马尔可夫链精品PPT课件
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5马尔可夫链(精品PPT)
所以{Xn,n≥0}是马尔可夫链，且
pij P( X n 1 j X n i ) P( f i, Yn 1 j ) P( f i, Y1 j )
二、切普曼-柯尔莫哥洛夫方程
1，随机矩阵 定义：称矩阵A=(aij)S×S为随机矩阵，若aij ≥0，且
i S , 有 aij 1
例5 Polya（波利亚）模型
罐中有b只黑球及r只红球，每次随机地取出一只后 把原球放回，并加入与抽出球同色的球c只，再第二次 随机地取球重复上面步骤进行下去，{Xn=i}表示第n回 摸球放回操作完成后，罐中有i只黑球这一事件，所以
i b r nc , i P X n 1 j X n i 1 , b r nc 0,
x
j i 1
( j i 1)!
dG x ,
j i 1, i 1 其它
Pij 0,
例3 G / M /1排队系统 来到时间间隔分布为G，服务时间分布为指数分布，参 数为 ，且与顾客到达过程独立。 Xn-----第n个顾客来到时见到系统中的顾客数（包括 该顾客），则{Xn，n≥1}是马尔可夫链。记
jS
显然马尔可夫链{Xn,n≥0}的一步转移概率矩阵P为 随机矩阵。 2，n步转移概率 定义：设{Xn,n≥0}是一马尔可夫链，称
n pij P X n m j X m i ,
n 0, i, j 0
为马尔可夫链{Xn,n≥0}的n步转移概率。记
i (n) P X n i ,
j ic j i else
这是一个非齐次的马尔可夫链，在传染病研究中有用。
下面的定理提供了一个非常有用的获得马尔可夫链的方 法，并可用于检验一随机过程是否为马尔可夫链。
pij P( X n 1 j X n i ) P( f i, Yn 1 j ) P( f i, Y1 j )
二、切普曼-柯尔莫哥洛夫方程
1，随机矩阵 定义：称矩阵A=(aij)S×S为随机矩阵，若aij ≥0，且
i S , 有 aij 1
例5 Polya（波利亚）模型
罐中有b只黑球及r只红球，每次随机地取出一只后 把原球放回，并加入与抽出球同色的球c只，再第二次 随机地取球重复上面步骤进行下去，{Xn=i}表示第n回 摸球放回操作完成后，罐中有i只黑球这一事件，所以
i b r nc , i P X n 1 j X n i 1 , b r nc 0,
x
j i 1
( j i 1)!
dG x ,
j i 1, i 1 其它
Pij 0,
例3 G / M /1排队系统 来到时间间隔分布为G，服务时间分布为指数分布，参 数为 ，且与顾客到达过程独立。 Xn-----第n个顾客来到时见到系统中的顾客数（包括 该顾客），则{Xn，n≥1}是马尔可夫链。记
jS
显然马尔可夫链{Xn,n≥0}的一步转移概率矩阵P为 随机矩阵。 2，n步转移概率 定义：设{Xn,n≥0}是一马尔可夫链，称
n pij P X n m j X m i ,
n 0, i, j 0
为马尔可夫链{Xn,n≥0}的n步转移概率。记
i (n) P X n i ,
j ic j i else
这是一个非齐次的马尔可夫链，在传染病研究中有用。
下面的定理提供了一个非常有用的获得马尔可夫链的方 法，并可用于检验一随机过程是否为马尔可夫链。
10第四章马尔可夫链精品PPT课件
P(4) 00
0.5749
定义： 称 pj(n )P {X nj}(,j I)为n时刻马尔 可夫链的绝对概率；
称 P T (n ) { p 1 (n ),p 2 (n ), } , n 0为n时刻的 绝对概率向量。
定义： 称 pj(0 )P {X 0j} ,(j I)为马尔可夫链的 初始概率；简记为 p j
j i 1,i-1, i 1
1 0 0 0 0 . .
q
0
p
0
0
.
.
0 q 0 p 0 . .
P
0
0
q
0
p
.
.
0 0 0 q 0 . . . . . . . . .
