上海市高考二模专题复习——数列

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2024届上海市长宁区高三二模数学试题及答案

上海市长宁区2024届高三二模数学试卷（满分150分，时间120分钟）一、填空题（本大题共有12题，第1~6题每题4分，第7~12题每题5分，满分54分）1.已知集合 1,2A ， 1,3,B a ，若A B ，则a ．2.不等式213x 的解集为．3.在41x的展开式中2的系数为．4.在5.若3a6.直线27.8.的取值9.10.的横11.出租车没有载客行驶的里程出租车空驶率出租车行驶的总里程．依据上述数据，小明建立了求解三辆车空驶率的模型,,,u f t s k a ，并求得甲、乙、丙的空驶率分别为23.26%、21.68%、%x ，则x．（精确到0.01）12.已知平面向量a 、b 、c满足：a b 2c ，若0c a c b ，则a b 的最小值为．二、选择题（本大题共有4题，第13、14题每题4分，第15、16题每题5分，满分18分）13.设z C ，则“z z ”是“z R ”的（）.A 充分不必要条件；.B 必要不充分条件；.C 充要条件；.D 既不充分也不必要条件．14.已知直线a 、b 和平面，则下列判断中正确的是（）.A 若//a ，//b ，则//a b ；.B 若//a b ，//b ，则//a ；.C 若//a ，b ，则a b ；.D 若a b ，//b ，则a ．15.某运动员8次射击比赛的成绩为：9.6，9.7，9.5，9.9，9.4，9.8，9.3，10.0．已知这组数据的第x百分位为m ，若从这组数据中任取一个数，这个数比m 大的概率为0.25，则x 的取值不可能是（）.A 65；.B 70；.C 75；.D 80．16.设数列 n a 的前n 项和为n S ，若存在非零常数c ，使得对任意正整数n ，都有n a c ，则称数列n a p ．.A .C 三、17.（1）（2） y g x 的值域．第18题图18.（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）如图，在长方体1111ABCD A B C D 中，2AB AD ，11AA ．（1）求二面角1D AC D 的大小；（2）若点P 在直线11A C 上，求证：直线//BP 平面1D AC ．19.（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）盒子中装有大小和质地相同的6个红球和3个白球．（1）从盒子中随机抽取出1个球，观察其颜色后放回，并同时放入与其颜色相同的球3个，然后再从盒子随机取出1个球，求第二次取出的球是红球的概率；（2）从盒子中不放回地依次随机取出2个球，设2个球中红球的个数为X ，求X 的分布、期望和方差．已知椭圆22:163x y ，O 为坐标原点．（1）求的离心率e ；（2）设点 1,0N ，点M 在上，求MN 的最大值和最小值；（3）点 2,1T ，点P 在直线3x y 上，过点P 且与OT 平行的直线l 与交于A 、B 两点．试探究：是否存在常数，使得2PA PB PT 恒成立？若存在，求出该常数的值；若不存在，请说明理由．设函数 y f x 的定义域为D ，若存在实数k ，使得对于任意x D ，都有 f x k ，则称函数 y f x 有上界，实数k 的最小值为函数 y f x 的上确界．记集合 0,n n f x M f x y x在区间上是严格增函数．（1）求函数21y x（26x ）的上确界：（2）若 3212ln f x x hx x x M ，求h 的最大值；（3）设函数 y f x 的定义域为 0, ．若 2f x M ，且 y f x 有上界，求证： 0f x ，且存在函数 y f x ，它的上确界为0．上海市长宁区2024届高三二模数学试卷-简答D 1B 12023学年第二学期高三数学教学质量调研试卷参考答案和评分标准一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1～6题每题4分，第7～12题每题5分）1.2； 2. 1,2 ；3.4；4.23； 5.1； 6.47.无关；8. 1,02,2；9.3 ；10.13；11.20.68；12.2二、选择题（本大题共有4题，满分18分，第13、14题每题4分，第15、16题每题5分）13.C ；14.C ；15.D ；16.B三、解答题（本大题共有5题，满分78分）17．（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）.解：（1）sin 26f x x.每空2分，解析式2分（2） 22sin sin sin sin sin cos 2g x x x x x x x1111cos 2sin 222242x x x，……..4分因为0,2x ，所以32,444x ，进而sin 242x，…….6分所以函数y g x的值域为12………8分18．（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）.解：（1）设BD 与AC 相交与E ，连接1D E 因为ABCD 为正方形，所以BD AC ，又因为1DD 平面ABCD ，所以DE AC ，…….2分所以1D ED 即为二面角1D AC D 的平面角，……..4分由已知DE 1tan D EDD1B1二面角1D AC D的大小为arctan2.……..6分（2）连接1BA、1BC因为11//BA CD，所以1//BA平面1D AC，…….2分因为11//BC AD，所以1//BC平面1D AC，……..4分所以平面11//BA C平面1D AC，………6分因为直线BP 平面11BA C，所以直线//BP平面1D AC.………8分方法二：以AB、AD、1AA为x y z、、轴，建立空间直角坐标系.则0,0,0A，2,0,0B，2,2,0C，10,2,1D，………2分因为点P在直线11A C上，所以可设,,1P a a，……..4分设平面1D AC的法向量为,,n x y z，由0n AC，1n AD，得220x y，20y z，所以可取1,1,2n，……..6分因为2,,1BP a a，所以0n BP，进而n BP，又因为BP不在平面1D AC上，所以直线//BP平面1D AC.…….8分19．（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）.解：（1）第一次取出红球的概率为23，取出白球的概率为13，…….2分第一次取出红球，第二次取出红球的概率为231342第一次取出白球，第二次取出红球的概率为111326……..4分所以第二次取出的球是红球的概率为112263………6分（2）2329C112CP X ，116329C C112CP X ，2629C5212CP X ，所以X的分布为01211512212，……….4分1154012122123E X……..6分2151342126E X ，所以 22131676918D XE X E X，…….8分20．（本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分）.解：（1）设的半长轴长为a ，半焦距为c ，则a，c ，………2分所以2c e a.……..4分（2）设 ,M x y ，MN……2分因为x ……3分所以当2x时，MN ，……..4分当x 时，MN 取得最大值为1 .…….6分（3）设 ,3P a a ， 11,A x y ， 22,B x y ，则直线13:322l y x a，………2分2222PT a ，………3分11111,3,22a PA x a y a x a x，22221,3,22a PB x a y a x a x………4分将直线l 方程代入椭圆方程得 2222240x a x a 所以 1222x x a ， 21224x x a ，……..5分21212125544PA PB x a x a x x a x x a 25224a ,……..6分得254PA PB PT ，所以存在54，使得2PA PB PT 恒成立.……..8分21．（本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分）.x得 10f x ，0k ，……3分取21x x ，且2x，由21x x ，得212221f x f x x x①由2x，得 12222122f x f x k x x x ②①式与②式矛盾，所以假设不成立，即对于任意 0,x ，均有 0f x .……6分令 10f x x x，则 231f x y x x因为当0x 时，430y x，所以2f x y 在 0, 上严格增， 2y f x M。

2020年上海各区高三二模分类汇编-9数列(教师版)

2020年二模汇编——数列一、填空题【闵行4】记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，若2,2121=+=a S S S n ，则=5a ________ 【答案】6【解析】61222233225111111213=⇒⎩⎨⎧==⇒⎩⎨⎧=++=+⇒⎩⎨⎧=+=a d a a d a a d a a S S S 【松江4】等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若15374,12a a a a +=+=，则7S = . 【答案】28【解析】两式相加得，153716a a a a +++=，利用下标公式，5317a a a a +=+，所以178a a +=，1777()282a a S +==. 【杨浦5】若{}n a 是无穷等比数列，首项113a =，公比13q =，则{}n a 各项的和S =【答案】21【解析】213113111=-=-=q a S 【宝山5】已知无穷数列()*2,3n na n N =∈-则数列{}n a 的各项和为 .【答案】12-【解析】由题意知数列{}n a 为首相为123a =-，公比为13q =-的无穷等比数列，1112n a s q ==--。

【松江6】已知数列{}n a 的首项11a =，且满足()1012n na a n N *+=∈，数列{}n a 的前n项和为n S ，则lim nn S →∞= .【答案】2 【解析】Q1012n n a a +=，∴12n n a a +=，∴112n n a a +=,即数列{}n a 是以1为首项，公比为12的等比数列.∴1lim =21n n a S q →∞=-. 【嘉定7】设各项均为正数的等比数列{}n a 的前n 项和为{}n S ，11a =,236a a +=,则6S = 【答案】63【解析】()()6261126026312q q q q S -+=>⇒=⇒==-【浦东7】若二项式()421x+展开式的第4项的值为24，则()=++++∞→n n x x x x Λ32lim ．【答案】15【解析】33441(2)6x T C x ===，()23116lim 1516nn x x x x →∞++++==-L 【长宁8】记等差数列{}n a 的前n 项和为n S .若371,14a S ==，则5a = . 【答案】3【解析】由题意可得，()()()71735557771143222S a a a a a a =+=+=+=⇒= 【金山8】数列{}n a 的通项公式1,1,2=1,3,2n nn na n N n *⎧=⎪⎪∈⎨⎪≥⎪⎩，前项和为n s ，则lim n n s →∞= 【答案】74【解析】3121178lim 1112412n n a S a a q →∞=++=++=--【崇明8】已知数列{}n a 是无穷等比数列，其前n 项和记为n S ，若233a a +=，3432a a +=，则lim n n S →∞=【答案】8【解析】由题意得：114,lim 82n n a q S →∞==∴= 【奉贤8】已知等差数列{}n a 的各项不为零，且3a 、13a 、63a 成等比数列，则公比是【答案】1或5【解析】213111131(12)(2)(62),,0,152a a d a d a d a d d q a +=++====或【杨浦9】数列{}n a 满足11a =，且132n n a a n ++=+对任意*n ∈N 均成立，则2020a = 【答案】3031【解析】由题可知521=+a a 且11=a ，则42=a ；832=+a a ，则43=a ；1143=+a a ，则74=a ；1454=+a a ，则75=a ；以此类推13,10,10876===a a a ……则这个数列的偶数项是首项为4公差为3的等差数列2020a 是这个等差数列的第1010项，则30313)11010(42020=⨯-+=a【闵行9】已知直线x y l =:1，斜率为()10<<q q 的直线2l 与x 轴交于点A ，与y 轴交于点()a B ,00，过0B 做x 轴的平行线，交1l 于点1A ，过1A 做y 轴的平行线，交2l 于点1B ，再过1B 做x 轴的平行线，交1l 于点2A ，Λ，这样一次得线段,,,,,211110n n B A A B B A A B Λ记n x 为点n B 的横坐标，则=∞→n n x lim _________【答案】qa-1 【解析】设()(),,,,11++n n n n y x B y x B 由题可知,,11++=+=∴=n n n n n x a qx y x y 设A x x n x n x ==+∞→∞→1lim lim ,则qa A A a qA a qx x n x n x -==+=+=∞→+∞→1lim lim 1，【金山11】我们把一系列向量()1,2,i a i n =u rL 按次序排成一排，称之为向量列，记作{}j a u u r ，已知向量{}i a u r 满足：()()()1111111,1,,,(2),2n n n n n n n a a x y x y x y n ----===-+≥u r u u r 设n θ表示向量1n a -u u u r 与n a u u r 的夹角，若2n n n b θπ=，对任意正整数n ，不等式()+122111+......log 12a n n na b b b +++>-恒成立，则实数a 的取值范围是 . 【答案】103⎛⎫ ⎪⎝⎭，【解析】()()()2211111111111111,,+cos 2||||2n n n n n n n n n n n n n n x y x y x y x y a a a an θ------------⋅-+⋅===u u u r u u r u u u u r u u r∴2,b ,44n n n πθ==()2222+......1log 1212a n a n n n n n n=+≥⨯=>-++++ ()log 121log a a a a -<=当01a <<时，1201,0123a a a a->⎧<<⎨->⎩当1a >时，12>0,12a a a a-⎧⎨-<⎩不存在综上实数a 的取值范围是103⎛⎫ ⎪⎝⎭，【浦东12】已知数列{}{},n n a b 满足111a b ==，对任何正整数n 均有1n n n a a b +=+1n n n b a b +=+，设113n n n n c a b ⎛⎫=+⎪⎝⎭，则数列{}n c 的前2020项之和为 . 【答案】202133-【解析】()112+2nn n n n n n a b a b a b +++=⇒+=，11122n n n n n n n a b a b a b -++=⇒+=，12333n n n n c +=⋅=-，2021202033S =-【金山12】设n N *∈，n a 为(2)(1)nnx x +-+的展开式的各项系数之和，16,2m t t R =-+∈,1222333n n n na a a b ⎡⎤⎡⎤⎡⎤=+++⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦K （[]x 表示不超过x 实数的最大整数），则22()()n n t b m -+-的最小值为【答案】95【解析】1,32n n n x a ==-，2133nnn na n n n ⎡⎤⎡⎤⎛⎫=-⋅=-⎢⎥ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦⎢⎥⎣⎦，()20112n n nb n -∴=+++-=K()()()222221622n n n n t b m n t t ⎡⎤-⎛⎫∴-+-=-+--+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦可看作抛物线22x xy -=上一点2,2n n A n ⎛⎫- ⎪⎝⎭与直线162y x =-+上一点1(,6)2B t t -+的距离的平方，数形结合可知，当3n =时，()3,3A 距离最小,()()222min95n n t b m ⎡⎤-+-==⎣⎦ 二、选择题【宝山15】用数学归纳法证明n n135(1)(2n 1)(1)n,n N*-+-+⋅⋅⋅+--=-∈.那么，“当n 1=时，命题成立”是对“n N*∈时命题成立”的（）【A 】充分不必要【B 】必要不充分【C 】充要【D 】既不充分也不必要【答案】B【解析】由数学归纳法可知，“当n 1=时，命题成立”需要加上第二步假设证明才能得到“n N*∈时命题成立”【崇明15】设{}n a 是各项为正数的无穷数列，i A 是边长为i a 、1i a +的矩形的周长（1,2,i =⋅⋅⋅），则“数列{}n A 为等差数列”的充要条件是（）【A 】{}n a 是等差数列【B 】1321,,,,n a a a -⋅⋅⋅⋅⋅⋅或242,,,,n a a a ⋅⋅⋅⋅⋅⋅是等差数列【C 】1321,,,,n a a a -⋅⋅⋅⋅⋅⋅和242,,,,n a a a ⋅⋅⋅⋅⋅⋅都是等差数列【D 】1321,,,,n a a a -⋅⋅⋅⋅⋅⋅和242,,,,n a a a ⋅⋅⋅⋅⋅⋅都是等差数列，且公差相同【答案】D【解析】(),21++=i i i a a A 若{}n a 为等差数列，设公差为d ，则21da a i i =-+，即数列{}n a 的奇数项城等差，偶数项成等差；反之，若,22221212da a a a n n n n =-=---+则d A A n n =-+212为等差。

4.上海高三二轮复习数列(求和、通项、极限)

3k 2 k 1 * ，其中 k N ，则 lim an 一定存在； n 3k 2 k
其中正确命题的序号是
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高三二轮复习例 3、（2013 年闸北区二模文科 6）设0
， a1 2 cos ， a n 1 2 a n ，则数列 a n 的通项公式 a n 2
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高三二轮复习三、一模、二模典型题讲解例 1（2013 年静安区、杨浦区、青浦区、宝山区二模理科 14）
5 9 13 1 10 15 20 5 9 15 21 27 给出 30 行 30 列的数表 A ： 13 20 27 34 117 150 183 216
n
x1 ， x2 ，总有不等式
f x1 f x2
2
x x f 1 2 成立，则称函数 f x 为该区间上的向 2
上凸函数（简称上凸函数）。
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高三二轮复习同理：对于数列 an ，如果对任意正整数 n ，总有不等式：列 an 为向上凸数列（简称上凸数列）。同理——下凸数列：对于数列 an ，如果对任意正整数 n ，总有不等式：立，则称数列 an 为向下凸数列（简称下凸数列）。 8、斐波那契数列：对于数列 an ，如果对任意正整数 n ，从第二项开始，每一项都等于前 2 项之和，表达式为： an 2 an 1 an ；特点：当 n 逐渐增大时，前一项与后一项的比越来越逼近黄金分割（
S n2 a12 对任何等差数列 an 及任何正整数 2 n
n 恒成立，则的最大值是
．
例 5、（2014 年徐汇、松江、金山区二模理科 14）

