2017年中考数学《压轴题》专题训练含答案解析
2017年天津市中考数学试卷压轴题
2017年天津市中考数学试卷压轴题10．(2017﹒天津)已知抛物线y＝x2－4x＋3与x轴相交于点A,B(点A在点B左侧),顶点为M．平移该抛物线,使点M平移后的对应点M'落在x轴上,点B平移后的对应点B'落在y轴上,则平移后的抛物线解析式为()A．y＝x2＋2x＋1 B．y＝x2＋2x－1 C．y＝x2－2x＋1 D．y＝x2－2x－118．(2017﹒天津)如图,在每个小正方形的边长为1的网格中,点A,B,C均在格点上．(1)AB的长等于________；(2)在△ABC的内部有一点P,满足S△P AB：S△PBC：S△PCA＝1：2：3,请在如图所示的网格中,用无刻度的直尺,画出点P,并简要说明点P的位置是如何找到的(不要求证明)________．24．(2017﹒天津)将一个直角三角形纸片ABO放置在平面直角坐标系中,点A( 3,0),点B(0,1),点O(0,0)．P 是边AB上的一点(点P不与点A,B重合),沿着OP折叠该纸片,得点A的对应点A'．(1)如图①,当点A'在第一象限,且满足A'B⊥OB时,求点A'的坐标；(2)如图②,当P为AB中点时,求A'B的长；(3)当∠BP A'＝30°时,求点P的坐标(直接写出结果即可)．25．(2017﹒天津)已知抛物线y＝x2＋bx－3(b是常数)经过点A(－1,0)．(1)求该抛物线的解析式和顶点坐标；(2)P(m,t)为抛物线上的一个动点,P关于原点的对称点为P'．①当点P'落在该抛物线上时,求m的值；②当点P'落在第二象限内,P'A2取得最小值时,求m的值．2017年天津市中考数学试卷压轴题参考答案10．(2017﹒天津)已知抛物线y＝x2－4x＋3与x轴相交于点A,B(点A在点B左侧),顶点为M．平移该抛物线,使点M平移后的对应点M'落在x轴上,点B平移后的对应点B'落在y轴上,则平移后的抛物线解析式为()A．y＝x2＋2x＋1 B．y＝x2＋2x－1 C．y＝x2－2x＋1 D．y＝x2－2x－1解：当y＝0,则0＝x2－4x＋3,(x－1)(x－3)＝0,解得：x1＝1,x2＝3,∴A(1,0),B(3,0),y＝x2－4x＋3＝(x－2)2－1,∴M点坐标为：(2,－1),∵平移该抛物线,使点M平移后的对应点M'落在x轴上,点B平移后的对应点B'落在y轴上,∴抛物线向上平移一个单位长度,再向左平移3个单位长度即可,∴平移后的解析式为：y＝(x＋1)2＝x2＋2x＋1．选A．18．(2017﹒天津)如图,在每个小正方形的边长为1的网格中,点A,B,C均在格点上．(1)AB的长等于________；(2)在△ABC的内部有一点P,满足S△P AB：S△PBC：S△PCA＝1：2：3,请在如图所示的网格中,用无刻度的直尺,画出点P,并简要说明点P的位置是如何找到的(不要求证明)________．解：(1)AB＝12＋42＝17．故答案为17．(2)如图AC与网格相交,得到点D、E,取格点F,连接FB并且延长,与网格相交,得到M,N,G．连接DN,EM,DG,DN与EM相交于点P,点P即为所求．理由：平行四边形ABME 的面积：平行四边形CDNB 的面积：平行四边形DEMG 的面积＝1：2：3,△P AB 的面积＝12平行四边形ABME 的面积,△PBC 的面积＝12平行四边形CDNB 的面积,△P AC 的面积＝△PNG 的面积＝12△DGN 的面积＝12平行四边形DEMG 的面积, ∴S △P AB ：S △PBC ：S △PCA ＝1：2：3．24．(2017﹒天津)将一个直角三角形纸片ABO 放置在平面直角坐标系中,点A ( 3,0),点B (0,1),点O (0,0)．P 是边AB 上的一点(点P 不与点A ,B 重合),沿着OP 折叠该纸片,得点A 的对应点A '．(1)如图①,当点A '在第一象限,且满足A 'B ⊥OB 时,求点A '的坐标；(2)如图②,当P 为AB 中点时,求A 'B 的长；(3)当∠BP A '＝30°时,求点P 的坐标(直接写出结果即可)．解：(1)∵点A (3,0),点B (0,1),∴OA ＝3,OB ＝1,由折叠的性质得：OA '＝OA ＝3,∵A 'B ⊥OB ,∴∠A 'BO ＝90°,在Rt △A 'OB 中,A 'B ＝OA ′2－OB 2＝2,∴点A '的坐标为(2,1)；(2)在Rt △ABO 中,OA ＝3,OB ＝1,∴AB ＝OA 2＋OB 2＝2,∵P 是AB 的中点,∴AP ＝BP ＝1,OP ＝12AB ＝1, ∴OB ＝OP ＝BP∴△BOP 是等边三角形,∴∠BOP ＝∠BPO ＝60°,∴∠OP A ＝180°－∠BPO ＝120°,由折叠的性质得：∠OP A '＝∠OP A ＝120°,P A '＝P A ＝1,∴∠BOP ＋∠OP A '＝180°,∴OB ∥P A ',又∵OB ＝P A '＝1,∴四边形OP A 'B 是平行四边形,∴A 'B ＝OP ＝1；(3)设P (x ,y ),分两种情况：①如图③所示：点A '在y 轴上,在△OP A '和△OP A 中,⎩⎪⎨⎪⎧OA ′＝OAP A ′＝P A OP ＝OP, ∴△OP A '≌△OP A (SSS ),∴∠A 'OP ＝∠AOP ＝12∠AOB ＝45°, ∴点P 在∠AOB 的平分线上,设直线AB 的解析式为y ＝kx ＋b ,把点A (3,0),点B (0,1)代入得：⎩⎨⎧3k ＋b ＝0b ＝1, 解得：⎩⎪⎨⎪⎧k ＝－33b ＝1, ∴直线AB 的解析式为y ＝－33x ＋1, ∵P (x ,y ),∴x ＝－33x ＋1, 解得：x ＝3－32, ∴P ⎛⎪⎫3－3,3－3；②如图④所示：由折叠的性质得：∠A '＝∠A ＝30°,OA '＝OA ,∵∠BP A '＝30°,∴∠A '＝∠A ＝∠BP A ',∴OA '∥AP ,P A '∥OA ,∴四边形OAP A '是菱形,∴P A ＝OA ＝3,作PM ⊥OA 于M ,如图④所示：∵∠A ＝30°,∴PM ＝12P A ＝32, 把y ＝32代入y ＝－33x ＋1得：32＝－33x ＋1, 解得：x ＝23－32, ∴P ⎝ ⎛⎭⎪⎫23－32,32；综上所述：当∠BP A '＝30°时,点P 的坐标为⎝⎛⎭⎪⎫3－32,3－32或⎝ ⎛⎭⎪⎫23－32,32．25．(2017﹒天津)已知抛物线y ＝x 2＋bx －3(b 是常数)经过点A (－1,0)．(1)求该抛物线的解析式和顶点坐标；(2)P (m ,t )为抛物线上的一个动点,P 关于原点的对称点为P '．①当点P '落在该抛物线上时,求m 的值；②当点P '落在第二象限内,P 'A 2取得最小值时,求m 的值．解：(1)∵抛物线y ＝x 2＋bx －3经过点A (－1,0),∴0＝1－b －3,解得b ＝－2,∴抛物线解析式为y ＝x 2－2x －3,∵y ＝x 2－2x －3＝(x －1)2－4,∴抛物线顶点坐标为(1,－4)；(2)①由P (m ,t )在抛物线上可得t ＝m 2－2m －3,∵点P ′与P 关于原点对称,∴P ′(－m ,－t ),∵点P ′落在抛物线上,∴－t ＝(－m )2－2(－m )－3,即t ＝－m 2－2m ＋3, ∴m 2－2m －3＝－m 2－2m ＋3,解得m ＝3或m ＝－3；∴－m ＜0,－t ＞0,即m ＞0,t ＜0,∵抛物线的顶点坐标为(1,－4),∴－4≤t ＜0,∵P 在抛物线上,∴t ＝m 2－2m －3,∴m 2－2m ＝t ＋3,∵A (－1,0),P ′(－m ,－t ),∴P ′A 2＝(－m ＋1)2＋(－t )2＝m 2－2m ＋1＋t 2＝t 2＋t ＋4＝⎝⎛⎭⎫t ＋122＋154； ∴当t ＝－12时,P ′A 2有最小值, ∴－12＝m 2－2m －3,解得m ＝2－142或m ＝2＋142, ∵m ＞0,∴m ＝2－142不合题意,舍去, ∴m 的值为2+142．。
2017年河北省中考数学压轴试卷及解析答案word版(一)
2017年河北省中考数学压轴试卷（一）一、选择题（本大题共16个小题，1-10小题，每小题3分，11-16小题，每小题3分，共42分.在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的，请把正确的答案涂在答题卡上.1．（3分）﹣3的相反数是（）A．3 B．﹣3 C．D．﹣2．（3分）如图，数轴上的A、B、C、D四点中，与数﹣表示的点最接近的是（）A．点A B．点B C．点C D．点D3．（3分）下列运算正确的是（）A．a2⋅a3=a6 B．（a2）3=a6C．（﹣ab2）6=a6b6D．（a+b）2=a2+b24．（3分）下列图形中，不是中心对称图形的是（）A． B．C． D．5．（3分）的算术平方根是（）A．2 B．±2 C．D．±6．（3分）要使分式有意义，则x的取值应满足（）A．x=﹣2 B．x≠2 C．x＞﹣2 D．x≠﹣27．（3分）在某校“我的中国梦”演讲比赛中，有9名学生参加比赛，他们决赛的最终成绩各不相同，其中的一名学生要想知道自己能否进入前5名，不仅要了解自己的成绩，还要了解这9名学生成绩的（）A．众数B．方差C．平均数D．中位数8．（3分）将一张长与宽的比为2：1的长方形纸片按如图①、②所示的方式对折，然后沿图③中的虚线裁剪，得到图④，最后将图④的纸片再展开铺平，则所得到的图案是（）A．B．C．D．9．（3分）如图几何体的俯视图是（）A．B．C．D．10．（3分）下列等式从左到右的变形，属于因式分解的是（）A．a（x﹣y）=ax﹣ay B．x2+2x+1=x（x+2）+1C．（x+1）（x+3）=x2+4x+3 D．x3﹣x=x（x+1）（x﹣1）11．（2分）△ABC与△A′B′C′是位似图形，且△ABC与△A′B′C′的位似比是1：2，已知△ABC的面积是3，则△A′B′C′的面积是（）A．3 B．6 C．9 D．1212．（2分）解分式方程+=3时，去分母后变形正确的是（）A．2+（x+2）=3（x﹣1）B．2﹣x+2=3（x﹣1）C．2﹣（x+2）=3 D．2﹣（x+2）=3（x﹣1）13．（2分）将直角三角尺的直角顶点靠在直尺上，且斜边与这根直尺平行，那么，在形成的这个图中与∠α互余的角共有（）A．4个 B．3个 C．2个 D．1个14．（2分）如图，点A是反比例函数y=（x＜0）的图象上的一点，过点A作平行四边形ABCD，使点B、C在x轴上，点D在y轴上．已知平行四边形ABCD 的面积为6，则k的值为（）A．6 B．﹣6 C．3 D．﹣315．（2分）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，则下列结论正确的是（）A．OE=BE B．=C．△BOC是等边三角形D．四边形ODBC是菱形16．（2分）小明去爬山，在山脚看山顶角度为30°，小明在坡比为5：12的山坡上走1300米，此时小明看山顶的角度为60°，求山高（）A．600﹣250米B．600﹣250米C．350+350米D．500米二、填空题（本大题共4个小题，每小题3分，共12分.把答案写在题中的横线上）17．（3分）若|a|=20160，则a=．18．（3分）如图，在△ABC中，CA=CB，∠ACB=90°，AB=2，点D为AB的中点，以点D为圆心作圆心角为90°的扇形DEF，点C恰在弧EF上，则图中阴影部分的面积为．19．（3分）在数轴上，点A表示1，现将点A沿x轴做如下移动，第一次点A 向左移动3个单位长度到达点A1，第二次将点A1向右移动6个单位长度到达点A2，第三次将点A2向左移动9个单位长度到达点A3，则A3表示的数是按照这种移动规律移动下去，第n次移动到点A N，如果点A N与原点的距离不小于20，那么n的最小值是．三、解答题（本大题6个小题，共66分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）20．（9分）计算：（﹣2015）0+|1﹣|﹣2cos45°++（﹣）﹣2．21．（9分）先化简，再求值：，其中x=+1．22．（10分）为了解今年初四学生的数学学习情况，某校在第一轮模拟测试后，对初四全体同学的数学成绩作了统计分析，绘制如下图表：请结合图表所给出的信息解答系列问题：（1）该校初四学生共有多少人？（2）求表中a，b，c的值，并补全条形统计图．（3）初四（一）班数学老师准备从成绩优秀的甲、乙、丙、丁四名同学中任意抽取两名同学做学习经验介绍，求恰好选中甲、乙两位同学的概率．23．（9分）我市某蔬菜生产基地用装有恒温系统的大棚栽培一种适宜生长温度为15﹣20℃的新品种，如图是某天恒温系统从开启到关闭及关闭后，大棚里温度y（℃）随时间x（h）变化的函数图象，其中AB段是恒温阶段，BC段是双曲线y=的一部分，请根据图中信息解答下列问题：（1）求k的值；（2）恒温系统在一天内保持大棚里温度在15℃及15℃以上的时间有多少小时？24．（10分）已知一次函数y=﹣x+6的图象与坐标轴交于A、B点（如图），AE 平分∠BAO，交x轴于点E．（1）求点B的坐标；（2）求直线AE的表达式；（3）过点B作BF⊥AE，垂足为F，连接OF，试判断△OFB的形状，并求△OFB 的面积．25．（10分）如图，已知直线l与⊙O相离，OA⊥l于点A，OA=5．OA与⊙O相交于点P，AB与⊙O相切于点B，BP的延长线交直线l于点C．（1）试判断线段AB与AC的数量关系，并说明理由；（2）若PC=2，求⊙O的半径和线段PB的长；（3）若在⊙O上存在点Q，使△QAC是以AC为底边的等腰三角形，求⊙O的半径r的取值范围．26．（12分）抛物线y=x2+bx+c与x轴交于A、B两点，B点坐标为（3，0），与y轴交于点C（0，﹣3）（1）求抛物线的解析式；（2）点P在抛物线位于第四象限的部分上运动，当四边形ABPC的面积最大时，求点P的坐标（3）直线l经过A、C两点，点Q在抛物线位于y轴左侧的部分上运动，直线m 经过点B和点Q，是否存在直线m，使得直线l、m与x轴围成的三角形和直线l、m与y轴围成的三角形相似？若存在，求出直线m的解析式，若不存在，请说明理由．2017年河北省中考数学压轴试卷（一）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共16个小题，1-10小题，每小题3分，11-16小题，每小题3分，共42分.在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的，请把正确的答案涂在答题卡上.1．（3分）﹣3的相反数是（）A．3 B．﹣3 C．D．﹣【解答】解：﹣3的相反数是3，故选：A．2．（3分）如图，数轴上的A、B、C、D四点中，与数﹣表示的点最接近的是（）A．点A B．点B C．点C D．点D【解答】解：∵≈1.732，∴﹣≈﹣1.732，∵点A、B、C、D表示的数分别为﹣3、﹣2、﹣1、2，∴与数﹣表示的点最接近的是点B．故选：B．3．（3分）下列运算正确的是（）A．a2⋅a3=a6 B．（a2）3=a6C．（﹣ab2）6=a6b6D．（a+b）2=a2+b2【解答】解：A、同底数幂的乘法底数不变值数相加，故A错误；B、幂的乘方底数不变指数相乘，故B正确；C、积的乘方等于乘方的积，故C错误；D、和的平方等于平方和加积的二倍，故D错误；故选：B．4．（3分）下列图形中，不是中心对称图形的是（）A． B．C． D．【解答】解：A、是中心对称图形，故本选项不符合题意；B、不是中心对称图形，故本选项符合题意；C、是中心对称图形，故本选项不符合题意；D、是中心对称图形，故本选项不符合题意．故选B．5．（3分）的算术平方根是（）A．2 B．±2 C．D．±【解答】解：∵=2，而2的算术平方根是，∴的算术平方根是，故选：C．6．（3分）要使分式有意义，则x的取值应满足（）A．x=﹣2 B．x≠2 C．x＞﹣2 D．x≠﹣2【解答】解：∵分式有意义，∴x+2≠0，∴x≠﹣2，即x的取值应满足：x≠﹣2．故选：D．7．（3分）在某校“我的中国梦”演讲比赛中，有9名学生参加比赛，他们决赛的最终成绩各不相同，其中的一名学生要想知道自己能否进入前5名，不仅要了解自己的成绩，还要了解这9名学生成绩的（）A．众数B．方差C．平均数D．中位数【解答】解：由于总共有9个人，且他们的分数互不相同，第5的成绩是中位数，要判断是否进入前5名，故应知道中位数的多少．故选：D．8．（3分）将一张长与宽的比为2：1的长方形纸片按如图①、②所示的方式对折，然后沿图③中的虚线裁剪，得到图④，最后将图④的纸片再展开铺平，则所得到的图案是（）A．B．C．D．【解答】解：严格按照图中的顺序向右翻折，向右上角翻折，剪去右上角，展开得到结论．故选A．9．（3分）如图几何体的俯视图是（）A．B．C．D．【解答】解：该几何体的俯视图为，故选D10．（3分）下列等式从左到右的变形，属于因式分解的是（）A．a（x﹣y）=ax﹣ay B．x2+2x+1=x（x+2）+1C．（x+1）（x+3）=x2+4x+3 D．x3﹣x=x（x+1）（x﹣1）【解答】解：A、右边不是整式积的形式，不是因式分解，故本选项错误；B、右边不是整式积的形式，不是因式分解，故本选项错误；C、右边不是整式积的形式，不是因式分解，故本选项错误；D、符合因式分解的定义，故本选项正确；故选：D．11．（2分）△ABC与△A′B′C′是位似图形，且△ABC与△A′B′C′的位似比是1：2，已知△ABC的面积是3，则△A′B′C′的面积是（）A．3 B．6 C．9 D．12【解答】解：∵△ABC与△A′B′C′是位似图形，且△ABC与△A′B′C′的位似比是1：2，△ABC的面积是3，∴△ABC与△A′B′C′的面积比为：1：4，则△A′B′C′的面积是：12．故选：D．12．（2分）解分式方程+=3时，去分母后变形正确的是（）A．2+（x+2）=3（x﹣1）B．2﹣x+2=3（x﹣1）C．2﹣（x+2）=3 D．2﹣（x+2）=3（x﹣1）【解答】解：方程变形得：﹣=3，去分母得：2﹣（x+2）=3（x﹣1），故选D13．（2分）将直角三角尺的直角顶点靠在直尺上，且斜边与这根直尺平行，那么，在形成的这个图中与∠α互余的角共有（）A．4个 B．3个 C．2个 D．1个【解答】解：∵斜边与这根直尺平行，∴∠α=∠2，又∵∠1+∠2=90°，∴∠1+∠α=90°，又∠α+∠3=90°∴与α互余的角为∠1和∠3．故选：C．14．（2分）如图，点A是反比例函数y=（x＜0）的图象上的一点，过点A作平行四边形ABCD，使点B、C在x轴上，点D在y轴上．已知平行四边形ABCD 的面积为6，则k的值为（）A．6 B．﹣6 C．3 D．﹣3【解答】解：作AE⊥BC于E，如图，∵四边形ABCD为平行四边形，∴AD∥x轴，∴四边形ADOE为矩形，∴S=S矩形ADOE，平行四边形ABCD=|﹣k|，而S矩形ADOE∴|﹣k|=6，而k＜0，即k＜0，∴k=﹣6．故选B．15．（2分）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，则下列结论正确的是（）A．OE=BE B．=C．△BOC是等边三角形D．四边形ODBC是菱形【解答】解：∵AB⊥CD，AB过O，∴DE=CE，=，根据已知不能推出OE=BE，△BOC是等边三角形，四边形ODBC是菱形．故选：B．16．（2分）小明去爬山，在山脚看山顶角度为30°，小明在坡比为5：12的山坡上走1300米，此时小明看山顶的角度为60°，求山高（）A．600﹣250米B．600﹣250米C．350+350米D．500米【解答】解：∵BE：AE=5：12，=13，∴BE：AE：AB=5：12：13，∵AB=1300米，∴AE=1200米，BE=500米，设EC=x米，∵∠DBF=60°，∴DF=x米．又∵∠DAC=30°，∴AC=CD．即：1200+x=（500+x），解得x=600﹣250．∴DF=x=600﹣750，∴CD=DF+CF=600﹣250（米）．答：山高CD为（600﹣250）米．故选：B．二、填空题（本大题共4个小题，每小题3分，共12分.把答案写在题中的横线上）17．（3分）若|a|=20160，则a=±1．【解答】∵|a|=20160，∴|a|=1，∴a=±1．故答案为：±1．18．（3分）如图，在△ABC中，CA=CB，∠ACB=90°，AB=2，点D为AB的中点，以点D为圆心作圆心角为90°的扇形DEF，点C恰在弧EF上，则图中阴影部分的面积为﹣．【解答】解：连接CD，作DM⊥BC，DN⊥AC．∵CA=CB，∠ACB=90°，点D为AB的中点，∴DC=AB=1，四边形DMCN是正方形，DM=．则扇形FDE的面积是：=．∵CA=CB，∠ACB=90°，点D为AB的中点，∴CD平分∠BCA，又∵DM⊥BC，DN⊥AC，∴DM=DN，∵∠GDH=∠MDN=90°，∴∠GDM=∠HDN，在△DMG和△DNH中，，∴△DMG≌△DNH（AAS），∴S=S四边形DMCN=．四边形DGCH则阴影部分的面积是：﹣．故答案为﹣．19．（3分）在数轴上，点A表示1，现将点A沿x轴做如下移动，第一次点A 向左移动3个单位长度到达点A1，第二次将点A1向右移动6个单位长度到达点A2，第三次将点A2向左移动9个单位长度到达点A3，则A3表示的数是﹣5按照这种移动规律移动下去，第n次移动到点A N，如果点A N与原点的距离不小于20，那么n的最小值是13．【解答】解：第一次点A向左移动3个单位长度至点A1，则A1表示的数，1﹣3=﹣2；第2次从点A1向右移动6个单位长度至点A2，则A2表示的数为﹣2+6=4；第3次从点A2向左移动9个单位长度至点A3，则A3表示的数为4﹣9=﹣5；第4次从点A3向右移动12个单位长度至点A4，则A4表示的数为﹣5+12=7；第5次从点A4向左移动15个单位长度至点A5，则A5表示的数为7﹣15=﹣8；…；则A7表示的数为﹣8﹣3=﹣11，A9表示的数为﹣11﹣3=﹣14，A11表示的数为﹣14﹣3=﹣17，A13表示的数为﹣17﹣3=﹣20，A6表示的数为7+3=10，A8表示的数为10+3=13，A10表示的数为13+3=16，A12表示的数为16+3=19，所以点A N与原点的距离不小于20，那么n的最小值是13，故答案为：﹣5，13．三、解答题（本大题6个小题，共66分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）20．（9分）计算：（﹣2015）0+|1﹣|﹣2cos45°++（﹣）﹣2．【解答】解：原式=1+﹣1﹣2×+2+9=2+9．