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高考极坐标与参数方程大题题型汇总(附详细答案)

高考极坐标与参数方程大题题型汇总(附详细答案)本文介绍了高考极坐标与参数方程大题题型，并给出了三个例子进行解答。

例1：在直角坐标系xoy中，圆C的参数方程为(x-1)^2+y^2=1，求圆C的极坐标方程。

解析：将x和y用极坐标表示，得到ρ=2cosθ。

例2：已知直线l的参数方程为x=-4t+a，y=3t-1，在直角坐标系xoy中，以O点为极轴建立极坐标系，设圆M的方程为ρ^2-6ρsinθ=-8.求圆M的直角坐标方程和实数a的值。

解析：将ρ和θ用x和y表示，得到x+(y-3)=1，然后将直线l的参数方程化为普通方程，得到3x+4y-3a+4=0.根据圆心到直线的距离和直线截圆所得弦长的关系，解得a=12或a=22/3.例3：已知曲线C的参数方程为x=2+5cosα，y=1+5sinα，以直角坐标系原点为极点，Ox轴正半轴为极轴建立极坐标系。

求曲线C的极坐标方程和直线l被曲线C截得的弦长。

解析：将x和y用极坐标表示，得到ρ=5.将直线l的极坐标方程化为普通方程，得到ρ(sinθ+cosθ)=1.由于曲线C是一个圆，因此直线l与曲线C的交点分别为A(7π/4.3+2√2)和B(3π/4.3-2√2)，弦AB的长度为4√2.1) 曲线C的参数方程为：x=9\cos^3\theta,\ y=3\sin^3\theta$，直线$l$的直角坐标方程为$x+y-1=0$。

2) 设$P(9\cos^3\alpha,3\sin^3\alpha)$，则$P$到直线$l$的距离为$d=\frac{|9\cos^3\alpha+3\sin^3\alpha-1|}{\sqrt{2}}$。

为求$d$的最大值，我们可以将$d$表示为$10\cos(\alpha+\theta)+\frac{1}{\sqrt{2}}$的形式，其中$\theta$为一个与$\alpha$无关的常数，且$\tan\theta=\frac{1}{3}$。

专题26 极坐标与参数方程(文理通用)(解析版)

十年（2014－2023）年高考真题分项汇编—极坐标与参数方程目录题型一：极坐标与普通方程互化 .......................................................... 1 题型二：极坐标方程的应用 ................................................................. 3 题型三：参数方程与普通方程互化 .................................................... 11 题型四：参数方程的应用 ................................................................... 13 题型五：极坐标与参数方程的综合应用 (21)题型一：极坐标与普通方程互化1．(2023年全国甲卷理科·第22题)已知点(2,1)P ，直线2cos :1sin x t l y t αα=+=+ (t 为参数)，α为l 的倾斜角，l 与x 轴正半轴，y 轴正半轴分别交于A ，B 两点，且||||4PA PB ⋅=． (1)求α；(2)以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求l 的极坐标方程．【答案】(1)3π4(2)cos sin 30ρθρθ+−=解析：(1)因为l 与x 轴，y 轴正半轴交于,A B 两点，所以ππ2α<<，令0x =，12cos t α=−，令0y =，21sin t α=−，所以21244sin cos sin 2PA PB t t ααα====，所以sin 21α=±，即π2π2k α=+，解得π1π,42k k α=+∈Z ，因为ππ2α<<，所以3π4α=． (2)由(1)可知，直线l 的斜率为tan 1α=−，且过点()2,1，所以直线l 的普通方程为：()12y x −=−−，即30x y +−=，由cos ,sin xy ρθρθ=可得直线l 的极坐标方程为cos sin 30ρθρθ+−=．2．(2021年高考全国甲卷理科·第22题)在直角坐标系xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρθ=． (1)将C 的极坐标方程化为直角坐标方程；(2)设点A 直角坐标为()1,0，M 为C 上的动点，点P满足AP =，写出Р的轨迹1C 的参数方程，并判断C 与1C 是否有公共点．【答案】(1)(222x y +=；(2)P 的轨迹1C的参数方程为32cos 2sin x y θθ= (θ为参数)，C与1C 没有公共点．解析：(1)由曲线C的极坐标方程ρθ=可得2cos ρθ=，将cos ,sin xy ρθρθ=代入可得22x y +，即(222x y −+=，即曲线C的直角坐标方程为(222x y +=；(2)设(),P x y，设)MθθAP =，())()1,22cos 2sin x y θθθθ∴−=+−=+−，则122cos 2sin x y θθ −=+− =32cos 2sin x y θθ =−+ = ，故P 的轨迹1C的参数方程为32cos 2sin x y θθ= (θ为参数) 曲线C的圆心为)，曲线1C的圆心为()3，半径为2，则圆心距为3−，32−<− ，∴两圆内含，故曲线C 与1C 没有公共点．3．(2018年高考数学课标卷Ⅰ(理)·第22题)[选修4–4：坐标系与参数方程](10分)在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的方程为||2y k x =+．以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为22cos 30ρρθ+−=．(1)求2C 的直角坐标方程；(2)若1C 与2C 有且仅有三个公共点，求1C 的方程．【答案】解析：(1)由cos x ρθ=，sin y ρθ=得2C 的直角坐标方程为22(1)4x y ++=．的(2)由(1)知2C 是圆心为(1,0)A −，半径为2的圆．由题设知，1C 是过点(0,2)B 且关于y 轴对称的两条射线．记y 轴右边的射线为1l ，y 轴左边的射线为2l ．由于B 在圆2C 的外面，故1C 与2C 有且仅有三个公共点等价于1l 与2C 只有一个公共点且2l 与2C 有两个公共点，或2l 与2C 只有一个公共点且1l 与2C 有两个公共点．当1l 与2C 只有一个公共点时，A 到1l 所在直线的距离为2，所以2=，故43k =−或0k =．经检验，当0k =时，1l 与2C 没有公共点；当43k =−时，1l 与2C 只有一个公共点，2l 与2C 有两个公共点．当2l 与2C 只有一个公共点时，A 到2l 所在直线的距离为22=，故0k =或43k =．经检验，当0k =时，1l 与2C 没有公共点；当43k =时，2l 与2C 没有公共点．综上，所求1C 的方程为4||23y x =−+．4．(2015高考数学江苏文理·第23题)已知圆C 的极坐标方程为2sin()404πρθ+−−=，求圆C 的半径．【答案】(C分析：先根据222,sin ,cos x y y x ρρθρθ=+==将圆C 的极坐标方程化成直角坐标方程，再根据圆的标准方程得到其半径．解析：以极坐标系的极点为平面直角坐标系的原点Ο，以极轴为x 轴的正半轴，建立直角坐标系x y Ο．圆C 的极坐标方程为240ρθθ +−=，化简，得22sin 2cos 40ρρθρθ+−−=．则圆C 的直角坐标方程为222240x y x y +−+−=，即()()22116x y −++=，所以圆C ．题型二：极坐标方程的应用1．(2022年高考全国乙卷数学(理)·第22题)在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为22sin x ty t = =，(t 为参数)，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，已知直线l 的极坐标方程为sin 03m πρθ++=． (1)写出l 的直角坐标方程；(2)若l 与C 有公共点，求m 的取值范围．