上海市高三数学第二轮章节复习数列

高三数学第二轮章节复习《数列》班级________学号________姓名________一．填空题：（本大题共12题，1-6每题4分，7-12每题5分，共54分）1. 在数列{}n a 中，a 1＝2，a n ＋1＝2a n ，S n 为{}n a 的前n 项和．若S n ＝126，则n ＝_____2. 设S n 是等差数列{}n a 的前n 项和，且a 1＝1，a 11＝9，则S 6＝________3. 已知等比数列{}n a 满足4212=+a a ，523a a =，则该数列的前5项的和为4. 数列{a }n 满足+1=3a 1n n a +，且11a =，则数列{a }n 的通项公式n a =5. 等比数列{}n a 的各项均为正数，且154a a =，则212223log log log a a a ++24log a +25log a +=6.设无穷等比数列{}n a 的公比为，若()134lim n n a a a a →∞=+++，则q = .7. 设等比数列{}n a 的公比为q ，则“0<q <1”是“{a n }是递减数列”的条件 8. 已知数列{}n a 满足a 1＝15，且3a n ＋1＝3a n －2.若a k ·a k ＋1<0，则正整数k ＝ 9. 数列{}n a 满足a n －a n ＋1＝a n ·a n ＋1(n ∈N *)，数列{b n }满足b n ＝1a n ，且b 1＋b 2＋…＋b 9＝90，则b 4·b 6=10. 已知)(x f 是定义在R 上不恒为零的函数，对于任意的x ，y ∈R ，都有f (xy )＝xf (y )＋yf (x )成立．数列{}n a 满足a n ＝f (2n )(n ∈N *)，且a 1＝2，则数列{a n }的通项公式为a n ＝________ 11. 设S n 为数列{}n a 的前n 项和，若S 2n S n (n ∈N *)是非零常数，则称该数列为“和等比数列”，若数列{}n c 是首项为2，公差为d (d ≠0)的等差数列，且数列{}n c 是“和等比数列”，则d ＝__________.12.若,a b 是函数()()20,0f x x px q p q =-+>> 的两个不同的零点，且,,2a b - 这三个数可适当排序后成等差数列，也可适当排序后成等比数列，则p q + 的值等于 .15. 已知数列{}n a 满足13a =，151337n n n a a a +-=-，则2016a =（）A ．3B ．2C ．1D ．-116.定义在R 上的函数)(x f 是奇函数且满足)()23(x f x f =-，3)2(-=-f ，数列{}n a 满足11-=a ，且21n n S an n=⨯+，（其中n S 为{}n a 的前n 项和），则=+)()(65a f a f ( ) A ．3 B ．2- C ．3- D ．2三．解答题：（本大题共5小题，共76分）已知数列{a n }的前n 项和为S n ，满足S n ＝32a n －n (n ∈N *)。