21．（9分）先化简，再求值：，其中x=+1．【解答】解：∵x=+1，∴x=3+1=4，原式=×=，当x=4时，原式==2．22．（10分）为了解今年初四学生的数学学习情况，某校在第一轮模拟测试后，对初四全体同学的数学成绩作了统计分析，绘制如下图表：请结合图表所给出的信息解答系列问题：（1）该校初四学生共有多少人？（2）求表中a，b，c的值，并补全条形统计图．（3）初四（一）班数学老师准备从成绩优秀的甲、乙、丙、丁四名同学中任意抽取两名同学做学习经验介绍，求恰好选中甲、乙两位同学的概率．【解答】解：（1）由题意可得：该校初四学生共有：105÷0.35=300（人），答：该校初四学生共有300人；（2）由（1）得：a=300×0.3=90（人），b==0.15，c==0.2；如图所示；（3）画树形图得：∴一共有12种情况，抽取到甲和乙的有2种，∴P（抽到甲和乙）==．23．（9分）我市某蔬菜生产基地用装有恒温系统的大棚栽培一种适宜生长温度为15﹣20℃的新品种，如图是某天恒温系统从开启到关闭及关闭后，大棚里温度y（℃）随时间x（h）变化的函数图象，其中AB段是恒温阶段，BC段是双曲线y=的一部分，请根据图中信息解答下列问题：（1）求k的值；（2）恒温系统在一天内保持大棚里温度在15℃及15℃以上的时间有多少小时？【解答】解：（1）把B（12，20）代入y=中得：k=12×20=240（2）设AD的解析式为：y=mx+n把（0，10）、（2，20）代入y=mx+n中得：解得∴AD的解析式为：y=5x+10当y=15时，15=5x+10，x=115=，x==16∴16﹣1=15答：恒温系统在一天内保持大棚里温度在15℃及15℃以上的时间有15小时．24．（10分）已知一次函数y=﹣x+6的图象与坐标轴交于A、B点（如图），AE 平分∠BAO，交x轴于点E．（1）求点B的坐标；（2）求直线AE的表达式；（3）过点B作BF⊥AE，垂足为F，连接OF，试判断△OFB的形状，并求△OFB 的面积．【解答】解：（1）当y=﹣x+6=0时，x=8，∴点B的坐标为（8，0）．（2）当x=0时，y=﹣x+6=6，∴点A的坐标为（0，6），∴OA=6，OB=8，∴AB==10．∵AE平分∠BAO，交x轴于点E，∴=，∴OE=BE．∵OE+BE=OB=8，∴OE=3，BE=5，∴点E的坐标为（3，0）．设直线AE的表达式为y=kx+b，将A（0，6）、E（3，0）代入y=kx+b，，解得：，∴直线AE的表达式为y=﹣2x+6．（3）过点F作FG⊥x轴于点G，如图所示．∵BF⊥AE，∴∠BFE=90°=∠AOE．∵∠AEO=∠BEF，∴△AOE∽△BFE，∴==．∵OA=6，OE=3，∴AE=3．∵BE=5，∴BF=2，EF=．同理可得：△BEF∽△BFG，∴BG=4，FG=2．∵OB=8，∴OG=4=BG，∴△OFB为等腰三角形，∴S=OB•FG=8．△OFB25．（10分）如图，已知直线l与⊙O相离，OA⊥l于点A，OA=5．OA与⊙O相交于点P，AB与⊙O相切于点B，BP的延长线交直线l于点C．（1）试判断线段AB与AC的数量关系，并说明理由；（2）若PC=2，求⊙O的半径和线段PB的长；（3）若在⊙O上存在点Q，使△QAC是以AC为底边的等腰三角形，求⊙O的半径r的取值范围．【解答】解：（1）AB=AC，理由如下：连接OB．∵AB切⊙O于B，OA⊥AC，∴∠OBA=∠OAC=90°，∴∠OBP+∠ABP=90°，∠ACP+∠APC=90°，∵OP=OB，∴∠OBP=∠OPB，∵∠OPB=∠APC，∴∠ACP=∠ABC，∴AB=AC；（2）延长AP交⊙O于D，连接BD，设圆半径为r，则OP=OB=r，PA=5﹣r，则AB2=OA2﹣OB2=52﹣r2，AC2=PC2﹣PA2=﹣（5﹣r）2，∴52﹣r2=﹣（5﹣r）2，解得：r=3，∴AB=AC=4，∵PD是直径，∴∠PBD=90°=∠PAC，又∵∠DPB=∠CPA，∴△DPB∽△CPA，∴=，∴=，解得：PB=．∴⊙O的半径为3，线段PB的长为；（3）作出线段AC的垂直平分线MN，作OE⊥MN，则可以推出OE=AC=AB=又∵圆O与直线MN有交点，∴OE=≤r，≤2r，25﹣r2≤4r2，r2≥5，∴r≥，又∵圆O与直线相离，∴r＜5，即≤r＜5．26．（12分）抛物线y=x2+bx+c与x轴交于A、B两点，B点坐标为（3，0），与y 轴交于点C（0，﹣3）（1）求抛物线的解析式；（2）点P在抛物线位于第四象限的部分上运动，当四边形ABPC的面积最大时，求点P的坐标（3）直线l经过A、C两点，点Q在抛物线位于y轴左侧的部分上运动，直线m 经过点B和点Q，是否存在直线m，使得直线l、m与x轴围成的三角形和直线l、m与y轴围成的三角形相似？若存在，求出直线m的解析式，若不存在，请说明理由．【解答】（1）把B、C两点坐标代入抛物线解析式可得，解得，∴抛物线解析式为y=x2﹣2x﹣3；（2）如图1，连接BC，过Py轴的平行线，交BC于点M，交x轴于点H，在y=x2﹣2x﹣3中，令y=0可得0=x2﹣2x﹣3，解得x=﹣1或x=3，∴A点坐标为（﹣1，0），∴AB=3﹣（﹣1）=4，且OC=3，∴S=AB×OC=×4×3=6，△ABC∵B（3，0），C（0，﹣3），∴直线BC解析式为y=x﹣3，设P点坐标为（x，x2﹣2x﹣3），则M点坐标为（x，x﹣3），∵P点在第四限，∴PM=x﹣3﹣（x2﹣2x﹣3）=﹣x2+3x，=PM•OH+PM•HB=PM（OH+HB）=PM•OB=PM，∴S△PBC∴当PM有最大值时，△PBC的面积最大，则四边形ABPC的面积最大，∵PM=﹣x2+3x=﹣（x﹣）2+，∴当x=时，PM max=，则S△PBC=×=，此时P点坐标为（，﹣）（3）如图2，设直线m交y轴于点N，交直线l于点G，则∠AGP=∠GNC+∠GCN，当△AGB和△NGC相似时，必有∠AGB=∠CGB，又∠AGB+∠CGB=180°，∴∠AGB=∠CGB=90°，∴∠ACO=∠OBN，在Rt△AON和Rt△NOB中，∴Rt△AON≌Rt△NOB（ASA），∴ON=OA=1，∴N点坐标为（0，﹣1），设直线m解析式为y=kx+d，把B、N两点坐标代入可得，解得，∴直线m解析式为y=x﹣1，即存在满足条件的直线m，其解析式为y=x﹣1．赠送：初中数学几何模型【模型一】半角型：图形特征：FAB正方形ABCD中，∠EAF=45°∠1=12∠BAD推导说明：1.1在正方形ABCD中，点E、F分别在BC、CD上，且∠FAE＝45°，求证：EF＝BE+DFE-aa B E1.2在正方形ABCD中，点E、F分别在BC、CD上，且EF＝BE+DF，求证：∠FAE＝45°E-a aBE挖掘图形特征：x-aa-a运用举例：1．正方形ABCD的边长为3，E、F分别是AB、BC边上的点,且∠EDF=45°.将△DAE绕点D逆时针旋转90°，得到△DCM.（1）求证：EF=FM（2）当AE=1时，求EF的长．E3．如图，梯形ABCD中，AD∥BC，∠C＝90°，BC＝CD＝2AD＝4，E为线段CD上一点，∠ABE＝45°.（1）求线段AB的长；（2）动点P从B出发，沿射线．．BE运动，速度为1单位/秒，设运动时间为t，则t为何值时，△ABP为等腰三角形；（3）求AE－CE的值.。
2017年四川省成都市中考数学试卷压轴题
2017年四川省成都市中考数学试卷压轴题20．(2017﹒成都)如图,在△ABC 中,AB ＝AC ,以AB 为直径作圆O ,分别交BC 于点D ,交CA 的延长线于点E ,过点D 作DH ⊥AC 于点H ,连接DE 交线段OA 于点F ．(1)求证：DH 是圆O 的切线；(2)若A 为EH 的中点,求EF FD的值； (3)若EA ＝EF ＝1,求圆O 的半径．27．(2017﹒成都)问题背景：如图1,等腰△ABC 中,AB ＝AC ,∠BAC ＝120°,作AD ⊥BC 于点D ,则D 为BC的中点,∠BAD ＝12∠BAC ＝60°,于是BC AB ＝2BD AB ＝3； 迁移应用：如图2,△ABC 和△ADE 都是等腰三角形,∠BAC ＝∠ADE ＝120°,D ,E ,C 三点在同一条直线上,连接B D ．①求证：△ADB ≌△AEC ；②请直接写出线段AD ,BD ,CD 之间的等量关系式；拓展延伸：如图3,在菱形ABCD 中,∠ABC ＝120°,在∠ABC 内作射线BM ,作点C 关于BM 的对称点E ,连接AE 并延长交BM 于点F ,连接CE ,CF ．①证明△CEF 是等边三角形；②若AE ＝5,CE ＝2,求BF 的长．28．(2017﹒成都)如图1,在平面直角坐标系xOy中,抛物线C：y＝ax2＋bx＋c与x轴相交于A,B两点,顶点为D(0,4),AB＝4 2,设点F(m,0)是x轴的正半轴上一点,将抛物线C绕点F旋转180°,得到新的抛物线C′．(1)求抛物线C的函数表达式；(2)若抛物线C′与抛物线C在y轴的右侧有两个不同的公共点,求m的取值范围．(3)如图2,P是第一象限内抛物线C上一点,它到两坐标轴的距离相等,点P在抛物线C′上的对应点P′,设M是C上的动点,N是C′上的动点,试探究四边形PMP′N能否成为正方形？若能,求出m的值；若不能,请说明理由．2017年四川省成都市中考数学试卷压轴题参考答案20．证明：(1)连接OD ,如图1,∵OB ＝OD ,∴△ODB 是等腰三角形,∠OBD ＝∠ODB ①,在△ABC 中,∵AB ＝AC ,∴∠ABC ＝∠ACB ②,由①②得：∠ODB ＝∠OBD ＝∠ACB ,∴OD ∥AC ,∵DH ⊥AC ,∴DH ⊥OD ,∴DH 是圆O 的切线；(2)如图2,在⊙O 中,∵∠E ＝∠B ,∴由(1)可知：∠E ＝∠B ＝∠C ,∴△EDC 是等腰三角形,∵DH ⊥AC ,且点A 是EH 中点,设AE ＝x ,EC ＝4x ,则AC ＝3x ,连接AD ,则在⊙O 中,∠ADB ＝90°,AD ⊥BD ,∵AB ＝AC ,∴D 是BC 的中点,∴OD 是△ABC 的中位线,∴OD ∥AC ,OD ＝12AC ＝12×3x ＝3x 2, ∵OD ∥AC ,∴∠E ＝∠ODF ,在△AEF 和△ODF 中,∵∠E ＝∠ODF ,∠OFD ＝∠AFE ,∴EF FD ＝AE OD , ∴AE OD ＝x 32x ＝23, ∴EF FD ＝23；(3)如图2,设⊙O 的半径为r ,即OD ＝OB ＝r ,∵EF ＝EA ,∴∠EF A ＝∠EAF ,∵OD ∥EC ,∴∠FOD ＝∠EAF ,则∠FOD ＝∠EAF ＝∠EF A ＝∠OFD ,∴DF ＝OD ＝r ,∴DE ＝DF ＋EF ＝r ＋1,∴BD ＝CD ＝DE ＝r ＋1,在⊙O 中,∵∠BDE ＝∠EAB ,∴∠BFD ＝∠EF A ＝∠EAB ＝∠BDE ,∴BF ＝BD ,△BDF 是等腰三角形,∴BF ＝BD ＝r ＋1,∴AF ＝AB －BF ＝2OB －BF ＝2r －(1＋r )＝r －1,在△BFD 和△EF A 中,∵⎩⎨⎧∠BFD ＝∠EF A ∠B ＝∠E, ∴△BFD ∽△EF A ,∴EF F A ＝BF DF , ∴1r －1＝1＋r r , 解得：r 1＝1＋52,r 2＝1－52(舍), 综上所述,⊙O 的半径为1＋52．27．迁移应用：①证明：如图②∵∠BAC ＝∠ADE ＝120°,∴∠DAB ＝∠CAE ,在△DAE 和△EAC 中,⎩⎪⎨⎪⎧DA ＝EA∠DAB ＝∠EAC AB ＝AC , ∴△DAB ≌△EAC ,②解：结论：CD ＝3AD ＋B D ．理由：如图2－1中,作AH ⊥CD 于H ．∵△DAB ≌△EAC ,∴BD ＝CE ,在Rt △ADH 中,DH ＝AD ﹒cos30°＝32AD , ∵AD ＝AE ,AH ⊥DE ,∴DH ＝HE ,∵CD ＝DE ＋EC ＝2DH ＋BD ＝3AD ＋B D ．拓展延伸：①证明：如图3中,作BH ⊥AE 于H ,连接BE ．∵四边形ABCD 是菱形,∠ABC ＝120°,∴△ABD ,△BDC 是等边三角形,∴BA ＝BD ＝BC ,∵E 、C 关于BM 对称,∴BC ＝BE ＝BD ＝BA ,FE ＝FC ,∴A 、D 、E 、C 四点共圆,∴∠ADC ＝∠AEC ＝120°,∴∠FEC ＝60°,∴△EFC 是等边三角形,②解：∵AE ＝5,EC ＝EF ＝2,∴AH ＝HE ＝2.5,FH ＝4.5,∴HF BF＝cos30°, ∴BF ＝4.532＝33． 28．解：(1)由题意抛物线的顶点C (0,4),A (－22,0),设抛物线的解析式为y ＝ax 2＋4,把A (－22,0)代入可得a ＝－12, ∴抛物线C 的函数表达式为y ＝－12x 2＋4．(2)由题意抛物线C ′的顶点坐标为(2m ,－4),设抛物线C ′的解析式为y ＝12(x －2m )2－4, 由⎩⎨⎧y ＝－12x 2＋4y ＝12(x －2m )2－4,消去y 得到x 2－2mx ＋2m 2－8＝0, 由题意,抛物线C ′与抛物线C 在y 轴的右侧有两个不同的公共点,则有⎩⎪⎨⎪⎧(2m )2－4()2m 2－8＞02m ＞02m 2－8＞0,解得2＜m ＜22,∴满足条件的m 的取值范围为2＜m ＜22．(3)结论：四边形PMP ′N 能成为正方形．理由：1情形1,如图,作PE ⊥x 轴于E ,MH ⊥x 轴于H ．由题意易知P (2,2),当△PFM 是等腰直角三角形时,四边形PMP ′N 是正方形,∴PF ＝FM ,∠PFM ＝90°,易证△PFE ≌△FMH ,可得PE ＝FH ＝2,EF ＝HM ＝2－m ,∴M (m ＋2,m －2), ∵点M 在y ＝－12x 2＋4上,∴m－2＝－12(m＋2)2＋4,解得m＝17－3或－17－3(舍弃), ∴m＝17－3时,四边形PMP′N是正方形．情形2,如图,四边形PMP′N是正方形,同法可得M(m－2,2－m),把M(m－2,2－m)代入y＝－12x 2＋4中,2－m＝－12(m－2)2＋4,解得m＝6或0(舍弃),∴m＝6时,四边形PMP′N是正方形．。
2017年江苏省南通市中考数学试卷压轴题
2017年江苏省南通市中考数学试卷压轴题10．(2017﹒南通)如图,矩形ABCD 中,AB ＝10,BC ＝5,点E ,F ,G ,H 分别在矩形ABCD 各边上,且AE ＝CG ,BF ＝DH ,则四边形EFGH 周长的最小值为( )A ．5 5B ．10 5C ．10 3D ．15 318．(2017﹒南通)如图,四边形OABC 是平行四边形,点C 在x 轴上,反比例函数y ＝k x(x ＞0)的图象经过点A (5,12),且与边BC 交于点D ．若AB ＝BD ,则点D 的坐标为________．27．(2017﹒南通)我们知道,三角形的内心是三条角平分线的交点,过三角形内心的一条直线与两边相交,两交点之间的线段把这个三角形分成两个图形．若有一个图形与原三角形相似,则把这条线段叫做这个三角形的“內似线”．(1)等边三角形“內似线”的条数为________；(2)如图,△ABC 中,AB ＝AC ,点D 在AC 上,且BD ＝BC ＝AD ,求证：BD 是△ABC 的“內似线”；(3)在Rt △ABC 中,∠C ＝90°,AC ＝4,BC ＝3,E 、F 分别在边AC 、BC 上,且EF 是△ABC 的“內似线”,求EF 的长．28．(2017﹒南通)已知直线y＝kx＋b与抛物线y＝ax2(a＞0)相交于A、B两点(点A在点B的左侧),与y轴正半轴相交于点C,过点A作AD⊥x轴,垂足为D．(1)若∠AOB＝60°,AB∥x轴,AB＝2,求a的值；(2)若∠AOB＝90°,点A的横坐标为－4,AC＝4BC,求点B的坐标；(3)延长AD、BO相交于点E,求证：DE＝CO．2017年江苏省南通市中考数学试卷压轴题参考答案10．(2017﹒南通)如图,矩形ABCD 中,AB ＝10,BC ＝5,点E ,F ,G ,H 分别在矩形ABCD 各边上,且AE ＝CG ,BF ＝DH ,则四边形EFGH 周长的最小值为( )A ．5 5B ．10 5C ．10 3D ．15 3解：作点E 关于BC 的对称点E ′,连接E ′G 交BC 于点F ,此时四边形EFGH 周长取最小值,过点G 作GG ′ ⊥AB 于点G ′,如图所示．∵AE ＝CG ,BE ＝BE ′,∴E ′G ′＝AB ＝10,∵GG ′＝AD ＝5,∴E ′G ＝E ′G ′2＋GG ′2＝55,∴C 四边形EFGH ＝2E ′G ＝105．选B ．18．(2017﹒南通)如图,四边形OABC 是平行四边形,点C 在x 轴上,反比例函数y ＝k x(x ＞0)的图象经过点A (5,12),且与边BC 交于点D ．若AB ＝BD ,则点D 的坐标为________．解：∵反比例函数y ＝k x(x ＞0)的图象经过点A (5,12),∴k ＝12×5＝60,∴反比例函数的解析式为y ＝60x, 设D ⎝⎛⎭⎫m ,60m , 由题可得OA 的解析式为y ＝125x ,AO ∥BC , ∴可设BC 的解析式为y ＝125x ＋b , 把D ⎝⎛⎭⎫m ,60m 代入,可得125m ＋b ＝60m , ∴b ＝60m －125m , ∴BC 的解析式为y ＝125x ＋60m －125m , 令y ＝0,则x ＝m －25m ,即OC ＝m －25m, ∴平行四边形ABCO 中,AB ＝m －25m, 如图所示,过D 作DE ⊥AB 于E ,过A 作AF ⊥OC 于F ,则△DEB ∽△AFO ,∴DB DE ＝AO AF ,而AF ＝12,DE ＝12－60m,OA ＝52＋122＝13, ∴DB ＝13－65m, ∵AB ＝DB ,∴m －25m ＝13－65m, 解得m 1＝5,m 2＝8,又∵D 在A 的右侧,即m ＞5,∴m ＝8,∴D 的坐标为⎝⎛⎫8,152．27．(2017﹒南通)我们知道,三角形的内心是三条角平分线的交点,过三角形内心的一条直线与两边相交,两交点之间的线段把这个三角形分成两个图形．若有一个图形与原三角形相似,则把这条线段叫做这个三角形的“內似线”．(1)等边三角形“內似线”的条数为________；(2)如图,△ABC 中,AB ＝AC ,点D 在AC 上,且BD ＝BC ＝AD ,求证：BD 是△ABC 的“內似线”；(3)在Rt △ABC 中,∠C ＝90°,AC ＝4,BC ＝3,E 、F 分别在边AC 、BC 上,且EF 是△ABC 的“內似线”,求EF 的长．(1)解：等边三角形“內似线”的条数为3条；理由如下：过等边三角形的内心分别作三边的平行线,如图1所示：则△AMN ∽△ABC ,△CEF ∽△CBA ,△BGH ∽△BAC ,∴MN 、EF 、GH 是等边三角形ABC 的內似线”；故答案为：3；(2)证明：∵AB ＝AC ,BD ＝BC ＝AD ,∴∠ABC ＝∠C ＝∠BDC ,∠A ＝∠ABD ,∴△BCD ∽△ABC ,又∵∠BDC ＝∠A ＋∠ABD ,∴∠ABD ＝∠CBD ,∴BD 平分∠ABC ,即BD 过△ABC 的内心,∴BD 是△ABC 的“內似线”；(3)解：设D 是△ABC 的内心,连接CD ,则CD 平分∠ACB ,∵EF 是△ABC 的“內似线”,∴△CEF 与△ABC 相似；分两种情况：①当CE CF ＝AC BC ＝43时,EF ∥AB , ∵∠ACB ＝90°,AC ＝4,BC ＝3,∴AB ＝AC 2＋BC 2＝5,作DN ⊥BC 于N ,如图2所示：则DN ∥AC ,DN 是Rt △ABC 的内切圆半径,∴DN ＝12(AC ＋BC －AB )＝1, ∵CD 平分∠ACB ,∴DE DF ＝CE CF ＝43, ∵DN ∥AC , ∴DN CE ＝DF EF ＝37,即1CE ＝37, ∴CE ＝73, ∵EF ∥AB ,∴△CEF ∽△CAB ,∴EF AB ＝CE AC ,即EF 5＝734, 解得：EF ＝3512； ②当CF CE ＝AC BC ＝43时,同理得：EF ＝3512； 综上所述,EF 的长为3512．28．(2017﹒南通)已知直线y ＝kx ＋b 与抛物线y ＝ax 2(a ＞0)相交于A 、B 两点(点A 在点B 的左侧),与y 轴正半轴相交于点C ,过点A 作AD ⊥x 轴,垂足为D ．(1)若∠AOB ＝60°,AB ∥x 轴,AB ＝2,求a 的值；(2)若∠AOB ＝90°,点A 的横坐标为－4,AC ＝4BC ,求点B 的坐标；(3)延长AD 、BO 相交于点E ,求证：DE ＝CO ．解：(1)如图1,∵抛物线y ＝ax 2的对称轴是y 轴,且AB ∥x 轴,∴A 与B 是对称点,O 是抛物线的顶点,∴OA ＝OB ,∵∠AOB ＝60°,∴△AOB 是等边三角形,∵AB ＝2,AB ⊥OC ,∴AC ＝BC ＝1,∠BOC ＝30°,∴OC ＝3,∴A (－1,3),把A (－1,3)代入抛物线y ＝ax 2(a ＞0)中得：a ＝3；(2)如图2,过B 作BE ⊥x 轴于E ,过A 作AG ⊥BE ,交BE 延长线于点G ,交y 轴于F ,∵CF ∥BG ,∴AC BC ＝AF FG, ∵AC ＝4BC , ∴AF FG ＝4, ∴AF ＝4FG ,∵A 的横坐标为－4,∴B 的横坐标为1,∴A (－4,16a ),B (1,a ),∵∠AOB ＝90°,∴∠AOD ＋∠BOE ＝90°,∵∠AOD ＋∠DAO ＝90°,∴∠BOE ＝∠DAO ,∵∠ADO ＝∠OEB ＝90°,∴△ADO ∽△OEB ,∴AD OE ＝OD BE , ∴16a 1＝4a, ∴16a 2＝4,a ＝±12, ∵a ＞0,∴a ＝12； ∴B ⎝⎛⎭⎫1,12；(3)如图3,设AC ＝nBC ,由(2)同理可知：A 的横坐标是B 的横坐标的n 倍, 则设B ()m ,am 2,则A ()－mn ,am 2n 2, ∴AD ＝am 2n 2,过B 作BF ⊥x 轴于F ,∴DE ∥BF ,∴△BOF ∽△EOD ,∴OB OE ＝OF OD ＝BF DE, ∴OB OE ＝m mn ＝am 2DE, ∴OB OE ＝1n ,DE ＝am 2n , ∴OB BE ＝11＋n, ∵OC ∥AE ,∴△BCO ∽△BAE ,∴CO AE ＝OB BE ＝11＋n , ∴CO am 2n 2＋am 2n ＝11＋n , ∴CO ＝am 2n (1＋n )1＋n＝am 2n , ∴DE ＝CO ．。
2017中考数学《压轴题》专题训练含答案解析