【答案】(120++=y m (2)195122−≤≤m 解析：【小问1详解】因为l ：sin 03m πρθ+ +=，所以1sin cos 02ρθθ⋅⋅+=m ，又因为sin ,cos y x ρθρθ⋅=⋅=，所以化简为102++=y x m ，整理得l 20++=y m 【小问2详解】联立l 与C 的方程，即将2=x t ，2sin y t =代入20++=y m中，可得3cos 22sin 20++=t t m ，所以23(12sin )2sin 20−++=t t m ，化简为26sin 2sin 320−+++=t t m ，要使l 与C 有公共点，则226sin 2sin 3=−−m t t 有解，令sin =t a ，则[]1,1a ∈−，令2()623=−−f a a a ，(11)a −≤≤，对称轴为16a =，开口向上，所以(1)623()5=−=+−=max f f a ，min 11219(())36666==−−=−f f a ，所以19256−≤≤m m 的取值范围为195122−≤≤m ． 2．(2020江苏高考·第22题)在极坐标系中，已知点1π(,)3A ρ在直线:cos 2l ρθ=上，点2π(,)6B ρ在圆:4sin C ρθ=上(其中0ρ≥，02θπ≤<)．(1)求1ρ，2ρ的值(2)求出直线l 与圆C 的公共点的极坐标．【答案】(1)1242ρρ==，(2))4π【解析】(1)以极点为原点，极轴为x 轴的正半轴，建立平面直角坐标系， 11cos2,43πρρ=∴= ，因为点B 为直线6πθ=上，故其直角坐标方程为y =，又4sin ρθ=对应的圆的直角坐标方程为：2240x y y +−=，由2240y x y y =+−=解得00x y ==或1x y = = ，对应的点为())0,0,，故对应的极径为20ρ=或22ρ=．(2)cos 2,4sin ,4sin cos 2,sin 21ρθρθθθθ==∴=∴= ， 5[0,2),,44ππθπθ∈∴= ，当4πθ=时ρ=当54πθ=时0ρ−<，舍；即所求交点坐标为当),4π3．(2019·全国Ⅲ·理·第22题)如图，在极坐标系Ox 中，(2,0)A，)4B π，)4C 3π，(2,)D π，弧 AB ， BC ， CD 所在圆的圆心分别是(1,0)，(1,)2π，(1,)π，曲线1M 是弧 AB ，曲线2M 是弧 BC ，曲线3M 是弧 CD．(1)分别写出1M ，2M ，3M 的极坐标方程；(2)曲线M 由1M ，2M ，3M 构成，若点P 在M上，且||OP =P 的极坐标．【答案】(1)12cos (0)4M πρθθ=：≤≤,232sin ()44M ππρθθ=：≤≤,332cos ()4M πρθθπ=−：≤≤； (2))6π或)3π或2)3π或5)6π【官方解析】(1)由题设可得， ,,ABBC CD所在圆的极坐标方程分别为2cos ,2sin ,2cos ρθρθρθ===−．所以1M 的极坐标方程为2cos (0)4πρθθ=≤≤，2M 的极坐标方程为32sin ()44ππρθθ=≤≤，3M 的极坐标方程为32cos ()4πρθθπ=−≤≤． (2)设(,)P ρθ，由题设及(1)知若04πθ剟，则2cos θ=，解得6πθ=；若344ππθ剟，则2sin θ=，解得3πθ=或23πθ=；若34πθπ剟，则2cos θ−56πθ=．综上P的极坐标为)6π或)3π或2)3π或5)6π．【点评】此题考查了极坐标中过极点的圆的方程，思考量不高，运算量不大，属于中档题． 4．(2019·全国Ⅱ·理·第22题)在极坐标系中，O 为极点，点()00,M ρθ()00ρ>在曲线:C 4sin ρθ=上，直线l 过点且与OM 垂直，垂足为P ．()1当03πθ=时，求0ρ及l 的极坐标方程；()2当M 在C 上运动且P 在线段OM 上时，求P 点轨迹的极坐标方程．【答案】()10ρ=l 的极坐标方程为sin 26πρθ+=；()24cos ρθ=42ππθ≤≤. 【官方解析】()1因为()00,M ρθ在C 上，当03θπ=时，04sin3ρπ==. 由已知得||||cos 23OP OA π==.设(,)Q ρθ为l 上除P 的任意一点.在Rt OPQ △中cos 23OP ρθπ−，经检验，点2,3P π 在曲线cos 23ρθπ−=上. 所以，l 的极坐标方程为cos 23ρθπ−=. ()2设(,)P ρθ，在Rt OAP △中，cos 4cos OP OA θθ== ，即 4cos ρθ=.(4,0)A因为P 在线段OM 上，且AP OM ⊥，故θ的取值范围是,42ππ.所以，P 点轨迹的极坐标方程为4cos ,,42ρθθπ =∈π .【分析】()1先由题意，将03πθ=代入4sin ρθ=即可求出0ρ；根据题意求出直线l 的直角坐标方程，再化为极坐标方程即可；()2先由题意得到P 点轨迹的直角坐标方程，再化为极坐标方程即可，要注意变量的取值范围.【解析】()1因为点()00,M ρθ()00ρ>在曲线:4sin C ρθ=上，所以；即3M π，所以tan 3OMk π==因为直线l 过点()4,0A 且与OM 垂直，所以直线l的直角坐标方程为)4y x −，即40x −=；因此，其极坐标方程为cos sin 4ρθθ+=，即l 的极坐标方程为sin 26πρθ+=；()2设(),P x y ，则OP y k x =， 4AP y k x =−，由题意，OP AP ⊥，所以1OP AP k k ⋅=−，故2214y x x=−−，整理得2240x y x +−=，因为P 在线段OM 上，M 在C 上运动，所以02x ≤≤，24y ≤≤，所以，P 点轨迹的极坐标方程为24cos 0ρρθ−=，即4cos 42ππρθθ =≤≤.【点评】本题主要考查极坐标方程与直角坐标方程的互化，熟记公式即可，属于常考题型.5．(2019·江苏·第22题)在极坐标系中，已知两点3,,42A B ππ ，直线l 的方程为sin 34ρθπ+=. (1)求,A B 两点间的距离；(2)求点B 到直线l 的距离. 【答案】见解析【解析】(1)设极点为O .在OAB △中，4(3,)A π，)2B π，由余弦定理，得AB(2)因为直线l 的方程为sin()34ρθπ+=，则直线l过点)2π，倾斜角为34π．004sin 4sin 3πρθ===又)2B π，所以点B 到直线l的距离为3sin()242ππ×−=. 6．(2018年高考数学江苏卷·第23题)[选修4—4：坐标系与参数方程](本小题满分10分)在极坐标系中，直线l 的方程为πsin()26ρθ−=，曲线C 的方程为4cos ρθ=，求直线l 被曲线C 截得的弦长．【答案】直线l 被曲线C截得的弦长为．解析：因为曲线C 的极坐标方程为=4cos ρθ，所以曲线C 的圆心为(2，0)，直径为4的圆．因为直线l 的极坐标方程为πsin()26ρθ−=，则直线l 过A (4，0)，倾斜角为π6，所以A 为直线l 与圆C 的一个交点．设另一个交点为B ，则∠OAB =π6．连结OB ，因为OA 为直径，从而∠OBA =π2，所以π4cos 6AB ==．因此，直线l 被曲线C截得的弦长为．7．(2015高考数学新课标2理科·第2310分)选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中，曲线1cos ,:sin ,x t C y t αα= =(t 为参数，0t ≠)，其中0απ≤<，在以O 为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线2:2sin C ρθ=，曲线3:C ρθ=．(Ⅰ)．求2C 与1C 交点的直角坐标；(Ⅱ)．若2C 与1C 相交于点A ，3C 与1C 相交于点B ，求AB 的最大值．【答案】(Ⅰ)(0,0)和3)2；(Ⅱ)4．解析：(Ⅰ)曲线2C 的直角坐标方程为2220x y y +−=，曲线3C 的直角坐标方程为220x y +−=．联立222220,0,x y y x y +−= +−=解得0,0,x y = =或3,2x y = = 所以2C 与1C 交点的直角坐标为(0,0)和3)2．(Ⅱ)曲线1C 的极坐标方程为(,0)R θαρρ=∈≠，其中0απ≤<．因此A 得到极坐标为(2sin ,)αα，B的极坐标为,)αα．所以2sin AB αα=−4in()3s πα−，当56πα=时，AB 取得最大值，最大值为4．8．(2015高考数学新课标1理科·第23题)(本小题满分10分)选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中。