上海市2024年高考二模分类汇编：数列

数列汇编一、题型一：等差数列及其求和1．（23-24高三下·上海浦东新·期中）设()()101100,10Z m m m m m f x a x a x a x a a m m --=++++≠≥∈ ，，记()()1n n f x f x -'=(1,2,,1)n m =-L ，令有穷数列n b 为()n f x 零点的个数()1,2,,1n m =- ，则有以下两个结论：①存在()0f x ，使得n b 为常数列；②存在()0f x ，使得n b 为公差不为零的等差数列.那么（）A ．①正确，②错误B ．①错误，②正确C ．①②都正确D ．①②都错误2．（2024·上海松江·二模）已知等差数列{}n a 的公差为2，前n 项和为n S ，若35a S =，则使得n n S a <成立的n 的最大值为.3．（2024·上海杨浦·二模）已知实数a 满足：①[0,2π)a ∈；②存在实数,(2π)b c a b c <<<，使得a ，b ，c 是等差数列，cos b ，cos a ，cos c 也是等差数列.则实数a 的取值范围是.4．（2024·上海杨浦·二模）某钢材公司积压了部分圆钢，经清理知共有2024根，每根圆钢的直径为10厘米．现将它们堆放在一起.若堆成纵断面为等腰梯形（如图每一层的根数比上一层根数多1根），且为考虑安全隐患，堆放高度不得高于32米，若堆放占用场地面积最小，则最下层圆钢根数为.5．（2024·上海黄浦·二模）已知数列{}n a 是给定的等差数列，其前n 项和为n S ，若9100a a <，且当0m m =与0n n =时，m n S S -{}()*,|30,m n x x x ∈≤∈N 取得最大值，则00m n -的值为.6．（23-24高三下·上海浦东新·期中）已知等差数列{}n a 满足1612a a +=，47a =，则3a =.7．（2024·上海崇明·二模）若等差数列{}n a 的首项11a =，前5项和525S =，则5a =．8．（2024·上海虹口·二模）已知等差数列{}n a 满足25a =，9672a a +=.(1)求{}n a 的通项公式；(2)设数列{}n b 前n 项和为n S ，且221n n n b a a +=-，若432m S >，求正整数m 的最小值.二、题型二：等比数列及其求和9．（2024·上海松江·二模）设n S 为数列{}n a 的前n 项和，有以下两个命题：①若{}n a 是公差不为零的等差数列且N k ∈，2k ≥，则12210k S S S -⋅= 是120k a a a ⋅= 的必要非充分条件；②若{}n a 是等比数列且N k ∈，2k ≥，则120k S S S ⋅= 的充要条件是10k k a a ++=.那么（）A ．①是真命题，②是假命题B ．①是假命题，①是真命题C ．①、②都是真命题D ．①、②都是假命题10．（2024·上海普陀·二模）设n S 是数列{}n a 的前n 项和(1,N)n n ≥∈，若数列{}n a 满足：对任意的2n ≥，存在大于1的整数m ，使得()()10m n m n S a S a +--<成立，则称数列{}n a 是“G 数列”.现给出如下两个结论：①存在等差数列{}n a 是“G 数列”；②任意等比数列{}n a 都不是“G 数列”.则（）A ．①成立②成立B ．①成立②不成立C ．①不成立②成立D ．①不成立②不成立11．（2024·上海青浦·二模）设n S 是首项为1a ，公比为q 的等比数列{}n a 的前n 项和，且202320252024S S S <<，则（）．A ．10a >B ．0q >C ．1n S a ≤D ．n S q<12．（2024·上海长宁·二模）设数列{}n a 的前n 项和为n S ，若存在非零常数c ，使得对任意正整数n ，都有n a c =+，则称数列{}n a 具有性质p ：①存在等差数列{}n a 具有性质p ；②不存在等比数列{}n a 具有性质p ；对于以上两个命题，下列判断正确的是（）A ．①真②真B ．①真②假C ．①假②真D ．①假②假13．（2024·上海普陀·二模）设等比数列{}n a 的公比为(1,N)q n n ≥∈，则“212a ，4a ，32a 成等差数列”的一个充分非必要条件是.14．（2024·上海普陀·二模）设k ，m ，n 是正整数，n S 是数列{}n a 的前n 项和，12a =，11n n S a +=+，若()11ki i i m t S ==-∑，且{0,1}i t ∈，记12()k f m t t t =+++ ，则(2024)f =.15．（2024·上海徐汇·二模）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，若3122n n S a =-（n 是正整数），则5a =.16．（2024·上海杨浦·二模）各项为正的等比数列{}n a 满足：12a =，2312a a +=，则通项公式为n a =.17．（2024·上海静安·二模）已知等比数列的前n 项和为12nn S a ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，则a 的值为．18．（2024·上海金山·二模）设公比为2的等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若202420226S S -=，则2024a =．19．（2024·上海奉贤·二模）已知{}n a 是公差d =2的等差数列，其前5项和为15，{}n b 是公比q 为实数的等比数列，11b =，426b b -=．(1)求{}n a 和{}n b 的通项公式；(2)设()221,na n n cb n n =+≥∈N ，计算1ni i c =∑．三、题型三：数列极限及新定义问题20．（2024·上海虹口·二模）已知等比数列{}n a 是严格减数列，其前n 项和为12,n S a =，若123,2,3a a a 成等差数列，则lim n n S →∞=.21．（2024·上海黄浦·二模）设数列{}n a 的前n 项和为n S ，若对任意的*N n ∈，n S 都是数列{}n a 中的项，则称数列{}n a 为“T 数列”.对于命题：①存在“T 数列”{}n a ，使得数列{}n S 为公比不为1的等比数列；②对于任意的实数1a ，都存在实数d ，使得以1a 为首项、d 为公差的等差数列{}n a 为“T 数列”.下列判断正确的是（）A ．①和②均为真命题B ．①和②均为假命题C ．①是真命题，②是假命题D ．①是假命题，②是真命题22．（2024·上海徐汇·二模）已知各项均不为0的数列{}n a 满足2211n n n n n a a a a a +++=+（n 是正整数），121a a ==，定义函数11()1(0)!nkn k y f x x x k ===+≥∑，e 是自然对数的底数.(1)求证：数列1n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等差数列，并求数列{}n a 的通项公式；(2)记函数()n y g x =，其中()1e ()x n n g x f x -=-.（i ）证明：对任意0x ≥，3430()()()≤≤-g x f x f x ；（ii ）数列{}n b 满足12n n nb a -=，设n T 为数列{}n b 的前n 项和.数列{}n T 的极限的严格定义为：若存在一个常数T ，使得对任意给定的正实数u （不论它多么小），总存在正整数m 满足：当n m ≥时，恒有n T T u -<成立，则称T 为数列{}n T 的极限.试根据以上定义求出数列{}n T 的极限T .23．（2024·上海青浦·二模）若无穷数列{}n a 满足：存在正整数T ，使得n T n a a +=对一切正整数n 成立，则称{}n a 是周期为T 的周期数列．(1)若ππsin 3n n a m ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭（其中正整数m 为常数，N,1n n ∈≥），判断数列{}n a 是否为周期数列，并说明理由；(2)若1sin (N,1)n n n a a a n n +=+∈≥，判断数列{}n a 是否为周期数列，并说明理由；(3)设{}n b 是无穷数列，已知1sin (N,1)n n n a b a n n +=+∈≥．求证：“存在1a ，使得{}n a 是周期数列”的充要条件是“{}n b 是周期数列”．24．（23-24高三下·上海浦东新·期中）已知函数()y f x =及其导函数()y f x '=的定义域均为D .设0x D ∈，曲线()y f x =在点()()00,x f x 处的切线交x 轴于点()1,0x .当1n ≥时，设曲线()y f x =在点()(),n n x f x 处的切线交x 轴于点()1,0n x +.依此类推，称得到的数列{}n x 为函数()y f x =关于0x 的“N 数列”.(1)若()ln f x x =，{}n x 是函数()y f x =关于01ex =的“N 数列”，求1x 的值；(2)若()24f x x =-，{}n x 是函数()y f x =关于03x =的“N 数列”，记32log 2n n n x a x +=-，证明：{}n a 是等比数列，并求出其公比；(3)若()2xf x a x =+，则对任意给定的非零实数a ，是否存在00x ≠，使得函数()y f x =关于0x 的“N 数列”{}n x 为周期数列？若存在，求出所有满足条件的0x ；若不存在，请说明理由.参考答案一、题型一：等差数列及其求和1．（23-24高三下·上海浦东新·期中）设()()101100,10Z m m m m m f x a x a x a x a a m m --=++++≠≥∈ ，，记()()1n n f x f x -'=(1,2,,1)n m =-L ，令有穷数列n b 为()n f x 零点的个数()1,2,,1n m =- ，则有以下两个结论：①存在()0f x ，使得n b 为常数列；②存在()0f x ，使得n b 为公差不为零的等差数列.那么（）A ．①正确，②错误B ．①错误，②正确C ．①②都正确D ．①②都错误【答案】C【分析】对于①，列举()0mf x x =验证，对于②，列举()()()()012f x x x x m =--- 验证.【详解】当()0mf x x =时，()()110m f x f x mx '-==，此时11b =，()()()2211m f x f x m m x '-==-，此时21b =，⋯()()()()12122m m f x f x m m m x '--==--⨯⨯ ，此时11m b -=，故存在()0f x ，使n b 为常数列；①正确；设()()()()012f x x x x m =--- ，则()0f x 有m 个零点1,2,3,,m ，则()1f x 在()()()1,2,2,3,,1,m m - 的每个区间内各至少一个零点，故()1f x 至少有1m -个零点，因为是一个1m -次函数，故最多有1m -个零点，因此()1f x 有且仅有1m -个零点，同理，()2f x 有且仅有2m -个零点，L ，()k f x 有且仅有m k -个零点，故n b m n =-，所以{}n b 是公差为1-的等差数列，故②正确.故选：C.2．（2024·上海松江·二模）已知等差数列{}n a 的公差为2，前n 项和为n S ，若35a S =，则使得n n S a <成立的n 的最大值为.【答案】53．（2024·上海杨浦·二模）已知实数a 满足：①[0,2π)a ∈；②存在实数,(2π)b c a b c <<<，使得a ，b ，c 是等差数列，cos b ，cos a ，cos c 也是等差数列.则实数a 的取值范围是.4．（2024·上海杨浦·二模）某钢材公司积压了部分圆钢，经清理知共有2024根，每根圆钢的直径为10厘米．现将它们堆放在一起.若堆成纵断面为等腰梯形（如图每一层的根数比上一层根数多1根），且为考虑安全隐患，堆放高度不得高于32米，若堆放占用场地面积最小，则最下层圆钢根数为.【答案】134【分析】由题设信息，第一层有m根，共有n层，利用等差数列前n项和公式列出关系式，再借助整除的思想分析计算得解.【详解】设第一层有m根，共有n层，则(1)20242nn nS nm-=+=，4(21)404821123n m n+-==⨯⨯，显然n和21m n+-中一个奇数一个偶数，则1121368nm n=⎧⎨+-=⎩或1621253nm n=⎧⎨+-=⎩或23176nm=⎧⎨=⎩，即11179nm=⎧⎨=⎩或16119nm=⎧⎨=⎩或2377nm=⎧⎨=⎩，显然每增加一层高度增加53厘米，当11179nm=⎧⎨=⎩时，10531096.6h=⨯+≈厘米150<厘米，此时最下层有189根；当16119nm=⎧⎨=⎩时，155310139.9h=⨯+≈厘米150<厘米，此时最下层有134根；当2377nm=⎧⎨=⎩时，225310200.52150h=⨯+≈>厘米，超过32米，所以堆放占用场地面积最小时，最下层圆钢根数为134根.故答案为：1345．（2024·上海黄浦·二模）已知数列{}n a是给定的等差数列，其前n项和为n S，若9100a a<，且当m m=与0n n=时，m nS S-{}()*,|30,m n x x x∈≤∈N取得最大值，则00m n-的值为.【答案】21【分析】不妨设数列{}n a的公差大于零，不妨取m n>，则1mm n ii nS S a=+-=∑，设3030910iik S S a==-=∑，再分9,30n m>=和9,30n m<=两种情况讨论，可得出n的值，再讨论30m<，即可求出0m，即可得解.【详解】不妨设数列{}n a的公差大于零，6．（23-24高三下·上海浦东新·期中）已知等差数列{}n a 满足1612a a +=，47a =，则3a =.【答案】5【分析】由等差数列的性质可得.【详解】因为{}n a 是等差数列，所以1634a a a a +=+，则有3127a =+，解得35a =.故答案为：5.7．（2024·上海崇明·二模）若等差数列{}n a 的首项11a =，前5项和525S =，则5a =．【答案】9【分析】根据题意，利用等差数列的求和公式，列出方程，即可求解.【详解】因为等差数列{}n a 的首项11a =，前5项和525S =，由等差数列的求和公式，可得15555()5(1)2522a a a S ⨯+⨯+===，解得59a =.故答案为：9.8．（2024·上海虹口·二模）已知等差数列{}n a 满足25a =，9672a a +=.(1)求{}n a 的通项公式；(2)设数列{}n b 前n 项和为n S ，且221n n n b a a +=-，若432m S >，求正整数m 的最小值.【答案】(1)21n a n =+(2)10【分析】（1）设等差数列{}n a 的公差为d ，依题意根据等差数列通项公式得到关于1a 、d 的方程组，解得即可求出通项公式；（2）由（1）可得22188n n n b a a n +=-=+，利用等差数列求和公式求出n S ，再解不等式即可.【详解】（1）设等差数列{}n a 的公差为d ，则1115872(5)a d a d a d +=⎧⎨++=+⎩，解得132a d =⎧⎨=⎩，故1(1)21n a a n d n =+-=+；（2）由（1）可得123n a n +=+，则22221(23)(21)88n n n b a a n n n +=-=+-+=+，所以18(2)n n b b n --=≥，则数列{}n b 是以116b =为首项，8为公差的等差数列，故()216884122n n n S n n++==+，因为432m S >，所以2412432m m +>，所以4(12)(9)0m m +->，所以9m >或12m <-，因为N*m ∈，所以9m >，所以m 的最小值是10．二、题型二：等比数列及其求和9．（2024·上海松江·二模）设n S 为数列{}n a 的前n 项和，有以下两个命题：①若{}n a 是公差不为零的等差数列且N k ∈，2k ≥，则12210k S S S -⋅= 是120k a a a ⋅= 的必要非充分条件；②若{}n a 是等比数列且N k ∈，2k ≥，则120k S S S ⋅= 的充要条件是10k k a a ++=.那么（）A ．①是真命题，②是假命题B ．①是假命题，①是真命题C ．①、②都是真命题D ．①、②都是假命题分析得解.10．（2024·上海普陀·二模）设n S 是数列{}n a 的前n 项和(1,N)n n ≥∈，若数列{}n a 满足：对任意的2n ≥，存在大于1的整数m ，使得()()10m n m n S a S a +--<成立，则称数列{}n a 是“G 数列”.现给出如下两个结论：①存在等差数列{}n a 是“G 数列”；②任意等比数列{}n a 都不是“G 数列”.则（）A ．①成立②成立B ．①成立②不成立C ．①不成立②成立D ．①不成立②不成立【答案】D【分析】由题意可得任意的n ≥2，存在大于1的整数m ，使得1n m n a S a +<<，对命题①，分公差0d >或0d <两种情况讨论可判断结论，对于②，举例如2n n a =，可判断结论.【详解】由“G 数列”的定义，对任意的n ≥2，存在大于1的整数m ，使得1()()0m n m n S a S a +--<，成立，则对任意的n ≥2，存在大于1的整数m ，使得1n m n a S a +<<，对于命题①不成立，理由如下：假设存在11n m n m a S a S ++<<<< ，当0d >时，总存在2k a d >，由于对任意正整数n ，有1n n a a d +-=，所以总存在正整数k ，使得1k S -与1S 2k k S d -->，所以不会存在112n k n k n a S a S a -++<<<<，当0d <时，总存在2k a d <，由于对任意正整数n ，有1n n a a d +-=，所以总存在正整数k ，使得1k S -与1S 2k k S d --<，所以不会存在112n k n k n a S a S a -++<<<<，对于命题②不成立，理由如下：举例说明：如2n n a =，有122n n S +=-，因为1n m n a S a +<<，所以112222n m n ++<-<，可以取m n =，就可以保证不等式成立，综上所述：①不成立，②不成立.故选：D.【点睛】考查新定义题型，考查转化思想与阅读理解能力，以及分类讨论思想的应用.11．（2024·上海青浦·二模）设n S 是首项为1a ，公比为q 的等比数列{}n a 的前n 项和，且202320252024S S S <<，则（）．A ．10a >B ．0q >C ．1n S a ≤D ．n S q<12．（2024·上海长宁·二模）设数列{}n a 的前n 项和为n S ，若存在非零常数c ，使得对任意正整数n ，都有n a c =+，则称数列{}n a 具有性质p ：①存在等差数列{}n a 具有性质p ；②不存在等比数列{}n a 具有性质p ；对于以上两个命题，下列判断正确的是（）A ．①真②真B ．①真②假C ．①假②真D ．①假②假【答案】B【分析】直接构造21n a n =-和()11n n a -=-，说明存在等差数列{}n a 具有性质p ，且存在等比数列{}n a 具有性质p ，从而得到①真②假.【详解】一方面，对21n a n =-，知{}n a 是等差数列.而()211212n S n n n =⋅+-=，令1c =就有22211n n S n n a c ==-+=+，所以{}n a 具有性质p ，这表明存在等差数列{}n a 具有性质p ；另一方面，对()11n n a -=-，知{}n a 是等比数列.当n 为奇数时，1n a =；n 为偶数时，1n a =-.故当n 为奇数时，1n S =；n 为偶数时，0n S =.故当n 为奇数时，22111n n S a ==+=+；n 为偶数时，20111n n S a ==-+=+.这表明21n n S a =+恒成立，再令1c =就有2n n S a c =+，所以{}n a 具有性质p ，这表明存在等比数列{}n a 具有性质p .综上，①正确，②错误，故B 正确.故选：B.【点睛】关键点点睛：构造21n a n =-和()11n n a -=-作为例子，直接判断命题的真假，是判断选项正确性的简单有效的方法.13．（2024·上海普陀·二模）设等比数列{}n a 的公比为(1,N)q n n ≥∈，则“212a ，4a ，32a 成等差数列”的一个充分非必要条件是.【答案】3q =（或2q =-,答案不唯一）【分析】根据已知条件，结合等差数列、等比数列的性质，即可求解．【详解】212a ，4a ，32a 成等差数列，则4232122a a a =+，即26q q =+，解得3q =或2q =-，故“212a ，4a ，32a 成等差数列”的一个充分非必要条件是3q =（或2)q =-．故答案为：3q =（或2q =-,答案不唯一）14．（2024·上海普陀·二模）设k ，m ，n 是正整数，n S 是数列{}n a 的前n 项和，12a =，11n n S a +=+，若()11ki i i m t S ==-∑，且{0,1}i t ∈，记12()k f m t t t =+++ ，则(2024)f =.【答案】7【分析】根据数列递推式求出{}n a 的通项，从而可得i S ，进而可得m ，根据12()k f m t t t =+++ ，即可求出(2024)f ．15．（2024·上海徐汇·二模）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，若22n n S a =-（n 是正整数），则5a =.16．（2024·上海杨浦·二模）各项为正的等比数列{}n a 满足：12a =，2312a a +=，则通项公式为n a =.【答案】2n【分析】利用给定条件，求出等比数列{}n a 的公比，再写出通项公式.【详解】设正项等比数列{}n a 的公比为,0q q >，由12a =，2312a a +=，得21112a q a q +=，则260q q +-=，解得2q =，所以112n nn a a q -==.故答案为：2n17．（2024·上海静安·二模）已知等比数列的前n 项和为12nn S a ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，则a 的值为．【答案】1-【分析】根据题意，分别求得112a a =+，214a =-，318a =-，结合2213a a a =，列出方程，即可求解.【详解】由等比数列的前n 项和为12nn S a ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，可得1112a S a ==+，22111()2414a S a S a ==+-=--+，33211()4818a S a S a ==+-=--+，所以2111()()()428a -=+⨯-，解得1a =-，经检验符合题意.故答案为：1-.18．（2024·上海金山·二模）设公比为2的等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若202420226S S -=，则2024a =．【答案】4【分析】根据等比数列的通项公式及前n 项和的概念计算即可得解.【详解】因为20242022202420232023(1)6S S a a a q -=+=⋅+=，所以20232a =，故20242023224a a q =⋅=⨯=.故答案为：419．（2024·上海奉贤·二模）已知{}n a 是公差d =2的等差数列，其前5项和为15，{}n b 是公比q 为实数的等比数列，11b =，426b b -=．(1)求{}n a 和{}n b 的通项公式；(2)设()221,na n n cb n n =+≥∈N ，计算ni c ∑．【答案】(1)23n a n =-，12n n b -=；(2)()5416n-．三、题型三：数列极限及新定义问题20．（2024·上海虹口·二模）已知等比数列{}na 是严格减数列，其前n 项和为12,n S a =，若123,2,3a a a 成等差数列，则lim n n S →∞=.21．（2024·上海黄浦·二模）设数列{}n a 的前n 项和为n S ，若对任意的*N n ∈，n S 都是数列{}n a 中的项，则称数列{}n a 为“T 数列”.对于命题：①存在“T 数列”{}n a ，使得数列{}n S 为公比不为1的等比数列；②对于任意的实数1a ，都存在实数d ，使得以1a 为首项、d 为公差的等差数列{}n a 为“T 数列”.下列判断正确的是（）A ．①和②均为真命题B ．①和②均为假命题C ．①是真命题，②是假命题D ．①是假命题，②是真命题【答案】A【分析】根据题意，结合“T 数列”的定义，举出实例说明①②，即可得出答案.【详解】对于命题①，对于数列{}n a ，令21,12,2n n n a n -=⎧=⎨≥⎩，则11,12,2n n n S n -=⎧=⎨≥⎩，数列{}n S 为公比不为1的等比数列，当1n =时，11S =是数列{}n a 中的项，当2n ≥时，12n n S -=是数列{}n a 中的项，所以对任意的*N n ∈，n S 都是数列{}n a 中的项，故命题①正确；对于命题②，等差数列{}n a ，令1a d =-，则()()112n a a n d n d =+-=-，则()()()123222n n n d n d n a a n n S d ⎡⎤-+-+-⎣⎦===，因为21n -≥-且2Z n -∈，()2313912228n n n -⎛⎫=--≥- ⎪⎝⎭，且()3N*,Z 2n n n -∈∈，所以对任意的*N n ∈，n S 都是数列{}n a 中的项，所以对于任意的实数1a ，都存在实数d ，使得以1a 为首项、d 为公差的等差数列{}n a 为“T 数列”，故命题②正确；故选：A.22．（2024·上海徐汇·二模）已知各项均不为0的数列{}n a 满足2211n n n n n a a a a a +++=+（n 是正整数），121a a ==，定义函数11()1(0)!nkn k y f x x x k ===+≥∑，e 是自然对数的底数.(1)求证：数列1n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等差数列，并求数列{}n a 的通项公式；(2)记函数()n y g x =，其中()1e ()x n n g x f x -=-.（i ）证明：对任意0x ≥，3430()()()≤≤-g x f x f x ；（ii ）数列{}n b 满足12n n nb a -=，设n T 为数列{}n b 的前n 项和.数列{}n T 的极限的严格定义为：若存在一个常数T ，使得对任意给定的正实数u （不论它多么小），总存在正整数m 满足：当n m ≥时，恒有n T T u -<成立，则称T 为数列{}n T 的极限.试根据以上定义求出数列{}n T 的极限T .再证：343()()()≤-g x f x f x .又434()()4!-=f x f x x ，记334()()4!=-g x h x x ，则()()3333!''=-x h x g x ()3e 13!x x -=-，由0,e 10x x -≥-≤，故()30h x '≤且仅当0x =时等号成立，于是()3h x 在[)0,+∞上是严格减函数，故()()3300h x h ≤=，于是()4304!≤≤x g x ，证毕.（ii ）由题意知，()2112221(2)1!2!1!--=++++=- n n n f T n ，下面研究()n y f x =.将（i ）推广至一般情形.()111111e !1!n n k k k k xn g x x x k k -=-=⎡⎤⎛⎫'=-⎥⎛+⎢ ⎪⎝⎭⎭⎣ ⎝⎦⎫+⎪∑∑e !n x x n -=，由()*0,N ,e 0,!nxn x x n g x n -'≥∈=≥当且仅当0x =时等号成立，于是()n g x 在[)0,+∞上是严格增函数，故()()00n n g x g ≥=成立.①再证：1()()()n n n g x f x f x +≤-.()11()(1)!n n n f x f x x n ++-=+，记()1!()()1n n n h x g x x n ++=-，则()()!n n n x h x g x n ''=-()1!nx xe n -=-，由*0,N ,e 10x x n -≥∈-≤，故()0nh x '≤当且仅当0x =时等号成立，于是()n h x 在[)0,+∞上是严格减函数，故()()00n n h x h ≤=，于是()()101!n n x g x n +≤≤+，所以，()1101!11e (1)!n nxk k x x k n -+=≤-+≤+∑，即对任意0x ≥，10()()()n n n g x f x f x +≤≤-.于是对2n ≥，110()()()≤≤---n n n g x f x f x ，整理得1(0e e !)-≤-≤n n xxf x x n ，令2x =，得12(2)20e e !-≤-≤n x n n f ，即22e 20e !n n T n ⋅≤-≤，故22e 2e !n n T n ⋅-≤.（方法一）当6n ≥时，(1)(2)5416n n --≥⨯>故44222[1(2)(1)][23(3)](1)!n n n n n n -=⨯<⋅-⋅-⋅⨯⨯⨯-=-…即2(1)!n n <-，23．（2024·上海青浦·二模）若无穷数列{}n a 满足：存在正整数T ，使得n T n a a +=对一切正整数n 成立，则称{}n a 是周期为T 的周期数列．(1)若ππsin 3n n a m ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭（其中正整数m 为常数，N,1n n ∈≥），判断数列{}n a 是否为周期数列，并说明理由；(2)若1sin (N,1)n n n a a a n n +=+∈≥，判断数列{}n a 是否为周期数列，并说明理由；(3)设{}n b 是无穷数列，已知1sin (N,1)n n n a b a n n +=+∈≥．求证：“存在1a ，使得{}n a 是周期数列”的充要条件是“{}n b 是周期数列”．【答案】(1){}n a 是周期为2m 的周期数列，理由见解析(2)答案见解析(3)证明见解析【分析】（1）根据题设定义，利用sin y x =的周期，即可得出结果；（2）分()1πZ a k k =∈与()1πa k k Z ≠∈两种情况讨论，当()1πZ a k k =∈，易得到{}n a 是周期为1的周期数列，当()1πZ a k k ≠∈时，构造()sin f x x x =+，则1()n n a f a +=，利用导数与函数单调性间的关系，可得出{}n a是严格增（或减）数列，从而可得出结果；（3）根据条件，利用充要条件的证明方法，即可证明结果.【详解】（1）因为2ππππππsin (2)sin 2πsin 333n m n n n a n m a mm m +⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++=++=+= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以{}n a 是周期为2m 的周期数列．（2）①当12a a =时，1sin 0a =，()1πZ a k k =∈，所以当()1πZ a k k =∈时，{}n a 是周期为1的周期数列，②当()1πZ a k k ≠∈时，记()sin f x x x =+，则1()n n a f a +=，()1cos 0f x x '=+≥，当且仅当()()1121πZ x k k =+∈时等号成立，即()1cos 0f x x =+>'，所以()f x 在R 上严格增，若12a a <，则12()()f a f a <，即23a a <，进而可得1234a a a a <<<< ，即{}n a 是严格增数列，不是周期数列；同理，若12a a >，可得{}n a 是严格减数列，不是周期数列．综上，当1π()a k k =∈Z 时，{}n a 是周期为1的周期数列；当1π()a k k ≠∈Z 时，{}n a 不是周期数列．（3）必要性：若存在1a ，使得{}n a 是周期数列，设{}n a 的周期为0T ，则00011sin sin n T n T n T n n n b a a a a b +++++=-=-=，所以{}n b 是周期为0T 的周期数列，充分性：若{}n b 是周期数列，设它的周期为T ，记1a x =，则10()a f x x==211()sin a f x b x ==+，是关于x 的连续函数；3221()sin ()a f x b f x ==+，是关于x 的连续函数；…1()T T a f x -=，是关于x 的连续函数；11sin ()T T T a b f x +-=+，令1()sin ()T T g x x b f x -=--，则()g x 是连续函数，且1(2)2sin ()0T T g b f x -+=->，1(2)2sin ()0T T g b f x --=--<，所以()g x 存在零点c ，于是1sin ()0T T c b f c ---=，取1a c =，则111sin ()T T T a b f c c a +-=+==，从而211112sin sin T T T a b a b a a +++=+=+=，322223sin sin T T T a b a b a a +++=+=+=，……一般地，n T n a a +=对任何正整数n 都成立，即{}n a 是周期为T 的周期数列．（说明：关于函数连续性的说明不作要求）【点睛】方法点晴：对于数列的新定义问题，解决问题的关键在于准确理解定义，并结合定义进行判断或转化条件.24．（23-24高三下·上海浦东新·期中）已知函数()y f x =及其导函数()y f x '=的定义域均为D .设0x D ∈，曲线()y f x =在点()()00,x f x 处的切线交x 轴于点()1,0x .当1n ≥时，设曲线()y f x =在点()(),n n x f x 处的切线交x 轴于点()1,0n x +.依此类推，称得到的数列{}n x 为函数()y f x =关于0x 的“N 数列”.(1)若()ln f x x =，{}n x 是函数()y f x =关于01ex =的“N 数列”，求1x 的值；(2)若()24f x x =-，{}n x 是函数()y f x =关于03x =的“N 数列”，记32log 2n n n x a x +=-，证明：{}n a 是等比数列，并求出其公比；(3)若()2x f x a x=+，则对任意给定的非零实数a ，是否存在00x ≠，使得函数()y f x =关于0x 的“N 数列”{}n x 为周期数列？若存在，求出所有满足条件的0x ；若不存在，请说明理由.求出函数的单调区间，进而可得出结论.【详解】（1）由()ln f x x =，得()1f x x'=，因为01ex =，则()()001,e f x f x -'==，所以曲线()y f x =在点()()00,x f x 的切线方程为()11e e y x ⎛⎫--=- ⎪⎝⎭，令0y =，则2ex =，所以12ex =；（2）由()24f x x =-，得()2f x x '=，于是曲线()y f x =在点()(),n n x f x 处的切线方程为()()242n n n y x x x x --=-，令0y =，则2142n n nx x x x ++==，由题意得到2113332142222log log 2log 242222n n n n n n n n n nx x x x a a x x x x +++++++====+---，所以12n n a a +=，又因为0113333102232log 2log 2log 2log 52232x x a x x +++====---，所以数列{}n a 是以32log 5为首项，2为公比的等比数列；（3）由()2x f x a x =+，得()()222a x f x a x -'=+，所以曲线()y f x =在点()(),n n x f x 处的切线方程为()()2222n n n n n x a x y x x a x a x --=-++，令0y =，则3122n n n x x x x a+==-，设特征函数为()322x g x x a =-，则()()()()224222222326x x a x ax g x x a x a -'-==--，情况1：当a<0时，则()(),,x a a ∞∞∈---⋃-+，此时()()()2222230x x a g x x a --'=≥，所以函数()g x 在定义域内为增函数，情况2：当0a >时，x 令()0g x '>，得3x >令()0g x '<，得3a -所以不可能为0，所以数列不可能为周期数列；若k 为奇数，()()121ki j j k k k i j x x x x x x +--==+++++∑ 中，每一个括号内的式子都与k x 是同号的，所以不可能为0，所以数列不可能为周期数列；当()(),,,,33n a a x a a a a ∞∞⎛⎫⎛⎫∈--⋃--⋃⋃+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭时，1n n x x +>，可得得到起初1,n n x x +是正负交替，但是以后会一直为正或负，所以不能成周期数列，故当0a >时，有13a x =±满足条件，使得数列成周期为2的周期数列，此时03a x =±，综上所述，存在03a x =±满足题意.【点睛】方法点睛：等比数列的两种判定方法：（1）定义法：1n na q a +=（常数）()N n *∈⇔数列{}n a 为等比数列；（2）等差中项法：()212N n n n a a a n *++=⋅∈⇔数列{}n a 为等比数列.。

