热力学中熵的计算
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3.3 热力学过程中熵的计算
1 理想气体的熵变 2 相变的熵变计算 3 不可逆过程的熵变计算
§4 热力学第二定律的统计意义
4.1 不可逆过程的统计性质 (以气体自由膨胀为例)
4.2 第二定律的统计表述 4.3 玻尔兹曼公式和熵的微观意义 [例题1] 用玻尔兹曼关系计算等温过程中的熵变
1
3.3 熵变的计算
由于焦尔定律，膨胀前后温度T0不变。为计算这一
不可逆过程的熵变，设想系统从初态(T0，V1)，到 P
终态(T0，V2)经历一可逆等温膨胀过程，可借助此 可逆过程（如图）求两态熵差。
1
2 T0
V1 V2 V
9
Q dU PdV PdV
PV RT
S2 S1
2 Q
1T
2 PdV 1 T0
R 2 dV R ln V2 0
4分子在容器中可能的分布情形如下图所示：
11
分布 （宏观态）
详细分布 （微观态）
12
共有24=16种可能的方式
C43
4! 3!(4
3)!
1
4
C42
4! 2!(4
2)!
6
4
C41
4! 1!(4
1)!
1
N个全同粒子在两个相同容器中，一方出现m个， 另一方出现(N-m)个的微观态数。(即从N中取m个
。此1数02值3 极
小，意味着此事件永远不会发生。从任何实际操作的意义上说，不可能发生此类事件，
因为在宇宙存
在的年限（ 1018秒）内谁也不会看到发生此类事件。
对单个分子或少量分子来说，它们扩散到B部的过程原则上是可逆的。但对大量分 子组成的宏观系统来说，它们向B部自由膨胀的宏观过程实际上是不可逆的。 这就是宏观过程的不可逆性在微观上的统计解释。
这是以（T，V）为独立变量的熵函数的表达式。
S
S0
CV
T ln
T0
R ln V
V0
同样可求出以（T，P）和（P，V）为独立变量 的熵函数的表达式分别为(由状态方程可求得)
V P0 T
V0
P T0
S
S0
CP
T ln
T0
R ln
P P0
T P V
T0
P0 V0
S
S0
C P
V ln
V0
CV
单位质量融解需要的热量
解 在本题条件下，冰水共存。若有热源供热则发生 冰向水的等温相变。利用温度为273.15+dT的热
源供热，使冰转变为水的过程成为可逆过程。
1.00kg冰融化为水时的熵变为
S2 S1
2 Q 1
1T T
2
Q
Q
m
h
1.22kJ
/
K
1
TT
7
3 不可逆过程的熵变计算
当系统由初态A通过一不可逆过程到达末态B时 求熵变的方法：
m=N/2时的几率为宏观态中的最大几率：
PN /2 N
N! N ! N !2N
22
14
4个分子全部退回到A部的可能性即几率1/24=1/16。可认4个分子的自由膨胀是 “可逆的”。
一般来说，若有N个分子，则共 2N种可能方式，而N个分子全部退回到A部的几率1/2N.
1 2 对于真实理想气体系统N1023/mol，这些分子全部退回到A部的几率为
15
在一定的宏观条件下，各种可能的 宏观态中哪一种是实际所观测到的？
1V
V1
A
B
S > 0证实了 理想气体自由膨胀是不可逆的。
10
§4 热力学第二定律的统计意义
从统计观点探讨过程的不可逆性和熵的微观意义， 由此深入认识第二定律的本质。
4.1 不可逆过程的统计性质 （以气体自由膨胀为例）
A
B
一个被隔板分为A、B相等 两部分的容器，装有4个涂
以不同颜色分子。
开始时，4个分子都在A部，抽出隔板后分子将向 B部扩散并在整个容器内无规则运动。隔板被抽出后，
水
Q
熔解
冰
T熔
S汽化
汽 Q
1
(
水
T
)R
T沸
汽
Q
汽化
水
T沸
某物质从低温T1到高温T2经历固—液—气相变，视为 等压过程则它的熵变
S
T熔 C固P dT 熔解
C液
T沸 P
dT
汽化
T CP气 dT
T T1
T熔
T T熔
T沸
T T沸
6
例题2 已知在 P=1.013105 Pa 和 T=273.15 K 下，1.00 kg冰融化为水的融解热为h =334 kJ/kg。试求 1.00kg冰融化为水时的熵变。
ln
P P0
4
S是状态函数。在给定的初态和末态之间，系统无论 通过何种方式变化（经可逆过程或不可逆过程）， 熵的改变量一定相同。
当系统由初态A通过一可逆过程R到达末态B时 求熵变的方法（直接用上述结果）
等温过程 等容过程
S
S0
R ln
V V0
R ln
P P0
S
S0
CV
ln
T T0
CV
ln
P P0
dS
1 T
(dU
PdV ) CV
dT T
ν R dV V
∫ 积分可得 S S0
T T0
νCV
dT T
V νR dV
V0
V
其中S0是参考态（T0，V0）的熵。 若温度范围不大，理想气体U和 Cv看作常数，有
S
S0
CV
ln
T T0
R ln V
V0
这是以（T，V）为独立变量的熵函数的表达式。
3
的组合数。)
C
m N
N! m!( N m)!
