高考总复习2函数与映射的概念t

第2讲函数与映射的概念

★知识梳理

1．函数的概念 (1)函数的定义：

设是两个非空的数集，如果按照某种对应法则，对于集合中的每一个数，在集合中都有唯一确定的数和它对应，那么这样的对应叫做从到的一个函数，通常记为 (2)函数的定义域、值域

在函数中，叫做自变量，的取值范围叫做的定义域；与的值相对应的值叫做函数值，函数值的集合称为函数的值域。

(2)函数的三要素：定义域、值域和对应法则 2．映射的概念

设是两个集合，如果按照某种对应法则，对于集合中的任意元素，在集合中都有唯一确定的元素与之对应，那么这样的单值对应叫做从到的映射，通常记为

★重、难点突破

重点：掌握映射的概念、函数的概念，会求函数的定义域、值域 难点：求函数的值域和求抽象函数的定义域 重难点：1．关于抽象函数的定义域

求抽象函数的定义域，如果没有弄清所给函数之间的关系，求解容易出错误 问题1：已知函数的定义域为，求的定义域

[误解]因为函数的定义域为，所以，从而 故的定义域是

[正解]因为的定义域为，所以在函数中，， 从而，故的定义域是 即本题的实质是求中的范围

问题2：已知的定义域是，求函数的定义域 [误解]因为函数的定义域是，所以得到，从而

B A 、f A x B A B A x x f y ∈=),(A x x f y ∈=),(x x A )(x f y =x y {}

A x x f ∈)()(x f y =

B A 、f A B A B B A f →:)(x f y =][b a ，)2(+=x f y )(x f y =][b a ，b x a ≤≤222+≤+≤+b x a )2(+=x f y ]2,2[++b a )(x f y =][b a ，)2(+=x f y b x a ≤+≤222-≤≤-b x a )2(+=x f y ]2,2[--b a b x a ≤+≤2x )2(+=x f y ][b a ，)(x f y =)2(+=x f y ][b a ，b x a ≤+≤2

，所以函数的定义域是

[正解]因为函数的定义域是，则，从而 所以函数的定义域是，即本题的实质是由求的范围， 即与中含义不同

重难点：2．求值域的几种常用方法

（1）配方法：对于（可化为）“二次函数型”的函数常用配方法，如求函数

，可变为解决

（2）基本函数法：一些由基本函数复合而成的函数可以利用基本函数的值域来求，如函数

就是利用函数和的值域来求。

（3）判别式法：通过对二次方程的实根的判别求值域。如求函数的值域 由得，若，则得，所以是函数值域中的一个值；若，则由得

，故所求值域是 （4）分离常数法：常用来求“分式型”函数的值域。如求函数的值域，因为

，而，所以，故

22-≤≤-b x a )(x f y =]2,2[--b a )2(+=x f y ][b a ，b x a ≤≤222+≤+≤+b x a )(x f y =]2,2[++b a b x a ≤≤2+x )(x f )2(+x f x 4cos 2sin 2+--=x x y 2)1(cos 4cos 2sin 22+-=+--=x x x y )32(log 22

1++-=x x y u y 2

1log =322++-=x x u 2

21

22

+-+=

x x x y 2

2122+-+=

x x x y 012)1(22

=-++-y x y yx 0=y 21-=x 0

=y 0≠y 0)12(4)]1(2[2

≥--+-=∆y y y 021332133≠+≤≤-y y 且]2

13

3,2133[+-1

cos 3

cos 2+-=

x x y 1cos 521cos 3cos 2+-=+-=

x x x y ]2,0(1cos ∈+x ]2

5

,(1cos 5--∞∈+-

x ]2

1,(--∞∈y

（5）利用基本不等式求值域：如求函数的值域

当时，；当时，，若，则 若，则，从而得所求值域是 （6）利用函数的单调性求求值域：如求函数的值域

因，故函数在上递减、

在上递增、在上递减、在上递增，从而可得所求值域为 （7）图象法：如果函数的图象比较容易作出，则可根据图象直观地得出函数的值域（求某些分段函数的值域常用此法）。

★热点考点题型探析

考点一：判断两函数是否为同一个函数

[例1]试判断以下各组函数是否表示同一函数？

（1），；

（2），

（3），（n ∈N *）；

（4），；

（5），

[解题思路]要判断两个函数是否表示同一个函数，就要考查函数的三要素。 [解析]（1）由于，，故它们的值域及对应法则都不相同，

所以它们不是同一函数.

（2）由于函数的定义域为，而的定

义域为R ，所以它们不是同一函数.

4

32+=

x x

y 0=x 0=y 0≠x x

x y 43+=

0>x 44

24=⋅≥+

x

x x x 0

x x x x x x ]4

3

,43[-])2,1[(222

4

-∈+-=x x x y )14(22823-=-=x x x x y ])2,1[(222

4-∈+-=x x x y )2

1,1(--)0,21(-

)21,0()2,21(]30,8

15

[2)(x x f =33)(x x g =x x

x f =

)(⎩⎨⎧<-≥=;

01

,01

)(x x x g 1

212)(++=n n x x f 1212)()(--=n n x x g x

x f =

)(1+x x x x g +=

2)(12)(2

--=x x x f 12)(2

--=t t t g x x x f ==2)(x x x g ==33)(x x

x f =

)(),0()0,(+∞-∞ ⎩⎨

⎧<-≥=;

01

,01

)(x x x g