【数学】江西省南昌市八一中学、洪都中学2018-2019学年高一上学期期末考试试题
江西省南昌市八一中学2019届高三上学期期末考试数学(理)试题Word版含答案
2 倍 (纵坐标不
变），再把得到的图象向左平移
个单位长度， 所得函数图象关于 x
对称，则 （
）
6
2
5
A．
12
B．
3
C．
3
5
D．
12
11．已知定义域为 R 的奇函数 f (x) ，当 x 0 时， f ( x) 2 f (x 3) ，当 3 x 0 时，
f ( x) log3 (1 x) ,则 f (2018) （ ）
D． 4 2
x2 5．过点 (2, 2) 且与双曲线
y 2 1有共同渐近线的双曲线方程是（）22yA．2
2
2
x
1
x
B．
4
4
2
y1 2
2
y
C．
4
2
x1 2
2
x
D．
2
2
y1 4
6． ABC 的内角 A, B, C 的对边分别为 a,b, c ，若 C
面积为（
）
，c 3
7 ， b 3a ，则 ABC 的
1
15．已知 sin cos 1 ， cos sin
3 ，则 sin(
) __________．
16．已知三棱锥 P ABC 满足 PA 底面 ABC ， ABC 是边长为 4 3 的等边三角形， D
是线段 AB 上一点，且 AD 3BD ．球 O 为三棱锥 P ABC 的外接球，过点 D 作球 O 的
截面， 若所得截面圆的面积的最小值与最大值之和为
34 ，则球 O 的表面积为 __________．
三、解答题：本大题共
6 大题，共 70 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算
2018-2019学年江西省南昌市八一中学、洪都中学等七校高二(上)期末数学试卷(文科)解析版
2018-2019学年江西省南昌市八一中学、洪都中学等七校高二（上）期末数学试卷（文科）一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.在平面直角坐标系xOy中，点P的直角坐标为．若以圆点O为极点，x轴正半轴为极轴建立坐标系，则点P的极坐标可以是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】解：∵P的直角坐标为．∴=2，tanθ=，θ在第三象限，∴θ=，∴点P的极坐标为（2，）．故选：D．利用直角坐标和极坐标的互化公式直接求解．本题考查点的极坐标的求法，考查极坐标、直角坐标的互化公式等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．2.双曲线-=1的渐近线方程是（）A. y=±B. y=±2xC. y=±xD. y=±x【答案】D【解析】解：根据题意，双曲线的方程为-=1，其焦点在y轴上，且a=2，b=2，则该双曲线的渐近线方程为y=±x；故选：D．根据题意，由双曲线的标准方程分析可得a、b的值以及焦点位置，进而由其渐近线方程计算可得答案．本题考查双曲线的几何性质，涉及双曲线的渐近线方程的求法，注意分析双曲线的焦点的位置．3.条件p：x≤1，且￢p是￢q的充分不必要条件，则q可以是（）A. x＞1B. x＞0C. x≤2D. -1＜x＜0【答案】D【解析】解：若￢p是￢q的充分不必要条件，即q是p的充分不必要条件，则q对应的范围是p对应范围的真子集关系，则-1＜x＜0满足条件，故选：D．根据充分不必要条件的定义，转化为对应集合子集关系进行求解即可．本题主要考查充分条件和必要条件的应用，以及逆否命题的等价转化问题，结合条件转化为集合关系是解决本题的关键．4.已知函数f（x）的导函数f'（x）的图象如图所示，那么f（x）的图象最有可能的是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】解：由导函数f'（x）的图象得：在（-∞，-2）上，f'（x）的图象在x轴下方，即f′（x）＜0，则f（x）递减，在（-2，-1）上，f'（x）的图象在x轴上方，即f′（x）＞0，则f（x）递增，在（-1，+∞）上，f'（x）的图象在x轴下方，即f′（x）＜0，则f（x）递减，故选：B．根据题意，由函数导函数的图象分析导数的符号，由导数与函数单调性的关系，分析可得函数f（x）的单调性，即可得答案．本题考查函数的导数与函数单调性的关系，注意所给的函数图象为函数的导函数图象．5.若实数x，y满足，则3x+y的最大值为（）A. 9B. 10C. 11D. 12【答案】C【解析】解：作出实数x，y满足对应的平面区域如图：由z=3x+y得y=-3x+z，平移直线y=-3x+z，由图象可知当直线y=-3x+z，经过点A时，直线的截距最大，此时z最大．由，解得即A（3，2），此时z max=3×3+2=11，故选：C．作出不等式组对应的平面区域，利用z的几何意义，利用数形结合，即可得到结论．本题主要考查线性规划的应用，利用数形结合是解决本题的关键．6.下列说法不正确的是（）A. 若“p且q”为假，则p，q至少有一个是假命题B. 命题“∃x∈R，x2-x-1＜0”的否定是““∀x∈R，x2-x-1≥0”C. 设A，B是两个集合，则“A⊆B”是“A∩B=A”的充分不必要条件D. 当a＜0时，幂函数y=x a在（0，+∞）上单调递减【答案】C【解析】解：A、p且q为假，根据复合命题的判断方法知，p，q至少有一个为假，故A正确；B、根据特称命题的否定形式知B正确；C、当A⊆B可得A∩B=A，反之，当A∩B=A时，也可推出A⊆B，所以“A⊆B”是“A∩B=A”的充要条件，故C错误；D、由幂函数的性质易知D正确．故选：C．逐项判断即可．本题考查命题的判断，充分必要条件等知识．考查学生对基本知识的掌握和运用．属于基础题．7.函数f（x）=x3+ax-2在区间（-1，+∞）内是增函数，则实数a的取值范围是（）A. [0，+∞）B. [-3，+∞）C. （-3，+∞）D. （-∞，-3）【答案】A【解析】解：f′（x）=3x2+a，根据函数导数与函数的单调性之间的关系，f′（x）≥0在（-1，+∞）上恒成立，即a≥-3x2，恒成立，只需a大于-3x2的最大值即可，而-3x2在（-1，+∞）上的最大值为0，所以a≥0．即数a的取值范围是[0，+∞）．故选：A．由已知，f′（x）=3x2≥0在（-1，+∞）上恒成立，可以利用参数分离的方法求出参数a 的取值范围．本题考查函数导数与函数的单调性之间的关系，参数取值范围求解．本题采用了参数分离的方法．8.函数f（x）=2x2-ln|x|的部分图象大致为（）A. B.C. D.【答案】A【解析】解：函数f（x）=2x2-ln|x|为偶函数，则其图象关于y轴对称，排除B；当x＞0时，f（x）=2x2-ln x，f′（x）=4x-．当x∈（0，）时，f′（x）＜0，当x∈（，+∞）时，f′（x）＞0．∴f（x）在（0，）上为减函数，在（，+∞）上为增函数，∴f（x）有极小值f（）=＞0．结合选项可得，函数f（x）=2x2-ln|x|的部分图象大致为A．故选：A．由函数为偶函数排除B；再由导数研究单调性且求得极值判断．本题考查函数奇偶性的判断及应用，训练了利用导数研究函数的单调性，是中档题．9.已知函数f（x）=e x（x2-x+1）-m，若方程f（x）=0有一个根，则实数m的取值范围是（）A. B. （1，e3）C. D. （-∞，1）∪（e3，+∞）【答案】A【解析】解：若方程f（x）=0有一个根，则f（x）=e x（x2-x+1）-m=0得e x（x2-x+1）=m有一个解，即函数g（x）=e x（x2-x+1）与y=m的图象有一个交点，∵x2-x+1=（x-）2+＞0，∴g（x）＞0，函数的导数g′（x）=e x（x2-x+1）+e x（2x-1）=e x（x2+x）由g′（x）＞0得x2+x＞0，即x＞0或x＜-1，此时函数为增函数，由g′（x）＜0得x2+x＜0，即0＜x＜1，此时函数为减函数，则当x=0时，函数g（x）取得极小值，g（0）=1，当x=-1时，函数g（x）取得极大值，g（-1）=e-1（1+1+1）=e3，作出函数的图象如图：由图象知要使y=m与y=f（x）的图象有一个交点，则0＜m＜1或m＞e3，即实数m的取值范围是（0，1）∪（e3，+∞），故选：A．由f（x）=0得e x（x2-x+1）=m，求出函数的导数研究函数eg（x）=x（x2-x+1）的极值，利用数形结合进行求解即可．本题主要考查函数与方程的应用，利用条件转化为两个函数的交点问题，求的导数，研究函数的极值和图象是解决本题的关键．10.设函数f（x）的导数为f′（x），且f（x）=x2+2xf′（1），则f（2）=（）A. 0B. -4C. 4D. 8【答案】B【解析】解：函数的导数f′（x）=2x+2f′（1），令x=1，得f′（1）=2+2f′（1），得f′（1）=-2，则f（x）=x2+2xf′（1）=x2-4x，则f（2）=4-8=-4，故选：B．求函数的导数，先求出f′（1）的值，然后求出函数f（x）的表达式，进行求解即可．本题主要考查函数值的计算，结合函数的导数公式求出函数的解析式是解决本题的关键．11.已知函数f（x）及其导数f'（x），若存在x0使得f（x0）=f'（x0），则称x0是f（x）的一个“巧值点”．给出下列五个函数：①f（x）=x2，②f（x）=e-x，③f（x）=ln x，④f（x）=tan x，其中有“巧值点”的函数的个数是（）A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】B【解析】解：根据题意，依次分析所给的函数：①、若f（x）=x2；则f′（x）=2x，由x2=2x，得x=0或x=2，这个方程显然有解，故①符合要求；②、若f（x）=e-x；则f′（x）=-e-x，即e-x=-e-x，此方程无解，②不符合要求；③、f（x）=ln x，则f′（x）=，若ln x=，利用数形结合可知该方程存在实数解，③符合要求；④、f（x）=tan x，则f′（x）=（）′=，即sin x cosx=1，变形可sin2x=2，无解，④不符合要求；故选：B．根据题意，依次分析四个函数，分别求函数的导数，根据条件f（x0）=f′（x0），确实是否有解即可．本题考查导数的计算，关键是理解函数“巧值点”的定义．12.已知函数f（x）是定义在R上的函数，f（x）＞f'（x），f（0）=1，则不等式f（x）＜e x的解集为（）A. （-∞，0）B. （0，+∞）C. （-∞，1）D. （1，+∞）【答案】B【解析】解：令g（x）=，则g′（x）=＜0，故f（x）在R递减，而g（0）=f（0）=1，故f（x）＜e x即g（x）＜g（0），故x＞0，故选：B．令g（x）=，求出函数的导数，根据函数的单调性得到g（x）＜g（0），求出不等式的解集即可．本题考查了函数的单调性问题，考查导数的应用以及不等式问题，是一道常规题．二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.若命题p：∀x＞0，ln x-x+1≤0，则￢p为______．【答案】∃x＞0，ln x-x+1＞0【解析】解：因为全称命题的否定是特称命题，所以，命题p：∀x＞0，ln x-x+1≤0，则￢p为∃x＞0，ln x-x+1＞0．故答案为：∃x＞0，ln x-x+1＞0．全称命题的否定是特称命题，写出结果即可．本题考查命题的否定，全称命题与特称命题的否定关系，是基本知识的考查．14.王大妈在地摊上因为贪图便宜买了劣质商品，非常气愤的说了句“真是便宜没好货”，按照王大妈的理解，“好货”是“不便宜”的______（填：充分必要、充分非必要、必要非充分或非充分非必要）【答案】充分不必要【解析】解：“好货不便宜”是“便宜没好货”的逆否命题，根据互为逆否命题的真假一致得到：“好货不便宜”是真命题．所以“好货”⇒“不便宜”，所以“好货”是“不便宜”的充分不必要条件故答案为：充分不必要根据逆否命题的等价性和充分条件必要条件的定义进行判断．本题主要考查充分条件和必要条件的判断，结合逆否命题的等价性进行转化是解决本题的关键．15.椭圆的离心率为，则m=______．【答案】或8【解析】解：当椭圆的焦点在x轴时，a=，b=，c=，∵椭圆的离心率为，∴，解得m=8．当椭圆的焦点在y轴时，b=，a=，c=，∵椭圆的离心率为，∴，解得m=．综上m=或6．故答案为：或8．直接利用椭圆方程，求出abc，通过离心率求解即可．本题考查椭圆的简单性质的应用，基本知识的考查．16.点p是曲线y=x2-ln x上任意一点，则点p到直线y=x-3的距离最小值是______．【答案】【解析】解：设P（x，y），则y′=2x-（x＞0），令2x-=1，则（x-1）（2x+1）=0，∵x＞0，∴x=1，∴y=1，即平行于直线y=x-3且与曲线y=x2-ln x相切的切点坐标为（1，1），由点到直线的距离公式可得d==，故答案为：．求出平行于直线y=x-3且与曲线y=x2-ln x相切的切点坐标，再利用点到直线的距离公式可得结论．本题考查导数知识的运用，考查点到直线的距离公式，考查学生的计算能力，属于基础题．三、解答题（本大题共6小题，共72.0分）17.设p：函数f（x）=+（m-1）x2+x+1在R是增函数；q：方程=1表示焦点在x轴上的双曲线．（1）若p为真，求实数m的取值范围；（2）若“p且q”为假命题，“p或q”为真命题，求实数m的取值范围．【答案】解：（1）函数的导数f′（x）=x2+（m-1）x+1，若f（x）在R是增函数，则f′（x）=x2+（m-1）x+1≥0恒成立，即判别式△=（m-1）2-4≤0，即-2≤m-1≤2，得-1≤m≤3，即实数m的取值范围是[-1，3]．（2）若方程=1表示焦点在x轴上的双曲线，则，得，得m＞1，即q：m＞1，若“p且q”为假命题，“p或q”为真命题，则p，q一个为真命题一个为假命题，若p真q假则，得-1≤m≤1，若p假q真，则，得m＞3，综上-1≤m≤1或m＞3，即实数m的取值范围是-1≤m≤1或m＞3．【解析】（1）求函数的导数，利用f′（x）≥0恒成立进行求解即可（2）根据复合命题真假关系得到p，q一个为真命题一个为假命题，进行求解即可．本题主要考查复合命题真假关系的应用，求出命题为真命题的等价条件是解决本题的关键．18.（文）已知函数f（x）=k（x-1）e x+x2．（1）求导函数f′（x）；（2）当k=-时，求函数f（x）在点（1，1）处的切线方程．【答案】解：（1）f'（x）=ke x+k（x-1）e x+2x=kxe x+2x．（2）∵，则切线的斜率为．∴函数f（x）在点（1，1）处的切线方程为x-y=0．【解析】（1）利用导数的运算法则即可得出；（2）利用导数的几何意义可得切线的斜率，利用点斜式即可得出．本题考查了导数的运算法则、几何意义、切线方程，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．19.在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为（t为参数，a≠0），曲线C1的上点对应的参数，将曲线C1经过伸缩变换后得到曲线C2，直线l的参数方程为2ρsinθ+ρcosθ=10．（1）说明曲线C2是哪种曲线，并将曲线C2转化为极坐标方程；（2）求曲线C2上的点M到直线l的距离的最小值．【答案】解：（1）当，所以，曲线C1的参数方程为（t为参数，a≠0），由，得，代入C1得：，即，化为普通方程为，为椭圆曲线C2，化为极坐标方程为．（2）直线l的普通方程为，点M到直线l的方程距离为=，所以曲线C2上的点M到直线l的距离的最小值为：【解析】（1）先由对应的参数得，解得，再代入得，根据三角函数同角关系：cos2t+sin2t=1消参数得普通方程，最后利用ρ2=x2+y2，ρcosθ=x，ρsinθ=y将曲线C2的直角坐标方程化为极坐标方程．（2）根据ρ2=x2+y2，ρcosθ=x，ρsinθ=y将直线l的极坐标方程化为直角坐标方程，再利用C2参数方程表示点到直线距离公式得，最后利用三角函数有界性求最值．本题考查曲线的极坐标方程的求法，考查点到直线的距离的最小值的求法，考查直角坐标方程、极坐标方程、参数方程的互化等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．20.设函数f（x）=-x2-mx．（1）若f（x）在（0，+∞）上存在单调递减区间，求m的取值范围；（2）若x=-1是函数的极值点，求函数f（x）在[0，5]上的最小值．【答案】解：（1）f′（x）=x2-2x-m，由题意得f′（x）=x2-2x-m＜0在（0，+∞）上有解，故m＞x2-2x，则m＞-1，故m的范围是（-1，+∞）；（2）∵f′（-1）=1+2-m=0，解得：m=3，故f′（x）=x2-2x-3，令f′（x）=0，解得：x=-1或x=3，故x∈（0，3）时，f′（x）＜0，函数f（x）递减，x∈（3，5）时，f′（x）＞0，函数f（x）递增，故f（x）在[0，5]的最小值是f（3）=-9．【解析】（1）求出函数的导数，问题转化为m＞x2-2x，求出m的范围即可；（2）求出函数的导数，结合f′（-1）=0，求出m的值，从而求出函数的单调区间，求出函数的最小值即可．本题考查了函数的单调性，最值问题，考查导数的应用，考查函数恒成立问题，是一道常规题．21.已知函数f（x）=+mx+m ln x．．（1）讨论函数f（x）的单调性；（2）当m=1时，若方程f（x）=+ax在区间[）上有唯一的实数解，求实数a的取值范围；【答案】解：（1）f（x）的定义域是（0，+∞），f′（x）=x+m+=，m≥0时，f′（x）＞0，故m≥0时，f（x）在（0，+∞）递增；m＜0时，方程x2+mx+m=0的判别式为：△=m2-4m＞0，令f′（x）＞0，解得：x＞，令f′（x）＜0，解得：0＜x＜，故m＜0时，f（x）在（，+∞）递增，在（0，）递减；（2）m=1时，由题意得：x2+x+ln x=x2+ax，整理得：a=1+，令g（x）=1+，g′（x）=，令g′（x）＞0，解得：x∈（0，e），函数g（x）在（0，e）递增，令g′（x）＜0，解得：x∈（e，+∞），函数g（x）在（e，+∞）递减；若方程f（x）=x2+ax在[e，+∞）上有唯一实数根，须求g（x）在[e，+∞）上的取值范围，g（x）≤g（e）=1+，又g（x）=1+＞1，（x＞e），∴①g（）≤a≤1，②当x=e时，g（x）有最大值，g（e）=1+，此时a=1+满足题意，综上，1-e≤a≤1或a=1+．【解析】（1）求出函数的导数，通过讨论m的范围，求出函数的单调区间即可；（2）分离a，得到a=1+，令g（x）=1+，根据函数的单调性求出a的范围即可；本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及分类讨论思想，转化思想，是一道综合题．22.已知抛物线x2=ay的焦点坐标为．（1）求抛物线的标准方程．（2）若过（-2，4）的直线l与抛物线交于A，B两点，在抛物线上是否存在定点P，使得以AB为直径的圆过定点P．若存在，求出点P，若不存在，说明理由．【答案】解：（1）抛物线x2=ay的焦点坐标为，∴=，∴a=2，故抛物线的标准方程为x2=2y，（2）设P（t，），A（x1，y1），B（x2，y2），由于直线斜率一定存在，故设直线l的方程为y=k（x+2）+4，联立，可得x2-2kx-4k-8=0，∴x1+x2=2k，x1x2=-4k-8，第11页，共11页 由题知k PA •k PB =-1， 即•=1， 即•=-4，即（t +x 1）（t +x 2）=-4化简可得t 2+2k （t -2）=0，当t =2时等式恒成立，故存在定点（2，2）．【解析】（1）由抛物线的性质求得抛物线的方程，（2）由题意可知直线l 的斜率存在，故设直线l 的方程为y =k （x +2）+4，联立，可得x 2-2kx -4k -8=0，利用k PA •k PB =-1可得（t +x 1）（t +x 2）=-4，利用韦达定理即可得存在点P （2，2）满足题意．本题考查了抛物线的方程，直线和抛物线的位置关系，韦达定理，考查了运算求解能力和转化与化归能力，属于中档题。