压轴题1、已知，在平行四边形OABC 中，OA=5，AB=4，∠OCA=90°，动点P 从O 点出发沿射线OA 方向以每秒2个单位的速度移动，同时动点Q 从A 点出发沿射线AB 方向以每秒1个单位的速度移动．设移动的时间为t 秒． （1）求直线AC 的解析式；（2）试求出当t 为何值时，△OAC 与△PAQ 相似； （3）若⊙P 的半径为58，⊙Q 的半径为23；当⊙P 与对角线AC 相切时，判断⊙Q 与直线AC 、BC 的位置关系，并求出Q 点坐标。
解：（1）42033y x =-+ （2）①当0≤t≤2.5时，P 在OA 上，若∠OAQ=90°时， 故此时△OAC 与△PAQ 不可能相似．当t>2.5时，①若∠APQ=90°，则△APQ ∽△OCA ，∵t>2.5，∴符合条件．②若∠AQP=90°，则△APQ ∽△∠OAC ，∵t>2.5，∴符合条件．综上可知，当时，△OAC 与△APQ 相似．（3）⊙Q 与直线AC 、BC 均相切，Q 点坐标为（109,531）。
2、如图，以矩形OABC 的顶点O 为原点，OA 所在的直线为x 轴，OC 所在的直线为y 轴，建立平面直角坐标系．已知OA ＝3，OC ＝2，点E 是AB 的中点，在OA 上取一点D ，将△BDA 沿BD 翻折，使点A 落在BC 边上的点F 处． （1）直接写出点E 、F 的坐标；（2）设顶点为F 的抛物线交y 轴正半轴．．．于点P ，且以点E 、F 、P 为顶点的三角形是等腰三角形，求该抛物线的解析式；（3）在x 轴、y 轴上是否分别存在点M 、N ，使得四边形MNFE 的周长最小？如果存在，求出周长的最小值；如果不存在，请说明理由．解：（1）(31)E ，；(12)F ，．（2）在Rt EBF △中，90B ∠=o， 2222125EF EB BF ∴=+=+=．设点P 的坐标为(0)n ，，其中0n >，Q 顶点(12)F ，， ∴设抛物线解析式为2(1)2(0)y a x a =-+≠．①如图①，当EF PF =时，22EF PF =，221(2)5n ∴+-=．解得10n =（舍去）；24n =．(04)P ∴，．24(01)2a ∴=-+．解得2a =． ∴抛物线的解析式为22(1)2y x =-+（第2题）②如图②，当EP FP =时，22EP FP =，22(2)1(1)9n n ∴-+=-+． 解得52n =-（舍去）．③当EF EP =时，53EP =<，这种情况不存在． 综上所述，符合条件的抛物线解析式是22(1)2y x =-+． （3）存在点M N ，，使得四边形MNFE 的周长最小． 如图③，作点E 关于x 轴的对称点E '，作点F 关于y 轴的对称点F '，连接E F ''，分别与x 轴、y 轴交于点M N ，，则点M N ，就是所求点．(31)E '∴-，，(12)F NF NF ME ME '''-==，，，．43BF BE ''∴==，．FN NM ME F N NM ME F E ''''∴++=++=22345+=．又5EF =Q ，∴55FN NM ME EF +++=+，此时四边形MNFE 的周长最小值是553、如图，在边长为2的等边△ABC 中，A D ⊥BC,点P 为边AB 上一个动点，过P 点作PF//AC 交线段BD 于点F,作PG ⊥AB 交AD 于点E,交线段CD 于点G,设BP=x . （1）①试判断BG 与2BP 的大小关系,并说明理由;②用x 的代数式表示线段DG 的长,并写出自变量x 的取值范围;（2）记△DEF 的面积为S,求S 与x 之间的函数关系式,并求出S 的最大值;（3）以P 、E 、F 为顶点的三角形与△EDG 是否可能相似？如果能相似，请求出BP 的长，如果不能，请说明理由。
2017中考数学压轴题及答案精选
A O C
Bx
y = a（x + 1） ( x − 3) （ a ≠ 0 ），
－
把 C（0， ∴Ｃ1：
1 3 a= 2 2 ）代入可得 1 2 3 x −x− 2 2
…………………………………………………………4 分
y=
1 2 3 n −n− 2） 设 P（ n ， 2
∴ △ PBC 3 3 2 27 − （n − ） + 4 2 16 = S = S △ POC + S △ BOP – S △ BOC
…………………………………6 分 3 3 27 a=− n= 16 4 2 ∵ <0, ∴当 时, S△PBC 最大值为 ． ……………………………………7 分 （3）由 C2 可知： B（3，0），D（0， −3m ），M（1， − 4m ）
2 2 2 BD2= 9m + 9 ， BM2= 16m + 4 ，DM2= m + 1 ，
图 12
3 1 5 y = x2 − x + 4 4 2 （2）sin ∠ ACB= 5 ，
--------------4 分
P
N
90° ， （3）证明：因为 D 为圆心，A 在圆周上，DA=r=5,故只需证明 ∠DAF =
9 25 9 2 15 9 2 (5, − ) DF = 4 + = , AF = 3 + ( ) = 4 4 4 4 ， 4 , 抛物线顶点坐标：F
1
∵2.25＜4， ∴x 轴下方不存在 B 点， ∴点 B 的坐标为：（4，4）； ③∵点 B 的坐标为：（4，4）， ∴∠BOD=45°，BO= =4 ，
当∠POB=90°， ∴∠POD=45°， 设 P 点横坐标为：﹣x，则纵坐标为：x2﹣3x， 即﹣x=x2﹣3x， 解得 x=2 或 x=0， ∴在抛物线上仅存在一点 P （2，﹣2）． ∴OP= =2 ，
2017年河北中考压轴题数学含答案
2017年河北中考压轴题【17·河北·25·11分】平面内，如图，在▱ABCD中，AB＝10，AD＝15，tan A＝，点P为AD边上任意点，连接PB，将PB绕点P逆时针旋转90°得到线段PQ．（1）当∠DPQ＝10°时，求∠APB的大小；（2）当tan∠ABP：tan A＝3：2时，求点Q与点B间的距离（结果保留根号）；（3）若点Q恰好落在▱ABCD的边所在的直线上，直接写出PB旋转到PQ所扫过的面积．（结果保留π）【解答】解：（1）如图1中，①当点Q在平行四边形ABCD内时，∠AP′B＝180°﹣∠Q′P′B﹣∠Q′P′D＝180°﹣90°﹣10°＝80°，②当点Q在平行四边形ABCD外时，∠APB＝180°﹣（∠QPB﹣∠QPD）＝180°﹣（90°﹣10°）＝100°，综上所述，当∠DPQ＝10°时，∠APB的值为80°或100°．（2）如图2中，连接BQ，作PE⊥AB于E．∵tan∠ABP：tan A＝3：2，tan A＝，∴tan∠ABP＝2，在Rt△APE中，tan A＝＝，设PE＝4k，则AE＝3k，在Rt△PBE中，tan∠ABP＝＝2，∴EB＝2k，∴AB＝5k＝10，∴k＝2，∴PE＝8，EB＝4，∴PB＝＝4，∵△BPQ是等腰直角三角形，∴BQ＝PB＝4．（3）①如图3中，当点Q落在直线BC上时，作BE⊥AD于E，PF⊥BC于F．则四边形BEPF是矩形．在Rt△AEB中，∵tan A＝＝，∵AB＝10，∴BE＝8，AE＝6，∴PF＝BE＝8，∵△BPQ是等腰直角三角形，PF⊥BQ，∴PF＝BF＝FQ＝8，∴PB＝PQ＝8，∴PB旋转到PQ所扫过的面积＝＝32π．②如图4中，当点Q落在CD上时，作BE⊥AD于E，QF⊥AD交AD的延长线于F．设PE＝x．易证△PBE≌△QPF，∴PE＝QF＝x，EB＝PF＝8，∴DF＝AE+PE+PF﹣AD＝x﹣1，∵CD∥AB，∴∠FDQ＝∠A，∴tan∠FDQ＝tan A＝＝，∴＝，∴x＝4，∴PE＝4，＝4，在Rt△PEB中，PB＝＝4，∴PB旋转到PQ所扫过的面积＝＝20π③如图5中，当点Q落在AD上时，易知PB＝PQ＝8，∴PB旋转到PQ所扫过的面积＝＝16π，综上所述，PB旋转到PQ所扫过的面积为32π或20π或16π．。
2017中考数学压轴题及答案40例(3)
2017中考数学压轴题及答案40例（3）28.如图，Rt △ABC 的顶点坐标分别为A （0，3），B （－21，23），C （1，0），∠ABC ＝90°，BC 与y 轴的交点为D ，D 点坐标为（0，33），以点D 为顶点、y 轴为对称轴的抛物线过点B ．（1）求该抛物线的解析式；（2）将△ABC 沿AC 折叠后得到点B 的对应点B ′，求证：四边形AOCB ′是矩形，并判断点B ′是否在（1）的抛物线上；（3）延长BA 交抛物线于点E ，在线段BE 上取一点P ，过P 点作x 轴的垂线，交抛物线于点F ，是否存在这样的点P ，使四边形PADF 是平行四边形？若存在，求出点P 的坐标，若不存在，说明理由． 解：（1）∵抛物线的顶点为D （0，33） ∴可设抛物线的解析式为y ＝ax 2＋33． ··········································· 1分 ∵B （－21，23）在抛物线上∴a (－21)2＋33＝23，∴a ＝332． ····················· 3分 ∴抛物线的解析式为y ＝332x 2＋33． ···················· 5分（2）∵B （－21，23），C （1，0）∴BC ＝2223121)＋()－(－＝3 又B ′C ＝BC ，OA ＝3，∴B ′C ＝OA ． ·················································· 6分∵AC ＝22OC OA ＋＝2213＋)(＝2 ∴AB ＝22BC AC －＝2232)－(＝1又AB ′＝AB ，OC ＝1，∴AB ′＝OC ． ····················································· 7分 ∴四边形AOCB ′是矩形． ···································································· 8分 ∵B ′C ＝3，OC ＝1∴点B ′ 的坐标为（1，3） ······························································ 9分 将x ＝1代入y ＝332x 2＋33得y ＝3∴点B ′ 在抛物线上． ······································································· 10分（3）存在 ································································································· 11分理由如下：设直线AB 的解析式为y ＝kx ＋b ，则⎪⎩⎪⎨⎧32321 ＝＝＋－b b k 解得⎪⎩⎪⎨⎧33 ＝＝b k ∴直线AB 的解析式为y ＝33＋x ··················································· 12分 ∵P 、F 分别在直线AB 和抛物线上，且PF ∥AD∴设P （m ，33＋m ），F （m ，332m 2＋33）∴PF ＝(33＋m )－(332m 2＋33)＝－332m 2＋m 3＋332AD ＝333－＝332 若四边形PADF 是平行四边形，则有PF ＝AD ． 即－332m 2＋m 3＋332＝332 解得m 1＝0（不合题意，舍去），m 2＝23． ····································· 13分当m ＝23时，33＋m ＝3×23＋3＝235．∴存在点P （23，235），使四边形PADF 是平行四边形． ·············· 14分29.如图1，平移抛物线F 1：y ＝x 2后得到抛物线F 2．已知抛物线F 2经过抛物线F 1的顶点M 和点A （2，0），且对称轴与抛物线F 1交于点B ，设抛物线F 2的顶点为N ． （1）探究四边形ABMN 的形状及面积（直接写出结论）；（2）若将已知条件中的“抛物线F 1：y ＝x 2”改为“抛物线F 1：y ＝ax 2”（如图2），“点A （2，0）”改为“点A （m ，0）”，其它条件不变，探究四边形ABMN 的形状及其面积，并说明理由；（3）若将已知条件中的“抛物线F 1：y ＝x 2”改为“抛物线F 1：y ＝ax 2＋c ”（如图3），“点A （2，0）”改为“点A （m ，c ）”其它条件不变，求直线AB 与y 轴的交点C 的坐标（直接写出结论）．解：（1）四边形ABMN 是正方形，其面积为2． ···················································· 1分（2）四边形ABMN 是菱形．当m ＞0时，四边形ABMN 的面积为43am ；当m ＜0时，四边形ABMN 的面积为-43am ． ·················································· 2分 （说明：如果没有说理过程，探究的结论正确的得2分）理由如下：∵平移抛物线F 1后得到抛物线F 2，且抛物线F 2经过原点O ． ∴设抛物线F 2的解析式为y ＝ax 2＋bx ．∵抛物线F 2经过点A （m ，0），∴am 2＋bm ＝0． 由题意可知m ≠0，∴b ＝－am ．∴抛物线F 2的解析式为y ＝ax 2－amx ． ·············································· 3分∴y ＝a (x －2m )2－42am∴抛物线F 2的对称轴为直线x ＝2m ，顶点N （2m，－42am ）． ········· 4分∵抛物线F 2的对称轴与抛物线F 1的交点为B ，∴点B 的横坐标为2m． ∵点B 在抛物线F 1：y ＝ax 2上∴y B ＝a (2m )2＝42am ·········································································· 5分设抛物线F 2的对称轴与x 轴交于点P ，如图1．∵a ＞0，∴BP ＝42am ．∵顶点N （2m，－42am ），∴NP ＝|－42am |＝42am ．∴BP ＝NP ． ···························································· 6分 ∵抛物线是轴对称图形，∴OP ＝AP ．∴四边形ABMN 是平行四边形． ····························· 7分 ∵BN 是抛物线F 2的对称轴，∴BN ⊥OA ．∴四边形ABMN 是菱形． ··································································· 8分∵BN ＝BP ＋NP ，∴BN ＝22am ．∵四边形ABMN 的面积为21×OA ·BN ＝21×|m |×22am∴当m ＞0时，四边形ABMN 的面积为21×m ×22am ＝43am ． ·········· 9分 当m ＜0时，四边形ABMN 的面积为21×(－m )×22am ＝－43am ． · 10分 （3）点C 的坐标为（0，22am ＋c ）（参考图2）．30.如图，抛物线的顶点为A （2，1），且经过原点O ，与x 轴的另一个交点为B ． （1）求抛物线的解析式；（2）在抛物线上求点M ，使△MOB 的面积是△AOB 面积的3倍；（3）连结OA ，AB ，在x 轴下方的抛物线上是否存在点N ，使△OBN 与△OAB 相似？若存在，求出N 点的坐标；若不存在，说明理由．解：（1）由题意，可设抛物线的解析式为y ＝a (x －2)2＋1．∵抛物线经过原点，∴a (0－2)2＋1＝0，∴a ＝－41．∴抛物线的解析式为y ＝－41(x －2)2＋1＝－41x 2＋x ． ······················ 3分（2）△AOB 和所求△MOB 同底不等高，若S △MOB ＝3S △AOB ，则△MOB 的高是△AOB 高的3倍，即M 点的纵坐标是－3． ···································································· 5分∴－41x 2＋x ＝－3，整理得x 2－4x －12＝0，解得x 1＝6，x 2＝－2．∴满足条件的点有两个：M 1(6，－3)，M 2(－2，－3) ·························· 7分 （3）不存在． ···························································································· 8分理由如下：由抛物线的对称性，知AO ＝AB ，∠AOB ＝∠ABO ． 若△OBN ∽△OAB ，则∠BON ＝∠BOA ＝∠BNO ． 设ON 交抛物线的对称轴于A ′ 点，则A ′ (2，－1)．∴直线ON 的解析式为y ＝－21x ．由21x ＝－41x 2＋x ，得x 1＝0，x 2＝6． ∴N (6，－3)．过点N 作NC ⊥x 轴于C ．在Rt △BCN 中，BC ＝6－4＝2，NC ＝3 ∴NB ＝2232＋＝13．∵OB ＝4，∴NB ≠OB ，∴∠BON ≠∠BNO ，∴△OBN 与△OAB 不相似． 同理，在对称轴左边的抛物线上也不存在符合条件的N 点．∴在x 轴下方的抛物线上不存在点N ，使△OBN 与△OAB 相似． ······ 10分31.如图，在直角坐标系中，点A 的坐标为(－2，0)，连结OA ，将线段OA 绕原点O 顺时针旋转120°，得到线段OB ．（1）求点B 的坐标；（2）求经过A 、O 、B 三点的抛物线的解析式；（3）在（2）中抛物线的对称轴上是否存在点C ，使△BOC 的周长最小？若存在，求出点C 的坐标；若不存在，请说明理由．（4）如果点P 是（2）中的抛物线上的动点，且在x 轴的下方，那么△PAB 是否有最大面积？若有，求出此时P 点的坐标及△PAB 的最大面积；若没有，请说明理由．（1）如图1，过点B 作BM ⊥x 轴于M ．由旋转性质知OB ＝OA ＝2．∵∠AOB ＝120°，∴∠BOM ＝60°．∴OM ＝OB ·cos60°＝2×21＝1，BM ＝OB ·sin60°＝2×23＝3．∴点B 的坐标为(1，3)． ······································ 1分 （2）设经过A 、O 、B 三点的抛物线的解析式为y ＝ax 2＋bx ＋c ∵抛物线过原点，∴c ＝0．∴⎪⎩⎪⎨⎧=+=-3024b a b a 解得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==33233b a ∴所求抛物线的解析式为y ＝33x 2＋332x ． ·································· 3分 （3）存在． ······························································································ 4分如图2，连接AB ，交抛物线的对称轴于点C ，连接OC ．∵OB 的长为定值，∴要使△BOC 的周长最小，必须BC ＋OC 的长最小． ∵点A 与点O 关于抛物线的对称轴对称，∴OC ＝AC ． ∴BC ＋OC ＝BC ＋AC ＝AB ．由“两点之间，线段最短”的原理可知：此时BC ＋OC 最小，点C 的位置即为所求．设直线AB 的解析式为y ＝kx ＋m ，将A (－2，0)，B (1，3)代入，得⎪⎩⎪⎨⎧=+=+-302m k m k 解得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==33233m k∴直线AB 的解析式为y ＝33x ＋332． 抛物线的对称轴为直线x ＝332332⨯-＝－1，即x ＝－1．将x ＝－1代入直线AB 的解析式，得y ＝33×(－1)＋332＝33． ∴点C 的坐标为(－1，33)． ·························································· 6分 （4）△PAB 有最大面积． ········································································· 7分如图3，过点P 作y 轴的平行线交AB 于点D ． ∵S △PAB ＝S △PAD ＋S △PBD＝21(y D －y P )(x B －x A ) ＝21[(33x ＋332)－(33x 2＋332x )](1＋2) ＝－23x 2－23x ＋3 ＝－23(x ＋21)2＋839 ∴当x ＝－21时，△PAB 的面积有最大值，最大值为839．·············· 8分此时y P ＝33×(－21)2＋332×(－21)＝－43． ∴此时P 点的坐标为(－21，－43)． ··············································· 9分。
2017年全国各地中考数学压轴题汇编二含详细答案 推荐
湖北省武汉为明实验学校2017年全国各地中考数学压轴题汇编二（含详细答案）【11. 2017成都】28． (本小题满分l2分)如图，在平面直角坐标系xOy 中，一次函数54y x m =+ (m 为常数)的图象与x 轴交于点A(3-，0)，与y 轴交于点C ．以直线x=1为对称轴的抛物线2y ax bx c =++ (a b c ，， 为常数，且a ≠0)经过A ，C 两点，并与x 轴的正半轴交于点B ． （1）求m 的值及抛物线的函数表达式；（2）设E 是y 轴右侧抛物线上一点，过点E 作直线AC 的平行线交x 轴于点F ．是否存在这样的点E ，使得以A ，C ，E ，F 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点E 的坐标及相应的平行四边形的面积；若不存在，请说明理由；（3）若P 是抛物线对称轴上使△ACP 的周长取得最小值的点，过点P 任意作一条与y 轴不平行的直线交抛物线于111M ()x y ， ，222M ()x y ，两点，试探究2112P PM M M M ⋅ 是否为定值，并写出探究过程．考点：二次函数综合题。