上海高三数学高考二轮复习教案专题之新数列题型含答案

沪教版（上海）高中数学度高三数学二轮复习向量专题之研究新数列题型教学目标初步了解研究新数列题型的主要命题方式，并熟悉掌握一些基本的做法。

【解读：研究新数列题型难度很大】知识梳理无典例精讲【说明：此部分所给题量较大，难度也很大，大都是高考原题、一二模考题。

各位老师可以根据学生的程度、是否做过等因素，自由组合课前作业、课堂例题、课堂练习、课后作业等。

建议要优质生源使用，最好有课前作业，无需面面俱到，但是一定要讲透】例1.（★★★）已知数列{}n b ，若存在正整数T ，对一切*n ∈N 都有n T n b b +=，则称数列{}n b 为周期数列，T 是它的一个周期．例如：数列a ，a ，a ，a ，… ① 可看作周期为1的数列；数列a ，b ，a ，b ，… ② 可看作周期为2的数列；数列a ，b ，c ，a ，b ，c ，… ③ 可看作周期为3的数列…（1）对于数列②，它的一个通项公式可以是n a n a b n ⎧=⎨⎩为正奇数，为正偶数.试再写出该数列的一个通项公式；（2）求数列③的前n 项和n S ；（3）在数列③中，若12,,12a b c ===-，且它有一个形如sin()n b A n ωϕ=+B +的通项公式，其中 A 、B 、ω、ϕ均为实数，0A >，0ω>，||2ϕπ<，求该数列的一个通项公式n b ．解：（1）1[1(1)][1(1)]22n nn a b a +=+-++-或|sin ||cos |22n n n a a b ππ=+等．（2）当31n k =+时，1()3n n S a b c a -=+++；当32n k =+时，2()3n n S a b c a b -=++++；当33n k =+时，()3n nS a b c =++（k ∈N ）．（3）由题意，0ω>，应有23ωπ=，得23ωπ=，于是2sin()3n b A n B ϕπ=++，把12b =，212b =，31b =-代入上式得2sin()2,(1)341sin(),(2)32sin(2)1,(3)A B A B A B ϕϕϕπ⎧++=⎪⎪π⎪++=⎨⎪π++=-⎪⎪⎩由(1)(2)可得cos 2A ϕ=，再代入(1)的展开式，可得5sin 24A B ϕ-+=，与(3)联立得12B =，3sin 2A ϕ=-，于是tan ϕ=因为||2ϕπ<，所以3ϕπ=-，于是可求得A =故21sin()332n n b ππ=-+（*n ∈N ）．【评述：此题向函数借鉴，给了一个周期数列，考查学生求通项和求和的能力，涉及到了分类讨论，还有一些三角的知识，难度不大】例2.（★★★★）如果无穷数列{}n a 满足下列条件：①122++≤+n n n a a a ；②存在实数M ，使M a n ≤．其中*∈N n ，那么我们称数列{}n a 为Ω数列．（1）设数列{}n b 的通项为nn n b 25-=，且是Ω数列，求M 的取值范围；（2）设{}n c 是各项为正数的等比数列，n S 是其前项和，,47,4133==S c 证明：数列{}n S 是Ω数列；（3）设数列{}n d 是各项均为正整数的Ω数列，求证：1+≤n n d d ．解：（1）1152,3,n n n n n b b n b b ++-=-∴≥<,故数列{}n b 单调递减；当1,2n =时,10n n b b +->，即123b b b <<，则数列{}n b 中的最大项是37b =，所以，7M ≥ （2）{}n c 是各项正数的等比数列，n S 是其前项和，314c =,374S =，设其公比为0q >，333274c c c q q ∴++=，整理得2610q q --=，解得12q =或13q =-（舍） 121111,,2,222n n n n n c c S S S +-∴===-=< 对任意的*n N ∈，有222111222222n n n n n n S S S ++-+=--<-=，且2n S <，故{}n S 是Ω数列。

