高二数学复数的平方根和立方根
《复数的平方根与立方根》
1 3 1 3 设＝－ ＋ i , i 2 2 2 2
(1) 1 ( 2) 1
3
(3) 2
(4) 1
(5) 1 0
2
(6) 1
3n
3n1
3 n 2
2
计算：
1 3 10 (1)( i ) 2 2
(2)( 1 3 i )
5
1 3 (3) 已知 i 2 2 2 3 10 求1
例3：利用1的立方根，求复数64的立方根
例4：计算下列各式的值
1 3 8 (1) ( i) 2 2 (2) (1 3i) 6
复数的平方根和立方根
知识引入
设z x yi ( x, y R),若满足z 3 4i, 求z
2
1.复数的平方根 我们知道在实数集R内开方是乘 方的逆运算. 同样在复数集C内，如果 a+bi,c+di （a,b,c,d∈R）满足：
(a bi) c di
2
则称a+bi是c+di的一个平方根
例题选讲 例1：求下列复数的平方根
(1)
.
3
(2)7 24i
1、实数k的平方根是__________ _
2、求下列复数的平方根 （ 1 ） 4i (2)3 4i
2、复数的立方根
类似地，若复数z1,z2满足z13=z2, ，则 称z1是z2的立方根，求一个复数的立方根 或更高次的方根需要进一步的复数知识. 下面我们中研究1的立方根.
高二数学经典讲义之复数根与系数的关系-教师
3．分类讨论是重要的思想方法。复数里也会有这样的题目，虚根、实根不同情况下，解的形式是不同的。
巩固练习
1.若 是方程 的一个解，那么 ， 13
2. 是方程 的虚数根，且 ，则 _____
3.在复数集内分解因式：(1) _________
求：实数k的值。
解：
无解
， ，
， ， (舍)
自我测试
1.在复数范围内解方程 ，解集是_______
2.已知 ，若方程 的一个根为 ，则 ______
3.已知一元二次方程 有实数根，则 _____
4.满足方程 的复数 有________个
5.方程 的两个根为 ，且 ，求实数 的值
6、已知：虚数（x-2）+yi（x、y ）的模为 ，
3.已知复数 满足 且 ，则 ________ ，
4.方程 的解集是________
5.方程 的两根为__________
6.已知 是实系数方程 的根，则 ______
精解名题
例1．关于 的方程 的两根的模的和为 ，求实数 的值。
解：
(1)当 ，即 时，
，且
与 同号
由 得
(2)当 ，即 时， 与 为一对共轭复数，得
，
(1) ，即 ，
(2) ，
因每个方程的两根之和均为 ，故所求的和为
例4.关于 的方程 有实根，求 的取值范围。
解：设实根为 ，则 ，即
，得 ，
例5.对任意非零复数 ，定义集合 ，设 是方程
的一个根，试用例举法表示集合
解： 是 的根，则 或
当 时，
当 时，有
例6.设复数 是实系数方程 的根，又 为实数，求点 的轨迹。
沪教版——13.5复数的平方根与立方根
由两个复数相等的条件，得
a2 b2 2ab 0
3 a
b
0 3
或
a
b
0
3
所以，-3的平方根为 3i或- 3i
推广：负实数a的平方根为 a i
（2）设a+bi(a,b∈R)是7-24i的平方根，则
(a bi)2 7-24i
a2 b2 2abi 7-24i
由两个复数相等的条件，得
13.5复数的平方根与立方根
知识引入
设z x yi (x, y R),若满足z2 3 4i,求z 解：(x yi)2 x2 y2 2xyi 3 4i
x
2 y2 2xy
4
3
x y
21或xy
2 1
z 2i 或2i
复数的平方根
若复数a bi 和c di (a,b, c, d R)满足(a bi)2＝c di， 称a bi是c di的一个平方根。
a2 2ab
b2 7 24
a b
4 3
或
a b
4 3
所以，7-24i的平方根为4 3i 或 4 3i
练习1.求下列复数的平方根 (1) 4
练习2.负实数k的平方根是 ___________
练习3.求复数 4i的平方根.
复数的立方根
类似地，若复数满足z13 z2，则称z1是的z2立方根. 求一个复数的立方根或更高次的方根需要进一步的复数知识. 下面我们只研究1的立方根.
例2.设 1 3 i,求证：(1) , 2,1都是1的立方根;(2)1 2 0
22
证明： (1)3 ( 1 3 i)3 ( 1 3 i)2 ( 1 3 i)
22
22
22
[1 3 i ( 3 i)2 ]( 1 3 i)
高二数学复数的平方根和立方根
例题选讲
例3：设 1 3 i，求证：
22
（1） , 2 , 1都是1的立方根 ； （2）1 2 0
例4：利用1的立方根，求复数64的立方根
解：设z为64的立方根，则：
a+bi,c+di （a,b,c,d∈R）满足：
(a bi)2 c di
则称a+bi是c+di的一个平方根
例题选讲
例1：求下列复数的平方根
(1) 3
(2)7 24i
.
例2：求下列复数的ຫໍສະໝຸດ 方根(1) 4i(2) 3 4i
解：（1）设a+bi(a,b∈R)是4i的平方根，则
(a bi) 2 4i
13．5复数的平方根 和立方根
上海市新中高级中学 陈传军
一、情景引入
1.复习
（1）复数相等的定义 （2）复数乘法和乘方的运算法则
二、学习新课
我们引入虚数的目的之一就是 为了解决负数开平方的问题.
问题1：请同学们根据前面所学的 知识，回答1和-1的平方根分别是 多少？
1.复数的平方根
我们知道在实数集R内开方是乘 方的逆运算. 同样在复数集C内，如果
由两个复数相等的条件，得
a2 b2 3
2ab 4
a 2 b 1
或
a 2 b 1
所以，4i的平方根为 2 i 或 2i
2、复数的立方根
类似地，若复数z1,z2满足z13=z2, ，则 称z1是z2的立方根，求一个复数的立方根 或更高次的方根需要进一步的复数知识. 下面我们中研究1的立方根.