解答：解：（1）∵经过点（﹣3，0）， ∴0=+m ，解得m=， ∴直线解析式为，C （0，）．∵抛物线y=ax 2+bx+c 对称轴为x=1，且与x 轴交于A （﹣3，0），∴另一交点为B （5，0）， 设抛物线解析式为y=a （x+3）（x ﹣5），∵抛物线经过C（0，），∴=a•3（﹣5），解得a=，∴抛物线解析式为y=x2+x+；（2）假设存在点E使得以A、C、E、F为顶点的四边形是平行四边形，则AC∥EF且AC=EF．如答图1，（i）当点E在点E位置时，过点E作EG⊥x轴于点G，∵AC∥EF，∴∠CAO=∠EFG，又∵，∴△CAO≌△EFG，∴EG=CO=，即y E=，∴=x E2+x E+，解得x E=2（x E=0与C点重合，舍去），∴E（2，），S▱ACEF=；（ii）当点E在点E′位置时，过点E′作E′G′⊥x轴于点G′，同理可求得E′（+1，），S▱ACE′F′=．（3）要使△ACP的周长最小，只需AP+CP最小即可．如答图2，连接BC交x=1于P点，因为点A、B关于x=1对称，根据轴对称性质以及两点之间线段最短，可知此时AP+CP最小（AP+CP最小值为线段BC的长度）．∵B（5，0），C（0，），∴直线BC解析式为y=x+，∵x P=1，∴y P=3，即P（1，3）．令经过点P（1，3）的直线为y=kx+3﹣k，∵y=kx+3﹣k，y=x2+x+，联立化简得：x2+（4k﹣2）x﹣4k﹣3=0，∴x1+x2=2﹣4k，x1x2=﹣4k﹣3．∵y1=kx1+3﹣k，y2=kx2+3﹣k，∴y1﹣y2=k（x1﹣x2）．根据两点间距离公式得到：M1M2===∴M1M2===4（1+k2）．又M1P===；同理M2P=∴M1P•M2P=（1+k2）•=（1+k2）•=（1+k2）•=4（1+k2）．∴M1P•M2P=M1M2，∴=1为定值．【12.2017•聊城】25．某电子厂商投产一种新型电子厂品，每件制造成本为18元，试销过程中发现，每月销售量y（万件）与销售单价x（元）之间的关系可以近似地看作一次函数y=﹣2x+100．（利润=售价﹣制造成本）（1）写出每月的利润z（万元）与销售单价x（元）之间的函数关系式；（2）当销售单价为多少元时，厂商每月能获得3502万元的利润？当销售单价为多少元时，厂商每月能获得最大利润？最大利润是多少？（3）根据相关部门规定，这种电子产品的销售单价不能高于32元，如果厂商要获得每月不低于350万元的利润，那么制造出这种产品每月的最低制造成本需要多少万元？考点：二次函数的应用；一次函数的应用。
2017年江苏省南京市中考数学试卷压轴题
2017年江苏省南京市中考数学试卷压轴题6．(2017﹒南京)过三点A (2,2),B (6,2),C (4,5)的圆的圆心坐标为( )A ．⎝⎛⎭⎫4, 176B ．(4,3)C ．⎝⎛⎭⎫5, 176D ．(5,3)16．(2017﹒南京)函数y 1＝x 与y 2＝4x的图象如图所示,下列关于函数y ＝y 1＋y 2的结论：①函数的图象关于原点中心对称；②当x ＜2时,y 随x 的增大而减小；③当x ＞0时,函数的图象最低点的坐标是(2,4),其中所有正确结论的序号是________．26．(2017﹒南京)已知函数y ＝－x 2＋(m －1)x ＋m (m 为常数)．(1)该函数的图象与x 轴公共点的个数是________．A.0B.1C.2D.1或2(2)求证：不论m 为何值,该函数的图象的顶点都在函数y ＝(x ＋1)2的图象上．(3)当－2≤m ≤3时,求该函数的图象的顶点纵坐标的取值范围．27．(2017﹒南京)折纸的思考．【操作体验】用一张矩形纸片折等边三角形．第一步,对折矩形纸片ABCD(AB＞BC)(图①),使AB与DC重合,得到折痕EF,把纸片展平(图②)．第二步,如图③,再一次折叠纸片,使点C落在EF上的P处,并使折痕经过点B,得到折痕BG,折出PB、PC,得到△PB C．(1)说明△PBC是等边三角形．【数学思考】(2)如图④,小明画出了图③的矩形ABCD和等边三角形PBC,他发现,在矩形ABCD中把△PBC经过图形变化,可以得到图⑤中的更大的等边三角形,请描述图形变化的过程．(3)已知矩形一边长为3cm,另一边长为a cm,对于每一个确定的a的值,在矩形中都能画出最大的等边三角形,请画出不同情形的示意图,并写出对应的a的取值范围．【问题解决】(4)用一张正方形铁片剪一个直角边长分别为4cm和1cm的直角三角形铁片,所需正方形铁片的边长的最小值为________cm．2017年江苏省南京市中考数学试卷压轴题参考答案6．(2017﹒南京)过三点A (2,2),B (6,2),C (4,5)的圆的圆心坐标为( )A ．⎝⎛⎭⎫4, 176B ．(4,3)C ．⎝⎛⎭⎫5, 176D ．(5,3)解：已知A (2,2),B (6,2),C (4,5),∴AB 的垂直平分线是x ＝2＋62＝4, 设直线BC 的解析式为y ＝kx ＋b ,把B (6,2),C (4,5)代入上式得⎩⎨⎧6k ＋b ＝24k ＋b ＝5, 解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝－32b ＝11, ∴y ＝－32x ＋11, 设BC 的垂直平分线为y ＝23x ＋m , 把线段BC 的中点坐标⎝⎛⎭⎫5,72代入得m ＝16, ∴BC 的垂直平分线是y ＝23x ＋16, 当x ＝4时,y ＝176, ∴过A 、B 、C 三点的圆的圆心坐标为⎝⎛⎭⎫4,176． 选A ．16．(2017﹒南京)函数y 1＝x 与y 2＝4x的图象如图所示,下列关于函数y ＝y 1＋y 2的结论：①函数的图象关于原点中心对称；②当x ＜2时,y 随x 的增大而减小；③当x ＞0时,函数的图象最低点的坐标是(2,4),其中所有正确结论的序号是________．解：①由图象可以看出函数图象上的每一个点都可以找到关于原点对称的点,故正确；②在每个象限内,不同自变量的取值,函数值的变化是不同的,故错误；③结合图象的2个分支可以看出,当x ＝2时,y ＝2＋42＝4,即在第一象限内,最低点的坐标为(2,4),故正确；故答案为：①③．26．(2017﹒南京)已知函数y ＝－x 2＋(m －1)x ＋m (m 为常数)．(1)该函数的图象与x 轴公共点的个数是________．A.0B.1C.2D.1或2(2)求证：不论m 为何值,该函数的图象的顶点都在函数y ＝(x ＋1)2的图象上．(3)当－2≤m ≤3时,求该函数的图象的顶点纵坐标的取值范围．解：(1)∵函数y ＝－x 2＋(m －1)x ＋m (m 为常数),∴△＝(m －1)2＋4m ＝(m ＋1)2≥0,则该函数图象与x 轴的公共点的个数是1或2,故选D ；(2)y ＝－x 2＋(m －1)x ＋m ＝－⎝⎛⎭⎫x －m －122＋(m ＋1)24, 把x ＝m －12代入y ＝(x ＋1)2得：y ＝⎝⎛⎭⎫m －12＋12＝(m ＋1)24,则不论m 为何值,该函数的图象的顶点都在函数y ＝(x ＋1)2的图象上；(3)设函数z ＝(m ＋1)24, 当m ＝－1时,z 有最小值为0；当m ＜－1时,z 随m 的增大而减小；当m ＞－1时,z 随m 的增大而增大,当m ＝－2时,z ＝14；当m ＝3时,z ＝4, 则当－2≤m ≤3时,该函数图象的顶点坐标的取值范围是0≤z ≤4．27．(2017﹒南京)折纸的思考．【操作体验】用一张矩形纸片折等边三角形．第一步,对折矩形纸片ABCD (AB ＞BC )(图①),使AB 与DC 重合,得到折痕EF ,把纸片展平(图②)．第二步,如图③,再一次折叠纸片,使点C 落在EF 上的P 处,并使折痕经过点B ,得到折痕BG ,折出PB 、PC ,得到△PB C ．(1)说明△PBC 是等边三角形．【数学思考】(2)如图④,小明画出了图③的矩形ABCD 和等边三角形PBC ,他发现,在矩形ABCD 中把△PBC 经过图形变化,可以得到图⑤中的更大的等边三角形,请描述图形变化的过程．(3)已知矩形一边长为3cm,另一边长为a cm,对于每一个确定的a 的值,在矩形中都能画出最大的等边三角形,请画出不同情形的示意图,并写出对应的a 的取值范围．【问题解决】(4)用一张正方形铁片剪一个直角边长分别为4cm 和1cm 的直角三角形铁片,所需正方形铁片的边长的最小值为________cm ．(1)证明：由折叠的性质得：EF是BC的垂直平分线,BG是PC的垂直平分线,∴PB＝PC,PB＝CB,∴PB＝PC＝CB,∴△PBC是等边三角形．(2)解：以点B为中心,在矩形ABCD中把△PBC逆时针方向旋转适当的角度,得到△P1BC1；再以点B为位似中心,将△P1BC1放大,使点C1的对称点C2落在CD上,得到△P2BC2；如图⑤所示；(3)解：本题答案不唯一,举例如图⑥所示；(4)解：如图⑦所示：△CEF是直角三角形,∠CEF＝90°,CE＝4,EF＝1,∴∠AEF＋∠CED＝90°,∴∠A ＝∠D ＝90°,AD ＝CD ,∴∠DCE ＋∠CED ＝90°,∴∠AEF ＝∠DCE ,∴△AEF ∽△DCE ,∴AE DC ＝EF CE ＝14, 设AE ＝x ,则AD ＝CD ＝4x ,∴DE ＝AD －AE ＝3x ,在Rt △CDE 中,由勾股定理得：(3x )2＋(4x )2＝42,解得：x ＝45, ∴AD ＝4×45＝165．。
2017年山东省德州市中考数学试卷压轴题
2017年山东省德州市中考数学试卷压轴题9．(2017﹒德州)如图放置的两个正方形,大正方形ABCD边长为a,小正方形CEFG边长为b(a＞b),M在BC 边上,且BM＝b,连接AM,MF,MF交CG于点P,将△ABM绕点A旋转至△ADN,将△MEF绕点F旋转至△NGF,给出以下五个结论：①∠MAD＝∠AND；②CP＝b－b2a；③△ABM≌△NGF；④S_(四边形AMFN)＝a2＋b2；⑤A,M,P,D四点共圆,其中正确的个数是()A．2 B．3 C．4 D．517．(2017﹒德州)某景区修建一栋复古建筑,其窗户设计如图所示．圆O的圆心与矩形ABCD对角线的交点重合,且圆与矩形上下两边相切(E为上切点),与左右两边相交(F,G为其中两个交点),图中阴影部分为不透光区域,其余部分为透光区域．已知圆的半径为1m,根据设计要求,若∠EOF＝45°,则此窗户的透光率(透光区域与矩形窗面的面积的比值)为________．23．(2017﹒德州)如图1,在矩形纸片ABCD中,AB＝3cm,AD＝5cm,折叠纸片使B点落在边AD上的E处,折痕为PQ,过点E作EF∥AB交PQ于F,连接BF．(1)求证：四边形BFEP为菱形；(2)当点E在AD边上移动时,折痕的端点P、Q也随之移动；①当点Q与点C重合时(如图2),求菱形BFEP的边长；②若限定P、Q分别在边BA、BC上移动,求出点E在边AD上移动的最大距离．24．(2017﹒德州)有这样一个问题：探究同一平面直角坐标系中系数互为倒数的正、反比例函数y ＝1kx 与y ＝k x(k ≠0)的图象性质． 小明根据学习函数的经验,对函数y ＝1k x 与y ＝k x,当k ＞0时的图象性质进行了探究． 下面是小明的探究过程：(1)如图所示,设函数y ＝1k x 与y ＝k x图象的交点为A ,B ,已知A 点的坐标为(－k ,－1),则B 点的坐标为_______； (2)若点P 为第一象限内双曲线上不同于点B 的任意一点．①设直线P A 交x 轴于点M ,直线PB 交x 轴于点N ．求证：PM ＝PN ．证明过程如下,设P ⎝⎛⎭⎫m , k m ,直线P A 的解析式为y ＝ax ＋b (a ≠0)． 则 ⎩⎪⎨⎪⎧－ka ＋b ＝－1ma ＋b ＝ k m , 解得 ⎩⎨⎧a ＝b ＝________∴直线P A 的解析式为________ 请你把上面的解答过程补充完整,并完成剩余的证明．②当P 点坐标为(1,k )(k ≠1)时,判断△P AB 的形状,并用k 表示出△P AB 的面积．2017年山东省德州市中考数学试卷压轴题参考答案9．解：①∵四边形ABCD 是正方形,∴∠BAD ＝∠ADC ＝∠B ＝90°,∴∠BAM ＋∠DAM ＝90°,∵将△ABM 绕点A 旋转至△ADN ,∴∠NAD ＝∠BAM ,∠AND ＝∠AMB ,∴∠DAM ＋∠NAD ＝∠NAD ＋∠AND ＝∠AND ＋∠NAD ＝90°,∴∠DAM ＝∠AND ,故①正确；②∵四边形CEFG 是正方形,∴PC ∥EF ,∴△MPC ∽△EMF ,∴PC EF ＝CM ME, ∵大正方形ABCD 边长为a ,小正方形CEFG 边长为b (a ＞b ),BM ＝b , ∴EF ＝b ,CM ＝a －b ,ME ＝(a －b )＋b ＝a ,∴PC b ＝a －b a, ∴CP ＝b －b 2a；故②正确； ③∵将△MEF 绕点F 旋转至△NGF ,∴GN ＝ME ,∵AB ＝a ,ME ＝a ,∴AB ＝ME ＝NG ,在△ABM 与△NGF 中,⎩⎪⎨⎪⎧AB ＝NG ＝a∠B ＝∠NGF ＝90°GF ＝BM ＝b, ∴△ABM ≌△NGF ；故③正确；④∵将△ABM 绕点A 旋转至△ADN ,∴AM ＝AN ,∵将△MEF 绕点F 旋转至△NGF ,∴NF ＝MF ,∵△ABM ≌△NGF ,∴AM ＝NF ,∴四边形AMFN 是矩形,∵∠BAM ＝∠NAD ,∴∠BAM ＋DAM ＝∠NAD ＋∠DAN ＝90°,∴∠NAM ＝90°,∴四边形AMFN 是正方形,∵在Rt △ABM 中,a 2＋b 2＝AM 2,∴S 四边形AMFN ＝AM 2＝a 2＋b 2；故④正确；⑤∵四边形AMFN 是正方形,∴∠AMP ＝90°,∵∠ADP ＝90°,∴∠ABP ＋∠ADP ＝180°,∴A ,M ,P ,D 四点共圆,故⑤正确．故选D ．17．解：设⊙O 与矩形ABCD 的另一个交点为M,连接OM 、OG ,则M 、O 、E 共线,由题意得：∠MOG ＝∠EOF ＝45°,∴∠FOG ＝90°,且OF ＝OG ＝1,∴S 透明区域＝180π×12360＋2×12×1×1＝π2＋1, 过O 作ON ⊥AD 于N ,∴ON ＝12FG ＝122, ∴AB ＝2ON ＝2×122＝2, ∴S 矩形＝2×2＝22, ∴S 透光区域S 矩形＝π2＋122＝2(π＋2)8． 23．(1)证明：∵折叠纸片使B 点落在边AD 上的E 处,折痕为PQ ,∴点B 与点E 关于PQ 对称,∴PB ＝PE ,BF ＝EF ,∠BPF ＝∠EPF ,又∵EF ∥AB ,∴∠BPF ＝∠EFP ,∴∠EPF ＝∠EFP ,∴EP ＝EF ,∴BP ＝BF ＝EF ＝EP ,∴四边形BFEP 为菱形；(2)解：①∵四边形ABCD 是矩形,∴BC ＝AD ＝5cm,CD ＝AB ＝3cm,∠A ＝∠D ＝90°,∵点B 与点E 关于PQ 对称,∴CE ＝BC ＝5cm,在Rt △CDE 中,DE ＝CE 2－CD 2＝4cm,∴AE ＝AD －DE ＝5cm －4cm ＝1cm ；在Rt △APE 中,AE ＝1,AP ＝3－PB ＝3－PE ,∴EP 2＝12＋(3－EP )2,解得：EP ＝53cm, ∴菱形BFEP 的边长为53cm ； ②当点Q 与点C 重合时,如图2：点E 离点A 最近,由①知,此时AE ＝1cm ；当点P 与点A 重合时,如图3所示：点E 离点A 最远,此时四边形ABQE 为正方形,AE ＝AB ＝3cm,∴点E 在边AD 上移动的最大距离为2cm ．24．解：(1)由正、反比例函数图象的对称性可知,点A 、B 关于原点O 对称, ∵A 点的坐标为(－k ,－1),∴B 点的坐标为(k ,1)．故答案为：(k ,1)．(2)①证明过程如下,设P ⎝⎛⎫m ,k m ,直线P A 的解析式为y ＝ax ＋b (a ≠0)． 则⎩⎪⎨⎪⎧－ka ＋b ＝－1ma ＋b ＝k m , 解得：⎩⎨⎧a ＝1m b ＝k m －1,∴直线P A 的解析式为y ＝1m x ＋k m－1． 当y ＝0时,x ＝m －k ,∴M 点的坐标为(m －k ,0)．过点P 作PH ⊥x 轴于H ,如图1所示,∵P 点坐标为⎝⎛⎭⎫m ,k m , ∴H 点的坐标为(m ,0),∴MH ＝x H －x M ＝m －(m －k )＝k ．同理可得：HN ＝k ．∴MH ＝HN ,∴PM ＝PN ．故答案为：⎩⎨⎧a ＝1m b ＝k m －1；y ＝1m x ＋k m －1． ②由①可知,在△PMN 中,PM ＝PN ,∴△PMN 为等腰三角形,且MH ＝HN ＝k ． 当P 点坐标为(1,k )时,PH ＝k ,∴MH ＝HN ＝PH ,∴∠PMH ＝∠MPH ＝45°,∠PNH ＝∠NPH ＝45°, ∴∠MPN ＝90°,即∠APB ＝90°,∴△P AB 为直角三角形．当k ＞1时,如图1,S△P AB＝S△PMN－S△OBN＋S△OAM,＝12MN﹒PH－12ON﹒y B＋12OM﹒|y A|,＝12×2k×k－12(k＋1)×1＋12(k－1)×1,＝k2－1；当0＜k＜1时,如图2,S△P AB＝S△OBN－S△PMN＋S△OAM,＝12ON﹒y B－k2＋12OM﹒|y A|,＝12(k＋1)×1－k2＋12(1－k)×1,＝1－k2．。
2017全国中考数学压轴题——解答题部分(四)
(1)求抛物线解析式及顶点N的坐标；
(2)求证：四边形PMDA是平行四边形；
(3)求证△DPE∽△PAM，并求当它们的相似比为时的点P的坐标．
73．(湖南常德26)如图，直角△ABC中，∠BAC＝90°，D在BC上，连接AD，作BF⊥AD分别交AD于E，AC于F．
(1)如图13，若BD＝BA，求证：△ABE≌△DBE；
(2)如图14，若BD＝4DC，取AB的中点G，连接CG交AD于M，
(2)如图，顶点在第一象限的抛物线y＝m(x－1)2－4m与其伴随直线相交于点A，B(点A在点B的右侧)与x轴交于点C，D
①若∠CAB＝90°求m的值；
②如果点P(x，y)是直线BC上方抛物线的一个动点，∆PBC的面积记为S，当S取得最大值时，求m的值．
70．(湖北宜昌23)正方形ABCD的边长为1，点O是BC边上的一个动点(与B，C不重合)，以O为顶点在BC所在直线的上方作∠MON＝90°．
(1)直接写出A、B两点的坐标；
(2)过点A、B的抛物线G与x轴的另一个交点为点C．
①若∆ABC是以BC为腰的等腰三角形，求此时抛物线的解析式；
②将抛物线G向下平移4个单位后，恰好与直线AB只有一个交点N，求点N的坐标．
77．(湖南衡阳27)如图，正方形ABCD的边长为1，点E为边AB上一动点，连结CE并将其绕点C顺时针旋转90°得到CF，连结DF，以CE、CF为邻边作矩形CFGE，GE与AD、AC分别交于点H、M，GF交CD延长线于点N．
2017年全国各地中考数学压轴题集锦附答案
2017年全国各地中考数学压轴题集锦答案1．（北京模拟）已知抛物线y ＝－x2＋2x ＋m －2与y 轴交于点A （0，2m －7），与直线y ＝2x 交于点B 、C （B 在C 的右侧）． （1）求抛物线的解析式；（2）设抛物线的顶点为E ，在抛物线的对称轴上是否存在一点F ，使得∠BFE ＝∠CFE ，若存在，求出点F 的坐标，若不存在，说明理由；（3）动点P 、Q 同时从原点出发，分别以每秒5个单位长度、每秒25个单位长度的速度沿射线OC 运动，以PQ 为斜边在直线BC 的上方作直角三角形PMQ （直角边分别平行于坐标轴），设运动时间为t 秒．若△PMQ 与抛物线y ＝－x2＋2x ＋m －2有公共点，求t 的取值范围．解：（1）把点A （0，2m －7）代入y ＝－x2＋2x ＋m －2，得m ＝5∴抛物线的解析式为y ＝－x2＋2x ＋3（2）由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－x2＋2x ＋3y ＝2x 解得⎩⎨⎧x 1＝3y 1＝23 ⎩⎨⎧x 2＝－3y 2＝－23 ∴B （3，23），C （－3，－23）∵y ＝－x2＋2x ＋3＝－(x －1)2＋4 ∴抛物线的对称轴为x ＝1 设F （1，y ）∵∠BFE ＝∠CFE ，∴tan ∠BFE ＝tan ∠CFE 当点F 在点B 上方时，3－1 y －23 ＝3＋1y ＋23解得y ＝6，∴F （1，6）当点F 在点B 下方时，3－1 23－y ＝3＋1－y －23解得y ＝6（舍去）∴满足条件的点F 的坐标是F （1，6）（3）由题意，OP ＝5t ，OQ ＝25t ，∴PQ ＝5t ∵P 、Q 在直线直线y ＝2x 上 ∴设P （x ，2x ），则Q （2x ，4x ）（x＜0）∴x 2＋4x 2＝5t ，∴x ＝－t∴P （－t ，－2t ），Q （－2t ，－4t ） ∴M （－2t ，－2t ）当M （－2t ，－2t ）在抛物线上时，有－2t ＝－4t2－4t ＋3解得t ＝13－14（舍去负值） 当P （－t ，－2t ）在抛物线上时，有－2t ＝－t2－2t ＋3 解得t ＝3（舍去负值） ∴t 的取值范围是：13－14≤t≤ 32．（北京模拟）在平面直角坐标系中，抛物线y 1＝ax2＋3x ＋c 经过原点及点A （1，2），与x 轴相交于另一点B ．（1）求抛物线y 1的解析式及B 点坐标；（2）若将抛物线y 1以x ＝3为对称轴向右翻折后，得到一条新的抛物线y 2，已知抛物线y 2与x 轴交于两点，其中右边的交点为C 点．动点P 从O 点出发，沿线段OC 向C 点运动，过P 点作x 轴的垂线，交直线OA 于D 点，以PD 为边在PD 的右侧作正方形PDEF ． ①当点E 落在抛物线y 1上时，求OP 的长；②若点P 的运动速度为每秒1个单位长度，同时线段OC 上另一点Q 从C 点出发向O 点运动，速度为每秒2个单位长度，当Q 点到达O 点时P 、Q 两点停止运动．过Q 点作x 轴的垂线，与直线AC 交于G 点，以QG 为边在QG 的左侧作正方形QGMN ．当这两个正方形解：（1）∵抛物线y 1＝ax2＋3x ＋c 经过原点及点A（1，2）∴⎩⎪⎨⎪⎧c ＝2a ＋3＋c ＝2 解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1c ＝0 ∴抛物线y 1的解析式为y 1＝－x2＋3x令y 1＝0，得－x2＋3x ＝0，解得x 1＝0，x 2＝3 ∴B （3，0）（2）①由题意，可得C （6，0） 过A 作AH ⊥x 轴于H ，设OP ＝a可得△ODP ∽△OAH ，∴DPOP＝AHOH＝2 ∴DP ＝2OP ＝2a∵正方形PDEF ，∴E （3a ，2a ） ∵E （3a ，2a ）在抛物线y 1＝－x2＋3x 上∴2a ＝－9a2＋9a ，解得a 1＝0（舍去），a 2＝7 9∴OP 的长为79②设直线AC 的解析式为y ＝kx ＋b∴⎩⎪⎨⎪⎧2＝k ＋b 0＝6k ＋b 解得k ＝－2 5 ，b ＝12 5∴直线AC 的解析式为y ＝－2 5 x ＋125由题意，OP ＝t ，PF ＝2t ，QC ＝2t ，GQ ＝45t 当EF 与MN 重合时，则OF ＋CN ＝6 ∴3t ＋2t ＋45t ＝6，∴t ＝3029当EF 与GQ 重合时，则OF ＋QC ＝6 ∴3t ＋2t ＝6，∴t ＝65当DP 与MN 重合时，则OP ＋CN ＝6 ∴t ＋2t ＋4 5 t ＝6，∴t ＝3019当DP 与GQ 重合时，则OP ＋CQ ＝6∴t ＋2t ＝6，∴t ＝23．