一类高阶中立型泛函微分方程的周期解

第４ 期
王海莲 ， 王 良龙 ： 一类高阶中立型泛 函微分方程的周期解
。 １ ５・
［ （ ｆ ）＋ｃ （ ｔ —ｆ ） ］ ” ＋ （ （ ｔ ） ） （ ｆ ）＋
（ （ ｔ ） ） （ ｔ ）＋ｇ （ ｔ ， （ ｔ 一 ） ）＝Ｐ （ ｔ ） （ ２ ）
（ Ｒ ） Ｉ （ ） ｌ ≤Ｈ ， Ｖ ∈Ｒ， ｌ （ ）Ｉ ≤ ，
因为 ｘ （ ｏ ）＝ （ Ｔ ） ， 所 以存 在 ∈ ［ ０ ， Ｔ ］ ， 使得
（ ） ＝０ ， 从而 有
定义线性算子 ： 三： — ｚ， （ ｔ ） 一 ’ （ ｔ ）和 非 线性 算 子
Ｊ ７ ｖ： 叶 Ｚ， （ ｔ ）一 Ｐ （ ｔ ）一 （ （ ｔ ） ） （ ｔ ）一
定理 １ 如果 存在正 数 Ｄ， 。 ， 和 ， 满 足
（ Ｒ ）Ｉ （ ） ｌ ≤Ｈ ， Ｖ ｘ∈Ｒ， Ｉ （ ） ｌ ≤ ，
Ｖ ∈ Ｒ：
ｇ （ Ｉ （ ￡ ＋ｓ ） ｄ ｏ ｔ （ ｓ ） ）＝Ｐ （ ｔ ）
Ｊ —ｒ
的周期 解存 在性 问题 。 文献 ［ ７ ］研 究 了具有 无穷
设Ｓ （ ）： — 使得 ｓ （ 下 ） （ ｔ ）： （ ｔ 一下 ） ，
则 易知 方程 （ １ ）可写 为
（ ，＋ｃ ５ （ 丁 ） ） ＝Ｎ ｘ （ ３ ）
ｔ ａ ｘ ｌ － ２ （ ） Ｉ ≤ｆＪ ＿ １ ’ （ ｚ ） Ｉ ｄ ｔ ， Ｅ［ Ｏ ， 州 Ｊ ｏ
（ Ｒ２ ）当 ｔ∈ Ｒ和 Ｉ Ｉ ≥ Ｄ时 ｇ （ ｔ ， ） ＞０；
（ Ｒ ３ ）当 ｔ ∈Ｒ且 ≤一Ｄ 时 ， ｇ （ ｆ ， ）≥ 一肘， 则 当 日ｌ ＋ｒ一 ２ ＋ Ｉ ｃ Ｉ ＜１ 时， 方程
・
收稿 日期 ：２ ０ １ ３— ０ ６—１ ９ 基金项 目：高等学校博士点； ￣ （ ２ ０ １ １ ３ ４ ０ １ １ １ ０ ０ ０ １ ） ， 安徽省 自然科 学基金 （ １ ３ ０ ８ ０ ８ ５ Ｍ Ａ ０ １ ） 和安徽大学研究 生学术创新研究项 目 （ １ ０ １ １ ７ ７ ０ ０ ０ ２ ０） 资助。 作者简介 ：王海莲 ， 女， 安徽定远人 ， 硕士， 研究方 向： 泛函微分方程 ； 王 良龙 ， 男， 安徽无为人 ， 博士 ， 安徽大学教授 ， 博士生导师， 研究方 向： 泛函微 分方程 。
２ ０ １ ３年 ｌ １月 第ｌ ９卷第 ４期
安庆 师范学 院学报 （自然科 学版 ）
Ｊ ｏ ｕ ｍａ ｔ ｏ ｆ Ａ ｎ ｑ ｉ ｎ ｇ Ｔ ｅ ａ ｃ ｈ ｅ ｒ ｓ Ｃ ｏ ｌ ｌ ｅ ｇ ｅ （ Ｎａ ｔ ｕ ｒ ａ ｌ Ｓ ｃ ｉ ｅ ｎ ｃ ｅ Ｅ ｄ ｉ ｔ ｉ ｏ ｎ ）