江西省南昌市2018-2019学年高一数学上学期期末学业水平测试试题
江西省南昌市2018-2019学年高一数学上学期期末学业水平测试试题一、选择题1．若某校研究性学习小组共6人，计划同时参观科普展，该科普展共有甲，乙，丙三个展厅，6人各自随机地确定参观顺序，在每个展厅参观一小时后去其他展厅，所有展厅参观结束后集合返回，设事件A 为：在参观的第一小时时间内，甲，乙，丙三个展厅恰好分别有该小组的2个人；事件B 为：在参观的第二个小时时间内，该小组在甲展厅人数恰好为2人，则(|)P B A =（ ）． A ．38B ．18 C ．316 D ．1162．sin600︒=( )A.12B.12-D. 3．某班有50名学生，男女人数不相等。
随机询问了该班5名男生和5名女生的某次数学测试成绩，用茎叶图记录如下图所示，则下列说法一定正确的是（ ）A ．这5名男生成绩的标准差大于这5名女生成绩的标准差。
B ．这5名男生成绩的中位数大于这5名女生成绩的中位数。
C ．该班男生成绩的平均数大于该班女生成绩的平均数。
D ．这种抽样方法是一种分层抽样。
4．直线，，则“”是“”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件5．已知圆的圆心在直线上，则与的关系是（ ）A ．B ．C ．D ．6．已知向量a ，b 满足1a =，a b ⊥，则向量2a b -在向量a -方向上的投影为（ ） A ．0 B ．1 C ．2D ．1-7．已知向量a 、b 的夹角为45°，且1a =，|2|10a b -=，则b =（ ）A ．B ．CD ．18．已知1232727272727S C C C C =++++，则S 除以9所得的余数是A.2B.3C.5D.79．在某次考试中，甲、乙通过的概率分别为0.7，0.4，若两人考试相互独立，则甲未通过而乙通过的概率为 A.0.28B.0.12C.0.42D.0.1610．设,,x y z 均大于1，且x y z ==，令12a x =，13b y =，14c z =，则,,a b c 的大小关系是（ ） A ．a b c >>B ．b c a >>C ．c a b >>D ．c b a >>11．“1m =-”是“直线1l ：(21)10mx m y +-+=与直线2l ：330x my ++=垂直”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件12．已知离散型随机变量X 的分布列为则X 的数学期望E X 为（ ） A.23B.1C.32D.2二、填空题13．某大学进行自主招生时,需要进行逻辑思维和阅读表达两项能力的测试.学校对参加测试的200名学生的逻辑思维成绩、阅读表达成绩以及这两项的总成绩进行了排名.其中甲、乙、丙三位同学的排名情况如下图所示:得出下面四个结论:①甲同学的逻辑排名比乙同学的逻辑排名更靠前②乙同学的逻辑思维成绩排名比他的阅读表达成绩排名更靠前 ③甲、乙、丙三位同学的逻辑思维成绩排名中,甲同学更靠前 ④甲同学的阅读表达成绩排名比他的逻辑思维成绩排名更靠前 则所有正确结论的序号是_________.14．已知某人连续5次投掷飞镖的环数分别是8，9，10，10，8，则该组数据的方差为______． 15．如图，E 是正方体1111ABCD A B C D -的棱11C D 上的一点，且1//BD 平面1B CE ，则异面直线1BD 与CE 所成角的余弦值为______．16．如图所示，函数()y f x =的图象由两条射线和三条线段组成．若x R ∀∈,()()1f x f x >-，则正实数a 的取值范围是_________．三、解答题17．设椭圆的离心率为，且过点.（1）求椭圆的方程；（2）是否存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆恒有两个交点，且（为坐标原点）？若存在，写出该圆的方程；若不存在，说明理由.18．为了增强消防安全意识，某中学对全体学生做了一次消防知识讲座，从男生中随机抽取50人，从女生中随机抽取70人参加消防知识测试，统计数据得到如下列联表：附：K2=组成宣传小组，现从这6人中随机抽取2名到校外宣传，求到校外宣传的同学中至少有1名是男生的概率．19．已知函数，.(1)解不等式；(2)若对任意，都有，使得成立，求实数的取值范围.20．已知集合P＝，函数的定义域为Q.（Ⅰ）若P Q，求实数的范围；（Ⅱ）若方程在内有解，求实数的范围.21．设函数在及处取极值.（1）求的值；（2）若对于任意的，都有成立，求的取值范围．22．将7名应届师范大学毕业生分配到3所中学任教.（最后结果用数字表示）（1）4个人分到甲学校，2个人分到乙学校，1个人分到丙学校，有多少种不同的分配方案？（2）一所学校去4个人，另一所学校去2个人，剩下的一个学校去1个人，有多少种不同的分配方案？【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题13．①③14．4 515．516．1 0,6⎛⎫ ⎪⎝⎭三、解答题17．（1）；（2）存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆恒有两个交点，且.【解析】试题分析：(1)由题目已知离心率为，且过点即可求出椭圆方程(2)先假设存在，设两个交点坐标和直线方程，，根据直线与圆相切及，得出方程组，从而求解出结果，再讨论斜率不存在时的情况解析：（1）由已知得，又，得，解得（2）假设满足题意的圆存在，其方程为，其中.设该圆的任意一条切线和椭圆交于两点当直线的斜率存在时，令直线的方程为因为直线为圆心在原点的圆的一条切线，所以圆的半径为①联立方程得要使，需使，即，所以，②，，所求的圆为，而当切线的斜率不存在时切线为与椭圆的两个交点为或满足，综上，存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆恒有两个交点，且.点睛：本题考查了解析几何的综合运用，按照题目条件，采用设而不求的方法，给出交点坐标和直线方程，联立直线方程与曲线方程，利用根与系数之间的关系得出关于参数的方程组，从而计算出结果，还要注意当斜率不存在的情况。
江西省南昌市八一中学、洪都中学等六校2019-2020学年高一上学期期末联考数学试题 Word版含解析
2019~2020学年第一学期期末联考高一数学试卷本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共22小题，共150分．共4开，考试时间120分钟，考生作答时将答案答在答题卡上，在本试卷上答题无效．第Ⅰ卷（选择题，共60分）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1.设集合{}3213A x x =-≤-≤，集合B 为函数()lg 1y x =-的定义域，，则AB =（ ）A. ()12， B. [)1+-∞， C. (]12， D. [)12， 【答案】B 【解析】 【分析】先求出集合A ,B ,进而取并集即可.【详解】{}{}321312A x x x x =-≤-≤=-≤≤，{}1B x x =>， ∴[)1,A B ⋃=-+∞， 故选：B【点睛】本题考查并集的概念及运算，考查对数型函数的定义域与不等式的解法，属于基础题.2.已知函数()()102=030x f x x f x x x ⎧->⎪-⎨⎪<⎩，，，，则()2f =（ ）A. 9B. 3C. 0D. -2【答案】D 【解析】 【分析】根据对应法则，代入求值即可.【详解】∵()()102=030x f x x f x x x ⎧->⎪-⎨⎪<⎩，，，，∴()()()()221102f f f f =-===-， 故选：D【点睛】本题考查分段函数的对应法则，考查求值问题，属于基础题.3.已知α为第三象限角，且sin cos 2m αα+＝，2sin 2m α＝，则m 的值为（ ）B. C. 13-D. 【答案】B 【解析】 【分析】把sin α+cos α＝2m 两边平方可得m 的方程，解方程可得m ，结合角的范围可得答案． 【详解】解：把sin α+cos α＝2m 两边平方可得1+sin2α＝4m 2， 又sin2α＝m 2，∴3m 2＝1，解得m = 又α为第三象限角，∴m = 故选：B ．【点睛】本题考查两角和与差的三角函数，涉及二倍角公式，属基础题． 4.已知1tan 2x =-，则2sin 3sin cos 1x x x +-的值为（ ） A.13B. 2C. -2或2D. -2【答案】D 【解析】 【分析】巧用“1”，化弦为切，即可得到结果. 【详解】解：∵1tan 2x =-， ∴222222sin 3sin cos tan 3tan sin 3sin cos 111sin s tan 1x x x x xx x x x co x x +++-=-=-++，134212114-=-=-+， 故选：D【点睛】本题考查三角函数求值，考查“1”的巧用及正余弦齐次式求值，考查计算能力，属于常考题型.5.若()cos sin f x x x =-在[],a a -是减函数，则a 的最大值是A.4π B.2π C.34π D. π【答案】A 【解析】【详解】分析：先确定三角函数单调减区间，再根据集合包含关系确定a 的最大值.详解：因为π()cos sin )4f x x x x =-=+，所以由π02ππ2π,(k Z)4k x k +≤+≤+∈得π3π2π2π,(k Z)44k x k -+≤≤+∈ 因此π3ππ3ππ[,][,],,044444a a a a a a a -⊂-∴-<-≥-≤∴<≤，从而a 的最大值为π4，选A.点睛：函数sin()(0,0)y A x B A ωϕω=++>>的性质： (1)max min =+y A B y A B =-，. (2)周期2π.T ω= (3)由 ππ()2x k k ωϕ+=+∈Z 求对称轴， (4)由ππ2π2π()22k x k k ωϕ-+≤+≤+∈Z 求增区间； 由π3π2π2π()22k x k k ωϕ+≤+≤+∈Z 求减区间.6.若1sin 33πα⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，则cos 23πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭（ ）A. 79-B. 13-C.13D.79【答案】A 【解析】 【分析】由已知条件，结合二倍角公式及诱导公式，即可得到结果. 【详解】∵1sin 33πα⎛⎫-=-⎪⎝⎭，∴22cos 2cos 22cos 12sin 13663ππππαααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=+=+-=--⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，172199=⨯-=-故选：A【点睛】本题考查三角函数求值，考查二倍角公式及诱导公式，考查计算能力. 7.函数()ln f x x =与函数()2g x x=的交点的横坐标所在的大致区间是（ ） A. ()12， B. ()23， C. 11e ⎛⎫ ⎪⎝⎭，D. ()+∞e ，【答案】B 【解析】 【分析】该问题可转化为方程lnx 2x -=0解的问题，进一步可转化为函数h （x ）＝lnx 2x -的零点问题．【详解】令h （x ）＝lnx 2x-，因为f （2）＝ln 2﹣1＜0，f （3）＝ln 323-＞0，又函数h （x ）在（2，3）上的图象是一条连续不断的曲线， 所以函数h （x ）在区间（2，3）内有零点，即lnx 2x-=0有解， 函数()ln f x x =与函数()2g x x=的交点的横坐标所在的大致区间（2，3） 故选：B ．【点睛】本题考查函数零点的存在问题，注意函数与方程思想、转化与化归思想的运用． 8.已知函数()()sin 04f x x x R πωω⎛⎫=+∈> ⎪⎝⎭，的最小正周期为π，将()y f x =的图象向右移()0ϕϕ>个单位长度，所得图象关于原点对称，则ϕ的一个值是（ ）A.2π B.38π C.4π D.8π 【答案】D 【解析】 【分析】由函数的周期求得ω＝2，再根据函数y ＝A sin （ωx +φ）的图象变换规律，可得所得函数y ＝sin （2x -24πϕ+） 它为奇函数，故有-24πϕ+=k π，k ∈z ，结合所给的选项可得ϕ的值．【详解】由题意可得2πω=π，∴ω＝2．把函数y＝f（x）的图象向右平移ϕ个单位长度（ϕ＞0），所得图象对应的函数解析式为y＝sin[2（xϕ-）4π+]＝sin（2x-24πϕ+）．再由它的图象关于原点对称，可得它为奇函数，故有-24πϕ+=kπ，k∈z，∴82kππϕ=-，k Z∈,结合所给的选项，故ϕ可以等于8π，故选：D．【点睛】本题主要考查函数y＝A sin（ωx+φ）的图象变换规律，正弦函数的对称性，属于中档题．9.在北京召开的国际数学家大会的会标如图所示，它是由4个相同的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形，若直角三角形中较小的锐角为θ，大正方形的面积是1，小正方形的面积是125，则22sin cosθθ-=( )A. 1B.725C.725- D.2425-【答案】C【解析】【分析】根据题意即可算出每个直角三角形的面积，再根据勾股定理和面积关系即可算出三角形的两条直角边．从而算出sin,cosθθ【详解】由题意得直角三角形的面积11625425S-==,设三角形的边长分别为,x y，则有22134,1655225x yx yxy⎧+=⎪⇒==⎨=⎪⎩，所以343455sin,cos1515θθ====，所以2222347sin cos 5525θθ⎛⎫⎛⎫-=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，选C.【点睛】本题主要考查了三角形的面积公式以及直角三角形中，正弦、余弦的计算，属于基础题．10.设函数()cos (0)f x x ωω=>，将()y f x =的图象向右平移3π个单位长度后，所得的图象与原图象重合，则ω的最小值等于 A.13B. 3C. 6D. 9【答案】C 【解析】【详解】由题意将()y f x =的图象向右平移3π个单位长度后，所得的图象与原图象重合，说明了3π是此函数周期的整数倍,得2()3k k Z ππω⨯=∈,解得6k ω=,又0>ω,令1k =,得min 6ω=.11.若函数()()221f x x a x =+-+为偶函数，()232x bg x x -+=+为奇函数，则+a b 的值为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5【答案】D 【解析】 【分析】根据奇偶性分别求出字母的值，即可得到结果. 【详解】∵函数()()221f x x a x =+-+为偶函数，∴2a =，∵()232x bg x x -+=+奇函数，且定义域为R ，∴()30002bg -+==+， 3b =， ∴5a b +=， 故选：D【点睛】本题考查奇偶性的定义，旨在考查学生对概念的掌握程度.12.设函数tan,(2,2),22 ()3cos,[2,2]22x x k kf xx x k kππππππππ⎧∈-+⎪⎪=⎨⎪∈++⎪⎩（k Z∈），()sin||g x x=，则方程()()0f xg x-=在区间[3,3]ππ-上的解的个数是A. 7B. 8C. 9D. 10【答案】A【解析】由题意得，方程()()0f xg x-=在区间[3,3]ππ-上的解的个数即函数()f x与函数()g x的图像在区间[3,3]ππ-上的交点个数．在同一坐标系内画出两个函数图像，注意当02xπ<<时，sin tanx x<恒成立，易得交点个数为7.选A．点睛：函数零点的求解与判断方法：（1）直接求零点：令f(x)＝0，如果能求出解，则有几个解就有几个零点．（2）零点存在性定理：利用定理不仅要函数在区间[a，b]上是连续不断的曲线，且f(a)·f(b)＜0，还必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性)才能确定函数有多少个零点．（3）利用图象交点的个数：将函数变形为两个函数的差，画两个函数的图象，看其交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点．但在应用图象解题时要注意两个函数图象在同一坐标系内的相对位置，要做到观察仔细，避免出错．第Ⅱ卷（非选择题，共90分）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13.若集合{}{}1102A B=-=，，，，则集合{}z z x y x A y B=+∈∈，，中的元素个数为____________．【解析】 【分析】根据集合的元素关系确定集合即可． 【详解】解：A ＝{﹣1，1}，B ＝{0，2}， ∵x ∈A ，y ∈B ，∴x ＝1或x ＝﹣1，y ＝0或y ＝2， 则z ＝x +y ＝﹣1，1，3， 即为{﹣1，1，3}． 故答案为：3．【点睛】本题主要考查集合元素个数的确定，利用条件确定集合的元素即可，比较基础． 14.若指数函数()0,0xy a a a =>≠的图象经过点()364，，则log 2a 的值为____________． 【答案】12【解析】 【分析】根据条件先求出a ，然后利用对数的性质进行求解即可．【详解】解：∵指数函数y ＝a x （a ＞0且a ≠1）的图象经过点（3，64）， ∴a 3＝64，∴a ＝4． ∴log a 2＝log 4212=， 故答案为：12【点睛】本题主要考查指数幂和对数的计算，要求熟练掌握指数幂和对数的运算法则，比较基础． 15.函数y=Asin(x+)(＞0,||＜,x∈R)的部分图象如图，则函数表达式为【答案】y=【详解】解：因为由图像可知，周期为16，所以,48w A π==振幅为4，过点（-2,0），代入表达式解得满足题意的16.若9cos 24cos 1θθ-=+，则()()20152016sin cos θθ+的取值为________．【答案】1 【解析】 【分析】由条件可得2cos 2cos 30θθ+-=，解得：cos 1θ=，sin 0θ=，从而得到结果. 【详解】解：∵9cos 24cos 1θθ-=+，∴2cos 2cos 30θθ+-=， 解得：cos 1θ=或3-（舍去） ∴sin 0θ=， ∴()()20152016sin cos 1θθ+=，故答案为：1【点睛】本题考查三角函数求值，考查二倍角余弦公式，考查计算能力.