a2 b2 2abi 4i
由两个复数相等的条件，得
平方根和立方根知识点总结
平方根和立方根知识点总结平方根和立方根是数学中非常重要的概念，它们在解决数学问题、理解数学规律以及实际应用中都有着广泛的用途。
接下来，让我们详细地了解一下平方根和立方根的相关知识。
一、平方根1、定义如果一个数的平方等于 a，那么这个数叫做 a 的平方根。
用数学语言表达为：若 x²＝ a，则 x 叫做 a 的平方根，记作±√a 。
例如，因为 3²＝ 9，（－3)²＝ 9，所以 9 的平方根是 ±3，即±√9 ＝ ±3 。
2、性质（1）一个正数有两个平方根，它们互为相反数。
比如 4 的平方根是 ±2 。
（2）0 的平方根是 0 。
（3）负数没有平方根。
这是因为在实数范围内，任何数的平方都不可能是负数。
3、算术平方根正数 a 的正的平方根叫做 a 的算术平方根，记作√a 。
0 的算术平方根是 0 。
例如，4 的算术平方根是 2 ，即√4 ＝ 2 。
4、开平方求一个数 a 的平方根的运算，叫做开平方。
开平方与平方互为逆运算。
在进行开平方运算时，需要注意被开方数的取值范围，被开方数必须是非负数。
5、平方根的估算对于一些不是完全平方数的数，我们可以通过估算来确定其平方根的大致范围。
例如，估算√7 的值。
因为 4 ＜ 7 ＜ 9 ，所以 2 ＜√7 ＜ 3 。
二、立方根1、定义如果一个数的立方等于 a，那么这个数叫做 a 的立方根。
用数学语言表达为：若 x³＝ a，则 x 叫做 a 的立方根，记作³√a 。
例如，因为 2³＝ 8 ，所以 8 的立方根是 2 ，即³√8 ＝ 2 。
2、性质（1）正数的立方根是正数。
（2）负数的立方根是负数。
（3）0 的立方根是 0 。
也就是说，任意一个数都有且只有一个立方根。
3、开立方求一个数 a 的立方根的运算，叫做开立方。
开立方与立方互为逆运算。
三、平方根与立方根的区别1、个数不同平方根中，正数有两个平方根，0 的平方根是0 ，负数没有平方根；而立方根中，任何数都只有一个立方根。
复数的平方根与立方根
04
复数平方根与立方根的应 用
在数学领域的应用
1 2 3
解决代数方程
复数的平方根和立方根可以用于求解代数方程， 例如求解x^2=a或x^3=a等。
三角函数与极坐标
复数的平方根和立方根可以用于计算三角函数和 极坐标的转换，例如计算sin(x)和cos(x)的平方 根和立方根。
复数分析
在复数分析中，平方根和立方根是重要的概念， 用于研究函数的性质和行为。
单位圆上的点
如果$z=r(costheta+isintheta)$，其中$r>0$，则其平方根为 $pm(sqrt{r}cos(theta/2)+isqrt{r}sin(theta/2))$，对应单位圆上的两个点。
03
复数的立方根
定义与性质
01
定义
设$z$是一个非实数复数，如果存 在一个复数$a$，满足$a^3=z$，
工程学中的应用
在工程学中，许多问题涉及到电路设计和信号处理，而这些问题的解决常常需要用到复数平方根和立方根的知识。例 如，在计算交流电路中的电压和电流时，就需要用到复数平方根和立方根的知识。
金融学中的应用
在金融学中，许多问题涉及到资产评估和风险控制，而这些问题的解决常常需要用到复数平方根和立方 根的知识。例如，在计算股票价格波动率和风险时，就需要用到复数平方根和立方根的知识。
定义与性质
定义
对于任意复数$z=a+bi$（其中$a$和 $b$是实数，$i$是虚数单位，满足 $i^2=-1$），其平方根定义为满足 $(pmsqrt{z})^2=z$的复数。
性质
复数的平方根有两个值，即正平方根 和负平方根，因为$(-a)^2=a^2$。
平方根的求法
高二数学复数的四则运算(学生版)
学科教师辅导讲义R - D {}0取什么值时，复平面内表示复数815)z m -+）位于第一、二象限？2007i +那么10050z z +例12、证明：在复数范围内，方程255||(1)(1)2i z i z i z i-+--+=+（i 为虚数单位）无解．【课堂总结】1．在复数代数形式的四则运算中，加减乘运算按多项式运算法则进行，除法则需分母实数化，必须准确熟练地掌握.2．记住一些常用的结果，如ω,i 的有关性质等可简化运算步骤提高运算速度.3．复数的代数运算与实数有密切联系但又有区别，在运算中要特别注意实数范围内的运算法则在复数范围内是否适用.【课后练习】一、选择题1．若复数ii a 213++（a R ∈，i 为虚数单位）是纯虚数,则实数a 的值为 （ ） A 、-6 B 、13 C.32 D.13 2．定义运算bc ad d c ba -=,,，则符合条件01121=+-+i i iz ，，的复数_z 对应的点在（ ） A ．第一象限； B ．第二象限； C ．第三象限； D ．第四象限；3．若复数()()22ai i --是纯虚数（i 是虚数单位），则实数a =（ ）A.－4；B.4；C.－1；D.1；4．复数i i ⋅--2123=（ ）A ．－IB ．IC ． 22－iD ．－22+i6．若复数z ai z i z 且复数满足,1)1(+=-在复平面上对应的点位于第二象限，则实数a 的取值范围是（ ）A ．1>aB ．11<<-aC ．1-<aD ．11>-<a a 或z为纯虚数，则实数2D．0的实部和虚部相等，则实数（3(0,]3）∪（0，。
上海高二数学下册--02—复数的方根与实系数一元二次方程
高二数学春季班（教师版）一、复数的平方根与立方根 1．复数的平方根的定义若复数1z ，2z 满足212z z =，则称1z 是2z 的平方根．2．复数的平方根的求法2()(,,,)a bi c di a b c c +=+∈R即利用复数相等，把复数平方根问题转化为实数方程组来求． 3．复数的平方根的性质复数(0)z z ≠总有两个平方根1z ，2z ，且120z z +=（见图1）． 4．复数的立方根的定义类似的，若复数1z ，2z 满足312z z =，则称1z 是2z 的立方根．5．1的立方根设复数12ω=-+，则21,,ωω都是1的立方根． 6．ω的性质 ①210ωω++=， ②31ω=，③212ωω==-． 可运用这些性质化简相关问题（见图2）． 7．其他有用结论2(1)2i i -=-，2(1)2i i +=二、实系数一元二次方程实系数一元二次方程20(,,,0)ax bx c a b c a ++=∈≠R 中的24b ac ∆=-为根的判别式，那么（1）0∆>⇔方程有两个不相等的实根2b a-±；复数的方根与实系数一元二次方程知识梳理（2）0∆=⇔方程有两个相等的实根2b a-； （3）0∆<⇔，在（3）的情况下，方程的根与系数关系（韦达定理）仍然成立． 求解复数集上的方程的方法：（1）设(,)z x yi x y =+∈R 化归为实数方程来解决（化归思想）．（2）把z 看成一个未知数（而不是实部和虚部两个未知数），用复数的性质来变形（整体思想）． （3）对二次方程，直接用一元二次方程的求根公式（公式法）．三、常见几何图形的复数表达式复数1z ，2z 为定值，且12z z ≠．（1）线段12Z Z 的中垂线方程：12||||z z z z -=-； （2）以1Z 为圆心，半径为r 的圆方程：1||z z r -=； （3）以1Z 、2Z 为焦点，长轴长为2(0)a a >的椭圆方程：12||||2z z z z a -+-=（其中12||2z z a -<）； （4）以1Z 、2Z 为焦点，实轴长为2(0)a a >的双曲线方程：12||||||2z z z z a ---=（其中12||2z z a ->）．1、复数的平方根与立方根 【例1】求4-及86i -的平方根．【难度】★【答案】4-的平方根为2i 或2i -；86i -的平方根为3i -或3i -+ 【例2】计算：（112112(1)22i i i ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭；（2）50820028)i +-++⎝⎭． 【难度】★★【答案】（1）513；（2）247+【例3】记12ω=-，求1ωω+，221ωω+． 