例题：带2个吸收壁的随机游动
质点在数轴上移动，规律同上例。随机游动的状态 空间I={0,1,2…a}, 其中0和a为吸收态 。求一步转移 概率。
解：
P(2) 00
P{Xm2
0|
Xm
0}
P{Xm2 0, Xm P{Xm 0}
0}
P{Xm2 0, Xm1 0,Xm 0} P{Xm2 0, Xm1 1,Xm 0}
P{Xm 0}
P{Xm 0}
P{Xm2 0, Xm1 0,Xm 0}P{Xm1 0,Xm 0} P{Xm1 0,Xm 0}P{Xm 0}
p(n) 21
p(n) 12
p(n) 22
p(n) 1m
p(n) 2m
为马尔可夫链的n步转移矩阵。规定
p(0) ij
0, 1,
i j i j
例题
设马尔可夫链{Xn,n∈T}有状态空间I={0,1}， 其一步转移概率矩阵为
P
p00 p10
随机过程课件-马尔可夫链
定理二
对于不可约的马尔可夫链，其极限分 布是遍历的，即极限分布与初始状态 无关。
05
马尔可夫链的模拟与实现
随机数生成
伪随机数生成器
使用数学公式和种子值生成一系列近似 随机的数列。
VS
真随机数生成器
利用物理现象（如电路噪音）产生真正的 随机数。
马尔可夫链蒙特卡洛方法
采样分布
通过多次重复模拟马尔可夫链的路径来估计 某个事件的概率或某个参数的值。
收敛性
随着模拟次数的增加，估计值逐渐接近真实 值。
马尔可夫链在决策分析中的应用
要点一
决策树
要点二
强化学习
将马尔可夫链应用于决策分析中，帮助决策者评估不同策 略的风险和收益。
在强化学习中，马尔可夫链用于描述环境状态转移和奖励 函数。
06
马尔可夫链的扩展与改进
时齐马尔可夫链
定义
时齐马尔可夫链是指时间 参数为离散的马尔可夫链 ，其状态转移概率不随时 间而变化。
遍历性是马尔可夫链达到平稳分布的必要条件之一，也是判 断马尔可夫链是否具有唯一平稳分布的重要依据。
03
马尔可夫链的转移概率
转移概率的定义与性质
定义
马尔可夫链中，给定当前状态$i$，未来状态$j$在某个时间步长内发生的概率称为转移 概率，记作$P(i,j)$。
性质
转移概率具有非负性、归一性和时齐性。非负性指$P(i,j) geq 0$；归一性指对于每个 状态$i$，所有可能转移到该状态的转移概率之和为1，即$sum_{ j} P(i,j) = 1$；时齐性
周期性会影响马尔可夫链的平稳分来自的性质和计算。状态空间的分解
状态空间的分解是将状态空间划分为若干个子集，每个子集内的状态具有相似的 性质和转移概率。
对于不可约的马尔可夫链，其极限分 布是遍历的，即极限分布与初始状态 无关。
05
马尔可夫链的模拟与实现
随机数生成
伪随机数生成器
使用数学公式和种子值生成一系列近似 随机的数列。
VS
真随机数生成器
利用物理现象（如电路噪音）产生真正的 随机数。
马尔可夫链蒙特卡洛方法
采样分布
通过多次重复模拟马尔可夫链的路径来估计 某个事件的概率或某个参数的值。
收敛性
随着模拟次数的增加，估计值逐渐接近真实 值。
马尔可夫链在决策分析中的应用
要点一
决策树
要点二
强化学习
将马尔可夫链应用于决策分析中，帮助决策者评估不同策 略的风险和收益。
在强化学习中，马尔可夫链用于描述环境状态转移和奖励 函数。
06
马尔可夫链的扩展与改进
时齐马尔可夫链
定义
时齐马尔可夫链是指时间 参数为离散的马尔可夫链 ，其状态转移概率不随时 间而变化。
遍历性是马尔可夫链达到平稳分布的必要条件之一，也是判 断马尔可夫链是否具有唯一平稳分布的重要依据。
03
马尔可夫链的转移概率
转移概率的定义与性质
定义
马尔可夫链中，给定当前状态$i$，未来状态$j$在某个时间步长内发生的概率称为转移 概率，记作$P(i,j)$。
性质
转移概率具有非负性、归一性和时齐性。非负性指$P(i,j) geq 0$；归一性指对于每个 状态$i$，所有可能转移到该状态的转移概率之和为1，即$sum_{ j} P(i,j) = 1$；时齐性
周期性会影响马尔可夫链的平稳分来自的性质和计算。状态空间的分解
状态空间的分解是将状态空间划分为若干个子集，每个子集内的状态具有相似的 性质和转移概率。
《马尔可夫链分析法》课件
特点
马尔可夫链分析法具有无后效性 、离散性和随机性，适用于描述 大量随机现象，如股票价格、人 口迁移等。
马尔可夫链分析法的应用领域
金融领域
马尔可夫链分析法用于描述股票价格、汇率等金融市场的随机波 动，以及风险评估和投资组合优化。
自然领域
在生态学、气象学、地质学等领域，马尔可夫链分析法用于描述物 种分布、气候变化、地震等自然现象。
ABCD
云计算应用
利用云计算资源，实现大规模数据的快速处理和 分析。
跨学科合作
加强与其他学科领域的合作，共同推动马尔可夫 链分析法的技术创新和应用拓展。
THANKS FOR WATCHING
感谢您的观看
CHAPTER 03
马尔可夫链分析法的基本步 骤
建立状态转移矩阵
确定系统的状态空间
首先需要确定系统可能的状态，并为其编号。
计算状态转移概率
根据历史数据或实验结果，计算从一个状态转移到另一个状态的 概率。
构建状态转移矩阵
将状态转移概率按照矩阵的形式排列，形成状态转移矩阵。
计算稳态概率
初始化概率向量
系统的长期行为
02
通过分析稳态概率，可以了解系统的长期行为和趋势，例如系