高中数学极坐标与参数方程大题(详解)

参数方程极坐标系解答题1．已知曲线C：+=1，直线l：（t为参数）（Ⅰ）写出曲线C的参数方程，直线l的普通方程．（Ⅱ）过曲线C上任意一点P作与l夹角为30°的直线，交l于点A，求|PA|的最大值与最小值．解答：解：（Ⅰ）对于曲线C：+=1，可令x=2cosθ、y=3sinθ，故曲线C的参数方程为，（θ为参数）．对于直线l：，由①得：t=x﹣2，代入②并整理得：2x+y﹣6=0；（Ⅱ）设曲线C上任意一点P（2cosθ，3sinθ）．P到直线l的距离为．则，其中α为锐角．当sin（θ+α）=﹣1时，|PA|取得最大值，最大值为．当sin（θ+α）=1时，|PA|取得最小值，最小值为．2．已知极坐标系的极点在直角坐标系的原点处，极轴与x轴的正半轴重合，直线l的极坐标方程为：，曲线C的参数方程为：（α为参数）．（I）写出直线l的直角坐标方程；（Ⅱ）求曲线C上的点到直线l的距离的最大值．解答：解：（1）∵直线l的极坐标方程为：，∴ρ（sinθ﹣cosθ）=，∴，∴x﹣y+1=0．（2）根据曲线C的参数方程为：（α为参数）．得（x﹣2）2+y2=4，它表示一个以（2，0）为圆心，以2为半径的圆，圆心到直线的距离为：d=，∴曲线C上的点到直线l的距离的最大值=．3．已知曲线C1：（t为参数），C2：（θ为参数）．（1）化C1，C2的方程为普通方程，并说明它们分别表示什么曲线；（2）若C1上的点P对应的参数为t=，Q为C2上的动点，求PQ中点M到直线C3：（t为参数）距离的最小值．解答：解：（1）把曲线C1：（t为参数）化为普通方程得：（x+4）2+（y﹣3）2=1，所以此曲线表示的曲线为圆心（﹣4，3），半径1的圆；把C2：（θ为参数）化为普通方程得：+=1，所以此曲线方程表述的曲线为中心是坐标原点，焦点在x轴上，长半轴为8，短半轴为3的椭圆；（2）把t=代入到曲线C1的参数方程得：P（﹣4，4），把直线C3：（t为参数）化为普通方程得：x﹣2y﹣7=0，设Q的坐标为Q（8cosθ，3sinθ），故M（﹣2+4cosθ，2+sinθ）所以M到直线的距离d==，（其中sinα=，cosα=）从而当cosθ=，sinθ=﹣时，d取得最小值．4．在直角坐标系xOy中，以O为极点，x轴正半轴为极轴建立直角坐标系，圆C的极坐标方程为，直线l的参数方程为（t为参数），直线l和圆C交于A，B两点，P是圆C上不同于A，B的任意一点．（Ⅰ）求圆心的极坐标；（Ⅱ）求△PAB面积的最大值．解答：解：（Ⅰ）由圆C的极坐标方程为，化为ρ2=，把代入可得：圆C的普通方程为x2+y2﹣2x+2y=0，即（x﹣1）2+（y+1）2=2．∴圆心坐标为（1，﹣1），∴圆心极坐标为；（Ⅱ）由直线l的参数方程（t为参数），把t=x代入y=﹣1+2t可得直线l的普通方程：，∴圆心到直线l的距离，∴|AB|=2==，点P直线AB距离的最大值为，．5．在平面直角坐标系xoy中，椭圆的参数方程为为参数）．以o为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为．求椭圆上点到直线距离的最大值和最小值．解答：解：将化为普通方程为（4分）点到直线的距离（6分）所以椭圆上点到直线距离的最大值为，最小值为．（10分）6．在直角坐标系xoy中，直线I的参数方程为（t为参数），若以O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ=cos（θ+）．（1）求直线I被曲线C所截得的弦长；（2）若M（x，y）是曲线C上的动点，求x+y的最大值．解答：解：（1）直线I的参数方程为（t为参数），消去t，可得，3x+4y+1=0；由于ρ=cos（θ+）=（），即有ρ2=ρcosθ﹣ρsinθ，则有x2+y2﹣x+y=0，其圆心为（，﹣），半径为r=，圆心到直线的距离d==，故弦长为2=2=；（2）可设圆的参数方程为：（θ为参数），则设M（，），则x+y==sin（），由于θ∈R，则x+y的最大值为1．7．选修4﹣4：参数方程选讲已知平面直角坐标系xOy，以O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，P点的极坐标为，曲线C的极坐标方程为．（Ⅰ）写出点P的直角坐标及曲线C的普通方程；（Ⅱ）若Q为C上的动点，求PQ中点M到直线l：（t为参数）距离的最小值．解解（1）∵P点的极坐标为，答：∴=3，=．∴点P的直角坐标把ρ2=x2+y2，y=ρsinθ代入可得，即∴曲线C的直角坐标方程为．（2）曲线C的参数方程为（θ为参数），直线l的普通方程为x﹣2y﹣7=0设，则线段PQ的中点．那么点M到直线l的距离.，∴点M到直线l的最小距离为．8．在直角坐标系xOy中，圆C的参数方程（φ为参数）．以O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．（Ⅰ）求圆C的极坐标方程；（Ⅱ）直线l的极坐标方程是ρ（sinθ+）=3，射线OM：θ=与圆C的交点为O，P，与直线l的交点为Q，求线段PQ的长．解答：解：（I）圆C的参数方程（φ为参数）．消去参数可得：（x﹣1）2+y2=1．把x=ρcosθ，y=ρsinθ代入化简得：ρ=2cosθ，即为此圆的极坐标方程．（II）如图所示，由直线l的极坐标方程是ρ（sinθ+）=3，射线OM：θ=．可得普通方程：直线l，射线OM．联立，解得，即Q．联立，解得或．∴P．∴|PQ|==2．9．在直角坐标系xoy中，曲线C1的参数方程为（α为参数），以原点O为极点，x轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρsin（θ+）=4．（1）求曲线C1的普通方程与曲线C2的直角坐标方程；（2）设P为曲线C1上的动点，求点P到C2上点的距离的最小值，并求此时点P的坐标．解答：解：（1）由曲线C1：，可得，两式两边平方相加得：，即曲线C1的普通方程为：．由曲线C2：得：，即ρsinθ+ρcosθ=8，所以x+y﹣8=0，即曲线C2的直角坐标方程为：x+y﹣8=0．（2）由（1）知椭圆C1与直线C2无公共点，椭圆上的点到直线x+y﹣8=0的距离为，∴当时，d的最小值为，此时点P的坐标为．10．已知直线l的参数方程是（t为参数），圆C的极坐标方程为ρ=2cos（θ+）．（Ⅰ）求圆心C的直角坐标；（Ⅱ）由直线l上的点向圆C引切线，求切线长的最小值．解答：解：（I）∵，∴，∴圆C的直角坐标方程为，即，∴圆心直角坐标为．（5分）（II）∵直线l的普通方程为，圆心C到直线l距离是，∴直线l上的点向圆C引的切线长的最小值是（10分）11．在直角坐标系xOy中，以O为极点，x轴正半轴为极轴建立坐标系，直线l的参数方程为，（t为参数），曲线C1的方程为ρ（ρ﹣4sinθ）=12，定点A（6，0），点P是曲线C1上的动点，Q为AP的中点．（1）求点Q的轨迹C2的直角坐标方程；（2）直线l与直线C2交于A，B两点，若|AB|≥2，求实数a的取值范围．解答：解：（1）根据题意，得曲线C1的直角坐标方程为：x2+y2﹣4y=12，设点P（x′，y′），Q（x，y），根据中点坐标公式，得，代入x2+y2﹣4y=12，得点Q的轨迹C2的直角坐标方程为：（x﹣3）2+（y﹣1）2=4，（2）直线l的普通方程为：y=ax，根据题意，得，解得实数a的取值范围为：[0，]．12．在直角坐标系xoy中以O为极点，x轴正半轴为极轴建立坐标系．圆C1，直线C2的极坐标方程分别为ρ=4sinθ，ρcos （）=2．（Ⅰ）求C1与C2交点的极坐标；（Ⅱ）设P为C1的圆心，Q为C1与C2交点连线的中点，已知直线PQ的参数方程为（t∈R为参数），求a，b的值．解答：解：（I）圆C1，直线C2的直角坐标方程分别为x2+（y﹣2）2=4，x+y﹣4=0，解得或，∴C1与C2交点的极坐标为（4，）．（2，）．（II）由（I）得，P与Q点的坐标分别为（0，2），（1，3），故直线PQ的直角坐标方程为x﹣y+2=0，由参数方程可得y=x﹣+1，∴，解得a=﹣1，b=2．13．在直角坐标系xOy中，l是过定点P（4，2）且倾斜角为α的直线；在极坐标系（以坐标原点O为极点，以x轴非负半轴为极轴，取相同单位长度）中，曲线C的极坐标方程为ρ=4cosθ（Ⅰ）写出直线l的参数方程，并将曲线C的方程化为直角坐标方程；（Ⅱ）若曲线C与直线相交于不同的两点M、N，求|PM|+|PN|的取值范围．解答：解：（I）直线l的参数方程为（t为参数）．曲线C的极坐标方程ρ=4cosθ可化为ρ2=4ρcosθ．把x=ρcosθ，y=ρsinθ代入曲线C的极坐标方程可得x2+y2=4x，即（x﹣2）2+y2=4．（II）把直线l的参数方程为（t为参数）代入圆的方程可得：t2+4（sinα+cosα）t+4=0．∵曲线C与直线相交于不同的两点M、N，∴△=16（sinα+cosα）2﹣16＞0，∴sinαcosα＞0，又α∈[0，π），∴．又t1+t2=﹣4（sinα+cosα），t1t2=4．∴|PM|+|PN|=|t1|+|t2|=|t1+t2|=4|sinα+cosα|=，∵，∴，∴．∴|PM|+|PN|的取值范围是．14．在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（t为参数），以原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，⊙C的极坐标方程为ρ=2sinθ．（Ⅰ）写出⊙C的直角坐标方程；（Ⅱ）P为直线l上一动点，当P到圆心C的距离最小时，求P的直角坐标．解答：解：（I）由⊙C的极坐标方程为ρ=2sinθ．∴ρ2=2，化为x2+y2=，配方为=3．（II）设P，又C．∴|PC|==≥2，因此当t=0时，|PC|取得最小值2．此时P（3，0）．15．已知曲线C1的极坐标方程为ρ=6cosθ，曲线C2的极坐标方程为θ=（p∈R），曲线C1，C2相交于A，B两点．（Ⅰ）把曲线C1，C2的极坐标方程转化为直角坐标方程；（Ⅱ）求弦AB的长度．解答：解：（Ⅰ）曲线C2：（p∈R）表示直线y=x，曲线C1：ρ=6cosθ，即ρ2=6ρcosθ所以x2+y2=6x即（x﹣3）2+y2=9（Ⅱ）∵圆心（3，0）到直线的距离，r=3所以弦长AB==．∴弦AB的长度．16．在直角坐标系xOy中，以O为极点，x轴正半轴为极轴建立坐标系，直线l的极坐标方程为ρsin（θ+）=，圆C的参数方程为，（θ为参数，r＞0）（Ⅰ）求圆心C的极坐标；（Ⅱ）当r为何值时，圆C上的点到直线l的最大距离为3．解答：解：（1）由ρsin（θ+）=，得ρ（cosθ+sinθ）=1，∴直线l：x+y﹣1=0．由得C：圆心（﹣，﹣）．∴圆心C的极坐标（1，）．（2）在圆C：的圆心到直线l的距离为：∵圆C上的点到直线l的最大距离为3，∴．r=2﹣∴当r=2﹣时，圆C上的点到直线l的最大距离为3．17．选修4﹣4：坐标系与参数方程在直角坐标xOy中，圆C1：x2+y2=4，圆C2：（x﹣2）2+y2=4．（Ⅰ）在以O为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，分别写出圆C1，C2的极坐标方程，并求出圆C1，C2的交点坐标（用极坐标表示）；（Ⅱ）求圆C1与C2的公共弦的参数方程．解答：解：（I）由，x2+y2=ρ2，可知圆，的极坐标方程为ρ=2，圆，即的极坐标方程为ρ=4cosθ，解得：ρ=2，，故圆C1，C2的交点坐标（2，），（2，）．（II）解法一：由得圆C1，C2的交点的直角坐标（1，），（1，）．故圆C1，C2的公共弦的参数方程为（或圆C1，C2的公共弦的参数方程为）（解法二）将x=1代入得ρcosθ=1从而于是圆C1，C2的公共弦的参数方程为．。