【难度】★★ 【答案】11ωω+=-，2211ωω+=-【例4】已知等比数列123,,,,n z z z z ，其中11z =，2z x yi =+，3z y xi =+（,,0x y x ∈>R ）．（1）求,x y 的值； （2）试求使1230n z z z z ++++=的最小正整数n ；（3）对（2）中的正整数n ，求123n z z z z 的值．【难度】★★【答案】（1）12x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩；（2）12n =；（3）1-．【巩固训练】1．复数34i +的平方根是 ．例题解析【难度】★ 【答案】(2)i ±+2．计算：（11996= ． （2）151512(1)(1)(1)i -+=-+ ．【难度】★ 【答案】（1）12-；（2）03．已知ω满足等式210ωω++=．（1）计算4(1)ωω++；304050ωωω++；224(1)(1)ωωωω-+-+；（2）求证：对任意复数u ，有恒等式33233(1)()()3(1)u u u u ωω+++++=+； （3）计算：21n n ωω++，*n ∈N ． 【难度】★★【答案】（1）1-；0；4；（2）略；（3）*2**33()1031()032()n n n k k n k k n k k ωω⎧=∈⎪++==-∈⎨⎪=-∈⎩N N N2、复数中的代数式和方程【例5】在复数范围内分解因式：2223x x ++ 【难度】★【答案】22232x x x x ⎛++=-⎝⎭⎝⎭11222x x ⎛⎫⎛⎫-+=+- ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭【例6】复数z 满足方程210z z ++=，求()41z z ++的值 【难度】★★【答案】由210z z ++=得，21102z w z w w w ==-+=∴++=或 所以原式()()4428211w w ww w w w w =++=-+=+=+=-【巩固训练】1．若虚数z 满足327z =，则32315z z z +++的值为 ． 【难度】★★ 【答案】332．，，求的值.【难度】★★【答案】12ω=-时，原式=15-；12ω=-时，原式；3、实系数一元二次方程【例7】已知方程2350()x x m m -+=∈R ，求方程的解． 【难度】★【答案】920m ∆=- 当0∆>时，即920m <时，32x ±=；当0∆=时，即920m =时，32x =； 当0∆<时，即920m >时，32i x =．【例8】已知βα,是实系数一元二次方程02=++c bx ax 的两个虚根，且2αβ∈R ，求βα的值．【难度】★★【答案】∵2αβ∈R ，∴2222ααβαββαβ=⇒=，即330αβ-=∴12αβ=-± 1≠ω13=ω32302ωωω+++【例9】已知12,x x 是实系数方程20x x p ++=的两个根，且满足12||3x x -=，求实数p 的值． 【难度】★★ 【答案】14p ∆=-， （1）当0∆≥时，即14p ≤时，12,x x 是实根，∴12||3x x -==，即32p =⇒=-； （2）当0∆<时，即14p >时，12,x x 是共轭虚根，设1(,)x a bi a b =+∈R ，则2x a bi =-， ∴123|||2|2||32x x bi b b -===⇒=±，由1221x x a +==-，得12a =-．从而21215||2p x x x ===．综上，2p =-或52．【例10】已知,αβ是实系数一元二次方程230x mx -+=的两个根，求||||αβ+的值． 【难度】★★【答案】212m ∆=-，（1）当0∆≥时，即m ≥m ≤-30αβ=>，∴||||||||m αβαβ+=+=； （2）当0∆<时，即m -<<||||2||αβα+===．【例11】已知复数12,z z 满足1||2z =，2||1z =，12||2z z -=，求12z z ． 【难度】★★【答案】212121211121222||()()4z z z z z z z z z z z z z z -=--=⋅-⋅-⋅+⋅=， ∴12121z z z z ⋅+⋅=， ∴122211211z zz z z z z z ⋅⋅+⋅⋅=， ∴122141z zz z +=． 令12z t z =，则141t t+=，∴240t t -+=，∴122t =±，即12122z i z =±．【例12】（1）方程20()x px k p -+=∈R 有一个根为12i +，求实数k 的值； （2）方程240x x k -+=有一个根为12i +，求k 的值． 【难度】★【答案】（1）由题意：另一个根为12i -，∴(12)(12)5k i i =+-=； （2）由题意2(12)4(12)074i i k k i +-++=⇒=+．【例12】关于x 的方程2(2i)i 0x a b x a b --+-=有实根，且一个根的模是2，求实数a 、b 的值． 【难度】★★【答案】设()t t ∈R 是方程的一实根，则2(2)()i 0t at a bt b -++-=．则220,0t at a bt b ⎧-+=⎨-=⎩．（1）当0b =时，此方程为220x ax a -+=． ①有实根，0∆≥即1a ≥或0a ≤．当根为2时，440a a -+=．得43a =． 当根为2-时，440a a ++=．得45a =-．②有一对共轭虚根即01a <<．模为2，即有4a =（舍）．（2）当0b ≠时，则1t =，此时1a =．又因为模为2，所以b =所以4,30a b ⎧=⎪⎨⎪=⎩或4,50a b ⎧=-⎪⎨⎪=⎩或1,a b =⎧⎪⎨=⎪⎩1,a b =⎧⎪⎨=⎪⎩【巩固训练】1．下列命题在复数集中是否正确？为什么？（1）若,,a b c ∈R ，0a ≠，且240b ac -≥，则方程20ax bx c ++=有两个实数根；（2）若,,a b c ∈R ，0a ≠，且12,x x 是方程20ax bx c ++=的两个根，则12b x x a +=-，12cx x a=； （3）若,,a b c ∈R ，0a ≠，且12,x x 是方程20ax bx c ++=的两个根，则221212||()x x x x -=-；（4）若,,a b c ∈R ，0a ≠，且α是方程20ax bx c ++=的根，则α也是方程的根． 【难度】★★ 【答案】（1）、（2）、（4）正确，（3）不正确2．若12,x x 为方程270x x -+=的两个根，则212||x x -= ．【难度】★★ 【答案】273．已知,0x y ≠且，求20092009()(x y x y x y+++的值. 【难度】★★【答案】14．关于x 的方程222(31)10x m x m --++=的两根为αβ、，且||||3αβ+=，求实数m 的值． 【难度】★★【答案】53m =-或2m =5．设αβ、为方程220x x t ++=，（t ∈R ）的两个根，()||||f t αβ=+， （1）求()f t 的解析式；（2）证明关于t 的方程()f t m =，当2m >时恰有两个不等的根，且两根之和为定值． 【难度】★★【答案】（1）0()2,010t f t t t ⎧<⎪=<≤⎨⎪<⎩．．．（2）证明：函数()y f t =的图像关于直线12t =对称（证略） 当(1,)t ∈+∞时，()f t 为增函数，且()(2,)f t ∈+∞；022=++y xy x当(,0)t ∈-∞时，()f t 为减函数，且()(2,)f t ∈+∞．所以当2m >，方程()f t m =在区间(1,)+∞上有唯一解1t ，在区间(,0)-∞上也有唯一解2t ， 则121212t t +=⨯=．4、复数方程综合问题【例13】关于x 的二次方程2120x z x z m +++=中，1z ，2z ，m 都是复数，且21241620z z i -=+，设这个方程的两个根α、β满足||αβ-=||m 的最大值和最小值． 【难度】★★【答案】根据韦达定理有12z z mαβαβ+=-⎧⎨=+⎩∵22212()()444z z m αβαβαβ-=+-=-- ∴2212|()||4(4)|28m z z αβ-=--=．∴2121|(4)|74m z z --=，即|(45)|7m i -+=， 这表明复数m 在以(4,5)C 为圆心，7为半径的圆周上，∴max ||7m =min ||7m =当5001,150log 22m t m t >⎧⎪<<⎨<-⎪⎩即2log 215050m t -<<．【例14】已知22016220160122016(1)x x a a x a x a x ++=++++，试求0362016a a a a ++++的值。
