南京信息工程大学-高等数学(上册)-试卷B(含答案)
南京信息工程大学_高等数学试卷
南京信息工程大学_高等数学试卷南京信息工程大学高等数学试卷（A ）年级:___ _____专业:___ _____时间:__ _ 2010.07. __学号:________________姓名:_________________得分:________________一、填空题（本题共5小题，每小题3分，满分15分）1．若0),,(=z y x F ，且F 可微，z y x F F F ,,非零，则=x z z y y x _______。
2．交换积分次序，=?xxdy y x f dx 331),(_______。
3．过点()4,2,1-与平面0432=-+-z y x 垂直的直线方程为_______。
4．设有点()3,2,1A 和()4,1,2-B ，则线段AB 的垂直平分面的方程为_______。
5．微分方程02=+'-''y y y 的通解是:二、选择题（本题共5小题，每小题3分，满分15分）1．二元函数),(y x f 在点()00,y x 处两个偏导数),(00y x f x ，),(00y x f y 存在是),(y x f 在该点连续的______。
（A ）充分而非必要条件； (B) 必要而非充分条件； (C) 充分必要条件； (D) 既非充分又非必要条件 2．两平面34=-z x 和152=--z y x 与直线153243-=-=+z y x ______。
（A ）垂直； (B) 平行； (C) 异面； (D) 相交但不垂直。
3．设∑为球面2222a z y x =++，则()=++??∑ds z y x222_____。
（A ）42a π； (B) 48a π； (C) 44a π； (D)434a π。
4．方程xxe y y 22='-''的一个特解具有_______形式。
（A ） ()x e B Ax 2+； (B) xAxe 2； (C) xe Ax 22； (D) ()xe B Ax x 2+。
南京信息工程大学大一公共课高等数学试卷及答案3
南京信息工程大学20XX ─ 20XX 学年 第 2 学期高等数学2课程试卷( Ｂ 卷) 及参考答案注意：1、本课程为 （表明必修或选修）， 学时为 ，学分为2、本试卷共 页；考试时间 分钟； 出卷时间： 年 月3、姓名、学号等必须写在指定地方； 考试时间： 年 月 日4、本考卷适用专业年级： 任课教师： XXX以上内容为教师填写）专业年级 班级学号 姓名一、填充题 (每小题 3 分，共 15 分)1．设L 是周长为a 的椭圆22143x y +=，则曲线积分22(234)L xy x y ds ++⎰=__12a ______． 2．已知:z ∑=zdS ∑=⎰⎰3R π. 3．设{(,,)|,01}D x y z a x b y =≤≤≤≤，且()1Dyf x d σ=⎰⎰，则()baf x dx =⎰_______2_____.4．将xoy 坐标面上的椭圆14922=+y x 绕x 轴旋转一周, 所生成的旋转曲面方程为 222194x y z ++= 5．微分方程230y y y '''--=的通解为 312x x y C e C e -=+，（12,C C 为常数）.二、选择题(每小题 3 分，共 15 分)1．级数11(1)n n n ∞=+∑ （ A ）（A ）发散 （B ） 收敛于1 （C ） 收敛于0 （D ）无法判断收敛性2． 22xydx ax dy +在xOy 面内是某一函数(,)u x y 的全微分，则a = （ C ）. (A) 1- (B) .2- (C) 1 (D) 23．2．设y x z =, 则zx∂=∂ ( A ) A. 1y yx - B. ln ||y x x C. (ln )y y x x x+ D. ln y x x 4．若区域222:1x y z Ω++≤取外侧，则积分222()xy z dv Ω++⎰⎰⎰等于 ( B )(A) 2120sin d d r dr ππθϕϕ⎰⎰⎰ (B)2140sin d d r dr ππθϕϕ⎰⎰⎰(C)211221()d d z dz πθρρρ-+⎰⎰⎰ (D)21d d πθρρ⎰⎰5．若级数1nn a∞=∑收敛 ，1nn b∞=∑发散，则级数1()nn n ab ∞=+∑ ( Ａ )(A) 一定发散 (B) 一定收敛 (C) 条件收敛 (D) 不能确定三、判别下列各级数是否收敛？若收敛，是绝对收敛还是条件收敛？(本题２０分) 1．1(1)sin3n nn π∞=-∑ 绝对收敛解 因为|(1)sin|sin333nnnnπππ-=≤，--------------------------------------------------------4分而级数13nn π∞=∑收敛，所以原级数1(1)sin3n nn π∞=-∑绝对收敛.------------------------------１０分2．132nnn n ∞=⋅∑ 解 因为1133(1)2lim1322n n n n nn n ++→∞+⋅=>⋅，--------------------------------------------------------------4分 由比值审敛法知，该级数发散.---------------------------------------------------------------１０分四．已知曲线方程:sin ,1cos ,4sin2t x t t y t z Γ=-=-=, 求对应于2t π=的点处的切线 及法平面方程 (本题１０分)解 (1,1,2)T = -------------------------------------------------------------------------------４分切线方程11211x y π-+-==-----------------------------------------------------８分 法平面方程402x y π+--= -----------------------------------------------------１０分五．求微分方程2x y y y e -'''++=的通解 (本题10分)解 对应的齐次方程的通解12()x y C x C e -=+， --------------------------------------4分 设非次方程的特解2x y Ax e *-=， ---------------------------------------------------------6分 则2(2)x y Ax Ax e -'=-，2(24)x y A Ax Ax e -''=-+代入解得12A =- ------------------------------------------------------------------------------8分 从而原方程的通解为2121()2xy C x C x e -=++ （12,C C 为常数） ------------10分六．求幂级数11n n n x n ∞=+∑的收敛域及和函数，并求1(1)2nn nn ∞=+∑ 的值(本题10分). 