统的最终状态分布、系统的平衡点等。
预测未来状态
03
基于稳态概率，可以对系统未来的状态进行预测，从而为决策
提供依据。
CHAPTER 04
马尔可夫链分析法的应用实 例
人口迁移模型
描述人口迁移的动态过程
马尔可夫链分析法用于描述人口迁移的动态过程，通过分析人口在各个地区之间 的转移概率，预测未来人口分布情况。这种方法可以帮助政府和企业了解人口流 动趋势，制定相应的政策和计划。
马尔可夫链分析法具有无后效性 、离散性和随机性，适用于描述 大量随机现象，如股票价格、人 口迁移等。
马尔可夫链分析法的应用领域
金融领域
马尔可夫链分析法用于描述股票价格、汇率等金融市场的随机波 动，以及风险评估和投资组合优化。
自然领域
在生态学、气象学、地质学等领域，马尔可夫链分析法用于描述物 种分布、气候变化、地震等自然现象。
ABCD
云计算应用
利用云计算资源，实现大规模数据的快速处理和 分析。
跨学科合作
加强与其他学科领域的合作，共同推动马尔可夫 链分析法的技术创新和应用拓展。
THANKS FOR WATCHING
感谢您的观看
CHAPTER 03
马尔可夫链分析法的基本步 骤
建立状态转移矩阵
确定系统的状态空间
首先需要确定系统可能的状态，并为其编号。
计算状态转移概率
根据历史数据或实验结果，计算从一个状态转移到另一个状态的 概率。
构建状态转移矩阵
将状态转移概率按照矩阵的形式排列，形成状态转移矩阵。
计算稳态概率
初始化概率向量
系统的长期行为
02
通过分析稳态概率，可以了解系统的长期行为和趋势，例如系
统的最终状态分布、系统的平衡点等。
预测未来状态
03
基于稳态概率，可以对系统未来的状态进行预测，从而为决策
提供依据。
CHAPTER 04
马尔可夫链分析法的应用实 例
人口迁移模型
描述人口迁移的动态过程
马尔可夫链分析法用于描述人口迁移的动态过程，通过分析人口在各个地区之间 的转移概率，预测未来人口分布情况。这种方法可以帮助政府和企业了解人口流 动趋势，制定相应的政策和计划。
《马尔可夫链讲》课件
平稳分布的概率分布函数与时间无关，只与系统的状态空间和转移概率矩阵有关。
在平稳分布下，系统的各个状态之间转移的次数趋于平衡，每个状态的平均逗留时 的 马尔可夫链，都存在至少一个平
稳分布。
存在性定理的证明基于遍历理论 ，即如果马尔可夫链是遍历的，
那么它必然存在平稳分布。
根据接受概率判断是否接受样本的技 术，可以提高样本的质量和效率。
接受-拒绝抽样技术
接受概率
根据目标分布和当前状态计算出的概率，用于判断是否接受当前状态 转移为下一个状态。
拒绝概率
根据当前状态和接受概率计算出的概率，用于判断是否拒绝当前状态 转移为下一个状态。
接受-拒绝抽样过程
根据当前状态和接受概率计算出接受该状态的概率，如果该概率大于 随机数，则接受该状态作为下一个状态，否则拒绝并重新抽样。
详细描述
马尔可夫链定义为一个随机过程，其 中每个状态只与前一个状态有关，当 前状态只依赖于前一时刻的状态，不 受到过去状态的影响。
马尔可夫链的应用场景
总结词
马尔可夫链在多个领域有广泛应用。
详细描述
在自然语言处理中，马尔可夫链可以用于生成文本、语言模型等；在金融领域 ，马尔可夫链可以用于股票价格预测、风险评估等；在物理学中，马尔可夫链 可以用于描述粒子运动、化学反应等。
模型训练与预测
模型选择
根据数据特点和业务需求选择合适的马尔可 夫链模型。
模型训练
使用历史数据训练马尔可夫链模型。
参数设置
根据经验和业务理解设置模型参数。
预测与推断
基于训练好的模型对未来或未知数据进行预 测和推断。
结果评估与优化
评估指标
选择合适的评估指标（如准确率、召回率、F1值等）对预测结果进行评估。
在平稳分布下，系统的各个状态之间转移的次数趋于平衡，每个状态的平均逗留时 的 马尔可夫链，都存在至少一个平
稳分布。
存在性定理的证明基于遍历理论 ，即如果马尔可夫链是遍历的，
那么它必然存在平稳分布。
根据接受概率判断是否接受样本的技 术，可以提高样本的质量和效率。
接受-拒绝抽样技术
接受概率
根据目标分布和当前状态计算出的概率，用于判断是否接受当前状态 转移为下一个状态。
拒绝概率
根据当前状态和接受概率计算出的概率，用于判断是否拒绝当前状态 转移为下一个状态。
接受-拒绝抽样过程
根据当前状态和接受概率计算出接受该状态的概率，如果该概率大于 随机数，则接受该状态作为下一个状态，否则拒绝并重新抽样。
详细描述
马尔可夫链定义为一个随机过程，其 中每个状态只与前一个状态有关，当 前状态只依赖于前一时刻的状态，不 受到过去状态的影响。
马尔可夫链的应用场景
总结词
马尔可夫链在多个领域有广泛应用。
详细描述
在自然语言处理中，马尔可夫链可以用于生成文本、语言模型等；在金融领域 ，马尔可夫链可以用于股票价格预测、风险评估等；在物理学中，马尔可夫链 可以用于描述粒子运动、化学反应等。
模型训练与预测
模型选择
根据数据特点和业务需求选择合适的马尔可 夫链模型。
模型训练
使用历史数据训练马尔可夫链模型。
参数设置
根据经验和业务理解设置模型参数。
预测与推断
基于训练好的模型对未来或未知数据进行预 测和推断。
结果评估与优化
评估指标
选择合适的评估指标（如准确率、召回率、F1值等）对预测结果进行评估。