三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答题应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17.已知5sin ,04134x x ππ⎛⎫⎛⎫-=<< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，求cos 2cos 4xx π⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值.【答案】2413【解析】 【分析】 由442x x πππ⎛⎫⎛⎫-++=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，且5cos sin 4413x x ππ⎛⎫⎛⎫+=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，再由余弦的倍角公式，化简求得120cos 2169x =，代入即可求解. 【详解】由题意，可得442x x πππ⎛⎫⎛⎫-++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，且5cos sin 4413x x ππ⎛⎫⎛⎫+=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，又由5sin ,04134x x ππ⎛⎫⎛⎫-=<<⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以12cos 413x π⎛⎫-= ⎪⎝⎭而512120cos 2sin 2sin 22sin cos 224441313169x x x x x ππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-=-=--=⨯⨯=⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 所以120cos 224169513cos 134xx π==⎛⎫+ ⎪⎝⎭.【点睛】本题主要考查了三角恒等变换的化简求值问题，其中解答中熟记三角恒等变换的公式，合理准确运算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题. 18.已知2()2cos2xf x x a ωω=+(0)>ω的图象上相邻两对称轴的距离为2π. （1）若x ∈R ，求()f x 的递增区间；（2）若[0,]2x π∈时，若()f x 的最大值与最小值之和为5，求a 的值. 【答案】(1) 增区间是[k π－3π, k π＋6π], k ∈Z (2) 1a =【解析】试题分析：()1首先根据已知条件，求出周期π，进而求出ω的值，确定出函数解析式，由正弦函数的递增区间2π2π22k k ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦－＋，＋，()k Z ∈，即可求出()f x 的递增区间()2由确定出的函数解析式，根据x 的范围求出这个角的范围，利用正弦函数的图象与性质即可求出函数的最大值，即可得到a 的值 解析：已知()22cos2sin 126xf x x a x a ωπωω⎛⎫=++=+++ ⎪⎝⎭ 由22T π=，则T ＝π＝2wπ，∴w ＝2 ∴()2sin 216f x x a π⎛⎫=+++ ⎪⎝⎭（1）令－2π＋2k π≤2x＋6π≤2π＋2k π则－3π＋k π≤x≤6π＋k π 故f(x)的增区间是[k π－3π, k π＋6π], k ∈Z（2）当x∈[0,2π]时，6π≤2x＋6π≤76π ∴sin(2x＋6π)∈[－12, 1] ∴()()max min +215f x f x a a =+++=∴1a =点睛：这是一道求三角函数递增区间以及利用函数在某区间的最大值求得参数的题目，主要考查了两角和的正弦函数公式，正弦函数的单调性，以及正弦函数的定义域和值域，解题的关键是熟练掌握正弦函数的性质，属于中档题．19.已知集合{}25A x x =-≤≤，{}432B x m x m =-≤≤+．（1）若A B B ⋃=，求实数m 的取值范围；（2）若A B B =，求实数m 的取值范围．【答案】（1）[]12，（2）()3-∞-， 【解析】【分析】（1）由A B B ⋃=可知A B ⊆，从而可得实数m 的不等式组；（2）由A B B =可知A B ⊇，从而可得实数m 的不等式组.【详解】（1）∵集合{}25A x x =-≤≤， {}432B x m x m =-≤≤+．若A B B ⋃=，则A B ⊆，则42m -≤-，且3+25m ≥，解得：[]12m ∈， 即此时实数m 的取值范围为[]12，； （2）若A B B =，则A B ⊇，①当B =∅时，432m m ->+，解得3m <-，满足条件，②当B ≠∅时，若A B ⊇，则24325m m -≤-≤+≤，此时不等式组无解，综上所述此时实数m 的取值范围为()3-∞-，【点睛】本题考查交并运算，考查转化能力与分类讨论思想，解题关键是：A B B A B ⋃=⇔⊆，A B B B A =⇔⊆.20.已知f (α)＝()()()()()2cos 2tan sin tan 3sin παπαπαπααπ---+-+-+.(1)化简f (α)；(2)若f (α)＝18，且4π<α<2π，求cos α－sin α的值； (3)若α＝－313π，求f (α)的值．【答案】（1）f (α)＝sin α·cos α.（2）cos α－sin α 【解析】【分析】(1)根据三角函数的诱导公式化简，得()sin cos fααα=，即可得到答案； (2)由（1）知1sin cos 8αα=，再根据同角三角函数的基本关系式，即可求解. (3)由313πα=-，代入()f α，利用诱导公式和特殊角的三角函数值，即可求解. 【详解】(1)f(α)＝()()2sin αcos αtan αsin αtan α--＝sinα·cosα. (2)由f(α)＝sinαcosα＝18可知 (cosα－sinα)2＝cos 2α－2sinαcosα＋sin 2α＝1－2sinαcosα＝1－2×18＝34. 又∵π4<α<π2，∴cosα<sinα，即cosα－sinα<0.∴cosα－sinα＝－2. (3)∵α＝－31π3＝－6×2π＋5π3， ∴f(-31π3)＝cos(-31π3)·sin(-31π3)＝cos(-65π2π3⨯+)·sin(-65π2π3⨯+) ＝cos 5π3·sin 5π3＝cos(2π－π3)·sin(2π－π3)＝cos π3·πsin 3⎛⎫- ⎪⎝⎭＝12·(-2)＝－4. 【点睛】本题主要考查了三角函数的化简、求值问题，其中解答中熟记同角三角函数的基本关系式和三角函数的诱导公式，合理运算与化简是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.21.对于函数()f x ，若定义域内存在实数x ，满足()()f x f x -=-，则称()f x 为“局部奇函数”.（1）已知二次函数()()22-3,f x ax bx a a b R =+∈，试判断()f x 是否为“局部奇函数”？并说明理由.（2）设()21xf x m =+-是定义在[]12-，上的“局部奇函数”，求实数m 的取值范围； （3）设()12423x x f x m m +=+⋅+-，若()f x 不是定义域R 上的“局部奇函数”，求实数m 的取值范围.【答案】（1）()f x 为局部奇函数，详见解析（2）908m -≤≤（3）1m <m >【解析】【分析】（1）由已知中“局部奇函数”的定义，结合函数f （x ）＝ax 2+2b x ﹣3a ，可得结论；（2）由题可知22220x x m -++-=有解，12222x xm -=+，变量分离求值域即可； （3）先考虑函数是定义域R 上的“局部奇函数”，然后求补集即可.【详解】（1）()() 0f x f x -+=，则2260ax a -=得到x =有解，所以()f x 为局部奇函数．（2）由题可知22220x x m -++-=有解，12222x x m -=+， 设111724224x t t t ⎡⎤⎡⎤=∈+∈⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，，，，所以172224m -≤-≤-， 所以908m -≤≤． （3）若()f x 为局部奇函数，则()()0f x f x -+=有解，得1214234 2x x x x m m m +--+-⋅+-+-⋅2 30m +-=，设p ＝2x +2﹣x ∈[2，+∞），所以方程等价于p 2﹣2mp +2m 2﹣8＝0在p ≥2时有解．设h （p ）＝p 2﹣2mp +2m 2﹣8，对称轴p ＝m ，①若m ≥2，则△＝4m 2﹣4（2m 2﹣8）≥0，即m 2≤8，∴m -≤≤此时2m ≤≤②若m ＜2时， 则()2200m h ⎧⎪≤⎨⎪≥⎩＜，即211m m m ⎧⎪-≤≤⎨⎪-≤⎩＜，此时12m ≤＜，综上得：1m ≤故若()f x不为局部奇函数时1m <m >【点睛】本题考查的知识点是抽象函数及其应用，正确理解新定义“局部奇函数”的定义，是解答的关键．22.设二次函数()y f x =的图像过点()00，，且满足()23162x f x x +≥≥--恒成立． （1）求()f x 的解析式；（2）若对任意的02x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，，不等式()()sin cos cos410p f x f x x ⋅+-<恒成立，求实数p 的取值范围．【答案】（1）()222f x x x =-（2）6p <+【解析】【分析】（1）设二次函数f （x ）＝ax 2+bx +c （a ≠0），由f （0）＝0得c ＝0，结合()23162x f x x +≥≥--在R 上恒成立，利用判别式分析可得函数解析式；（2）p •f （sin x ）f （cos x ）+cos4x ﹣1＜0⇔p ()21sinxcosx sinxcosx sinx cosx -++＜（0＜x 2π＜）．令t ＝sin x +cosx 4x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，则t ∈（1]，可得p 2211t ⎛⎫+⎪-⎝⎭＜，结合g （t ）＝2（121t +-）在（1]上递减，可得g （t ）的最小值，则实数p 的取值范围可求． 【详解】（1）设二次函数()2f x ax bx c =++，因为()00f =，所以0c， 由题意：()231f x x ≤+恒成立， 22310ax bx x +--≤恒成立,()2310a x bx -+-≤恒成立，则有()230430a b a -<⎧⎨∆=+-≤⎩， 解得23412a a b<⎧⎨≤-⎩， 且()62f x x ≥--恒成立，即()2620ax b x +++≥恒成立， 则有()20680a b a >⎧⎪⎨∆=+-≤⎪⎩， 解得()2086a a b >⎧⎪⎨≥+⎪⎩， 所以()()22212 6b b -≥+，()2231212020b b b ++≤+≤，，所以2b =-，所以41242a a ≤-≤，，且()2826 2a a ≥-+≥，，所以2a =，所以()2 22f x x x =-． （2）由（1）知()()22221f x x x x x =-=-，则 ()() sin cos cos410p f x f x x ⋅+-<，()()2sin sin 12cos cos 1 cos410p x x x x x ⋅⋅+-<--，()()4sin cos sin 1cos 1< 1cos4p x x x x x ---()()()22sin 2sin 1cos 1 < 112sin 2p x x x x ----()()22sin 2sin 1cos 12sin 2x p x x x--<， ()()sin 1cos 1sin 2p x x x --<，()()sin 1cos 12sin cos p x x x x --<，()()2sin cos sin 1cos 1x xp x x <--，()2sin cos sin cos sin cos 1x x p x x x x <-++，令sin cos 4t x x x π⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭， 因为02x π<<，所以3444x πππ<+<，所以1t <由()22sin cos x x t +=，212sin cos x x t +=， 则有21sin cos 2t x x -=， 所以222212*********t t p t t t t -⨯-<=---+-+ ()()()222121221111t t t t t -+⎛⎫===+ ⎪--⎝⎭-， 故令()2211g t t =+-⎛⎫ ⎪⎝⎭， 即()min p g t <，因为()g t在(1上单调递减，所以()min 6g t g ==+所以P 的取值范围是6p <+【点睛】本题考查函数恒成立问题，考查二次函数解析式的求法，训练了利用换元法求函数的最值，是中档题．。
2018-2019学年南昌市八一中学、洪都中学等七校高二(上)期末数学试卷(文科)(解析版)
2018-2019学年江西省南昌市八一中学、洪都中学等七校高二（上）期末数学试卷（文科）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题列出的四个选项中，只有一项最符合题目的要求．请将正确答案代码填涂在相应答题卡内）1．（5分）在平面直角坐标系xOy中，点P的直角坐标为．若以圆点O为极点，x轴正半轴为极轴建立坐标系，则点P的极坐标可以是（）A．B．C．D．2．（5分）双曲线﹣＝1的渐近线方程是（）A．y＝±B．y＝±2x C．y＝±x D．y＝±x3．（5分）条件p：x≤1，且￢p是￢q的充分不必要条件，则q可以是（）A．x＞1B．x＞0C．x≤2D．﹣1＜x＜04．（5分）已知函数f（x）的导函数f'（x）的图象如图所示，那么f（x）的图象最有可能的是（）A．B．C．D．5．（5分）若实数x，y满足，则3x+y的最大值为（）A．9B．10C．11D．126．（5分）下列说法不正确的是（）A．若“p且q”为假，则p，q至少有一个是假命题B．命题“∃x∈R，x2﹣x﹣1＜0”的否定是““∀x∈R，x2﹣x﹣1≥0”C．设A，B是两个集合，则“A⊆B”是“A∩B＝A”的充分不必要条件D．当a＜0时，幂函数y＝x a在（0，+∞）上单调递减7．（5分）函数f（x）＝x3+ax﹣2在区间（﹣1，+∞）内是增函数，则实数a的取值范围是（）A．[0，+∞）B．[﹣3，+∞）C．（﹣3，+∞）D．（﹣∞，﹣3）8．（5分）函数f（x）＝2x2﹣ln|x|的部分图象大致为（）A．B．C．D．9．（5分）已知函数f（x）＝e x（x2﹣x+1）﹣m，若方程f（x）＝0有一个根，则实数m的取值范围是（）A．B．（1，e3）C．D．（﹣∞，1）∪（e3，+∞）10．（5分）设函数f（x）的导数为f′（x），且f（x）＝x2+2xf′（1），则f（2）＝（）A．0B．﹣4C．4D．811．（5分）已知函数f（x）及其导数f'（x），若存在x0使得f（x0）＝f'（x0），则称x0是f （x）的一个“巧值点”．给出下列五个函数：①f（x）＝x2，②f（x）＝e﹣x，③f（x）＝lnx，④f（x）＝tan x，其中有“巧值点”的函数的个数是（）A．1B．2C．3D．412．（5分）已知函数f（x）是定义在R上的函数，f（x）＞f'（x），f（0）＝1，则不等式f （x）＜e x的解集为（）A．（﹣∞，0）B．（0，+∞）C．（﹣∞，1）D．（1，+∞）二、填空题（共4小题，每题5分，共20分）13．（5分）若命题p：∀x＞0，lnx﹣x+1≤0，则￢p为．14．（5分）王大妈在地摊上因为贪图便宜买了劣质商品，非常气愤的说了句“真是便宜没好货”，按照王大妈的理解，“好货”是“不便宜”的（填：充分必要、充分非必要、必要非充分或非充分非必要）15．（5分）椭圆的离心率为，则m＝．16．（5分）点p是曲线y＝x2﹣lnx上任意一点，则点p到直线y＝x﹣3的距离最小值是．三、解答题（共6小题，共70分，其中第17题10分，其余每题12分）17．设p：函数f（x）＝+（m﹣1）x2+x+1在R是增函数；q：方程＝1表示焦点在x轴上的双曲线．（1）若p为真，求实数m的取值范围；（2）若“p且q”为假命题，“p或q”为真命题，求实数m的取值范围．18．（文）已知函数f（x）＝k（x﹣1）e x+x2．（1）求导函数f′（x）；（2）当k＝﹣时，求函数f（x）在点（1，1）处的切线方程．19．在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为（t为参数，a≠0），曲线C1的上点对应的参数，将曲线C1经过伸缩变换后得到曲线C2，直线l的参数方程为2ρsinθ+ρcosθ＝10．（1）说明曲线C2是哪种曲线，并将曲线C2转化为极坐标方程；（2）求曲线C2上的点M到直线l的距离的最小值．20．设函数f（x）＝﹣x2﹣mx．（1）若f（x）在（0，+∞）上存在单调递减区间，求m的取值范围；（2）若x＝﹣1是函数的极值点，求函数f（x）在[0，5]上的最小值．21．已知函数f（x）＝+mx+mlnx．．（1）讨论函数f（x）的单调性；（2）当m＝1时，若方程f（x）＝+ax在区间[）上有唯一的实数解，求实数a的取值范围；22．已知抛物线x2＝ay的焦点坐标为．（1）求抛物线的标准方程．（2）若过（﹣2，4）的直线l与抛物线交于A，B两点，在抛物线上是否存在定点P，使得以AB为直径的圆过定点P．若存在，求出点P，若不存在，说明理由．2018-2019学年江西省南昌市八一中学、洪都中学等七校高二（上）期末数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题列出的四个选项中，只有一项最符合题目的要求．请将正确答案代码填涂在相应答题卡内）1．【解答】解：∵P的直角坐标为．∴＝2，tanθ＝，θ在第三象限，∴θ＝，∴点P的极坐标为（2，）．故选：D．2．【解答】解：根据题意，双曲线的方程为﹣＝1，其焦点在y轴上，且a＝2，b＝2，则该双曲线的渐近线方程为y＝±x；故选：D．3．【解答】解：若￢p是￢q的充分不必要条件，即q是p的充分不必要条件，则q对应的范围是p对应范围的真子集关系，则﹣1＜x＜0满足条件，故选：D．4．【解答】解：由导函数f'（x）的图象得：在（﹣∞，﹣2）上，f'（x）的图象在x轴下方，即f′（x）＜0，则f（x）递减，在（﹣2，﹣1）上，f'（x）的图象在x轴上方，即f′（x）＞0，则f（x）递增，在（﹣1，+∞）上，f'（x）的图象在x轴下方，即f′（x）＜0，则f（x）递减，故选：B．5．【解答】解：作出实数x，y满足对应的平面区域如图：由z＝3x+y得y＝﹣3x+z，平移直线y＝﹣3x+z，由图象可知当直线y＝﹣3x+z，经过点A时，直线的截距最大，此时z最大．由，解得即A（3，2），此时z max＝3×3+2＝11，故选：C．6．