解 (2)lim1(1)(1)n n nR n n →∞+==++， --------------------------------------------------------------2分当1x =±时级数发散，故原级数的收敛域为11x -<<， -----------------------------4分又 111111n n n n n n x x n n ∞∞==+-=++∑∑1111n nn n x x n ∞∞===-+∑∑11ln(1),0||110,0x x x xx ⎧+-<<⎪=-⎨⎪=⎩， -------------------------------------------------------8分 令12x =，得12(1ln 2)(1)2nn n n ∞==-+∑. --------------------------------------------------10分 七．将1()arctan1xf x x+=-展为x 的幂级数 (本题10分). 解 221()(1),(11)1n n n f x x x x ∞='==--<<+∑-----------------------------------------------4分 0()(0)()xf x f f x dx '-=⎰221000(1)(1)21n x n nn n n x dx x n ∞∞+==-=-=+∑∑⎰------------------------------------------------------------8分 所以 2101(1)arctan ,(11)1421n n n x x x x n π∞+=+-=+-<<-+∑--------------------------------------10分八．计算曲面积分2(81)(1)4I y xdydz z y dzdx yzdxdy ∑=++-=⎰⎰，其中∑是由曲线13z y x ⎧=≤≤⎪⎨=⎪⎩ 绕y 轴旋转一周所成的曲面，它的法向量与y 轴正向的夹角恒大于2π.(本题10分) 解 曲面∑：221y x z -=+，设2212:3x z y ⎧+≤∑⎨=⎩，取右侧， ---------------------------2分则11I ∑+∑∑=-⎰⎰⎰⎰，由高斯公式212312dv d d dy πρθρπ+∑+∑Ω===⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰， --------------------------------------------6分而122(13)32zxD dzdx π∑=-=-⎰⎰⎰⎰- --------------------------------------------------------------8分从而 23234I πππ=+=. ----------------------------------------------------------------------10分。
工程大学2023-2023学年第1学期《高等数学(上)》期末考试试卷(A卷)及标准答案
工程大学2023-2024学年第1学期《高等数学（上）》期末考试试卷（A卷）及标准答案试卷题目：高等数学（上）期末考试试卷（A卷）科目：高等数学（上）时间：2024年1月一、选择题（共30题，每题2分，共60分）1.在直角坐标系中，抛物线y = x^2 - 2x 的顶点坐标是（）A. (1, -1)B. (1, 2)C. (2, 1)D. (-1, 1)2.设函数f(x) = sin(2x + π/3)，则函数 f(x) 的一个周期是（）A. π/3B. π/2C. πD. 2π3.函数 y = 3ln(2x + 1) 的图像在 x 轴上的截距是（）A. -1/2B. 1/2C. 0D. -14.设函数 f(x) = x^3 + 4x^2 + 5x，则 f(x) 的极值点是（）A. (-1, -1)B. (0, 0)C. (0, 5)D. (-5, 0)5.已知曲线 C 的参数方程为 x = t^2 - 4, y = t - 1，则曲线 C 属于（）A. 抛物线B. 椭圆C. 双曲线D. 直线…二、填空题（共10题，每题3分，共30分）1.函数 f(x) = sin(2x) 的最小正周期是 _______。
2.函数 y = x^3 + 4x^2 的导函数是 _______。
…三、解答题（共4题，每题20分，共80分）1.求方程组 x^2 + y^2 = 4, x - y = 1 的解。
2.计算不定积分∫(cos^2x + 2sinx)dx。
…四、大题（共2题，每题20分，共40分）1.设 y = ax^2 + bx + c，其中 a, b, c 均为常数，且a ≠ 0。
若曲线 y = ax^2 + bx + c 的顶点坐标为 (1, -1)，且该曲线与直线 y = x + 1 相切于点 (2, 3)，求曲线方程。
2.设函数 f(x) = e^x / (1 + e^x)，求f’(x) 和f’’(x)。
高等数学上数学试题及答案
高等数学上数学试题及答案一、选择题（每题5分，共20分）1. 极限的定义中，若函数f(x)在点x=a处的极限存在，则对于任意的正数ε，都存在正数δ，使得当0<|x-a|<δ时，|f(x)-L|<ε。
则以下哪个选项是正确的？A. ε和δ可以互换B. δ依赖于ε和函数f(x)C. δ依赖于ε和aD. ε依赖于δ和函数f(x)答案：B2. 函数f(x)=x^2在区间[0,1]上的定积分表示的是？A. 曲线y=x^2与x轴围成的面积B. 曲线y=x^2与y轴围成的面积C. 曲线y=x^2与x轴围成的体积D. 曲线y=x^2与y轴围成的体积答案：A3. 以下哪个函数是偶函数？A. f(x)=x^3B. f(x)=x^2C. f(x)=x^2+1D. f(x)=x^3-1答案：B4. 函数f(x)=sin(x)的导数是？A. cos(x)B. -sin(x)C. tan(x)D. -cos(x)答案：A二、填空题（每题5分，共20分）1. 函数f(x)=x^3-3x+2的导数是_________。
答案：3x^2-32. 函数f(x)=e^x的不定积分是_________。
答案：e^x+C3. 函数f(x)=ln(x)的导数是_________。
答案：1/x4. 函数f(x)=x^2+2x+1的极值点是_________。
答案：x=-1三、解答题（每题15分，共30分）1. 计算定积分∫[0,1] (2x+1)dx，并说明其几何意义。
解：∫[0,1] (2x+1)dx = [x^2+x] | [0,1] = (1^2+1) - (0^2+0) = 2几何意义：表示曲线y=2x+1与x轴在区间[0,1]上的面积。
2. 求函数f(x)=x^3-6x^2+9x+1在区间[0,3]上的单调区间。
解：首先求导数f'(x)=3x^2-12x+9，令f'(x)=0，解得x=1或x=3。
在区间[0,1)上，f'(x)>0，函数单调递增；在区间(1,3]上，f'(x)<0，函数单调递减。
南京信息工程大学-高等数学(上册)-试卷B(含答案)
南京信息工程大学试卷学年 第 1学期 高等数学 课程试卷( B 卷)本试卷共 页；考试时间 120分钟；任课教师 课程组 ；一、单项选择题 (本大题有4小题, 每小题4分, 共16分) 1.)(0),sin (cos )( 处有则在设=+=x x x x x f .（A ）(0)2f '= （B ）(0)1f '=（C ）(0)0f '= （D ）()f x 不可导.2. ）时（ ，则当，设133)(11)(3→-=+-=x x x x xx βα.（A ）()()x x αβ与是同阶无穷小，但不是等价无穷小； （B ）()()x x αβ与是等价无穷小；（C ）()x α是比()x β高阶的无穷小； （D ）()x β是比()x α高阶的无穷小.3. 若()()()02xF x t x f t dt=-⎰，其中()f x 在区间上(1,1)-二阶可导且'>()0f x ，则（ ）.（A ）函数()F x 必在0x =处取得极大值； （B ）函数()F x 必在0x =处取得极小值；（C ）函数()F x 在0x =处没有极值，但点(0,(0))F 为曲线()y F x =的拐点； （D ）函数()F x 在0x =处没有极值，点(0,(0))F 也不是曲线()y F x =的拐点。