2023-2024学年上海市高考数学质量检测模拟试题(二模)含答案

2023-2024学年上海市高考数学模拟试题（二模）一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1～6题每题4分，第7～12题每题5分）考生应在答题纸的相应位置直接填写结果．1.若():1,2x α∈，[]:0,2x β∈，则α是β的______条件．【正确答案】充分非必要【分析】判断集合()1,2和[]0,2之间的关系，即可判断出答案.【详解】由于()1,2是[]0,2的真子集，故α是β的充分非必要条件，故充分非必要2.若34(sin (cos )55z i θθ=-+-是纯虚数，则tan θ的值为__________．【正确答案】34-【详解】分析：由纯虚数的概念得305405sin cos θθ⎧-=⎪⎪⎨⎪-≠⎪⎩，结合221sin cos θθ+=可得解.详解：若34sin cos 55z i θθ⎛⎫⎛⎫=-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭是纯虚数，则305405sin cos θθ⎧-=⎪⎪⎨⎪-≠⎪⎩，又由221sin cos θθ+=，可得34sin cos 55θθ==-.所以sin 3tan cos 4θθθ==-.故答案为34-.点睛：本题主要考查了纯虚数的概念及同角三角函数的基本关系，属于基础题.3.已知幂函数f（x）的图象经过点（2，4），则f（x）为______函数．（填奇偶性）【正确答案】偶【分析】根据幂函数的概念设出()f x 的解析式()f x x α=，然后代点求出α，再用函数奇偶性定义判断奇偶性．【详解】因为函数()f x 是幂函数，所以可设()f x x α=，又f（2）=4，即2a=4，解得a=2，∴()2f x x =，∴()()22()f x x x f x -=-==，∴f（x）为偶函数．故答案为偶．本题主要考查了幂函数的基本概念，以及利用定义法判定函数的奇偶性，其中解答中熟记幂函数的基本概念，熟练应用函数奇偶性的定义判定是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.4.若双曲线经过点，且渐近线方程是y ＝±13x ，则双曲线的方程是________．【正确答案】2219x y -=【分析】利用渐近线方程为13y x =±，设双曲线的方程是229x y λ-=，代入点即可求解【详解】根据渐近线方程为13y x =±，设双曲线的方程是229x y λ-=，因为双曲线过点，所以9219λ=-=，所以双曲线的方程为2219x y -=故2219x y -=5.已知命题：“非空集合M 的元素都是集合P 的元素”是假命题，给出下列四个命题：①M 的元素不都是P 的元素；②M 的元素都不是P 的元素；③M 中有P 的元素；④存在x M ∈，使得x P ∉；其中真命题的序号是________（将正确的序号都填上）.【正确答案】①④【分析】从命题的否定入手．【详解】命题：“非空集合M 的元素都是集合P 的元素”是假命题，则命题：“非空集合M 的元素不都是集合P 的元素”是真命题，说明集合M 中至少有一个元素不属于集合P ，或者M 中就没有集合P 中的元素，因此②③错误，①④正确．故答案为①④．本题考查真假命题的理解，对一个假命题，可从反面入手，即它的否定为真命题入手，理解起来较方便．6.一个袋中装有5个球，编号为1，2，3，4，5，从中任取3个，用X 表示取出的3个球中最大编号，则()E X =______．【正确答案】4.5【分析】求出X 可能取值和概率，再根据()E X 公式进行计算即可.【详解】从中任取3个球，共有()123，，，()124，，，()125，，，()134，，，()135，，，()145，，，()234，，，()235，，，()245，，，()345，，10中情况，所以X 可能取值为345，，，()1310P X ==，()3410==P X ，()635105===P X ，所以()1339345101052E X =⨯+⨯+⨯=.故答案为.4.57.函数tan()42y x ππ=-的部分图象如图所示，则()OA OB AB +⋅= ____.【正确答案】6【详解】试题分析：由图可知(2,0)A ，(3,1)B ，∴()(5,1)(1,1)6OA OB AB +⋅=⋅=.考点：正切型函数的图象与平面向量的数量积运算.【方法点睛】本题主要考查了正切型函数的图象与平面向量的数量积运算，属于中档题.本题解答的关键观察图象发现,A B 分别是函数tan(42y x ππ=-y 轴右侧的第一个零点和函数值为1的点，即可求得,A B 的坐标，进而求得向量(),OA OB AB +的坐标，根据平面向量数量积的坐标运算即可求得答案.8.如果一个球的外切圆锥的高是这个球半径的3倍，那么圆锥侧面积和球的表面积的比值为______．【正确答案】32【分析】设球的半径为r ，则圆锥的高为3r ，取圆锥的轴截面ABC ，其中A 为圆锥的顶点，设球心为O ，作出图形，分析可知ABC 为等边三角形，求出AB ，利用圆锥的侧面积公式以及球体的表面积公式可求得结果.【详解】设球的半径为r ，则圆锥的高为3r ，取圆锥的轴截面ABC ，其中A 为圆锥的顶点，设球心为O，如下图所示：设圆O 分别切AB 、AC 于点E 、D ，则D 为BC 的中点，由题意可得OD OE r ==，3AD r =，则322AO AD OD r r r OE =-=-==，又因为OE AB ⊥，所以，π6BAD ∠=，同理可得π6CAD ∠=，所以，π3BAC ∠=，又因为AB AC =，故ABC为等边三角形，故πsin 32AD AB ===，所以，圆锥的侧面积为2ππ6πAB BD r ⨯⨯=⨯=，因此，圆锥侧面积和球的表面积的比值为226π34π2r r =.故答案为.329.已知某产品的一类部件由供应商A 和B 提供，占比分别为110和910，供应商A 提供的该部件的良品率为910，供应商B 提供的该部件的良品率为710．若发现某件部件不是良品，那么这个部件来自供应商B 的概率为______（用分数作答）【正确答案】2728【分析】利用全概率公式，条件概率公式求解即可.【详解】设“某件部件不是良品”为事件A ，“这个部件来自供应商B ”为事件B ，()11932810101010100P A =⨯+⨯= ，()93271010100P AB =⨯=，()()()2728P AB P B A P A ∴==.故272810.已知()()πsin 04f x x ωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭，函数()y f x =，x ∈R 的最小正周期为π，将()y f x =的图像向左平移π02ϕϕ⎛⎫<< ⎪⎝⎭个单位长度，所得图像关于y 轴对称，则ϕ的值是______．【正确答案】π8##1π8【分析】由周期求出ω，即可求出()f x 的解析式，再根据三角函数的变换规则得到平移后的解析式，最后根据对称性得到ϕ的值.【详解】 ()()πsin 04f x x ωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭，函数()y f x =的最小正周期为2ππT ω==，2ω∴=，π()sin 24f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭．将()y f x =的图像向左平移ϕ个单位长度，可得πsin 224y x ϕ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭的图像，根据所得图像关于y 轴对称，可得ππ2π42k ϕ+=+，Z k ∈，解得ππ28k ϕ=+，Z k ∈，又π02ϕ<<，则令0k =，可得ϕ的值为π8．故π8．11.如图，椭圆的中心在原点，长轴1AA 在x 轴上．以A 、1A 为焦点的双曲线交椭圆于C 、D 、1D 、1C 四点，且112CD AA =．椭圆的一条弦AC 交双曲线于E ，设AE EC λ=，当2334λ≤≤时，双曲线的离心率的取值范围为______．710e ≤≤【分析】由题意设()()1,0,,0A c A c -，则可设,,,22c c D h C h ⎛⎫⎛⎫-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，根据向量的共线求得E 点坐标，代入双曲线的方程22221x y a b-=，结合离心率化简可得2221e e λλ+=-，求出λ的表达式，结合条件可列不等式，即可求得答案.【详解】设()()1,0,,0A c A c -，则设,,,22c c D h C h ⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，(其中c 为双曲线的半焦距，h 为C .D 到x 轴的距离)，AE EC λ=，则AE EC λ∴= ，即(,)()2,E E E E x c y h x cy λ--+=，()()˙22,1211E E c c c y h x λλλλλλ-+-∴===+++，即E 点坐标为()()2,211c h λλλλ⎛⎫- ⎪ ⎪++⎝⎭，设双曲线的方程为22221x y a b -=，将c a e =代入方程，得222221e x y c b-=①，将(,)2c C h ，E ()()2,211c h λλλλ⎛⎫- ⎪ ⎪++⎝⎭代入①式，整理得2˙2222222()121,(1441e h e h b b λλλλ--=-+=+，消去22h b ，得2221e e λλ+=-，所以22213122e e e λ-==-++，由于2334λ≤≤.所以22331324e ≤-≤+，故2710,710e e ≤≤≤≤710e ≤≤12.将关于x 的方程()2sin 2π1x t +=（t 为实常数，01t <<）在区间[)0,∞+上的解从小到大依次记为12,,,,n x x x ，设数列{}n x 的前n 项和为n T ，若20100πT ≤，则t 的取值范围是______．【正确答案】1150,,626⎛⎤⎡⎤⋃ ⎥⎢⎥⎝⎦⎣⎦【分析】先根据三角函数的周期性得出12,x x 满足的关系，然后再根据12,x x 的对称性可得结果.【详解】由()2sin 2π1x t +=得()1sin 2π2x t +=，则方程()2sin 2π1x t +=的解即为函数()sin 2πy x t =+图象与直线12y =交点的横坐标，因为函数()sin 2πy x t =+的周期为πT =，所以135,,x x x 是以x 1为首项，π为公差的等差数列，246,,,x x x 是以x 2为首项，π为公差的等差数列，所以201234201210()90π100πT x x x x x x x =+++++=++≤ ，所以12πx x +≤，令π2π=π()2x t k k ++∈Z 得πππ=242k t x +-，因为[)0,x ∈+∞，所以[)2ππ,x t t +∈+∞，由函数()sin 2πy x t =+图象的对称性知，x 1与2x 对应的点关于函数()sin 2πy x t =+图象的某条对称轴对称，因为01t <<，所以当π0π6t <≤，即106t <≤时，可知x 1与2x 对应的点关于直线ππ=42t x -对称，此时满足12πx x +≤成立；当π5ππ66t <≤，即1566t <≤时，可知x 1与2x 对应的点关于直线3ππ=42t x -对称，此时由123πππ2x x t +=-≤得12t ≥，所以1526t ≤≤；当5πππ6t <<，即516t <<时，可知x 1与2x 对应的点关于直线5ππ=42t x -对称，此时不满足12πx x +≤；综上，106t <≤或1526t ≤≤.故答案为.1150,,626⎛⎤⎡⎤⋃ ⎥⎢⎥⎝⎦⎣⎦思路点睛：涉及同一函数的不同自变量值对应函数值相等问题，可以转化为直线与函数图象交点横坐标问题，结合函数图象性质求解.二、选择题（本大题共有4题，满分18分，第13，14题每题4分，第15，16题每题5分）13.设a ∈R ，则“a ＝1”是“直线l 1：ax ＋2y －1＝0与直线l 2：x ＋(a ＋1)y ＋4＝0平行”的A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件【正确答案】A【详解】试题分析：运用两直线平行的充要条件得出l 1与l 2平行时a 的值，而后运用充分必要条件的知识来解决即可．解：∵当a=1时，直线l 1：x+2y ﹣1=0与直线l 2：x+2y+4=0，两条直线的斜率都是﹣，截距不相等，得到两条直线平行，故前者是后者的充分条件，∵当两条直线平行时，得到，解得a=﹣2，a=1，∴后者不能推出前者，∴前者是后者的充分不必要条件．故选A ．考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断；直线的一般式方程与直线的平行关系．14.已知平面α，β，直线l ，若αβ，l αβ⋂=，则A.垂直于平面β的平面一定平行于平面αB.垂直于直线l 的直线一定垂直于平面αC.垂直于平面β的平面一定平行于直线lD.垂直于直线l 的平面一定与平面α,β都垂直【正确答案】D【详解】选D.由α⊥β，α∩β＝l ，知：垂直于平面β的平面与平面α平行或相交，故A 不正确；垂直于直线l 的直线若在平面β内，则一定垂直于平面α，否则不一定，故B 不正确；垂直于平面β的平面与l 的关系有l ⊂β，l ∥β，l 与β相交，故C 不正确；由平面垂直的判定定理知：垂直于直线l 的平面一定与平面α，β都垂直，故D 正确．15.已知抛物线()220y px p =>上一点()()1,0M m m >到其焦点的距离为5，双曲线2221xy a-=的左顶点为A ，若双曲线的一条渐近线与直线AM 平行，则实数a 的值为（）A.13B.14C.19D.12【正确答案】A 【分析】由152p+=得抛物线方程，M 在抛物线上求得M 坐标，再根据双曲线一条渐近线与直线AM 平行可得答案.【详解】根据题意，抛物线22(0)y px p =>上一点(1,)(0)M m m >到其焦点的距离为5，则点M 到抛物线的准线2px =-的距离也为5，即152p +=，解得8p =，所以抛物线的方程为216y x =，则216m =，所以4m =，即M 的坐标为14（，），又双曲线2221x y a-=的左顶点(),0A a -，一条渐近线为1y x a =，而41AM k a =+，由双曲线的一条渐近线与直线AM 平行，则有411a a =+，解得13a =.故选：A16.已知函数()y f x =是定义域在R 上的奇函数，且当0x >时，()()()230.02f x x x =--+，则关于()y f x =在R 上零点的说法正确的是（）A.有4个零点，其中只有一个零点在()3,2--内B.有4个零点，其中只有一个零点在()3,2--内，两个在()2,3内C.有5个零点，都不在()0,2内D.有5个零点，其中只有一个零点在()0,2内，一个在()3,+∞【正确答案】C【分析】解法一：先研究0x >时，零点的情况，根据()()23y x x =--零点的情况，以及函数图象的平移，即可得出0x >时零点的个数.然后根据奇函数的对称性以及特性，即可得出答案；解法二：求解方程()0f x =，也可以得出0x >时零点的个数.然后根据奇函数的对称性以及特性，即可得出答案.【详解】解法一：根据对称性可以分三种情况研究(1)0x >的情况，()f x 是把抛物线()()23y x x =--与x 轴交点为()()2,0,3,0向上平移了0.02，则与x 轴交点变至()2,3之间了，所以在()2,3之间有两个零点；(2)当0x <时，()()()230.02f x x x =-++-，根据对称性()3,2--之间也有两个零点(3)()f x 是定义在R 上的奇函数，故()00f =，所以有五个零点.解法二：(1)直接解方程()()230.020x x --+=的两根也可以得两根为52x =，都在()2,3之间；(2)当0x <时，()()()230.02f x x x =-++-，根据对称性()3,2--之间也有两个零点(3)()f x 是定义在R 上的奇函数，故()00f =，所以有五个零点.故选：C.方法点睛：先求出0x >时，零点的情况.然后根据奇函数的性质，即可得出答案.三、解答题（本大题共有5题，满分78分）解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤17.2020年全面建成小康社会取得伟大历史成就，决战脱贫攻坚取得决定性胜利．某市积极探索区域特色经济，引导商家利用多媒体的优势，对本地特产进行广告宣传，取得了社会效益和经济效益的双丰收，某商家统计了7个月的月广告投入x （单位：万元）与月销量y （单位：万件）的数据如表所示：月广告投入x /万元1234567月销量y /万件28323545495260（1）已知可用线性回归模型拟合y 与x 的关系，请用相关系数加以说明，并求y 关于x 的线性回归方程；（2）根据（1）的结论，预计月广告投入大于多少万元时，月销量能突破70万件．（本题结果均按四舍五入精确到小数点后两位）【正确答案】（1）0.99r =，线性相关程度相当高；75151ˆ147yx =+.（2）当月公告投入大于9.04万元时，月销售量能突破70万件.【分析】（1）利用相关系数的公式求得r 的值，得出相关性相当高，再求得ˆb和ˆa 的值，即可求得回归直线的方程；（2）结合（1）中的回归方程，根据题意列出不等式，即可求解.【小问1详解】解：由表格中的数据，可得1(1234567)47x =⨯++++++=，1(28323545495270)437y =⨯++++++=，77722111()28,()820,()()150i i i i i i x x y y x x y y ===-=-=--=∑∑∑，可相关系数为7()0.99i x x y y r --==∑，所以y 与x 的线性相关程度相当高，从而用线性回归模型能够很好地拟合y 与x 的关系，又由71721()()7514(i i i i x x y y r x x ==--==-∑∑，可得75151ˆˆ434147a y bx =-=-⨯=，所以y 关于x 的线性回归方程为75151ˆ147y x =+.【小问2详解】解：要使得月销售量突破70万件，则7515170147x +>，解得2269.0425x >≈，所以当月公告投入大于9.04万元时，月销售量能突破70万件.18.如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是平行四边形，90,ACB PA ∠=⊥平面,1,ABCD PA BC AB F ===是BC 的中点.（1）求证:DA ⊥平面PAC ；（2）试在线段PD 上确定一点G ,使//CG 平面PAF ,并求三棱锥A CDG -的体积.【正确答案】（1）证明见解析；（2）112.【分析】（1）因为四边形ABCD 是平行四边形，所以90ACB DAC ∠=∠= ，所以DA AC ⊥，因为PA ⊥平面ABCD ，则,PA DA ⊥又AC PA A ⋂=，故DA ⊥平面PAC .（2）取PD 的中点为G ，构造平行四边形，可证得//CG 平面PAF .此时，高为PA 的一半，所以体积为1111111332212A CDG G ACD ACD V V S h --∆∴==⋅⋅=⨯⨯⨯⨯=.【小问1详解】因为四边形ABCD 是平行四边形，90,,ACB DAC DA AC PA ∴∠=∠=∴⊥⊥ 平面ABCD ,DA ⊂平面ABCD ，,PA DA ∴⊥又,AC PA A DA =∴⊥ 平面PAC ，【小问2详解】设PD 的中点为G ，连接,AG CG ，在平面PAD 内作GH PA ⊥于点H ,则//GH AD ，且12GH AD =,由已知可得////FC AD GH ,且12FC AD GH ==,连接FH ，则四边形FCGH 为平行四边形，//,GC FH FH ∴⊂ 平面,PAF CG ⊄平面PAF ,//CG ∴平面PAF ,G ∴为PD 的中点时,//CG 平面PAF ,设S 为AD 的中点,连接GS ,则//GS PA ,且11,22GS PA PA ==⊥ 平面ABCD ,GS ∴⊥平面ABCD ,11111··11332212A CDG G ACD ACD V V S GS --∴===⨯⨯⨯⨯= .19.甲、乙两地相距1004千米，汽车从甲地匀速驶向乙地，速度不得超过120千米/小时，已知汽车每小时的运输成本（以1元为单位）由可变部分和固定部分组成：可变部分与速度v （千米/小时）的立方成正比，比例系数为2，固定部分为a 元()0a >．（1）把全部运输成本y 元表示为速度v （千米/小时）的函数，并指出这个函数的定义域；（2）为了使全部运输成本最小，汽车应以多大速度行驶？【正确答案】（1）(]()2100420,120a y v v v ⎛⎫=+∈⎪⎝⎭（2）答案见解析【分析】（1）求出汽车从甲地匀速行驶到乙地所用时间，根据货车每小时的运输成本可变部分和固定部分组成，可求得全程运输成本以及函数的定义域；（2）对210042a y v v ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭求导，分两种情况讨论单调性，从而可求得最小成本时对应的速度.【小问1详解】由题意得，每小时运输成本为()32a v +,全程行驶时间为1004v 小时，所以全部运输成本(]()3210042001004(2),12a y v v v a v v ⎛⎫+⎪=∈+ ⎝=⎭；【小问2详解】由（1）知210042a y v v ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，求导得3224100441004a v a y v v v -⎛⎫'=-+=⨯ ⎪⎝⎭，令30,40y v a '=-=，解得v =，120<，即304120a <<⨯时，0v <<，200,1042a y v y v ⎛⎫=+ ⎪⎝<⎭'递减；120v <≤，200,1042a y v y v ⎛⎫=+ ⎪⎝>⎭'递增，此时，当v =，y 有最小值；120≥，即34120a ≥⨯时，0120v <≤，200,1042a y v y v ⎛⎫=+ ⎪⎝<⎭'递减；此时，当120v =，y 有最小值.综上，为了使全部运输成本最小，当304120a <<⨯时，汽车应以v =千米/小时行驶；当34120a ≥⨯时，汽车应以120v =千米/小时行驶.20.已知A B 、是平面内的两个定点，且8AB =，动点M 到A 点的距离是10，线段MB 的垂直平分线l 交MA 于点P ，若以AB 所在直线为x 轴，AB 的中垂线为y 轴建立直角坐标系.（1）试求P 点的轨迹C 的方程;（2）直线()40R mx y m m --=∈与点P 所在曲线C 交于弦EF ，当m 变化时，试求AEF △的面积的最大值.【正确答案】（1）221259x y +=（2）15【分析】（1）根据几何关系将距离转化为10PA PB +=，结合椭圆定义即可求解；（2）先判断直线过定点且斜率不能为0，则三角形的底为定值，即求三角形的高12y y -的最大值，联立直线与椭圆方程，将斜率转化为三角形式，结合三角公式化简，用基本不等式求解即可.【小问1详解】以AB 为x 轴，AB 中垂线为y 轴，则()()4,0,4,0A B -，由题意得，108PA PB PA PM AB +=+==＞，所以P 点的轨迹是以,A B 为左右焦点，长轴长为10的椭圆，设椭圆的方程为()222210x y a b a b+=>>，焦距为2c ，所以22221028a c a b c =⎧⎪=⎨⎪=+⎩，解得534a b c =⎧⎪=⎨⎪=⎩，所以P 点的轨迹C 的方程为221259x y +=【小问2详解】由40mx y m --=得()4y m x =-过定点()4,0B ，显然0m ≠，联立()224,1259y m x x y ⎧=-⎪⎨+=⎪⎩得2297225810,Δ0y y m m ⎛⎫++-=> ⎪⎝⎭恒成立.所以12227272925925m m y y m m +=-=-++，212228181925259m y y m m =-=-++，所以12y y -===因为m 为直线斜率，所以令tan ,tan 0,m θθ=≠所以22122290tan 90tan 125tan 925tan 9sin y y θθθθθ-==⋅++2222290sin 190sin 19015.99cos 25sin sin 916sin sin 416sin sin θθθθθθθθθ=⋅=⋅=≤=+++当且仅当916sin ,sin θθ=即3sin ,4θ=时1215,4max y y -=()115815.24AEF max S =⨯⨯=△思路点睛：圆锥曲线的面积最值问题多采用直线与圆锥曲线联立方程组，运用韦达定理结合基本不等式计算的方法，本题为简化计算，还可以采用三角换元，将直线斜率与三角函数巧妙联系从而更快求解。

5.上海高三二轮复习数列(论证、分析、类比)

1 a2 n ； 2
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高三二轮复习例 6：【2017 届普陀区一模数列压轴题】——取整分析或存在性问题已知数列 {an } 的各项均为正数，且 a1 1 ，对任意的 n N ，均有
2 an 1 1 4an (an 1) ， bn 2 log 2 (1 an ) 1 ； *
（1）求证： {1 an } 是等比数列，并求出 {an } 的通项公式；（2）若数列 {bn } 中去掉 {an } 的项后，余下的项组成数列 {cn } ，求 c1 c2 c100 ；（3）设 d n
1 ，数列 {d n } 的前 n 项和为 Tn ，是否存在正整数 m （ 1 m n ），使 bn bn 1
2 2
1 1 2 ， M n 是 d n 的前 n 项和，求不超过 M 2016 2 cn cn 1
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高三二轮复习例 8【2017 届闵行区一模数列压轴题】——单调数列或最值问题在平面直角坐标系上，有一点列 P0 , P 1, P 2, P 3 , , Pn 1 , Pn ，设点 P k 的坐标 ( xk , yk ) （ k N ， k n ），其中 xk 、 yk Z ，记 xk xk xk 1 ， yk yk yk 1 ，且满足
则 an a1 n 1d 2、类比法：由两类对象具有某些类似特征，和期中一些对象的某些已知特征，推出另一类对象也具有这些特征的推理方法。简而言之，类比就是由特殊到特殊的推理。例如：若 an 是等差数列，则 an an 1 也是等差数列，同理，若 bn 是等比数列，则
| xk | | yk | 2 （ k N * ， k n ）；

