复数综合练习题

复数综合练习题

一、 选择题（60分）

1、若22

(1)(32)x x x i -+++是纯虚数，则实数x 的值是（）

A1B 1-C 1±D 以上都不对

2、221(1)(4),.z m m m m i m R =++++-∈232.z i =-则1m =是12z z =的（）条件

A 充分不必要

B 必要不充分

C 充要

D 既不充分又不必要

3、若12,z z C ∈，则1212z z z z ⋅+⋅是（）

A 纯虚数

B 实数

C 虚数

D 无法确定

4、(),()n n f n i i n N -+=+∈的值域中，元素的个数是（）

A2B3C4D 无数个

5、3()m i R +∈，则实数m 的值为（）

A ±3±C 2

± 6、若x C ∈，则方程||13x i x =+-的解是（）

A 122+

B 124,1x x ==-

C 43i -+

D 122

i - 7、|34|2z i ++≤，则||z 的最大值为（）

A3B7C9D5

8、已知

z =则501001z z ++的值为（） A i B1C 2i +D3

9、已知11x x +=，则199619961x x

+的值为（） A 1-B1C i -D i

10、已知方程|2||2|z z a --+=表示等轴双曲线，则实数a 的值为（）

A ±

B C

11、复数集内方程25||60z z ++=的解的个数是（）

A2B4C6D8

12、复数1cos sin ,(2)z i ααπαπ=++<<的模是（） A 2cos 2αB 2cos 2α

-C 2sin 2αD 2tan 2α

-

二、 填空题（16分）

13、34i +的平方根是、。

14、在复平面内，若复数z 满足|1|||z z i +=-，则z 所对应的点的集合构成的图形是

。

15、设12ω=-+，则集合A={|()k k x x k Z ωω-=+∈}中元素的个数是。 16、已知复数122,13z i z i =-=-，则复数

215

z i z +=。 三、解答题（写出必要的运算步骤） 17（10分）在复平面上，设点A 、B 、C ，对应的复数分别为,1,42i i +。过A 、B 、C 做平行四边形ABCD ，求

此平行四边形的对角线BD 的长。

18、（10分）设,a b 为共轭复数，且2

()3412a b abi i +-=-，求,a b 的值。 19、（12分）已知复数z 满足|4||4|,z z i -=-且141

z z z -+

-为实数，求z 。

20、（12分）已知,z ω为复数，(13)i z +⋅为纯虚数，2z i

ω=+，且||ω=。 求复数ω 复数综合练习题参考答案

答案:

一、A 、A 、B 、B 、B 、C 、B 、A 、A 、A 、A 、B

二、132,2i i +--14y x =-直线 15216i

三、简答题

17、由题知平行四边形三顶点坐标为(0,1),(1,0),(4,2)A B C ，设D 点的坐标为(,)D x y 。

因为BA CD =，得(1,1)(4,2)x y -=--，得41,2 1.x y -=-⎧⎨-=⎩得33

x y =⎧⎨=⎩，即(3,3)D

所以(2,3)BD =

，则||BD =。

18、设,,(,)a x yi b x yi x y R =+=-∈。带入原方程得

222

43()412x x y i i -+=-，由复数相等的条件得22244,3()12.x x y ⎧=⎪⎨+=⎪⎩

解得1x y =⎧⎪⎨=⎪⎩

1x y =-⎧⎪⎨=⎪⎩.对应四组解略。 19、,(,)z x yi x y R =+∈，因为|4||4|,z z i -=-带入得x y =，所以,z x xi x R =+∈ 又因为141z z z -+-为实数，所以141411

z z z z z z --+=+--， 化简得，所以有0z z -=或2|1|13z -= 由0z z -=得0x =；由2

|1|13z -=得2,3x x =-=或。

所以0;22;3 3.z z i z i ==--=+（也可以直接用代数形式带入运算）

20、设,(,)z x yi x y R =+∈，则(13)i z +⋅=(3)(3)x y x y i -++为纯虚数，所以30x y =≠，

因为|||

|2z i

ω==+

||z ==3x y =。解得15,5;15,5x y x y ===-=-所以155(7)2i i i ω+=±=±-+。 21、（一）使用19题的方法解得0z z -=

或||z =

（二）设,(,)z x yi x y R =+∈ 则1010z x yi z x yi +=+++2210()x yi x yi x y -=+++2222

1010(1)(1)x y i x y x y =++-++ 因为10z R z

+∈，所以2210(1)0y x y -=+。所以22010y x y =+=或。 当0y =时，z x =，又1016z z <

+≤，所以x R +∈

，而106z z +≥>，所以在实数范围内无解。 当2210x y +=时，则102z z z z z z x z z ⋅+=+=+=。由112632

x x <≤⇒<≤ 因为,x y 为正整数，所以x 的值为1，或2，或3。

当1,3;x y ==±时

当2,)x y ==时舍；当3,1x y ==±时。