4.)()( , )(2)( )(10=+=⎰x f dt t f x x f x f 则是连续函数，且设（A ）22x（B ）222x +（C ）1x - （D ）2x +.二、填空题（本大题有4小题，每小题4分，共16分） 5. =+→xx x sin 2)31(lim .6. ,)(cos 的一个原函数是已知x f x x =⋅⎰x x xx f d cos )(则 .7.lim(cos cos cos )→∞-+++=22221n n nnnn ππππ .8.=-+⎰21212211arcsin －dx xx x .三、解答题（本大题有5小题，每小题8分，共40分）9. 设函数=()y y x 由方程sin()1x y e xy ++=确定，求'()y x 以及'(0)y .10. .d )1(177x x x x ⎰+-求11.． 求，， 设⎰--⎪⎩⎪⎨⎧≤<-≤=132)(1020)(dx x f x x x x xe x f x12. 设函数)(x f 连续，=⎰1()()g x f xt dt，且→=0()limx f x A x ，A 为常数. 求'()g x 并讨论'()g x 在=0x 处的连续性.13. 求微分方程2ln xy y x x '+=满足=-1(1)9y 的解.四、 解答题（本大题10分）14. 已知上半平面内一曲线)0()(≥=x x y y ，过点(,)01，且曲线上任一点M x y (,)00处切线斜率数值上等于此曲线与x 轴、y 轴、直线x x =0所围成面积的2倍与该点纵坐标之和，求此曲线方程.五、解答题（本大题10分）15. 过坐标原点作曲线x y ln =的切线，该切线与曲线x y ln =及x 轴围成平面图形D.(1) 求D 的面积A ；(2) 求D 绕直线x = e 旋转一周所得旋转体的体积六、证明题（本大题有2小题，每小题4分，共8分）16. 设函数)(x f 在[]0,1上连续且单调递减，证明对任意的[,]∈01q ，1()()≥⎰⎰qf x d x q f x dx.17. 设函数)(x f 在[]π,0上连续，且0)(0=⎰πx d x f ，0cos )(0=⎰πdx x x f .证明：在()π,0内至少存在两个不同的点21,ξξ，使.0)()(21==ξξf f （提示：设⎰=xdxx f x F 0)()(）解答一、单项选择题(本大题有4小题, 每小题4分, 共16分) 1、D 2、A 3、C 4、C二、填空题（本大题有4小题，每小题4分，共16分）5. 6e . 6.c x x +2)cos (21 .7. 2π. 8.3π.三、解答题（本大题有5小题，每小题8分，共40分） 9. 解：方程两边求导(1)cos()()0x y e y xy xy y +''+++= cos()()cos()x y x ye y xy y x e x xy +++'=-+0,0x y ==，(0)1y '=-10. 解：767u x x dx du == 1(1)112()7(1)71u du duu u u u -==-++⎰⎰原式1(ln ||2ln |1|)7u u c =-++ 7712ln ||ln |1|77x x C =-++11. 解：1033()x f x dx xe dx ---=+⎰⎰⎰3()xxd e --=-+⎰⎰00232cos (1sin )x xxe e d x πθθθ----⎡⎤=--+-=⎣⎦⎰令3214e π=--12. 解：由(0)0f =，知(0)0g =。
高等数学B试卷及答案
高等数学试卷一、 单项选择题（本题共5小题，每小题4分，满分20分）1. 由[,]a b 上连续曲线y = g (x )，直线x a =，x b =()a b <和x 轴围成图形的面积S =( ).(A)dx x g ba⎰)((B)dx x g ba⎰)((C) dx x g ba⎰)((D)2))](()([a b a g b g -+2.下列级数中，绝对收敛的是（ ）（A ）()∑∞=--11321n nn n （B ）()∑∞=-+-11)1ln(311n n n（C ）()∑∞=-+-12191n n n n （D ）3.设),(),,(y x v v v x f z ==其中v f ,具有二阶连续偏导数.则=∂∂22y z( ).(A)222y v v f y v y v f ∂∂⋅∂∂+∂∂⋅∂∂∂ (B)22y v v f ∂∂⋅∂∂(C)22222)(y v v f y v v f ∂∂⋅∂∂+∂∂∂∂ (D)2222yv v f y v v f ∂∂⋅∂∂+∂∂⋅∂∂4.⎰-1121dx x （ ）（A ）2 （B ）-2（C ）0 （D ）发散5. 求微分方程2x y =''的通解（ ）（A ）21412c x c x y ++= （Ｂ）cx x y +=124 （C ）c x y +=124 （D ）221412c x c x y ++= 二、 填空（本题共5小题，每小题4分，满分20分）1. 若⎰=22sin 3)(x dt t x x f ，则()f x '=2. 设f (x ,y )是连续函数，交换积分次序：⎰⎰⎰⎰+212141410),(),(yy ydx y x f dy dx y x f dy =3.幂级数()()∑∞=--121!21n nn n x 的收敛半径是4. 已知5)2(,3)2(,1)0('===f f f ，则⎰=2'')(dx x xf通解为x ce y x+=的微分方程为三、 计算下列各题（本题共4小题，每小题5分，满分20分）1. x y z cos )(ln =，求。
南京信息工程大学高数期末考试试卷aB
(6 分)
2 2 22、若 un 与 vn 都收敛,则 (un vn ) 2 收敛. n1 n1 n1
2 2 2 2 证：由于 0 (u n vn ) 2 u n vn 2u n vn 2(u n vn ),
(3 分)
2 2 2 2 vn ) 收敛, 并由题设知 un 与 vn 都收敛,则 2(un n1 n1 n 1
2 解：公司利润为 L R x1 x2 15 13 x1 31x2 8 x1 x2 2 x12 10 x2
13 8 x2 4 x1 0, 4 x 8 x2 13, Lx 令 1 即 1 2 31 8 x1 20 x2 0, 8 x1 20 x2 31, Lx 3 5 得驻点 ( x1 , x2 ) ( , ) (0.75,1.25) ,而 4 4 1 x1 4 0 , B Lx 1x2 8 , C Lx 2 x2 20 , A Lx D AC B 2 80 64 0 ,
编号
南京信息工程大学试卷
学年 第 1 学期
本试卷共 高等数学 课程试卷( B 卷) 页；考试时间 120 分钟；任课教师 课程组 ；
题序 得分
一
二
三
四
总 分
一、填空题(每小题 3 分,共 15 分)
评 分
阅 卷 人