(完整word版)高考极坐标与参数方程大题题型汇总(附详细答案)

高考极坐标与参数方程大题题型汇总1．在直角坐标系xoy 中，圆C 的参数方程1cos (sin x y ϕϕϕ=+⎧⎨=⎩为参数）．以O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．（1）求圆C 的极坐标方程；（2）直线l 的极坐标方程是C 的交点为O 、P ,与直线l 的交点为Q ，求线段PQ 的长．解:(1)圆C 的普通方程是22(1)1x y -+=，又cos ,sin x y ρθρθ==; 所以圆C 的极坐标方程是2cos ρθ=. ---5分(2)设11(,)ρθ为点P 的极坐标，则有设22(,)ρθ为点Q 的极坐标，则有由于12θθ=，所以，所以线段PQ 的长为2.2．已知直线l 的参数方程为431x t ay t =-+⎧⎨=-⎩（t 为参数），在直角坐标系xOy 中，以O 点为极点，x 轴的非负半轴为极轴，以相同的长度单位建立极坐标系，设圆M 的方程为26sin 8ρρθ-=-．（1）求圆M 的直角坐标方程；（2）若直线l 截圆Ma 的值．解：（1）∵2222268(36si )n 81x y y x y ρρθ+--=-⇒=-⇒+-=， ∴圆M 的直角坐标方程为22(3)1x y +-=；(5分）（2）把直线l的参数方程431x t ay t=-+⎧⎨=-⎩（t为参数）化为普通方程得：34340x y a+-+=，∵直线l截圆M所得弦长为，且圆M的圆心(0,3)M到直线l的距离|163|19522ad a-===⇒=或376a=，∴376a=或92a=．(10分）3．已知曲线C的参数方程为⎪⎩⎪⎨⎧+=+=ααsin51cos52yx(α为参数)，以直角坐标系原点为极点，Ox轴正半轴为极轴建立极坐标系。

（1）求曲线c的极坐标方程（2）若直线l的极坐标方程为ρ(sinθ+cosθ)=1，求直线l被曲线c截得的弦长。

解：(1)∵曲线c的参数方程为⎪⎩⎪⎨⎧+=+=ααsin51cos52yx(α为参数)∴曲线c的普通方程为(x-2)2+(y-1)2=5将⎩⎨⎧==θρθρsincosyx代入并化简得：ρ=4cosθ+2sinθ即曲线c的极坐标方程为ρ=4cosθ+2sinθ(2)∵l的直角坐标方程为x+y-1=0∴圆心c到直线l的距离为d=22=2∴弦长为225-=234．已知曲线C：2219xy+=，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为sin()4πρθ-=（1）写出曲线C的参数方程，直线l的直角坐标方程；（2）设P是曲线C上任一点，求P到直线l的距离的最大值.解：（1）曲线C 的参数方程为3cos sin x y αα=⎧⎨=⎩（α为参数），直线l 的直角坐标方程为20x y -+= （2）设(3cos ,sin )P αα，P 到直线l的距离d =ϕ为锐角，且1tan 3ϕ=）当cos()1αϕ+=时，P 到直线l的距离的最大值max d =5．设经过点(1,0)P -的直线l 交曲线C：2cos x y θθ=⎧⎪⎨=⎪⎩(θ为参数)于A 、B 两点．（1）写出曲线C 的普通方程；（2）当直线l 的倾斜角60α=时，求||||PA PB +与||||PA PB ⋅的值．解：（1）C ：22143x y +=．（2）设l：112x t y t ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数）联立得：254120t t --=1216||||||5PA PB t t +=-==，1212||||||5PA PB t t ⋅==6．以直角坐标系的原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知点P 的直角坐标为(1,2)，点M 的极坐标为(3,)2π，若直线l 过点P ，且倾斜角为6π，圆C 以M 为圆心，3为半径．（1）求直线l 的参数方程和圆C 的极坐标方程；（2）设直线l 与圆C 相交于,A B 两点，求PA PB⋅．解：（1）直线l的参数方程为1,12,2x y t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩为参数）t (，（答案不唯一，可酌情给分）圆的极坐标方程为θρsin 6=. （2）把1,12,2x y t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩代入22(3)9x y +-=，得21)70t t +--=，127t t ∴=-，设点,A B 对应的参数分别为12,t t ，则12,PA t PB t ==,∴7.PA PB ⋅=7．在平面直角坐标系xOy 中，直线l的参数方程是2x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数），以原点O为极点，以x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，已知圆C的极坐标方程为)4ρθπ=+.（1）将圆C 的极坐标方程化为直角坐标方程；（2）若直线l 与圆C 交于A ，B 两点，点P 的坐标为(2,0)，试求11PA PB+的值.解：（1）由)4ρθπ=+，展开化为2(cos sin )4(cos sin )2ρρθρθρθρθ=-=-，将代入,得22440x y x y +-+-，所以，圆C 的直角坐标方程是22440x y x y +-+-. cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩（2）把直线l的参数方程2x y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数）代入圆的方程并整理，可得：240t +-=. 设A ，B 两点对应的参数分别为12,t t ，则121240t t t t +=-⋅=-<，所以12t t -==∴121212111142t t PA PB t t t t -+=+===⋅.8．已知曲线C 的极坐标方程为2sin cos 10ρθρθ+=，曲线13cos :2sin x C y αα=⎧⎨=⎩（α为参数）．（1）求曲线1C 的标准方程；（2）若点M 在曲线1C 上运动，试求出M 到曲线C 的距离的最小值．解：（1）曲线1C 的标准方程是：22194x y +=（2）曲线C 的标准方程是：2100x y +-= 设点(3cos ,2sin )M αα，由点到直线的距离公式得：)10d αϕ==--其中34cos ,sin 55ϕϕ==0αϕ∴-=时，mind =98(,)55M9．在平面直角坐标系xOy 中，直线l的参数方程为1222x t y ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩（t 为参数），直线l 与曲线C ：22(2)1y x --=交于A ，B 两点. （1）求AB的长；（2）在以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立的极坐标系中，设点P的极坐标为34π⎛⎫ ⎪⎝⎭，求点P 到线段AB 中点M 的距离.解：（1）直线l的参数方程为1222x t y ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩，，（t 为参数），代入曲线C 的方程得24100t t +-=．设点A ，B 对应的参数分别为12t t ，，则124t t +=-，1210t t =-，所以12||||AB t t =-=（2）由极坐标与直角坐标互化公式得点P 的直角坐标为(22)-，，所以点P 在直线l 上，中点M 对应参数为1222t t +=-，由参数t 的几何意义，所以点P 到线段AB 中点M 的距离||2PM =．10．已知直线l 经过点(1,1)P ,倾斜角6πα=，（1）写出直线l 的参数方程。

极坐标与参数方程题型总结归纳附答案

《极坐标与参数方程》高考高频题型除了简单的极坐标与直角坐标的转化、参数方程与普通方程的转化外，还涉及（一）有关圆的题型题型一：圆与直线的位置关系（圆与直线的交点个数问题）----利用圆心到直线的距离与半径比较相离，无交点；:r d > 个交点；相切，1:r d = 个交点；相交，2:r d <用圆心（x 0,y 0）到直线Ax+By+C=0的距离2200BA C By Ax d +++=，算出d ，在与半径比较。