《马尔科夫链》课件
通过马尔科夫链模型，生成具 有连贯性的自然语言文本。
六、总结
优点与缺点
马尔科夫链具有简化模型、 易于计算的优点，但忽略了 过去信息和状态空间有限的 缺点。
应用前景
随着人工智能和数据科学的 发展，马尔科夫链在各个领 域的应用将得到更广泛的推 广。
发展趋势
未来马尔科夫链可能进一步 发展和改进，并与其他模型 和技术相结合，实现更强大 的应用。
《马尔科夫链》PPT课件
马尔科夫链是一种概率模型，常用于描述离散时间过程的转移规律。本课件 将详细介绍马尔科夫链的概述、基本概念、应用和常见问题，并通过实际案 例分析展示其重要性和应用前景。
一、概述
定义
马尔科夫链是一种离散时间、离散状态的随机过程，其未来状态仅依赖于当前状态。
特点
马尔科夫链具有无后效性、状态转移 Markov 性、齐次性和有限状态空间等特点。
1 自然语言处理
马尔科夫链可用于模拟语言模型、文本生成和自动翻译等。
2 计算机网络
马尔科夫链可以用来建立网络流量模型、分析网络性能和优化网络传输。
3 金融市场
马尔科夫链在金融市场中的应用包括股票价格预测、投资组合优化和风险管理。四、马尔科ຫໍສະໝຸດ 链的常见问题1收敛性
马尔科夫链是否会收敛到一个稳定状
长期行为
2
态？如何判断？
马尔科夫链在长期运行时会以何种形
式表现？
3
平稳分布
马尔科夫链是否存在一个平稳的状态 分布？如何计算？
五、马尔科夫链的实际案例分析
语音识别
马尔科夫链可用于语音识别系 统中，对语音信号进行建模和 识别。
股票涨跌预测
利用马尔科夫链分析历史股票 价格，预测未来股票价格的涨 跌趋势。
六、总结
优点与缺点
马尔科夫链具有简化模型、 易于计算的优点，但忽略了 过去信息和状态空间有限的 缺点。
应用前景
随着人工智能和数据科学的 发展，马尔科夫链在各个领 域的应用将得到更广泛的推 广。
发展趋势
未来马尔科夫链可能进一步 发展和改进，并与其他模型 和技术相结合，实现更强大 的应用。
《马尔科夫链》PPT课件
马尔科夫链是一种概率模型，常用于描述离散时间过程的转移规律。本课件 将详细介绍马尔科夫链的概述、基本概念、应用和常见问题，并通过实际案 例分析展示其重要性和应用前景。
一、概述
定义
马尔科夫链是一种离散时间、离散状态的随机过程，其未来状态仅依赖于当前状态。
特点
马尔科夫链具有无后效性、状态转移 Markov 性、齐次性和有限状态空间等特点。
1 自然语言处理
马尔科夫链可用于模拟语言模型、文本生成和自动翻译等。
2 计算机网络
马尔科夫链可以用来建立网络流量模型、分析网络性能和优化网络传输。
3 金融市场
马尔科夫链在金融市场中的应用包括股票价格预测、投资组合优化和风险管理。四、马尔科ຫໍສະໝຸດ 链的常见问题1收敛性
马尔科夫链是否会收敛到一个稳定状
长期行为
2
态？如何判断？
马尔科夫链在长期运行时会以何种形
式表现？
3
平稳分布
马尔科夫链是否存在一个平稳的状态 分布？如何计算？
五、马尔科夫链的实际案例分析
语音识别
马尔科夫链可用于语音识别系 统中，对语音信号进行建模和 识别。
股票涨跌预测
利用马尔科夫链分析历史股票 价格，预测未来股票价格的涨 跌趋势。
数学建模——马尔科夫链模型ppt课件
.
相应的转移矩阵 为：
0.4 0.4 0 0.2
M 0.1 0.3 0.6
0
0.7 0 0.2 0.1
0
0
0
1
且Sj+1=SjM
首先，任一转移矩阵的行向量均为概率向量，即有 （1）
（I , j=01,…P,ing ）1
n
马氏链模型的性质完全由其转移矩 阵决定，故研究马氏链的数学工
（2） Pig 1 （i=1,…具,是n）线性代数中有关矩阵的理论。
1 1 0
1a0 2b0 1c0
.
即1ຫໍສະໝຸດ 11n 1
1
n1
x( n)
显然有 a0b0c01
（ii）第n代的分布与 第n－1代的分布之间的关系是通过表
5.2确定的。
（b）建模
根据假设(ii)，先考虑第n代中的AA型。由于第n－1代的AA
型与AA型结合。后代全部是AA型；第n－1代的Aa型与AA型
结合，后代是AA型的可能性为 1/2，而 第n－1代的aa型与
AA型结合，后代不可能 是AA型。因此当n=1,2…时
j1
这样的矩阵被称为 随机矩阵。
.
常染色体遗传模型
在常染色体遗传中，后代从每个亲体的基因对中各继承一 个基因，形成自己的基因父时体，—基—因母对体也的称基为因基型因型。如果
我们所考虑的遗传特A征A是由AA两个AA基 因AaA和Aaa控制aa的，（A、
a为表示两类基因的符－号）－那么－就有三－种基－因对－，记为AA，
1 =1， 2 =1/2， 3 =0
.
因此 所以
1 0 0 1 1 1
D0 0
1
2 0
0,e10 0 0
相应的转移矩阵 为：
0.4 0.4 0 0.2
M 0.1 0.3 0.6
0
0.7 0 0.2 0.1
0
0
0
1
且Sj+1=SjM
首先，任一转移矩阵的行向量均为概率向量，即有 （1）
（I , j=01,…P,ing ）1
n
马氏链模型的性质完全由其转移矩 阵决定，故研究马氏链的数学工
（2） Pig 1 （i=1,…具,是n）线性代数中有关矩阵的理论。
1 1 0
1a0 2b0 1c0
.