y 1、已知 f ( x y, ) x 2 y 2 ,则 f ( x, y ) _____________. x
2 y 1 y x y
3 1 1 解： I 1 dy 2 e dx e e 2 y 8 2 2
1 y
高数b大一考试题及答案
高数b大一考试题及答案一、选择题（每题4分，共20分）1. 函数f(x)=x^2+3x+2的导数为：A. 2x+3B. 2x+6C. x^2+3D. x^2+3x答案：A2. 极限lim(x→0) (sin(x)/x)的值为：A. 0B. 1C. -1D. 2答案：B3. 以下哪个函数是奇函数？A. f(x) = x^2B. f(x) = x^3C. f(x) = x^4D. f(x) = x答案：B4. 以下哪个级数是收敛的？A. 1 + 1/2 + 1/4 + 1/8 + ...B. 1 - 1/2 + 1/4 - 1/8 + ...C. 1 + 2 + 3 + 4 + ...D. 1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16 + ...答案：B5. 以下哪个积分是正确的？A. ∫x^2 dx = x^3/3 + CB. ∫x^2 dx = x^3 + CC. ∫x^2 dx = 2x^3 + CD. ∫x^2 dx = 3x^3 + C答案：A二、填空题（每题4分，共20分）1. 函数f(x)=e^x的不定积分是______。
答案：e^x + C2. 函数f(x)=cos(x)的不定积分是______。
答案：sin(x) + C3. 函数f(x)=ln(x)的不定积分是______。
答案：x*ln(x) - x + C4. 函数f(x)=x^3的不定积分是______。
答案：x^4/4 + C5. 函数f(x)=1/x的不定积分是______。
答案：ln|x| + C三、计算题（每题10分，共30分）1. 计算极限lim(x→∞) (x^2 - 3x + 2) / (x^3 + 5x^2 - 6x)。
答案：02. 计算定积分∫(0 to 1) x^2 dx。
答案：1/33. 计算定积分∫(-1 to 1) (x^3 - 2x^2 + 3x - 4) dx。
答案：-4四、证明题（每题10分，共20分）1. 证明函数f(x)=x^3在区间(-∞, +∞)上是单调递增的。
南京信息工程大学大一公共课高等数学试卷及答案2
南京信息工程大学 高等数学 II 试卷 B 卷 参考答案课程名称：高等数学II 考试学期 XX-10-2适用专业： 考试形式：闭卷 考试时间长度120分钟 共4页一、填空题（每题3分，共15分）1. 曲面1232222=++z y x 在点（1,２,1）处的切平面方程为832=++z y x 。
2. 设函数z)x y (u =，则=)1,2,1(dudz dy dx 2ln 22++ 。
3. 设x 2y x :D 22≤+，f 为连续函数，则二重积分⎰⎰+Dd y xf σ)(22化为在极坐标下的二次积分为⎰⎰-ϕππρρρϕcos 20222)(d f d 。
4. 设C 是由ｘ轴,ｙ轴与直线ｘ＋ｙ＝１围成的区域的正向边界，则⎰=-Cxdy ydx 41-。
5. )2ln()(x x f +=的麦克劳林级数为 ∑∞=--+112)1(2ln n nn n xn ，收敛区间为]2,2(-。
二、选择题（每题3分，共15分）1．已知)y ,x (z z =是由0=+++ze z y x 所确定的隐函数，则xz∂∂＝ C 。
(A) z e -- (B) z e --1 (C) ze+-11 (D) ze --3 2．常微分方程x 2sin ey 5y 2y x-=+'+''的特解形式为 B 。
(A))2sin 2cos (*x b x a xe y x += (B))2sin 2cos (*x b x a xe y x +=- (C) x a xe y x 2cos *-= (D)x b xe y x 2sin *-=3．已知幂级数∑∞=0n nn x a 在ｘ＝２处条件收敛，则幂级数∑∞=0n nn n x 4a 的收敛半径为 A 。
(A) 8 (B) 1 (C) 0 (D) ∞4. 设13,02()1,12x f x x x ⎧<≤⎪⎪=⎨⎪<<⎪⎩，且1()sin n n S sx b n x π∞==∑是()f x 的傅里叶级数，则7()2S ＝D 。
高等数学b试题及答案
高等数学b试题及答案一、选择题（每题5分，共30分）1. 设函数f(x)=x^3-3x+1，求f'(x)的值。
A. 3x^2-3B. 3x^2+3C. x^3-3D. x^3+3答案：A2. 计算定积分∫(0,1) (2x+1)dx的值。
A. 3/2B. 5/2C. 2D. 1答案：B3. 求极限lim(x→0) [sin(x)/x]。
A. 1B. 0C. -1D. 2答案：A4. 判断级数∑(n=1,∞) (1/n^2)的收敛性。
A. 收敛B. 发散C. 条件收敛D. 交错收敛答案：A5. 设矩阵A=(aij)为3阶方阵，且|A|=-2，求A的行列式。
A. -2B. 2C. 4D. -4答案：A6. 判断函数y=x^2-6x+8在区间[2,4]上的单调性。
A. 单调递增B. 单调递减C. 先减后增D. 先增后减答案：C二、填空题（每题5分，共20分）1. 设函数f(x)=x^2-4x+c，若f(x)在x=2处取得最小值，则c的值为________。
答案：42. 设函数f(x)=ln(x)，求f'(x)的值。
答案：1/x3. 计算二重积分∬(D) xy dxdy，其中D为区域x^2+y^2≤4。
答案：8/34. 设数列{an}满足a1=1，an+1=2an+1，求数列的通项公式。
答案：an=2^(n-1)三、解答题（每题10分，共50分）1. 求函数f(x)=x^3-3x+1的极值点。
解：首先求导f'(x)=3x^2-3，令f'(x)=0，解得x=±1。
经检验，x=1为极小值点，x=-1为极大值点。
2. 计算定积分∫(0,2) (3x^2-2x+1)dx。
解：∫(0,2) (3x^2-2x+1)dx = [x^3-x^2+x](0,2) = (8-4+2) - (0-0+0) = 6。
3. 求极限lim(x→∞) [(x^2+3x+2)/(x^2-x+1)]。
高等数学上册期末考试B卷及答案
高等数学期末考试卷课程高等数学(A 、B 类)（A 卷）参考答案2018~2019学年第 1 学期一．填空题（每小题3分，共15分） 1.3sin 0lim 12x x x → += 32e2.设()f x 可导，则极限0(1)(1)lim x f h f h h αβ→+−−=()(1)f αβ′+3.不定积分2ln 2x dx =∫22ln 2xC+4.若连续函数()f x 满足：20()sin x f t dt x x π=∫，则(4)f =2π5.反常积分20x x e dx +∞−=∫ 2 。
二． 选择题（每小题3分，共15分）1．设麦克劳林公式221(),x e x ax o x −−=+则常数a =（ B ）（A ）1 （B ）12 （C ）13 （D ）162.设曲线11x y e =−水平渐近线的条数为a ，铅直渐近线的条数为b ，则( D )(A)0,1a b ==; (B)1,0a b ==; (C)1,1a b ==; (D)2,1a b ==。