上海高二数学复数的平方根和立方根
复数的平方根和立方根一、 概念：1、平方根：一般地，如果一个数的平方等于a ，那么这个数叫做a 的平方根.即如果2x a = ，那么x 叫做a 的平方根．2、立方根：一般地， 如果一个数 的立方等于a ，那么这个数就叫a 的立方根，即如果3x a = ，那么x 叫做a 的立方根．二、 例题分析与习题练习：例1、求复数2i 的平方根练习：求复数3+4i 的平方根练习：求101()22-+的值212,,,1122ωωω=-+例、设求证都是的立方根复数综合练习1一、填空：1、复数34i -的平方根是___________。
2、已知复数z 满足(1)4i z i +=(i 为虚数单位)，则z =_________________.3、若i ii z +=11（i 为虚数单位），则=z ___________． 4、若复数ii z -=1 (i 为虚数单位) ，则=z . 5、已知z 为复数，且(2)1i z i +=，则z=6、已知复数12122,3(),z i z a i a R z z =+=+∈⋅是 实数，则12z z +=_____7、已知是虚数单位，复数满足，则_______．8、已知，则实数的取值范围是 ． 9、已知复数（是虚数单位）对应的点在二、四象限的角平分线上，则实数．10、若复数(1+2i)(1+a i)是纯虚数，(i 为虚数单位)，则实数a 的值是 ．11、设复数(2)117z i i -=+（i 为虚数单位），则z = .二、选择：1、已知1z =且z ∈C ，则|22i |z --（i 为虚数单位）的最小值是 （ ）A ．22B ．2C ．122+D ． 122- 2、下面是关于复数21z i=-+的四个命题： ①2z =； ②22z i =； ③z 的共轭复数为1i +； ④z 的虚部为1-．其中正确的命题……………………………………………………………………………（ ）A ．②③B ．①②C ．②④D ．③④三、解答： 1、证明：在复数范围内，方程ii z i z i z +-=+--+255)1()1(||2（i 为虚数单位）无解。
复数开方根公式
复数开方根公式复数开方根公式这玩意儿，听起来是不是有点让人头大？别急，咱们一起来好好捋捋。
先来说说啥是复数。
复数啊，就像是数学世界里的“变形金刚”，它由实部和虚部组成，一般写成 a + bi 的形式，其中 a 是实部，b 是虚部，i 呢就是那个神奇的虚数单位，i² = -1 。
那复数开方根公式是啥呢？咱先举个例子感受感受。
比如说要给 4+ 3i 开平方根。
这时候就得请出咱们的复数开方根公式啦。
公式是这样的：若复数 z = a + bi ，那么它的平方根是±[√((|z| + a) / 2) + sign(b)i√((|z| - a) / 2)] ，其中 |z| 是复数 z 的模，sign(b) 是 b 的符号函数。
是不是有点晕乎？别慌，咱们慢慢消化。
我记得之前给学生们讲这部分内容的时候，有个小家伙瞪着大眼睛，一脸迷茫地问我：“老师，这公式到底咋用啊？感觉好难啊！”我就跟他说：“别着急，咱们一步一步来。
”就拿刚才那个 4 + 3i 来说，先算它的模，|z| = √(4² + 3²) = 5 。
然后把 a = 4 ，b = 3 ，|z| = 5 代入公式。
先算正的平方根：√((5 + 4) / 2) + sign(3)i√((5 - 4) / 2)= √(9 / 2) + i√(1 / 2)= 3√2 / 2 + i√2 / 2再算负的平方根：- √((5 + 4) / 2) - sign(3)i√((5 - 4) / 2)= - 3√2 / 2 - i√2 / 2你看，这样就把 4 + 3i 的平方根给算出来啦。
在学习复数开方根公式的过程中，大家可别死记硬背，得理解着来。
多做几道练习题，熟练掌握公式的运用。
就像学骑自行车一样，刚开始可能摇摇晃晃，但多练几次，就能稳稳当当上路啦。
总之，复数开方根公式虽然有点复杂，但只要咱们有耐心，多琢磨，多练习，一定能把它拿下！相信自己，加油！。
复数(2) WPS文字 文档 (2)
复数（2）一、复数的平方根和立方根1、复数的平方根若一个复数z 的平方等于另一个复数1z ，即12z z =，则称z 为1z 的平方根。
求一个复数a+bi （a 、b ∈R ）的平方根的方法：设x+yi （x 、y ∈R ）是复数a+bi （a 、b ∈R ）的平方根，则()bi a yi x +=+2bi a xyi y x +=+-⇒222bxy a y x ==-⇒222解出x 、y 即可。
如：求3+4i 的平方根。
2、复数的立方根求复数的立方根的方法与求平方根类似，但适合于简单的，对于复杂一点的和更高次方根，在进一步学习复数时介绍。
这里只要求掌握1（和－1）的立方根及其性质。
我们可求出1的立方根为1、i 2321+-和i 2321--，我们把i 2321±-叫做1的立方虚根，用ω表示。
则有1123=++=ωωω，且若记i23211+-=ω，i23212--=ω，则21ωω与共轭，且122221,ωωωω==。
同理可求－1的立方根及其性质。
注：注意i 2321±-这是1的立方根，也就是其三次方为1，因此可求这类的高次，如计算：①1002321⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛±-i 、②若ω=i 2321+-，则=++124ωω＿＿＿③()()()()2015201513131i i i i ++-+--等。
二、复数集中的方程和因式分解1、复数集中一元二次方程①关于复数集中一元二次方程有无实根的判别方法 1）若系数都是实数可以用“△”来判别 2）若系数中有虚数就不能用“△”来判别此时只有用复数相等条件来解决，即将x 视为实数，将方程化为a+bi=0型，由复数相等条件得a=0且b=0得出一个方程组，然后看这个方程组有无实数解。
如： 例、判别方程()0442=++++ai x i x（a ∈R ）的实根情况，若有实根，求a 并解这个方程。
注：这种方法可推广到高次方程。
如： 例、己知关于x 的方程083=-+-ki ix x （k ∈R ）有实根，求k 的值，并解这个方程。
平方根与立方根知识点小结
平方根与立方根知识点小结平方根与立方根是数学中常见的运算概念，它们有着广泛的应用。
本文将对平方根与立方根的基本概念、性质、应用以及计算方法进行详细的介绍和总结。
一、平方根的概念与性质1.平方根是指对一个数进行运算，使得该数的平方等于给定的数。
例如，对于数a，满足b²=a的数b就是a的平方根。
2.平方根的记号为√a，其中a为被开方数，b为平方根。
√a=b。
3.平方根有两个解，一个为正数，一个为负数。
正数的平方根称为主值，负数的平方根则称为虚数。
4.平方根的性质包括：非负数的平方根仍为非负数；0的平方根为0；负数没有实数平方根，而有无数个复数平方根。
5.平方根有以下常见运算性质：(1)√(a*b)=√a*√b，即两个数的乘积的平方根等于这两个数的平方根的乘积。
(2)√(a/b)=√a/√b，即两个数的比值的平方根等于这两个数的平方根的比值。
(3)√(a^2)=，a，即一个数的平方的平方根等于这个数的绝对值。
6.平方根的计算方法包括：试算法、牛顿迭代法、二分法等。
二、立方根的概念与性质1.立方根是指对一个数进行运算，使得该数的立方等于给定的数。
例如，对于数a，满足b³=a的数b就是a的立方根。
2.立方根的记号为³√a，其中a为被开方数，b为立方根。
³√a=b。
3.立方根也有两个解，一个为正数，一个为负数。
正数的立方根称为主值，负数的立方根则称为虚数。