2023年上海16区(浦东徐汇杨浦闵行等)数学高考二模专题汇编6 数列及其应用含详解

专题06数列及其应用一、填空题1.（杨浦）已知等差数列{}n a 中，377,3a a ==，则数列{}n a 的通项公式是___________.2.（宝山）已知数列{}n a 的递推公式为()⎩⎨⎧=≥+=-221211a n a a n n ，则该数列的通项公式=n a 3.（宝山）若数列{}n a 为等差数列，且20,252==S a ，则该数列的前n 项和为=n S 4．（黄埔）已知m 是2m -与4的等差中项，且52345012345()m x a a x a x a x a x a x +=+++++，则3a 的值为__________．5.（嘉定）已知数列{}n a 的通项公式为2,1,2,2,n n n n a n -=⎧=⎨≥⎩前n 项和为n S ，则lim n n S →+∞=.6．（静安）已知{}是公比为q 的等比数列，且2、4、6成等差数列，则2=___________.7．（闵行）0ln(4)2ln 2limh h h→+-=__________．8．（青浦）已知数列{}n a 满足2n a an n =+，若满足123456a a a a a a <<<<<且对任意[)9,n ∈+∞，都有1n n a a +>，则实数a 的取值范围是___________．9．（闵行）已知在等比数列{}n a 中，3a 、7a 分别是函数32661y x x x =-+-的两个驻点，则5=a __________．10.（徐汇）在正项等比数列{}n a 中，a a a a 225689+2+=100，则a a 59+=．11.（徐汇）已知数列{}n a 满足：对于任意*N n ∈有π0,2n a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，且1π4a =，()1n f a +其中()tan f x x =．若()11tan tan nn n nb a a +-=-，数列{}n b 的前n 项和为n T ，则120T =．二、选择题12.（长宁）设各项均为实数的等差数列{}n a 和{}n b 的前n 项和分别为n S 和n T ，对于方程①22023202320230x S x T -+=，②2110x a x b -+=，③2202320230x a x b ++=.下列判断正确的是（）A.若①有实根，②有实根，则③有实根；B.若①有实根，②无实根，则③有实根；C.若①无实根，②有实根，则③无实根D.若①无实根，②无实根，则③无实根13．（青浦）已知数列{}n a 满足11a =，112nn n a a +⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，存在正偶数n 使得1()()0n n a a +-+>λλ，且对任意正奇数n 有1()()0n n a a +-+<λλ，则实数λ的取值范围是（）．（A ）2(,1]3-（B ）2(,](1,)3-∞-+∞ （C ）32(,43-（D ）32(,]43--14．（闵行）若数列{}n b 、{}n c 均为严格增数列，且对任意正整数n ，都存在正整数m ，使得1[,]m n n b c c +∈，则称数列{}n b 为数列{}n c 的“M 数列”．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，则下列选项中为假命题的是（）（A ）存在等差数列{}n a ，使得{}n a 是{}n S 的“M 数列”（B ）存在等比数列{}n a ，使得{}n a 是{}n S 的“M 数列”（C ）存在等差数列{}n a ，使得{}n S 是{}n a 的“M 数列”（D ）存在等比数列{}n a ，使得{}n S 是{}n a 的“M 数列”15．（黄埔）设数列{}n a 的前n 项的和为n S ，若对任意的*N n ∈，都有1n n S a +<，则称数列{}n a 为“K 数列”.关于命题：①存在等差数列{}n a ，使得它是“K 数列”；②若{}n a 是首项为正数、公比为q 的等比数列，则[2)q ∈+∞，是{}n a 为“K 数列”的充要条件．下列判断正确的是（）．A ．①和②都为真命题B ．①为真命题，②为假命题C ．①为假命题，②为真命题D ．①和②都为假命题16．（虹口）在数列{}n b 中，若有(),m n b b m m n n =≠均为正整数,且，就有11m n b b ++=，则称数列{}n b 为“递等数列”．已知数列{}n a 满足55a =，且()1+=-n n n a n a a ，将“递等数列”{}n b 前n 项和记为n S ，若114b a b ==，22b a =，510S a =，则2023S =（）（A ）4720（B ）4719（C ）4718（D ）471617．（奉贤）设n S 是一个无穷数列{}n a 的前n 项和，若一个数列满足对任意的正整数n ，不等式11+<+n n S S n n 恒成立，则称数列{}n a 为和谐数列，有下列3个命题：①若对任意的正整数n 均有1+<n n a a ，则{}n a 为和谐数列；②若等差数列{}n a 是和谐数列，则n S 一定存在最小值；③若{}n a 的首项小于零，则一定存在公比为负数的一个等比数列是和谐数列．以上3个命题中真命题的个数有（）个A ．0；B ．1；C ．2；D ．3．18.（宝山）将正整数n 分解为两个正整数1k 、2k 的积，即21k k n ⋅=，当1k 、2k 两数差的绝对值最小时，我们称其为最优分解.如5410220120⨯=⨯=⨯=,其中54⨯即为20的最优分解，当1k 、2k 是n 的最优分解时，定义()21k k n f -=，则数列(){}n f 5的前2023项的和为（）10125.A .B 151012-.C 20235.D 152023-19.（崇明）已知数列{}n a 是各项为正数的等比数列，公比为q ，在12,a a 之间插入1个数，使这3个数成等差数列，记公差为1d ，在23,a a 之间插入2个数，使这4个数成等差数列，公差为2,d ，在1,n n a a +之间插入n 个数，使这2n +个数成等差数列，公差为n d ，则（）A.当01q <<时，数列{}n d 单调递减B.当1q >时，数列{}n d 单调递增C.当12d d >时，数列{}n d 单调递减D.当12d d <时，数列{}n d 单调递增20.（金山）．设{}n a 是项数为0n 的有穷数列，其中02n ≥．当02n n ≤时，12n n a =，且对任意正整数0n n ≤都有010n n n a a +-+=．给出下列两个命题：①若对任意正整数0n n ≤都有1511512ni i a =≤∑，则0n 的最大值为18；②对于任意满足01s t n ≤<<的正整数s 和t ，总存在不超过0n 的正整数m 和k ，使得1tm k ii s a a a =++=∑．下列说法正确的是（）．（A ）①是真命题，②是假命题（B ）①是假命题，②是真命题（C ）①和②都是真命题（D ）①和②都是假命题三、解答题21.（浦东新区）（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分.已知数列{}n a 是首项为9，公比为13的等比数列.（1）求1234511111a a a a a ++++的值；（2）设数列3{log }n a 的前n 项和为n S ，求n S 的最大值，并指出n S 取最大值时n 的取值.22．（静安）（本题满分14分，本题共有2个小题，第(1)小题满分8分，第(2)小题满分6分）已知各项均为正数的数列满足1=1，=2K1+3(正整数≥2)．（1）求证：数列+3是等比数列；（2）求数列的前n 项和．23．（虹口）(本题满分14分,第1小题6分，第2小题8分)记n S 为数列}{n a 的前n 项和，已知112,(.n n a a S n +==为正整数）（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设2log ,n n b a =若129145,m m m m b b b b +++++++= 求正整数m 的值.24．（奉贤）（本题满分14分，第1小题满分8分，第2小题满分6分）已知等差数列{}n a 的公差不为零，125a =，且1a ，11a ，13a 成等比数列．（1）求{}n a 的通项公式；（2）计算20321`-=∑k k a．25.（普陀）（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）已知b a ,均为不是1的正实数，设函数)(x f y =的表达式为xb a x f ⋅=)(（R ∈x ）.（1）设b a >且xa b x f ⋅≤)(，求x 的取值范围；（2）设161=a ，4=b ，记)(log 2n f a n =，)(n f b n =，现将数列}{n a 中剔除{}n b 的项后、不改变其原来顺序所组成的数列记为}{nc ，求∑=1001i ic的值.26.（杨浦）已知数列{}n a 是由正实数组成的无穷数列，满足13a =，27a =，12n n n a a a ++=-，*n ∈N .（1）写出数列{}n a 前4项的所有可能取法；（2）判断：是否存在正整数k ，满足1k a =，并说明理由；（3）n c 为数列{}n a 的前n 项中不同取值的个数，求100c 的最小值.27．（嘉定）（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题4分，第2小题6分，第3小题8分．已知()2sin f x x x =+，等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，记1()nn i i T f a ==∑.（1）求证：函数()y f x =的图像关于点()ππ，中心对称；（2）若123a a a 、、是某三角形的三个内角，求3T 的取值范围；（3）若100100πS =，求证：100100πT =.反之是否成立？并请说明理由.专题06数列及其应用一、填空题1.（杨浦）已知等差数列{}n a 中，377,3a a ==，则数列{}n a 的通项公式是___________.【答案】10n a n =-##10n a n =-+【分析】设公差为d ，由基本量代换列方程组，解出1a d 、，即可得到通项公式.【详解】设等差数列{}n a 的公差为d ，由题意可得：31712763a a d a a d =+=⎧⎨=+=⎩，解得：191a d =⎧⎨=-⎩，所以()1110n a a n d n =+-=-.故答案为：10n a n =-.2.（宝山）已知数列{}n a 的递推公式为()⎩⎨⎧=≥+=-221211a n a a n n ，则该数列的通项公式=n a 1321n -⋅-答案：3.（宝山）若数列{}n a 为等差数列，且20,252==S a ，则该数列的前n 项和为=n S 答案：()1-n n 4．（黄埔）已知m 是2m -与4的等差中项，且52345012345()m x a a x a x a x a x a x +=+++++，则3a 的值为__________．答案：40；5.（嘉定）已知数列{}n a 的通项公式为2,1,2,2,n n n n a n -=⎧=⎨≥⎩前n 项和为n S ，则lim n n S →+∞=.答案.526．（静安）已知{}是公比为q 的等比数列，且2、4、6成等差数列，则2=___________.答案：17．（闵行）0ln(4)2ln 2limh h h→+-=__________．14答案：8．（青浦）已知数列{}n a 满足2n a an n =+，若满足123456a a a a a a <<<<<且对任意[)9,n ∈+∞，都有1n n a a +>，则实数a 的取值范围是___________．答案：.11,1119⎛⎫-- ⎪⎝⎭9．（闵行）已知在等比数列{}n a 中，3a 、7a 分别是函数32661y x x x =-+-的两个驻点，则5=a __________．；10.（徐汇）在正项等比数列{}n a 中，a a a a 225689+2+=100，则a a 59+=．答案：1011.（徐汇）已知数列{}n a 满足：对于任意*N n ∈有π0,2n a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，且1π4a =，()1n f a +=其中()tan f x x =．若()11tan tan nn n nb a a +-=-，数列{}n b 的前n 项和为n T ，则120T =．答案：10二、选择题12.（长宁）设各项均为实数的等差数列{}n a 和{}n b 的前n 项和分别为n S 和n T ，对于方程①22023202320230x S x T -+=，②2110x a x b -+=，③2202320230x a x b ++=.下列判断正确的是（）A.若①有实根，②有实根，则③有实根；B.若①有实根，②无实根，则③有实根；C.若①无实根，②有实根，则③无实根D.若①无实根，②无实根，则③无实根答案：B13．（青浦）已知数列{}n a 满足11a =，112nn n a a +⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，存在正偶数n 使得1()()0n n a a +-+>λλ，且对任意正奇数n 有1()()0n n a a +-+<λλ，则实数λ的取值范围是（）．（A ）2(,1]3-（B ）2(,](1,)3-∞-+∞ （C ）32(,43-（D ）32(,]43--答案：D14．（闵行）若数列{}n b 、{}n c 均为严格增数列，且对任意正整数n ，都存在正整数m ，使得1[,]m n n b c c +∈，则称数列{}n b 为数列{}n c 的“M 数列”．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，则下列选项中为假命题的是（）（A ）存在等差数列{}n a ，使得{}n a 是{}n S 的“M 数列”（B ）存在等比数列{}n a ，使得{}n a 是{}n S 的“M 数列”（C ）存在等差数列{}n a ，使得{}n S 是{}n a 的“M 数列”（D ）存在等比数列{}n a ，使得{}n S 是{}n a 的“M 数列”答案：C15．（黄埔）设数列{}n a 的前n 项的和为n S ，若对任意的*N n ∈，都有1n n S a +<，则称数列{}n a 为“K 数列”.关于命题：①存在等差数列{}n a ，使得它是“K 数列”；②若{}n a 是首项为正数、公比为q 的等比数列，则[2)q ∈+∞，是{}n a 为“K 数列”的充要条件．下列判断正确的是（）．A ．①和②都为真命题B ．①为真命题，②为假命题C ．①为假命题，②为真命题D ．①和②都为假命题答案：C16．（虹口）在数列{}n b 中，若有(),m n b b m m n n =≠均为正整数,且，就有11m n b b ++=，则称数列{}n b 为“递等数列”．已知数列{}n a 满足55a =，且()1+=-n n n a n a a ，将“递等数列”{}n b 前n 项和记为n S ，若114b a b ==，22b a =，510S a =，则2023S =（）（A ）4720（B ）4719（C ）4718（D ）4716答案：B17．（奉贤）设n S 是一个无穷数列{}n a 的前n 项和，若一个数列满足对任意的正整数n ，不等式11+<+n n S S n n 恒成立，则称数列{}n a 为和谐数列，有下列3个命题：①若对任意的正整数n 均有1+<n n a a ，则{}n a 为和谐数列；②若等差数列{}n a 是和谐数列，则n S 一定存在最小值；③若{}n a 的首项小于零，则一定存在公比为负数的一个等比数列是和谐数列．以上3个命题中真命题的个数有（）个B ．0；B ．1；C ．2；D ．3．答案：D18.（宝山）将正整数n 分解为两个正整数1k 、2k 的积，即21k k n ⋅=，当1k 、2k 两数差的绝对值最小时，我们称其为最优分解.如5410220120⨯=⨯=⨯=,其中54⨯即为20的最优分解，当1k 、2k 是n 的最优分解时，定义()21k k n f -=，则数列(){}n f 5的前2023项的和为（）10125.A .B 151012-.C 20235.D 152023-答案：B19.（崇明）已知数列{}n a 是各项为正数的等比数列，公比为q ，在12,a a 之间插入1个数，使这3个数成等差数列，记公差为1d ，在23,a a 之间插入2个数，使这4个数成等差数列，公差为2,d ，在1,n n a a +之间插入n 个数，使这2n +个数成等差数列，公差为n d ，则（）A.当01q <<时，数列{}n d 单调递减B.当1q >时，数列{}n d 单调递增C.当12d d >时，数列{}n d 单调递减D.当12d d <时，数列{}n d 单调递增【答案】D【分析】根据数列{}n d 的定义，求出通项，由通项讨论数列的单调性.【详解】数列{}n a 是各项为正数的等比数列，则公比为0q >，由题意1(1)n n n a a n d +=++，得()1111n n n n a a a d n n q +-==++-，01q <<时，0n d <，有()1112n n q n d d n ++=<+，1n n d d +>，数列{}n d 单调递增，A 选项错误；1q >时，0n d >，()112n n q n d d n ++=+，若数列{}n d 单调递增，则()112q n n +>+，即21n q n +>+，由*N n ∈，需要32q >，故B 选项错误；12d d >时，()()113112a a q q q >--，解得312q <<，1q >时，0n d >，由()112n n q n d d n ++=+，若数列{}n d 单调递减，则()112q n n +<+，即21111n q n n +<=+++，而312q <<不能满足()*11N 1q n n <+∈+恒成立，C 选项错误；12d d <时，()()113112a a q q q <--，解得01q <<或32q >，由AB 选项的解析可知，数列{}n d 单调递增，D 选项正确.故选：D【点睛】思路点睛：此题的入手点在于求数列{}n d 的通项，根据n d 的定义求得通项，再讨论单调性.20.（金山）．设{}n a 是项数为0n 的有穷数列，其中02n ≥．当02n n ≤时，12n n a =，且对任意正整数0n n ≤都有010n n n a a +-+=．给出下列两个命题：①若对任意正整数0n n ≤都有1511512ni i a =≤∑，则0n 的最大值为18；②对于任意满足01s t n ≤<<的正整数s 和t ，总存在不超过0n 的正整数m 和k ，使得1tm k ii s a a a =++=∑．下列说法正确的是（）．（A ）①是真命题，②是假命题（B ）①是假命题，②是真命题（C ）①和②都是真命题（D ）①和②都是假命题答案：B 三、解答题21.（浦东新区）（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分.已知数列{}n a 是首项为9，公比为13的等比数列.（1）求1234511111a a a a a ++++的值；（2）设数列3{log }n a 的前n 项和为n S ，求n S 的最大值，并指出n S 取最大值时n 的取值.【解析】（1）由题1319()33n n n a --=⋅=，则313n na -=，212123451111112133133.9a a a a a --++++=++++=（2）记3log n nb a =，由（1）知3n b n =-，所以22(3)51222n n S n n n +-=⋅=-，22511525()22228n S n n n =-=--+，当n =2或3时，n S 取得最大值3.（由3n b n =-得4n ≥时，0n b <分析得n S 最大值亦可）22．（静安）（本题满分14分，本题共有2个小题，第(1)小题满分8分，第(2)小题满分6分）已知各项均为正数的数列满足1=1，=2K1+3(正整数≥2)．（1）求证：数列+3是等比数列；（2）求数列的前n 项和．解：（1）证明：已知递推公式=2K1+3，两边同时加上3，得+3=2K1+3(≥2)，>0，+3>0，故+3K1+3=2(≥2)，（直接将已知递推公式代入等比数列定义计算也可：+3K1+3=2K1+3+3K1+3=2）又1+3=4，所以数列+3是以1+3=4为首项、以2为公比的等比数列．（2）数列+3通项公式为=2r1−3，=4(1−2)1−2=2r2−4−3.23．（虹口）(本题满分14分,第1小题6分，第2小题8分)记n S 为数列}{n a 的前n 项和，已知112,(.n n a a S n +==为正整数）（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设2log ,n n b a =若129145,m m m m b b b b +++++++= 求正整数m 的值.解：（1）由112,,n n a a S +==得：2112,a S a ===且当2n ≥时111,2(2).n n n n n n na a S S a a n a +-+=-=-=≥即……3分所以，数列{}n a 从第2项开始构成以22a =为首项，2为公比的等比数列,故数列{}n a 的通项公式为：12,1,2, 2.n n n a n -=⎧=⎨≥⎩……6分（2）当2n ≥时122log log 21n n n b a n -===-，又1212log log 21b a ===.……8分当m =1时，123101(129)46,b b b b ++++=++++= 不满足条件；……10分当2m ≥时，由129(1)(1)(8)5(27)145,m m m m b b b b m m m m m +++++++=-++++++=+= 解得m =11.……14分24．（奉贤）（本题满分14分，第1小题满分8分，第2小题满分6分）已知等差数列{}n a 的公差不为零，125a =，且1a ，11a ，13a 成等比数列．（1）求{}n a 的通项公式；（2）计算20321`-=∑k k a．【解析】（1）设等差数列{}n a 的公差为d (0)d ≠，则11110a a d =+，13112a a d =+．．．．．．．．．．．．．．．2分因为1a ，11a ，13a 成等比数列，所以211113a a a =⋅，即2111(10)(12)a d a a d +=⋅+，．．．．．．．．．．．．．．2分125a =代入，解得2d =-(0)=舍去d ．．．．．．．．．．．．．．．2分所以1(1)25(1)(2)272n a a n d n n =+-=+--=-，所以{}n a 的通项公式为272n a n =-；．．．．．．．．．．．．．．2分（2）因为3132[272(31)][272(32)]6n n a a n n +--=-+---=-，所以数列31{}n a +()n ∈N 是以25为首项，6-为公差的等差数列，．．．．．．．．．．．．．．3分（若没有证明为什么是等差数列，一律扣1分）所以2032147581`20202519(6)6402k k a a a a a -==++++=⨯+⨯⨯-=-∑ 25.（普陀）（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）已知b a ,均为不是1的正实数，设函数)(x f y =的表达式为xb a x f ⋅=)(（R ∈x ）.（1）设b a >且xa b x f ⋅≤)(，求x 的取值范围；（2）设161=a ，4=b ，记)(log 2n f a n =，)(n f b n =，现将数列}{n a 中剔除{}n b 的项后、不改变其原来顺序所组成的数列记为}{nc ，求∑=1001i ic的值.解：（1）由0>>b a ，得0>xa 及1>ba.……………………2分将x b a x f ⋅=)(代入xa b x f ⋅≤)(，得x x a b b a ⋅≤⋅，故b a b a x≥⎪⎭⎫ ⎝⎛，…………4分所以1≥x ，即x 的取值范围为),1[+∞.………………6分（2）将4,161==b a 代入x b a x f ⋅=)(，得422)(-=x x f .422log 422-==-n a n n ，24-=n n b ，其中n 为正整数.……8分且021>=-+n n a a （常数），21-=a ，故}{n a 是首项为2-、公差为2的严格增的等差数列；141>=+n n b b ，411=b ，故}{n b 是首项为41、公比为4的严格增的等比数列.……10分易得196100=a ，103202a =且434==b a ，16410==b a ，34564202a b ==<，1306256202a b ==>，……12分所以10010334511()i i i i c a b b b ===-++∑∑103[202(2)]84102162⨯+-=-=.……14分26.（杨浦）已知数列{}n a 是由正实数组成的无穷数列，满足13a =，27a =，12n n n a a a ++=-，*n ∈N .（1）写出数列{}n a 前4项的所有可能取法；（2）判断：是否存在正整数k ，满足1k a =，并说明理由；（3）n c 为数列{}n a 的前n 项中不同取值的个数，求100c 的最小值.【答案】（1）答案见解析；（2）不存在，理由见解析；（3）51【分析】（1）根据题意得21n n n a a a ++=+或21n n n a a a ++=-，再直接求解即可；（2）根据21n n n a a a ++=+或21n n n a a a ++=-，再证明3n n a a +≥，*n ∈N 即可证明结论‘；（3）根据21n n n a a a ++=+①或21n n n a a a ++=-②得对于任意的1,n n a a +，均可以使用①递推，②不能连续使用，进而记记{}212max ,(N k k k b a a k -=∈且1)k ≥，{}12122max ,k k k b a a +++=可得1k k b b +>(N k ∈且1)k ≥，进而得10051c ≥，再根据特例说明10051c =即可得答案.【小问1详解】解：由12n n n a a a ++=-得12n n n a a a ++-=-或12n n n a a a ++=-，所以21n n n a a a ++=+或21n n n a a a ++=-，因为足13a =，27a =，所以310a =或34a =，所以，当310a =时，417a =或43a =；当34a =时，411a =或43a =-因为数列{}n a 是由正实数组成的无穷数列，所以43a =-舍，所以，数列{}n a 前4项的所有可能取法有13a =，27a =，310a =，417a =或13a =，27a =，310a =，43a =或13a =，27a =，34a =，411a =.【小问2详解】解：不存在，下面证明：因为12n n n a a a ++=-，*n ∈N 所以，21n n n a a a ++=+或21n n n a a a ++=-，当21n n n a a a ++=+时，因为数列{}n a 是由正实数组成的无穷数列，所以32121n n n n n n n a a a a a a a +++++=+>=+>，即3n n a a +>或321n n n n a a a a +++=-=，所以3n n a a +≥；当21n n n a a a ++=-时，因为数列{}n a 是由正实数组成的无穷数列，所以210n n n a a a ++=->，即1n na a +>所以3211n n n n n a a a a a ++++=+>>或3210n n n n a a a a +++=-=-<（舍），综上，3n n a a +≥，*n ∈N 所以3213k a a -≥=，3127k a a -≥=，334k a a ≥=.综上，不存在正整数k ，满足1k a =.【小问3详解】解：由12n n n a a a ++=-，*n ∈N 所以，21n n n a a a ++=+①或21n n n a a a ++=-②，对于任意的1,n n a a +，均可以使用①递推，只有满足1n n a a +>时，才可以使用②递推；若21n n n a a a ++=-，显然21n n a a ++<，下次只能用①递推，即321n n n a a a +++=+所以，②不能连续使用.记{}212max ,(N k k k b a a k -=∈且1)k ≥，{}12122max ,k k k b a a +++=若21221k k k a a a +-=+，则1k k b b +>；若21221k k k a a a +-=-，则22212221k k k k k a a a a a ++-=+>>，所以1k k b b +>，所以1k k b b +>(N k ∈且1)k ≥，所以，12100,,,a a a 中至少有122350,,,,,a a b b b 共51项，即10051c ≥.举例如下：1212,(,(n n n n n a a n a a a n ----+⎧=⎨-⎩为奇数）为偶数）所以{}:3,7,10,3,13,10,23,13,36,23n a ，此时10051c =，所以，100c 的最小值为51.【点睛】关键的点睛：本题第三问解题的关键在于构造{}212max ,(N k k k b a a k -=∈且1)k ≥，{}12122max ,k k k b a a +++=推理得到1k k b b +>(N k ∈且1)k ≥，10051c ≥，进而结合题意说明最小值可以取到51即可.27．（嘉定）（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题4分，第2小题6分，第3小题8分．已知()2sin f x x x =+，等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，记1()nn i i T f a ==∑.（1）求证：函数()y f x =的图像关于点()ππ，中心对称；（2）若123a a a 、、是某三角形的三个内角，求3T 的取值范围；（3）若100100πS =，求证：100100πT =.反之是否成立？并请说明理由.（1）证：在函数2sin y x x =+的图像上任取一点(),P x y ，点P 关于点()ππ，的对称点为()2π,2πP x y '--，而()(2π)2π2sin 2π2π2sin 2πf x x x x x y -=-+-=--=-，所以点()2π,2πP x y '--在函数()y f x =图像上，所以函数()y f x =的图像关于点()ππ，中心对称.（2）解：若123a a a 、、是某三角形的三个内角，则123+=πa a a +，又{}n a 为等差数列，则2π=3a ，()()()312312312313()()2sin sin sin =π2sin sin T f a f a f a a a a a a a a a =++=++++++，1313133π4sin cos π222a a a a a a T +--⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭，不妨设1320π3a a <≤<，则132π03a a -<-≤，于是131cos 122a a -⎛⎤∈ ⎥⎝⎦，，所以(3ππT ∈++.（3）证：若100100πS =，又10010010010011()2sin i i i i T f a S a ====+∑∑，则1001001100π2sin i i T a ==+∑，因为{}n a 为等差数列且100100πS =，所以当101n m +=时，2πn m a a +=，于是sin sin 0n m a a +=.故()()()1001100299100112sin =sin sin sin sin sin sin 0i i a a a a a a a =++++⋅⋅⋅++=∑，所以100100πT =，得证.若100100πT =,则10010012sin 100πi i S a =+=∑,反之不成立考虑存在等差数列{}n a ，满足50149πa a d =+=，则9999πS =,于是n a 与100n a -关于π对称，所以9999πT =.下面证明，存在d 可以使得()100πf a =且100πa ≠.不妨设0d >，又149πa d +=，所以100199a a d π=+≠.()100502sin(50)f a d d π-=-，考虑函数2sin y x x =-，0x >,其中()2sin g x x x=-因为ππ(033g =<，(π)π0g =>，所以存在ππ3ξ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭使得()0g ξ=，所以存在ππ,15050d ⎛⎫∈⎪⎝⎭，使得()100πf a =即100100πT =，但是100100πS ≠.所以反之不成立.注：反例不唯一，例如：考虑0d =，证明存在3π,2π2ξ⎛⎫∈⎪⎝⎭，使得()πf ξ=，n a ξ=.。