3．设()ln 2,y x =则它的微分dy =（ D ）(A) 12||dx x (B) 12dx x (C)1||dx x (D) 1dxx 4.设定积分32231211ln ,ln ,I xdx I xdx ==∫∫则（ C ）（A ）12I I = （B ） 1223I I = （C ） 12I I > （D ） 12I I <5.从原点()0,0引曲线y =( B )（A ）y x = （B ）12y x =（C ）2y x =（D ）23y x=三．计算（每小题8分，共48分）1．求极限x →解：原式＝0x →0x x →→012x →=012x →=201cos x x x →−=2． 已知(ln ,y x =求11,x x dy y ==′′。
解：因为 y ′=所以1x dy dx ==y ′′=1x y =′′3、设函数()y f x =由方程x y e e xy −=所确定，求导数0,x y y =′′′ 解：由方程x y e e xy −=的两边对x 求导，得x y e e y y xy ′′−=+，从而可解得x y e y y e x+′=+且当0x = 时得0y =，将0x =，0y =代入上式得(0)1y ′=再由方程x y e e y y xy ′′−=+的两边对x 求导数得 2x y y e e y e y y y xy ′′′′′′′−−=++，将0x =，0y =，(0)1y ′=代入上式得02x y =′′=−。
南京信息工程大学高数期末考试试卷
南京信息工程大学试卷学年 第 1学期 高等数学 课程试卷( B 卷)本试卷共 页；考试时间 120分钟；任课教师 课程组 ；一 填空题：（每小题4分，共32分，要求：写出简答过程，并且把答案填在横线上）1.设1(1),0(),xx x f x x a x ⎧⎪-<=⎨⎪+≥⎩在(,)-∞+∞上处处连续，则a =-1e。
解()()1111lim 1lim 1x xx x x x e-----→→⎧⎫⎡⎤-=+-=⎨⎬⎣⎦⎩⎭()0lim x x a a +→+=,有连续性有a =-1e2. 已 知(3)2f '=,则0(3)(3)lim2h f h f h →--=1-。
解 已知()0(3)(3)3lim2h f f h f h →--'==则(3)(3)1(3)(3)limlim22h h f h f f f h h h→→----=-()1132122f '=-⋅=-⨯=-3.函数()2cos f x x x =+在[0,]2π上的最大值为6π+解 令()12sin 0f x x '=-=得6x π=()026622f f f ππππ⎛⎫⎛⎫==+=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭则最大值为6π+4. 设5(sin )5(1cos )x t t y t =+⎧⎨=-⎩ ， 则t dydx==0,22t d y dx==120解()5sin 051cos t t t dydyt dt dx dxt dt======+22t t t dy d dy dx d d y dx dt dxdxdxdt===⎛⎫ ⎪⎛⎫⎝⎭ ⎪⎝⎭==()()()22cos 1cos sin 1cos 151cos 20t t t tt t =+++==+5. 设1(0)xy xx +=>，则y '=()1ln xx x x x ++解 两边取对数有()ln 1ln y x x =+两边关于x 求导得1ln y x x yx'+=+,整理后即得结果6. 设函数()y y x =由方程cos()0x y xy ++=确定，则dy =sin 11sin y xy dx x xy--。
南京信息工程大学大一数学专业高等代数试卷及答案2
南京信息工程大学试卷20XX －20XX 学年 第 1 学期 高等代数(上) 课程试卷( A 卷)本试卷共 3 页；考试时间 120 分钟；任课教师 杨兴东 昝立博 ；出卷时间20XX 年12月一、填空题（本题满分15分, 每题3分）1. 行列式x221x 3x 2121x x321x 5中3x 的系数是 ；4x 的系数是 .2. 设A 为3阶矩阵，且1||,2A =，则*18)61(A A --= .3. 设111212122212n n n n n n a b a b a b a b a b a b A a b a b a b ⎛⎫⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭,其中0,0,(1,2,)i i a b i n ≠≠=，则()r A = .4. 如果()1Bx Ax 1x 242++-，则A = ；B = ．5. 设123,,ηηη是四元非齐次线性方程组Ax b =的三个解向量，且()3r A =，1231021,3243ηηη⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪=+= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则非齐次线性方程组Ax b =的通解为 . 二、选择题（本题满分15分, 每题3分）1. 设()923+++=bx ax x x f ，如果2-是()x f 的2重根，则b a ,=（ ）(A)13,225 (B) 13,425 (C) 12,425 (D) 12,2252. 设n 阶方阵A 与B 等价，则（ ）(A) ||||A B = (B) ||||A B ≠ (C) 若||0,A ≠则||0,B ≠ (D) ||||A B =- 3. 设A 是n 阶退化矩阵，则下面说法正确的是（ ）(A) 必有一行元素全为0； (B) 必有两行元素对应成比例；(C) 必有一行向量是其余行向量的线性组合； (D) 任一行向量是其余行向量的线性组合.4. 设A 为n 阶矩阵，*A 是A 的伴随矩阵，则有（ ）成立(A) *1||||n A A -= (B) *||||n A A = (C) *||||A A = (D) *1||||A A -= 5.,,A B C 均为n 阶矩阵，E 为n 阶单位矩阵，若ABC E =，则有( ) (A) ACB E = （B ）BAC E = （C ）BCA E = （D ）CBA E = 三、判别下列多项式在有理数域上是否可约. (本题满分10分，每题5分) 1. ()x f =35142788722356--+-+x x x x x ； 2. ()x f =155+-x x .四、(本题满分10分，每题5分) 计算下列行列式：1. 333c b a c b a111； 2. 0222202222022220=n D . 五、(本题满分10分，每种方法各5分)设⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=011012111A ，试用两种方法求矩阵A 的逆矩阵.六、(本题满分10分) 求向量组⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=6512,0211,14703,2130,421154321ααααα 的秩与一个极大线性无关组，并将其余向量由此极大无关组线性表示. 七、(本题满分10分) 讨论,a b 取何值时，非齐次线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++4234321321321x bx x x bx x x x ax (1) 无解；(2) 有唯一解；(3) 有无穷多解？有无穷多解时，求其全部解.