【解答】解：A、p且q为假，根据复合命题的判断方法知，p，q至少有一个为假，故A 正确；B、根据特称命题的否定形式知B正确；C、当A⊆B可得A∩B＝A，反之，当A∩B＝A时，也可推出A⊆B，所以“A⊆B”是“A∩B＝A”的充要条件，故C错误；D、由幂函数的性质易知D正确．故选：C．7．【解答】解：f′（x）＝3x2+a，根据函数导数与函数的单调性之间的关系，f′（x）≥0在（﹣1，+∞）上恒成立，即a≥﹣3x2，恒成立，只需a大于﹣3x2的最大值即可，而﹣3x2在（﹣1，+∞）上的最大值为0，所以a≥0．即数a的取值范围是[0，+∞）．故选：A．8．【解答】解：函数f（x）＝2x2﹣ln|x|为偶函数，则其图象关于y轴对称，排除B；当x＞0时，f（x）＝2x2﹣lnx，f′（x）＝4x﹣．当x∈（0，）时，f′（x）＜0，当x∈（，+∞）时，f′（x）＞0．∴f（x）在（0，）上为减函数，在（，+∞）上为增函数，∴f（x）有极小值f（）＝＞0．结合选项可得，函数f（x）＝2x2﹣ln|x|的部分图象大致为A．故选：A．9．【解答】解：若方程f（x）＝0有一个根，则f（x）＝e x（x2﹣x+1）﹣m＝0得e x（x2﹣x+1）＝m有一个解，即函数g（x）＝e x（x2﹣x+1）与y＝m的图象有一个交点，∵x2﹣x+1＝（x﹣）2+＞0，∴g（x）＞0，函数的导数g′（x）＝e x（x2﹣x+1）+e x（2x﹣1）＝e x（x2+x）由g′（x）＞0得x2+x＞0，即x＞0或x＜﹣1，此时函数为增函数，由g′（x）＜0得x2+x＜0，即0＜x＜1，此时函数为减函数，则当x＝0时，函数g（x）取得极小值，g（0）＝1，当x＝﹣1时，函数g（x）取得极大值，g（﹣1）＝e﹣1（1+1+1）＝e3，作出函数的图象如图：由图象知要使y＝m与y＝f（x）的图象有一个交点，则0＜m＜1或m＞e3，即实数m的取值范围是（0，1）∪（e3，+∞），故选：A．10．【解答】解：函数的导数f′（x）＝2x+2f′（1），令x＝1，得f′（1）＝2+2f′（1），得f′（1）＝﹣2，则f（x）＝x2+2xf′（1）＝x2﹣4x，则f（2）＝4﹣8＝﹣4，故选：B．11．【解答】解：根据题意，依次分析所给的函数：①、若f（x）＝x2；则f′（x）＝2x，由x2＝2x，得x＝0或x＝2，这个方程显然有解，故①符合要求；②、若f（x）＝e﹣x；则f′（x）＝﹣e﹣x，即e﹣x＝﹣e﹣x，此方程无解，②不符合要求；③、f（x）＝lnx，则f′（x）＝，若lnx＝，利用数形结合可知该方程存在实数解，③符合要求；④、f（x）＝tan x，则f′（x）＝（）′＝，即sin x cos x＝1，变形可sin2x＝2，无解，④不符合要求；故选：B．12．【解答】解：令g（x）＝，则g′（x）＝＜0，故f（x）在R递减，而g（0）＝f（0）＝1，故f（x）＜e x即g（x）＜g（0），故x＞0，故选：B．二、填空题（共4小题，每题5分，共20分）13．【解答】解：因为全称命题的否定是特称命题，所以，命题p：∀x＞0，lnx﹣x+1≤0，则￢p为∃x＞0，lnx﹣x+1＞0．故答案为：∃x＞0，lnx﹣x+1＞0．14．【解答】解：“好货不便宜”是“便宜没好货”的逆否命题，根据互为逆否命题的真假一致得到：“好货不便宜”是真命题．所以“好货”⇒“不便宜”，所以“好货”是“不便宜”的充分不必要条件故答案为：充分不必要15．【解答】解：当椭圆的焦点在x轴时，a＝，b＝，c＝，∵椭圆的离心率为，∴，解得m＝8．当椭圆的焦点在y轴时，b＝，a＝，c＝，∵椭圆的离心率为，∴，解得m＝．综上m＝或6．故答案为：或8．16．【解答】解：设P（x，y），则y′＝2x﹣（x＞0），令2x﹣＝1，则（x﹣1）（2x+1）＝0，∵x＞0，∴x＝1，∴y＝1，即平行于直线y＝x﹣3且与曲线y＝x2﹣lnx相切的切点坐标为（1，1），由点到直线的距离公式可得d＝＝，故答案为：．三、解答题（共6小题，共70分，其中第17题10分，其余每题12分）17．【解答】解：（1）函数的导数f′（x）＝x2+（m﹣1）x+1，若f（x）在R是增函数，则f′（x）＝x2+（m﹣1）x+1≥0恒成立，即判别式△＝（m﹣1）2﹣4≤0，即﹣2≤m﹣1≤2，得﹣1≤m≤3，即实数m的取值范围是[﹣1，3]．（2）若方程＝1表示焦点在x轴上的双曲线，则，得，得m＞1，即q：m＞1，若“p且q”为假命题，“p或q”为真命题，则p，q一个为真命题一个为假命题，若p真q假则，得﹣1≤m≤1，若p假q真，则，得m＞3，综上﹣1≤m≤1或m＞3，即实数m的取值范围是﹣1≤m≤1或m＞3．18．【解答】解：（1）f'（x）＝ke x+k（x﹣1）e x+2x＝kxe x+2x．（2）∵，则切线的斜率为．∴函数f（x）在点（1，1）处的切线方程为x﹣y＝0．19．【解答】解：（1）当，所以，曲线C1的参数方程为（t为参数，a≠0），由，得，代入C1得：，即，化为普通方程为，为椭圆曲线C2，化为极坐标方程为．（2）直线l的普通方程为，点M到直线l的方程距离为＝，所以曲线C2上的点M到直线l的距离的最小值为：20．【解答】解：（1）f′（x）＝x2﹣2x﹣m，由题意得f′（x）＝x2﹣2x﹣m＜0在（0，+∞）上有解，故m＞x2﹣2x，则m＞﹣1，故m的范围是（﹣1，+∞）；（2）∵f′（﹣1）＝1+2﹣m＝0，解得：m＝3，故f′（x）＝x2﹣2x﹣3，令f′（x）＝0，解得：x＝﹣1或x＝3，故x∈（0，3）时，f′（x）＜0，函数f（x）递减，x∈（3，5）时，f′（x）＞0，函数f（x）递增，故f（x）在[0，5]的最小值是f（3）＝﹣9．21．【解答】解：（1）f（x）的定义域是（0，+∞），f′（x）＝x+m+＝，m≥0时，f′（x）＞0，故m≥0时，f（x）在（0，+∞）递增；m＜0时，方程x2+mx+m＝0的判别式为：△＝m2﹣4m＞0，令f′（x）＞0，解得：x＞，令f′（x）＜0，解得：0＜x＜，故m＜0时，f（x）在（，+∞）递增，在（0，）递减；（2）m＝1时，由题意得：x2+x+lnx＝x2+ax，整理得：a＝1+，令g（x）＝1+，g′（x）＝，令g′（x）＞0，解得：x∈（0，e），函数g（x）在（0，e）递增，令g′（x）＜0，解得：x∈（e，+∞），函数g（x）在（e，+∞）递减；若方程f（x）＝x2+ax在[e，+∞）上有唯一实数根，须求g（x）在[e，+∞）上的取值范围，g（x）≤g（e）＝1+，又g（x）＝1+＞1，（x＞e），∴①g（）≤a≤1，②当x＝e时，g（x）有最大值，g（e）＝1+，此时a＝1+满足题意，综上，1﹣e≤a≤1或a＝1+．22．【解答】解：（1）抛物线x2＝ay的焦点坐标为，∴＝，∴a＝2，故抛物线的标准方程为x2＝2y，（2）设P（t，），A（x1，y1），B（x2，y2），由于直线斜率一定存在，故设直线l的方程为y＝k（x+2）+4，联立，可得x2﹣2kx﹣4k﹣8＝0，∴x1+x2＝2k，x1x2＝﹣4k﹣8，由题知k P A•k PB＝﹣1，即•＝1，即•＝﹣4，即（t+x1）（t+x2）＝﹣4化简可得t2+2k（t﹣2）＝0，当t＝2时等式恒成立，故存在定点（2，2）．。
江西省南昌市八一中学、洪都中学、十七中、实验中学四校2018_2019学年高一数学3月联考试题
江西省南昌市八一中学、洪都中学、十七中、实验中学四校2018-2019学年高一数学3月联考试题一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．在等差数列{a n }中，若其前13项的和S 13=52，则a 7为（ ）A ．4B ．3C ．6D ．12 2．已知数列{a n }为等比数列，其中a 5，a 9为方程x 2+2016x+9=0的二根，则a 7的值（ ）A ．-3B ．3C ．±3D ．9 3．△ABC 的内角A,B,C 的对边分别为a,b,c,若acos(π-A)+bsin(+B)=0,则△ABC 的形状为( )A ．等腰三角形B ．直角三角形C ．等腰或直角三角形D ．等腰直角三角形4．在ABC ∆中，090,045C A ∠=<<，则下列各式中，正确的是（ ）.A sin sin A B > .B tan tan A B > .C cos sin A A < .D cos sin B B <5．在△ABC 中,AB=2,AC=3,·=1,则BC 等于( )A ．B ．C ．2D ．6等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若公差d ＞0，（S 8-S 5）（S 9-S 5）＜0，则（ ）A ．|a 7|＞|a 8|B ．|a 7|＜|a 8|C ．|a 7|=|a 8|D ．|a 7|=07．已知ABC ∆的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若15cos C =，cos cos 3b A a B +=，则ABC ∆外接圆的半径为（ ） .A 23 .B 22 .C 4 .D 68．《九章算术》中“竹九节”问题：现有一根9节的竹子，自上而下各节的容积称等比数列，上面3节的容积共2升，下面3节的容积共128升，则第5节的容积为（ ） A ．3升 B ．升 C ．4升 D ．9．已知△ABC 中，∠A=30°，2AB ，BC 分别是、的等差中项与等比中项，则△ABC 的面积等于（ ）A ．B ．C ．或D ．或10．在ABC ∆中，233cos 4b ac a c B =+==，，，则AB BC ⋅=u u u r u u u r （ ） .A 32 .B 32- .C 3 .D 3-11．设S n 为等差数列{a n }的前n 项的和a 1=1，，则数列的前2017项和为（ ） A ．B ．C ．D ．12． ABC ∆中，角，，所对的边分别为，，，已知sin sin sin A C p B +=且214ac b =．若角B 为锐角，则的取值范围是（ ）.A (2,2)- .B (0,2) .C 66(2,)222--U （，） .D 622（，）二、填空题（本大题共4小题，每题5分，共20分，把答案填在题中横线上） 13．数列，，，，…的一个通项公式是 ______．14．若a,2a+2,3a+3成等比数列，求实数a 的值____15．锐角三角形ABC 中,a,b,c 分别为角A,B,C 所对的边，若2asin B=b ，b+c=5，bc=6，则a=16．已知，，分别ABC ∆为的三个内角，，的对边，2276cos 4b ac B a b bc ==-+，，O 为ABC ∆内一点，且满足0030OA OB OC BAO ++=∠=u u u r u u u r u u u r r ，，则||OA =u u u r ________．三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．（本题10分）已知等差数列{a n }中，a 2+a 6=6，S n 为其前n 项和，S 5=．（1）求数列{a n }的通项公式；（2）求数列{a n }的前n 项和S n 的最小值．18．（本题12分）在数列{a n }中，a 1＝12，a n ＋1＝n ＋12n a n ，n ∈N*。
江西省南昌市八一中学、洪都中学、麻丘中学等六校高一
2016～2017学年第一学期高一数学期末联考试卷一、选择题（每题5分，共60分）()()4,3,cos θπθ-=-1.若角的终边过点则4433 (5)555A B C D --2．如果cos αcos β+sin αsin β=0,那么sin αcos β-cos αsin β的值为( )A.-1B.0C.1D.±13．设f(x)=3x+3x-8,用二分法求方程3x+3x-8=0在x∈(1,2)内近似解的过程中得f(1)<0,f(1.5)>0,f(1.25)<0,则方程的根落在区间( ) A.(1,1.25)B.(1.25,1.5)C.(1.5,2)D.不能确定4．已知α是第三象限角，且cos α＝45-，则tan α2等于( )A ．－34 B.34C －3D ．35．设集合A ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪12<2x<2，B ＝{x |lg x ≥0}，则A ∪B 等于( ) A ．{x |x >－1}B ．{x |－1<x <1}C ．∅D ．{x |－1<x <1或x >1} 6．已知函数f (x )＝2x－2，则函数y ＝|f (x )|的图像可能是()7.函数y=sin 2x+cos2x 是( )A.周期为π的偶函数B.周期为π的奇函数C.周期为2π的增函数D.周期为2π的减函数()2,1511 (2)2()f cosx cos x f sin A B C D =︒-8.已知则的值等于3()(2)312(),()311...2()222sin cos tanf a fcosA B C Dπαπααπππα⎛⎫---+⎪⎛⎫⎝⎭=- ⎪--⎝⎭--9.已知则的值为210.,()A.(),B.(),C.241281244(),D.2()8,y y xπππππ⎛⎫==+⎪⎝⎭要得到函数的图象只需将函数的图象上所有的点的横坐标缩短到原来的纵坐标不变再向左平行移动个单位长度横坐标缩短到原来的纵坐标不变再向右平行移动个单位长度横坐标伸长到原来的倍纵坐标不变再向左平行移动个单位长度横坐标伸长到原来的倍纵坐标不变再向右平行移动个单位长度11. 已知函数()f x是定义在R上的偶函数，且(1)f x+为奇函数.若(2)1f=，则(1)(2)(3)(201f f f f+++⋅⋅⋅+=（）A. 1B. 2014C. 0D. 2014-123cos22.,,.,,4443.,,.,,4412.)4(y log xA k k k ZB k k k ZC k k k ZD k k k Zππππππππππππππππ⎛⎫=-⎪⎝⎭⎡⎤⎡⎫-+-⎪⎢⎥⎢⎣⎦⎣⎭⎡⎫∈∈∈∈⎡⎫++++⎪⎪⎢⎢⎣⎭⎣⎭函数的单调增区间是二、填空题（每题5分，共20分）13、已知幂函数)(xfy=的图象过点)2,2(，则)9(f=14.函数y＝tan⎝⎛⎭⎪⎫2x－π4的定义域是15. 9.已知sinθ＝m－3m＋5，cosθ＝4－2mm＋5(m≠0)，则tanθ＝________.16. 函数y＝2x2－2x－3有以下4个结论：①定义域为R,②递增区间为[1，＋∞)③是非奇非偶函数；④值域是. )1,16⎡∞⎢⎣其中正确的结论是________三、解答题（共70分）17.(10分),,sin ,cos()53,,135)αβααββαβ=+=+已知均为锐角求(1)sin (2)tan(218.(12分)已知函数f (x )＝x 2－x ＋c (c ∈R )的一个零点为1. (1)求函数f (x )的最小值；(2)设g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧f (x )，x ≤0，log 2(x ＋1)，x >0，若g (t )＝2，求实数t 的值．19.(12分)已知α是三角形的内角，且s in α＋cos α＝15.(1)求cos2α的值；(2)把用tan α表示出来，并求其值．20.(12分)已知函数f(x)＝A sin (ωx ＋φ)＋b ⎝ ⎛⎭⎪⎫A>0，ω>0，|φ|<π2的最小正周期为2π，最小值为－2，且当x ＝5π6时，函数取得最大值4.(1)求函数f(x)的解析式．1sin cos a a⋅(2)若当x∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，7π6时，方程f(x)＝m ＋1有解，求实数m 的取值范围21．(12分)已知函数f (x )＝2log (ax 2＋4x ＋5)．(1)若f (1)<3，求a 的取值范围； (2)若a ＝1，求函数f (x )的值域． (3)若f (x )的值域为R,求a 的取值范围22．(12分)已知函数2()2.3f x cosx sin x x sinxcosx π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭(1)求函数f(x)的单调递减区间;(2)将函数f(x)的图象向右平移m 个单位,使所得函数为偶函数,求m 的最小正值.高一数学期末联考答案一、选择题（每小题5分，共60分）二、填空题（每小题5分，共20分） 13. 3 14．3,28k xx k Z ππ⎧⎫≠+∈⎨⎬⎩⎭15．512- 16．①②③④ 17 （1） α为锐角sin 513α=得3os 112c α= ()40cos()355()αβπαβαβ==+∈++则sin 又,-----------3分sin sin()sin()cos cos()sin 4123533651351365βαβααβααβα=+-=+-+=⨯-⨯=------分（2）54tan tan()354tan tan()633tan(2,9121212)------12541tan tan()1613ααβααβαβααβ=+=+++===-----+⨯-+-分分18. 解：(1)因为函数f (x )＝x 2－x ＋c 的一个零点为1，所以f (1)＝0，即12－1＋c ＝0，解得c ＝0，-----------2分所以f (x )＝x 2－x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122－14.当x ＝12时函数f (x )的最小值为－14.6------分(2)g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－x ，x ≤0，log 2x ＋，x >0，由g (t )＝2知，当t ≤0时，g (t )＝t 2－t ＝2，解得t ＝－1，或t ＝2(舍去)；9------分当t >0时，g (t )＝log 2(t ＋1)＝2，解得t ＝3，----------11分 综上所述，实数t 的值为－1或3----------12分 19. 解：(1)解法一：联立得⎩⎪⎨⎪⎧sin α＋cos α＝15， ①sin 2α＋cos 2α＝1， ②-----------2分由①得cos α＝15－sin α，将其代入②，整理得25sin 2α－5sin α－12＝0. ∵α是三角形内角，∴⎩⎪⎨⎪⎧sin α＝45，cos α＝－35， -----------4分cos2α=2972cos 1212525a -=⨯-=------------6分 解法二：∵sin α＋cos α＝15，∴(sin α＋cos α)2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫152，即1＋2sin αcos α＝125，∴2sin αcos α＝－2425，(sin α-cos α)2＝1-2sin αcos α=4925)()120sin cos =-025sin -cos 02απααπαπαα∈⎛∴∈⎝又，且，即sin α-cos α＝75.