18最大值与最小值

最大与最小值问题【四年级奥数】

添加时间：2013年06月08日浏览：1400次

顿悟教育小学奥数思维训练营来自：顿悟教育网杨老师奥数就是奥林匹克数学的简称。适当的学习奥数，对锻炼孩子数学思维，是大有好处的，但万不可把奥数功利化。一般来说学，孩子从小学三年级开始学习比较合适，四、五年级入手也不算太晚。通过系统的奥数学习，可以开发孩子思维，培养孩子有条理地思考问题的能力。

知识提要

在应用数学知识解决日常生活中的一些实际问题时，经常会出现解决方案不止一种，有时还会有无数种的情况。在这种情况下，我们往往需要找最大量或最小量。

规律：1、两个数的乘积是一个常数，则当这2个乘数越接近，它们的和越小，当它们相等时，其和最小。

2、两个个数的和一定时，这2个数越接近，它们的乘积越大，当2个数相等的时候，它们的乘积最大。

3、把一个自然数拆成若干个自然数的和，如果要使这些数乘积最大，那么拆出的数中3的个数尽量多，2的个数不多于两个。

例题精讲

例1、把1、2、3、4、5、6、7、8、9这九个数分成两组，排成一个五位数和一个四位数，并使这两个数的乘积最大，这两个数分别是多少？

分析：这两个数的最高位数字应尽量大，所以一个为9，一个为8.因为96+87=97+86且96-87＜97-86，所以96×87＞97×86.同理，964×875＞965×874，进一步推算。可知9642×8753＞9643×8752,。又因为

9642×87531=9642×87530+9642,96421×8753=96420×8753+8753，所以9642×87531＞96421×8753，故所求的两位数分别为9642和87531

【练习一】

1、甲乙两个数的和是14，当甲数=（）,乙数=（）时，它们的乘积最大，这个最大的乘积是（）

2、将5、6、7、8、9、1、这六个数字填入下面的算式中，使乘积最大。

（）（）（）×（）（）（）

3、用2到9这八个数字分别组成两个四位数，使这两个四位数的乘积最大。

例2、试求乘积为36，和为最小的两个自然数。

分析：不考虑因数顺序，乘积是36的两个自然数有以下五种情况：1×36、2×18、3×12、4×9、6×6。相应的两个乘数的和是：1+36=37、2+18=20、3+12=15、4+9=13、6+6=12。显然，乘积是36，和为最小的两个自然数是6与6。

结论一：从上述两例可见，m个自然数的乘积是一个常数，则当这m个乘数相等或最相近时，其和最小。【练习二】

4、试求乘积是80，和为最小的三个自然数。

例3、把8拆成若干个自然数的和，使这些自然数的乘积最大。。

分析：若拆成两个数，则最大积为：4×4=16；

若拆成三个数，则最大积为：2×3×3=18；

若拆成四个数，则最大积为：2×2×2×2=16；

若拆成5个数，则最大积为：1×1×2×2×2=8；再拆下去，积反而更小了，所以拆成2+3+3时，乘积最大。

结论二：从上述两例可知，m个自然数的和是一个常数，则当这m个数相等或最相近时，其积最大。【练习三】

5、试求和为13，积为最大的两个自然数。

思考：如果积为若干个自然数的乘积最大，又怎么做？

6、把14拆成几个自然数的和，再求出这几个数的乘积，如何拆可以使乘积最大？最大积是多少？

例4、砌一平方米的围墙要用砖50块，现有5600块砖，用来砌一个矩形晒谷场的围墙。如果围墙高2米，则砌成的晒谷场的长和宽各是多少米时，晒的谷最多？

分析：根据题意，首先可知5600块砖可砌围墙（5600÷50÷2=）56米，即长方形晒谷场的周长为56米。要使晒谷场晒的谷最多，实际就是长方形晒谷场的面积（长×宽）要最大。而长方形的周长56米一定，即长与宽的和（56÷2=）28米也一定，因此只有当长与宽相等（都是14米）时，面积才最大。所以，晒谷场的长和宽都是14米时，晒的谷最多。这时晒谷场的面积是：14×14=196（平方米）

【练习四】

7、某公共汽车线路共有15个车站（包括起点站和终点站），公共汽车从起点到终点站的行驶过程中，每一站（包括起点站）上车的人中恰好在以后的各站都各有1人下车，要使汽车在行驶中乘客都有座位，那么在车上至少要安排乘客座位多少个？

附分析：从第一站上车的人中在后面14个站中都有1人下车，所以第一站的有1×14=14人，以此类推，第二站时，车上人数2×13=26人，（第一站上车的下去1人，第二站上13人），依次可算出以下各车站车上的人数为3×12=36人，4×11=44人，5×10=50人，6×9=54人，7×8=56人，8×7=56人，7×6=42人。。。。车上最多时有56人，所以车上至少应安排乘客座位56人。

8、在一条公路旁有4个工厂，每个工厂的人数如图所示，且每两厂之间距离相等。现在要在公路旁设一个车站，使4个工厂的所有人员步行到车站总路程最少，这个车站应设在几号工厂门口？

附分析：显然车站应该设在2号或3号门口。

若设在2号门口：1×100＋1×80＋2×215=610(千米)

若设在3号门口：1×100×2＋1×120＋1×215=535(千米)

所以车站应该设在3号工厂门口。

例5、试比较下列两数的大小

a=8753689×7963845 b=8753688×7963846

分析：解此题若采用转化法或设置中间数法都能比较出结果，但过程复杂。仔细观察两数会发现，a中两个因数的和与b中两个因数的和相等。因此，要比较a与b谁大，只要看a与b哪一个数中的两个因数之间相隔更少，更相近。很容易看出8753688与7963846之间比8753689与7963845之间相隔更少，更相近，所以，可得出b＞a。

【练习五】