2015届高考数学二轮专题训练：专题八 第3讲 分类讨论思想

第3讲分类讨论思想

1．分类讨论思想是一种重要的数学思想方法．其基本思路是将一个较复杂的数学问题分解(或分割)成若干个基础性问题，通过对基础性问题的解答来实现解决原问题的思想策略．对问题实行分类与整合，分类标准等于增加一个已知条件，实现了有效增设，将大问题(或综合性问题)分解为小问题(或基础性问题)，优化解题思路，降低问题难度．

2．分类讨论的常见类型

(1)由数学概念引起的分类讨论．有的概念本身是分类的，如绝对值、直线斜率、指数函数、对数函数等．

(2)由性质、定理、公式的限制引起的分类讨论．有的数学定理、公式、性质是分类给出的，在不同的条件下结论不一致，如等比数列的前n项和公式、函数的单调性等．

(3)由数学运算要求引起的分类讨论．如除法运算中除数不为零，偶次方根为非负，对数真数与底数的要求，指数运算中底数的要求，不等式两边同乘以一个正数、负数，三角函数的定义域等．

(4)由图形的不确定性引起的分类讨论．有的图形类型、位置需要分类：如角的终边所在的象限；点、线、面的位置关系等．

(5)由参数的变化引起的分类讨论．某些含有参数的问题，如含参数的方程、不等式，由于参数的取值不同会导致所得结果不同，或对于不同的参数值要运用不同的求解或证明方法．

(6)由实际意义引起的讨论．此类问题在应用题中，特别是在解决排列、组合中的计数问题时常用．

3．分类讨论的原则

(1)不重不漏．

(2)标准要统一，层次要分明．

(3)能不分类的要尽量避免或尽量推迟，决不无原则地讨论．

4．解分类问题的步骤

(1)确定分类讨论的对象，即对哪个变量或参数进行分类讨论．

(2)对所讨论的对象进行合理的分类．

(3)逐类讨论，即对各类问题详细讨论，逐步解决．

(4)归纳总结，将各类情况总结归纳.

热点一 由数学概念、性质、运算引起的分类讨论

例1 (1)(2014·浙江)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧

x 2＋x ，x <0，－x 2，x ≥0，若f (f (a ))≤2，则实数a 的取值范围是________． (2)在等比数列{a n }中，已知a 3＝32，S 3＝92

，则a 1＝________. 答案 (1)a ≤2 (2)32

或6 解析 (1)f (x )的图象如图，由图象知，满足f (f (a ))≤2时，得f (a )≥－2，而满足f (a )≥－2时，得a ≤ 2.

(2)当q ＝1时，a 1＝a 2＝a 3＝32， S 3＝3a 1＝92

，显然成立； 当q ≠1时，由题意，得⎩⎨⎧

a 1q 2＝a 3＝32，a 1(1－q 3

)1－q ＝S 3＝92.

所以⎩⎨⎧ a 1q 2＝32， ①a 1(1＋q ＋q 2)＝92， ②

由①②，得1＋q ＋q 2

q

2＝3，即2q 2－q －1＝0， 所以q ＝－12

或q ＝1(舍去)． 当q ＝－12时，a 1＝a 3q 2＝6.综上可知，a 1＝32

或a 1＝6. 思维升华 (1)由数学概念引起的讨论要正确理解概念的内涵与外延，合理进行分类；(2)运算引起的分类讨论有很多，如除法运算中除数不为零，偶次方根为非负，对数运算中真数与底数的要求，指数运算中底数的要求，不等式两边同乘以一个正数、负数，三角函数的定义域等．

(1)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧

log 2(x ＋1)，x >3，2x －3＋1， x ≤3满足f (a )＝3，则f (a －5)的值为( ) A ．log 23 B.1716 C.32

D ．1 (2)已知数列{a n }的前n 项和S n ＝p n －1(p 是常数)，则数列{a n }是( )