-----------3分 cos2α=717(cos sin )(cos sin )5525a a a a -+=-⨯=------------3分 2221cos sin 1tan (2)9sin cos sin cos tan a a aa a a a a++==----分 1611259124sin cos 12334ta a a n α∴+==------＝－分 20解：(1)因为f (x )的最小正周期为2π，得ω＝2π2π＝1，又⎩⎪⎨⎪⎧b ＋A ＝4，b －A ＝－2，解得⎩⎪⎨⎪⎧A ＝3，b ＝1，----------3分由题意，5π6＋φ＝2k π＋π2(k ∈Z )，即φ＝2k π－π3 因 为|φ|<π2，所以φ＝－π3，所以f (x )＝3sin ⎝⎛⎭⎪⎫x －π3＋1. ----------6分方程f (x )＝m ＋1可化为m ＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π3因为x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，7π6 所以x －π3∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，5π6--9由正弦函数图像可知，实数m 的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－32，3.--------12分21(1)因为f (1)＝log 2(a ＋9)，所以log 2(a ＋9)<3＝log 28，所以0<a ＋9<8，所以－9<a <－1.即a 的取值范围为(－9，－1)．----------4分(2)当a ＝1时，f (x )＝log 2(x 2＋4x ＋5)，令t ＝x 2＋4x ＋5，则t ＝(x ＋2)2＋1≥1，f (x )＝log 2t 在[1，＋∞)上递增，所以log 2t ≥log 21＝0，所以函数f (x )的值域为[0，＋∞) ----------8分 （3）当a ＝0时, y= f (x )＝2log (4x ＋5),显然值域为R----------10分240020054-----------125aa a a a ∆≥-≥≤≤≤当时即可.4，综上所述，的取值范围是解得00分 ()()()22332:f x 2cosx s in x sin 332222.3337222,x cosxx sinxcosx1f x ,,.2321212in x s cosx sinxcos cosxsin sinxcosx x sin x k x k k Z k x Z c k k πππππππππππππ⎛⎫+- ⎪⎝⎭⎛⎫=+- ⎪⎝⎭⎛⎫=+=+----------- ⎪⎝⎭+++∈++∈++=22.解析令≤≤解得分≤≤故函数的单调递7,()61212k k k Z ππππ⎡⎤++∈-----------⎢⎥⎣⎦减区间是分()()()2()222.933().325---f x m g x 2si g x ,2m 0,k 1-------------12.1m 2n x m sin x m m k k Z ππππππ⎡⎤⎛⎫-+=-+-=------- ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭+∴=+=∈->-函数的图象向右平移个单位后的解析式为要使函数为偶函数需又时取得最小正值分分。
江西南昌八一中学洪都中学2018-2019学年高一数学上学期期末考试试题
2018~2019学年度第一学期高一数学期末联考试卷一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知集合A={x|2-x＜2}，B={x|log2x＞0}，则（）A. B.C. 或D.2.下列命题中正确的是（）A. 若两个向量相等，则它们的起点和终点分别重合B. 模相等的两个平行向量是相等向量C. 若和都是单位向量，则D. 两个相等向量的模相等3.计算2sin2105°-1的结果等于（）A. B. C. D.4.函数f（x）=x-的图象关于（）A. y轴对称B. 原点对称C. 直线对称D. 直线对称5.若函数f（x）=sin（2x+φ）为R上的偶函数，则φ的值可以是（）A. B. C. D.6.设D为△ABC所在平面内一点，，则（）A. B.C. D.7.已知，则（）A. B. C. D.8.若||=1，||=2，=，且，则与的夹角为（）A. B. C. D.9.将函数y=2sin（2x+）的图象向左平移个最小正周期后，所得图象对应的函数为（）A. B.C. D.10.若＜α＜π，化简的结果是（）A. B. C. D.11.的外接圆的圆心为O，半径为1，若+=2，且||=||，则的面积为（）A. B. C. D. 112.设函数f（x）=a sin x+b cos x，其中a，b∈R，ab≠0，若f（x）≥f（）对一切x∈R恒成立，则下列结论中正确的是（）A.B. 点是函数的一个对称中心C. 在上是增函数D. 存在直线经过点且与函数的图象有无数多个交点二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.函数f（x）=log2（x2-5），则f（3）=______．14.已知平面向量，的夹角为，||=4，||=2，则|-2|=______．15.函数y=1-sin2x-2sin x的值域是______ ．16.若f（x）是定义在R上的偶函数，当x≥0时，f（x）=，若方程f（x）=kx恰有3个不同的根，则实数k的取值范围是______ ．三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17.（满分10分）已知向量=（3，4），=（-1，2）．（1）求向量与夹角的余弦值；（2）若向量-λ与+2平行，求λ的值．18.（满分12分）已知tan α=2．（1）求tan（α+）的值；（2）求的值．19.（满分12分）已知向量=（cos x，-1），=（sin x，cos2x），设函数f（x）=•+．（Ⅰ）求函数f（x）的最小正周期和单调递增区间；（Ⅱ）当x∈（0，）时，求函数f（x）的值域．20.（满分12分）已知函数f（x）=A sin（ωx+ϕ）（x∈R，A＞0，ω＞0，|ϕ|＜）的部分图象如图所示，（Ⅰ）试确定f（x）的解析式；（Ⅱ）若=，求cos（-α）的值．21.（满分12分）已知函数（1）试判断函数的奇偶性；（2）求函数的值域.22.（满分12分）已知函数f（x）=2sin2（x+）-2cos（x-）-5a+2．（1）设t=sin x+cos x，将函数f（x）表示为关于t的函数g（t），求g（t）的解析式；（2）对任意x∈[0，]，不等式f（x）≥6-2a恒成立，求a的取值范围．2018-2019学年上学期期末联考试卷高一数学答案一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 214.15. [-2，2]16. [-，-）∪（，]三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17.解：（1）因为向量=（3，4），=（-1，2）．所以•=3×（-1）+4×2=5，……（2分）又||==5，||==，……（4分）所以cos＜，＞==；……（5分）（2）因为=（3，4），=（-1，2），所以-λ=（3+λ，4-2λ），+2=（1，8）；……（7分）因为向量-λ与+2平行，所以8（3+λ）=4-2λ，……（8分）解得：λ=-2．……（10分）18.解：tanα=2．（1）tan（α+）===-3；......(6分）（2）====1．......（12分）19.解：（Ⅰ）依题意向量=（cos x，-1），=（sin x，cos2x），函数f（x）=•+==．得∴f（x）的最小正周期是：T=π由解得，k∈Z．从而可得函数f（x）的单调递增区间是：......(6分）（Ⅱ）由，可得......(8分）从而可得函数f（x）的值域是：......（12分）20.解：（Ⅰ）由图象可知A=2，=-=，∴T=2，ω==π将点P（，2）代入y=2sin（ωx+ϕ），得sin（+ϕ）=1，又|ϕ|＜，所以ϕ=．故所求解析式为f（x）=2sin（πx+）（x∈R）...... （6分）（Ⅱ）∵f（）=，∴2sin（+）=，即，sin（+）=∴cos（-a）=cos[π-2（+）]=-cos2（+）=2sin2（+）-1=-......（12分）21.解：（1），的定义域为，则对中的任意都有,所以为上的奇函数；......（6分）（2）令，，，，，，即值域为.......（12分）22.解：（1）∵t=sin x+cos x=sin（x+），∴t2=sin2x+cos2x+2sin x cosx，∴sin x cosx=．∵f（x）=1-cos（2x+）-2（cos x+sin x）-5a+2=3+sin2x-2（sin x+cos x）-5a=3+2sin x cosx-2（sin x+cos x）-5a=3+2×-2t-5a=t2-2t-5a+2，∴f（x）=g（t）=t2-2t-5a+2（t∈[-，]）......（6分）；（2）∵x∈[0，]，∴t=sin x+cos x=sin（x+）∈[1，]，又∵g（t）=t2-2t-5a+2=（t-1）2-5a+1在区间[1，]上单调递增，所以g（t）min=g（1）=1-5a，从而f（x）min=1-5a，要使不等式f（x）≥6-2a在区间[0，]上恒成立，只要1-5a≥6-2a，解得a≤-．......（12分）。
江西省南昌市八一中学、洪都中学、十七中、实验中学四校2018-2019学年高一3月联考数学试题(精品解析)
【答案】A
B. 3
C. ± 3
D. 9
2 【解析】解： ∵ 数列{������������}为等比数列，其中������5，������9为方程������ + 2016������ + 9 = 0的二根， ∴ ������5 + ������9 =‒ 2016，������5 ⋅ ������9 = 9，
C. 6
D. 12
【解析】解： ∵ 在等差数列{������������}中，其前 13 项的和������13 = 52， ∴ ������13 = 2 (������1 + ������13) = 13������7 = 52 解得������7 = 4． 故选：A． 利用等差数列的通项公式及前 n 项和公式得 出������7． 性质的合理运用．
∴ ������5 < 0，������9 < 0， 则������7 =‒ ������5������9 =‒ 3 ．
故选：A． 利用根与系数的关系、等比数列的性质即可得出． 本题考查了等比数列的通项公式及其性质、一元二次方程的根与系数的关系，考查了 推理能力与计算能力，属于中档题．
3.
△ ������������������的内角 A，B 的对边分别为 a，b，若������������������������(������ ‒ ������) + ������������������������(2 + ������) = 0，则 △ ������������������的形状为( )
∘ ∘ ∘ 在 △ ������������������中，∠������ = 90 ，0 < ������ < 45 ，则下列各式中，正确的是( )
2019-2020学年江西省南昌市八一中学、洪都中学、十七中等五校高一上学期中数学试题(解析版)
2019-2020学年江西省南昌市八一中学、洪都中学、十七中等五校高一上学期中数学试题一、单选题1．设集合M ={-1，0，1}，N ={-2，0，1}，则M ∪N =（ ） A ．{2,1,--0,1} B ．{}0,1C ．{1,-0,1}D ．{}0【答案】A【解析】根据并集的定义写出M ∪N 即可． 【详解】解：集合{1M =-，0，1}，{2N =-，0，1}， 则{2MN =-，1-，0，1}．故选：A ． 【点睛】本题考查了集合的定义与运算问题，是基础题．2．下列函数中，是奇函数，又在定义域内为减函数的是（ ）A ．y=（）xB ．y=C ．y=﹣2x 3D ．y=log 2（﹣x ） 【答案】C【解析】试题分析：奇函数的定义域要关于原点对称，奇函数的图像关于原点对称，奇函数要满足()()0=+-x f x f ，所以满足条件的是C B ,，xy 2=在定义域内不是减函数，不满足当21x x <时，()()21x f x f >，定义域内为减函数的是32x y -=，故选C ． 【考点】函数的性质 3．函数)1(log 4)(-+=x x f a （a>0，且a≠1）的图像过一个定点，则这个定点坐标是（ ）A ．（1，4）B ．（4，2）C ．（2，4）D ．（2，5）【答案】C【解析】本题考查对数函数及对数型函数的图像和性质.令11,2x x -==即得(2)4log 14a f =+=与a 无关；所以函数()f x 的图像过一个定(2,4).故选C4．设a =50.8，b =0.67，c =log 0.74，则a ，b ，c 的大小关系是（ ） A ．a c b << B ．c a b << C ．b a c << D ．c b a <<【答案】D【解析】对于a 和b ，运用指数函数的性质与0，1比较，可知1a >，01b <<，利用对数函数的单调性得到0c <，从而得到a ，b ，c 的大小． 【详解】解：0.80551a =>=，7000.60.61b <=<= 0.70.7log 4log 10c =<=，所以，c b a <<． 故选：D ． 【点睛】本题考查了有理指数幂的化简求值和对数值的大小比较，考查了指数函数和对数函数的单调性，该类大小比较问题，有时利用0和1当媒介，往往能起到事半功倍的效果，此题是基础题 5．设, 用二分法求方程内近似解的过程中,得到则方程的根落在区间（ ）A ．B ．C ．D ．不能确定【答案】A【解析】由函数单增且f (1.25)·f (1.5)＜0即可得解. 【详解】易知f (x )在R 上是增函数．由题意可知f (1.25)·f (1.5)＜0，故函数f (x )＝3x＋3x －8的零点落在区间(1.25,1.5)内．故选A. 【点睛】本题主要考查了二分法，属于基础题.6．函数2()2(3)1f x ax a x =+-+在区间[3,)-+∞上递减，则实数a 的取值范围是（ ） A ．(,0)-∞ B ．3[,)2-+∞C ．3[,0]2-D ．(0,)+∞【解析】首先对二次项系数等于零与不等于零进行讨论，当0a =时，为一次函数，可以判断出结果，当0a ≠时，结合二次函数的性质，求得结果. 【详解】当0a =时，()61f x x =-+，满足在区间[3,)-+∞上递减；当0a ≠时，由于函数2()2(3)1f x ax a x =+-+的图象的对称轴方程为3ax a-=， 且函数在区间[3,)-+∞上递减，所以033a a a<⎧⎪-⎨≤-⎪⎩，求得302a -≤<，综上可得302a -≤≤，故选C. 【点睛】该题考查的是有关已知函数在某个区间上的单调性，求有关参数的取值范围的问题，在解题的过程中，需要注意的是应明确分类讨论的思想，注意二次函数的性质的应用. 7．如图所示的是某池塘中的浮萍蔓延的面积()2m 与时间t （月）的关系：ty a =，有以下叙述：①这个指数函数的底数是2②第5个月时，浮萍的面积就会超过230m ； ③浮萍从24m 蔓延到212m 需要经过1.5个月； ④浮萍每个月增加的面积都相等. 其中正确的是（ ） A ．①②③ B ．①②③④C ．②③④D ．①②【解析】由图形和表达式可以确定，为指数函数增长模型，代入()2,4点可求得底数a ，再根据题意判断每一项是否符合叙述情况 【详解】由图象知,2t =时,244y a =∴=,故2a =,①正确; 当5t =时,523230y ==>,②正确,当4y =时,由142t =知,12t =,当12y =时,由2122t =知,222log 122log 3,t ==+ 212log 3 1.5t t -=≠,故③错误; 浮萍每月增长的面积不相等,实际上增长速度越来越快,④错误. 故正确选项为①② 答案选D 【点睛】本题考查指数函数的图像与性质，函数图像与解析式之间的关系，是中等题型 8．已知f （x ）=x 5-ax 3+bx +4，且f （-5）=2，则f （5）+f （-5）的值为（ ） A ．4 B ．1C ．0D ．8【答案】D【解析】根据条件求出()4f x -是奇函数，利用奇函数的性质进行求解即可． 【详解】 解：53()4f x x ax bx =-++，53()4f x x ax bx ∴-=-+是奇函数，则()()(5)45454f f f --=--=-+⎡⎤⎣⎦， 则()5(5)448f f +-=+=， 故选：D ． 【点睛】本题主要考查函数值的计算，结合条件构造函数()4f x -，利用函数()4f x -是奇函数是解决本题的关键．比较基础．9．函数()y =f x 在[0，2]上单调递增，且函数(2)f x +是偶函数，则下列结论成立的是( ) A ．57(1)()()22f f f << B ．75()()(1)22f f f <<C ．75()(1)()22f f f << D ．57()(1)()22f f f << 【答案】C【解析】函数(2)f x +是偶函数可得函数()y f x =图像关于2x =对称，利用对称性将数值转化到[]0,2内比较大小. 【详解】函数(2)f x +是偶函数，则其图象关于y 轴对称，所以函数()y f x =的图像关于2x =对称，则53()()22f f =，71()()22f f =，函数(=)y f x 在[]0,2上单调递增，则有13()(1)()22f f f <<，所以75()(1)()22f f f <<.选C . 【点睛】本题考查抽象函数的性质.由(2)f x +的奇偶性得到()f x =的对称性是本题解题关键.需要考生熟练掌握函数解析式与函数图象变换之间的关系.10．函数y ＝331x x -的图象大致是( )A ．B ．C ．D ．【答案】C【解析】由函数解析式可得，该函数定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，故排除A ；取x ＝－1，y ＝111--＝32＞0，故再排除B ；当x→＋∞时，3x－1远远大于x 3的值且都为正，故331xx -→0且大于0，故排除D ，选C.11．设函数f （x ）满足()2132f x f log x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，则f （4）等于（ ） A ．32B ．6C ．92D ．1【答案】B【解析】由函数()f x 满足()2132f x f log x ⎛⎫=+⎪⎝⎭，先求出1322f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，由此能求出()4f 的值．【详解】解：∵函数()f x 满足()2132f x f log x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭， 21111()3()log 3()2222f f f ∴=+=-，13()22f ∴=，()21343()log 432622f f ∴=+=+⨯=．故选：B ． 【点睛】本题考查函数值的求法，考查函数性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．12．已知函数()2242,0,0x x x f x log x x ⎧++≤=⎨>⎩，且方程()f x a =有三个不同的实数根1x ，2x ，3x ，则123x x x ++的取值范围为( )A ．15,04⎛⎤-⎥⎝⎦B ．15,24⎛⎤-⎥⎝⎦C ．