总的微观态数：(即m从1到N求和)
N
C
m N
m 0
N
N!
2N
m 0 m!( N m)!
百度文库
二项式定理： ( x y) N
N
C
m N
xm
yN m
m0
N
(1 1) N
C
m N
m 0
13
所以，对应该宏观态的几率为
PNm
m!( N
N! m)!2N
等压过程
S S0
CP
ln
T T0
CP
ln
V V0
绝热过程 Q 0
S S0 0
5
2 相变的熵变计算 在一定气压下冰溶化成水，水沸腾成汽，称为相变过程
相变过程是在温度不变下进行的，即在恒温下吸收(或 放出）一定的热量（潜热）的过程，可视为可逆过程，其熵变
S熔解
水 Q
1
(
冰
T
)R
T熔
在宏观热力学中，熵差的表达式为：
dS=dQ/T
然而，在很多时候，dQ无法直接得到，同时吸热Q是温度的函数Q(T)，更重要的是， dQ/T才是需要进行积分的函数
考虑到热力学第一定律：
dQ=dU+PdV 则有： dS=(dU+PdV)/T
2
1 理想气体的熵变
根据 PV=RT和dU= Cv dT ，有
–1、把熵作为状态参量的函数表达式推导出来， 再将初末两态的参量值代入，从而算出熵变。
–2、可设计一个连接同样初末两态的任意一个可 逆过程R，再利用
B Q
SB SA
(
A
T
)R
8
例题3 计算理想气体自由膨胀的熵变
如图撤去档板
dU=0，A=0 ，所以Q=0 气体进行的是绝热自由膨胀
A
B
气体膨胀前:V1,p1,To,S1 气体膨胀后:V2,p2,To,S2
1 理想气体的熵变 2 相变的熵变计算 3 不可逆过程的熵变计算
§4 热力学第二定律的统计意义
4.1 不可逆过程的统计性质 (以气体自由膨胀为例)
4.2 第二定律的统计表述 4.3 玻尔兹曼公式和熵的微观意义 [例题1] 用玻尔兹曼关系计算等温过程中的熵变
1
3.3 熵变的计算
由于焦尔定律，膨胀前后温度T0不变。为计算这一
不可逆过程的熵变，设想系统从初态(T0，V1)，到 P
终态(T0，V2)经历一可逆等温膨胀过程，可借助此 可逆过程（如图）求两态熵差。
1
2 T0
V1 V2 V
9
Q dU PdV PdV
PV RT
S2 S1
2 Q
1T
2 PdV 1 T0
R 2 dV R ln V2 0
4分子在容器中可能的分布情形如下图所示：
11
分布 （宏观态）
详细分布 （微观态）
12
共有24=16种可能的方式
C43
4! 3!(4
3)!
1
4
C42
4! 2!(4
2)!
6
4
C41
4! 1!(4
1)!
1
N个全同粒子在两个相同容器中，一方出现m个， 另一方出现(N-m)个的微观态数。(即从N中取m个
。此1数02值3 极
小，意味着此事件永远不会发生。从任何实际操作的意义上说，不可能发生此类事件，
因为在宇宙存
在的年限（ 1018秒）内谁也不会看到发生此类事件。
对单个分子或少量分子来说，它们扩散到B部的过程原则上是可逆的。但对大量分 子组成的宏观系统来说，它们向B部自由膨胀的宏观过程实际上是不可逆的。 这就是宏观过程的不可逆性在微观上的统计解释。
这是以（T，V）为独立变量的熵函数的表达式。
S
S0
CV
T ln
T0
R ln V
V0
同样可求出以（T，P）和（P，V）为独立变量 的熵函数的表达式分别为(由状态方程可求得)
V P0 T
V0
P T0
S
S0
CP
T ln
T0
R ln
P P0
T P V
T0
P0 V0
S
S0
C P
V ln
V0
CV
单位质量融解需要的热量
解 在本题条件下，冰水共存。若有热源供热则发生 冰向水的等温相变。利用温度为273.15+dT的热
源供热，使冰转变为水的过程成为可逆过程。
1.00kg冰融化为水时的熵变为
S2 S1
2 Q 1
1T T
2
Q
Q
m
h
1.22kJ
/
K
1
TT
7
3 不可逆过程的熵变计算
当系统由初态A通过一不可逆过程到达末态B时 求熵变的方法：
m=N/2时的几率为宏观态中的最大几率：
PN /2 N
N! N ! N !2N
22
14
4个分子全部退回到A部的可能性即几率1/24=1/16。可认4个分子的自由膨胀是 “可逆的”。
一般来说，若有N个分子，则共 2N种可能方式，而N个分子全部退回到A部的几率1/2N.