Ｖ ∈ Ｒ：
至少 存 在一 个 周 期解 。
（ Ｒ ２ ）当 ｔ∈ Ｒ和 Ｉ ｌ ≥Ｄ时 ｘ ｇ （ ｔ ， ） ＞０；
（ Ｒ ３ ）当 ｔ∈尺且 ≤一Ｄ时 ， ｇ （ ｔ ， ）≥一Ｍ，
１ 引理 及 其 证 明
设 ＝ ｛ ∈Ｃ （ Ｒ， Ｒ）ｌ （ ｔ ＋ ）＝ （ ） ｝ 定 义 上 的范数 为
＋ｃ Ｓ （ ｒ ） ）≠ ｈ Ｎ ｘ ；
Ｊ Ｉ ｇ （ ｔ ， （ ｔ 一 ） ） Ｉ ｄ ｔ ≤
Ｔ ｉ ｎ ａ ｘ ｌ Ｍ， （
（ ∽ ｆ ， ） ） Ｅ × １一 Ｄ， 口Ｉ ］
（ ｉ ｉ ） Ⅳ 隹 Ｉ ｍ ， Ｖ ∈ａ 力ｎ Ｋ ｅ ｒ Ｌ ；
１ ，ｒ
’ ¨ （ ｆ ） Ｉ ≤ Ｊ 。 Ｉ ¨ （ ｔ ） Ｉ ｄ ｔ ，
： ０， １， ２， … ， ， ｌ一 ３
Ｑ： Ｚ —Ｚ ／ Ｉ ｍ ｚ ， ｚ 一 ＝ ｌ ｚ （ ｔ ） ｄ ｔ
Ｊ Ｊ ０
从 而得
贝 ４ 有 Ｉ ｍ Ｐ ＝Ｋ ｅ ｒ Ｌ和 Ｉ ｍ Ｌ＝Ｋ ｅ ｒ Ｑ。 ） ｄ ｓ
的周 期解存 在性 问题 。文 献 ［ ８ ］考 虑 了一种 高 阶 非线 性 中立 型泛 函微 分方程 ［ （ ｔ ）＋ｃ ｘ （ ｔ 一下 ） ］ ＋ｇ （ ￡ ， （ ｔ 一 ） ）＝ｐ （ ｔ ）
时滞高阶中立型泛函微分方程 ［ （ ｔ ）＋ｋ ｘ （ ｔ 一 ） ］ ‘ ’＝ ｔ ， （ ｔ ） ） （ ｔ ）＋
ｒ ｏ
（ Ｒ ２ ）当 ｔ∈ Ｒ和 ｌ ｌ ≥Ｄ时 ｘ ｇ （ ｔ ， ）＞０ ； （ Ｒ ３ ）当 ｔ∈Ｒ且 ≤一Ｄ时 ， ｇ （ ｔ ， ）≥一肘，
广泛关注 ｊ 。近年来 ， 人们开始关注高阶非线
性 中立 型泛 函微分 方程 。 文献［ ５ ］ 利用 ｋ一集 压缩 映像 原理 证 明了高 阶 Ｄ ｕ ｆ ｉ ｎ ｇ型时滞 方程
（ ｔ ）＋ｃ （ ｔ —Ｏ ｒ）＋ｇ （ ｔ ， （ ｔ 一 （ ￡ ） ） ，
其中Ｉ ｃ Ｉ ≠１ ， ｒ 、 Ｅ Ｒ均为常 数
周期的， 易知
（ ） ］
引理 １
子， 满足 ：
设 是 指 数 为 零 的 Ｆ ｒ ｅ ｄ ｈ ｏ ｌ ｍ算
’ ｇ （ ， ）
（ ｆ Ｉ ）
Ｄ＇ Ｄ ］
Ｉ ｇ （ ， ） Ｉ ＜＋∞
由（ Ｒ ： ）和 （ Ｒ ， ）知
（ ｉ ） 对任 意 Ａ ∈ （ ０， １ ） ， ∈０ ９ ２ ｎ ｄ ｏ ｍ Ｌ ， Ｌ （ Ｉ
Ｊ ‘ Ｊ ’ （ ｔ ）Ｊ ≤Ｄ ， ｔ ∈［ ０ ， Ｔ ］ √ ：０ ， １ ， ２ ， …， （ ６ ）