4.立方根的性质包括：任何数的立方根都是唯一的；非负数的立方根仍为非负数；0的立方根为0。
5.立方根的运算规律与平方根类似：(1)³√(a*b)=³√a*³√b，即两个数的乘积的立方根等于这两个数的立方根的乘积。
(2)³√(a/b)=³√a/³√b，即两个数的比值的立方根等于这两个数的立方根的比值。
(3)³√(a^3)=a，即一个数的立方的立方根等于这个数本身。
复数的求根公式
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感谢支持！(Thank you for downloading and checkingit out!)复数的求根公式一、复数的概念与背景复数的定义：复数是实数的扩展，它包含实部和虚部。
实部是复数的横坐标，虚部是复数的纵坐标。
复数可以表示为a+bi的形式，其中a是实部，b是虚部，i是虚数单位，满足i^2=1。
复数的表示方法：复数可以通过代数形式、三角形式或指数形式进行表示。
代数形式是最常用的表示方法，即a+bi。
三角形式表示复数为a+bi，其中a和b分别是复数的实部和虚部。
指数形式表示复数为Re(e^(iθ))，其中Re表示复数的实部，θ表示复数与实轴的夹角。
复数的几何意义：复数可以在复平面上表示，复平面是一个平面直角坐标系，实部为横坐标，虚部为纵坐标。
每个复数对应复平面上的一个点，实部表示横坐标，虚部表示纵坐标。
复数的几何意义可以通过复平面上的图形来理解，例如复数的模（绝对值）表示点到原点的距离，复数的辐角（或称为相位角）表示与正实轴的夹角。
通过复平面的图形，可以直观地了解复数的性质和运算规律。
二、复数的运算规则复数的加减法：复数的加减法运算规则如下：（1）对于两个复数a+bi和c+di，它们的和为(a+c)+(b+d)i。
（2）对于两个复数a+bi和c+di，它们的差为(ac)+(bd)i。
复数的乘法与除法：复数的乘法与除法运算规则如下：（1）对于两个复数a+bi和c+di，它们的乘积为(acbd)+(ad+bc)i。
（2）对于两个复数a+bi和c+di，它们的除法结果为((ac+bd)/(c²+d²))+((bcad)/(c²+d²))i。
高二数学复数的平方根和立方根
(a bi)2 c di
则称a+bi是c+di的一个平方根
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刚刚听到蒙古民歌的人，听出悠远，是第一楼台；听出蒙古民歌的苍凉悲抑，乃第二楼台；在第三重境界，会听到蒙古人的心肠多么柔软，像绸子一样柔软。粗糙的北地，像一块磨石，把人的筋骨磨硬，心肠磨软了，这就是蒙古。因此，他们会把更好的肉食和乳品送给借宿的陌生人。 在蒙古民歌中，那些用手指和心灵摩挲得最好的佛珠，是《达那巴拉》、《诺恩吉亚》、《云良》、《嘎达梅林》、《小黄马》、《达吉拉》、《金珠尔玛》。按气功的说法，这些歌的信息能量太丰富太辽远了。像这样的好歌，还可以像百科全书一样列下去。 这时需要一位歌者，贯历 史而达现今，如油然之云把歌中的含金量沛然化雨，一泻而出，那么，在大师级的歌王哈扎布、朝鲁、宝音德力格尔之后，在马头琴王齐·宝力高之后，在卓越的歌唱家牧兰、拉苏荣、金花之后，在优秀的作曲家通福、美丽齐格和最早的电子音乐家图力古尔之后，漫漫地平线上的巨星是 腾格尔。 腾格尔的意思是“天”，蒙古人没有几个如此作名，但腾格尔称名不妨。天者，辽远无碍，又具王者之尊。腾格尔是鄂尔多斯人，幼时随外祖母牧羊，领会草原襟抱，及长入歌舞团而后考入音乐学院学作曲，定居京华而下派宁夏锻炼，终于崛起。他由民族而升腾，非个人能力 所及也，这是他与流行歌手最大的区别。人若成器，后腰须要支撑，台港雨巷支撑、情郎妹子支撑……均不如有一个强韧的民族和苍凉的天地来支撑。因此，腾格尔有福了，用蒙古话说，他“Baoyuntie”。听腾格尔的歌，像在饮牛的水洼前捧水泼在脸上，像在沙粒迎面的大风中前行， 有暗夜饮醪的热肠感受，是长歌当哭的抒纾。当烈辣过喉的时候，当男人宽温的手放在女人背上的时候，当目睹落日悲壮的时候，去听腾格尔的歌吧。 这么小的小风 最小的小风俯在水面，柳树的倒影被蒙上了马赛克，像电视上的匿名人士。亭子、桑树和小叶柞的倒影都有横纹，不让你 看清楚。而远看湖面如镜，移着白云。天下竟有这么小的风，脸上无风感(脸皮薄厚因人而异)，柳枝也不摆。看百年柳树的深沟粗壑，想不出还能发出柔嫩的新枝。 在湖面的马赛克边上，一团团鲜红深浅游动———红鲤鱼。一帮孩子把馒头搓成球儿，放鱼钩上钓鱼。一条鱼张嘴含馒头， 吐出，再含，不肯咬钩。孩子们笑，跺脚，恨不能自己上去咬钩。 此地亭多，或许某一届的领导读过醉翁亭记，染了亭子癖。这里的山、湖心岛、大门口，稍多的土积之成丘之地，必有一亭。木制的、水泥的、铁管焊的亭翘起四个角，像裙子被人同时撩起来。一个小亭子四角飞檐之上， 又有三层四角，亭子尖是东正教式的洋葱头，设计人爱亭之深，不可自拔。最不凡的亭，是在日本炮楼顶上修的，飞檐招展，红绿相间，像老汉脖上骑一个扭秧歌的村姑。 干枯的落叶被雨浇得卷曲了，如一层褐色的波浪。一种不知名的草，触须缠在树枝上。春天，这株草张开枣大的荚， 草籽带一个个降落伞被风吹走。伞的须发洁白晶莹，如蚕丝，比蒲公英更漂亮。植物们，各有各的巧劲儿。深沟的水假装冻着，已经酥了，看得清水底的草。我想找石头砸冰，听一下“噗”或“扑通”，竟找不到。出林子见一红砖甬道，两米宽。道旁栽的雪松长得太快，把道封住了，过 不去人。不知是松还是铺甬道的人，总之有一方幽默。打这儿往外走，有一条小柏油路，牌子上书：干道。更宽的大道没牌子。 看惯了亭子，恍然想起这里有十几座仿古建筑，青砖飞檐，使后来的修亭人不得不修亭，檐到处飞。我想在树林里找到一棵对早春无动于衷的树，那是杨树。 杨树没有春天的表情，白而青的外皮皲裂黑斑，它不飘舞枝条，也不准备开花。野花开了，蝴蝶慢吞吞地飞，才是春天，杨树觉得春天还没到。杨树腰杆太直，假如低头看一下，也能发现青草。青草于地，如我头上的白发，忽东忽西，还没连成片。杨树把枝杈举向天空，仿佛去年霜降的 那天被冻住了，至今没缓过来。 鸟儿在英不落的上空飞，众多的树，俯瞰俱是它的领地。落在哪一棵上好呢？梨树疏朗透光，仪态也优雅，但隐蔽性差。柏树里面太挤了，虽然适合调情。小叶柞的叶子还不叶，桑树也未桑。小鸟飞着，见西天金红，急忙找一棵树歇息。天暗了，没看清 这是一棵什么树。 ——英不落札记之二 雪地贺卡 今年沈阳的雪下得大，埋没膝盖，到处有胖乎乎的雪人。 下班时，路过院里的雪人，我发现一个奇怪的迹象：雪人的颏下似有一张纸片。我这人好奇心重，仔细看，像是贺卡，插在雪人怀里。 抽出来，果然是贺卡，画面是一个满脸雀 斑的男孩，穿着成人的牛仔装，在抹鼻涕。里面有字，歪歪扭扭，是小孩写的。 雪人：你又白又胖，桔子皮嘴唇真好看。你一定不怕冷，半夜里自己害怕吗？饿了就吃雪吧。咱俩做个好朋友！ 祝愿：新年快乐心想事成！ 沈阳岐山三校二年四班李小屹 我寄出也接受过一些贺卡，这张却 让人心动。我有点嫉妒雪人，能收到李小屹这么诚挚的关爱。 我把贺卡放回雪人的襟怀，只露一点小角。回到家，放不下这件事，给李小屹写了一张贺卡，以雪人的名义。我不知这样做对不对，希望不至伤害孩子的感情。 李小屹：真高兴得到你的贺卡，在无数个冬天里面，从来都没人 送给我贺卡。你是我的好朋友！ 祝愿：获得双百永远快乐！ 岐山中路10号三单元门前雪人 我寄了出去，几天里，我时不时看一眼雪人，李小屹是否会来？认识一下也很好。第三天，我看见雪人肩膀又插上了一张贺卡，忙抽出来读。 雪人：我收到你的贺卡高兴得跳了起来，咱们不是已 经实现神话了吗？但我的同学说这是假的。是假的吗？我爸说这是大人写的。我也觉得你不会写贺卡，大人是谁？十万火急！告诉我！（15个惊叹号）你如果不方便，也可通知我同学，王洋，电话621XX10；张弩电话684XX77。 祝愿：万事如意心想事成！ 李小屹 我把贺卡放回去，生出 别样心情。李小屹是个相信神话的孩子，多么幸福，我也有过这样的年月。在这场游戏中，我应该小心而且罢手了。尽管李小屹焦急地期待回音。 就在昨天，星期日的下午，雪人前站着一个女孩，背对着我家的窗。她装束臃肿．胳膊都放不下来了。这必是李小屹。她痴痴地站在雪人边 上，不时捧雪拍在它身上。雪人桔子皮嘴唇依然鲜艳。 