A ．等差数列

B ．等比数列

C ．等差数列或等比数列

D ．以上都不对

答案 (1)C (2)D

解析 (1)分两种情况分析，⎩⎪⎨⎪⎧ a ≤32a －3＋1＝3①或者⎩⎪⎨⎪⎧

a >3log 2(a ＋1)＝3②，①无解，由②得，a ＝7，所以f (a －5)＝22－3＋1＝32

，故选C. (2)∵S n ＝p n －1，

∴a 1＝p －1，a n ＝S n －S n －1＝(p －1)p n －

1(n ≥2)， 当p ≠1且p ≠0时，{a n }是等比数列；

当p ＝1时，{a n }是等差数列；

当p ＝0时，a 1＝－1，a n ＝0(n ≥2)，此时{a n }既不是等差数列也不是等比数列．

热点二 由图形位置或形状引起的讨论

例2 (1)不等式组⎩⎪⎨⎪⎧ x －y ＋3≥0，x ＋y ≥0，

x ≤2

表示的平面区域内有________个整点(把横、纵坐标都是整数的点称为整点)．

(2)设圆锥曲线T 的两个焦点分别为F 1，F 2，若曲线T 上存在点P 满足|PF 1|∶|F 1F 2|∶|PF 2|＝4∶3∶2，则曲线T 的离心率为________．

答案 (1)20 (2)12或32

解析 (1)画出不等式组表示的平面区域(如图)．

结合图中的可行域可知

x ∈[－32

，2]，y ∈[－2,5]． 由图形及不等式组，知

⎩⎪⎨⎪⎧

－x ≤y ≤x ＋3，－32

≤x ≤2，且x ∈Z . 当x ＝－1时，1≤y ≤2，有2个整点；

当x ＝0时，0≤y ≤3，有4个整点；

当x ＝1时，－1≤y ≤4，有6个整点；

当x ＝2时，－2≤y ≤5，有8个整点；

所以平面区域内的整点共有2＋4＋6＋8＝20(个)．

(2)不妨设|PF 1|＝4t ，|F 1F 2|＝3t ，|PF 2|＝2t ，若该圆锥曲线为椭圆，则有|PF 1|＋|PF 2|＝6t ＝2a ，|F 1F 2|＝3t ＝

2c ，e ＝c a ＝2c 2a ＝3t 6t ＝12

；若该圆锥曲线是双曲线，则有|PF 1|－|PF 2|＝2t ＝2a ， |F 1F 2|＝3t ＝2c ，e ＝c a ＝2c 2a ＝3t 2t ＝32

. 所以圆锥曲线T 的离心率为12或32

. 思维升华 求解有关几何问题时，由于几何元素的形状、位置变化的不确定性，所以需要根据图形的特征进行分类讨论．

一般由图形的位置或形状变化引发的讨论包括：二次函数对称轴位置的变化；函数问题中区间的变化；函数图象形状的变化；直线由斜率引起的位置变化；圆锥曲线由焦点引起的位置变化或由离心率引起的形状变化．

(1)已知变量x ，y 满足的不等式组⎩⎪⎨⎪⎧ x ≥0，y ≥2x ，

kx －y ＋1≥0

表示的是一个直角三角形围成的平面区域，

则实数k 等于( )

A ．－12

B.12 C ．0 D ．－12或0 (2)设F 1，F 2为椭圆x 29＋y 24

＝1的两个焦点，P 为椭圆上一点．已知P ，F 1，F 2是一个直角三角形的三个顶点，且|PF 1|>|PF 2|，则|PF 1||PF 2|

的值为________． 答案 (1)D (2)2或72

解析 (1)不等式组⎩⎪⎨⎪⎧ x ≥0，y ≥2x ，

kx －y ＋1≥0

表示的可行域如图(阴影部分)所示，由图可知若不等式组⎩⎪⎨⎪⎧ x ≥0，y ≥2x ，

kx －y ＋1≥0表示的平面区域是直角三角形，只有直线y ＝kx ＋1与直线x ＝0垂直(如图①)或直线y ＝kx

＋1与直线y ＝2x 垂直(如图②)时，平面区域才是直角三角形．