（北京模拟）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y ＝ax2＋bx ＋4经过A （－3，0）、B（4，0）两点，且与y 轴交于点C ，点D 在x 轴的负半轴上，且BD ＝BC ．动点P 从点A 出发，沿线段AB 以每秒1个单位长度的速度向点B 移动，同时动点Q 从点C 出发，沿线段CA 以某一速度向点A 移动． （1）求该抛物线的解析式；（2）若经过t 秒的移动，线段PQ 被CD 垂直平分，求此时t 的值；（3）该抛物线的对称轴上是否存在一点M ，使MQ ＋MA 的值最小？若存在，求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由．解：（1）∵抛物线y ＝ax2＋bx ＋4经过A （－3，0）、B （4，0）两点∴⎩⎪⎨⎪⎧9a －3b ＋4＝016a ＋4b ＋4＝0解得a ＝－1 3 ，b ＝1 3∴所求抛物线的解析式为y ＝－1 3x2＋ 13x ＋4（2）连接DQ ，依题意知AP ＝t∵抛物线y＝－13x2＋13x＋4与y轴交于点C∴C（0，4）又A（－3，0，B（4，0）可得AC＝5，BC＝42，AB＝7∵BD＝BC，∴AD＝AB－BD＝7－42∵CD垂直平分PQ，∴QD＝DP，∠CDQ＝∠CDP ∵BD＝BC，∴∠DCB＝∠CDB∴∠CDQ＝∠DCB，∴DQ∥BC∴△ADQ∽△ABC，∴ADAB＝DQBC∴ADAB＝DPBC，∴7－427＝DP42解得DP＝42－327，∴AP＝AD＋DP＝177∴线段PQ被CD垂直平分时，t的值为17 7（3）设抛物线y＝－13x2＋13x＋4的对称轴x＝12与x轴交于点E由于点A、B关于对称轴x＝12对称，连接BQ交对称轴于点M则MQ＋MA＝MQ＋MB，即MQ＋MA＝BQ当BQ⊥AC时，BQ最小，此时∠EBM＝∠ACO∴tan∠EBM＝tan∠ACO＝3 4∴MEBE＝34，即ME4－12＝34，解得ME＝218∴M（12，218）∴在抛物线的对称轴上存在一点M（12，218），使得MQ＋MA的值最小4．（北京模拟）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8．动点P从点A出发，沿AC→CB→BA边运动，点P在AC、CB、BA边上运动的速度分别为每秒3、4、5个单位．直线l从与AC重合的位置开始，以每秒43个单位的速度沿CB方向移动，移动过程中保持l∥AC，且分别与CB、AB边交于点E、F．点P与直线l同时出发，设运动的时间为t秒，当点P 第一次回到点A时，点P和直线l同时停止运动．（1）当t＝_________秒时，点P与点E重合；当t＝_________秒时，点P与点F重合；（2）当点P在AC边上运动时，将△PEF绕点E逆时针旋转，使得点P的对应点P′落在EF上，点F的对应点为F′，当EF′⊥AB时，求t的值；（3）作点P关于直线EF的对称点Q，在运动过程中，若形成的四边形PEQF为菱形，求t的值；（4）在整个运动过程中，设△PEF的面积为S，直接写出S关于t的函数关系式及S的最大值．解：（1）3；4.5提示：在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8∴AB＝62＋82＝10，∴sin B＝ACAB＝35，cos B＝BCAB＝45，tan B＝ACBC＝34当点P与点E重合时，点P在CB边上，CP＝CE∵AC＝6，点P在AC、CB边上运动的速度分别为每秒3、4个单位∴点P在AC边上运动的时间为2秒，CP＝4(t－2)∵CE＝43t，∴4(t－2)＝43t，解得t＝3当点P与点F重合时，点P在BA边上，BP＝BF∵AC＝6，BC＝8，点P在AC、CB、BA边上运动的速度分别为每秒3、4、5个单位∴点P在AC、CB边上运动的时间共为4秒，BF＝BP＝5(t－4)∵CE＝43t，∴BE＝8－43t在Rt△BEF中，BEBF＝cos B∴8－43t5(t－4)＝45，解得t＝4.5（2）由题意，∠PEF＝∠MEN∵EF∥AC，∠C＝90°，∴∠BEF＝90°，∠CPE＝∠PEF ∵EN⊥AB，∴∠B＝∠MEN∴∠CPE＝∠B，∴tan∠CPE＝tan B∵tan∠CPE＝CECP，tan B＝ACBC＝34∴CECP＝34，∴CP＝43CE∵AP＝3t（0＜t＜2），CE＝43t，∴CP＝6－3t∴6－3t＝43×43t，解得t＝5443（3）连接PQ交EF于O∵P、Q关于直线EF对称，∴EF垂直平分PQ若四边形PEQF为菱形，则OE＝OF＝12EFBCA PlFEBCA备用图EBMCAPlFNBCAlFE(P)BCAlFE(P)①当点P 在AC 边上运动时易知四边形POEC 为矩形，∴OE ＝PC ∴PC ＝12EF ∵CE ＝4 3t ，∴BE ＝8－4 3 t ，EF ＝BE ·tan B ＝ 3 4 ( 8－ 43t)＝6－t∴6－3t ＝1 2 (6－t)，解得t ＝65②当点P 在CB 边上运动时，P 、E 、Q 三点共线，不存在四边形PEQF③当点P 在BA 边上运动时，则点P 在点B 、F 之间 ∵BE ＝8－43t ，∴BF ＝ BE cos B＝5 4 (8－4 3 t )＝10－5 3t ∵BP ＝5(t －4)，∴PF ＝BF －BP ＝10－53t －5(t －4)＝30－203t ∵∠POF ＝∠BEF ＝90°，∴PO ∥BE ，∴∠OPF ＝∠B 在Rt △POF 中，OFPF＝sin B ∴12(6－t)30－ 20 3t＝ 3 5 ，解得t ＝30 7∴当t ＝65或t ＝307时，四边形PEQF 为菱形 （4）S ＝⎩⎪⎪⎨⎪⎪⎧－23t2＋4t （0≤t≤2）4 3t2－12t ＋24（2＜t≤3）－43t2＋12t －24（3＜t≤4）8 3t2－28t ＋72（4＜t≤4.5）－8 3t2＋28t －72（4.5＜t≤6）S 的最大值为1635．（北京模拟）在等腰梯形ABCD 中，AB ∥CD ，AB ＝10，CD ＝6，AD ＝BC ＝4．点P 从点B 出发，沿线段BA 向点A 匀速运动，速度为每秒2个单位，过点P 作直线BC 的垂线PE ，垂足为E ．设点P 的运动时间为t （秒）． （1）∠A ＝___________°； （2）将△PBE 沿直线PE 翻折，得到△PB ′E ，记△PB ′E 与梯形ABCD 重叠部分的面积为S ，求S 与t 之间的函数关系式，并求出S 的最大值；（3）在整个运动过程中，是否存在以点D 、P 、B ′为顶点的三角形为直角三角形或等腰三角形？若存在，求出t 的值；若不存在，请说明理由．EBOC APl FQEB CAPlF QO解：（1）60°（2）∵∠A ＝∠B ＝60°，PB ＝PB ′ ∴△PB ′B 是等边三角形∴PB ＝PB ′＝BB ′＝2t ，BE ＝B ′E ＝t ，PE ＝3t 当0＜t≤2时S ＝S △PB ′E ＝12B ′E ·PE ＝1 2 t ·3t ＝ 3 2t2 当2＜t≤4时S ＝S △PB ′E－S △FB ′C＝3 2t2－ 3 4 ( 2t －4 )2＝－ 3 2t2＋43t －4 3当4＜t≤5时设PB ′、PE 分别交DC 于点G 、H ，作GK ⊥PH 于K ∵△PB ′B 是等边三角形，∴∠B ′PB ＝60°＝∠A ∴PG ∥AD ，又DG ∥AP∴四边形APGD 是平行四边形 ∴PG ＝AD ＝4∵AB ∥CD ，∴∠GHP ＝∠BPH∵∠GPH ＝∠BPH ＝12∠B ′PB ＝30°∴∠GHP ＝∠GPH ＝30°，∴PG ＝GH ＝4 ∴GK ＝12PG ＝2，PK ＝KH ＝PG ·cos30°＝2 3 ∴PH ＝2PK ＝4 3 ∴S ＝S △PGH＝12PH ·GK ＝12×43×2＝4 3 综上得，S 与t 之间的函数关系式为： S ＝⎩⎨⎧32t2（0＜t≤2）－3 2t2＋43t －43（2＜t≤4）43（4＜t≤5）（3）①若∠DPB ′＝90° ∵∠B ′PB ＝60°，∴∠DP A ＝30° 又∠A ＝60°，∴∠ADP ＝90°∴AP ＝2AD ，∴10－2t ＝8，∴t ＝1 若∠PDB ′＝90°A CB D P EB ′ACBD备用图C DE B ′作DM⊥AB于M，DN⊥B′B于N则AM＝2，DM＝23，NC＝3，DN＝3 3PM＝|10－2－2t|＝|8－2t|NB′＝|3＋4－2t|＝|7－2t|DP2＝DM2＋PM2＝(23)2＋(8－2t)2＝(8－2t)2＋12 DB′2＝DN2＋NB′＝(33)2＋(7－2t)2＝(7－2t)2＋27 ∵DP2＋DB′2＝B′P2∴(8－2t)2＋12＋(7－2t)2＋27＝(2t)2解得t1＝15＋732＞5（舍去），t2＝15－732若∠DB′P＝90°，则DB′2＋B′P2＝DP2∴(7－2t)2＋27＋(2t)2＝(8－2t)2＋12 解得t1＝－1（舍去），t2＝0（舍去）∴存在以点D、P、B′为顶点的三角形为直角三角形，此时t＝1或t＝15－732②若DP＝B′P，则(8－2t)2＋12＝(2t)2解得t＝19 8若B′D＝B′P，则(7－2t)2＋27＝(2t)2解得t＝19 7若DP＝DB′，则(8－2t)2＋12＝(7－2t)2＋27 解得t＝0（舍去）∴存在以点D、P、B′为顶点的三角形为等腰三角形，此时t＝198或t＝1976．（北京模拟）已知二次函数y＝－33mx2＋3mx－2的图象与x轴交于点A（23，0）、点B，与y轴交于点C．（1）求点B坐标；（2）点P从点C出发以每秒1个单位的速度沿线段CO向O点运动，到达点O后停止运动，过点P作PQ∥AC交OA于点Q，将四边形PQAC沿PQ翻折，得到四边形PQA′C′，设点P的运动时间为t．①当t为何值时，点A′恰好落在二次函数y＝－33mx2＋3mx－2图象的对称轴上；②设四边形PQA′C′落在第一象限内的图形面积为S，求S关于t的函数关系式，并求出S 的最大值．解：（1）将A（23，0）代入y＝－33mx2＋3mx－2得0＝－33m×(23)2＋3m×23－2，解得m＝33∴y＝－13x2＋3x－2ACBDPEB′MNACBDPEB′ACBDPB′E令y ＝0，得－13x 2＋3x －2＝0，解得：x 1＝3，x 2＝2 3 ∴B（3，0） （2）①由y ＝－13x 2＋3x －2，令x ＝0，得y ＝－2 ∴C （0，－2） ∵y ＝－13x2＋3x －2＝－1 3 (x －323)2＋1 4∴二次函数图象的对称轴为直线x ＝323过A ′作A ′H ⊥OA 于H在Rt △AOC 中，∵OC ＝2，OA ＝2 3 ∴∠OAC ＝30°，∠OCA ＝60° ∴∠PQA ＝150°，∠A ′QH ＝60°，AQ ＝A ′Q ＝2QH ∵点A ′在二次函数图象的对称轴上∴⎩⎪⎨⎪⎧OQ ＋QH ＝3 23OQ ＋2QH ＝23解得QH ＝32∴AQ ＝3，CP ＝1 ∴t ＝1②分两种情况：ⅰ）当0＜t≤1时，四边形PQA ′C ′ 落在第一象限内的图形为等腰三角形QA ′DDQ ＝A ′Q ＝3tA ′H ＝AQ ·sin60°＝3t ·32＝32t S ＝S △A ′DQ＝12 ·3t ·3 2t ＝33 4t2 ∵当0＜t≤1时，S 随t 的增大而增大 ∴当t ＝1时，S 有最大值334ⅱ）当1＜t＜2时，四边形PQA ′C ′ 落在第一象限内的图形为四边形EOQA ′ S 四边形EOQA ′＝S 梯形PQA ′C ′－S △OPQ－S △PC ′E＝[23－3 2 (2－t )2]－ 3 2 ( 2－t )2－ 3 4t2 ＝－534t2＋43t －2 3 ∵－53 4 t2＋43t －23＝－53 4 (t －8 5)2＋635且1＜85＜2，∴当t ＝8 5 时，S 有最大值63 5∵63 5＞33 4 ，∴S 的最大值是63 57．（北京模拟）已知梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠A ＝120°，E 是DAB的中点，过E点作射线EF∥BC，交CD于点G，AB、AD的长恰好是方程x2－4x＋a2＋2a＋5＝0的两个相等实数根，动点P、Q分别从点A、E出发，点P以每秒1个单位长度的速度沿AB由A向B运动，点Q以每秒2个单位长度的速度沿EF由E向F运动，设点P、Q运动的时间为t（秒）．（1）求线段AB、AD的长；（2）当t＞1时，求△DPQ的面积S与时间t之间的函数关系式；（3）是否存在△DPQ是直角三角形的情况，如果存在，求出时间t；如果不存在，请说明理由．解：（1）由题意，△＝42－4(a2＋2a＋5)＝－4(a＋1)2＝0∴a＝－1原方程可化为x2－4＋4＝0，解得∴x1＝x2＝2∴AB＝AD＝2（2）作AH⊥BC于H，交EG于O，DK⊥EF于K，PM⊥DA交DA的延长线于M∵AD∥BC，∠A＝120°，AB＝AD＝2∴∠B＝60°，AH＝ 3∵E是AB中点，且EF∥BC，∴AO＝DK＝3 2∵AP＝t，∴PM＝3 2t∵t＞1，∴点P在点E下方延长FE交PM于S，设DP与EF交于点N则PS＝32t－32∵AD∥BC，EF∥BC，∴EF∥AD∴ENAD＝PEP A，∴EN2＝t－1t∴EN＝2(t－1)t，∴QN＝2t－2(t－1)t∴S＝12(2t－2(t－1)t)(32t－32＋32)＝32t2－32t＋32即S＝32t2－32t＋32（t＞1）（3）由题意，AM＝12t，∴DM＝2＋12t∴DP2＝DM2＋PM2＝(2＋12t)2＋(32t)2＝t2＋2t＋4又DQ2＝DK2＋KQ2＝(32)2＋(2t－12－2)2＝4t2－10t＋7PQ2＝PS2＋SQ2＝(32t－32)2＋(2t＋t－12)2＝7t2－4t＋1ABDQCPE FN GS O KHM①若∠PDQ＝90°，则DP2＋DQ2＝PQ2∴t2＋2t＋4＋4t2－10t＋7＝7t2－4t＋1解得t＝6－1（舍去负值）②若∠DPQ＝90°，则PD2＋PQ2＝DQ2∴t2＋2t＋4＋7t2－4t＋1＝4t2－10t＋7解得t＝62－1（舍去负值）③若∠DQP＝90°，则DQ2＋PQ2＝PD2∴4t2－10t＋7＋7t2－4t＋1＝t2＋2t＋4解得t＝4±6 5综上所述，存在△DPQ是直角三角形的情况，此时t＝6－1，t＝62－1，t＝4±658．（天津模拟）如图，在平面直角坐标系中，直y＝－x＋42交x轴于点A，交y轴于点B．在线段OA上有一动点P，以每秒2个单位长度的速度由点O向点A匀速运动，以OP为边作正方形OPQM交y轴于点M，连接QA和QB，并从QA和QB的中点C和D向AB作垂线，垂足分别为点F和点E．设P点运动的时间为t秒，四边形CDEF的面积为S1，正方形OPQM与四边形CDEF重叠部分的面积为S2．（1）直接写出A点和B点坐标及t的取值范围；（2）当t＝1时，求S1的值；（3）试求S2与t的函数关系式（4）直接写出在整个运动过程中，点C和点D所走过的路程之和．解：（1）A（42，0）、B（0，42），0≤t≤4（2）过Q作QH⊥AB于H∵C、D分别是QA和QB的中点∴CD∥AB，CD＝12AB＝12×42×2＝4∵CF⊥AB，DE⊥AB，∴CF∥DE∴四边形CDEF是平行四边形又∵CF⊥AB，∴四边形CDEF是矩形∵CF⊥AB，QH⊥AB，∴CF∥QH又∵C是QA中点，∴CF＝12QH连接OQ∵正方形OPQM，∴∠1＝∠2，OP＝PQ＝QM＝MO ∵OA＝OB，∴P A＝MB∴Rt△QP A≌Rt△QMB，∴QA＝QB，∠PQA＝∠MQB∵QH ⊥AB ，∴∠3＝∠4 ∴∠1＋∠MQB ＋∠3＝180°，∴O 、Q 、H 三点共线 ∴QH ＝OH －OQ∵t ＝1，点P 的运动速度为每秒2个单位长度 ∴OP ＝2，∴OQ ＝2 又∵OA ＝42，∴OH ＝4∴QH ＝OH －OQ ＝4－2＝2，∴CF ＝1 ∴S 1＝CD ·CF ＝4×1＝4（3）当点Q 落在AB 上时，OQ ⊥AB ，△QOA 是等腰直角三角形∴t ＝22÷2＝2 当0≤t≤2时，S 2＝0当点E 落在QM 上，点F 落在PQ 上时， △CFK 和△DEG 都是等腰直角三角形 过C 作CT ⊥PQ 于T则CT ＝12AP ＝1 2 (42－2t)＝22(4－t) ∴CF ＝2CT ＝4－t连接OQ ，分别交AB 、CD 于N 、R 则ON ＝22OA ＝22×42＝4 ∵OP ＝2t ，∴OQ ＝2t ，∴QN ＝2t －4 ∴CF ＝12QN ＝t －2 ∴4－t ＝t －2，∴t ＝3当2＜t≤3时，重叠部分为等腰梯形GHIK △QGK 和△QHI 都是等腰直角三角形∵QN ＝2t －4，RN ＝CF ＝t －2，∴QR ＝t －2 ∴GK ＝2QR ＝2t －4，HI ＝2QN ＝4t －8∴S 2＝1 2 (GK ＋HI)·RN ＝1 2(2t －4＋4t －8)(t －2)＝3(t －2)2当3＜t≤4时，重叠部分为六边形GHEFIK易知Rt △CIK ≌Rt △DHG ，∴GH ＝KI ＝2CT ＝2(4－t)∴S 2＝S 矩形CDEF－2S △CIK＝CD ·CF －KI ·CT＝4(t －2)－2(4－t)·22(4－t)＝－t 2＋12t －24 综上得S 2关于t 的函数关系式为：S 2＝ ⎩⎨⎧0（0≤t≤2）3( t －2 )2（2＜t≤3）－t2＋12t －24（3＜t≤4）（4）8提示：点C 和点D 走过的路程分别为以OP 为边的正方形的对角线的一半9．（上海模拟）如图，正方形ABCD中，AB＝5，点E是BC延长线上一点，CE＝BC，连接BD．动点M从B出发，以每秒2个单位长度的速度沿BD向D运动；动点N从E出发，以每秒2个单位长度的速度沿EB向B运动，两点同时出发，当其中一点到达终点后另一点也停止运动．设运动时间为t秒，过M作BD的垂线MP交BE于P．（1）当PN＝2时，求运动时间t；（2）是否存在这样的t，使△MPN为等腰三角形？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由；（3）设△MPN与△BCD重叠部分的面积为S，直接写出S与t的函数关系式和函数的定义域．解：（1）∵正方形ABCD，∴∠DBC＝45°∵MP⊥DB，∴△BMP是等腰直角三角形∵BM＝2t，∴BP＝2BM＝2t又PN＝2，NE＝2t当0＜t＜2.5时，BP＋PN＋NE＝BE∴2t＋2＋2t＝10，∴t＝2当2.5＜t＜5时，BP－PN＋NE＝BE∴2t－2＋2t＝10，∴t＝3（2）过M作MH⊥BC于H则△NQC∽△NMH，∴QCCN＝MHHN∴QC5－2t＝t10－t－2t，∴QC＝5t－2t210－3t令QC＝y，则y＝5t－2t2 10－3t整理得2t2－(3y＋5)t＋10y＝0∵t为实数，∴[－(3y＋5)]2－4×2×10y≥0即9y2－50y＋25≥0，解得y≥5（舍去）或y≤5 9∴线段QC长度的最大值为5 9（3）当0＜t＜2.5时∵∠MPN＝∠DBC＋∠BMP＝45°＋90°＝135°∴∠MPN为钝角，∴MN＞MP，MN＞PN若PM＝PN，则2t＝10－4t解得t＝57(4－2)ABDNCPMEABDNCPMEQHABDPCN EMABDNCP EMA DM当2.5＜t＜5时∵∠MNP＞∠MBP＝∠MPB，∴MP＞MN若MN＝PN，则∠PMN＝∠MPN＝45°∴∠MNP＝90°，即MN⊥BP∴BN＝NP，BP＝2BN∴2t＝2(10－2t)，解得t＝103若PM＝PN∵PN＝BP－BN＝BP－(BE－NE)＝BP＋NE－BE∴2t＝2t＋2t－10，解得t＝57(4＋2)∴当t＝57(4－2)，t＝103，t＝57(4＋2)时，△MPN为等腰三角形（4）S＝⎩⎨⎧8t3－50t2＋75t20－6t（0＜t＜2.5）5t－252（2.5＜t＜5）10．（重庆模拟）如图，已知△ABC是等边三角形，点O是AC的中点，OB＝12，动点P在线段AB上从点A向点B以每秒3个单位的速度运动，设运动时间为t秒．以点P为顶点，作等边△PMN，点M，N在直线OB上，取OB的中点D，以OD为边在△AOB内部作如图所示的矩形ODEF，点E在线段AB上．（1）求当等边△PMN的顶点M运动到与点O重合时t的值；（2）求等边△PMN的边长（用含t的代数式表示）；（3）设等边△PMN和矩形ODEF重叠部分的面积为S，请直接写出S与t的函数关系式及自变量t的取值范围；（4）点P在运动过程中，是否存在点M，使得△EFM是等腰三角形？若存在，求出对应的t的值；若不存在，请说明理由．