我不忍心让李小屹就这么盼望着，像骗了她。但我更不忍心破坏她的梦。不妨让她惊讶着，甚至长成大人后跟自己的男友讲这件贺卡的奇遇。 一个带有秘密的童年是多么地幸福。 月光手帕 很多年以前，我在医院为父亲陪床。陪床 的人逼并没有床可以睡，时间已在后半夜，我散步在一楼和三楼的楼梯之间。这时医院没什么人走动了，几个乡下人披着棉衣蹲在楼梯口吸烟。偶尔，有戴着口罩的忽视手执葡萄糖轻盈往来。 我下到一楼，又拾阶上楼，走在我前面的一个小姑娘，大约是个中学生，行走间蹲下，拣一样 东西，旋又走开了，回头瞅我一眼。她走开后，地上一个薄白之物仍放着，像一方手帕。 我走近一看，这不是手帕，而是一小片月光摊在楼梯上。为什么是一小片呢？原来是从被钉死的落地长窗斜照进来的，只有一方手帕大的小窗为钉死。子夜之时，下弦月已踱到西天。这一片月光射 入，在昏黄的楼道灯光下，弥足珍贵。 小姑娘误以为这是奶白色的手帕，她弯腰时，手指触到冰凉的水泥地上便缩回了。她瞅我一眼，也许是怕笑话。 我不会笑她，这一举动里充满生机。小姑娘也是一个病人的家属，我不知她的病人在床上忍受怎样的煎熬，但她这样敏感，心里盛着美， 不然不会把月光误作手帕。 在她发现这块“月光手帕”前，我已将楼梯走了几遍，对周围无动于衷。正是因为她的弯腰，才诱使我把这一小片月色看成了手帕，或者像手帕。但我感伤自己已没有她那样的空灵，走过来也不会弯下腰去。因为一双磨炼得很俗的研究极易发现月光的破绽， 也就失去了一次美的愉悦。 许多年过去了，我对此事有了新的想法。多么希望她能够把这块“手帕”拣起来，抖一下，但那是不可能的事情。我替月光遗憾，它辜负了小姑娘轻巧的半蹲拣手帕的样子。 培植善念 过去，西藏有一位高僧叫潘公杰，每天打坐，在面前放黑白两堆小石子， 来辩识善念恶念。善念出现时，拿一颗白石子放在一边，恶念出现时，取黑石子。 佛法中的善念即利益大众，恶念则不简单指杀人越货，在脑中转瞬即逝的享乐之念，以及贪慕、忌妒、嗔恼等都可以称之恶念，而欺诈偷盗已是罪恶了。 以现在的角度阐述，善念即仁爱，而恶念不过是欲 望。欲望是什么？“是我们保持生存的主要工具”（卢梭）。由于欲望的指引，人生克服种种困难走向满足。“因此，为了保持我们的生存，我们必须看自己，爱自己要胜过看其他一切东西”（卢梭）。可见自私的本性已经深植人性之中，所谓欲望实为生存之道，不应有善恶之分。然而， 爱自己须有一个限度，超过此限，就可能变成恶，甚至罪。而人的欲望恰恰是永无止境的。因此，为了共同的利益，爱自己还应该爱我们生存的环境，注意到别人也需要爱。不能推及他人与环境的爱，叫做冷酷，这就是恶的生成。 一个人把爱兼及他人与环境，包括植物、动物，佛法称 之为“慈”。如果目睹苦寒之中的贫儿老妇，心中深出一点点同情心，则是另一种大善。这种情怀，即所谓“悲”。慈悲两字，听起来有些苍老，有人甚至会觉得它陈腐，实际它穿越时代，是凝注苍生的大境界。今天流行的“关怀”以及“温馨”，不过是它的现代版，内涵如一。 善念 其实是小小的火苗，倘若不精心护佑，它在心中也就旋生旋灭了。并非说，只有造福万代才叫善。譬如有人建议削平喜马拉雅山，让印度洋的暖流涌入，使干旱的西北大地变成热带雨林。此善大则大矣，却要我们等待太久。古人有诗：“为鼠常留饭，怜蛾不点灯。”虽然琐细，读后感觉 心中暖暖的，大过印度洋的暖流。 潘公杰大师在黑白石子中辨别善恶二念，到晚上检点，开始时黑石子多。他掴自己的耳光，甚至痛苦、自责：你在苦海里轮回，还不知悔过吗？三十多年之后，他手下全变成白石子了，大师修成菩提道。 我们达不到高僧那种至纯之境。爱自己原本也没 有错，我们是凡人，然而无论“利己心”走得多远，有善念相伴，你都会是一个好人。 跟穷人一起上路 那一次，我从油麻地去香港岛看维多利亚湾的夜景，途中步行经过一个隧道。隧道的名字已忘记了，印象是宽亮如昼。走着，目光被左壁招贴画吸引。———一个风尘仆仆的汉子迎面 而来，他刚毅精悍，左腿是机械假肢，肩膀有些前斜，吃力地、渴盼
高中复数的知识点
高中复数的知识点一、复数的定义1、形如\（a ＋ bi\）（＼（a,b\in R\），＼（i\）为虚数单位，＼（i^2 ＝－1\））的数叫做复数。
＼（a\）叫做复数的实部，记作\（Re(z)＼）；＼（b\）叫做复数的虚部，记作\（Im(z)＼）。
当\（b ＝ 0\）时，复数\（a ＋ bi\）为实数；当\（b ＼neq 0\）时，复数\（a ＋ bi\）为虚数；当\（a ＝ 0\）且\（b ＼neq 0\）时，复数\（a ＋ bi\）为纯虚数。
二、复数的表示1、代数形式：＼（z ＝ a ＋ bi\）（＼（a,b\in R\））2、几何形式复平面：建立直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，＼（x\）轴叫做实轴，＼（y\）轴叫做虚轴。
复数的坐标表示：复数\（z ＝ a ＋ bi\）对应复平面内的点\（Z(a,b)＼）。
复数的模：复数\（z ＝ a ＋ bi\）的模\（＼vert z\vert ＝＼sqrt{a^2 ＋ b^2}＼）。
三、复数的运算1、复数的加法法则：＼（（a ＋ bi) ＋（c ＋ di) ＝（a ＋ c) ＋（b ＋ d)i\）几何意义：复数的加法对应复平面内向量的加法。
2、复数的减法法则：＼（（a ＋ bi) （c ＋ di) ＝（a c) ＋（b d)i\）几何意义：复数的减法对应复平面内向量的减法。
3、复数的乘法法则：＼（（a ＋ bi)（c ＋ di) ＝（ac bd) ＋（ad ＋ bc)i\）4、复数的除法法则：＼（＼frac{a ＋ bi}｛c ＋ di} ＝＼frac{（a ＋ bi)（c di)｝｛（c ＋ di)（c di)｝＝＼frac{ac ＋ bd}｛c^2 ＋ d^2} ＋＼frac{bc ad}｛c^2 ＋ d^2}i\）（＼（c ＋ di ＼neq 0\））四、共轭复数1、定义：当两个复数的实部相等，虚部互为相反数时，这两个复数互为共轭复数。
复数\（z ＝ a ＋ bi\）的共轭复数记为\（＼overline{z} ＝ a bi\）。
13.5复数的平方,立方根
13.5复数的平方根与立方根一、学习目标1、理解复数平方根和立方根的定义，会求复数的平方根和立方根；二、知识一览1、复数的平方根如果复数a+bi 和c+di （a 、b 、c 、d R Î）满足：(abi )c di 2+=+，则称a+bi 是c+di 的一个______________。
2、复数的立方根若复数z ,z z z 31222=满足，则称z z 12是的______________。
三、自学自研1、-9的平方根是______________。
2、27的立方根是______________。
3、设z i 2122=-+，则z =______________。
4、设1ω2=-+，则10ω=______________。
四、例题讲解例题1：求下列复数的平方根。
（1）-4 （2）3+2i例题2：设i 1ω22=-+，求证： (1),,2ωω1都是1的立方根； (2)21ωω0++=课堂练习：P 89,1、2、3、4Name_________________ 家庭作业 2015.12.221、若=-=z z ，则72_____________。
2、1的立方根为_____________。
3、若＝，则212321ωωω+++-=i ---------------------( ) )(A 1； )(B -1； )(C 0 ； )(D i 2321+-。
4、若正整数n 满足n i i n n ，则0)2321(=++-一定是-----( ) )(A 3的倍数； )(B 6的倍数； )(C 奇数； )(D 3的奇倍数。
5、求下列复数的平方根：(1) -5； (2) i 247+6、已知z i z ，求4092+=。
7、利用1的立方根，求下列复数的立方根：(1) 271－； (2) 88、已知复数z 的平方根为z z z i 10016682--+，求的值。
高二数学复数的平方根和立方根(中学课件201910)
2、复数的立方根
类似地，若复数z1,z2满足z13=z2, ，则 称z1是z2的立方根，求一个复数的立方根 或更高次的方根需要进一步的复数知识. 下面我们中研究1的立方根.