[)4,-+∞D ．[)4,2-【答案】A【解析】根据题意可知，方程()f x a =有三个不同的实数根即等价于函数()y f x =的图象与直线y a =出123x x x ++的取值范围． 【详解】解：作出函数()f x 的图象，方程()f x a =有三个不同的实数根即等价于函数()y f x =的图象与直线y a =有三个交点A ，B ，C ，故有22a -<…， 不妨设123x x x <<，因为点A ，B 关于直线2x =-对称，所以124x x +=-， 232log 2x -<…，即3144x <…，故1231504x x x -<++…． 故选：A ．【点睛】本题主要考查方程的根与函数图象交点的横坐标之间的关系，属于中档题．二、填空题13．函数f （x ）=log 3（1+x ）的定义域是______． 【答案】314x x ⎧⎫-<≤⎨⎬⎩⎭【解析】根据真数大于0和偶次根式被开方数非负列不等式求解即可． 【详解】 依题意，10340x x +>⎧⎨-≥⎩，解得-134x ≤＜，3⎧⎫故答案为：34x x ⎧⎫-≤⎨⎬⎩⎭|1＜． 【点睛】本题考查了函数的定义域的求法，考查分析解决问题的能力，属于基础题．14．函数f （x ）与g （x ）互为反函数，且g （x ）=log a x （a ＞0，且a ≠1），若函数f （x ）的图象经过点（2，9），则函数f （x ）的解析式为______ 【答案】()3xf x =【解析】函数()f x 与()g x 互为反函数，且()log (0,1)a g x x a a =>≠，可得()(0,1)x f x a a a =>≠，根据函数()f x 的图象经过点(2,9)，代入29a =，解得a ，即可得出函数()f x 的解析式． 【详解】函数()f x 与()g x 互为反函数，且()log (0,1)a g x x a a =>≠，()(0,1)x f x a a a ∴=>≠，若函数()f x 的图象经过点()2,9，则29a =，解得3a =． 函数()f x 的解析式为()3xf x =．故答案为：()3xf x =．【点睛】本题考查了互为反函数、方程的解法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题． 15．函数y =lo13g （2x 2-5x -3）的单调递增区间为______ ．【答案】1,2⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭【解析】令22530t x x =-->，求得函数的定义域，根据13log y t =，本题即求函数t在定义域内的减区间，再利用二次函数的性质可得结论． 【详解】令22530t x x =-->，求得21x <-，或3x >，故函数的定义域为1|32x x x ⎧⎫<->⎨⎬⎩⎭或，，且13log y t =为减函数，再利用二次函数的性质可得函数t 在定义域内的减区间为12⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭，-，故答案为：12⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭，-． 【点睛】本题主要考查复合函数的单调性，对数函数、二次函数的性质，体现了转化的数学思想，属于基础题． 16．给出定义：若（其中M 为整数），则M 叫做离实数x 最近的整数，记作。
2018-2019学年江西省南昌市八一中学、洪都中学高一(上)期末数学试卷(解析版)
2018-2019学年江西省南昌市八一中学、洪都中学高一（上）期末数学试卷一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1．（5分）已知集合A＝{x|2﹣x＜2}，B＝{x|log2x＞0}，则（）A．A∩B＝{x|x＞1}B．A∩B＝∅C．A∪B＝{x|x＜﹣1或x＞1}D．A∪B＝R2．（5分）下列命题中正确的是（）A．若两个向量相等，则它们的起点和终点分别重合B．模相等的两个平行向量是相等向量C．若和都是单位向量，则D．两个相等向量的模相等3．（5分）计算2sin2105°﹣1的结果等于（）A．B．C．D．4．（5分）函数f（x）＝x﹣的图象关于（）A．y轴对称B．原点对称C．直线y＝x对称D．直线y＝﹣x对称5．（5分）若函数f（x）＝sin（2x+φ）为R上的偶函数，则φ的值可以是（）A．B．C．D．π6．（5分）设D为△ABC所在平面内一点，，则（）A．B．C．D．7．（5分）已知，则（）A．b＞a＞c B．a＞c＞b C．a＞b＞c D．c＞a＞b8．（5分）若||＝1，||＝2，＝，且，则与的夹角为（）A．30°B．60°C．120°D．150°9．（5分）将函数y＝2sin（2x+）的图象向左平移个最小正周期后，所得图象对应的函数为（）A．y＝﹣2sin（2x+）B．y＝2sin（2x﹣）C．y＝2cos（2x+）D．y＝﹣2os（2x+）10．（5分）若＜α＜π，化简的结果是（）A．﹣2tanαB．2tanαC．﹣2cotαD．2cotα11．（5分）△ABC的外接圆的圆心为O，半径为1，若+＝2，且||＝||，则△ABC的面积为（）A．B．C．2D．112．（5分）设函数f（x）＝a sin x+b cos x，其中a，b∈R，ab≠0，若f（x）≥f（）对一切x∈R恒成立，则下列结论中正确的是（）A．f（）＝0B．点（，0）是函数f（x）的一个对称中心C．f（x）在（0，）上是增函数D．存在直线经过点（a，b）且与函数f（x）的图象有无数多个交点二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13．（5分）函数f（x）＝log2（x2﹣5），则f（3）＝．14．（5分）已知平面向量，的夹角为，||＝4，||＝2，则|﹣2|＝．15．（5分）函数y＝1﹣sin2x﹣2sin x的值域是．16．（5分）若f（x）是定义在R上的偶函数，当x≥0时，f（x）＝，若方程f（x）＝kx恰有3个不同的根，则实数k的取值范围是．三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17．（10分）已知向量＝（3，4），＝（﹣1，2）．（1）求向量与夹角的余弦值；（2）若向量﹣λ与+2平行，求λ的值．18．（12分）已知tanα＝2．（1）求tan（α+）的值；（2）求的值．19．（12分）已知向量＝（cos x，﹣1），＝（sin x，cos2x），设函数f（x）＝•+．（Ⅰ）求函数f（x）的最小正周期和单调递增区间；（Ⅱ）当x∈（0，）时，求函数f（x）的值域．20．（12分）已知函数f（x）＝A sin（ωx+ϕ）（x∈R，A＞0，ω＞0，|ϕ|＜）的部分图象如图所示，（Ⅰ）试确定f（x）的解析式；（Ⅱ）若＝，求cos（﹣α）的值．21．（12分）已知函数f（x）＝log3（2﹣sin x）﹣log3（2+sin x）（1）试判断函数的奇偶性（2）求函数的值域．22．（12分）已知函数f（x）＝2sin2（x+）﹣2cos（x﹣）﹣5a+2．（1）设t＝sin x+cos x，将函数f（x）表示为关于t的函数g（t），求g（t）的解析式；（2）对任意x∈[0，]，不等式f（x）≥6﹣2a恒成立，求a的取值范围．2018-2019学年江西省南昌市八一中学、洪都中学高一（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1．【解答】解：由2﹣x＜2得x＞﹣1，所以A＝{x|x＞﹣1}；由log2x＞0得x＞1，所以B＝{x|x＞1}．所以A∩B＝{x|x＞1}．故选：A．2．【解答】解：∵只要两个向量的方向相同，模长相等，这两个向量就是相等向量，故A 不正确，模长相等的两个平行向量是相等向量或相反向量，故B不正确，两个单位向量模长相等，故C不正确，向量相等则模长相等，故D正确，故选：D．3．【解答】解：，故选：D．4．【解答】解：∵f（﹣x）＝﹣x﹣＝﹣（x﹣）＝﹣f（x），x≠0，∴f（x）为奇函数，∴其图象关于原点对称，故选：B．5．【解答】解：函数f（x）＝sin（2x+φ）为R上的偶函数，则φ＝+2kπ，k∈Z；所以φ的值可以是．故选：C．6．【解答】解：由已知得到如图由＝＝＝；故选：A．7．【解答】解：因为log23.2＞l＞log42，所以；因为，，所以b＞c，所以a＞b＞c．故选：C．8．【解答】解：设与的夹角为θ，则0≤θ≤π，∵，∴＝0．再由＝（）•＝+＝1+1×2×cosθ＝0，可得cosθ＝﹣，∴θ＝，即θ＝120°，故选：C．9．【解答】解：函数y＝2sin（2x+），其周期T＝，图象向左平移个最小正周期后，可得y＝2sin[2（x+）+]＝2sin（2x+）＝2cos（2x+）故选：C．10．【解答】解：∵＜α＜π，∴sinα＞0，cosα＜0，∴＝﹣＝﹣＝＝＝﹣2tanα．故选：A．11．【解答】解：由于+＝2，由向量加法的几何意义，O为边BC中点，∵△ABC的外接圆的圆心为O，半径为1，∴三角形应该是以BC边为斜边的直角三角形，，斜边BC＝2，又∵||＝||，∴|AC|＝1，|AB|＝＝＝，∴S△ABC＝＝．故选：B．12．【解答】解：函数f（x）＝a sin x+b cos x＝sin（x+φ），sinφ，周期T＝2π．由题意么x＝取得最小值，a，b∈R，ab≠0，∴f（）＝0不正确；x＝取得最小值，那么就是相邻的对称中点，∴点（，0）不是函数f（x）的一个对称中心；因为x＝取得最小值，根据正弦函数的性质可知，f（x）在（0，）是减函数．故选：D．二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13．【解答】解：∵函数f（x）＝log2（x2﹣5），∴f（3）＝log2（9﹣5）＝log24＝2．故答案为：2．14．【解答】解：根据条件：；∴＝16+16+16＝16×3；∴．故答案为：．15．【解答】解：∵sin x∈[﹣1，1]，∴函数y＝1﹣sin2x﹣2sin x＝﹣（sin x+1）2+2，故当sin x＝1时，函数f（x）取得最小值为﹣4+2＝﹣2，当sin x＝﹣1时，函数f（x）取得最大值为2，故函数的值域为[﹣2，2]，故答案为：[﹣2，2]．16．【解答】解：∵当x＞2时，f（x）＝f（x﹣1），∴f（x）在（1，+∞）上是周期为1的函数，作出y＝f（x）的函数图象如下：∵方程f（x）＝kx恰有3个不同的根，∴y＝f（x）与y＝kx有三个交点，若k＞0，则，解得＜k≤，若k＜0，由对称性可知﹣≤k＜﹣．故答案为：[﹣，﹣）∪（，]．三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17．【解答】解：向量＝（3，4），＝（﹣1，2）．（1）向量与夹角的余弦值＝＝；（2）若向量﹣λ＝（3+λ，4﹣2λ）与+2＝（1，8）平行，则8（3+λ）＝4﹣2λ，解得λ＝﹣2．18．【解答】解：tanα＝2．（1）tan（α+）＝＝＝﹣3；（2）＝＝＝＝1．19．【解答】解：（Ⅰ）依题意向量＝（cos x，﹣1），＝（sin x，cos2x），函数f（x）＝•+＝＝．得…（3分）∴f（x）的最小正周期是：T＝π…（4分）由解得，k∈Z．从而可得函数f（x）的单调递增区间是：…（6分）（Ⅱ）由，可得…（9分）从而可得函数f（x）的值域是：…（12分）20．【解答】解：（Ⅰ）由图象可知A＝2，＝﹣＝，∴T＝2，ω＝＝π将点P（，2）代入y＝2sin（ωx+ϕ），得sin（+ϕ）＝1，又|ϕ|＜，所以ϕ＝．故所求解析式为f（x）＝2sin（πx+）（x∈R）6分（Ⅱ）∵f（）＝，∴2sin（+）＝，即，sin（+）＝∴cos（﹣a）＝cos[π﹣2（+）]＝﹣cos2（+）＝2sin2（+）﹣1＝﹣…12分．21．【解答】解：（1）f（x）的定义域为R，则对x∈R中的任意x都有所以f（x）为R上的奇函数．（2）令∵﹣1≤sin x≤1∴1≤2+sin x≤3∴∴∴﹣1≤f（x）≤1；即值域为[﹣1，1]．22．【解答】解：（1）∵t＝sin x+cos x＝sin（x+），∴t2＝sin2x+cos2x+2sin x cos x，∴sin x cos x＝．∵f（x）＝1﹣cos（2x+）﹣2（cos x+sin x）﹣5a+2＝3+sin2x﹣2（sin x+cos x）﹣5a＝3+2sin x cos x﹣2（sin x+cos x）﹣5a＝3+2×﹣2t﹣5a＝t2﹣2t﹣5a+2，∴f（x）＝g（t）＝t2﹣2t﹣5a+2（t∈[﹣，]）；（2）∵x∈[0，]，∴t＝sin x+cos x＝sin（x+）∈[1，]，又∵g（t）＝t2﹣2t﹣5a+2＝（t﹣1）2﹣5a+1在区间[1，]上单调递增，所以g（t）min＝g（1）＝1﹣5a，从而f（x）min＝1﹣5a，要使不等式f（x）≥6﹣2a在区间[0，]上恒成立，只要1﹣5a≥6﹣2a，解得a≤﹣．。
2018-2019学年江西省南昌市八一中学、洪都中学七校高一(上)期中数学试卷(解析版)
2018-2019学年江西省南昌市八一中学、洪都中学七校高一（上）期中数学试卷一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.设集合U={1，2，3，4，5}，A={1，2，3}，B={2，4}，则图中阴影部分所表示的集合是（）A. {1,3，4}B. {2,4}C. {4,5}D. {4}2.函数f（x）=3x2+3x-8，用二分法计算3x2+3x-8=0在x∈（1，2）内的根的过程中得：f（1）＜0，f（1.5）＞0，f（1.25）＜0，则方程的根落在区间（）A. (1,1.5)B. (1.5,2)C. (1,1.25)D. (1.25,1.5)3.下列函数中是偶函数，且在（0，+∞）上单调递增的是（）A. y=x3B. y=x23C. y=2xD. y=−x24.若a=0.89，b=90.8，c=log0.89，则（）A. c<a<bB. a<b<cC. c<b<aD. a<c<b5.已知f（x）=log19x(x≥6)3x(x＜6)，则f[f（2）]的值为（）A. 9B. −1C. 0D. 16.函数y=a x-a（a＞0，a≠1）的图象可能是（）A. B.C. D.7.要得到y=log5x−45的图象，只需将y=log5x的图象（）A. 先向左平移4个单位，再向上平移1个单位B. 先向右平移4个单位，再向下平移1个单位C. 先向左平移4个单位，再向上平移5个单位D. 先向右平移4个单位，再向下平移5个单位8.已知f（x）的定义域为[-2，2]，则函数g（x）=2x+1，则g（x）的定义域为（）A. (−12,3] B. (−1,+∞) C. (−12,0)∪(0,3) D. (−12,3)9.已知函数f（x）的定义域为R．当x＜0时，f（x）=x3-1，当-1≤x≤1时，f（-x）=-f（x），当x＞12时，f（x）=f（x+1），则f（6）=（）A. 2B. 0C. −1D. −210.已知f(x)=alg(9x2+1−3x)+bx+2，若f（m）=5，则f（-m）+f（m）=（）A. 0B. −5C. −1D. 411.函数f（x）=log a（5-ax）（a＞0，a≠1）在（1，3）上是减函数，则a的取值范围是（）A. [53,+∞) B. (15,1) C. (1,53) D. (1,53]12.设定义在R上的函数f（x）=1|x−1|，x≠11，x=1，若关于x的方程f2（x）+bf（x）+c=0，有3个不等的实数根x1，x2，x3，则x1+x2+x3=（）A. 0B. 1C. 3D. 2二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.函数f(x)=log1x+1的零点为______14.函数y=log a（2x-3）+2的图象恒过定点P，点P在指数函数f（x）的图象上，则f（-1）=______．15.定义在R上的奇函数f（x），满足f(−12)=0，且在（0，+∞）上单调递减，则xf （x）＞0的解集为______16.下列说法中：①[(−2)−2]−12=−2；②f(x)=1−x2|x+2|−2是非奇非偶的函数；③函数y=2x的图象与函数y=−(12)x的图象关于原点对称；④函数f(x)=2+mx+1的定义域是R，则m的取值范围是0≤m≤4；⑤函数f（x）=4x-2x+3的递减区间（-∞，12]．正确的有______．（把你认为正确的序号全部写上）三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17.计算下列各式：（1）(5116)0.5+(−10)2−23×276−4π0÷(34)−1（2）lg27+lg8−lg1000lg1.218.设全集为R，A={x|3≤x＜5}，B={x|2＜x＜10}，（1）求∁R（A∪B）及（∁R A）∩B；（2）若集合C={x|x≤2m-1}，A∩C≠∅，求m的取值范围．19. 已知f （x ）为二次函数且过原点，满足f （x +1）=f （x ）+2x -4，（1）求f （x ）的解析式；（2）求g (x )=f (log 1x )+log 1(2x )在区间[18，2]的最值．20. 经过市场调查，某种商品在销售中有如下关系：第x （1≤x ≤30，x ∈N +）天的销售价格（单位：元/件）为f (x )= 40−x ,10<x ≤3020+x ,1≤x≤10，第x 天的销售量（单位：件）为g （x ）=a -x （a 为常数），且在第10天该商品的销售收入为600元（销售收入=销售价格×销售量）．（1）求a 的值，并求第15天该商品的销售收入； （2）求在这30天中，该商品日销售收入y 的最大值．21. 函数f （x ）的定义域为D ，满足对任意的x ，y ∈D ，都有f （x ）+f （y ）=f （xy ）．（1）若D =R ，试判断f （x ）的奇偶性并证明你的结论；（2）若D =（0，+∞），且f （x ）在定义域D 上是单调函数，满足f （16）=2，解不等式f （2-x ）-f （x -1）＜1 22. 已知定义域为R 的函数f (x )=2x −n 2x +1+m是奇函数．（1）求f （x ）的解析式；（2）试判断f （x ）的单调性，并用定义法证明；（3）若对任意的t ∈[1，4]，不等式f (log 2t −2t )+f (2t 2−k )＜0恒成立，求实数k 的取值范围．答案和解析1.【答案】D【解析】解：图中阴影部分所表示的集合是由在集合B不在集合A中的元素组成的总体，故集合为{4}．故选：D．中阴影部分所表示的集合是由在集合B不在集合A中的元素组成的总体．本题考查了图视法表示集合，属于基础题．2.【答案】D【解析】解：用二分法计算3x2+3x-8=0在x∈（1，2）内的根的过程中得：f（1）＜0，f（1.5）＞0，f（1.25）＜0，而方程的根据就是函数f（x）=3x2+3x-8的零点，根据函数零点的判定定理可得方程的根落在区间（1.25，1.5）内，故选：D．题干有误：应该指明：函数f（x）=3x2+3x-8．请给修改题干，谢谢．方程的根据就是函数f（x）=3x2+3x-8的零点，根据函数零点的判定定理可得方程的所在得区间．本题主要考查用二分法求方程的近似解，函数的零点的判定定理的应用，属于基础题．3.