解：（1）当点M与点O重合时∵△ABC、△PMN是等边三角形，O为AC中点∴∠AOP＝30°，∠APO＝90°∵OB＝12，∴AO＝43＝2AP＝23t解得t＝2AO DCBF E备用图AO DCBF E备用图A DB PCNMEAO D BPF E(N)(M)∴当t ＝2时，点M 与点O 重合（2）由题设知∠ABM ＝30°，AB ＝83，AP ＝3t ∴PB ＝83－3t ，PM ＝PB ·tan30°＝8－t 即等边△PMN 的边长为8－t（3）S ＝⎩⎪⎨⎪⎧23t ＋63（0≤t≤1）－23t2＋63t ＋43（1＜t≤2）－32t2＋103（2＜t≤4）23t2－203t ＋503（4＜t≤5）0（5＜t≤8）提示：①当0≤t≤1时，PM 经过线段AF设PM 交AF 于点J ，PN 交EF 于点G ，则重叠部分为直角梯形FONG∵AP ＝3t ，∴AJ ＝23t ，JO ＝43－23t MO ＝4－2t ，ON ＝8－t －(4－2t)＝4＋t 作GH ⊥ON 于H则GH ＝FO ＝23，HN ＝2，FG ＝OH ＝4＋t －2＝2＋t ∴S ＝S 梯形FONG＝12(FG ＋ON)·FO＝12(2＋t ＋4＋t)·23＝23t ＋6 3 ②当1＜t≤2时，PM 经过线段FO设PM 交EF 于点I ，则重叠部分为五边形IJONGFJ ＝AJ －AF ＝23t －23，FI ＝2t －2∴S ＝S 梯形FONG－S △FIJ＝23t ＋63－12(23t －23)(2t －2)＝－23t 2＋63t ＋4 3③当2＜t≤4时，PN 经过线段ED设PN 交ED 于点K ，则重叠部分为五边形IMDKG∵AP ＝3t ，∴PE ＝43－3t ∴IG ＝GE ＝4－t ，EK ＝43－3t∴KD ＝23－(43－3t)＝3t －23，DN ＝t －2 ∴S ＝S 梯形IMNG －S △KDN＝1 2 (4－t ＋8－t)·23－12(3t －23)(t －2) ＝－32t 2＋10 3 ④当4＜t≤5时，PM 经过线段ED设PM 交ED 于点R ，则重叠部分为△RMD ∵AP ＝3t ，∴EP ＝3t －4 3 ∴ER ＝2EP ＝23t －8 3∴RD ＝23－(23t －83)＝103－23t MD ＝10－2tA ODCBP N F ME∴S ＝S △RMD＝12(10－2t)(103－23t)＝23t 2－203t ＋50 3 ⑤当5＜t≤8时，S ＝0（4）∵MN ＝BN ＝PN ＝8－t ，∴MB ＝16－2t ①若FM ＝EM ，则M 为OD 中点 ∴OM ＝3∵OM ＋MB ＝OB ，∴3＋16－2t ＝12 ∴t ＝3.5②若FM ＝FE ＝6，则OM ＝6 2－( 23)2＝2 6∵OM ＋MB ＝OB ，∴26＋16－2t ＝12 ∴t ＝2＋ 6③若EF ＝EM ＝6，点M 在OD 或DB 上则DM ＝6 2－( 23)2＝2 6∴DB ＋DM ＝MB 或者DB －DM ＝MB∴6＋26＝16－2t 或6－26＝16－2t ∴t ＝5－6或t ＝5＋ 6综上所述，当t ＝3.5、2＋6、5－6、5＋6时，△MEF 是等腰三角形11．（浙江某校自主招生）如图，正方形OABC 的顶点O 在坐标原点，且OA 边和AB 边所在直线的解析式分别为y ＝34x 和y ＝－4 3 x ＋ 253． （1）求正方形OABC 的边长；（2）现有动点P 、Q 分别从C 、A 同时出发，点P 沿线段CB 向终点B 运动，速度为每秒1个单位，点Q 沿折线A →O →C 向终点C 运动，速度为每秒k 个单位，设运动时间为2秒．当k 为何值时，将△CPQ 沿它的一边翻折，使得翻折前后的两个三角形组成的四边形为菱形？ （3）若正方形以每秒53个单位的速度沿射线AO 下滑，直至顶点B 落在x 轴上时停止下滑．设正方形在x 轴下方部分的面积为S ，求S 关于滑行时间t 的函数关系式，并写出相应自变量t 的取值范围．A OD CBP NF ME AOD C BP NF M E A O D C B PN F M E AO D C BPN F M E解：（1）联立 ⎩⎨⎧y ＝34x y ＝－ 4 3 x ＋25 3解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4y ＝3∴A （4，3），∴OA ＝4 2＋32＝5 ∴正方形OABC 的边长为5（2）要使△CPQ 沿它的一边翻折，翻折前后的两个三角形组成的 四边形为菱形，根据轴对称的性质，只需△CPQ 为等腰三角形即可 当t ＝2秒时∵点P 的速度为每秒1个单位，∴CP ＝2 分两种情况：①当点Q 在OA 上时，∵PQ ≥BA ＞PC ，∴只存在一点Q ，使QC ＝QP作QN ⊥CP 于N ，则CN ＝12CP ＝OQ ＝1 ∴QA ＝5－1＝4，∴k ＝42＝2 ②当点Q 在OC 上时，同理只存在一点Q ，使CP ＝CQ ＝2 ∴OQ ＋OA ＝10－2＝8，∴k ＝82＝4 综上所述，当t ＝2秒时，以所得的等腰三角形CPQ 沿底边翻折， 翻折后得到菱形的k 值为2或4 （3）①当点A 运动到点O 时，t ＝3 当0＜t≤3时，设O ′C ′ 交x 轴于点D则tan ∠DOO ′＝3 4 ，即DO ′OO ′＝DO ′5 3t＝ 3 4 ，∴DO ′＝ 54t∴S ＝1 2 DO ′·OO ′＝ 1 2 ·5 4 t ·5 3 t ＝ 25 24t 2②当点C 运动到x 轴上时，t ＝(5×4 3)÷5 3＝4当3＜t≤4时，设A ′B ′ 交x 轴于点E∵A ′O ＝5 3 t －5，∴A ′E ＝ 34 A ′O ＝5t －15 4∴S ＝1 2 (A ′E ＋O ′D )·A ′O ′＝1 2 (5t －15 4＋54 t )·5＝50t －75 8③当点B 运动到x 轴上时，t ＝(5＋5×4 3)÷5 3＝7当4＜t≤7时，设B ′C ′ 交x 轴于点F∵A ′E ＝5t －15 4，∴B ′E ＝5－5t －15 4＝35－5t4∴B ′F ＝43 B ′E ＝35－5t 3∴S ＝52－12 ·35－5t 4·35－5t 3＝－25 24 t 2＋ 175 12 t －625 24综上所述，S 关于滑行时间t 的函数关系式为：S ＝ ⎩⎪⎨⎪⎧2524t 2（0＜t≤3）50t －758（3＜t≤4）－25 24t2＋175 12t －625 24（4＜t≤7）12．（浙江某校自主招生）如图，正方形ABCD 的边长为8cm ，动点P 从点A 出发沿AB 边以1cm /秒的速度向点B 匀速移动（点P 不与点A 、B 重合），动点Q 从点B 出发沿折线BC －CD 以2cm /秒的速度匀速移动．点P 、Q 同时出发，当点P 停止时，点Q 也随之停止．连接AQ 交BD 于点E ．设点P 运动时间为t （秒）．（1）当点Q 在线段BC 上运动时，点P 出发多少时间后，∠BEP ＝∠BEQ ？ （2）设△APE 的面积为S （cm 2），求S 关于t 的函数关系式，并写出t 的取值范围； （3）当4＜t ＜8时，求△APE 的面积为S 的变化范围．解（1）AP ＝x cm ，BQ ＝2x cm∵∠BEP ＝∠BEQ ，BE ＝BE ，∠PBE ＝∠QBE ＝45° ∴△PBE ≌△QBE ，∴PB ＝BQ 即8－x ＝2x ，∴x ＝83∴点P 出发83秒后，∠BEP ＝∠BEQ （2）①当0＜x≤4时，点Q 在BC 上，作EN ⊥AB 于N ，EM ⊥BC 于M ∵AD ∥BC ，∴ AEEQ＝ADBQ＝8 2x＝4x即AEEQ＝4 x，∴AEAQ ＝4x ＋4∴NEBQ＝AEAQ，∴NE ＝AE ·BQAQ ＝8x x ＋4∴S ＝1 2 AP ·NE ＝ 1 2 x · 8x x ＋4 ＝4x2x ＋4A B DEC PQ A BDE CPQN M即S ＝4x2x ＋4（0＜x≤4）②当4＜x＜8时，点Q 在CD 上，作QF ⊥AB 于F ，交BD 于H则AEEQ＝ADHQ＝8 16－2x＝48－x即AEEQ＝4 8－x，∴AEAQ ＝ 4 8－x ＋4 ＝412－x作EN ⊥AB 于N ，则 NEFQ＝AEAQ∴NE ＝AE ·FQFQ＝32 12－x∴S ＝1 2 AP ·NE ＝ 1 2 x ·32 12－x ＝16x12－x即S ＝16x12－x（4＜x＜8） （3）当4＜x＜8时，由S ＝16x12－x，得x ＝12S16＋S∵4＜x＜8，∴4＜12S16＋S＜8 ∵S＞0，∴16＋S＞0，∴4(16＋S)＜12S＜8(16＋S) 解得8＜S＜32 13．（浙江模拟）如图，菱形ABCD 的边长为6且∠DAB ＝60°，以点A 为原点、边AB 所在直线为x 轴且顶点D 在第一象限建立平面直角坐标系．动点P 从点D 出发沿折线D －C －B 向终点B 以每秒2个单位的速度运动，同时动点Q 从点A 出发沿x 轴负半轴以每秒1个单位的速度运动，当点P 到达终点时停止运动．设运动时间为t ，直线PQ 交边AD 于点E ． （1）求出经过A 、D 、C 三点的抛物线解析式；（2）是否存在时刻t ，使得PQ ⊥BD ？若存在，求出t 值，若不存在，请说明理由； （3）设AE 长为y ，试求y 与t 之间的函数关系式；（4）若F 、G 为DC 边上两点，且点DF ＝FG ＝1，试在对角线DB 上找一点M 、抛物线对称轴上找一点N ，使得四边形FMNG 周长最小并求出周长最小值．解：（1）由题意得：D （3，33）、C （9，33）设经过A 、D 、C 三点的抛物线解析式为y ＝ax2＋bx 把D 、C 两点坐标代入上式，得：A BDE CP QNF H⎩⎨⎧9a ＋3b ＝3381a ＋9b ＝33 解得：a ＝－3 9 ，b ＝433∴抛物线的解析式为：y ＝－39 x2＋433x （2）连接AC∵四边形ABCD 是菱形，∴AC ⊥BD 若PQ ⊥BD ，则PQ ∥AC 当点P 在DC 上时∵PC ∥AQ ，PQ ∥AC ，∴四边形PQAC 是平行四边形 ∴PC ＝AQ ，即6－2t ＝t, ∴t ＝2当点P 在CB 上时，PQ 与AC 相交，此时不存在符合要求的t 值 （3）①当点P 在DC 上，即0≤t≤3时 ∵DP ∥AQ ，∴△DEP ∽△AEQ∴ DE y＝ DP AQ ＝ 2tt ＝2，∴y ＝ 13AD ＝2②当点P 在CB 上，即3＜t≤6时∵AE ∥BP ，∴△QEA ∽△QPB∴AEBP＝QAQB，即y12－2t＝t6＋t∴y ＝12－2t6＋t综上所述，y 与t 之间的函数关系式为： y ＝⎩⎪⎨⎪⎧2 （0≤t≤3） 12－2t6＋t（3＜t≤6）（4）作点F 关于直线BD 的对称点F ′，由菱形对称性知F ′ 在DA 上，且DF ′＝DF ＝1作点G 关于抛物线对称轴的对称点G ′，易求DG ′＝4连接F ′G ′ 交DB 于点M 、交对称轴于点N ，则点M 、N过F ′ 作F ′H ⊥DG ′ 于H ，可得HD ＝1 2，F ′H ＝ 3 2 ，HG ′＝92∴F ′G ′＝F ′H 2＋HG ′ 2＝21∴四边形FMNG 周长最小值为F ′G ′＋FG ＝21＋1 14．（浙江模拟）如图，直线y ＝－x ＋5和直线y ＝kx －4交于点C （3，m ），两直线分别交y 轴于点A 和点B ，一平行于y 轴的直线l 从点C 出发水平向左平移，速度为每秒1个单位，运动时间为t ，且分别交AC 、BC 于点P 、Q ，以PQ 为一边向左侧作正方形PQDE ． （1）求m 和k 的值；（2）当t 为何值时，正方形的边DE 刚好在y 轴上？（3）当直线l 从点C 出发开始运动的同时，点M 也同时在线段AB 上由点A 向点B 以每秒4个单位的速度运动，问点M 从进入正方形PQDE 到离开正方形持续的时间有多长？解：（1）把C （3，m ）代入y ＝－x ＋5得m ＝2 ∴C （3，2），代入y ＝kx －4得k ＝2 （2）由题意，点P 横坐标为3－t当x ＝3－t 时，y ＝－x ＋5＝t ＋2，∴P （3－t ，t ＋2） ∵PQ ∥y 轴，∴点Q 横坐标为3－t当x ＝3－t 时，y ＝2x －4＝2－2t ，∴Q （3－t ，2－2t ） ∴PQ ＝t ＋2－(2－2t)＝3t ∵正方形PQDE ，∴PQ ＝PE当正方形的边DE 刚好在y 轴上时，3t ＝3－t ，∴t ＝34（3）∵直线y ＝－x ＋5交y 轴于点A ，∴A （0，5） ∴点M 坐标为（0，5－4t ）当点M 和点P 的纵坐标相等时，5－4t ＝t ＋2，∴t ＝35∵3 5＜3 4，∴点M 进入正方形PQDE 时，t ＝3 4当点M 和点Q 的纵坐标相等时，5－4t ＝2－2t ，∴t ＝3 2∴点M 从进入正方形PQDE 到离开正方形持续的时间为：t ＝32－3 4＝3 415．（浙江模拟）如图，在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，Rt △OAB 的直角边OA 在x 轴的正半轴上，点B 坐标为（3，1），以OB 所在直线为对称轴将△OAB 作轴对称变换得△OCB ．动点P 从点O 出发，沿线段OA 向点A 运动，动点Q 从点C 出发，沿线段CO 向点O 运动．P 、Q 两点同时出发，速度都为每秒1个单位长度．设点P （1）求∠AOC 的度数；（2）记四边形BCQP 的面积为S （平方单位），求S 与t （3）设PQ 与OB 交于点M ． ①当△OMQ 为等腰三角形时，求t 的值． ②探究线段OM 长度的最大值，说明理由．解：（1）∵点B坐标为（3，1），∴OA＝3，AB＝1∴在Rt△OAB中，tan∠AOB＝ABOA＝13＝33∴∠AOB＝30°∵将△OAB作轴对称变换得△OCB∴△OCB≌△OAB，∴∠COB＝∠AOB＝30°∴∠AOC＝60°（2）∵OP＝CQ＝t，AB＝1，OC＝OA＝ 3 ∴AP＝OQ＝3－t∴S＝2S△OAB－S△OPQ－S△P AB＝OA·AB－12OP·OQ·sin∠AOC－12P A·AB＝3×1－12×t×(3－t)×32－12×(3－t)×1＝34t2－14t＋32（3）①若△OMQ为等腰三角形，则可能有三种情况：（i）若OM＝MQ，则∠MQO＝∠MOQ＝30°∵∠AOC＝60°，∴∠OPQ＝90°∴OP＝12OQ，即t＝12(3－t)解得：t＝3 3（ii）若OM＝OQ，则∠OMQ＝∠OQM＝75°∵∠AOC＝60°，∴∠OPQ＝45°过点Q作QD⊥OA于D，则QD＝DP即32(3－t)＝t－12(3－t)解得：t＝1（iii）若MQ＝OQ，则∠OMQ＝∠MOQ＝∠MOP 得PQ∥OA，显然不符合题意②分别过点P、Q作OB的垂线，垂足分别为E、F ∵OP＝t，OQ＝3－t，∠MOP＝∠MOQ＝30°∴S△OPQ＝S△OPM＋S△OOM＝12OM·PE＋12OM·QF＝14OM·OP＋14OM·OQ＝14OM(OP＋OQ)＝14OM(t＋3－t)＝34OM过点Q作QG⊥OA于G则S△OPQ＝12OP·QG＝12OP·OQ·sin60°＝34t(3－t)＝－34(t2－3t)∴34OM＝－34(t2－3t)∴OM ＝－(t 2－ 3t )＝－(t －32)2＋3 4∴当t ＝32时，线段OM 的长度取得最大值 3416．（浙江模拟）已知直线y ＝43x ＋4与x 轴、y 轴分别相交于点A 、B ，点C 从O 点出发沿射线OA 以每秒1个单位长度的速度匀速运动，同时点D 从A 点出发沿AB 以每秒1个单位长度的速度向B 点匀速运动，当点D 到达B 点时C 、D 都停止运动．点E 是CD 的中点，直线EF ⊥CD 交y 轴于点F ，点E ′与E 点关于y t （秒）．（1）当t ＝________秒时，点F 经过原点O ； （2）设四边形BDCO 的面积为S ，求S 与t 的函数关系式；（3）当直线EF 与△AOB 的一边垂直时，求t 的值；（4）以CD 为一边，在CD 的右侧作菱形CDMN ，其中DM ∥x 轴．当点N 在直线E ′F 左侧时，直接写出菱形CDMN 与△EFE ′重叠部分为轴对称图形时t 的取值范围．解：（1）52提示： ∵直线y ＝43x ＋4与x 轴、y 轴分别相交于点A 、B ∴A （－3，0），B （0，4），∴AO ＝3，BO ＝4 ∴AB ＝AO 2＋BO 2＝3 2＋42＝5 当点F 经过原点时，连接OD 由题意，EF 是CD 的垂直平分线 ∴OD ＝OC ＝t∵AD ＝t ，∴AD ＝OD ，∴∠DAO ＝∠DOA ∵∠DBO ＋∠DAO ＝90°，∠DOB ＋∠DOA ＝90° ∴∠DBO ＝∠DOB ，∴OD ＝BD∴AD ＝BD ，∴AD ＝12AB ＝5 2（2）∵AO ＝3，BO ＝4，AB ＝5 ∴sin ∠BAO ＝BOAB＝4 5 ，cos ∠BAO ＝AOAB ＝3 5过D 作DH ⊥AC 于H当0≤t≤3时∵CO ＝t ，AD ＝t ，∴AC ＝3－t ，DH ＝AD ·sin ∠BAO ＝45t ∴S ＝S △ABO－S △ADC＝1 2 ×3×4－1 2 ·(3－t)·4 5 t ＝ 2 5 t 2－65t ＋6当3＜t≤5时，AC ＝t －3∴S ＝S △ABO＋S △ADC＝1 2 ×3×4＋1 2 ·(t －3)·4 5 t ＝ 2 5 t 2－ 65t ＋6综合得S 与t 的函数关系式为： S ＝25t 2－65t ＋6（0≤t≤5） （3）当EF ⊥BO 时∵EF ⊥CD ，∴CD ∥BO ，∴∠ACD ＝90° 在Rt △ADC 中，ACAD＝cos ∠BAO∴3－t t＝3 5 ，∴t ＝158当EF ⊥AB 时∵EF ⊥CD ，∴直线CD 与直线AB 重合 ∴点C 与点A 重合，∴t ＝3 （4）t ＝5 4 或t ＝154提示：①当0＜t＜158则∠PEQ ＝∠MQE∵菱形CDMN ，∴CD ∥MN∴∠MQE ＝∠CEQ ，∴∠PEQ ＝∠CEQ ∵EF ⊥CD ，即∠CEF ＝90°，∴∠CEQ ＝∴∠ACD ＝∠CEQ ＝45°过D 作DH ⊥AC 于H ，则△DHC 是等腰直角三角形∴DH ＝HC ，∴4 5t ＝3－t －3 5 t ，∴t ＝54②当158＜t＜5，且重叠部分为等腰梯形EHNK 时 同理可得∠CHE ＝45° 连接DH∵EF 垂直平分CD ，∴CH ＝DH ，∠DHE ＝∠CHE ＝45° ∴∠DHC ＝90°，∴DH ＝45t 而CH ＝CO －HO ＝CO －(AO －AH)＝t －(3－35t) ∴t －(3－3 5 t )＝45 t ，∴t ＝15417．（浙江模拟）如图1，矩形ABCD中，AB＝21，AD＝12，E是CD边上的一点，DE＝16，M是BC边的中点，动点P从点A出发，沿边AB以每秒1个单位长度的速度向终点B 运动．设动点P的运动时间是t秒．（1）求线段AE的长；（2）当△ADE与△PBM相似时，求t的值；（3）如图2，连接EP，过点P作PH⊥AE于H．①当EP平分四边形PMEH的面积时，求t的值；②以PE为对称轴作线段BC的轴对称图形B′C′，当线段B′C′与线段AE有公共点时，写出t的取值范围（直接写出答案）．解：（1）∵ABCD是矩形，∴∠D＝90°∴AE＝AD2＋DE2＝122＋162＝20（2）∵∠D＝∠B＝90°∴△ADE与△PBM相似时，有两种情况：当∠DAE＝∠PMB时，有DEPB＝ADBM即1621－t＝126，解得t＝13当∠DAE＝∠BPM时，有DEBM＝ADPB即166＝1221－t，解得t＝332（3）①由题意得：S△EHP＝S△EMP∵DC∥AB，∴∠DEA＝∠HAP又∵∠D＝∠AHP＝90°，∴△ADE∽△PHA∴AHDE＝PHAD＝APAE，即AH16＝PH12＝t20∴AH＝45t，PH＝35t，EH＝20－45t∴S△EHP＝12×35t×(20－45t)∵DC＝21，DE＝16，∴EC＝5∴S△EMP＝S梯形EPBC－S△ECM－S△PBM＝12(5＋21－t)×12－12×5×6－12×(21－t)×6DACEBMP图1DACEBMPH图2DACEBM备用图D CEBMPHD CEBMPH∴12×35t×(20－45t)＝12(5＋21－t)×12－12×5×6－12×(21－t)×6解得t＝75±5174∵0＜t＜21，∴t＝75－5174②14011≤t≤20提示：当点B′落在线段AE上时连接B′P、EB，∵B′C′和BC关于PE对称∴B′P＝BP＝21－t，B′E＝BE＝BC2＋EC2＝122＋52＝13∴AB′＝AE－B′E＝20－13＝7，B′H＝AH－AB′＝45t－7在Rt△B′HP中，B′H2＋PH2＝B′P2∴(45t－7)2＋(35t)2＝(21－t)2，解得t＝14011当点C′落在线段AE上时连接C′P、CP，∵B′C′和BC关于PE对称C′P2＝CP2＝122＋(21－t)2，C′E＝CE＝5∴AC′＝AE－C′E＝20－5＝15，C′H＝AH－AC′＝45t－15在Rt△C′HP中，C′H2＋PH2＝C′P2∴(45t－15)2＋(35t)2＝122＋(21－t)2，解得t＝2018．（浙江模拟）如图，抛物线与x轴交于A（6，0）、B（19，0）两点，与y轴交于点C （0，8），直线CD∥x轴交抛物线于另一点D．动点P、Q分别从C、D两点同时出发，速度均为每秒1个单位，点P向射线DC方向运动，点Q向射线BD方向运动，设P、Q运动的时间为t（秒），AQ交CD于E．（1）求抛物线的解析式；（2）求△APQ的面积S与t的函数关系式；（3）连接BE．是否存在某一时刻t，使得∠AEB＝∠BDC？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．解：（1）∵抛物线与x轴交于A（6，0）、B（19，0）两点∴设抛物线的解析式为y＝a(x－6)(x－19)∵抛物线与y轴交于点C（0，8）∴8＝a(0－6)(0－19)，∴a＝457DACEBMPHC′B′NDACEBMPHB'C'∴y＝457(x－6)(x－19)（2）作PF⊥x轴于F，QG⊥x轴于G，DH⊥x轴于H，∵CD∥x轴，∴PF＝DH＝OC＝8当y＝8时，457(x－6)(x－19)＝8解得x1＝0，x2＝25∴D（25，8），OH＝CD＝25∵B（19，0），∴BH＝25－19＝6∴BD＝BH2＋DH2＝62＋82＝10∵△BDH∽△BQG，∴BDBQ＝DHQG＝BHBG∴1010＋t＝8QG＝6BG∴QG＝45t＋8，BG＝35t＋6∴FG＝t＋19＋35t＋6＝85t＋25，AG＝35t＋19∴S＝S梯形PFGQ－S△P AF－S△QAG＝12(PF＋QG)·FG－12AF·PF－12AG·QG＝12(8＋45t＋8)(85t＋25)－12(t＋6)·8－12(35t＋19)(45t＋8)＝25t2＋445t＋100（3）∵AC＝BD＝10，∴四边形ABDC是等腰梯形∴∠ACD＝∠BDC若∠AEB＝∠BDC，则∠AEC＋∠BED＝∠BED＋∠EBD ∴∠AEC＝∠EBD，∴△AEC∽△EBD∴ACED＝CEDB，即10ED＝25－ED10解得ED＝5或ED＝20（＞AB，舍去）∵△QED∽△QAB，∴EDAB＝QDQB即513＝tt＋10，∴t＝254∴存在某一时刻t，使得∠AEB＝∠BDC，t＝25 4。
2017年全国中考二次函数压轴题集锦附详细答案.doc