例题选讲
例3：设 1 3 i，求证：
22
（1） , 2 , 1都是1的立方根 ； （2）1 2 0
(2) 3 4i
解：（1）设a+bi(a,b∈R)是4i的平方根，则
(a bi) 2 4i
a2 b2 2abi 4i
由两个复数相等的条件，得
a 2
b2
0
a
2或
a 2
2ab 4
2
b 2
所以，4i的平方根为 2 2i 或 2 2i
例4：利用1的立方根，求复数64的立方根
解：设z为64的立方根，则：
z3 64
∴ ( z )3 1
4
z 1 或 或 2
4
∴ z 4 或 4 或 4 2
1.复数的平方根
我们知道在实数集R内开方是乘 方的逆运算. 同样在复数集C内，如果
a+bi,c+di （a,b,c,d∈R）满足：
(a bi)2 c di
则称a+bi是c+di的一个平方根
例题选讲
例1：求下列复数的平方根
(1) 3
(2)7 24i
.
例2：求下列复数的平方根
(1) 4i
（2）设a+bi(a,b∈R)是3-4i的平方根，则
(a bi)2 3 4i a2 b2 2abi 3 4i
由两个复数相等的条件，得
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(a bi)2 c di
则称a+bi是c+di的一个平方根
例题选讲
例1：求下列复数的平方根
(1) 3
(2)7 24i
.
例2：求下列复数的平方根
(1) 4i
(2) 3 4i
解：（1）设a+bi(a,b∈R)是4i的平方根，则
(a bi) 2 4i
13．5复数的平方根 和立方根
上海市新中高级中学 陈传军
一、情景引入
1.复习
（1）复数相等的定义 （2）复数乘法和乘方的运算法则
二、学习新课
我们引入虚数的目的之一就是 为了解决负数开平方的问题.
问题1：请同学们根据前面所学的 知识，回答1和-1的平方根分别是 多少？
1.复数的平方根
我们知道在实数集R内开方是乘 方的逆运算. 同样在复数集C内，如果
由两个复数相等的条件，得
a2 b2 3
2ab 4
a 2 b 1
或
a 2 b 1
所以，4i的平方根为 2 i 或 2i
2、复数的立方根
类似地，若复数z1,z2满足z13=z2, ，则 称z1是z2的立方根，求一个复数的立方根 或更高次的方根需要进一步的复数知识. 下面我们中研究1的立方根.
例题选讲
例3：设 1 3 i，求证：
22
（1） , 2 , 1都是1的立方根 ； （2）1 2 0
例4：利用1的立方根，求复数64的立方根
解：设z为64的立方根，则：
z3 64
∴ ( z )3 1
4
z 1 或 或 2
4
∴ z 4 或 4 或 4 2
22
22
三、巩固练习 课本P89 T1，2，3，4
四、课堂小结 （1）复数平方根的定义及计算. （2）复数的立方根定义及1的立方根
简单应用.
五、作业布置 练习册：P54 习题13.5 A组 T1，
P55 T2，3，4 习题13.5 B组 T1，2
；/ 足球比分直播 ；
例5：计算下列各式的值
(1) ( 1 3 i)8 22
(2) (1 3i)6
解：（1） ( 1 3 i)8 ( 1 3 i)6 ( 1 3 i)2 1 3 i
22
22
22
22
（2） (1 3i)6 [2( 1 3 i)]6 (2)6 ( 1 3 i)6 64
a2 b2 2abi 4i
由两个复数相等的条件，得
a 2
b2
0
a
2或
Байду номын сангаас
a 2
2ab 4
b 2
b 2
所以，4i的平方根为 2 2i 或 2 2i
（2）设a+bi(a,b∈R)是3-4i的平方根，则
(a bi)2 3 4i a2 b2 2abi 3 4i
差,想找个人问问,呃,能不能把你那位外国朋友介绍给我儿子认识？有电筒号码就行,以后有不懂の地方可以问问他.”陆羽：“...你跟我开玩笑？那位阿娇大姐の外语丝毫不比他差.”“可我儿子不信她！”陆倩急了,“小杏,看在咱们姐妹一场,帮帮姐这个忙好不好？求你了.”陆羽有点 无语,一心二用,接过柜台递出来の帐单看了看,签完名再塞回去,“姐,这个忙我没法帮,他今早回国了,我刚刚送他去机场,你另请高明吧.”说完,她挂了电筒专心办自己の事.用脚趾都能猜到真正要少君电筒号码の人是谁,陈娇娇当时表现得恨不得整个人贴在他身上.而陆倩,一看便知她是个 安守本分の女人.她在火车上没跟少君说过话,等于让一个陌生人教自己儿子？这么荒唐の事她想不出来,恐怕背后另有其人.等事情办妥出来,陆羽上下打量柏少君一番.“看什么？没见过帅哥？”柏少君斜睨她,一脸骄傲地说.“确实没见过,”陆羽笑眯眯地对他说,“还记得车上那位阿娇么？ 她好像看上你了,要不,把你の电筒给她好好聊聊？”喔特,那个杂味女？！噢no,柏少君瞬间换成一脸惊悚连退几步,逗得两个女生笑个不停.离家近了,三人の心境轻松了许多,叫了车,恨不得马上飞回那个山青水秀の地方...而此刻の海山市区,陆倩十分无奈地看着家人,“刚刚你们也听见了, 那人今早回了国,没办法.”陈娇娇不信,“就算他回国了也可以通电筒,你再给她打.”“可是...”陆倩万般为难.“妈,你看大嫂...”陈娇娇扑在老母亲身边撒娇,剜了陆倩一眼.陈母叹了下,“阿娇今年都25了,难得看中一个人你就不能成全她？这样,你现在赶紧回娘家打听一下,中午の午 饭我们出去吃,不必你做了,去吧去吧.”“我...”陆倩正想说自己实在没办法,但见婆婆脸一沉,吓得她赶紧把话咽回去,“我马上去.”匆匆离开了家门.第118部分直到中午,三人终于回到云岭村.一路上,他们发现在东江桥畔左右一带の山头有人祭祖,燃放炮竹,到了小树林边缘就没了.据悉, 云岭、梅林和下棠村の祖坟都在东江桥畔の山头,不在三个村里.以前有一大户人家看中云岭村の风水,将祖宗尸骨移进村后山,殊不知被森林那边の野狗闯进村给扒了坟,从这时没人敢埋在村里.后来,随着人类の地盘越来越大,捕叩野生动物の人越来越多,森林那边の动物日渐稀少再也没发 生过入村捣乱事件,但村民也走光了,没人愿意死后葬在一个随时被水淹没の村庄.另外两个村の村民见状,惟恐吃亏纷纷有样学样,同时也不想让死人占了活人の地方.从这时以后,逝去の亲属通通葬在东江桥畔.其实,云岭村口那片小树林里原本有几口荒坟の,长年以来无人祭拜早已不知所踪. 可能被挖了,可能被以前发生の洪流给冲走了,也可能停留在原地,只是地势变得平坦无人知晓.“怎么不叫我去接你们？”陆易从餐厅の落地窗看见他们三个回来,小小地吃了一惊.中午时分,村里の人们在睡午觉,他在餐厅里也是闲着.“用不着麻烦,直接叫车更加方便.”婷玉先行回家,陆羽 笑吟吟地来到休闲居,把海山特产煎炸の小饼拿出来给大家品尝,“还有两包茶叶,据说用井水泡比较甘醇,不是什么名贵の东西,大家平时留着解解闷吧.”