上海高考数列汇编

上海市高考二模数列汇编1.（上海市杨浦区20PP 年4月高三模拟理科）已知有穷数列 A: a i ,a 2,…,a n （ n _ 2, n • N ）.a +a i定义如下操作过程 T ：从A 中任取两项a i,a j,将--的值添在A 的最后，然后删除1 +a ia ja i ,a j ,这样得到一系列n -1项的新数列A i （约定:一个数也视作数列）；对A i 的所有可能结果重复操作过程 T 又得到一系列n_2项的新数列 A ?,如此经过k 次操作后得到的新5 3 11数列记作A k .设A :-丄,则A 3的可能结果是（）7 4 2 3311（A ）0；（ B ）— ；（ C ）丄；（D ）丄.4 323. （上海市卢湾区20PP 年4月高考模拟理科）已知数列｛a n ｝是无穷等比数列，其前n 项和是 S n ，若 a 2 • a 3 =2，a 3 a 4 =1，则 lim ^ 的值为（）4. （上海市黄浦区20PP 年4月高考二模试题理科）已知数列［aj 是首项为1,公差为2的等*S 差数列，S n （ n ：= N ）是数列的前n 项和，贝U I i 叶，= _____________ . F n —16.（上海市十校20PP-20PP 学年第二学期高三第二次联考理科）已知Sn ［是公差不为零的等差数列，如果S n 是"Gn '的前n 项和，那么lim 咏二 ________________ .5 S n 7、（上海市虹口区 20PP-20PP 学年第二学期高三教学质量测试理科）数列的前n 项和 S n二n 2 ■ n -3,则通项公式 a n二 _________________ .& （上海市虹口区20PP-20PP 学年第二学期高三教学质量测试理科）各项都为正数的等比数1 1列 Q ［中，a 1 =1 , a 2 a^ 27（），则通项公式a^ ____________ .a 2 a 39.（上海市虹口区20PP-20PP 学年第二学期高三教学质量测试理科）公差为d ，各项均为正整数的等差数列中，若 a^1 , a n =51，则n • d 的最小值等于 ___________________ . 10. （上海市五校20PP 年联合教学调研理科已知等比数列｛a n ｝的公比为正数，且2a 3 曰9=2 a § , a 2 =1，贝U a 〔= _________ .11. 已知数列A:❺a 2 ,1 a,（如a #a 列I < a . n 邸）具3有性质P :对任意i, j 1匀乞j 乞n , a j - a i 与a j - a ,两数中至少有一个是该数列中的一项 .现给出以下四个命题：① 数列0,1,3,5,7具有性质P ; ② 数列0,2,4,6,8具有性质P ;C .D .16③若数列A具有性质P，则印=0 ；④若数列a1, a2, a3,a4,a5（0 —a1::: a2::: a3::: a4：：：a5）具有性质 P，则印• a3 =2a?。