）））））））1．如图，在平面直角坐标系中，△ ABC 是直角三角形，∠ ACB=90°，AC=BC ，OA=1，OC=4，抛物线 y=x 2+bx+c 经过 A ， B 两点． （1）求抛物线的解析式；（2）点 E 是直角△ ABC 斜边 AB 上一动点（点 A 、B 除外），过点 E 作 x 轴的垂线交抛物线于点 F ，当线段 EF 的长度最大时，求点 E 、F 的坐标；（3）在（ 2）的条件下：在抛物线上是否存在一点 P ，使△ EFP 是以 EF 为直角边的直角三角形？若存在，请求出所有点 P 的坐标；若不存在，请说明理由．．如图，关于 x 的二次函数2+bx+c 的图象与 x 轴交于点 A （ 1，0）和点 B ，与 y 轴交于点 2 y=x C （ 0， 3），抛物线的对称轴与 x 轴交于点 D ． （1）求二次函数的表达式；（2）在 y 轴上是否存在一点 P ，使△ PBC 为等腰三角形？若存在．请求出点 P 的坐标； （3）有一个点 M 从点 A 出发，以每秒 1 个单位的速度在 AB 上向点 B 运动，另一个点 N 从 点 D 与点 M 同时出发，以每秒 2 个单位的速度在抛物线的对称轴上运动，当点 M 到达点 B 时， 点 M 、 N 同时停止运动，问点 M 、N 运动到何处时，△ MNB 面积最大，试求出最大面积．3．如图，已知二次函数 y=ax 2+bx+c （a ≠0）的图象经过 A （﹣ 1，0）、 B （4， 0）、C （0，2）三点．（1）求该二次函数的解析式；（2）点 D 是该二次函数图象上的一点，且满足∠ DBA=∠CAO （O 是坐标原点），求点 D 的坐标；（3）点 P 是该二次函数图象上位于第一象限上的一动点， 连接 PA 分别交 BC 、y 轴于点 E 、F ，若△ PEB 、△ CEF 的面积分别为 S 1、 S 2，求 S 1﹣S 2 的最大值．4．如图 1，已知二次函数 y=ax 2+bx+c （a 、b 、c 为常数， a ≠ 0）的图象过点 O （ 0，0）和点 A）））））））（4，0），函数图象最低点M 的纵坐标为﹣，直线l的解析式为y=x．（1）求二次函数的解析式；（2）直线 l 沿 x 轴向右平移，得直线 l ，′l 与′线段 OA 相交于点 B，与 x 轴下方的抛物线相交于点 C，过点 C 作 CE⊥x 轴于点 E，把△ BCE沿直线 l 折′叠，当点 E 恰好落在抛物线上点E′时（图 2），求直线 l 的′解析式；（3）在（2）的条件下， l 与′ y 轴交于点 N，把△ BON 绕点 O 逆时针旋转 135°得到△B′ON，′P为 l 上′的动点，当△ PB′N为′等腰三角形时，求符合条件的点 P 的坐标．5．如图，抛物线 y=﹣x2+bx+c 与 x 轴分别交于 A（﹣ 1， 0），B（5，0）两点．（1）求抛物线的解析式；（2）在第二象限内取一点 C，作 CD 垂直 X 轴于点 D，链接 AC，且 AD=5，CD=8，将 Rt△ACD 沿 x 轴向右平移 m 个单位，当点 C 落在抛物线上时，求 m 的值；（3）在（2）的条件下，当点 C 第一次落在抛物线上记为点 E，点 P 是抛物线对称轴上一点．试探究：在抛物线上是否存在点 Q，使以点 B、E、P、Q 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请出点 Q 的坐标；若不存在，请说明理由．6 ．如图，在平面直角坐标系中，O是坐标原点，抛物线y=﹣2﹣ x+8 与 x 轴正半轴1 x交于点 A，与 y 轴交于点 B，连接 AB，点 M ，N 分别是 OA，AB 的中点，Rt△CDE≌Rt△ABO，且△ CDE始终保持边 ED经过点 M ，边 CD经过点 N，边 DE与 y 轴交于点 H，边 CD 与 y 轴交于点 G．（1）填空： OA 的长是，∠ ABO的度数是度；（2）如图 2，当 DE∥AB，连接 HN．①求证：四边形AMHN 是平行四边形；②判断点 D 是否在该抛物线的对称轴上，并说明理由；（3）如图 3，当边 CD经过点 O 时，（此时点 O 与点 G 重合），过点 D 作 DQ∥ OB，交 AB 延长）））））））（点 P， Q 在直线 ED 的同侧），连接 PQ，请直接写出 PQ 的长．7．如图，抛物线 y= x2+ x+c 与 x 轴的负半轴交于点A，与 y 轴交于点 B，连结 AB，点 C（6，）在抛物线上，直线AC与 y 轴交于点 D．（1）求 c 的值及直线 AC的函数表达式；（2）点 P 在 x 轴正半轴上，点 Q 在 y 轴正半轴上，连结 PQ 与直线 AC 交于点 M，连结 MO 并延长交 AB 于点 N，若 M 为 PQ 的中点．①求证：△ APM∽△ AON；②设点 M 的横坐标为 m，求 AN 的长（用含 m 的代数式表示）．8．抛物线 y=4x2﹣2ax+b 与 x 轴相交于 A（ x1，0），B（x2，0）（0＜x1＜ x2）两点，与 y 轴交于点C．（1）设 AB=2， tan∠ ABC=4，求该抛物线的解析式；（2）在（ 1）中，若点 D 为直线 BC 下方抛物线上一动点，当△ BCD的面积最大时，求点 D 的坐标；（3）是否存在整数 a，b 使得 1＜x1＜2 和 1＜x2＜ 2 同时成立，请证明你的结论．9．如图，抛物线 y=x2﹣2x﹣3 与 x 轴交于 A、B 两点（点 A 在点 B 的左侧），直线 l 与抛物线交于 A， C 两点，其中点 C 的横坐标为 2．（1）求 A， B 两点的坐标及直线AC 的函数表达式；（2）P 是线段 AC 上的一个动点（ P 与 A，C 不重合），过 P 点作 y 轴的平行线交抛物线于点E，求△ ACE面积的最大值；（3）若直线 PE为抛物线的对称轴，抛物线与 y 轴交于点 D，直线 AC与 y 轴交于点 Q，点 M 为直线 PE上一动点，则在 x 轴上是否存在一点 N，使四边形 DMNQ 的周长最小？若存在，求出这个最小值及点 M ，N 的坐标；若不存在，请说明理由．（4）点 H 是抛物线上的动点，在x 轴上是否存在点F，使 A、C、F、H 四个点为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，请直接写出所有满足条件的 F 点坐标；如果不存在，请说明理10．如图， Rt△OAB如图所示放置在平面直角坐标系中，直角边 OA 与 x 轴重合，∠OAB=90°，OA=4，AB=2，把 Rt△OAB绕点 O 逆时针旋转 90°，点 B 旋转到点 C 的位置，一条抛物线正好经过点 O，C，A 三点．（1）求该抛物线的解析式；（2）在x 轴上方的抛物线上有一动点P，过点P 作x 轴的平行线交抛物线于点M，分别过点P，点M 作x 轴的垂线，交x 轴于E，F 两点，问：四边形PEFM的周长是否有最大值？如果有，请求出最值，并写出解答过程；如果没有，请说明理由．（3）如果 x 轴上有一动点 H，在抛物线上是否存在点 N，使 O（原点）、 C、 H、 N 四点构成以 OC为一边的平行四边形？若存在，求出 N 点的坐标；若不存在，请说明理由．11 ．如图（），在平面直角坐标系中，矩形ABCO，B 点坐标为（ 4，3），抛物线 y= x2+bx+c 1经过矩形 ABCO的顶点 B、C，D 为 BC的中点，直线 AD 与 y 轴交于 E点，与抛物线y= x2+bx+c交于第四象限的 F 点．（1）求该抛物线解析式与 F 点坐标；（2）如图（ 2），动点 P 从点 C 出发，沿线段 CB以每秒 1 个单位长度的速度向终点 B 运动；同时，动点 M 从点 A 出发，沿线段 AE 以每秒个单位长度的速度向终点 E 运动．过点 P作 PH⊥OA，垂足为 H，连接 MP，MH．设点 P 的运动时间为 t 秒．①问 EP+PH+HF是否有最小值？如果有，求出t 的值；如果没有，请说明理由．②若△ PMH 是等腰三角形，请直接写出此时t 的值．2 12．如图，已知直线 y=kx﹣6 与抛物线 y=ax +bx+c 相交于 A，B 两点，且点 A（1，﹣4）为抛物线的顶点，点 B 在 x 轴上．（2）在（ 1）中抛物线的第二象限图象上是否存在一点 P，使△ POB与△ POC全等？若存在，求出点 P 的坐标；若不存在，请说明理由；（3）若点 Q 是 y 轴上一点，且△ ABQ 为直角三角形，求点Q 的坐标．13．如图 1，在平面直角坐标系xOy 中，直线 l：与x轴、y轴分别交于点A和点B（0，﹣1），抛物线经过点B，且与直线l的另一个交点为C（4，n）．（1）求 n 的值和抛物线的解析式；（2）点 D 在抛物线上，且点 D 的横坐标为 t（0＜t ＜4）．DE∥y 轴交直线 l 于点 E，点 F 在直线l 上，且四边形 DFEG为矩形（如图 2）．若矩形 DFEG的周长为 p，求 p 与 t 的函数关系式以及 p 的最大值；（3）M 是平面内一点，将△ AOB绕点 M 沿逆时针方向旋转 90°后，得到△ A1O1B1，点 A、 O、B的对应点分别是点 A1、O1、B1．若△ A1O1B1的两个顶点恰好落在抛物线上，请直接写出点A1的横坐标．14．如图，四边形 ABCD是边长为 4 的正方形，动点 P、 Q 同时从 A 点出发，点 P 沿 AB 以每秒）））））））运动，设运动时间为 t 秒．（1）当 t=2 秒时，求证： PQ=CP ；（2）当 2＜ t ≤4 时，等式 “PQ=CP ”仍成立吗？试说明其理由；（3）设△ CPQ 的面积为 S ，那么 S 与 t 之间的函数关系如何？并问 S 的值能否大于正方形 ABCD 面积的一半？为什么？，在平面直角坐标系中，抛物线y=﹣ x 2+x+2与 x 轴交于 A ，B 两点（点15．如图 1A 在点B 的左侧），与 y 轴交于点C ． （1）求直线 BC 的解析式；（2）点 D 是线段 BC 中点，点 E 是 BC 上方抛物线上一动点，连接 CE ，DE ．当△ CDE 的面积最大时，过点 E 作 y 轴垂线，垂足为 F ，点 P 为线段 EF 上一动点，将△ CEF 绕点 C 沿顺时针方向旋转 90°，点 F ，P ，E 的对应点分别是 F ′， P ′， E ′，点 Q 从点 P 出发，先沿适当的路径运动到点 F ′处，再沿 F ′C 运动到点 C 处，最后沿适当的路径运动到点 P ′处停止． 求△ CDE 面积的最大值及点 Q 经过的最短路径的长；（3）如图 2，直线 BH 经过点 B 与 y 轴交于点 H （0，3）动点 M 从 O 出发沿 OB 方向以每秒 1 个单位长度向点 B 运动，同时动点 N 从 B 点沿 BH 方向以每秒 2 个单位长度的速度向点 H 运动，当点 N 运动到 H 点时，点 M ，点 N 同时停止运动，设运动时间为 t ．运动过程中，过点 N 作 OB 的平行线交 y 轴于点 I ，连接 MI ，MN ，将△ MNI 沿 NI 翻折得△ M ′NI ，连接 HM ′，当△ M ′HN 为等腰三角形时，求 t 的值．16．如图 1，直线与 x 轴、 y 轴分别交于 B 、 C 两点，经过 B 、C 两点的抛物线与 x轴的另一交点坐标为 A （﹣ 1，0）．（1）求 B、 C 两点的坐标及该抛物线所对应的函数关系式；（2）P 在线段 BC上的一个动点（与 B、C 不重合），过点 P 作直线 a∥y 轴，交抛物线于点 E，交 x 轴于点 F，设点 P 的横坐标为 m，△ BCE的面积为 S．①求 S 与 m 之间的函数关系式，并写出自变量m 的取值范围；②求 S 的最大值，并判断此时△OBE的形状，说明理由；（3）过点 P 作直线 b∥x 轴（图 2），交 AC于点 Q，那么在 x 轴上是否存在点 R，使得△ PQR 为等腰直角三角形？若存在，请求出点 R 的坐标；若不存在，请说明理由．17．已知正方形 OABC的边 OC、OA 分别在 x、y 轴的正半轴上，点 B 坐标为（ 10，10），点 P 从O 出发沿 O→C→B运动，速度为 1 个单位每秒，连接 AP．设运动时间为t．（1）若抛物线 y=﹣（ x﹣h）2+k 经过 A、B 两点，求抛物线函数关系式；（2）当 0≤t ≤10 时，如图 1，过点 O 作 OH⊥AP 于点 H，直线 OH交边 BC于点 D，连接 AD，PD，设△ APD的面积为 S，求 S 的最小值；（3）在图 2 中以 A 为圆心， OA 长为半径作⊙ A，当 0≤ t≤20 时，过点 P 作 PQ⊥x 轴（ Q 在P 的上方），且线段 PQ=t+12：①当 t 在什么范围内，线段 PQ 与⊙ A 只有一个公共点？当 t 在什么范围内，线段 PQ 与⊙ A 有两个公共点？②请将①中求得的 t 的范围作为条件，证明：当 t 取该范围内任何值时，线段 PQ 与⊙ A 总有两个公共点．18．如图，二次函数 y=x2﹣4x 的图象与 x 轴、直线 y=x 的一个交点分别为点 A、 B， CD 是线段OB 上的一动线段，且 CD=2，过点 C、D 的两直线都平行于 y 轴，与抛物线相交于点 F、E，连接 EF．（1）点 A 的坐标为，线段OB的长=；（2）设点 C 的横坐标为 m①当四边形 CDEF是平行四边形时，求m 的值；②连接 AC、 AD，求 m 为何值时，△ ACD的周长最小，并求出这个最小值．19．如图，已知二次函数 y=﹣x2+bx+c（c＞0）的图象与 x 轴交于 A、B 两点（点 A 在点 B 的左侧），与 y 轴交于点 C，且 OB=OC=3，顶点为 M．（1）求二次函数的解析式；（2）点 P 为线段 BM 上的一个动点，过点P 作 x 轴的垂线 PQ，垂足为 Q，若 OQ=m，四边形ACPQ的面积为 S，求 S 关于 m 的函数解析式，并写出m 的取值范围；（3）探索：线段 BM 上是否存在点N，使△ NMC 为等腰三角形？如果存在，求出点N 的坐标；如果不存在，请说明理由．20．如图，抛物线y= x2 +mx+n 与直线 y=﹣x+3 交于 A，B 两点，交 x 轴于 D，C 两点，连接AC，BC，已知 A（ 0， 3），C（3，0）．（Ⅰ）求抛物线的解析式和 tan∠ BAC的值；（Ⅱ）在（Ⅰ）条件下：（1）P 为 y 轴右侧抛物线上一动点，连接 PA，过点 P作 PQ⊥PA交 y 轴于点 Q，问：是否存在点 P 使得以 A，P，Q 为顶点的三角形与△ ACB相似？若存在，请求出所有符合条件的点 P的坐标；若不存在，请说明理由．（2）设 E 为线段 AC上一点（不含端点），连接 DE，一动点 M 从点 D 出发，沿线段 DE 以每秒一个单位速度运动到 E 点，再沿线段 EA 以每秒个单位的速度运动到 A 后停止，当点 E 的坐标是多少时，点 M 在整个运动中用时最少？21．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的顶点为B（2，1），且过点A （0，2），直线 y=x 与抛物线交于点 D，E（点 E 在对称轴的右侧），抛物线的对称轴交直线 y=x 于点 C，交 x 轴于点 G，EF⊥x 轴，垂足为 F，点 P 在抛物线上，且位于对称轴的右侧， PQ⊥ x 轴，垂足为点 Q，△ PCQ为等边三角形（1）求该抛物线的解析式；（2）求点 P 的坐标；（3）求证： CE=EF；（4）连接 PE，在 x 轴上点 Q 的右侧是否存在一点M，使△ CQM 与△ CPE全等？若存在，试求出点 M 的坐标；若不存在，请说明理由．[ 注： 3+2 =（+1）2 ] ．22．阅读理解抛物线 y= x2上任意一点到点（ 0，1）的距离与到直线y=﹣1 的距离相等，你可以利用这一性质解决问题．问题解决如图，在平面直角坐标系中，直线y=kx+1 与 y 轴交于 C 点，与函数 y=x2的图象交于 A， B两点，分别过 A，B 两点作直线 y=﹣1 的垂线，交于E， F 两点．（1）写出点 C 的坐标，并说明∠ ECF=90°；（2）在△ PEF中， M 为 EF中点， P 为动点．①求证： PE2+PF2=2（ PM2+EM2）；②已知 PE=PF=3，以 EF为一条对角线作平行四边形CEDF，若 1＜PD＜ 2，试求 CP的取值范围．23．已知抛物线经过A（﹣ 3，0）， B（1， 0），C（2，）三点，其对称轴交x 轴于点 H，一次函数 y=kx+b（k≠0）的图象经过点 C，与抛物线交于另一点 D（点 D 在点 C 的左边），与抛物线的对称轴交于点 E．（1）求抛物线的解析式；（2）如图 1，当 S△EOC=S△EAB时，求一次函数的解析式；（3）如图 2，设∠ CEH=α，∠ EAH=β，当α＞β时，直接写出 k 的取值范围．24．如图 1，已知直线 EA与 x 轴、 y 轴分别交于点 E 和点 A（ 0， 2），过直线 EA上的两点 F、G 分别作 x 轴的垂线段，垂足分别为 M（m，0）和 N（n，0），其中 m＜0，n＞0．（1）如果m=﹣4，n=1，试判断△ AMN 的形状；（2）如果 mn=﹣ 4，（1）中有关△ AMN 的形状的结论还成立吗？如果成立，请证明；如果不成立，请说明理由；（3）如图 2，题目中的条件不变，如果 mn=﹣4，并且 ON=4，求经过 M、A、 N 三点的抛物线所对应的函数关系式；（4）在（3）的条件下，如果抛物线的对称轴l 与线段AN 交于点P，点Q 是对称轴上一动点，以点 P、 Q、N 为顶点的三角形和以点 M 、A、N 为顶点的三角形相似，求符合条件的点 Q 的坐标．25．如图，二次函数与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，点P从A点出发，以1 个单位每秒的速度向点 B 运动，点 Q 同时从 C 点出发，以相同的速度向 y 轴正方向运动，运动时间为 t 秒，点 P 到达 B 点时，点 Q 同时停止运动．设 PQ 交直线 AC于点 G．（1）求直线 AC的解析式；（2）设△ PQC的面积为 S，求 S 关于 t 的函数解析式；（3）在 y 轴上找一点 M ，使△ MAC 和△ MBC 都是等腰三角形．直接写出所有满足条件的 M 点的坐标；（4）过点 P 作 PE⊥AC，垂足为 E，当 P 点运动时，线段 EG的长度是否发生改变，请说明理由．26．如图，在平面直角坐标系xOy 中，二次函数的图象与x轴交于A（﹣1，0）、B（ 3， 0）两点，顶点为C．（1）求此二次函数解析式；（2）点 D 为点 C 关于 x 轴的对称点，过点 A 作直线 l：交BD于点E，过点B作直线 BK∥AD 交直线 l 于 K 点．问：在四边形 ABKD的内部是否存在点 P，使得它到四边形ABKD 四边的距离都相等？若存在，请求出点 P 的坐标；若不存在，请说明理由；（3）在（ 2）的条件下，若 M、N 分别为直线 AD 和直线 l 上的两个动点，连结 DN、NM、MK，求 DN+NM+MK 和的最小值．27．如图，已知在平面直角坐标系xOy 中，直角梯形 OABC的边 OA 在 y 轴的正半轴上， OC 在x 轴的正半轴上， OA=AB=2， OC=3，过点 B 作 BD⊥BC，交 OA 于点 D．将∠ DBC绕点 B 按顺时针方向旋转，角的两边分别交 y 轴的正半轴、 x 轴的正半轴于点 E 和F．（1）求经过 A、B、C 三点的抛物线的解析式；（2）当 BE经过（ 1）中抛物线的顶点时，求 CF的长；（3）在抛物线的对称轴上取两点 P、Q（点 Q 在点 P 的上方），且 PQ=1，要使四边形 BCPQ 的周长最小，求出 P、Q 两点的坐标．28．如图，已知抛物线与x 轴交于点 A（﹣ 2，0），B（4，0），与 y 轴交于点 C（ 0，）．（1）求抛物线的解析式及其顶点 D 的坐标；（2）设直线 CD 交 x 轴于点 E，过点 B 作 x 轴的垂线，交直线 CD 于点 F，在直线 CD的上方，y 轴及 y 轴的右侧的平面内找一点 G，使以点 G、F、C 为顶点的三角形与△ COE相似，请直接写出符合要求的点 G 的坐标；（3）如图，抛物线的对称轴与x 轴的交点 M，过点 M 作一条直线交∠ ADB 于 T，N 两点，①当∠ DNT=90°时，直接写出的值；②当直线 TN 绕点 M 旋转时，试说明：△ DNT 的面积 S△DNT=DN?DT；并猜想：的值是否是定值？说明理由．29．如图①， Rt△ABC中，∠ B=90°∠ CAB=30°， AC⊥x 轴．它的顶点 A 的坐标为（ 10，0），顶点 B 的坐标为，点 P 从点 A 出发，沿 A→B→C的方向匀速运动，同时点 Q 从点 D （0，2）出发，沿 y 轴正方向以相同速度运动，当点 P 到达点 C 时，两点同时停止运动，设运动的时间为 t 秒．（1）求∠ BAO的度数．（直接写出结果）（2）当点 P 在 AB 上运动时，△ OPQ 的面积 S 与时间 t（秒）之间的函数图象为抛物线的一部分（如图②），求点 P 的运动速度．（3）求题（ 2）中面积 S 与时间 t 之间的函数关系式，及面积S取最大值时，点P 的坐标．（4）如果点 P，Q 保持题（ 2）中的速度不变，当t 取何值时， PO=PQ，请说明理由．30．如图，已知直线 l：y= x+2 与 y 轴交于点 D，过直线 l 上一点 E 作 EC丄 y 轴于点 C，且 C 点坐标为（ 0，4），过 C、E 两点的抛物线 y=﹣ x2+bx+c 交 x 轴于 A、 B 两点（点 A 在点 B 的左侧）．（1）求抛物线的解析式：（2）动点 Q 从点 C 出发沿线段 CE以 1 单位 / 秒的速度向终点 E 运动，过点 Q 作 QF⊥ED 于点F，交 BD 于点 H，设点 Q 运动时间为 t 秒，△ DFH的面积为 S，求出 S 与 t 的函数关系式（并直接写出自变量 t 的取值范围）；（3）若动点 P 为直线 CE上方抛物线上一点，连接 PE，过点 E 作 EM⊥ PE交线段 BD 于点 M ，当△ PEM 是等腰直角三角形时，求四边形 PMBE的面积．．已知在平面直角坐标系中，抛物线2+bx+c（ a≠0，且 a，b，c 为常数）的对称轴为：31 y=ax直线 x= ，与 x 轴分别交于点 A、点 B，与 y 轴交于点 C（0，﹣），且过点（ 3，﹣ 5），D 为 x 轴正半轴上的动点， E 为 y 轴负半轴上的动点．（1）求该抛物线的表达式；（2）如图 1，当点 D 为（ 3，0）时， DE交该抛物线于点 M，若∠ ADC=∠CDM，求点 M 的坐标；（3）如图 2，把（1）中抛物线平移使其顶点与原点重合，若直线ED 与新抛物线仅有唯一交点Q 时， y 轴上是否存在一个定点 P 使 PE=PQ？若存在，求出点 P 的坐标；若不存在，请说明理由．参考答案与试题解析一．解答题（共31 小题）1．（2017 秋 ?上杭县期中）如图，在平面直角坐标系中，△ABC是直角三角形，∠ ACB=90°，AC=BC，OA=1， OC=4，抛物线 y=x2+bx+c 经过 A，B 两点．（1）求抛物线的解析式；（2）点 E 是直角△ ABC斜边 AB 上一动点（点 A、B 除外），过点 E 作 x 轴的垂线交抛物线于点 F，当线段 EF的长度最大时，求点 E、F 的坐标；（3）在（ 2）的条件下：在抛物线上是否存在一点 P，使△ EFP是以 EF为直角边的直角三角形？若存在，请求出所有点 P 的坐标；若不存在，请说明理由．【考点】 HF：二次函数综合题．【专题】 151：代数综合题； 32 ：分类讨论．