八、(本题满分8分) 已知向量组123,,ααα线性无关，证明向量组1122,βαα=+22323,βαα=+3313βαα=+线性无关.九、(本题满分6分) 已知A 为n 阶矩阵，E 为n 阶单位矩阵，且260A A E --=，证明：(3)(2)r A E r A E n -++=.十、(本题满分6分) 设3R =⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧∈⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=R x x x x x x x 321321,,为3维向量空间，已知3R x ∈ 与实数R 上的三阶方阵A 使得向量组x A Ax x 2,,线性无关，且x A Ax x A 2323-=,记()x A Ax x C 2,,=，求3阶方阵B ，使得1-=CBC A .20XX-20XX 学年第一学期《高等代数》（上）期末试卷（A 卷）参考答案一、填空题（本题满分15分, 每题3分）1. 5,10-;2. 16;3. 1;4.1,2A B ==-；5.21324354k ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 二、选择题（本题满分15分, 每题3分）1. B2. C3. C4. A5. C三、（1）利用艾森斯坦判别法，取3,p =则此多项式在有理数域上不可约。
南京信息工程大学大一高数期末考试试卷B
南京信息工程大学试卷学年 第 1学期 高等数学 课程试卷( B 卷)本试卷共 页；考试时间 120分钟；任课教师 课程组 ；《高等数学A 》考试试卷一．填空题（本题共5小题，每小题4分，共20分）1.设⎩⎨⎧<+≥=0x 1x 0x e f(x) x ，则 f(x)的一个原函数是 .2.曲线12x 11y ++=与x 轴、y 轴和直线4x =所围成的面积是 .3.已知曲线f(x)y =上的任一点f(x))(x,的切线斜率是2x41+，而且曲线经过定点(2,0)，则曲线方程 .4.1x x 12x 4x f(x)234-+++=在Ｒ上的零点有 个.5.已知(1)'' f 存在，且1xdx)f(e lim3x2xx =⎰→，则=(1)'' f .二．选择题（本题共5小题，每小题4分，共20分）1.已知F(x)具有二阶连续导数(x)'F'，则下面正确的是（ ） A.⎰=F(x)dF(x)B. ⎰+=+1]dx (x)'[F'x]dx (x)[F'dC. ⎰+=C F(x)(x)dF'D. ⎰++=+C (x)F'F(x)(x)]dx 'F'(x)[F' 2.=∑=∞→1-n 1i ni 2n e n2lim（ ）A. ⎰2x dx e 2 B. ⎰1x 2dx e 2C. ⎰2 0x2dx e D. ⎰1x 2dx e3.已知F(x)的一阶导数(x)F'在Ｒ上连续，且0F(0)=， 则⎰=0x (t)dt xF'd （ ）A. (x)dx xF'-B. (x)dx xF'C. (x)dx]xF'[F(x)+-D. (x)]dx xF'[F(x)+-4.设f(x)的导数在x=a 处连续，又x a()lim1f x x a→'=--，则 （ ）A.x=a 是f(x)的极小值点B.x=a 是f(x)的极大值点C.(a,f(a))是曲线y=f(x)的拐点D.x=a 不是f(x)的极值点，(a,f(a))也不是曲线y=f(x)的拐 点。
南京信息工程大学高数期末考试试卷B.doc大一上学期(第一学期)高数期末考试题
南京信息工程大学试卷学年 第 1学期 高等数学 课程试卷( B 卷)本试卷共 页；考试时间 120分钟；任课教师 课程组 ；一、单项选择题 (本大题有4小题, 每小题4分, 共16分) 1. )(0),sin (cos )( 处有则在设=+=x x x x x f .（A ）(0)2f '= （B ）(0)1f '=（C ）(0)0f '= （D ）()f x 不可导.2. ）时（ ，则当，设133)(11)(3→-=+-=x x x x xx βα.（A ）()()x x αβ与是同阶无穷小，但不是等价无穷小； （B ）()()x x αβ与是等价无穷小；（C ）()x α是比()x β高阶的无穷小； （D ）()x β是比()x α高阶的无穷小.3. 若()()()02xF x t x f t dt=-⎰，其中()f x 在区间上(1,1)-二阶可导且'>()0f x ，则（ ）.（A ）函数()F x 必在0x =处取得极大值； （B ）函数()F x 必在0x =处取得极小值；（C ）函数()F x 在0x =处没有极值，但点(0,(0))F 为曲线()y F x =的拐点； （D ）函数()F x 在0x =处没有极值，点(0,(0))F 也不是曲线()y F x =的拐点。
4.)()( , )(2)( )(1=+=⎰x f dt t f x x f x f 则是连续函数，且设（A ）22x （B ）222x+（C ）1x - （D ）2x +.二、填空题（本大题有4小题，每小题4分，共16分） 5. =+→xx x sin 2)31(l i m .6. ,)(cos 的一个原函数是已知x f xx=⋅⎰x xxx f d cos )(则.7.lim(cos cos cos )→∞-+++=22221n n nnn n ππππ .8. =-+⎰21212211arcsin －dx xx x .三、解答题（本大题有5小题，每小题8分，共40分）9. 设函数=()y y x 由方程sin()1x ye xy ++=确定，求'()y x 以及'(0)y .10. .d )1(177x x x x ⎰+-求11. ． 求，， 设⎰--⎪⎩⎪⎨⎧≤<-≤=1 32)(1020)(dx x f x x x x xe x f x12. 设函数)(x f 连续，=⎰10()()g x f xt dt，且→=0()limx f x A x ，A 为常数. 求'()g x 并讨论'()g x 在=0x 处的连续性.13. 求微分方程2ln xy y x x '+=满足=-1(1)9y 的解.四、 解答题（本大题10分）14. 已知上半平面内一曲线)0()(≥=x x y y ，过点(,)01，且曲线上任一点M x y (,)00处切线斜率数值上等于此曲线与x 轴、y 轴、直线x x =0所围成面积的2倍与该点纵坐标之和，求此曲线方程. 五、解答题（本大题10分）15. 过坐标原点作曲线x y ln =的切线，该切线与曲线x y ln =及x 轴围成平面图形D.(1) 求D 的面积A ；(2) 求D 绕直线x = e 旋转一周所得旋转体的体积V .六、证明题（本大题有2小题，每小题4分，共8分）16. 设函数)(x f 在[]0,1上连续且单调递减，证明对任意的[,]∈01q ，1()()≥⎰⎰qf x d x q f x dx.17. 设函数)(x f 在[]π,0上连续，且0)(0=⎰πx d x f ，0cos )(0=⎰πdx x x f .证明：在()π,0内至少存在两个不同的点21,ξξ，使.0)()(21==ξξf f （提示：设⎰=xdxx f x F 0)()(）解答一、单项选择题(本大题有4小题, 每小题4分, 共16分) 1、D 2、A 3、C 4、C二、填空题（本大题有4小题，每小题4分，共16分）5. 6e . 6.c x x +2)cos (21 .7. 2π. 8.3π.三、解答题（本大题有5小题，每小题8分，共40分） 9. 解：方程两边求导(1)c o s ()()x ye y xy xy y +''+++= cos()()cos()x y x ye y xy y x e x xy +++'=-+0,0x y ==，(0)1y '=- 10. 解：767u x x dx du == 1(1)112()7(1)71u du duu u u u -==-++⎰⎰原式 1(ln ||2ln |1|)7u u c =-++ 7712ln ||ln |1|77x x C =-++11.解：1330()xf x dx xe dx ---=+⎰⎰⎰3()xxd e --=-+⎰⎰00232cos (1sin )x x xe e d x πθθθ----⎡⎤=--+-=⎣⎦⎰ 令3214e π=--12. 解：由(0)0f =，知(0)0g =。