上海市高三第二次模拟数学理试题分类汇编：数列.docx

上海市17区县2016届高三第二次模拟数学理试题分类汇编：数列一、填空、选择题1、（崇明县2016届高三二模）若数列{}n a 是首项为1，公比为32a -的无穷等比数列，且{}n a 各项的和为a ，则a 的值是．2、（奉贤区2016届高三二模）无穷等比数列首项为1,公比为()0q q >的等比数列前n 项和为n S ，则lim 2n n S →∞=，则q =________．3、（虹口区2016届高三二模）在正项等比数列{}n a 中，132341,,3a a a a =+=则12lim()n n a a a →∞+++=L ___________. 4、（黄浦区2016届高三二模）已知数列{}n a 中，若10a =，2i a k =*1(,22,1,2,3,)k k i N i k +∈≤<=L ，则满足2100i i a a +≥的i的最小值为5、（静安区2016届高三二模）已知数列{}n a 满足181a =，1311log ,2,(*)3,21n n n a a n k a k N n k ---+=⎧=∈⎨=+⎩，则数列{}n a 的前n 项和n S 的最大值为 .6、（闵行区2016届高三二模）设数列{}n a 的前n 项和为n S ，22|2016|n S n a n =+-（0a >），则使得1n n a a +≤（n ∈*N 学科网）恒成立的a 的最大值为 .7、（浦东新区2016届高三二模）已知数列{}n a 的通项公式为(1)2n n n a n =-⋅+，*n N ∈，则这个数列的前n 项和n S =___________．8、（徐汇、金山、松江区2016届高三二模）在等差数列{}n a 中，首项13,a =公差2,d =若某学生对其中连续10项进行求和，在遗漏掉一项的情况下，求得余下9项的和为185，则此连续10项的和为__________________．9、（徐汇、金山、松江区2016届高三二模）对于给定的正整数n 和正数R ，若等差数列123,,,a a a L 满足22121n a a R ++≤，则21222341n n n n S a a a a ++++=++++L 的最大值为__________________． 10、（杨浦区2016届高三二模）已知等比数列{}n a 的各项均为正数，且满足：174a a =，则数列2{log }n a 的前7项之和为 .11、（闸北区2016届高三二模）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，对任意正整数n ，13n n a S +=，则下列关于{}n a 的论断中正确的是（）A ．一定是等差数列B ．一定是等比数列C ．可能是等差数列，但不会是等比数列D ．可能是等比数列，但不会是等差数列12、（长宁、青浦、宝山、嘉定四区2016届高三二模）已知各项均为正数的数列}{n a 满足2123n a a a n n +++=+L （*N ∈n ），则12231n a a a n +++=+L ___________． 13、（崇明县2016届高三二模）下面是关于公差0d >的等差数列{}n a 的四个命题：（1）数列{}n a 是递增数列；（2）数列{}n n a 是递增数列；（3）数列n a n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是递减数列；（4）数列{}3n a nd +是递增数列．其中的真命题的个数为A ．0B ．1C ．2D ．314、（奉贤区2016届高三二模）若数列{}n a 前n 项`和n S 满足()2*1212,n n S S n n n N -+=+≥∈,且1a x =，{}n a 单调递增，则x 的取值范围是_______．15、（浦东新区2016届高三二模）任意实数,a b ，定义00ab ab a b a ab b ≥⎧⎪⊗=⎨<⎪⎩，设函数2()log f x x x =⊗（）.数列{}n a 是公比大于0的等比数列，且61a =，1239101()()()()()2f a f a f a f a f a a +++++=L ，则1a =_______．二、解答题1、（崇明县2016届高三二模）已知数列{}n a 与{}n b 满足11*(),n n n n a a b b n N λ++-=-∈．（1）若123,1,2n b n a λ=-==，求数列{}n a 的通项公式；（2）若111,2a b ==，且数列{}n b 是公比等于2的等比数列，求λ的值，使数列{}n a 也是等比数列；（3）若1*,,n n a b n N λλ==∈，且(1,0)λ∈-，数列{}n a 有最大值M 与最小值m ，求Mm的取值范围．2、（奉贤区2016届高三二模）数列{}n a ，{}n b 满足1111221111122n n n n n na ab b a b ++⎧=+⎪⎪⎨⎪=⋅+⋅⎪⎩，0,011>>b a .（1）求证：{}n n b a ⋅是常数列；（2）若{}n a 是递减数列，求1a 与1b 的关系；（3）设114,1a b ==，当2n ≥时，求n a 的取值范围.3、（虹口区2016届高三二模）设数列{}n a 的前n 项和为,n S 且2(1)().n n n S a S n N *-=∈（1）求123S S S 、、的值，并求出n S 及数列{}n a 的通项公式；（2）设121(1)(1)(),n n n n b n a a n N +*+=-+⋅∈求数列{}n b 的前n 项和.n T（3）设(1)(),n n c n a n N *=+⋅∈在数列{}n c 中取出(,3)m m N m *∈≥为常数项，按照原来的顺序排成一列，构成等比数列{}n d .若对任意的数列{}n d ，均有123,m d d d d M ++++≤L 试求M 的最小值.4、（黄浦区2016届高三二模）已知数列{}n a 的通项公式为12()()n a n k n k =--，其中12,k k Z ∈；（1）试写出一组12,k k Z ∈的值，使得数列{}n a 中的各项均为正数；（2）若11k =、*2k N ∈，数列{}n b 满足n n a b n=，且对任意*m N ∈(3)m ≠，均有3m b b <，写出所有满足条件的2k 的值；（3）若120k k <<，数列{}n c 满足||n n n c a a =+，其前n 项和为n S ，且使0i j c c =≠*(,,)i j N i j ∈<的i 和j 有且仅有4组，1S 、2S 、…、n S 中至少3个连续项的值相等，其它项的值均不相等，求12,k k 的最小值；5、（静安区2016届高三二模）已知数列{}n a 满足nn n a a 331+=-（*∈≥N n n ,2），首项31=a ．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）求数列{}n a 的前n 项和n S ；（3）数列{}n b 满足n a b nn 3log =，记数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧⋅+11n n b b 的前n 项和为n T ，A 是△ABC 的内角，若n T A A 43cos sin >对于任意n N *∈恒成立，求角A 的取值范围． 6、（闵行区2016届高三二模）已知n ∈*N ,数列{}n a 、{}n b 满足:11n n a a +=+,112n n n b b a +=+,记24n n n c a b =-．（1）若11a =，10b =，求数列{}n a 、{}n b 的通项公式；（2）证明：数列{}n c 是等差数列；（3）定义2()n n n f x x a x b =++，证明：若存在k ∈*N ，使得k a 、k b 为整数，且()k f x 有两个整数零点，则必有无穷多个()n f x 有两个整数零点．7、（浦东新区2016届高三二模）数列{}n a 满足：112,2nn n a a a λ+==+⋅，且123,1,a a a +成等差数列，其中*n N ∈。

上海高考数学复习专题-数列

【例 7】已知数列
是递增的等比数列， + 1 = 9,
则数列
的前 n 项和为（ 2 − 1 ）。
= 8,
【解析】 ∵
是递增的等比数列，∴必有 q > 1。求前 n 项和，必须先求出，q。
【解】根据题意有 <
+ , =9 , =8
解得：< ,
=1 =2
或
-,
= =
8
∵
是递增的等比数列，∴q > 1
∴
【解】（1）设数列
的公差为 d，∵ EK = 28 ∴ 7 + × 7 7 − 1 = 28 解得： d=1
∴ = + −1 = 5 = Mlg P = 0 5 = Mlg P = Mlg 11P = 1
0, （2）∵ 5 = Mlg P = U21,,
3,
1 ≤ < 10 10 ≤ < 100 100 ≤ < 1000
为等差数列, 则 + ∙ 也为等差数列，公差为 pd 其中：p ∈ R, 为常数& ， 5 均为等差数列，公差分别为 , 6 则 + ∙ + , ∙ 5 也为等差数列，公差为 p ∙ + , ∙ 6 其中：p, q ∈ R, 为常数&
1.4 求等差数列前 n 项和 sn 最值的方法
（1）求和公式法： = +
第四章数列与数学归纳法
1、等差数列
第一节等差数列与等比数列
1.1 等差数列的基本公式等差数列的通项公式： = + − 1 ，( 其中：d——公差)
等差数列前 n 项的和： = +
−1 =
(其中：为前 n 项的算术平均数)

2020上海高三数学二模分类汇总-数列(含答案)

2020届二模分类汇总-数列一、等差等比数列的性质与判定1、【2020年闵行区二模第4题】记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，若3122S S S =+，12a =，则5a = 【答案：6】2、【2020年松江区二模第4题】等差数列的前项和为，若，则= ．【答案：28 】3、【2020年长宁区二模第8题】记等差数列{}n a 的前n 项和为n S ．若31a =，714S =，则5a =__________．【答案：3】4、【2020年奉贤区二模第8题】已知等差数列{}n a 的各项不为零，且3a 、13a 、63a 成等比数列，则公比是【答案： 5 】5、【2020年嘉定区二模第7题】设各项均为正数的等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，11a =，236a a +=，则6S = 【答案： 63 】6、【2020年崇明区二模第15题】设{}n a 是各项为正数的无穷数列，i A 是边长为i a 、1i a +的矩形的周长（1,2,i =⋅⋅⋅），则“数列{}n A 为等差数列”的充要条件是（） A. {}n a 是等差数列B. 1321,,,,n a a a -⋅⋅⋅⋅⋅⋅或242,,,,n a a a ⋅⋅⋅⋅⋅⋅是等差数列C. 1321,,,,n a a a -⋅⋅⋅⋅⋅⋅和242,,,,n a a a ⋅⋅⋅⋅⋅⋅都是等差数列D. 1321,,,,n a a a -⋅⋅⋅⋅⋅⋅和242,,,,n a a a ⋅⋅⋅⋅⋅⋅都是等差数列，且公差相同【答案： D 】{}n a n n S 15374,12a a a a +=+=7S7、【2020年嘉定区二模第16题】设数列{}n a 的前n 项和为n S ，且2n S 是6和n a 的等差中项．若对任意的*n N ∈，都有13[n nS s S -∈，]t ，则t s -的最小值为( ) A ．23 B ．94 C ．12 D ．16【答案： B解析：由题意，64n n a S +=，∴1164n n a S --+=，作差11143n n n n n a a a a a ---=⇒=-，为等比数列，由111642a S a +=⇒=，1(1)31[1()]123n n n a q S q -==---，111()[,]339n -∈-， ∴4[,2]3n S ∈，∴113113[,]42n n S S -∈，∴min 1113()24t s -=-=94。

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（奉贤区）3、如果函数x x f a log )(=的图像过点⎪⎭⎫ ⎝⎛211，P ，2lim()n n a a a →∞+++⋅⋅⋅=________. 16、设数列{}n a ，以下说法正确的是（）A ．若2=4n n a ，*n N ∈，则{}n a 为等比数列 B ．若221n n n a a a ++⋅=，*n N ∈，则{}n a 为等比数列 C ．若2m n m n a a +⋅=，*,m n N ∈，则{}n a 为等比数列D ．若312n n n n a a a a +++⋅=⋅，*n N ∈，则{}n a 为等比数列23、若函数()f x 满足：集合*{()|}A f n n =∈N 中至少存在三个不同的数构成等比数列，则称函数()f x 是等比源函数.（1）判断下列函数：①2log y x =；②sin2y x π=中，哪些是等比源函数？（不需证明）（2）证明：对任意的正奇数b ，函数()2x f x b =+不是等比源函数；（3）证明：任意的*,d b ∈N ，函数()g x dx b =+都是等比源函数.（崇明县）4、已知数列{}n a 是首项为1，公差为2的等差数列，()n S n N *∈表示数列{}n a 的前n 项和，则2lim1nn S n →∞=- ．22.平面直角坐标系xoy 中，已知点(,)n n a (*)n N ∈在函数(2,)x y a a a N =∈≥的图像上，点(,)n n b (*)n N ∈在直线(1)y a x b =++ ()b R ∈上．（1）若点1(1,)a与点1(1,)b 重合，且22a b <，求数列{}n b 的通项公式；（2）证明：当2a =时，数列{}n a 中任意三项都不能构成等差数列；（3）当1b =时，记{}|,n A x x a n N *==∈ ，{}|,n B x x b n N *==∈ ，设C A B =I ，将集合C 的元素按从小到大的顺序排列组成数列{}n c ，写出数列{}n c 的通项公式n c ．（黄埔）4．已知等差数列{}*(N )n a n ∈的公差为3，11-=a ，前n 项和为n S ，则nnn S na ∞→lim的数值是．22．本题共有3个小题，第1小题满分6分，第2小题满分6分，第3小题满分6分．已知数列{}n a 满足n n n n n n a a a a a 3,)1(,12121221+=-+==+-(*N n ∈)． (1)求753a a a 、、的值； (2)求12-n a (用含n 的式子表示)；(3) (理)记数列{}n a 的前n 项和为n S ，求n S (用含n 的式子表示)．（虹口）2、223lim2n n n n n→∞-+-=- ． 12、等差数列{}n a 的通项公式为28n a n =-，下列四个命题．1α：数列{}n a 是递增数列；2α：数列{}n na 是递增数列；3α：数列n a n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是递增数列；4α：数列{}2n a 是递增数列．其中真命题的是．18、已知数列{}n a 是首项为1a ，公差为(02)d d π<<的等差数列，若数列{cos }n a 是等比数列，则其公比为（）.A 1 .B 1- .C 1± .D 221、（本题满分14分）某市2013年发放汽车牌照12万张，其中燃油型汽车牌照10万张，电动型汽车2万张．为了节能减排和控制总量，从2013年开始，每年电动型汽车牌照按50%增长，而燃油型汽车牌照每一年比上一年减少0.5万张，同时规定一旦某年发放的牌照超过15万张，以后每一年发放的电动车．．．的牌照的数量维持在这一年的水平不变．（1）记2013年为第一年，每年发放的燃油型汽车牌照数构成数列{}n a ，每年发放的电动型汽车牌照数为构成数列{}n b ，完成下列表格，并写出这两个数列的通项公式；（2）从2013年算起，求二十年发放的汽车牌照总量．（静安区）8已知首项31=a 的无穷等比数列{}n a )(*N n ∈的各项和等于4，则这个数列{}n a 的公比是．12．设各项均不为零的数列{}n c 中，所有满足01<⋅+i i c c 的正整数i 的个数称为这个数列{}n c 的变号数.已知数列{}n a 的前n 项和442+-=n n S n，nn a b 41-=（*N n ∈），则数列{}n b 的变号数为 .13.已知定义在[)+∞,0上的函数)(x f 满足)2(3)(+=x f x f .当[)2,0∈x 时x x x f 2)(2+-=.设)(x f 在[)n n 2,22-上的最大值为n a ，且数列}{n a 的前n 项和为n S ，则=∞→n n S lim . （其中*N n ∈）23．（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分设各项都是正整数的无穷数列{}n a 满足：对任意*N n ∈，有1+<n n a a ．记n a n a b =．（1）若数列{}n a 是首项11a =，公比2=q 的等比数列，求数列{}n b 的通项公式；（2）若n b n 3=，证明：21=a ；（3）若数列{}n a 的首项11a =，1+=n a n a c ，{}n c 是公差为1的等差数列．记n nn a d ⋅-=2，n n n d d d d S ++++=-121Λ，问：使5021>⋅++n n n S 成立的最小正整数n 是否存在？并说明理由．（闵行区）1．2135(21)lim331n n n n →∞++++-=++L ． 13．已知数列{}n a ，对任意的*k ∈N ，当3n k =时，3n n a a =；当3n k ≠时，n a n =，那么该数列中的第10个2是该数列的第项．23.（本题满分18分）本题共有3个小题，第(1)小题满分4分，第(2)小题满分6分，第(3)小题满分8分．已知曲线C 的方程为24y x =，过原点作斜率为1的直线和曲线C 相交，另一个交点记为1P ，过1P 作斜率为2的直线与曲线C 相交，另一个交点记为2P ，过2P 作斜率为4的直线与曲线C 相交，另一个交点记为3P ，……，如此下去，一般地，过点n P 作斜率为2n的直线与曲线C 相交，另一个交点记为1+n P ，设点),(n n n y x P （*n ∈N ）．（1）指出1y ，并求1n y +与n y 的关系式（*n ∈N ）；（2）求{}21n y -（*n ∈N ）的通项公式，并指出点列1P ，3P ，…，12+n P ，… 向哪一点无限接近？说明理由；（浦东新区）6. 已知数列{}n a 为等差数列，若134a a +=，2410a a +=，则{}n a 的前n 项的和n S =_____.21. （本题满分14分）本题共有2个小题，第（1）小题满分6分，第（2）小题满分8分. （理）已知定义在R 上的函数)(x f ，对任意实数21,x x 都有1212()1()()f x x f x f x +=++，且(1)1f =.（1）若对任意正整数n ，有112n n a f ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，求1a 、2a 的值，并证明{}n a 为等比数列；（2）设对任意正整数n ，有1()n b f n =．若不等式（闸北区）8.设0>a ，nn a n a ⋅=，若{}n a 是单调递减数列，则实数a 的取值范围为______.12.现有某种细胞100个，其中有占约总数21的细胞每小时分裂一次，即由1个细胞分裂成2个细胞，按这种规律发展下去，经过10小时，细胞总数大约为 ( ) A.3844个 B.5766个 C.8650个 D.9998个 15.本题满分20分，第1小题满分10分，第2小题满分10分设{}n a 是正数组成的数列，其前n 项和为n S ，并且对任意的*∈N n ，n a 与2的等差中项等于n S 与2的等比中项.(1)求证：数列{}n a 的通项公式为24-=n a n ；(2)已知数列{}n b 是以2为首项，公比为3的等比数列，其第n 项恰好是数列{}n a 的第r项，求nn r3lim∞→的值.（长宁、嘉定）18．设函数)(x f y =的定义域为D ，若对于任意1x 、D x ∈2，当a x x 221=+时，恒有b x f x f 2)()(21=+，则称点),(b a 为函数)(x f y =图像的对称中心．研究函数 3sin )(-+=x x x f π的某一个对称中心，并利用对称中心的上述定义，可得到 ⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛20144027201440262014220141f f f f Λ的值为……………………（）A ．4027B ．4027-C ．8054D ．8054-22．（本题满分16分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分．设数列}{n a ，}{n b ，}{n c ，已知41=a ，31=b ，51=c ，n n a a =+1，21nn n c a b +=+，21n n n b a c +=+（*N ∈n ）．（1）求数列}{n n b c -的通项公式；（2）求证：对任意*N ∈n ，n n c b +为定值；（3）设n S 为数列}{n c 的前n 项和，若对任意*N ∈n ，都有]3,1[)4(∈-⋅n S p n ，求实数p 的取值范围．。