【分析】（ 1）根据 AC=BC，求出 BC的长，进而得到点 A，B 的坐标，利用待定系数法即可求得抛物线的解析式；（2）利用待定系数法求出直线 AB 的解析式，用含 m 的式表示出 E，F 的坐标，求出 EF的长度最大时 m 的值，即可求得 E，F 的坐标；（3）分两种情况：∠ E﹣90°和∠ F=90°，分别得到点 P 的纵坐标，将纵坐标代入抛物线解析式，即可求得点 P 的值．【解答】解：（1）∵ OA=1， OC=4，AC=BC，∴BC=5，∴A（﹣ 1，0），B（4，5），抛物线 y=x2+bx+c 经过 A， B 两点，∴，解得：，∴y=x2﹣2x﹣3；（2）设直线 AB 解析式为： y=kx+b，直线经过点 A， B 两点，∴，解得：，∴直线 AB 的解析式为： y=x+1，设点 E 的坐标为（ m， m+1），则点 F（ m，m2﹣2m﹣3），∴EF=m+1﹣ m2+2m+3=﹣ m2+3m+4=﹣（ m﹣）2+，∴当 EF最大时， m=，∴点 E（，），F（，）；（3）存在．即 x2﹣ 2x﹣3=，解得：x1=，x2=，∴点 P1（，），P2（，），②当∠ EFP=90°时，点 P 的纵坐标为，即 x2﹣ 2x﹣3=，解得：x1=，x2=（舍去），∴点 P3（，），综上所述， P1（，），P2（，），P3（，）．【点评】本题主要考查二次函数的综合题，其中第（ 3）小题要注意分类讨论，分∠ E=90°和∠F=90°两种情况．2．（2017 秋?鄂城区期中）如图，关于 x 的二次函数 y=x2+bx+c 的图象与 x 轴交于点 A（1，0）和点 B，与 y 轴交于点 C（ 0， 3），抛物线的对称轴与 x 轴交于点 D．（1）求二次函数的表达式；（2）在 y 轴上是否存在一点P，使△ PBC为等腰三角形？若存在．请求出点P 的坐标；（3）有一个点 M 从点 A 出发，以每秒 1 个单位的速度在AB 上向点 B 运动，另一个点 N 从点D 与点 M 同时出发，以每秒 2 个单位的速度在抛物线的对称轴上运动，当点 M 到达点 B 时，点M、 N 同时停止运动，问点 M 、N 运动到何处时，△ MNB 面积最大，试求出最大面积．【考点】 HF：二次函数综合题．【专题】 16 ：压轴题．【分析】（ 1）代入 A（ 1， 0）和 C（0，3），解方程组即可；（2）求出点 B 的坐标，再根据勾股定理得到BC，当△ PBC为等腰三角形时分三种情况进行讨论：① CP=CB；② BP=BC；③ PB=PC；（3）设 AM=t 则 DN=2t，由 AB=2，得 BM=2﹣t，S△MNB=×（2﹣t）×2t=﹣t2+2t，运用二次函数的顶点坐标解决问题；此时点 M 在 D 点，点 N 在对称轴上 x 轴上方 2 个单位处或点 N 在对称轴上 x 轴下方 2 个单位处．【解答】解：（1）把 A（1，0）和 C（0，3）代入 y=x2+bx+c，解得： b=﹣4，c=3，2∴二次函数的表达式为：y=x ﹣ 4x+3；解得： x=1 或 x=3，∴B（3，0），∴BC=3 ，）））））））①当 CP=CB时， PC=3 ，∴ OP=OC+PC=3+3 或 OP=PC﹣ OC=3 ﹣3∴P1（0，3+3 ），P2（0，3﹣3 ）；②当 BP=BC时， OP=OB=3，∴P3（0，﹣ 3）；③当 PB=PC时，∵OC=OB=3∴此时 P 与 O 重合，∴P4（0，0）；综上所述，点 P 的坐标为：（0，3+3 ）或（ 0， 3﹣ 3 ）或（ 0，﹣ 3）或（ 0， 0）；（3）如图 2，设 A 运动时间为 t ，由 AB=2，得 BM=2﹣t ，则 DN=2t，∴S△MNB= ×（ 2﹣t）× 2t=﹣t2 +2t=﹣（ t﹣ 1）2+1，即当 M（2，0）、 N（ 2， 2）或（ 2，﹣ 2）时△ MNB 面积最大，最大面积是1．【点评】本题是二次函数的综合题型，其中涉及到运用待定系数法求二次函数，等腰三角形的性质，轴对称的性质等知识，运用数形结合、分类讨论及方程思想是解题的关键．3．（2017?泸州）如图，已知二次函数 y=ax2+bx+c（a≠0）的图象经过 A（﹣ 1，0）、B（4，0）、C（ 0， 2）三点．（1）求该二次函数的解析式；（2）点 D 是该二次函数图象上的一点，且满足∠ DBA=∠CAO（O 是坐标原点），求点 D 的坐标；（3）点 P 是该二次函数图象上位于第一象限上的一动点，连接 PA分别交 BC、y 轴于点 E、F，若△ PEB、△ CEF的面积分别为 S1、 S2，求 S1﹣S2的最大值．）））））））【考点】 HF：二次函数综合题．【专题】 16 ：压轴题．【分析】（ 1）由 A、B、C 三点的坐标，利用待定系数法可求得抛物线解析式；（2）当点 D 在 x 轴上方时，则可知当 CD∥AB 时，满足条件，由对称性可求得 D 点坐标；当点D 在 x 轴下方时，可证得 BD∥AC，利用 AC的解析式可求得直线 BD 的解析式，再联立直线 BD 和抛物线的解析式可求得 D 点坐标；（3）过点 P 作 PH∥y 轴交直线 BC于点 H，可设出 P 点坐标，从而可表示出PH 的长，可表示出△ PEB的面积，进一步可表示出直线AP 的解析式，可求得 F 点的坐标，联立直线BC和PA的解析式，可表示出 E 点横坐标，从而可表示出△CEF的面积，再利用二次函数的性质可求得 S1﹣S2的最大值．【解答】解：（1）由题意可得，解得，∴抛物线解析式为y=﹣x2+x+2；（2）当点 D 在 x 轴上方时，过 C 作 CD∥AB 交抛物线于点 D，如图 1，∵A、B 关于对称轴对称， C、 D 关于对称轴对称，∴四边形 ABDC为等腰梯形，∴∠ CAO=∠ DBA，即点 D 满足条件，∴D（3，2）；当点 D 在 x 轴下方时，∵∠ DBA=∠ CAO，∴BD∥ AC，∵C（0，2），∴可设直线 AC解析式为 y=kx+2，把 A（﹣ 1，0）代入可求得 k=2，）））））））∴可设直线 BD 解析式为 y=2x+m ，把 B （4，0）代入可求得 m=﹣8， ∴直线 BD 解析式为 y=2x ﹣8，联立直线 BD 和抛物线解析式可得，解得或，∴D （﹣ 5，﹣ 18）；综上可知满足条件的点 D 的坐标为（ 3， 2）或（﹣ 5，﹣ 18）；（3）过点 P 作 PH ∥y 轴交直线 BC 于点 H ，如图 2，设 P （t ，﹣ t 2+ t+2），由 B 、C 两点的坐标可求得直线 BC 的解析式为 y=﹣ x+2，∴H （t ，﹣ t+2），∴PH=y P ﹣y H =﹣ t 2+ t+2﹣（﹣ t+2）=﹣ t 2+2t ，设直线 AP 的解析式为 y=px+q ，∴，解得 ，∴直线 AP 的解析式为 y=（﹣ t+2）（x+1），令 x=0 可得 y=2﹣ t ，∴F （0，2﹣ t ），∴CF=2﹣（ 2﹣ t ）= t ，联立直线 AP 和直线 BC 解析式可得，解得 x=，即 E 点的横坐标为，∴S 1（ B ﹣x E ）= （﹣ t 2+2t ）（4﹣ ），S 2= ? ? ，= PH x∴S 1﹣S 2 （﹣ t 2 +2t ）（4﹣ ）﹣ ? ?=﹣ t 2+4t=﹣ （t ﹣ ）2+，=∴当 t= 时，有 S 1﹣S 2 有最大值，最大值为．【点评】 本题为二次函数的综合应用，涉及待定系数法、平行线的判定和性质、三角形的面积、二次函数的性质、方程思想伋分类讨论思想等知识．在（ 1）中注意待定系数法的应用，在（ 2）中确定出 D 点的位置是解题的关键，在（ 3）中用 P 点的坐标分别表示出两个三角形的面4．（2017?南充）如图 1，已知二次函数 y=ax2+bx+c（a、b、c 为常数， a≠0）的图象过点 O （0，0）和点 A（4，0），函数图象最低点 M 的纵坐标为﹣，直线 l 的解析式为 y=x．（1）求二次函数的解析式；（2）直线 l 沿 x 轴向右平移，得直线 l ′，l ′线段与 OA 相交于点 B，与 x 轴下方的抛物线相交于点 C，过点 C 作 CE⊥x 轴于点 E，把△ BCE沿直线 l 折′叠，当点 E 恰好落在抛物线上点E′时（图 2），求直线 l 的′解析式；（3）在（2）的条件下， l 与′ y 轴交于点 N，把△ BON 绕点 O 逆时针旋转 135°得到△ B′ON，′P 为 l ′的动点，当△上 PB′N为′等腰三角形时，求符合条件的点P 的坐标．【考点】 HF：二次函数综合题．【专题】 16 ：压轴题．【分析】（1）由题意抛物线的顶点坐标为（ 2，﹣），设抛物线的解析式为y=a（x﹣2）2﹣，把（ 0，0）代入得到 a= ，即可解决问题；（2）如图 1 中，设 E（m，0），则 C（ m，m2﹣m），B（﹣m2+m，0），由 E、 B 关于对称轴对称，可得=2，由此即可解决问题；（3）分两种情形求解即可①当 P 与 N 重合时，△P ′是′等腰三角形，此时（0，﹣ 3）．②1 1B N P1当 N′=N′时B′，设 P（m，m﹣3），列出方程解方程即可；【解答】解：（1）由题意抛物线的顶点坐标为（ 2，﹣），设抛物线的解析式为y=a（x﹣ 2）2﹣，把（ 0，0）代入得到 a= ，∴抛物线的解析式为y=（x﹣2）2﹣，即y=x2﹣x．（2）如图 1 中，设 E（m，0），则 C（ m， m2﹣ m），B（﹣ m2+ m， 0），∵E′在抛物线上，易知四边形 EBE′C是正方形，抛物线的对称轴也是正方形的对称轴，∴E、B 关于对称轴对称，∴=2，解得 m=1 或 6（舍弃），∴B（3，0）， C（ 1，﹣ 2），∴直线 l 的′解析式为 y=x﹣3．（3）如图 2 中，①当 P1与 N 重合时，△ P1′是′等腰三角形，此时1（0，﹣ 3）．B N P②当 N′=N′时B′，设 P（ m，m﹣ 3），则有（ m﹣）2+（m﹣ 3﹣）2=（3 ）2，解得 m= 或，∴P2（，），P3（，）．综上所述，满足条件的点 P 坐标为（ 0，﹣ 3）或（，）或（，）．【点评】本题考查二次函数综合题、待定系数法、等腰三角形的判定和性质、两点间距离公式）））））））5．（2017?宜宾）如图，抛物线 y=﹣x2+bx+c 与 x 轴分别交于 A（﹣ 1，0），B（5，0）两点．（1）求抛物线的解析式；（2）在第二象限内取一点 C，作 CD 垂直 X 轴于点 D，链接 AC，且 AD=5，CD=8，将 Rt△ACD 沿 x 轴向右平移 m 个单位，当点 C 落在抛物线上时，求 m 的值；（3）在（2）的条件下，当点 C 第一次落在抛物线上记为点 E，点 P 是抛物线对称轴上一点．试探究：在抛物线上是否存在点 Q，使以点 B、E、P、Q 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请出点 Q 的坐标；若不存在，请说明理由．【考点】 HF：二次函数综合题．【专题】 16 ：压轴题．【分析】（ 1）由 A、B 的坐标，利用待定系数法可求得抛物线的解析式；（2）由题意可求得 C 点坐标，设平移后的点 C 的对应点为 C′，则 C′点的纵坐标为 8，代入抛物线解析式可求得 C′点的坐标，则可求得平移的单位，可求得 m 的值；（3）由（ 2）可求得 E 点坐标，连接 BE交对称轴于点 M，过 E 作 EF⊥x 轴于点 F，当 BE为平行四边形的边时，过 Q 作对称轴的垂线，垂足为 N，则可证得△ PQN≌△ EFB，可求得 QN，即可求得 Q 到对称轴的距离，则可求得 Q 点的横坐标，代入抛物线解析式可求得 Q 点坐标；当 BE 为对角线时，由 B、 E 的坐标可求得线段 BE的中点坐标，设 Q（x， y），由 P 点的横坐标则可求得 Q 点的横坐标，代入抛物线解析式可求得Q 点的坐标．【解答】解：（1）∵抛物线 y=﹣x2+bx+c 与 x 轴分别交于 A（﹣ 1，0），B（5，0）两点，∴，解得，∴抛物线解析式为y=﹣x2+4x+5；（2）∵ AD=5，且 OA=1，∴OD=6，且 CD=8，∴C（﹣ 6，8），设平移后的点 C 的对应点为C′，则C′点的纵坐标为8，代入抛物线解析式可得8=﹣x2+4x+5，解得x=1 或x=3，∴C′点的坐标为（ 1， 8）或（ 3，8），∵C（﹣ 6，8），∴当点 C 落在抛物线上时，向右平移了7 或 9 个单位，∴m 的值为 7 或 9；（3）∵ y=﹣x2+4x+5=﹣（ x﹣2）2+9，。
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压轴题1、已知，在平行四边形OABC 中，OA=5，AB=4，∠OCA=90°，动点P 从O 点出发沿射线OA 方向以每秒2个单位的速度移动，同时动点Q 从A 点出发沿射线AB 方向以每秒1个单位的速度移动．设移动的时间为t 秒． （1）求直线AC 的解析式；（2）试求出当t 为何值时，△OAC 与△PAQ 相似； （3）若⊙P 的半径为58，⊙Q 的半径为23；当⊙P 与对角线AC 相切时，判断⊙Q 与直线AC 、BC 的位置关系，并求出Q 点坐标。
解：（1）42033y x =-+ （2）①当0≤t≤2.5时，P 在OA 上，若∠OAQ=90°时， 故此时△OAC 与△PAQ 不可能相似．当t>2.5时，①若∠APQ=90°，则△APQ ∽△OCA ，∵t>2.5，∴符合条件．②若∠AQP=90°，则△APQ ∽△∠OAC ，∵t>2.5，∴符合条件．综上可知，当时，△OAC 与△APQ 相似．（3）⊙Q 与直线AC 、BC 均相切，Q 点坐标为（109,531）。
2、如图，以矩形OABC 的顶点O 为原点，OA 所在的直线为x 轴，OC 所在的直线为y 轴，建立平面直角坐标系．已知OA ＝3，OC ＝2，点E 是AB 的中点，在OA 上取一点D ，将△BDA 沿BD 翻折，使点A 落在BC 边上的点F 处． （1）直接写出点E 、F 的坐标；（2）设顶点为F 的抛物线交y 轴正半轴．．．于点P ，且以点E 、F 、P 为顶点的三角形是等腰三角形，求该抛物线的解析式；（3）在x 轴、y 轴上是否分别存在点M 、N ，使得四边形MNFE 的周长最小？如果存在，求出周长的最小值；如果不存在，请说明理由．解：（1）(31)E ，；(12)F ，．（2）在Rt EBF △中，90B ∠=o， 2222125EF EB BF ∴=+=+=．设点P 的坐标为(0)n ，，其中0n >，Q 顶点(12)F ，， ∴设抛物线解析式为2(1)2(0)y a x a =-+≠．①如图①，当EF PF =时，22EF PF =，221(2)5n ∴+-=．解得10n =（舍去）；24n =．(04)P ∴，．24(01)2a ∴=-+．解得2a =． ∴抛物线的解析式为22(1)2y x =-+（第2题）②如图②，当EP FP =时，22EP FP =，22(2)1(1)9n n ∴-+=-+． 解得52n =-（舍去）．③当EF EP =时，53EP =<，这种情况不存在． 综上所述，符合条件的抛物线解析式是22(1)2y x =-+． （3）存在点M N ，，使得四边形MNFE 的周长最小． 如图③，作点E 关于x 轴的对称点E '，作点F 关于y 轴的对称点F '，连接E F ''，分别与x 轴、y 轴交于点M N ，，则点M N ，就是所求点．(31)E '∴-，，(12)F NF NF ME ME '''-==，，，．43BF BE ''∴==，．FN NM ME F N NM ME F E ''''∴++=++=22345+=．又5EF =Q ，∴55FN NM ME EF +++=+，此时四边形MNFE 的周长最小值是553、如图，在边长为2的等边△ABC 中，A D ⊥BC,点P 为边AB 上一个动点，过P 点作PF//AC 交线段BD 于点F,作PG ⊥AB 交AD 于点E,交线段CD 于点G,设BP=x . （1）①试判断BG 与2BP 的大小关系,并说明理由;②用x 的代数式表示线段DG 的长,并写出自变量x 的取值范围;（2）记△DEF 的面积为S,求S 与x 之间的函数关系式,并求出S 的最大值;（3）以P 、E 、F 为顶点的三角形与△EDG 是否可能相似？如果能相似，请求出BP 的长，如果不能，请说明理由。
解：（1）①在等边三角形ＡＢＣ中，∠Ｂ＝60°，∵ＰＧ⊥ＡＢ， ∴∠ＢＧＰ＝30°，∴ＢＧ＝2ＢＰ．②∵ＰＦ／／ＡＣ，∴△ＰＢＦ为等边三角形，∴ＢＦ＝ＰＦ＝ＰＢ＝x . 又∵ＢＧ＝2x ，ＢＤ＝1，∴ＤＧ＝2x －1，∴０＜2x －1≤１，∴112x <?. （2）S=12DE×DF=)()121123x x ⨯--=2326x x -+- 当34x =时，max S =.（3）①如图１，若∠ＰＦＥ＝Ｒt ∠，则两三角形相似，此时可得ＤＦ＝ＤＧ 即121x x -=-解得：23x =． ②如图２，若∠ＰＥＦ＝Ｒt ∠，则两三角形相似，C B 第3题CBCB此时可得ＤＦ＝12ＥＦ＝14ＢＰ， 即114x x -=．解得：45x =．4、如图，二次函数c bx x y ++-=241的图像经过点()()4,4,0,4--B A ， 且与y 轴交于点C .（1）试求此二次函数的解析式；（2）试证明：CAO BAO ∠=∠（其中O 是原点）；（3）若P 是线段AB 上的一个动点（不与A 、B 重合），过P 作y 轴的平行线，分别交此二次函数图像及x 轴于Q 、H 两点，试问：是否存在这样的点P ，使QH PH 2=？若存在，请求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由。
解：（1）∵点()0,4A 与()4,4--B 在二次函数图像上，∴⎩⎨⎧+--=-++-=c b c b 444440，解得⎪⎩⎪⎨⎧==221c b ， ∴二次函数解析式为221412++-=x x y . （2）过B 作x BD ⊥轴于点D ，由（1）得()2,0C ，则在AOC Rt ∆中，2142tan ===∠AO CO CAO ，又在ABD Rt ∆中，2184tan ===∠AD BD BAD ， ∵BAD CAO ∠=∠tan tan ，∴BAO CAO ∠=∠.（3）由()0,4A 与()4,4--B ，可得直线AB 的解析式为221-=x y ，设()44,221,ππx x x P -⎪⎭⎫ ⎝⎛-，则⎪⎭⎫ ⎝⎛++-22141,2x x x Q ， ∴22141,2122212++-=-=-=x x QH x x PH .∴2214122122++-=-x x x .当4212122++-=-x x x ，解得 4,121=-=x x （舍去），∴⎪⎭⎫ ⎝⎛--25,1P . 当4212122--=-x x x ，解得 4,321=-=x x （舍去），∴⎪⎭⎫ ⎝⎛--27,3P . 综上所述，存在满足条件的点，它们是⎪⎭⎫ ⎝⎛--25,1与⎪⎭⎫ ⎝⎛--27,3.5、如图1，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，BC ＝8厘米，点D 在AC 上，CD ＝3厘米．点图1C Q → BP 、Q 分别由A 、C 两点同时出发，点P 沿AC 方向向点C 匀速移动，速度为每秒k 厘米，行完AC 全程用时8秒；点Q 沿CB 方向向点B 匀速移动，速度为每秒1厘米．设运动的时间为x 秒()80＜x＜，△DCQ 的面积为y 1平方厘米，△PCQ 的面积为y 2平方厘米． （1）求y 1与x 的函数关系，并在图2中画出y 1的图象；（2）如图2，y 2的图象是抛物线的一部分，其顶点坐标是（4，12），求点P 的速度及AC 的长；（3）在图2中，点G 是x 轴正半轴上一点（0＜OG ＜6＝，过G 作EF 垂直于x 轴，分别交y 1、y 2于点E 、F ．①说出线段EF 的长在图1中所表示的实际意义； ②当0＜x ＜６时，求线段EF 长的最大值．解：（1）∵CD CQ S DCQ ⋅⋅=∆21，CD ＝3，CQ ＝x ，∴x y 231=．图象如图所示．（2）方法一：CP CQ S PCQ ⋅⋅=∆21，CP ＝8k －xk ，CQ ＝x ， ∴()kx kx x kx k y 42182122+-=⋅-⨯=．∵抛物线顶点坐标是（4，12），∴12444212=⋅+⋅-k k ．解得23=k ．则点P 的速度每秒23厘米，AC ＝12厘米．方法二：观察图象知，当x=4时，△PCQ 面积为12． 此时PC ＝AC －AP ＝8k －4k ＝4k ，CQ ＝4．∴由CP CQ S PCQ ⋅⋅=∆21，得 12244=⨯k ． 解得23=k ．则点P 的速度每秒23厘米，AC ＝12厘米． 方法三：设y 2的图象所在抛物线的解析式是c bx ax y ++=2． ∵图象过（0，0），（4，12），（8，0），C∴⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=.0864124160c b a c b a c ，， 解得 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==-=.0643c b a ，，∴x x y 64322+-=． ①∵CP CQ S PCQ ⋅⋅=∆21，CP ＝8k －xk ，CQ ＝x ，∴kx kx y 42122+-=． ②比较①②得23=k .则点P 的速度每秒23厘米，AC ＝12厘米．（3）①观察图象，知线段的长EF ＝y 2－y 1，表示△PCQ 与△DCQ 的面积差（或△PDQ 面积）．②由⑵得 x x y 64322+-=.（方法二，x x x x y 643232382122+-=⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛-⨯⨯=）∵EF ＝y 2－y 1，∴EF ＝x x x x x 29432364322+-=-+-， ∵二次项系数小于０，∴在60＜x＜范围，当3=x 时，427=EF 最大． 6、如图，在ABC ∆中，6,5===BC AC AB ，D 、E 分别是边AB 、AC上的两个动点（D 不与A 、B 重合），且保持BC DE ∥，以DE 为边，在点A 的异侧作正方形DEFG .（1）试求ABC ∆的面积；（2）当边FG 与BC 重合时，求正方形DEFG 的边长； （3）设x AD =，ABC ∆与正方形DEFG 重叠部分的面积为y ，试求y 关于x 的函数关系式，并写出定义域；（4）当BDG ∆是等腰三角形时，请直接写出AD 的长。
解：（1）过A 作BC AH ⊥于H ，∵6,5===BC AC AB ，∴321==BC BH .。