高中数学-直线与平面垂直、平面与平面垂直的性质

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学点二 面面垂直的性质定理应用 如果两个相交平面都垂直于第三个平面，那么它 们的交线垂直于第三个平面.
【分析】欲证线面垂直，可用线线垂直或用
m∥l m⊥γ
l 证明
【解析】已知：
α⊥γ,β⊥γ,α∩β=l.
求证：l⊥γ.
证明：证法一：如图所示在γ内取一点
P，作PA垂直α与γ的交线于A，PB垂直
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学点一 学点二
1.垂直于 同一个 平面的两条直线平行.这个 定理叫做直线与平面垂直的 性质定理 .用符 号表示为：a⊥α,b⊥α a∥b. 2.两个平面垂直，则 一个平面内 垂直于交线的 直线与另一个平面垂直.这个定理叫做平面与平面 垂直的 性质定理 .用符号表示为： α⊥β,α∩β=l;a α,a⊥l，且a∩l=O a⊥β.
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学点一 线面垂直的性质定理应用 如图所示，ABCD为正方形，SA垂直于ABCD所在平面， 过A且垂直于SC的平面分别交SB,SC,SD于E,F,G. 求证：AE⊥SB，AG⊥SD.
【分析】考察线面垂直的性质.
【解析】欲证线线垂直，可证线面垂直. ∵SA⊥平面ABCD，∴SA⊥BC. 又∵AB⊥BC，∴BC⊥平面SAB，
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④用面面垂直的性质定理.如果两个平面垂直,那么在一个
平面内垂直于它们交线的直线必垂直于另一个平面.
⑤作定理用的正确命题.如果一条直线垂直于两个平行平面
中的一个平面,它也垂直于另一个平面.
⑥分析线面关系问题的证明思路应养成“看到结论想判定，
看到条件想性质”的习惯，并结合对图形、模型（自己动
手构造）的深入观察,寻求证题思路.
⑦必要时注意添加辅助平面,从而构成判定定理的条件.
(2)面面垂直的证明方法
①证明两个平面垂直,主要途径是:
一是利用面面垂直的定义,即如果两个相交平面的交线与第
三个平面垂直,又这两个平面与第三个平面相交所得的两条
交线互相垂直,就称这两个平面互相垂直.
二是面面垂直的判定定理,即如果一个平面经过另一个平面
证明：连接AG并延长交BC于D，连接 A′G′并延长交B′C′于D′，连 DD′，由AA′⊥α,BB′⊥α,CC′⊥α, 得AA′∥BB′∥CC′. ∵D,D′分别是BC和B′C′的中点， ∴DD′∥CC′∥BB′,∴DD′∥AA′. ∵G,G′分别是△ABC和△A′B′C′的 重心， ∴ AG AG ，∴GG′∥AA′, ∵AAG′D ⊥GαD, ∴GG′⊥α.
②利用判定定理.一条直线和一个平面内的两条相交直
线都垂直,则该直线与此平面垂直,即
m α, n α
l⊥m, l⊥n
l⊥α.
m∩n=P
简言之,“
.
要证直线l⊥α,只需在α内找两条相交直线m,n,证明
l⊥m,l⊥n,从而可得l⊥α.
③作定理用的推论.如果两条平行线中的一条直线垂直
于一个平面,那么另一条也垂直于这个平面.
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1.在证明两个平面垂直时,一般先从现有直线中寻找平 面的垂线,若这样的直线图形中不存在,则可通过作辅助 线来解决,而作辅助线应有理论依据,并有利于证明,不能 随意添加. 2.面面垂直性质定理是构造线面垂直的重要依据.如有 平面垂直时,一般要用性质定理,在一个平面内作交线的 垂线,使之转化为线面垂直,然后进一步转化为线线垂直. 故要熟练掌握“线线垂直”“线面垂直”“面面垂直” 间的转化条件和转化运用.
的一条垂线,那么这两个平面互相垂直.
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②利用面面垂直的判定定理证明面面垂直时的一般 方法是:先从现有的直线中寻找平面的垂线,若这样的 直线图中存在,则可通过线面垂直来证明面面垂直;若 这样的直线图中不存在,则可通过辅助线来解决,而作 辅助线则应有理论根据并有利于证明,不能随意添加. ③证明两个平面垂直,通常是通过证明线线垂直→线 面垂直→面面垂直来实现的.因此,在关于垂直问题的 论证中要注意线线垂直、线面垂直、面面垂直的相 互转化.每一垂直的判定就是从某一垂直开始转向另 一垂直,最终达到目的,其转化关系如图所示:
证明：作AE⊥SB于E， ∵平面SAB⊥平面SBC， ∴AE⊥平面SBC，AE⊥BC, ∵SA⊥平面ABC，∴SA⊥BC， ∴BC⊥平面SAB，∴AB⊥BC.
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本学案证明题的主要方法有哪些?
(1)线面垂直的判定方法
①利用定义.要证明一条直线a⊥平面α,转化为证明直线
a垂直于平面α内的任何一条直线c.
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3.线线垂直的证明方法主要有: （1）平面几何方法. （2）线面垂直的定义.
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4.C(由于直线与平面的位置不确定,因此要分情况来考虑.若直 线l在平面α内,则在平面α内,可以有无数条直线与直线l垂直,如 图(1);若直线l与平面α平行,则过直线l可以作辅助平面β与平面 α相交,设交线为n,则在平面α内,可以有无数条直线与直线n垂 直,也就有无数条直线与l垂直,如图(2);若直线l与平面α相交,则 过交点在平面α内可以作直线m与l垂直,如图(3).总之在平面α内 必有直线m,使m与l垂直.
∴m∥l,∴l⊥γ.
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【点评】证法一、证法二都是利用“两平面垂直时， 在一个平面内垂直于两平面的交线的直线垂直于另一 个平面”这一性质，添加了在一个平面内垂直于交线 的直线这样的辅助线.这是证法一、证法二的关键.
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如图所示,已知S为△ABC所在 平面外一点，SA⊥平面ABC， 平面SAB⊥平面SBC.求证： AB⊥BC.
β与γ的交线于B，
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则PA⊥α,PB⊥β. ∵l=α∩β,∴l⊥PA,l⊥PB. ∵α与β相交，∴PA与PB相交.
又PAγ,PBγ,∴l⊥γ.
证法二：如图1-10-7所示,在α内作直线m垂直于α 与γ的交线，在β内作直线n垂直于β与γ的交线.
∵α⊥γ,β⊥γ, ∴m⊥γ,n⊥γ,∴m∥n.
又nβ,∴m∥β,
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又∵AE SAB，∴BC⊥AE.
∵SC⊥平面AEFG，∴SC⊥AE. ∴AE⊥平面SBC，∴AE⊥SB. 同理可证AG⊥SD.
【点评】在线线垂直和线面垂直的相互转化中，平面在其 中起到至关重要的作用，应考虑线和线所在的平面特征， 以顺利实现证明需要的转化.
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如图1-9-3所示，设三角形ABC的三个顶点在平面α的同 侧，AA′⊥α于A′,BB′⊥α于B′,CC′⊥α于C′，G， G′分别是△ABC和△A′B′C′的重心.求证：GG′⊥α.
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