题型二：圆上的点到直线的最值问题（不求该点坐标，如果求该点坐标请参照距离最值求法）思路：第一步：利用圆心（x 0,y 0）到直线Ax+By+C=0的距离2200BA C By Ax d +++=第二步：判断直线与圆的位置关系第三步：相离：代入公式：r d d +=max ，r d d -=min 相切、相交：r d d +=max min 0d =题型三：直线与圆的弦长问题弦长公式222d r l -=，d 是圆心到直线的距离延伸：直线与圆锥曲线（包括圆、椭圆、双曲线、抛物线）的弦长问题（弦长：直线与曲线相交两点，这两点之间的距离就是弦长）弦长公式21t t l -=,解法参考“直线参数方程的几何意义”（二）距离的最值： ---用“参数法”1.曲线上的点到直线距离的最值问题2.点与点的最值问题“参数法”：设点---套公式--三角辅助角①设点：设点的坐标，点的坐标用该点在所在曲线的的参数方程来设 ①套公式：利用点到线的距离公式①辅助角：利用三角函数辅助角公式进行化一例如：【2016高考新课标3理数】在直角坐标系中，曲线的参数方程为，以坐标原点为极点，以轴的正半轴为极轴，，建立极坐标系，曲线的极坐标方程为（I ）写出的普通方程和的直角坐标方程；（II ）设点在上，点在上，求的最小值及此时的直角坐标的直角坐标方程为.这里没有加减移项省去，直接化同，那系数除到左边（①）由题意，可设点的直角坐标为因为是直线，所以的最小值即为到的距离的最小值，xOy 1C ()sin x y ααα⎧=⎪⎨=⎪⎩为参数x 2C sin()4ρθπ+=1C 2C P 1C Q 2C PQ P 2C 40x y +-=P ,sin )αα2C ||PQ P 2C ()d α.（欧萌说：利用点到直接的距离列式子，然后就是三角函数的辅助公式进行化一）当时）（13sin =+πα即当时，，此时的直角坐标为.（三）直线参数方程的几何意义1.经过点P (x 0，y 0)，倾斜角为α的直线l 的参数方程为为参数）t t y y t x x (sin cos 00⎩⎨⎧+=+=αα若A ，B 为直线l 上两点，其对应的参数分别为t 1，t 2，线段AB 的中点为M ，点M 所对应的参数为t 0，则以下结论在解题中经常用到： (1)t 0=t 1＋t 22； (2)|PM |=|t 0|=t 1＋t 22； (3)|AB |=|t 2－t 1|； (4)|P A |·|PB |=|t 1·t 2|（5）⎪⎩⎪⎨⎧>+<-+=-=+=+0,0,4)(212121212212121t t t t t t t t t t t t t t PB PA 当当（注：记住常见的形式，P 是定点，A 、B 是直线与曲线的交点，P 、A 、B 三点在直线上）【特别提醒】直线的参数方程中，参数t 的系数的平方和为1时，t 才有几何意义且其几何意义为：|t |是直线上任一点M (x ，y )到M 0(x 0，y 0)的距离，即|M 0M |=|t |.直线与圆锥曲线相交，交点对应的参数分别为12,t t ，则弦长12l t t =-； 2.解题思路第一步：曲线化成普通方程，直线化成参数方程()sin()2|3d παα==+-2()6k k Z παπ=+∈()d αP 31(,)22第二步：将直线的参数方程代入曲线的普通方程，整理成关于t 的一元二次方程：02=++c bt at第三步：韦达定理：a ct t a b t t =-=+2121,第四步：选择公式代入计算。

2023年高考数学真题分训练极坐标系与参数方程(含答案含解析)