【答案】B【解析】解：根据题意，依次分析选项：对于A，y=x3，是幂函数，是奇函数，不符合题意；对于B，y==，是偶函数，且在（0，+∞）上单调递增，符合题意；对于C，y=2x，是指数函数，不是偶函数，不符合题意；对于D，y=-x2，为二次函数，在（0，+∞）上单调递减，不符合题意；故选：B．根据题意，依次分析选项，综合即可得答案．本题考查函数的奇偶性与单调性的判定，关键是掌握常见函数的单调性与奇偶性．4.【答案】A【解析】解：∵0＜a=0.89＜0.80=1，b=90.8＞90=1，c=log0.89＜log0.81=0，∴c＜a＜b．故选：A．利用指数函数、对数函数的单调性直接求解．本题考查三个数的大小的判断，考查指数函数、对数函数的单调性等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．5.【答案】B【解析】解：∵f（x）=，∴f（2）=32=9，∴f[f（2）]=f（9）==-1．故选：B．推导出f（2）=32=9，从而f[f（2）]=f（9），由此能求出结果．本题考查函数值的求法，考查函数性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．6.【答案】C【解析】解：由于当x=1时，y=0，即函数y=a x-a 的图象过点（1，0），故排除A、B、D．故选：C．通过图象经过定点（1，0），排除不符合条件的选项，从而得出结论．本题主要考查指数函数的图象和性质，通过图象经过定点（1，0），排除不符合条件的选项，是一种简单有效的方法，属于中档题．7.【答案】B【解析】解：=log5（x-4）-1，将y=log5x的图象向右平移4个单位得到y=log5（x-4），将y=log5（x-4）的图象向下平移1个单位，得到，∴要得到的图象，只需将y=log5x的图象先向右平移4个单位，再向下平移1个单位．故选：B．=log5（x-4）-1，将y=log5x的图象向右平移4个单位得到y=log5（x-4），将y=log5（x-4）的图象向下平移1个单位，得到，由此能求出结果．本题考查命题真假的判断，考查函数图象的平移的性质等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是中档题．8.【答案】A【解析】解：f（x）的定义域为[-2，2]，函数g（x）=，可得，解得-．函数g（x）=，则g（x）的定义域为：{x|}．故选：A．利用厚生的定义域列出不等式，求解可得函数的定义域．本题考查函数的定义域的求法，考查计算能力．9.【答案】A【解析】解：∵函数f（x）的定义域为R．当x＜0时，f（x）=x3-1，当-1≤x≤1时，f（-x）=-f（x），当x时，f（x）=f（x+1），∴f（6）=f（0）=0．故选：A．推导出f（6）=f（0），由此能求出结果．本题考查函数值的求法，考查函数性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．10.【答案】D【解析】解：设，则=；∴g（-m）+g（m）=0；∴f（-m）+f（m）=g（-m）+2+g（m）+2=4．故选：D．可设，容易得出g（-x）=g（x），从而g（-m）+g（m）=0，这样即可求出f（-m）+f（m）．考查奇函数的定义及判断，以及对数的运算．11.【答案】D【解析】解：根据题意，对于函数f（x）=log a（5-ax），令t=5-ax，则y=log a t，又由a＞0且a≠1，则t=5-ax为减函数，若函数f（x）=log a（5-ax）在（1，3）上是减函数，必有，解可得1＜a≤，即a的取值范围为（1，]；故选：D．根据题意，令t=5-ax，则y=log a t，由a的范围分析可得t=5-ax为减函数，进而结合复合函数的单调性判定方法可得，解可得a的取值范围，即可得答案．本题考查复合函数的单调性，涉及对数函数的性质，属于基础题．12.【答案】C【解析】解：作出函数的图象如图：易知f（x）的图象关于直线x=1对称，设t=f（x），则当t=1时，方程f（x）=t有3个根，当t＞0且t≠1时，方程f（x）=t有2个根，当t≤0时，方程f（x）=t有0个根，对于方程f2（x）+bf（x）+c=0，是一个关于f（x）的一元二次方程，若方程f2（x）+bf（x）+c=0，有3个不等的实数根x1，x2，x3，则此一元二次方程仅有一根，即t=1，f（x）=1，此时x1，x2，x3三个数中有一个是1，另两个关于x=1对称，此时有x1+x2+x3=3，故选：C．作出f（x）的图象，根据函数图象的特点得到函数关于直线x=1对称．从而得出f2（x）+bf（x）+c=0必有一根使f（x）=1，利用数形结合即可得到结论．本题主要考查方程根的个数的应用，利用数形结合是解决本题的关键，考查学生的综合应用能力．13.【答案】2【解析】解：根据题意，函数，若f（x）=0，即+1=0，解可得：x=2，则函数的零点为2；故答案为：2．根据题意，由函数零点的概念可得+1=0，解可得x的值，即可得答案．本题考查函数零点的计算，关键是掌握函数零点的定义，属于基础题．14.【答案】22【解析】解：由题意，令2x-3=1，则y=2，即点P（2，2），由P在指数函数f（x）的图象上可得，2=a2，则a=，则f（x）=，则f（-1）=，故答案为：．由题意求出点P的坐标，代入f（x）求函数解析式，再将-1代入即可．本题考查了对数函数与指数函数的性质应用，属于基础题．15.【答案】(−12，0)∪(0，12)【解析】解：∵函数f（x）是奇函数，在（0，+∞）上单调递减，且f（）=0，∴f（）=0，且在区间（-∞，0）上单调递减，∵当x＜0，当-＜x＜0时，f（x）＜0，此时xf（x）＞0，当x＞0，若0＜x＜时，f（x）＞0，此时xf（x）＞0，综上xf（x）＞0的解集为．故答案为：．由已知中f（）=0，且在（0，+∞）上单调递减，可得f（）=0，且在区间（-∞，0）上单调递减，分类讨论后，可得xf（x）＞0的解．本题主要考查函数的单调性和奇偶性的综合应用，体现了转化的数学思想．16.【答案】③④【解析】解：对于①，[（-）-2]=（）=，故①错；对于②，的定义域为[-1，0）∪（0，1]，则f（x）=，由f（-x）=-f（x），可得f（x）为奇函数，故②错；对于③，函数y=2x的图象关于原点对称的图象为函数y=-（）x的图象，故③对；对于④，函数的定义域是R，即mx2+mx+1≥0恒成立，m=0时，显然成立；m＞0，且△=m2-4m≤0，即0＜m≤4；m＜0，显然不恒成立，综合可得m的取值范围是0≤m≤4，故④对；对于⑤，可令t=2x，函数y=t2-t+3，即y=（t-）2+，由t≤，可得x≤-1，可得f（x）的递减区间（-∞，-1]，故⑤错．故答案为：③④．运用指数的运算性质可判断①；求得f（x）的定义域，化简f（x），由奇偶性的定义可判断②；由关于原点对称的特点，将x换为-x，y换为-y，可判断③；由二次不等式恒成立思想，可判断④；可令t=2x，函数y=t2-t+3，即y=（t-）2+，运用指数函数和二次函数的单调性，以及复合函数的单调性：同增异减，可判断⑤．本题考查函数的奇偶性、对称性和单调性、定义域的求法，考查分类讨论思想方法和换元法，运算能力和推理能力，属于中档题．17.【答案】解：（1）原式=(32)4×0.5+10-2 33×336-4×34=94+10-6-3=134． （2）原式=lg 332+lg 23−lg 1032lg1210=32lg 3+3lg 2−32lg (3×4)−1=32(lg 3+2lg 2−1)lg 3+2lg 2−1=32．【解析】（1）利用指数运算性质即可得出． （2）利用对数运算性质即可得出．本题考查了指数与对数运算性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．18.【答案】解：（1）∵A ={x |3≤x ＜5}，B ={x |2＜x ＜10}，∴A ∪B ={x |2＜x ＜10}，∴∁R （A ∪B ）={x |x ≤2，或x ≥10}． ∵∁R A ={x |x ＜3，或x ≥5}，∴（∁R A ）∩B ={x |2＜x ＜3，或5≤x ＜10}； （2）集合C ={x |x ≤2m -1}，且A ∩C ≠∅， ∴2m -1≥3，则m ≥2． 【解析】（1）由并集运算求得A ∪B ，再由补集运算求∁R （A ∪B ）；求出∁R A ，再由交集运算求解（∁R A ）∩B ；（2）由已知可得关于m 的不等式，求解得答案． 本题考查交、并、补集的混合运算，是基础的计算题．19.【答案】解：（1）设f （x ）=ax 2+bx +c ，因为f （0）=0，故c =0----------------（1分）则f （x +1）=a （x +1）2+b （x +1） =ax 2+（2a +b ）x +a +bf （x ）+2x -4 =ax 2+bx +2x -4=ax 2+（b +2）x -4，故 a +b =−42a +b =b +2，则a =1，b =-5所以f （x ）=x 2-5x ----------------（6分）（2）g (x )=(log 12x )2−5log 12x +log 12x +log 122=(log 12x )2−4log 12x −1令log 12x =t ∈[−1，3]，则y =t 2-4t -1，t ∈[-1，3]当t =2时，y min =-5；当t =-1时，y max =4----------------（12分） 【解析】（1）利用待定系数法，求解函数的解析式即可．（2）利用换元法，结合二次函数的性质求解函数的最值即可．本题考查函数与方程的应用，函数的最值的求法，换元法的应用，考查计算能力．20.【答案】解：（1）当x =10时，由f （10）•g （10）=（20+10）（a -10）=600，解得a =30．从而可得f （15）•g （15）=25×15=375（元）， 即第15天该商品的销售收入为375元；（2）由题意可知y = (40−x )(30−x ),10<x ≤30(20+x )(30−x ),1≤x≤10， 即y = x 2−70x +1200,10<x ≤30−x 2+10x +600,1≤x≤10，当1≤x ≤10时，y =-x 2+10x +600=-（x -5）2+625， 故当x =5时y 取最大值，y max =625，当10＜x ≤30时，y ＜102-70×10+1200=600， 故当x =5时，该商品日销售收入最大，最大值为625元． 【解析】（1）由已知结合f （10）•g （10）=600求得a 值，代入g （x ）的解析式，进一步求得f （15）•g （15）得答案；（2）直接利用配方法求二次函数的最值得答案．本题考查简单的数学建模思想方法，考查分段函数值域的求法，是中档题． 21.【答案】解：（1）令x =y =1，则f （1）+f （1）=f （1），故f （1）=0令x =y =-1，则f （-1）+f （-1）=f （1），故f （-1）=0 令y =-1，则f （x ）+f （-1）=f （-x ）即f （-x ）=f （x ）， 所以f （x ）为偶函数----------------（5分）（2）令x =y =4，则f （4）+f （4）=f （16），故f （4）=1由f （4）=1，又f （16）=2，且f （x ）在定义域D 上是单调函数 所以f （x ）在定义域D 上是单调增函数f （2-x ）-f （x -1）＜1 ⇒f （2-x ）＜f （x -1）+f （4） ⇒f （2-x ）＜f [4（x -1）]可得 2−x ＞0x −1＞02−x ＜4(x −1)，解得65＜x ＜2----------------（12分） 【解析】（1）利用赋值法求出f （1）=0，f （-1）=0，证明f （-x ）=f （x ），得到f （x ）为偶函数． （2）利用偶函数以及已知条件推出f （2-x ）＜f[4（x-1）]，列出不等式组求解即可． 本题考查函数与方程的应用，抽象函数的应用，考查发现问题解决问题的能力，转化思想的应用．22.【答案】解：（1）由题意可得 f (−1)=−f (1)f (0)=0⇒ 20−n2+m =02−1−n2+m=−21−n 2+m，解得n =1m =2， 故f (x )=2x −12+2----------------（4分）（2）∵f (x )=2x −12+2=12−12+1，可得f （x ）在R 上单调递增----------------（5分）任取x 1，x 2∈R ，满足x 1＜x 2∴f (x 1)−f (x 2)=12−121+1−12+122+1=122+1−121+1=2x 1−2x 2(21+1)(22+1)， ∵x 1＜x 2∴2x 1＜2x 2 即2x 1−2x 2＜0，又2x 1+1＞0，2x 2+1＞0，∴f （x 1）-f （x 2）＜0即f （x 1）＜f （x 2）， 故f （x ）在R 上单调递增----------------（8分）（3）由f (log 2t −2t )+f (2t 2−k )＜0⇒f (log 2t −2t )＜−f (2t 2−k )， 因为f （x ）是奇函数，所以f (log 2t −2t )＜f (k −2t 2)， 由（2）可知f （x ）在R 上单调递增，所以对任意的t ∈[1，4]，log 2t −2t ＜k −2t 2恒成立，故k ＞(log 2t +2t 2−2t )max =log 24+2×42−2×4=26， 所以k 的取值范围为（26，+∞）----------------（12分） 【解析】（1）由奇函数的性质可知，f （0）=0，f （-1）=-f （1），代入可求； （2）利用函数的单调性的定义即可判断；（3）结合函数的单调性及奇函数的性质即可求解．本题主要考查了函的奇偶性及函的单调性的综合应用，解题的关键是函数性质的灵活应用．。
江西省南昌市八一中学、洪都中学2018-2019学年高一10
2018～2019学年度第一学期高一数学10月份联考试卷一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．已知集合A={0，1，2}，B={1，2 }．则A B =（ ）A ．{0}B ．{2}C ．{0，2}D ．{1，2}2．函数()1xf x x -的定义域是（ ） A.（–1，+∞） B.（–1，1）∪（1，+∞） C ．[–1，+∞）D ．[–1，1）∪（1，+∞）3．已知全集U =R ，集合A ={0，1，2，3，4}，{20}B x x x =><或，则图中阴影部分表示的集合为（ ）A.{0，1，2}B.{1，2}C.{3，4}D.{0，3，4} 4．下列哪组中的两个函数是同一函数（ ） A ．y=与y=B ．y=与y=x+1C. 与D ．y=x 与5．在映射f ：A→B 中，且f ：（x ，y ）→（x ﹣y ，x+y ），则与A 中的元素 （﹣1，2）对应的B 中的元素为（ ） A ．（1，3） B ．（﹣3，1）C ．（﹣1，﹣3）D ．（3，1）6.集合 的真子集的个数是（ ） A ．9 B.8 C.7 D.67.已知集合{12}A x x =-≤<，{}B x x a =<，若A B ⋂≠∅，则实数a 的取值范围为（ ）A. 12a -<≤B. 1a >-C. 2a >-D. 2a ≥ 8．函数y =的单调递减区间为（ ） A ．（﹣∞，﹣3] B ．（﹣∞，﹣1]C ．（1，+∞）D ．（﹣3，﹣1]()f x x =2()g t =2{6,}y N y x x N ∈=-+∈9.已知函数2223()(1)m m f x m m x --=--是幂函数，且在(0,)x ∈+∞递减，则实数m =（ ）A.2B.-1C.4D.2或-1 10．已知函数，则函数f （x ）的表达式为（ ） A. B. C. D ． 11．函数1)3(2)(2+-+=x a ax x f 在区间[3,)-+∞上递减，则实数a 的取值范围是（ ）A ．(,0)-∞B ．3[,)2-+∞C ．3[,0]2- D ．(0,)+∞ 12．已知函数24,(1)(),(1)x ax x f x ax x ---≤⎧⎪=⎨>⎪⎩是R 上的增函数，则a 的取值范围是（ ）A ．30a -≤<B ．32a -≤<- C.2a <- D ．0a <二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）13．设集合{,}A x y =，2{0,}B x =，若A ＝B ，则2x y +=______14．已知集合{A x y ==错误！未找到引用源。
(全优试卷)高一数学上学期期末联考试题及答案(新人教A版 第53套)
