材料力学平面图形的几何性质
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Az z A
i i i
A1 z1 A2 z2 12010 560 7010 5 39.7m m A1 A2 A1 A2
z
例：求图示坐标系下图 形的形心
解： 由对称性知：
y0
y 430mm
Az z A
i i i
A1 z1 A2 z2 A1 A2
1.4 0.86 0.7 (0.86 2 0.016)(1.4 0.05 0.016) 0.717 A1 A2 0.51m m
A.2
1.惯性矩与惯性半径 （1）惯性矩
惯性矩与惯性积
z z dA
微面积dA对轴z的惯性矩
dI z y dA
2
O
y
y
整个平面图形对轴Z的惯性矩
⒉ 静矩有正、负之分,也可为零；
⒊ 静矩是对某一坐标轴而言 ,同一图形对不
同坐标轴的静矩不同。
2. 形心-图形的几何中心
理力：均质薄板重心的计算公式
y
A
ydA A
zdA z
A
A
此即，平面图形形心的计算公式 若引入静矩，则
s y z A
z
sy A
或
sz Ay
s y Az
sz 0 y 0
I y矩
I y圆
2d d 3 1 4 d 12 6
1 d 4 64
1 4 4 Iy d 2 d 6 64 1 4 4 d d 6 32
图形对y轴的惯性矩
I z y dA
2 A
单位：长度4
I y z dA
2 A
（2）惯性半径 工程中，常把惯性矩表示为平面图形的面积与 某一长度平方的乘积, 即
I z Ai
2 z
iz
或
Iz A Iy A
-图形对z轴的惯性半径
-图形对y轴的惯性半径
2 I y Aiy
iy
惯性半径的单位：m,cm,mm
（3）极惯性矩
微面积dA对原点O的极惯性矩
z dA z
2
dI p d A
平面图形对原点O的极惯性矩
ρ
y
y
I p A d A
2
O
极惯性矩与惯性矩的关系
2 y2 z2
平面图形对任意一对互相垂 直轴的惯性矩之和，等于它对
I P y 2dA z 2dA I y I z
3、组合图形的惯性矩和惯性积 （1）组合图形对某坐标轴的惯性矩等于各简单 图形对同一坐标轴惯性矩的和；
（2）组合图形对某对正交坐标轴的惯性积等于
各简单图形对同一对坐标轴惯性矩的代数和。
1 Iz I y D4 64
1 IP I z I y D4 32
例4 求图示圆环关于y,z轴的惯性矩。
1 1 4 Iz I y D d 4 64 64
1 D 4 (1 4 ) 64
d 其中, D
1 1 4 IP D d 4 32 32
1 D 4 (1 4 ) 32
例：求图示阴影部分的 Iy
解： I y I y矩 2 I y圆
附录：平面图形的几 何性质
目 录
§A.1 §A.2 §A.3 静矩和形心 惯性矩及惯性积 平行移轴定理
A.1
1. 静矩 (面积矩)
静矩与形心
微面积dA对轴z的静矩
dsz y dA
整个图形对轴z的静矩：
sz ydA
A
图形对y轴的静矩
s y zdA
A
sz ydA
A
讨论: ⒈ 单位：长度3；
则z轴过形心
推 论
sz y A
z
sy A
1、若平面图形对某一坐标轴的静矩等于零，则该 坐标轴必通过图形的形心。 2、若某轴过形心，则图形对该轴的静矩等于零， 综上可知：坐标轴过形心 <==> S该轴=0
3.规则图形的形心: (1) 具有一个对称轴的图形,形心必在对称轴上。 (2) 具有两个对称轴的图形,对称轴的交点即为形心；
1 Iz I y D4 64
2、惯性积
微面积dA对y,z轴的极惯性矩
z
z
dA
dI yz yz d A
平面图形对y,z轴的极惯性矩
I yz yz d A
A