即1ຫໍສະໝຸດ 11n 1
1
n1
x( n)
显然有 a0b0c01
（ii）第n代的分布与 第n－1代的分布之间的关系是通过表
5.2确定的。
（b）建模
根据假设(ii)，先考虑第n代中的AA型。由于第n－1代的AA
型与AA型结合。后代全部是AA型；第n－1代的Aa型与AA型
结合，后代是AA型的可能性为 1/2，而 第n－1代的aa型与
AA型结合，后代不可能 是AA型。因此当n=1,2…时
j1
这样的矩阵被称为 随机矩阵。
.
常染色体遗传模型
在常染色体遗传中，后代从每个亲体的基因对中各继承一 个基因，形成自己的基因父时体，—基—因母对体也的称基为因基型因型。如果
我们所考虑的遗传特A征A是由AA两个AA基 因AaA和Aaa控制aa的，（A、
a为表示两类基因的符－号）－那么－就有三－种基－因对－，记为AA，
1 =1， 2 =1/2， 3 =0
.
因此 所以
1 0 0 1 1 1
D0 0
1
2 0
0,e10 0 0
《马氏链及其应用》课件
马氏链的性质
总结词
马氏链具有无记忆性、强马尔可夫性和转移概率性等性质。
详细描述
马氏链的一个重要性质是无记忆性，即下一个状态与过去状 态无关，只与当前状态有关。此外，马氏链还具有强马尔可 夫性和转移概率性等性质，这些性质使得马氏链在描述随机 现象时具有独特的优势。
马氏链的分类
要点一
总结词
马氏链可以分为离散时间和连续时间的马氏链，以及有向 和无向的马氏链。
机器学习算法
马氏链在强化学习中用于 估计策略值函数和近似最 优策略，提高机器学习的 效率和准确性。
图像处理
通过马氏链模拟图像的随 机过程，实现图像的降噪 、增强和修复等处理。
数据压缩
利用马氏链对数据进行编 码和压缩，降低存储和传 输成本，提高数据处理的 效率。
在其他领域的应用
物理学中的随机过程模拟
在生态领域的应用
种群动态模拟
01
马氏链用于模拟物种数量的变化过程，研究种群的增长规律和
生态平衡机制。
生态系统稳定性分析
02
通过马氏链分析生态系统中的反馈机制和稳定性条件，评估生
态系统受到干扰后的恢复能力。
生物多样性保护
03
利用马氏链预测物种的灭绝风险和保护策略，为生物多样性保
护提供科学依据。
在计算机科学领域的应用
马氏链面临的挑战和问题
理论体系的完善
马氏链理论体系仍需不 断完善和发展，以适应 不断涌现的新问题和挑 战。
应用领域的拓展
尽管马氏链在某些领域 已经取得广泛应用，但 仍需拓展更多应用领域 ，解决实际问题。
计算效率的提高
随着数据规模的增大， 如何提高马氏链的计算 效率成为亟待解决的问 题。
THANKS
马尔科夫链模型及其应用PPT课件
n 时状态概率趋于稳定值，稳定值与初始状态无关
第9页/共27页
马尔科夫链：应用 保险公司
Xn=3为第三种状态 死亡
a1(n+1)=a1(n)p11+a2(n)p21+a3(n)p31 a2(n+1)=a1(n)p12+a2(n)p22+a3(n)p32 a3(n+1)=a1(n)p13+a2(n)p23+a3(n)p33
给定a(0),预测a(n), n=1,2…
设投保 时健康
n
0
a1(n) 1
a2(n) 0
1
2
3
……
0.8 0.78 0.778 …… 7/9
0.2 0.22 0.222 …… 2/9
设投保 时疾病
n
0
a1(n) 1
a2(n) 0
1
2
3
……
0.7 0.77 0.777 …… 7/9
0.3 0.33 0.333 …… 2/9
第15页/共27页
隐马尔科夫模型
一个隐马尔可夫模型 HMM 可用一个5元组描述：λ= { N, M,π, A,B }
N = {H1，…，Hn} 隐藏状态的有限集合 M = {O1，…，Om} 可观测状态的有限集合，可以通过训练集获得 π={πi} 为初始状态概率， A={aij} 为隐藏状态的转移矩阵 B={bik} 表示某个时刻因隐藏状态而可观察的状态的概率，即混淆矩阵 在状态转移矩阵和混淆矩阵中的每个概率都是时间无关的，即当系统演化时， 这些矩阵并不随时间改变。
Kiss
0.6*0.5
Star t
0.4*0.1
H 0.3
*0.7*0.4=0.084
第七讲马尔可夫链精品PPT课件
由所有n步转移概率 p ij ( n ) 构成n步转移概率矩阵
p11(n) p12(n) p1N(n)
P(n) p21(n) p22(n) p2N(n)
pN1(n) pN2(n) pNN(n)
0pij(n)1
N
pij (n) 1
j 1
为了数学处理便利，通常规定
1i j
p i( jm ,m ) P { X m a j|X m a i} ij 0i j
中 k 1 则
pij(1 )pij(m ,m 1 )pij
称为一步转移概率。
由所有一步转移概率 p ij 构成的矩阵
p11
P
p21
p12 p1N
p22
p2N
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
p
N1
pN2
pNN
0 pij 1
N
p ij 1
j 1
称为一步转移概率矩阵，简称转移概率矩阵。
2020/10/21
《随机信号分析》教学组
设 {X(n),n0,1 ,2,}为一马氏链，其状态空间
E{0,1,2,}或为有限子集。
令 p i(0 ) P [X (0 ) i], i E，且对任意的 i E
均有
pi (0) 0
pi (0) 1
iE