专题34 极坐标系与参数方程2⎩2 2考点 116 平面直角坐标系中的伸缩变换考点 117 极坐标和直角坐标的互化⎧x = t + 1,⎪x = 4cos 2θ, 1．(2023 全国Ⅱ文理 21)已知曲线C 1 , C 2 的参数方程分别为C 1 : ⎨ (θ为参数)，C : ⎪ t ( t 为 ⎩ y = 4sin 2θ⎪ y = t - 1参数)．(1) 将C 1 , C 2 的参数方程化为一般方程；⎪ t(2) 以坐标原点为极点， x 轴正半轴为极轴建立极坐标系．设C 1 , C 2 的交点为 P ，求圆心在极轴上，且经过极点和 P 的圆的极坐标方程．（解析）(1)由cos 2 θ+ sin 2 θ= 1得C 1 的一般方程为： x + y = 4 ，⎧x = t + 1 ⎧x 2= t 2 + 1 + 2 ⎪ t ⎪ t 2 C 2 2由⎨ 1 得： ⎨1 ，两式作差可得2 的一般方程为： x - y = 4 ． ⎪ y = t - ⎪ y 2 = t 2 + - 2 ⎪ t ⎪ t 2⎧x = 5 ⎧x + y = 4 ⎪ (2)由得： 2 ，即 P ⎛ 5 , 3 ⎫． ⎨x 2 - y 2= 4 ⎨ ⎪ y = 3 ⎩ 2 ⎪ ⎝ ⎭⎛ 5 ⎫2⎛3 ⎫217设所求圆圆心的直角坐标为(a , 0)，其中 a > 0 ，则 a - ⎪ + 0 - ⎪ = a 2 ，解得：a = ，⎝2 ⎭⎝2 ⎭10∴ 17 ∴⎛ 17 ⎫2⎛ 17 ⎫222 2 17 所求圆的半径 r = ， 10 所求圆的直角坐标方程为： x - 10 ⎪ + y = 10 ⎪ ，即 x + y = x ，5 ∴所求圆的极坐标方程为ρ= 17cos θ．5⎝ ⎭ ⎝ ⎭103⎩⎪x = 2 - t - t 2, 2．(2023 全国Ⅲ文理 22)在直角坐标系 xOy 中，曲线C 的参数方程为⎪ y = 2 - 3t + t 2( t 为参数且t ≠ 1)，C与坐标轴交于 A , B 两点．(1) 求 AB ；(2) 以坐标原点为极点， x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求直线 AB 的极坐标方程．（解析）(1)令 x = 0 ，则t 2 + t - 2 = 0 ，解得t = -2 或t =1(舍)，则 y = 2 + 6 + 4 = 12 ，即 A (0,12) ．令 y = 0 ，则t 2 - 3t + 2 = 0 ，解得t = 2 或t =1(舍)，则 x = 2 - 2 - 4 = -4 ，即 B (-4, 0) ．∴ AB == 4 ．(2)由(1)可知 k AB =12 - 00 - (-4)= 3 ，则直线 AB 的方程为 y = 3(x + 4) ，即3x - y +12 = 0 ．由 x = ρcos θ, y = ρsin θ可得，直线 AB 的极坐标方程为3ρcos θ- ρsin θ+12 = 0 ．3．(2023 江苏 22)在极坐标系中，已知点 A (ρ, π) 在直线l : ρcos θ= 2 上，点 B (ρ , π) 在圆C : ρ= 4 sin θ上1 32 6(其中ρ≥ 0 ， 0 ≤θ< 2π)．(1)求ρ1 ， ρ2 的值(2)求出直线l 与圆C 的公共点的极坐标．（解析）(1) Q ρ cos π = 2∴ρ = 4; Q ρ = 4 s inπ2 ．131 26 ∴ρ2 = (2) Q ρcos θ= 2, ρ= 4 sin θ∴ 4 sin θcos θ= 2,∴sin 2θ= 1 Q θ∈0, 2π)∴θ= π, 5π，4 4当θ= π时ρ= 2 4；当θ= 5π 时ρ= -2 4 < 0 (舍)；即所求交点坐标为当π (2 2, ) ． 4 4．(2023 全国 II 文理 22)在极坐标系中，O 为极点，点 M (ρ0 ,θ0 )(ρ0 > 0)在曲线C : ρ= 4 s in θ上，直线 l 过点 A (4, 0) 且与OM 垂直，垂足为 P ． (1)当θ = π时，求ρ 及 l 的极坐标方程；3(2)当 M 在 C 上运动且 P 在线段 OM 上时，求 P 点轨迹的极坐标方程．（解析）(1)因为 M (ρ,θ ) 在C 上，当θ = π 时，ρ = 4 s in π= 2 ．0 0 0 3 03由已知得| OP |=| OA | cos π= 2 ．322333⎢⎥⎢⎥设Q (ρ,θ) 为l 上除P 的任意一点．在Rt △OPQ 中ρcos⎛θ-π ⎫=| OP |= 2 ， 3 ⎪ ⎝ ⎭π ⎛ π ⎫经检验，点P (2, ) 在曲线ρcos θ- ⎪ = 2 上． ⎝ ⎭所以，l 的极坐标方程为ρcos ⎛θ- π ⎫= 2 ．3 ⎪ ⎝ ⎭(2)设 P (ρ,θ) ，在Rt △OAP 中， | OP |=| OA | cos θ= 4 cos θ,即 ρ= 4 cos θ．．因为P 在线段OM 上，且 AP ⊥ OM ，故θ的取值范围是⎡π , π⎤． ⎣ 4 2 ⎦所以，P 点轨迹的极坐标方程为ρ= 4 cos θ,θ∈ ⎡π , π⎤ ．⎣4 2 ⎦5．(2023 全国 III 文理 22)如图，在极坐标系 Ox 中， A (2, 0) ， B ( 2, π) ，C ( 2, 3π) ， D (2, π) ，弧 AB ，4 4 A ， A 所在圆的圆心分别是(1, 0) ，π， (1, π) ，曲线 M 是弧 A ，曲线 M 是弧 A ，曲线 M 是BC CD(1, ) 21 AB2 BC3 弧C D ．(1) 分别写出 M 1 ， M 2 ， M 3 的极坐标方程；(2) 曲线 M 由 M 1 ， M 2 ， M 3 构成，假设点 P 在 M 上，且| OP |= ，求P 的极坐标．（解析）(1)由题设可得，弧 AB , B C ,C D 所在圆的极坐标方程分别为ρ= 2 cos θ，ρ= 2 s in θ，ρ= -2 cos θ，所以 M 的极坐标方程为ρ= 2 cos θ⎛0 θ π ⎫ ， M 的极坐标方程为 1 4⎪ 2⎝⎭ρ= 2 sin θ⎛ π θ3π ⎫ ， M 的极坐标方程为ρ= -2 cos θ⎛ 3πθ π ⎫ ． 4 4 ⎪ 34 ⎪ ⎝ ⎭ ⎝ ⎭(2)设 P (ρ,θ) ，由题设及(1)知3332⎩⎩⎩⎩⎩θ假设0 θπ，则 2 cos θ=，解得θ=π；4 6假设 π θ 3π ，则 2 sin θ= ，解得θ= π 或θ= 2π ； 4 4 3 3 假设 3π θ π ，则-2 cos θ= ，解得θ= 5π ．4 ⎛ 综上，P 的极坐标为3, π ⎫ 或⎛3, π ⎫ 或⎛63,2π ⎫ 或⎛3, 5π ⎫ ．6⎪ 3⎪ 3 ⎪ 6 ⎪ ⎝⎭ ⎝⎭ ⎝⎭ ⎝ ⎭考点 118 参数方程与一般方程的互化6．(2023 上海 14)已知直线方程3x + 4 y +1 = 0 的一个参数方程可以是()⎧x = 1+ 3t A ． ⎨ y = -1+ 4t ⎧x = 1- 4tB ． ⎨y = -1- 3t⎧x = 1- 3tC ． ⎨y = -1+ 4t ⎧x = 1+ 4t D ． ⎨y = -1- 3t（答案）D（解析）A ．参数方程可化简为 4x - 3y - 7 = 0 ，故 A 不正确；B ．参数方程可化简为3x - 4 y - 7 = 0 ，故B 不正确；C ．参数方程可化简为 4x + 3y -1 = 0 ，故 C 不正确；D ．参数方程可化简为3x + 4 y +1 = 0 ，故 D 正确．应选 D ．7．(2023 全国Ⅲ)选修 4—4：坐标系与参数方程](10 分)在平面直角坐标系 xOy 中， A O 的参数方程为⎧x = cos θ(θ为参数)，过点(0, -2) 且倾斜角为α的直线l 与A O 交于 A ， B 两点．(1) 求α的取值范围；(2) 求 AB 中点 P 的轨迹的参数方程．⎨ y = sin ，（解析）(1) A O 的直角坐标方程为 x 2 + y 2 = 1．当α= π时， l 与A O 交于两点．2当α≠ π时，记 tan α= k ，则l 的方程为 y = kx -．l 与A O 交于两点当且仅当< 1 ，解得 k < -1 或2α∈π ππ 3πk > 1，即( , ) 或α∈ ( , ) ．4 2 2 4α π 3π 综上，的取值范围是( , ) ． 4 4222222⎨(2) l 的参数方程为⎪x = t cos α, (t 为参数， π < α< 3π) ． ⎨⎩ y = - + t sin α 4 4 设 A ， B ， P 对应的参数分别为 t ， t ， t ，则t =t A + t B，且t ， t 满足t 2 - 2 2t sin α+ 1 = 0 ．ABPP2A B于是t A + t B= 2 2 sin α， t P =2 sin α．又点 P 的坐标(x , y ) 满足 ⎪x = t P cos α,y = - + t sin α.⎧ ⎪x =2sin 2α, 2 ⎩P π 3π 所以点 P 的轨迹的参数方程是⎨ ⎪ y = - 2 - 2 cos 2α (α为参数， < α< ) ． 4 4 ⎪ 2 2考点 119 极坐标方程与参数方程的综合应用8．(2023 北京文理)在极坐标系中，直线ρcos θ+ ρsin θ= a (a > 0) 与圆ρ=2 cos θ相切，则 a =．（答案）1+ （解析）利用 x = ρcos θ， y = ρsin θ，可得直线的方程为 x + y - a = 0 ，圆的方程为(x -1)2 + y 2 = 1 ，所以圆心(1, 0) ，半径 r = 1，由于直线与圆相切，故圆心到直线的距离等于半径，即|1- a |= 1 ，∴ a = 1+ 或1- ，又 a > 0 ，∴ a = 1+ ．9．(2023 北京文理)在极坐标系中，点 A 在圆ρ2- 2ρcos θ- 4ρsin θ+ 4 = 0 上，点 P 的坐标为(1, 0) )，则| AP | 的最小值为．（答案）1（解析）圆的一般方程为 x 2 + y 2 - 2x - 4y + 4 = 0 ，即(x -1)2 + ( y - 2)2 = 1 ．设圆心为C (1, 2) ，所以| AP |min =| PC | -r = 2 -1 = 1 ．10．(2023 天津文理)在极坐标系中，直线4ρcos(θ- π) +1 = 0 与圆ρ= 2 s in θ的公共点的个数为．6（答案）2（解析）直线的一般方程为 2 3x + 2 y +1 = 0 ，圆的一般方程为 x 2 + ( y -1)2= 1 ，因为圆心到直 3线的距离 d = < 1 4，所以有两个交点．11．(2023 北京文理)在极坐标系中，直线ρcos θ- | AB |= ．