O
y
y
特点:
(1) 惯性积的量纲为长度的四次方， 单位为m4 、 cm4 、 mm4. (2) 其值可正、可负，可为零。 (3) 坐标轴有一个是图形的对称轴， 则惯性积的值为零。
4 s y bh 2 15
y2 2 A dA h(1 2 )dy bh b 3 A 0
b
sz 3 y b A 8 sy 2 z h A 5
3. 组合图形的静矩和形心
（1）静矩：
组合图形对于某一轴的静矩等于各组 成部分对同一轴静矩的代数和
s z Ai yi
求极惯性矩
例：已知：如图，求： Iy 、 Iz 、 IP 解：dI y z 2 dA z 2 2 R2 z 2 dz
I y 2
D/2
D/ 2
z 2 R 2 z 2 dz
1 Dຫໍສະໝຸດ Baidu 64
1 I P I z I y D 4 32
由对称性可知：
i 1 n
Ⅰ
Ⅱ
s y Ai zi
i 1
n
（2）形心：
Ay y A
i i i
Ⅰ
Az z A
i i i
Ⅱ
例 求图示图形的形心 解： 建立参考坐标系
Ay y A
i i i
A1 y1 A2 y2 A1 A2
120 10 5 70 10 45 19.7mm 120 10 70 10
b/3
(a)
(b)
(c)
a/3
(d)
y2 例:已知:如图，抛物线方程：z h(1 2 ) b
求：sy，sz，形心坐标 解： 求sz
y2 dsz ydA y h(1 2 )dy b b y2 1 2 sz yh(1 2 )dy b h b 4 0
形心坐标
类似地可求：
A A
轴交点的极惯性矩。
z
例3 求所示图形关于y,z轴的惯性矩。 解：
dz
z
dI y z dA z bdz
2 2
3 bh I y bz 2 dz h / 2 12 h/2
h
O
y
类似地，可以证明
3 hb 2 I z y dA A 12
b
对于高为h，宽为b的 平行四边形，公式仍 然成立。
i i i
A1 z1 A2 z2 12010 560 7010 5 39.7m m A1 A2 A1 A2
z
例：求图示坐标系下图 形的形心
解： 由对称性知：
y0
y 430mm
Az z A
i i i
A1 z1 A2 z2 A1 A2
1.4 0.86 0.7 (0.86 2 0.016)(1.4 0.05 0.016) 0.717 A1 A2 0.51m m
A.2
1.惯性矩与惯性半径 （1）惯性矩
惯性矩与惯性积
z z dA
微面积dA对轴z的惯性矩
dI z y dA
2
O
y
y
整个平面图形对轴Z的惯性矩
⒉ 静矩有正、负之分,也可为零；
⒊ 静矩是对某一坐标轴而言 ,同一图形对不
同坐标轴的静矩不同。
2. 形心-图形的几何中心
理力：均质薄板重心的计算公式
y
A
ydA A
zdA z
A
A
此即，平面图形形心的计算公式 若引入静矩，则
s y z A
z
sy A
或
sz Ay
s y Az
sz 0 y 0
I y矩
I y圆
2d d 3 1 4 d 12 6
1 d 4 64
1 4 4 Iy d 2 d 6 64 1 4 4 d d 6 32
图形对y轴的惯性矩
I z y dA
2 A
单位：长度4
I y z dA
2 A
（2）惯性半径 工程中，常把惯性矩表示为平面图形的面积与 某一长度平方的乘积, 即
I z Ai
2 z
iz
或
Iz A Iy A
-图形对z轴的惯性半径
-图形对y轴的惯性半径
2 I y Aiy
iy
惯性半径的单位：m,cm,mm
（3）极惯性矩
微面积dA对原点O的极惯性矩
z dA z
2
dI p d A
平面图形对原点O的极惯性矩
ρ
y
y
I p A d A
2
O