则称 {pi(0),iE}为该马氏链的初始分布，也称初始 概率。初始概率是马氏链在初始时间 n0时处于状 态i的概率。
Ppp1000
pp1011qp
q p
于是，两级传输时的概率转移矩阵等效于两步转移概 率矩阵为
P (2 ) P 2 q pq p q pq p p 2 2 pq 2qp 2 2 pq 2q
2020/10/21
随机过程Ch5连续时间的马尔可夫链ppt课件
注：虽然前进方程和后退方程在形式上有所不同， 但两者的解都是同一的，费勒在1940年已证明。
由柯尔莫哥洛夫向前方程旳矩阵形式可得
例：设有一参数连续，状态离散的马尔可夫
过程X t,t 0，状态空间为I 1,2,, N，
当i j，时qij 1，i, j 1,2,, N，
当i 1,2,, N时，qii (N 1)，求pij t 。
则器件在0, t 正常工作，即寿命超过t的概率为： PX t exdx et
t
已知器件用了t小时，器件寿命超过t h，
即在t,t h器件不坏的概率为：
p00h PX t h / X t
PX
t h, X
PX t
t
PX t h PX t
e t h et
eh
1 h
5.2柯尔莫哥洛夫微分方程
一.连续性条件(正则性条件)
规定lim t 0
pij t ij
1 0
i j i j
或lim Pt I t 0
称此为连续性条件(正则性条件)
阐明：过程刚进入某状态不可能立即又 跳跃到另一状态，这恰好阐明一种物理系统要 在有限时间内发生无限屡次跳跃，从而消耗无 穷多旳能量这是不可能旳，亦即经过很短时间 系统旳状态几乎是不变旳。
定理：设pij (t)是齐次马尔可夫过程的转移概率， 则下列极限存在：
dpij t
dt
t 0
lim
h0
pij h
h
pij 0
lim
h0
pij h ij
h
Hale Waihona Puke qij即: 1dpii t
dt
t 0
lim
h0
pii h 1
h
由柯尔莫哥洛夫向前方程旳矩阵形式可得
例：设有一参数连续，状态离散的马尔可夫
过程X t,t 0，状态空间为I 1,2,, N，
当i j，时qij 1，i, j 1,2,, N，
当i 1,2,, N时，qii (N 1)，求pij t 。
则器件在0, t 正常工作，即寿命超过t的概率为： PX t exdx et
t
已知器件用了t小时，器件寿命超过t h，
即在t,t h器件不坏的概率为：
p00h PX t h / X t
PX
t h, X
PX t
t
PX t h PX t
e t h et
eh
1 h
5.2柯尔莫哥洛夫微分方程
一.连续性条件(正则性条件)
规定lim t 0
pij t ij
1 0
i j i j
或lim Pt I t 0
称此为连续性条件(正则性条件)
阐明：过程刚进入某状态不可能立即又 跳跃到另一状态，这恰好阐明一种物理系统要 在有限时间内发生无限屡次跳跃，从而消耗无 穷多旳能量这是不可能旳，亦即经过很短时间 系统旳状态几乎是不变旳。
定理：设pij (t)是齐次马尔可夫过程的转移概率， 则下列极限存在：
dpij t
dt
t 0
lim
h0
pij h
h
pij 0
lim
h0
pij h ij
h
Hale Waihona Puke qij即: 1dpii t
dt
t 0
lim
h0
pii h 1
h
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1,i=j .
例2.1 (一维随机游动)
12345
设一随机游动的质点, 在如右上图所示的
直线点集I={1,2,3,4,5}作随机游动,并且仅仅在1秒,2秒
…等时刻发生游动.游动的概率规则是:如果Q现在位于点
i(1＜i＜5), 则下一时刻各以1/3的概率向左或向右移动
一格,或以1/3的概率留在原处; 如果Q现在位于点1(或5)
式.
利用积事件的概率及上述定义知: P{X0=i0,X1=i1,…,Xn=in} =P{Xn=in|X0=i0,X1=i1,…,Xn-1=in-1}P{X0=i0,X1=i1,…, Xn-1=in-1} =P{Xn=in|Xn-1=in-1}P{X0=i0,X1=i1,…,Xn-1=in-1} =… =P{Xn=in|Xn-1=in-1}P{Xn-1=in-1|Xn-2=in-2}…P{X1=i1| X0=i0}P{X0=i0}.
即马尔可夫链的统计特性完全由条件概率
P{Xn+1=in+1|Xn=in} 所决定. 如何确定这个条件概率,是马尔可夫链理论和应
用中的重要问题之一.
2.转移概率 条件概率P{Xn+1=j|Xn=i}的直观含义是:系统在时刻n处
于状态i的条件下,在时刻n+1系统处于状态j的概率.这相 当于随机游动的质点在时刻n处于状态i的条件下,下一步 转移到状态j的概率.
pij(n)为pij. 下面只讨论齐次马尔可夫链,并将齐次两字省略.
设I=P{为1,一2,步转移概率pij所组成的矩阵,状态空间
…},则 P=
p11 p12 … p1n … p21 p22 … p2n … … … … ……
pi1 pi2 … pin … …… … … …
称为系统状态的一步转移概率矩阵.
为马尔可夫链{Xn,n∈T}的n步转移概率,并称 P(n)=(pij(n))
为马尔可夫链的n步转移矩阵,其中pij(n)≥0, pij(n)=1 jI
即P(n)也是随机矩阵.