3ρsin θ-1 = 0 与圆ρ= 2 cos θ交于 A , B 两点，则（答案）2（解析）将ρcos θ-3ρsin θ-1 = 0 化为直角坐标方程为 x - 3y -1 = 0 ，将ρ=2cos θ化为直角坐标方程为(x -1)2+ y 2= 1 ，圆心坐标为(1，0)，半径 r=1，又(1，0)在直线 x - 3y -1 = 0 上，所以|AB|=2r=2．222234y x ⎩⎩⎩)⎩12．(2023 广东文理)已知直线l 的极坐标方程为 2ρsin(θ- π= 47πA (2 2,) ，则点 Α 到直线l 的距离为．42 ，点 Α 的极坐标为（答案）（解析）由 2ρsin(θ- 2π ) = 得2ρ´ 4 2 7π(sin θ- cos θ) = ，所以 y - x = 1，故直线l 的直角坐标方程为 x - y +1 = 0 ，而点 A (2 2, ) 对应的直角坐标为4 A (2,-2) ，所以点 A (2,-2) 到直线l ： x - y +1 = 0 的距离为| 2 + 2 +1| = 5 2． 213．(2023 安徽文理)在极坐标系中，圆ρ= 8sin θ上的点到直线θ=是．π(ρ∈ R ) 距离的最大值 3（答案）6（解析）圆ρ= 8sin θ即ρ2= 8ρsin θ，化为直角坐标方程为 x 2+ ( y - 4)2= 16 ，π直线θ=，则tan θ=，化为直角坐标方程为 3x - y = 0 ，圆心(0, 4) 到直线3的距离为| -4 |= 2 ，所以圆上的点到直线距离的最大值为 6．14．(2023 全国Ⅰ文理 21)⎧x = cos k t ,在直角坐标系 xOy 中，曲线C 1 的参数方程为⎨ y = sin k t(t 为参数) ．以坐标原点为极点， x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 2 的极坐标方程为 4ρcos θ-16ρsin θ+ 3 = 0 ．(1) 当 k = 1时， C 1 是什么曲线？(2) 当 k = 4 时，求C 1 与C 2 的公共点的直角坐标．（解析）(1)当 k = 1时，曲线C 的参数方程为⎧x = cos t ,( t 为参数)，两式平方相加得 x 2 + y 2 = 1 ，1⎨y = sin t∴曲线C 1 表示以坐标原点为圆心，半径为 1 的圆．⎧x = cos 4 t ,(2)当 k = 4 时，曲线C 1 的参数方程为⎨ y = sin 4t ( t 为参数)，∴ x ≥ 0, y ≥ 0 ，曲线C 1 的参数方程化为⎧ x = cos 2 t ⎨ y = sin 2t(t 为参数)，两式相加得曲线C 1 方程为 + = 1，得 = 1 - ，平方得 5 22x yx 77⎩2y = x - 2 + 1, 0 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ 1 ，曲线C 2 的极坐标方程为4ρcos θ-16ρsin θ+ 3 = 0 ，曲线C 2 直角坐标方程为4x -16 y + 3 = 0 ，联立C , C 方程⎪ y = x - 2 +1 , ，整理得12 x - 32 + 13 = 0 ，解得 x = 1 或 = 13(舍去)，1 2⎨ ⎩4x -16 y + 3 = 02 6 ∴ x = 1 , y = 1 ，∴C ,C 1 1 公共点的直角坐标为( , ) ．4 4 1 24 4⎧ 1- t 2 ⎪x =1+ t 215．(2023 全国 1 文理 22)在直角坐标系 xOy 中，曲线 C 的参数方程为⎨ ⎪ y = ⎩ 4t 1+ t 2(t 为参数)，以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线 l 的极坐标方程为 2ρcos θ+ 3ρsin θ+11 = 0 ．(1) 求 C 和 l 的直角坐标方程；(2) 求 C 上的点到 l 距离的最小值．1- t 2⎛ y ⎫2⎛ 1- t 2 ⎫24t 2 （解析）(1)因为-1 < ≤ 1 ，且 x 2 + ⎪ = ⎪ + = 1，所以C 的直角坐标方程为2y 2 1+ t 2⎝ 2 ⎭ ⎝1 + t 2 ⎭ (1+ t 2 )2x += 1(x ≠ -1) ．4l 的直角坐标方程为 2x + 3y +11 = 0 ．⎧x = cos α, (2)由(1)可设C 的参数方程为 (α为参数， -π <α< π )．⎨y = 2sin α4 cos ⎛α- π ⎫ +113 ⎪ C 上的点到l 的距离为 = ⎝ ⎭．当α= - 2π 时， 4 c os ⎛α- π ⎫+11 取得最小值7，故C 上的点到l 距离的最小值为． 3 3 ⎪ ⎝ ⎭16．(2023 全国Ⅰ文理) 在直角坐标系 xOy 中，曲线C 1 的方程为 y = k |x | + 2 ．以坐标原点为极点， x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为ρ2+ 2ρcos θ- 3 = 0 ． (1) 求C 2 的直角坐标方程；x x x | 2 c os α+ 2 3 sin α+11|7⎨y = 4 s in θ,⎩(2) 假设C 1 与C 2 有且仅有三个公共点，求C 1 的方程．（解析）(1)由 x = ρcos θ， y = ρsin θ得C 2 的直角坐标方程为(x +1)2 + y 2 = 4 ．(2)由(1)知C 2 是圆心为 A (-1, 0) ，半径为 2 的圆．由题设知，C 1 是过点 B (0, 2) 且关于 y 轴对称的两条射线．记 y 轴右边的射线为l 1 ，y 轴左边的射线为l 2 ．由于 B 在圆C 2 的外面，故C 1 与C 2 有且仅有三个公共点等价于l 1 与C 2 只有一个公共点且l 2 与C 2 有两个公共点，或l 2 与C 2 只有一个公共点且l 1 与C 2 有两个公共点．当l 与C 只有一个公共点时， A 到l 所在直线的距离为 2 ，所以| -k + 2 |= 2 ，故 k = - 4 或 k = 0 ．1213经检验，当k = 0 时， l 与C 没有公共点；当 k = - 4时， l 与C 只有一个公共点， l 与C 有两个公共点．1231 2 2 2| k + 2 | 当l 与C 只有一个公共点时， A 到l 所在直线的距离为2 ，所以= 2 ，故 k = 0 或 k = 4 ．2 2 23经检验，当k = 0 时， l 与C 没有公共点；当 k = 4时， l 与C 没有公共点．1 2 32 2综上，所求C 的方程为 y = - 4| x | +2 ．1317．(2023 全国Ⅱ文理)在直角坐标系 xOy 中，曲线C 的参数方程为⎧x = 2 cos θ,( θ 为参数)，直线l 的参数⎩⎧x = 1+ t cos α 方程为⎨ y = 2 + t sin α ( t 为参数)．(1) 求C 和l 的直角坐标方程；(2) 假设曲线C 截直线l 所得线段的中点坐标为(1, 2) ，求l 的斜率．x 2 + y 2 =（解析）(1)曲线C 的直角坐标方程为 1． 4 16当cos α≠ 0 时， l 的直角坐标方程为 y = tan α⋅ x + 2 - tan α；当cos α= 0 时， l 的直角坐标方程为 x = 1 ．(2)将l 的参数方程代入C 的直角坐标方程，整理得关于t 的方程(1+ 3cos 2 α)t 2 + 4(2 cos α+ sin α)t - 8 = 0 ．①3317⎩⎨ y = 1- ty 因为曲线C 截直线l 所得线段的中点(1, 2) 在C 内，所以①有两个解，设为t 1 ， t 2 ，则t 1 + t 2 = 0 ．4(2 cos α+ sin α)又由①得t 1 + t 2 = -1+ 3cos 2α，故 2 cos α+ sin α= 0 ，于是直线l 的斜率 k = tan α= -2 ．18．(2023 江苏)在极坐标系中，直线l 的方程为ρsin( π-θ) = 2 ，曲线C 的方程为ρ= 4 cos θ，求直线l 被曲6 线C 截得的弦长．（解析）因为曲线C 的极坐标方程为ρ=4 cos θ，所以曲线C 的圆心为(2, 0) ，直径为 4 的圆．因为直线l 的极坐标方程为ρsin( π -θ) = 2 ，则直线l 过 A (4, 0) ，倾斜角为 π，所以 A 为直线l 与圆C 的一6 6 个交点．设另一个交点为 B ，则∠OAB= π ，连结 OB ，因为 OA 为直径，从而∠OBA= π ，所以 AB = 4 c os π= 2 ．6 因此，直线l 被曲线C 截得的弦长为 2 ．2 6⎧x = 3cos θ19．(2023 全国Ⅰ文理)在直角坐标系 xOy 中，曲线C 的参数方程为⎨ y = sin θ ，(θ为参数)，直线l 的参数方程为⎧x = a + 4t( t 为参数)．⎩ (1) 假设 a = -1，求C 与l 的交点坐标；(2) 假设C 上的点到l 距离的最大值为，求 a ．（解析）(1)曲线C 的一般方程为 x 2 + 29= 1．当a = -1时，直线l 的一般方程为 x + 4 y - 3 = 0 ．⎧x + 4 y - 3 = 0⎧x = - 21 ⎪ ⎧x = 3 ⎪25 21 24由⎨ x 2 2解得⎨ y = 0 或⎨ ，从而C 与l 的交点坐标为(3, 0) ， (- 24 , ) ． ⎩ 9+ y = 1 ⎩⎪ y = ⎩ 25 25 25171717171733342⎩(2)直线l 的一般方程为 x + 4 y - a - 4 = 0 ，故C 上的点(3cos θ, sin θ) 到l 的距离为| 3cos θ+ 4 sin θ- a - 4 |d =．当a ≥-4 时， d 的最大值为a + 9．由题设得a + 9= ，所以a = 8 ；当a < -4 时， d 的最大值为 -a + 1 ．由题设得 -a + 1= ，所以 a = -16 ．综上， a = 8 或 a = -16 ．20．(2023 全国Ⅱ文理)在直角坐标系 xOy 中，以坐标原点为极点， x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 1 的极坐标方程为ρcos θ= 4 ．(1) M 为曲线C 1 上的动点，点 P 在线段OM 上，且满足| OM | ⋅ | OP |= 16 ，求点 P 的轨迹C 2 的直角坐标方程；π(2) 设点 A 的极坐标为(2, 3) ，点 B 在曲线C 2 上，求∆OAB 面积的最大值．（解析）(1)设 P 的极坐标为(ρ,θ) (ρ> 0) ， M 的极坐标为(ρ1 ,θ) (ρ1 > 0) ．由椭圆知| OP |= ρ， | OM |= ρ1 =cos θ．由| OM | ⋅ | OP |= 16 得C 2 的极坐标方程ρ= 4 cos θ(ρ> 0) ，因此C 的直角坐标方程为(x - 2)2 + y 2= 4(x ≠ 0) ．