极惯性矩与惯性矩的关系
2 y2 z2
平面图形对任意一对互相垂 直轴的惯性矩之和，等于它对
I P y 2dA z 2dA I y I z
3、组合图形的惯性矩和惯性积 （1）组合图形对某坐标轴的惯性矩等于各简单 图形对同一坐标轴惯性矩的和；
（2）组合图形对某对正交坐标轴的惯性积等于
各简单图形对同一对坐标轴惯性矩的代数和。
1 Iz I y D4 64
1 IP I z I y D4 32
例4 求图示圆环关于y,z轴的惯性矩。
1 1 4 Iz I y D d 4 64 64
1 D 4 (1 4 ) 64
d 其中, D
1 1 4 IP D d 4 32 32
1 D 4 (1 4 ) 32
例：求图示阴影部分的 Iy
解： I y I y矩 2 I y圆
附录：平面图形的几 何性质
目 录
§A.1 §A.2 §A.3 静矩和形心 惯性矩及惯性积 平行移轴定理
A.1
1. 静矩 (面积矩)
静矩与形心
微面积dA对轴z的静矩
dsz y dA
整个图形对轴z的静矩：
sz ydA
A
图形对y轴的静矩
s y zdA
A
sz ydA
A
讨论: ⒈ 单位：长度3；
则z轴过形心
推 论
sz y A
z
sy A
1、若平面图形对某一坐标轴的静矩等于零，则该 坐标轴必通过图形的形心。 2、若某轴过形心，则图形对该轴的静矩等于零， 综上可知：坐标轴过形心 <==> S该轴=0
3.规则图形的形心: (1) 具有一个对称轴的图形,形心必在对称轴上。 (2) 具有两个对称轴的图形,对称轴的交点即为形心；
1 Iz I y D4 64
2、惯性积
微面积dA对y,z轴的极惯性矩
z
z
dA
dI yz yz d A
平面图形对y,z轴的极惯性矩
I yz yz d A
A
O
y
y
特点:
(1) 惯性积的量纲为长度的四次方， 单位为m4 、 cm4 、 mm4. (2) 其值可正、可负，可为零。 (3) 坐标轴有一个是图形的对称轴， 则惯性积的值为零。
4 s y bh 2 15
y2 2 A dA h(1 2 )dy bh b 3 A 0
b
sz 3 y b A 8 sy 2 z h A 5
3. 组合图形的静矩和形心
（1）静矩：
组合图形对于某一轴的静矩等于各组 成部分对同一轴静矩的代数和
s z Ai yi
求极惯性矩
例：已知：如图，求： Iy 、 Iz 、 IP 解：dI y z 2 dA z 2 2 R2 z 2 dz
I y 2
D/2
D/ 2
z 2 R 2 z 2 dz
1 Dຫໍສະໝຸດ Baidu 64
1 I P I z I y D 4 32
由对称性可知：
i 1 n
Ⅰ
Ⅱ
s y Ai zi
i 1
n
（2）形心：
Ay y A
i i i
Ⅰ
Az z A
i i i
Ⅱ
例 求图示图形的形心 解： 建立参考坐标系
Ay y A
i i i
A1 y1 A2 y2 A1 A2
120 10 5 70 10 45 19.7mm 120 10 70 10
b/3
(a)
(b)
(c)
a/3
(d)
y2 例:已知:如图，抛物线方程：z h(1 2 ) b
求：sy，sz，形心坐标 解： 求sz
y2 dsz ydA y h(1 2 )dy b b y2 1 2 sz yh(1 2 )dy b h b 4 0
形心坐标
类似地可求：
A A
轴交点的极惯性矩。
z
例3 求所示图形关于y,z轴的惯性矩。 解：
dz
z
dI y z dA z bdz
2 2
3 bh I y bz 2 dz h / 2 12 h/2
h
O
y
类似地，可以证明
3 hb 2 I z y dA A 12
b
对于高为h，宽为b的 平行四边形，公式仍 然成立。