当n=1时,pij(1)=pij,此时一步转移矩阵P(1)=P. 此外规
定pij(0)=
0,i≠j,(P(0)是单位矩阵).
pij=P{Xn+1=j|Xn=i}=
1/3,j=i-1,i,i+1,1＜i＜5, 1,i=1,j=2或i=5,j=4,
0,|j-i|≥2.
P= 1
2
3
4
5
12345
0 1 0. 0 0
1/3 1/3 1/3 0 0
0 1/3 1/3 1/3 0
0 0 1/3 1/3 1/3
00010
改变游动的概率规则,可以得到不同方式的随机 游动和相应的马氏链.如当把点1(及5)改为吸收 壁,Q一旦到达点1(5),则将永远留在点1(5)上.此 时相应链的转移概率矩阵只须在上述矩阵P中将 第一行改为(1,0,0,0,0),第五行改为(0,0,0,0,1) 即可.
定义2.1 设有随机过程{Xn,n∈T},若对于任意的整数n∈
T和任意的i0,i1,…,in+1∈I,条件概率满足
P{Xn+1=in+1|X0=i0,X1=i1,…,Xn=in}
=P{Xn+1=in+1|Xn=in}
(2.1)
则称{Xn,n∈T}为马尔可夫链,简称马氏链.
(2.1)是马尔可夫链的马氏性(也称无后效性)的数学表达
一步转移概率矩阵具有性质: (1) pij≥0, i,j∈I;
(2) pij=1, i∈I. jI
通常称满足(1)、(2)性质的矩阵为随机矩阵. 为进一步讨论马尔可夫链的统计性质, 还须了解n步转 移概率,初始概率和绝对概率的概念. 定义2.4 称条件概率
pij(n)=P{Xm+n=j|Xm=i},i,j∈I,m≥0,n≥1
本章主要内容
2.1 马尔可夫链的概念和转移概率 2.2 马尔可夫链的状态分类 2.3 状态空间的分解 2.4 平稳分布
§2.1 马尔可夫链的概念及转移概率
1.马尔可夫链的定义 设随机过程{Xn,n∈T}的参数集T={0,1,2,…},Xn可能
取值的全体组成的状态空间为I={i1,i2,i3,…}.
马尔可夫链
(Markov chain)
马尔可量的马尔可夫过程.
它有极为深厚的理论基础,如拓扑学、函数论、泛函分析、 近世代数和几何学; 又有广泛的应用空间,如近代物理、随机 分形、公共事业中的服务系统、电子信息、计算机技术等.
自然界很多现象遵从这样的演变规则:由时刻t0系统或 过程所处的状态(现在)可以决定系统或过程在时刻t＞t0 所处的状态(将来),而无需借助于t0以前系统或过程所处 状态(过去)的历史资料. 如微分方程初值问题即属于此.
定义2.2 称条件概率 pij(n)=P{Xn+1=j|Xn=i}
为马尔可夫链{Xn,n∈T}在时刻n的一步转移概率,简称 为转移概率,其中i,j∈I. 一般, 转移概率pij(n)不仅与状态i,j有关,而且与时刻 n有关.当pij(n)不依赖时刻n时,表示马尔可夫链具有平稳 转移概率.
定义2.3 若对任意的i,j∈I, 马尔可夫链{Xn,n∈T} 的转移概率pij(n)与时间n无关,则称马尔可夫链是齐 次的,(亦称是时齐的,即具有平稳转移概率)并记
上,则下一时刻就以概率1移动到点2(或4)上.点1与5称为
反射壁.并称上述这种游动为带有两个反射壁的随机游动.
若以Xn表示时刻n时Q的位置, 不同的位置就是Xn的不同
状态,则{Xn,n=0,1,2,…}是一随机过程, 状态空间就是I, 而且当Xn=i,i∈I为已知时,Xn+1所处的状态的概率分布只 与Xn=i有关,而与Q在时刻n以前,如何到达i是完全无关的, 所以{Xn,n=0,1,2,…}是一马氏链,而且还是齐次的.这一 齐次马氏链的一步转移概率和一步转移概率矩阵分别为:
例2.3 某计算机机房的一台计算机经常出故障,研究者每
隔15分钟观察一次计算机的运行状态,收集了24小时的数
据(共做97次观察).用1表示正常状态,0表示不正常状态,
所得的数据序列为:
1111110001101101
111111111100111.
设Xn为第n(n=1,2,…,97)次观测的计算机状态,可以认
例2.1 (一维随机游动)
12345
设一随机游动的质点, 在如右上图所示的
直线点集I={1,2,3,4,5}作随机游动,并且仅仅在1秒,2秒
…等时刻发生游动.游动的概率规则是:如果Q现在位于点
i(1＜i＜5), 则下一时刻各以1/3的概率向左或向右移动
一格,或以1/3的概率留在原处; 如果Q现在位于点1(或5)
式.
利用积事件的概率及上述定义知: P{X0=i0,X1=i1,…,Xn=in} =P{Xn=in|X0=i0,X1=i1,…,Xn-1=in-1}P{X0=i0,X1=i1,…, Xn-1=in-1} =P{Xn=in|Xn-1=in-1}P{X0=i0,X1=i1,…,Xn-1=in-1} =… =P{Xn=in|Xn-1=in-1}P{Xn-1=in-1|Xn-2=in-2}…P{X1=i1| X0=i0}P{X0=i0}.
