三角形相似的判定方法

三角形相似的判定方法

一1、定义法：三个对应角相等，三条对应边成比例的两个三角形相似．

2、平行法：平行于三角形一边的直线和其它两边(或两边的延长线)相交，所构成的三角

形与原三角形相似．

3、判定定理1：如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两

个三角形相似．简述为：两角对应相等，两三角形相似．

4、判定定理2：如果一个三角形的两条边与另一个三角形的两条边对应成比例，并且夹

角相等，那么这两个三角形相似．简述为：两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似． 5、判定定理3：如果一个三角形的三条边与另一个三角形的三条边对应成比例，那么这 两个三角形相似．简述为：三边对应成比例，两三角形相似． 特殊、判定直角三角形相似的方法：

(1)以上各种判定均适用．

(2)如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似．

(3)直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形与原三角形相似． 注：

射影定理：在直角三角形中，斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比例中项。每一条直角边是这条直角边在斜边上的射影和斜边的比例中项。

如图，Rt △ABC 中，∠BAC=90°，AD 是斜边BC 上的高， 则AD 2

=BD ·DC ，AB 2

=BD ·BC ，AC 2

=CD ·BC 。

二 相似三角形常见的图形

三、1，下面我们来看一看相似三角形的几种基本图形：

（1） 如图：称为“平行线型”的相似三角形（有“A 型”与“X 型”图）

(2) 如图：其中∠1=∠2，则△ADE ∽△ABC 称为“斜交型”的相似三角形。（有“反A 共

角型”、“反A 共角共边型”、 “蝶型”）

A

C

D E 1

2

A

A

D

D

E

E

1241

2

D

B

C

E

A

D

(3)

B

C

A

E (2)

C

B

（3） 如图：称为“垂直型”（有“双垂直共角型”、“双垂直共角共边型（也称“射影定

理型”）”“三垂直型”）

(4)如图：∠1=∠2，∠B=∠D ，则△ADE ∽△ABC ，称为“旋转型”的相似三角形。 2、几种基本图形的具体应用：

（1）若DE ∥BC （A 型和X 型）则△ADE ∽△ABC

（2）射影定理 若CD 为Rt △ABC 斜边上的高（双直角图形）

则Rt △ABC ∽Rt △ACD ∽Rt △CBD 且AC 2=AD ·AB ，CD 2=AD ·BD ，BC 2

=BD ·AB ；

E A D C

B

E

A D

C

B

A D C

B

（3）满足1、AC 2

=AD ·AB ，2、∠ACD=∠B ，3、∠ACB=∠ADC ，都可判定△ADC ∽△ACB ．

（4）当

AD AE

AC AB

或AD ·AB=AC ·AE 时，△ADE ∽△ACB ． A D C

B

E

A D

C

B

例题展示:

例1判断对错：

(1)两个直角三角形一定相似吗？为什么？(2)两个等腰三角形一定相似吗？为什么？ (3)两个等腰直角三角形一定相似吗？为什么？(4)两个等边三角形一定相似吗？为什么？ (5)两个全等三角形一定相似吗？为什么？

总结升华：由上可知，在特殊的三角形中，有的相似，有的不一定相似. (1)两个直角三角形，两个等腰三角形不一定相似. (2)两个等腰直角三角形，两个等边三角形一定相似.

(3)两个全等三角形一定相似，且相似比为1；相似比为1的两个相似三角形全等. 练习:下列能够相似的一组三角形为( )

A.所有的直角三角形

B.所有的等腰三角形

C.所有的等腰直角三角形

D.所有的一边和这边上的高相等的三角形 例2．如图所示，已知

中，E 为AB 延长线上的一点，AB=3BE ，DE 与BC 相交

于F ，请找出图中各对相似三角形，并求出相应的相似比.

B

E

A

C

D 1

2E

A

B

E

A

B (D )

A

D

B

练习．已知在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=10，BC=6.在Rt△EDF中，∠F=90°，DF=3，EF=4，则△ABC和△EDF相似吗？为什么？

例3已知：如图正方形ABCD中，P是BC上的点，且BP=3PC，Q是CD的中点．求证：△ADQ∽△QCP．

练习:已知：如图，AD是△ABC的高，E、F分别是AB、AC的中点．

求证：△DFE∽△ABC．

例4．△ABC∽△DEF，若△ABC的边长分别为5cm、6cm、7cm，而4cm是△DEF中一边的长度，你能求出△DEF的另外两边的长度吗？试说明理由.

例5．如图所示，已知△ABC中，AD是高，矩形EFGH内接于△ABC中，且长边FG在BC上，矩形相邻两边的比为1：2，若BC=30cm，AD=10cm.求矩形EFGH的面积.

例6△ABC中，DE∥BC，M为DE中点，CM交AB于N，若，求.

练习、判断题：

(1)两个顶角相等的等腰三角形是相似的三角形。（）

(2)两个等腰直角三角形是相似三角形。（）

(3)底角相等的两个等腰三角形是相似三角形。（）

(4)两个直角三角形一定是相似三角形。（）

(5)一个钝角三角形和一个锐角三角形有可能相似。（）

(6)有一个角相等的两个直角三角形是相似三角形。（）

(7)有一个锐角相等的两个直角三角形是相似三角形。（）

(8)三角形的三条中位线围成的三角形与原三角形相似。（）

(9)所有的正三角形都相似。（）

(10)两个等腰三角形只要有一个角对应相等就相似. （）

1、如图，点D在△ABC的边AC上，添加条件，可判定△ADB与△ABC相似。

2、如图，在△ABC中．∠ACB=90°，CD⊥AB于点D，则图中相似三角形有。

3、如图，在▱ABCD中，E、F分别是AD、CD边上的点，连接BE、AF，他们相交于G，延长BE交CD 的延长线于点H，则图中的相似三角形是。

4、如图，P为线段AB上一点，AD与BC交干E，∠CPD=∠A=∠B，BC交PD于E，AD交PC于G，则图中相似三角形有。

5如图，AD∥BC，∠D=90°，DC=7，AD=2，BC=4．若在边DC上有点P使△PAD和△PBC相似，求PD的值。

6、如图，在矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点G，E为AD的中点，连接BE交AC于F，连接FD，若∠BFA=90°，求证：①△BEA∽△ACD；②△FED∽△DEB；③△C