其 中 ‘ 。 ＝ 。 证 明 设 （ ｔ ） 是 方程 （ ５ ）的任 一 周 期解 。
令 ｚ：｛ ｚ∈ ｃ （ Ｒ， Ｒ） ｆ ｚ （ ｔ ＋Ｔ ）＝ （ ｔ ） ｆ ， 且在 ｚ 上 定 义 范 数 ｝ ｌ ０＝ ｍ ａ ｘ Ｉ （ ｔ ）ｌ ，则 （ ， ｌ ｌ・ｆ １ ）和 （ ｚ，ｆ ｌ・Ｉ ｆ ０ ） 都为 Ｂ ａ ｎ ａ ｃ ｈ空 间 。
的 周期解 的充 分 性 条 件 。受 上 述 文 献启 发 ， 本
则 当
日１ ＋
＋ Ｉ ｃ Ｉ＜１时 ， 方程 （ １ ）至少
存在 一个 周期解 。 由于高 阶已经成 立 ， 所 以得 到如下 推论 。
推论 １ 如 果存 在正数 Ｄ， ， 和 ， 满足
一
类 高 阶 中立 型泛 函微 分 方程 的周期 解
王 海 莲 ， 王 良龙
（ １ ．安徽大学 数学科学学 院， 安徽 合肥 ２ ３ ０ ６ ０ １ ； ２ ．巢湖学院 数学系 ， 安徽 巢湖 ２ ３ ８ ０ ０ ０ ）
摘
要 ：本文利用 Ｍ ａ ｗ ｈ ｉ ｎ重合度理论 ， 研究了一类 高阶中立 型泛函微分方 程周期解 的存 在性 ， 给 出这一类 方程至
ｉ ｆ 『 ｌ＝ ｍ … ａ ｘ｝ Ｊ （ ｔ ） Ｊ ， Ｉ （ ｔ ） ｆ ， …， ｆ ‘ ”（ ｔ ） ｆ ｝
则 当
＋
Ｈ ２＋ Ｉ ｃ Ｉ＜１ 时， 则存 在与 Ａ无
关 的正 数 Ｄ （ ＝０， １ ， ２， …， ｎ ） ， 使 得对方程 （ ３ ） 的任 一 周期解 （ ｔ ） ， 有
少存 在 一 个 ｒ周 期 解 的 充 分性 条件 。
关键 词：周期解 ； Ｍａ ｗ ｈ ｉ ｎ重合度； 高阶 ； 中立型泛函微分方程 中图分类号 ：０１ ７ ５ ． １ ４ 文献标识码 ：Ａ 文章编号：１ ０ ０ ７— ４ ２ ６ ０ （ ２ ０ １ ３ ） ｏ ４—０ ０ １ ４— ０ ５
均 为 上
的连续 函数 ， 且 对 Ｒ中任一 有界 区间 Ｅ， ｇ （ ｔ ， ） 在 ［ ０ ， Ｔ ］× Ｅ上满足 Ｌ ｉ ｐ ｓ ｃ ｈ ｉ ｔ ｚ 条件 ， Ｐ （ ｔ ） 为 上 的连
（ ｔ —ｒ （ ￡ ） ） ， …， ‘ 一 ｕ（ ｔ 一丁 （ ｔ ） ） ）：Ｐ （ ￡ ） ， ， 孔≥ １
Ｉ ｇ （ ￡ ， ）Ｉ ｝ （ ９ ）
’
设Ｅ １＝ ｛ ｔ ∈［ ０ ， Ｔ ］ （ Ｉ ｔ 一 ）＞Ｄ｝ ， Ｅ ２：
［ ０ ， Ｔ ］ ＼ Ｅ ｌ 。 因 ｇ∈ｃ （ Ｒ ， Ｒ） ， 且ｇ （ ｔ ， ） 关于 ｔ 是
令 ｙ ＝Ｋ ｘ ， 代入（ ３ ） 式和（ ４ ）式 ， 得