1 2 对于真实理想气体系统N1023/mol，这些分子全部退回到A部的几率为
15
在一定的宏观条件下，各种可能的 宏观态中哪一种是实际所观测到的？
1V
V1
A
B
S > 0证实了 理想气体自由膨胀是不可逆的。
10
§4 热力学第二定律的统计意义
从统计观点探讨过程的不可逆性和熵的微观意义， 由此深入认识第二定律的本质。
4.1 不可逆过程的统计性质 （以气体自由膨胀为例）
A
B
一个被隔板分为A、B相等 两部分的容器，装有4个涂
以不同颜色分子。
开始时，4个分子都在A部，抽出隔板后分子将向 B部扩散并在整个容器内无规则运动。隔板被抽出后，
水
Q
熔解
冰
T熔
S汽化
汽 Q
1
(
水
T
)R
T沸
汽
Q
汽化
水
T沸
某物质从低温T1到高温T2经历固—液—气相变，视为 等压过程则它的熵变
S
T熔 C固P dT 熔解
C液
T沸 P
dT
汽化
T CP气 dT
T T1
T熔
T T熔
T沸
T T沸
6
例题2 已知在 P=1.013105 Pa 和 T=273.15 K 下，1.00 kg冰融化为水的融解热为h =334 kJ/kg。试求 1.00kg冰融化为水时的熵变。
ln
P P0
4
S是状态函数。在给定的初态和末态之间，系统无论 通过何种方式变化（经可逆过程或不可逆过程）， 熵的改变量一定相同。
当系统由初态A通过一可逆过程R到达末态B时 求熵变的方法（直接用上述结果）
等温过程 等容过程
S
S0
R ln
V V0
R ln
P P0
S
S0
CV
ln
T T0
CV
ln
P P0
dS
1 T
(dU
PdV ) CV
dT T
ν R dV V
∫ 积分可得 S S0
T T0
νCV
dT T
V νR dV
V0
V
其中S0是参考态（T0，V0）的熵。 若温度范围不大，理想气体U和 Cv看作常数，有
S
S0
CV
ln
T T0
R ln V
V0
这是以（T，V）为独立变量的熵函数的表达式。
3
的组合数。)
C
m N
N! m!( N m)!
总的微观态数：(即m从1到N求和)
N
C
m N
m 0
N
N!
2N
m 0 m!( N m)!
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二项式定理： ( x y) N
N
C
m N
xm
yN m
m0
N
(1 1) N
C
m N
m 0
13
所以，对应该宏观态的几率为
PNm
m!( N
N! m)!2N
等压过程
S S0
CP
ln
T T0
CP
ln
V V0
绝热过程 Q 0
S S0 0
5
2 相变的熵变计算 在一定气压下冰溶化成水，水沸腾成汽，称为相变过程
相变过程是在温度不变下进行的，即在恒温下吸收(或 放出）一定的热量（潜热）的过程，可视为可逆过程，其熵变
S熔解
水 Q
1
(
冰
T
)R
T熔
在宏观热力学中，熵差的表达式为：
dS=dQ/T
然而，在很多时候，dQ无法直接得到，同时吸热Q是温度的函数Q(T)，更重要的是， dQ/T才是需要进行积分的函数
考虑到热力学第一定律：
dQ=dU+PdV 则有： dS=(dU+PdV)/T
2
1 理想气体的熵变
根据 PV=RT和dU= Cv dT ，有
–1、把熵作为状态参量的函数表达式推导出来， 再将初末两态的参量值代入，从而算出熵变。
–2、可设计一个连接同样初末两态的任意一个可 逆过程R，再利用
B Q
SB SA
(
A
T
)R
8
例题3 计算理想气体自由膨胀的熵变
如图撤去档板
dU=0，A=0 ，所以Q=0 气体进行的是绝热自由膨胀
A
B
气体膨胀前:V1,p1,To,S1 气体膨胀后:V2,p2,To,S2