南京信息工程大学高数期末考试试卷B
南京信息工程大学试卷学年 第 1学期 高等数学 课程试卷( B 卷)本试卷共 9 页；考试时间 120分钟；任课教师 课程组课程组课程组 ；出卷时间年学院学院 专业专业 2009 年级年级 班学号学号 姓名姓名 得分一、填空题一、填空题((每小题3分,共15分) 评分阅卷人1、已知22(,)yf x y x y x +=-,则=),(y x f _____________2、已知p =ò¥+¥--dx ex 2,则=ò¥+--dx e x x0 21___________.3、函数22(,)1f x y x xy y y =++-+在__________点取得极值4、已知y y x x y x f arctan )arctan (),(++=,则=¢)0,1(xf ________.5、以xe x C C y 321)(+=(21,C C 为任意常数)为通解的微分方程是为通解的微分方程是____________________.评分阅卷人p ï222231x y dxdy --2231x y dxdy --2231x y dxdy --三、计算题三、计算题((每小题6分,共60分)评分11、求由23x y =,4=x ,0=y 所围图形绕y 轴旋转的旋转体的体积转体的体积. .12、求二重极限、求二重极限 11lim22220-+++®®y x y x y x .评分评阅人评分评阅人y x 评分评阅评分评阅人ò 评分评阅评分评阅人)1133-+n n 评分评阅人评分评阅人评分评阅人评分评阅人评分x y 评分评阅人评分评阅人一、填空题一、填空题((每小题3分,共15分)1、2(1)1x y y -+. 2、p . 3、)32,31(-. 4、1. 5、"6'0y y y -+=. 二、选择题二、选择题((每小题3分,共15分)6、(C ). .7、 (B).8、(A ) .9、(D). 10、(D).三、计算题三、计算题((每小题6分,共60分)11、求由23x y =,4=x ,0=y 所围图形绕y 轴旋转的旋转体的体积轴旋转的旋转体的体积. . 解：32yx =的反函数为23,0x y y =>。
高等数学上册试题及答案
高等数学上册试题及答案一、选择题（每题4分，共40分）1. 设函数f(x)=x^2-4x+c，若f(1)=0，则c的值为（）。
A. -3B. 0C. 3D. 42. 函数y=x^3-3x+1的导数为（）。
A. 3x^2-3B. x^2-3C. 3x^2-3xD. x^3-33. 极限lim(x→0) (sinx/x)的值为（）。
A. 0B. 1C. -1D. 24. 函数y=e^x的不定积分为（）。
A. e^x + CB. e^x - CC. x*e^x + CD. x*e^x - C5. 以下哪个选项是微分方程y''-y=0的通解（）。
A. y=C1*cos(x)+C2*sin(x)B. y=C1*e^x+C2*e^(-x)C. y=C1*x+C2D. y=C1*x^2+C2*x6. 曲线y=x^2在点(1,1)处的切线斜率为（）。
A. 0B. 1C. 2D. 47. 已知函数f(x)=x^3-6x^2+11x-6，求f'(x)=（）。
A. 3x^2-12x+11B. 3x^2-12x+6C. 3x^2-6x+11D. 3x^2-6x+68. 函数y=ln(x)的导数为（）。
A. 1/xB. xC. ln(x)D. 19. 已知函数f(x)=x^2-2x+1，求f(2)=（）。
A. 1B. 3C. 5D. 710. 极限lim(x→∞) (1/x)的值为（）。
A. 0B. 1C. ∞D. -∞二、填空题（每题4分，共20分）1. 若函数f(x)=x^3+2x^2-5x+1，则f'(x)=______。
2. 求定积分∫(0 to 1) (2x+3)dx的值，结果为______。
3. 函数y=x^2-4x+c在x=2处的极值点，当c=______时，该点为极大值点。
4. 函数y=e^(-x^2)的二阶导数为______。
5. 曲线y=x^3-3x^2+2在点(1,0)处的切线方程为y=______。
南京信息工程大学_高等数学（下册）_试卷及答案
南京信息工程大学_高等数学（下册）_试卷及答案南京信息工程大学高等数学试卷参考答案及评分标准一填空题（本题共5小题，每小题3分，满分15分）1．设z y x xy z y x z y x f 42432),,(222-+-+++=求gradf(0,0,0)= -4i+2j-4k2．向量α?和β?构成的角3π=，且8,5==βα??，则βα??+=1293．=→→xxy a y x )sin(lim 0 a 4．C 为依逆时针方向绕椭圆12222=+b y a x 的路径,则--+C dy y x dx y x )()(= ab π2-5．微分方程)1(2+='y x y 的通解是12-=x ce y二选择题（本题共5小题，每小题3分，满分15分）1．直线L ： 37423zy x =-+=-+ 与平面3224=--z y x 的关系是[ A] A ．平行 B ．直线L 在平面上C ．垂直相交D ．相交但不垂直2．y x z 2+=在满足522=+y x 的条件下的极小值为[ ]A ．5B ．-5C ．52D ．-523．设∑为球面2222R z y x =++,则??∑++ds z y x )(222=[ C ]A ．dr r r d d Rθππsin 200022 B. dv R ???Ω2 C ．44R π D.534R π4．级数n i nnx ∑∞=-+12)1(2的收敛半径是 [ D ]A ．23B ．61C ．23或 61D ．25．x xe y y y y =+'+''+'''的通解形式为y= [ A ]A ． x e b ax )(+B ． x e b ax x )(+C ． x e b ax x )(2+D ． []x d cx x b ax e x 2sin )(2cos )(+++三求下列各题（本题共3小题，每小题10分，满分30分）1．计算dxdy y y D ??sin D ：2y x = 和 x y = 所围成的区域。