即马尔可夫链的统计特性完全由条件概率
P{Xn+1=in+1|Xn=in} 所决定. 如何确定这个条件概率,是马尔可夫链理论和应
用中的重要问题之一.
2.转移概率 条件概率P{Xn+1=j|Xn=i}的直观含义是:系统在时刻n处
于状态i的条件下,在时刻n+1系统处于状态j的概率.这相 当于随机游动的质点在时刻n处于状态i的条件下,下一步 转移到状态j的概率.
pij(n)为pij. 下面只讨论齐次马尔可夫链,并将齐次两字省略.
设I=P{为1,一2,步转移概率pij所组成的矩阵,状态空间
…},则 P=
p11 p12 … p1n … p21 p22 … p2n … … … … ……
pi1 pi2 … pin … …… … … …
称为系统状态的一步转移概率矩阵.
为马尔可夫链{Xn,n∈T}的n步转移概率,并称 P(n)=(pij(n))
为马尔可夫链的n步转移矩阵,其中pij(n)≥0, pij(n)=1 jI
即P(n)也是随机矩阵.
当n=1时,pij(1)=pij,此时一步转移矩阵P(1)=P. 此外规
定pij(0)=
0,i≠j,(P(0)是单位矩阵).
pij=P{Xn+1=j|Xn=i}=
1/3,j=i-1,i,i+1,1＜i＜5, 1,i=1,j=2或i=5,j=4,
0,|j-i|≥2.
P= 1
2
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12345
0 1 0. 0 0
1/3 1/3 1/3 0 0
0 1/3 1/3 1/3 0
0 0 1/3 1/3 1/3
00010
改变游动的概率规则,可以得到不同方式的随机 游动和相应的马氏链.如当把点1(及5)改为吸收 壁,Q一旦到达点1(5),则将永远留在点1(5)上.此 时相应链的转移概率矩阵只须在上述矩阵P中将 第一行改为(1,0,0,0,0),第五行改为(0,0,0,0,1) 即可.
定义2.1 设有随机过程{Xn,n∈T},若对于任意的整数n∈
T和任意的i0,i1,…,in+1∈I,条件概率满足
P{Xn+1=in+1|X0=i0,X1=i1,…,Xn=in}
=P{Xn+1=in+1|Xn=in}
(2.1)
则称{Xn,n∈T}为马尔可夫链,简称马氏链.
(2.1)是马尔可夫链的马氏性(也称无后效性)的数学表达
一步转移概率矩阵具有性质: (1) pij≥0, i,j∈I;
(2) pij=1, i∈I. jI
通常称满足(1)、(2)性质的矩阵为随机矩阵. 为进一步讨论马尔可夫链的统计性质, 还须了解n步转 移概率,初始概率和绝对概率的概念. 定义2.4 称条件概率
pij(n)=P{Xm+n=j|Xm=i},i,j∈I,m≥0,n≥1
本章主要内容
2.1 马尔可夫链的概念和转移概率 2.2 马尔可夫链的状态分类 2.3 状态空间的分解 2.4 平稳分布
§2.1 马尔可夫链的概念及转移概率
1.马尔可夫链的定义 设随机过程{Xn,n∈T}的参数集T={0,1,2,…},Xn可能
取值的全体组成的状态空间为I={i1,i2,i3,…}.
马尔可夫链
(Markov chain)
马尔可量的马尔可夫过程.
它有极为深厚的理论基础,如拓扑学、函数论、泛函分析、 近世代数和几何学; 又有广泛的应用空间,如近代物理、随机 分形、公共事业中的服务系统、电子信息、计算机技术等.
自然界很多现象遵从这样的演变规则:由时刻t0系统或 过程所处的状态(现在)可以决定系统或过程在时刻t＞t0 所处的状态(将来),而无需借助于t0以前系统或过程所处 状态(过去)的历史资料. 如微分方程初值问题即属于此.
定义2.2 称条件概率 pij(n)=P{Xn+1=j|Xn=i}
为马尔可夫链{Xn,n∈T}在时刻n的一步转移概率,简称 为转移概率,其中i,j∈I. 一般, 转移概率pij(n)不仅与状态i,j有关,而且与时刻 n有关.当pij(n)不依赖时刻n时,表示马尔可夫链具有平稳 转移概率.
定义2.3 若对任意的i,j∈I, 马尔可夫链{Xn,n∈T} 的转移概率pij(n)与时间n无关,则称马尔可夫链是齐 次的,(亦称是时齐的,即具有平稳转移概率)并记
上,则下一时刻就以概率1移动到点2(或4)上.点1与5称为
反射壁.并称上述这种游动为带有两个反射壁的随机游动.
若以Xn表示时刻n时Q的位置, 不同的位置就是Xn的不同
状态,则{Xn,n=0,1,2,…}是一随机过程, 状态空间就是I, 而且当Xn=i,i∈I为已知时,Xn+1所处的状态的概率分布只 与Xn=i有关,而与Q在时刻n以前,如何到达i是完全无关的, 所以{Xn,n=0,1,2,…}是一马氏链,而且还是齐次的.这一 齐次马氏链的一步转移概率和一步转移概率矩阵分别为:
例2.3 某计算机机房的一台计算机经常出故障,研究者每
隔15分钟观察一次计算机的运行状态,收集了24小时的数
据(共做97次观察).用1表示正常状态,0表示不正常状态,
所得的数据序列为:
1111110001101101
111111111100111.
设Xn为第n(n=1,2,…,97)次观测的计算机状态,可以认