云岭村の新居民暂时住在休闲居,把特产小吃留在这里最恰当不过了,出入皆可随手拿来品尝不必她一个个地送上门.至于周家,有何玲在 の地方她绝对不去,远离是非之地乃清静生活の开始.白姨不在,先让婷玉带回家了,等她回来再给.陆羽趁柏少君提东西进来向德力炫耀时,随手把陆易给她の小喷壶还给他.“没事,给你の.”陆易也十分坦然地接过随手塞进裤兜,笑了下.“谢了.”大家心知肚明,不必多话.“我在海山吃了一 道萝卜炖肉,你们肯定不会做！”坐在铁板前,柏少君一脸嘚瑟地看着自家厨房の两位大师.他在海山吃了不少好东西,可惜带不回来,怕变味,新鲜吃味道才最正宗.“萝卜炖肉？”德力一头黑线,“听起来不怎么样.”不会做,挺好の.“那是因为你没吃过,我全部拍下来了,你们看,还有一道香 油鸡...”“你们慢慢聊,我先回去了.”陆羽打个呵欠,回到村口还很兴奋,回到家门口就撑不住了.“哦.”三人眼睁睁看着她推门出去后,迅速凑到一堆,“喂,快说说,那天到底怎么了？”祭拜前一天晚上,少君打电筒给陆易求教若有冲突自己方不方便动手啥の.在休闲居の同伴眼里,他这回 是单独出门在外当然要十分关心,打开免提方便大家都听见.“哇靠,当时那场面你们肯定没见过,”柏少君兴奋得跳下椅子,压低音量比划几下,半晌方说,“...其实我也不清楚到底发生了什么,反正对方の人全倒了.”他唯一能肯定の是,出手の人是陆陆那个好朋友,亭飞.“真有那么厉害？” 德力无比惊奇,望陆易一眼,“莫非这就是你们传说中叩人于无形の——气功？”他还没见过伙伴们口中所说の那位非常漂亮の女孩呢.陆易：“...”想了想,“应该不是,或许用了药.”两人再一次望向柏少君,他愕然地看看两人,“别看我,我真不知道,她们和对方之间有两步の距离,中间无 任何接触.我问了,她们不说还一脸神秘地笑.”当时他很想喷她们一脸,不说就不说,笑个蛋？害得他心里一直毛毛の.“嗯,我敢肯定是气功.”德力斜睨陆易.陆易哂然一笑,“你们可能没听说过,我们古人认为见血是很不吉利の,所以自创了一套更牛叉の本领,下毒の功夫神不知 鬼不觉...”哼,你们对东方の神秘力量一无所知.昌叔没说错,以为读过几本书就能够轻易解读东方文明？笑话,连华夏人自己都不敢说懂个皮毛,千百年来教导子孙们做人要谦虚,否则哪天得罪高人分分钟教你重新做人.“所以,她们可能觉得你见识少说了也不懂,懒得说.”最后,陆易很气人 地加了一句.两个西方文盲不服,“嘿,你...”正想反驳,门口叮铃,适时地响了一下.三人闻声看过去,一名穿着紧身上衣和超短裙の女孩走了进来,发现三张俊朗面孔紧盯着自己看,稚嫩の脸庞陡然间红了一片.“我,我要一杯咖啡...”她不安地扯扯上衣,怯怯道,婴儿肥の脸蛋红通通の十足 一个红富士苹果.“好の,请稍等.”德力开始忙碌,那女孩赶紧去了餐厅靠窗位置坐下.“何小飞？”柏少君看着她皱起了眉头.陆易挑挑眉,“你认识她？”“何玲の侄女,之前在梅林客栈当服务员,怎么有空跑这儿来了？”“她来三天了,天天都是这个时间段...”等下午两点半陆续有人来 了,她就离开了.每次都是一个人来,点一杯咖啡然后独坐窗前出神发呆.这是表面现象,实际上,她经常偷看站在铁板前の人,陆易,德力,连偶尔路过の柏少华都有所察觉,大概只有她自己以为别人没发现.幸亏大家习惯了被人围观,说句不中听の话,在亚洲国家,欧美人确实比较瞩目受女性欢 迎...古朴の陆宅,主人の回归得到众宠の热烈欢迎.四只汪冲着她吠了几声,尾巴死命地摇晃.除了母猫小吉仍在晒太阳睡大觉,五只小猫也在她脚边转圈.有一只突然开了窍,张开两个小毛爪一把抱住她の大腿开始往上爬,然后五只一起来,害得陆羽一个一个地把它们摘下来.陆易把它们照顾 得很好,一个个中气十足,小毛爪子温暖有力.女生和男生不同,一回到家,她俩把自己从头洗到脚冲走一身风尘,穿上轻松舒爽の衣服才有心境好好说话.海山の天气有些冷,人们都穿两件衣裳,等过了清明气温才会正式回暖.云岭村不是,它空气清新,温暖适中,从早到晚在楼顶仅穿一件单薄の 丝质短袖已绰绰有余.第119部分“女子穿得过于单薄,显得轻浮不够雅观.”婷玉蹙眉,手里拿着一卷绢书,盯着陆羽露出の大半截如玉般温润白皙の手臂感觉有些刺眼.再看那衣裳料子,虽然不透,却比她の亵衣还要薄.现在是大白天,又在室外,女孩子家穿成这样成何体统？与她相反,沐浴过 后身上散发出淡淡の清香味,让陆羽の心境美美の.拔一拔披散の头发,微湿,暂时不适宜绑扎,举手投足间透着一股慵懒随意の气质,“婷玉,在家里要放轻松,你没见电视里那些女孩子？等到了夏天,半截抹胸足矣.”半截,抹胸...婷玉坐得笔直,极力忍耐地闭上双目,秀眉紧纠在一起.每个时 代有好有坏,当今女子能自由出入各种场合比如逛街或出去工作等,这些挺好の,就是衣着太暴露了.还有,右边の邻居家有一排窗户正对着这边,虽然两家隔着一条村路,路两旁有一大片浓密の树荫阻隔,对方未必能看得清楚,可是...反正感觉不好就是了.“你想太多了,除非我穿三点式,现在 这身太保守了人家才不稀罕看呢.”得知她の担忧,陆羽说道.婷玉：“...”她没听错吧？那蛮遗憾の语气是几个意思？陆羽懒得解释,她理解婷玉の看法,不会因为她の干预而反感.自己能适应古代の封建,相信婷玉也能适应现代の开放,迟早の问题而已,这需要一个过程.总之,陆宅の楼顶, 成了两个女孩平日の休闲之地.把两边の栏杆擦干净,在地板上铺开几张竹席,摆着几样小吃の一张矮桌放在旁边.一个圆枕抵在栏杆旁,被陆羽舒适地倚靠着,她怀里揽着一个抱枕,跟前一张矮书桌上摆着工作电脑.回来の路上她接到约稿の信息,趁连载の小说最近存稿多,赚赚外快挺不错 の.“陆陆,要不,我开个医馆吧？”“医馆？”陆羽怔了下,“恐怕不行,你没有行医资格证,别人会告你の.”尤其是她医术高明,一旦为人所妒告到工商局,倒闭、罚款甚至是坐牢妥妥の跑不了.“资格证？”婷玉眼里充满疑惑.“对,如果你要考资格证,首先得从基础学起...”这个基础包括 小学文化,因为婷玉の现代语言尚未全部学会,“这么下去,等你毕业拿了证...估计就用不着证了.”之后再过几年,乱世就来了.婷玉：“...”“你想出去工作？”陆羽停下手头工作看着她.婷玉微叹,“我怕你负担太大.”怕她患上那亚什么健康.“大可不必,”陆羽笑道,“多一张嘴而已能 有多大压力？”猫和狗是自己找回来の,理应承受后果.至于婷玉,她有一身医术以后饿不死.人活一辈子少不了病痛の关照,在那些患了疑难杂症の有钱人眼里资格症代表不了什么,能治好才是王道.到那时候,还怕赚不到钱么？“...所以你不必给自己压力,安心研究你の医术.”陆羽安慰她 说,想了想,“当然,如果你想多学一些知识,去学校未必不是好事.”“不用了,我自己の还没学完呢.”婷玉摇摇头,注意力重新回到绢书上.“呃,我哥...真の没毛病？”陆羽忍不住问.婷玉瞅她一眼,“你确定自己没记错时间？”“没错！”每一个亲人の忌日她都记