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南京信息工程大学试卷学年 第 1学期 高等数学 课程试卷( B 卷)本试卷共 页；考试时间 120分钟；任课教师 课程组 ；一、单项选择题 (本大题有4小题, 每小题4分, 共16分) 1.)(0),sin (cos )( 处有则在设=+=x x x x x f .（A ）(0)2f '= （B ）(0)1f '=（C ）(0)0f '= （D ）()f x 不可导.2. ）时（ ，则当，设133)(11)(3→-=+-=x x x x xx βα.（A ）()()x x αβ与是同阶无穷小，但不是等价无穷小； （B ）()()x x αβ与是等价无穷小；（C ）()x α是比()x β高阶的无穷小； （D ）()x β是比()x α高阶的无穷小.3. 若()()()02xF x t x f t dt=-⎰，其中()f x 在区间上(1,1)-二阶可导且'>()0f x ，则（ ）.（A ）函数()F x 必在0x =处取得极大值； （B ）函数()F x 必在0x =处取得极小值；（C ）函数()F x 在0x =处没有极值，但点(0,(0))F 为曲线()y F x =的拐点； （D ）函数()F x 在0x =处没有极值，点(0,(0))F 也不是曲线()y F x =的拐点。
4.)()( , )(2)( )(10=+=⎰x f dt t f x x f x f 则是连续函数，且设（A ）22x（B ）222x +（C ）1x - （D ）2x +.二、填空题（本大题有4小题，每小题4分，共16分） 5. =+→xx x sin 2)31(lim .6. ,)(cos 的一个原函数是已知x f x x =⋅⎰x x xx f d cos )(则 .7.lim(cos cos cos )→∞-+++=22221n n nnnn ππππ .8.=-+⎰21212211arcsin －dx xx x .三、解答题（本大题有5小题，每小题8分，共40分）9. 设函数=()y y x 由方程sin()1x y e xy ++=确定，求'()y x 以及'(0)y .10. .d )1(177x x x x ⎰+-求11.． 求，， 设⎰--⎪⎩⎪⎨⎧≤<-≤=132)(1020)(dx x f x x x x xe x f x12. 设函数)(x f 连续，=⎰1()()g x f xt dt，且→=0()limx f x A x ，A 为常数. 求'()g x 并讨论'()g x 在=0x 处的连续性.13. 求微分方程2ln xy y x x '+=满足=-1(1)9y 的解.四、 解答题（本大题10分）14. 已知上半平面内一曲线)0()(≥=x x y y ，过点(,)01，且曲线上任一点M x y (,)00处切线斜率数值上等于此曲线与x 轴、y 轴、直线x x =0所围成面积的2倍与该点纵坐标之和，求此曲线方程.五、解答题（本大题10分）15. 过坐标原点作曲线x y ln =的切线，该切线与曲线x y ln =及x 轴围成平面图形D.(1) 求D 的面积A ；(2) 求D 绕直线x = e 旋转一周所得旋转体的体积六、证明题（本大题有2小题，每小题4分，共8分）16. 设函数)(x f 在[]0,1上连续且单调递减，证明对任意的[,]∈01q ，1()()≥⎰⎰qf x d x q f x dx.17. 设函数)(x f 在[]π,0上连续，且0)(0=⎰πx d x f ，0cos )(0=⎰πdx x x f .证明：在()π,0内至少存在两个不同的点21,ξξ，使.0)()(21==ξξf f （提示：设⎰=xdxx f x F 0)()(）解答一、单项选择题(本大题有4小题, 每小题4分, 共16分) 1、D 2、A 3、C 4、C二、填空题（本大题有4小题，每小题4分，共16分）5. 6e . 6.c x x +2)cos (21 .7. 2π. 8.3π.三、解答题（本大题有5小题，每小题8分，共40分） 9. 解：方程两边求导(1)cos()()0x y e y xy xy y +''+++= cos()()cos()x y x ye y xy y x e x xy +++'=-+0,0x y ==，(0)1y '=-10. 解：767u x x dx du == 1(1)112()7(1)71u du duu u u u -==-++⎰⎰原式1(ln ||2ln |1|)7u u c =-++ 7712ln ||ln |1|77x x C =-++11. 解：1033()x f x dx xe dx ---=+⎰⎰⎰3()xxd e --=-+⎰⎰00232cos (1sin )x xxe e d x πθθθ----⎡⎤=--+-=⎣⎦⎰令3214e π=--12. 解：由(0)0f =，知(0)0g =。
===⎰⎰1()()()xxt uf u dug x f xt dt x(0)x ≠02()()()(0)xxf x f u dug x x x-'=≠⎰2()()A(0)limlim22xx x f u duf xg x x →→'===⎰2()()lim ()lim22xx x xf x f u duA A g x A x→→-'==-=⎰，'()g x 在=0x 处连续。
13. 解：2ln dy y x dx x +=22(ln )dx dxx x y e e xdx C -⎰⎰=+⎰211ln 39x x x Cx -=-+1(1),09y C =-=，11ln 39y x x x=- 四、 解答题（本大题10分） 14. 解：由已知且02d xy y x y'=+⎰，将此方程关于x 求导得y y y '+=''2特征方程：022=--r r 解出特征根：.2,121=-=r r其通解为 xx e C e C y 221+=-代入初始条件y y ()()001='=，得 31,3221==C C故所求曲线方程为：xx e e y 23132+=-五、解答题（本大题10分）15. 解：（1）根据题意，先设切点为)ln ,(00x x ，切线方程：)(1ln 000x x x x y -=-由于切线过原点，解出e x =0，从而切线方程为：x e y 1=则平面图形面积⎰-=-=1121)(e dy ey e A y（2）三角形绕直线x = e 一周所得圆锥体体积记为V 1，则2131e V π=曲线x y ln =与x 轴及直线x = e 所围成的图形绕直线x = e 一周所得旋转体体积为V 2⎰-=122)(dye e V y πD 绕直线x = e 旋转一周所得旋转体的体积)3125(6221+-=-=e e V V V π六、证明题（本大题有2小题，每小题4分，共12分）16. 证明：10()()q f x d x q f x dx -⎰⎰1()(()())q q qf x d x q f x d x f x dx =-+⎰⎰⎰10(1)()()qqq f x d x q f x dx=--⎰⎰1212[0,][,1]()()12(1)()(1)()0q q f f q q f q q f ξξξξξξ∈∈≥=---≥故有：1()()≥⎰⎰qf x d x q f x dx证毕。
17.证：构造辅助函数：π≤≤=⎰x dtt f x F x0,)()(0。
其满足在],0[π上连续，在),0(π上可导。
)()(x f x F ='，且0)()0(==πF F由题设，有⎰⎰⎰⋅+===ππππ)(sin cos )()(cos cos )(0|dxx F x x x F x xdF xdx x f ，有⎰=πsin )(xdx x F ，由积分中值定理，存在),0(πξ∈，使0sin )(=ξξF 即0)(=ξF综上可知),0(,0)()()0(πξπξ∈===F F F .在区间],[,],0[πξξ上分别应用罗尔定理，知存在),0(1ξξ∈和),(2πξξ∈，使0)(1='ξF 及0)(2='ξF ，即0)()(21==ξξf f .。