Ｌ ｙ ＝Ｎ Ｋ 一 。 ｙ和 Ｌ ｙ＝ Ａ Ⅳ Ｋ～ ） ， ， Ａ Ｅ（ ０ ， １ ）
（ （ ｔ ） ） ” （ ｔ ）一ｇ （ ｔ ， （ ｔ 一 ） ）
跨‘ （ ） ｌ ≤ ’ （ ） ‘ ＋ Ｊ 。 Ｉ ” （ ￡ ） Ｉ ｄ
㈤
再 定义 投影 算子
１ ｒ
类似 由 （ ０ ）＝ （ ） ， 可得
１ Ｊ ０
Ｐ： ＿Ｋ ｅ ｒ ｆ ， ＿ Ｐ ｘ＝ Ｊ （ ｔ ） ｄ ｔ ，
ｍ
…
ｔ ａ ｘ Ｉ ． ３ （ ｆ ） Ｉ ≤『Ｉ Ｉ ２ （ ｆ ） Ｉ ｄ ｔ ， Ｅｆ ０ ， 即 Ｊ ｏ 、
ｍ
…
考虑 方程
（ ，＋ｃ Ｓ （ ｒ ） ） ：Ａ ， ｖ ， Ａ Ｅ（ ０ ， １ ） （ ４ ）
Ｉ ａ ｘ Ｉ ） ｝ ≤ － ３ ｆＩ ｅ［ ０， Ｊ ｏ
ｍ
…
（ ｆ ） ｝ ｄ ｔ（ ７ ） 、 、
（ ８ ）
将 方程 （ ５ ）两边从 ０到 积分 ， 得
由假 设 Ｉ ｃ Ｉ＜１ ， 知 Ｋ ＝，＋∞（ ｒ ）存在 逆算 子
＝
ｆ ｇ （ ｔ ， （ ｔ 一 ） ） ｄ ｔ＝０
∑（ 一 １ ） ｋ ｃ ￣ Ｓ （ ）
（ Ｒ。 ）Ｉ （ ） Ｉ ≤ ， Ｖ ∈Ｒ， ｌ （ ） Ｉ ≤ ，
Ｖ ∈ Ｒ：
文 利用 Ｍａ ｗ ｈ ｉ ｎ 重合 度理论 ， 考虑 如下 非线性 高 阶 中立型泛 函微 分方程 的周 期解 存 在性 问题 ，给 出 了这类方 程存 在一个 周期 解 的充 分性 条 件 ， 推
周期 解 的存在性 。 文献 ［ ６ ］研 究 了具有 分 布 时滞 的高阶 中立 型方程
（ （ ｔ ）一ｃ ｘ （ ｔ一下 ） ） ‘ ＂＋ ， （ （ ｔ ） ）＋
ｃ ｏ
续 周期函数 ， 且ｊ Ｐ （ ￡ ） ｄ ｔ ＝０ 。
Ｊ ０
本 文 的主要结 果如下 ：
泛 函微分 方程 周期解 存 在性 问题 在生 态 学 、
本文 考虑 的方程 为
物理 学和 控制理 论 等领 域 有重 要 的应 用 ， 受到 了
［ （ ｔ ）十ｃ （ ｔ 一 ） ］ ‘ ＋ （ （ ｔ ） ） （ ｔ ）＋
（ （ ｔ ） ） （ ｔ ）＋ｇ （ ， （ ｔ 一 ） ） ＝Ｐ （ ｔ ） （ １ ）
ＮＯ Ｖ ． ２ Ｏｌ ３ Ｖｏ １ ． １ ９ Ｎｏ． ４
网络出版时间： ２ ０ １ ３一ｌ ２—１ ９ ２ ０： １ ６ 网络 出版地址 ： ｈ ｔ ｔ ｐ ： ／ ／ ｗ ｗ ｗ ． ｃ ｎ ｋ ｉ ． ｎ ｅ ｔ ／ ｋ ｃ ｍｓ ／ ｄ ｅ ｔ ａ ｉ ｌ ／ ３ ４ ． １ １ ５ ０ ． Ｎ ． ２ ０ １ ３ １ ２ １ ９ ． ２ ０ １ ６ ． ０ ０ ５ ． ｈ ｌ ｍｌ