江西省南昌市八一中学、洪都中学、麻丘中学、省教院附中高一数学上学期期末联考试题新人教A 版第Ⅰ卷（选择题 共50分）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知θθtan sin ⋅＜0，那么角θ是（ ）A ．第一或第二象限角B ．第二或第三象限角C ．第三或第四象限角D ．第一或第四象限角 2. 下列函数中，既是奇函数又是增函数的为（ ）A.1cos -=x yB. 3y x =- C. ||y x x = D. 1y x= 3. 已知角α是第二象限角,角α的终边经过点(),4P x ,且5cos x=α,则tan α=（ ） A ．43 B ．34 C ．34- D ．43-4. 方程-125x x +=的解所在的区间是（ ）A. ()0,1B. ()1,2C.()2,3D. ()3,4 5. 已知tan 3θ=，则22sin sin cos 2cos θθθθ+-=（ ）A ．1B ．2C ．3D ． 46. 设12log 3a =，0.21()3b = ，132c =，则a b c ,,的大小顺序为（ ）A. c b a <<B. a b c <<C. b a c <<D. c a b << 7. 若θ是△ABC 的一个内角，且81cos sin -=θθ，则θθcos sin -的值为( ) A ．23-B ．23 C ．25-D ．25 8 .已知函数()sin()f x A x ωϕ=+（其中π0,2A ϕ><）的部分图像如下图所示，的值为（ ）A ．BC ．D ．19．已知3cos()45x π+=-，且x 是第三象限角，则1tan 1tan x x +-的值为（ ） A. 34－ B. 43－ C. 34 D. 4310. 函数x a x y sin 2cos 2+=在区间,6ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最大值为2,则实数a 的值为( ) A ． 1或 54-B ． 54-C ．54D ． 1或54第Ⅱ卷（非选择题 共100分）二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．11.已知扇形AOB 的周长是6，中心角是1弧度，则该扇形的面积为________. 12. ()sin135cos15cos45sin 15--的值为______________.13.︒= .14. 若2(3),6()log ,6f x x f x x x +<⎧=⎨≥⎩，则)1(-f = _________.15. 给出下列结论：①函数y =的定义域为(34，+∞)；②sin 6002︒=；③函数5sin 24y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭的图像关于点,08π⎛⎫- ⎪⎝⎭对称；④若角的集合,24k A k ππαα⎧⎫==+∈Z ⎨⎬⎩⎭,,4B k k πβαπ⎧⎫==±∈Z ⎨⎬⎩⎭,则A B =；⑤函数tanxy =的最小正周期是π,对称轴方程为直线()2k x k π=∈Z .其中正确结论的序号是 _______.三、解答题：本大题共5小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 16．（本小题12分）已知集合}015|{2=+-=px x x A ,}0|{2=--=b ax x x B ,}5,3,2{=B A ,}3{=B A ,求,,p a b 的值.17.(本题满分12分)已知α为第三象限角，()3sin()cos()tan()22tan()sin()f ππααπαααπαπ-+-=----.（1）化简()fα；（2，求tan 2α的值.18. (本题满分12分)（1求β的值. （2）已知4A B +=，求证：(1tan )(1tan )2A B ++=.19．（本题满分12分）已知函数2()2cos cos .f x x x x =+(１)求函数)(x f 的单调递减区间． (２)将函数()y f x =的图像向左平移12π个单位,再将所得图像上各点的横坐标缩短为原来的12倍,纵坐标不变,得到函数()y g x =的图像.求()g x 在⎢⎣⎡⎥⎦⎤4,0π上的值域．20.（本小题满分13分）某同学在一次研究性学习中发现，以下五个式子的值都等于同一个常数：(1)sin 213°＋cos 217°－sin13°cos17°；(2)sin 215°＋cos 215°－sin15°cos15°；(3)sin 218°＋cos 212°－sin18°cos12°；(4)sin 2(－18°)＋cos 248°－sin(－18°)cos48°；(5)sin 2(－25°)＋cos 255°－sin(－25°)cos55°. (1)请根据(2)式求出这个常数；(2)根据(1)的计算结果，将该同学的发现推广为三角恒等式，并证明你的结论． （证明步骤尽可能详细！）21.（本小题满分14分）设函数2()=2f x kx x +(k 为实常数)为奇函数，函数()()1f x g x a =-(01a a >≠且).(1)求k 的值；(2)求()g x 在[]-1,2上的最大值；(3)当a =时，2()21g x t mt ≤-+对所有的[1,1]x ∈-及[1,1]m ∈-恒成立，求实数t 的取值范围．第一学期期末联考考试高一数学试卷参考答案二．填空题（本大题共5小题，每题5分，共25分） 11.2 12 13 .1- 14. 3 15. ③④⑤ 16. 解: }015|{2=+-=px x x A ,}0|{2=--=b ax x x B ,}3{=B A .B A ∈∈∴3,3. …………………………2分015332=+⨯-∴p . 8=∴p . ……………….4分}5,3{}0158|{2==+-=∴x x x A . ……………6分又}5,3,2{=B A ，}3{=B A ， }3,2{=∴B . …………….8分∴2,3是方程02=--b ax x 的两根,6,5-==∴b a ……………12分17．解：（1………..6分（结果为cos α酌情给3分）（2又已知α为第三象限角，………………8分18. (1) 由cosα＝17，0<α<π2，得sinα＝1－cos 2α＝＝437，由0<β<α<π2，得0<α－β<π2.又∵cos(α－β)＝1314，∴sin(α－β)＝1－cos 2(α－β)＝1－(1314)2＝3314……….3分由β＝α－(α－β)得cosβ＝cos[α－(α－β)]＝cosαcos(α－β)＋sinαsin(α－β)＝17×1314＋437×3314＝12，….6分 ∴β＝π3. ………………………………………………..………………8分（2）证明：tan tan ,tan()1,41tan tan A BA B A B A Bπ++=∴+==-得tan tan 1tan tan ,A B A B +=-…………………………………10分 1tan tan tan tan 2A B A B +++=(1tan )(1tan )2A B ∴++=…………………12分 19. 答案：（1）()2cos 21f x x x =++…………….2分2sin(2)16x π=++…………………..4分2326222πππππ+≤+≤+∴k x k所以，减区间为Z k k k ∈++],32,6[ππππ…………..6分(2)因为将()2sin 21123f x y x ππ=++左移得到（）， 横坐标缩短为原来的21，得到1)34sin(2)(++=πx x g …………..8分40π≤≤x 34343πππ≤+≤∴x 134sin 23≤⎪⎭⎫ ⎝⎛+≤-∴πx31)34sin(231≤++≤-∴πx . 所以所求值域为[1-……………..12分20．解：解法一：(1)计算如下：sin 215°＋cos 215°－sin15°cos15°＝1－12sin30°＝1－14＝34…………..3分(2)三角恒等式为sin 2α＋cos 2(30°－α)－sin αcos(30°－α)＝34……….7分证明如下： sin 2α＋cos 2(30°－α)－sin αcos(30°－α)＝sin 2α＋(cos30°cos α＋sin30°sin α)2－sin α(cos30°cos α＋sin30°sin α)…….10分＝sin 2α＋34cos 2α＋32sin αcos α＋14sin 2α－32sin αcos α－12sin 2α＝34sin 2α＋34cos 2α＝34……………………………….13分 解法二：(1)同解法一．(2)三角恒等式为sin 2α＋cos 2(30°－α)－sin αcos(30°－α)＝34…….7分证明如下： sin 2α＋cos 2(30°－α)－sin αcos(30°－α) ＝1－cos2α2＋1＋cos 60°－2α2－sin α(cos30°cos α＋sin30°sin α) (10)分＝12－12cos2α＋12＋12(cos60°cos2α＋sin60°sin2α)－32sin αcos α－12sin 2α ＝12－12cos2α＋12＋14cos2α＋34sin2α－34sin2α－14(1－cos2α) ＝1－14cos2α－14＋14cos2α＝34…………………13分21. （1）由()()f x f x -=-得 2222kx x kx x -=--，∴k =0． ······························ 2分 （2）∵()22() 11()1f x x x g x a a a =-=-=- ················ 3分 ①当21a >，即1a >时，2() ()1x g x a =-在[1,2]-上为增函数，∴()g x 最大值为4(2)1g a=-． ···················· 5分②当21a <，即01a <<时， ∴2() ()x g x a =在[1,2]-上为减函数，。
江西省南昌市八一中学2019届高三数学上学期期末考试试题文
2018-2019学年度第一学期南昌市八一中学期末考试试卷高三文科数学一、选择题：（共12小题，每小题5分，共60分）1．若复数11iz i+=-，z 为z 的共轭复数，则()2017z= （ ）A. iB. i -C. 20172i -D. 20172i2．已知全集U R =，集合{}260A x x x =--≤，401x B x x -⎧⎫=≤⎨⎬+⎩⎭,那么集合()U A C B =（ ） A. [)2,4- B. (]1,3- C. []2,1-- D. []1,3- 3．在△ABC 中，||=||，||=||=3，则=（ ）A ．3B ．﹣3 C． D．﹣4．执行框图，若输出结果为3，则可输入的实数x 值的个数为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．45．如图，M 是半径R 的圆周上一个定点，在圆周上等可能的任取一点N ，连接MN ，则弦MN的概率是（ ） A ．15 B ．14 C ．13 D ．126．以下四个命题中，正确的个数是（ ）①命题“若)(x f 是周期函数，则)(x f 是三角函数”的否命题是“若)(x f 是周期函数，则)(x f 不是三 角函数”；②命题“存在0,2>-∈x x R x ”的否定是“对于任意0,2<-∈x x R x ”；③在ABC ∆中， “B A sin sin >”是“B A >”成立的充要条件；④命题:2p x ≠或3y ≠，命题:5q x y +≠，则p 是 q 的必要不充分条件； A ．0 B ．1 C ．2 D ．37．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的体积为（ ） A.163π B.112π C. 173π D. 356π 8．已知函数()f x 既是二次函数又是幂函数,函数()g x 是R 上的奇函数，函数()()()11g x h x f x =++，则()()()()()()()()()201820172016101201620172018h h h h h h h h h ++++++-+-+-+-=() A. 0B. 4037C. 4036D. 20189．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且)(,*N n S a a n n ∈+==+12111，在等差数列{}n b 中，52=b ，且公差2=d .使得n b a b a b a n n 602211>+++ 成立的最小正整数n 为（ ）A ．2B ．3C ．4D ．510．已知角α的顶点与坐标原点O 重合，始边与x 轴的非负半轴重合，在α的始边上有点A ，终边上有点()(),20B m m m ->，满足OA OB =，若OA B θ∠=，则2s i n 22s i n 1c o s 2θθθ+=+（ ） A.12B.2C.4D.111．已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的左右焦点分别为12,F F ，P 为双曲线C 上一点，Q 为双曲线渐近线C 上一点，,P Q 均位于第一象限，且2122,0QP PF QF QF →→→→=⋅=，则双曲线C 的离心率为（ ）A 1B 1C 2D 212．已知锐角三角形ABC ，角C B A 、、的对边分别为a 、b 、c ，若2()b a a c =+，则2sin sin()AB A -的取值范围是（ ）A ． (0,1)B. 1(2C. D . 1(,1)2 二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．若变量y x ,满足260301x y x y x --≤⎧⎪-+≥⎨⎪≥⎩，目标函数()20,0z ax by a b =+>>取得最大值的是6，则12a b+的最小值为 ． 14．已知直线)1y x =-被圆2220x y x k +++=截得的弦长为2，则k =________. 15．函数y=f （x ）对定义域的每一个值x1，在其定义域内都存在唯一的x2，使f （x1）f （x2）=1成立，则称该函数为“依赖函数”．给出以下命题： ①y=是“依赖函数”；②y=是“依赖函数”；③y=2x 是“依赖函数”；④y=lnx 是“依赖函数”；⑤y=f （x ），y=g （x ）都是“依赖函数”，且定义域相同，则y=f （x ）．g （x ）是“依赖函数”．其中所有真命题的序号是 ．16．已知函数()()()⎪⎩⎪⎨⎧<++≥+=012012x x x x e xx f x ，若函数1))((--=a x f f y 有三个零点，则a 的取值范围是 ．三、解答题（本题共6小题,共70分,解答过程应写出文字说明,证明过程或演算步骤） 17．（12分）已知(3sin ,cos )m x x ωω=，(cos ,cos )n x x ωω=- (0,x R >∈ω)，1()2f x m n =⋅-且()f x 的图象上相邻两条对称轴之间的距离为2π.（Ⅰ） 求函数()f x 的单调递增区间；（Ⅱ）若ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且b =，()0f B =，sin 3sin A C =，求,a c 的值及AC 边上的中线.18．某大学生在开学季准备销售一种文具盒进行试创业，在一个开学季内，每售出1盒该产品获利润30元，未售出的产品，每盒亏损10元．根据历史资料，得到开学季市场需求量的频率分布直方图，如图所示．该同学为这个开学季购进了160盒该产品，以x （单位：盒，100200x ≤≤）表示这个开学季内的市场需求量，y （单位：元）表示这个开学季内经销该产品的利润．（1）根据直方图估计这个开学季内市场需求量x 的平均数；（2）将y 表示为x 的函数；（3）根据直方图估计利润y 不少于4000元的概率．19．在平行四边形ABCD 中，3AB =，2BC =，过A 点作CD 的垂线，交CD 的延长线于点E ，AE =连结EB ，交AD 于点F ，如图1，将A DE ∆沿AD 折起，使得点E 到达点P 的位置，如图2.（1）证明：平面BFP ⊥平面BCP ；（2）若G 为PB 的中点，H 为CD 的中点，且平面ADP ⊥平面ABCD ，求三棱锥G BCD -的体积.20．（12分）如图所示，已知圆0:22=-+x y x G 经过抛物线)0(22>=p px y 的焦点，直线l 交抛物线于A 、B 两点且与x 轴交于点M （m ，0）（m>0）。
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江西省南昌市八一中学、洪都中学2018-2019学年高一
上学期期末考试数学试题
一、选择题：本大题共12小题，共60.0分.
1.已知集合A={x|2-x＜2}，B={x|log2x＞0}，则（）
A. B.
C. 或
D.
2.下列命题中正确的是（）
A. 若两个向量相等，则它们的起点和终点分别重合
B. 模相等的两个平行向量是相等向量
C. 若和都是单位向量，则
D. 两个相等向量的模相等
3.计算2sin2105°-1的结果等于（）
A. B. C. D.
4.函数f（x）=x-的图象关于（）
A. y轴对称
B. 原点对称
C. 直线对称
D. 直线对称
5.若函数f（x）=sin（2x+φ）为R上的偶函数，则φ的值可以是（）
A. B. C. D.
6.设D为△ABC所在平面内一点，，则（）
A. B.
C. D.
7.已知，则（）
A. B. C. D.
8.若||=1，||=2，=，且，则与的夹角为（）
A. B. C. D.
9.将函数y=2sin（2x+）的图象向左平移个最小正周期后，所得图象对应的函数为（）
A. B.
C. D.
10.若＜α＜π，化简的结果是（）
A. B. C. D.
11.的外接圆的圆心为O，半径为1，若+=2，且||=||，则的面积为（）
A. B. C. D. 1
12.设函数f（x）=a sin x+b cos x，其中a，b∈R，ab≠0，若f（x）≥f（）对一切x∈R恒成立，则下列结论中正确的是（）
A. B.点是函数的一个对称中心
C. 在上是增函数
D.存在直线经过点且与函数的图象有无数多个交点
二、填空题：本大题共4小题，共20.0分.
13.函数f（x）=log2（x2-5），则f（3）=______．
14.已知平面向量，的夹角为，||=4，||=2，则|-2|=______．
15.函数y=1-sin2x-2sin x的值域是______ ．
16.若f（x）是定义在R上的偶函数，当x≥0时，f（x）=，若方程f（x）=kx恰有3个不同的根，则实数k的取值范围是______．
三、解答题：本大题共6小题，共70.0分.
17.（满分10分）已知向量=（3，4），=（-1，2）．
（1）求向量与夹角的余弦值；（2）若向量-λ与+2平行，求λ的值．
18.（满分12分）已知tan α=2．
（1）求tan（α+）的值；（2）求的值．
19.（满分12分）已知向量=（cos x，-1），=（sin x，cos2x），设函数f（x）=•+．（Ⅰ）求函数f（x）的最小正周期和单调递增区间；
（Ⅱ）当x∈（0，）时，求函数f（x）的值域．
20.（满分12分）已知函数f（x）=A sin（ωx+φ）（x∈R，A＞0，ω＞0，|φ|＜）的部分图象如图所示.
（Ⅰ）试确定f（x）的解析式；（Ⅱ）若=，求cos（-α）的值．
21.（满分12分）已知函数.
（1）试判断函数的奇偶性；（2）求函数的值域.
22.（满分12分）已知函数f（x）=2sin2（x+）-2cos（x-）-5a+2．
（1）设t=sin x+cos x，将函数f（x）表示为关于t的函数g（t），求g（t）的解析式；（2）对任意x∈[0，]，不等式f（x）≥6-2a恒成立，求a的取值范围．
【参考答案】
一、选择题
二、填空题
13.2 14.15.[-2，2] 16.[-，-）∪（，]
三、解答题
17.解：（1）因为向量=（3，4），=（-1，2）．所以•=3×（-1）+4×2=5，
又||==5，||==，所以cos＜，＞==；
（2）因为=（3，4），=（-1，2），所以-λ=（3+λ，4-2λ），+2=（1，8）；因为向量-λ与+2平行，所以8（3+λ）=4-2λ，解得：λ=-2．
18.解：tanα=2．
（1）tan（α+）===-3；
（2）====1．19.解：（Ⅰ）依题意向量=（cos x，-1），=（sin x，cos2x），
函数f（x）=•+==．得.
∴f（x）的最小正周期是：T=π.
由解得，k∈Z．
从而可得函数f（x）的单调递增区间是：.
（Ⅱ）由，可得，从而可得函数f（x）的值域是：.
20.解：（Ⅰ）由图象可知A=2，=-=，∴T=2，ω==π将点P（，2）代入y=2sin（ωx+φ），得 sin（+φ）=1，又|φ|＜，所以φ=．
故所求解析式为f（x）=2sin（πx+）（x∈R）.
（Ⅱ）∵f（）=，∴2sin（+）=，即，sin（+）=，
∴cos（-a）=cos[π-2（+）]=-cos2（+）=2sin2（+）-1=-.
21.解：（1），
的定义域为，则对中的任意都有
,
所以为上的奇函数.
（2）令，，，
，，，即值域为.
22.解：（1）∵t=sin x+cos x=sin（x+），
∴t2=sin2x+cos2x+2sin x cos x，∴sin x cos x=．
∵f（x）=1-cos（2x+）-2（cos x+sin x）-5a+2=3+sin2x-2（sin x+cos x）-5a
=3+2sin x cos x-2（sin x+cos x）-5a=3+2×-2t-5a=t2-2t-5a+2，
∴f（x）=g（t）=t2-2t-5a+2（t∈[-，]）.
（2）∵x∈[0，]，∴t=sin x+cos x=sin（x+）∈[1，]，
又∵g（t）=t2-2t-5a+2=（t-1）2-5a+1在区间[1，]上单调递增，所以g（t）min=g（1）=1-5a，从而f（x）min=1-5a，
要使不等式f（x）≥6-2a在区间[0，]上恒成立，
只要1-5a≥6-2a，解得a≤-．。