N n a n ∈；

（3）==+11,1n a a 121

+n a )(*N n ∈．

解：（1）n a a n n 21+=+ ，∴12n n a a n +-=，

∴121321()()()n n n a a a a a a a a -=+-+-++-

121222(1)n =+⨯+⨯++⨯-

21(1)1n n n n =+⨯-=-+

（2）11+=+n n a a n n ，∴ 3

2

1121n n n a

a a a a a a a -=⋅⋅=12

1

1

123n n n -⋅⋅=．

又解：由题意，n n na a n =++1)1(对一切自然数n 成立，

∴11(1)11n n na n a a -=-==⋅=，∴1

n a n =．

（3）}2{)2(21

2121

11-∴-=-∴+=++n n n n n a a a a a 是首项为121-=-a

公比为21的等比数列，111121(),2()22

n n n n a a --∴-=-⋅∴=-． 说明：（1）本例复习求通项公式的几种方法：迭加法、迭乘法、构造法；

（2）若数列{}n a 满足n a =1n pa q -+，则数列1n q a p ⎧

⎫-⎨⎬-⎩⎭

是公比为p 的等比数列．

例3．设{}n a 是正数组成的数列，其前n 项和为n S ，并且对所有自然数n ，n a 与2的等差中项等于n S 与2的等比中项，

(1)写出数列{}n a 的前三项；(2)求数列{}n a 的通项公式(写出推证过程)；

(3)令11

1()2n n n n n a a b a a ++=+()n N ∈，求123n b b b b n ++++-． 解：（1）由题意：222n n a S += 0n a >，令1n =，11222

a a +=，解得12a = 令2n =，21222()2

a a a +=+， 解得26a = 令3n =，

312322()2a a a a +=++， 解得310a = ∴该数列的前三项为2,6,10.

（2）∵222n n a S +=，∴21(2)8n n S a =+，由此2111(2)8

n n S a ++=+， ∴221111

[(2)(2)]8n n n n n a S S a a +++=-=+-+，整理得：11()(4)0n n n n a a a a +++--=

由题意：1()0n n a a ++≠，∴140n n a a +--=，即14n n a a +-=， ∴数列{}n a 为等差数列，其中12,a =公差4d =，∴1(1)n a a n d =+-=42n -

（3）14242122()(11)2424222121n n n b n n n n +-=+=++--+-+1112121

n n =+--+ ∴121111113352121n b b b n n n ++

+=+-+-++--+n -1121n -+．