多元函数微分学6.2多元函数的基本概念

y f (x1, x2 ,, xn )
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二元以及二元以上的函数统称为 多元函数．
二元函数的二因素：对应法则和定义域．
例6-4 求下列函数的定义域：
(1) z y x2，
(2) z ln( x2 y2 1)
1
.
4 x2 y2
解 (1) 要使得函数有意义，必须有 y x2 0，
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例如，二元函数 z x2 y 2 的几何图形是旋转
抛物面，它在xOy面上方，函数的定义域是 xOy面．
z
xo
y
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6.2.3 二元函数的极限
对一元函数，函数的极限刻画了自变量变化时函 数的变化趋势．
同样，对二元函数，也要研究当自变量 x x0，
一对值(r,h)时，V的对应值就随之确定．
h 这就是以 r，h为自变量， V为因变量
r
的二元函数．
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１．二元函数的定义 定义6-1 设D是一个平面非空点集，若按照某一 确定的对应法则f，对D内每一数对(x,y)都有唯一确定
的实数z与之对应， 则称f为定义在D上的二元函数，
6.2 多元函数的基本概念
本节以二元函数为例来介绍多元函数 的极限和连续这些基本概念．
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6.2 多元函数的基本概念
平面区域 多元函数的概念 二元函数的极限 二元函数的连续性
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6.2.1 平面区域
邻域 设P0(x0,y0)是xOy平面上一个定点, 是某个
如图所示．
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2．二元函数的几何意义 设二元函数z=f(x,y)，(x, y) D，D是xOy平面上的区域， 对于D内任意一点P(x,y) ，总有确定的函数值z=f(x,y)与 之相对应，于是在空间确定一个点M(x,y,z) ．当P(x,y)在 D内取遍每一组值时，所对应的点M(x,y,z)在空间中形成 一张曲面．这张曲面就是二元函数 z=f(x,y)的几何图形．
正数，与点P0的距离小于 的点的全体，称为点P0的
邻域，记为 U (P0 , )，即 U (P0 , ) P | | PP0 |
P0
(x, y) | (x x0)2 ( y y0)2
点P0去心 邻域：U0 (P0 , ).
点P0的某个邻域（不强调半径）：U (P0 ).
显然，这种直观描述不够精确，为此我们给出二
元函数极限的“ ”定义．
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定义6-2 设二元函数z=f(x,y)在点P0(x0,y0)的某个 0
去心邻域 U (P0 ) 有定义．A是一个常数．如果对任意给定
的正数，总存在正数，使得当 0 (x x0 ) (y y0 )2
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内点、开集
设E是xOy平面上的点集，点P∈E，
若存在 0，使得 U (P, ) E，则称
点P为E的内点；若E中每一个点都是E的
内点，则称E为开集．
E
边界点、边界
设E是xOy平面上的点集，若在点P
的任一邻域内，都既有属于E的点，也
E
有不属于E的点，则称点P为E的边界点；
y y x2
于是所求定义域为：
D {(x, y) y x2}
Ox
如图所示．
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(2) 要使得函数有意义，必须有
x2 y2 1 0 4 x2 y 2 0
即
1 x2 y2 4
y
12
O
x
于是所求定义域为：
D (x, y) |1 x2 y2 4
设二元函数z=f(x,y)在点P0(x0,y0)的某一去心邻域
0
U (P0
)
有定义．P(x,y)是U0 (P0
)
内的任一点，如果P(x,y)以
任意方式无限趋近于点P0(x0,y0)时，对应的函数值 f(x,y)
都无限接近于某一个确定的常数A，则称A是二元函数
z=f(x,y)当 (x , y) (x0 , y0 ) 时的极限．
y y0，即点wk.baidu.comP(x, y) P0 (x0 , y0 ) 时，或
P0 P (x x0 ) ( y y0 )2 0 时，函数z=f(x,y)的变化趋势，这就是二元函数的极限 问题．
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先来看函数z=f(x,y)在点P0(x0,y0)的极限的直观描述：
E
若存在正数R，使 E U (O, R)，
O
其中O为坐标原点，则称E为有
x
界区域；否则称E为无界区域．
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例如，集合 {(x, y)1 x2 y2 4}
是开集， 是连通的，所以是开区域， 显然它是有界的，因而该集合为有界
y
12
O
x
开区域．
同理，集合 {(x, y)1 x2 y2 4}
记为
z f (x , y)，(x , y) D.
或
z f (P)，P (x, y) D.
其中x，y称为自变量，z称为因变量．点集D称为 函数
f的定义域，数集 {z z f (x, y), (x, y) D}称为 函数
f的值域． 类似可定义三元函数u=f(x,y,z) 及一般的n元函数
是有界闭区域．
y
y
12
O
x
集合{(x, y) x y 0}
O
x
是无界开区域．
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6.2.2 多元函数的概念
一元函数研究的是一个自变量对因变量的影响，
而实际问题中的函数往往依赖于两个或更多个变量：
例6-3 圆柱体的体积V和它的底半径r及高h之间
具有关系 V r2h. 当r和h在 {(r, h) r 0, h 0} 内取定
时，都有
f (x, y) A ， 则称常数A是二元函数z=f(x,y)当 P(x, y) P0 (x0 , y0 ) 时 的极限，记作 lim f (x , y) A 或
E的所有边界点的全体称为E的边界．
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连通、开区域、闭区域
设E是xOy平面上的点集， 若对于E内任意两点，都可以
E 。。
用完全属于E的折线连接起来，
则称具有连通性．连通的开集称为开区域或简称区域；
区域及其边界所成集合称为闭区域． y
有界区域、无界区域
R
设E是xOy平面上的点集，