(2)设点 B 的极坐标为(ρB ,α) (ρB > 0) ．由题设知| OA |= 2 ， ρB = 4cos α，于是∆OAB 面积1 π π 3S = 2 | OA | ⋅ρB ⋅sin ∠AOB = 4cos α| sin(α- 3 ) | = 2 | sin(2α- 3 ) - | ≤ 2 + ． 2 当α= - π时， S 取得最大值 2 + ，所以∆OAB 面积的最大值为 2 + ．1221．(2023 全国Ⅲ文理)在直角坐标系 xOy 中，直线l 的参数方程为⎧x = 2 + t( t 为参数)，直线l 的参数方⎧x = -2 + m⎪1 ⎨ y = kt 2程为⎨ ⎩ y = m k( m 为参数)．设l 1 与l 2 的交点为 P ，当 k 变化时， P 的轨迹为曲线C ．(1) 写出C 的一般方程；17175224 5⎨t⎩(2)以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，设l3 ：ρ(cosθ+ sinθ) -交点，求M 的极径．= 0 ，M 为l3与C 的（解析）(1)消去参数t 得l 的一般方程l : y =k (x -2)，消去参数m 得l 的一般方程l : y =1 (x+2)．11⎧y =k (x-2)22k⎪设P(x, y) ，由题设得⎨⎩y=1 (x+2)k，消去k 得x2-y2=4 (y ≠0)，所以C 的一般方程为x2-y2=4 (y ≠0)．⎪ρ2(cos2θ-sin2θ)=4(2)C的极坐标方程为ρ2(cos2θ-sin2θ)=4(0＜θ＜2π,θ≠π)，联立⎨得⎩ρ(cosθ+sinθ)-2=0cosθ- sinθ=2 (cosθ+sinθ)，故tanθ=-1，从而cos2θ=9，sin2θ=1，代入ρ2(cos2θ-sin2θ)=4得3ρ2=5，所以交点M的极径为．10 10⎧x =-8 +t22．(2023 江苏)在平面坐标系中xOy 中，已知直线l 的参考方程为⎪y = ( t 为参数)，曲线C 的参数方⎧x=2s2⎪2程为⎨⎩y=22s( s 为参数)．设P 为曲线C 上的动点，求点P 到直线l 的距离的最小值．（解析）直线l 的一般方程为x - 2 y + 8 = 0 ．因为点P 在曲线C 上，设P(2s2 , 2 2s) ，从而点P 到直线l 的的距离4 5d == ，当s =时，dmin=5．因此当点P 的坐标为(4, 4) 时，曲线C 上点P 到直线l 的距离取到最小值．5⎧x =a cos t23．(2023 全国I 文理)在直角坐标系xOy 中，曲线C1 的参数方程为⎨y = 1+a sin t(t 为参数，a＞0)．在以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C2 ：ρ= 4 cosθ．(I)说明C1 是哪种曲线，并将C1 的方程化为极坐标方程；(II)直线C3 的极坐标方程为θ=a0 ，其中a0 满足tan a0 =2 ，假设曲线C1 与C2 的公共点都在C3上，求a．22(s -2)2 +4510 10 ⎫2152⎩1123⎩⎨⎩=⎧x = a cos t （解析）(1) ⎨ y = 1 + a sin t( t 均为参数)，∴x 2 + ( y - 1)2= a 2 ①∴ C 为以(0 ，1) 为圆心， a 为半径的圆．方程为 x 2 + y 2 - 2 y +1 - a 2 = 0 ．∵ x 2 + y 2 = ρ2 ，y = ρsin θ，∴ ρ2- 2ρsin θ+ 1 - a 2 = 0 ，即为C 的极坐标方程．(2) C ：ρ= 4cos θ，两边同乘ρ得ρ2 = 4ρcos θ ρ2= x 2 + y 2 ，ρcos θ= x ，∴ x 2 + y 2 = 4x ，即( x - 2)2+ y 2 = 4 ②C 3 ：化为一般方程为 y = 2x ，由题意： C 1 和C 2 的公共方程所在直线即为C 3 ，①—②得： 4x - 2 y + 1 - a 2 = 0 ，即为C ，∴1 - a 2 = 0 ，∴ a = 1 ．24．(2023 全国 II 文理)在直角坐标系 xOy 中，圆 C 的方程为( x + 6)2+ y 2 = 25 ．(I) 以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求 C 的极坐标方程；⎧x = t cos α(II)直线 l 的参数方程是⎨ y = t sin α(t 为参数)，l 与 C 交于 A 、B 两点， AB = ，求 l 的斜率．⎧ρ2 = x 2 + y 2 （解析）(Ⅰ)整理圆的方程得 x 2 + y 2 + 12 + 11 = 0 ，由⎪ρcos θ= x ⎪ρsin θ= y 可知圆C 的极坐标方程为ρ2 + 12ρcos θ+ 11 = 0 ．(Ⅱ)记直线的斜率为 k ，则直线的方程为 kx - y = 0 ，由垂径定理及点到直线距离公式知：= 36k 2 290 ，整理得 k 2 = 5 ，则 k = ± ． 1 + k 4 3 3⎪x =3 cos α25．(2023 全国 III 文理)在直角坐标系 xOy 中，曲线C 1 的参数方程为⎨ ⎩ y = sin α(α为参数)，以坐标原点为极点，以 x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为ρsin(θ+ π) = 2．24(Ⅰ)写出C 1 的一般方程和C 2 的直角坐标方程；(Ⅱ)设点 P 在C 1 上，点 Q 在C 2 上，求| PQ |的最小值及此时 P 的直角坐标．x 2 2（解析）(Ⅰ) C 1 的一般方程为 3+ y = 1， C 2 的直角坐标方程为 x + y - 4 = 0 ．(Ⅱ)由题意，可设点 P 的直角坐标为( 3 cos α, sin α) ，因为C 2 是直线，所以| PQ | 的最小值，即为 P 到C 2| 3 cos α+sin α- 4 |2222⎨⎩⎪=1⎩的距离d (α) 的最小值， d (α) ==π2 | sin(α+ π ) - 2 | ．3 3 1当且仅当α= 2k π+(k ∈ Z ) 时， d (α) 取得最小值，最小值为 6，此时 P 的直角坐标为( , ) ． 2 2 ⎧x = 1 + 1t , 26．(2023 江苏)在平面直角坐标系 xOy 中，已知直线l 的参数方程为⎪ ⎪ y = ⎩ 2 3 t , 2(t 为参数) ，椭圆C 的参数⎧x = cos θ,方程为⎨ y = 2sin θ, (θ为参数) ，设直线l 与椭圆C 相交于 A , B 两点，求线段 AB 的长．⎧x = 1+ 1t（解析）椭圆C 的一般方程为 x 2 + y 4 = 1，将直线l 的参数方程⎨ ⎪ y = ⎩2 3 t2 ，代入 x 2 + y 4 = 1，得(1+ 1 t )2 + 3 t )22 = 1，即7t 2 +16t = 0 ，解得t = 0 ， t = - 16 ，所以 AB =| t - t | 16 ．2 4 1 2 71 2727．(2023 全国Ⅰ文理)在直角坐标系 xOy 中，直线C ： x = -2 ，圆C ：(x -1)2 + ( y - 2)2= 1 ，以坐标原12点为极点， x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．(Ⅰ)求C 1 ， C 2 的极坐标方程；(Ⅱ)假设直线C 3 的极坐标方程为θ=(ρ∈ R ) ，设C 2 与C 3 的交点为 M ， N ，求∆C 2MN 的面积．4（解析）(Ⅰ)因为 x = ρcos θ, y = ρsin θ，∴ C 的极坐标方程为ρcos θ= -2 ， C 的极坐标方程为ρ2- 2ρcos θ- 4ρsin θ+ 4 = 0 ．12(Ⅱ)将θ= π代入ρ2- 2ρcos θ- 4ρsin θ+ 4 = 0 ，得ρ2- 3 2ρ+ 4 = 0 ，解得ρ = 2， ρ = ， 4|MN|= ρ － ρ = ，因为C 的半径为 1，则A C MN 的面积 ⨯ 122 ⨯1⨯sin 45o = 1 ． 1 2 22 2 2 ⎧x = t cos α,28．(2023 全国Ⅱ文理)在直角坐标系 xOy 中，曲线C 1 ： ⎨ y = t sin α, ( t 为参数，t ≠0)其中0 ≤α<π，在以O 为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C 2 ： ρ= 2 sin θ， C 3 ： ρ= 2 3 cos θ． (Ⅰ)求C 2 与C 3 交点的直角坐标；(Ⅱ)假设C 1 与C 2 相交于点 A ， C 1 与C 3 相交于点 B ，求| AB | 的最大值．222(π3623)( x -1+ y +1= )()⎨（解析）(Ⅰ)曲线C 的直角坐标方程为 x 2 + y 2 - 2 y = 0 ，曲线C 的直角坐标方程为 x 2 + y 2- 2 3x = 0 ．联⎪x 2+ y 2- 2 y = 0,⎧x = 0, ⎧ 3 ⎪x = 2 , 立⎨x 2 + y 2 - 2 3x = 0,解得⎨ y = 0, 或⎨ 3 ⎪ ⎩ ⎪ y = ,⎩ 23所以C 2 与C 1 交点的直角坐标为(0, 0) 和( , ) ．2 2(Ⅱ)曲线C 1 的极坐标方程为θ= α(ρ∈ R , ρ≠ 0) ，其中0 ≤α<π．因此 A 得到极坐标为(2 sin α,α) ， B 的极坐标为(2 3 cos α,α) ． π5π所以 AB = 2 sin α- 2 3 cos α = 4 s in(α-) ，当α= 时， AB 取得最大值，最大值为 4 ． 3 629．(2023 江苏) 已知圆 C 的极坐标方程为ρ2+ 2 2ρsin(θ- π- 4 = 0 ，求圆 C 的半径．4（解析）以极坐标系的极点为平面直角坐标系的原点O ，以极轴为 x 轴的正半轴，建立直角坐标系 xoy ．圆C 的极坐标方程为ρ2 + 2⎛ 2 sin θ- 2cos ⎫4 = 0 ，化简，得ρ2 + 2ρsin θ- 2ρcos θ- 4 = 0 ． ρ 22 θ⎪⎪ - ⎝ ⎭则圆C 的直角坐标方程为 x 2 + y 2 - 2x + 2 y - 4 = 0 ，即2 2，所以圆C 的半径为． ⎧x = 3 + 1 t 30．(2023 陕西文理)在直角坐标系 xOy 中，直线l 的参数方程为⎪2⎪ y = 3 t ⎩ 2 轴正半轴为极轴建立极坐标系，⊙ C 的极坐标方程为ρ= 2 3 sin θ． (Ⅰ)写出⊙ C 的直角坐标方程；( t 为参数)．以原点为极点， x(Ⅱ) P 为直线l 上一动点，当 P 到圆心C 的距离最小时，求 P 的直角坐标．（解析）(Ⅰ) 由ρ= 2 3 sin θ, 得ρ2= 2 3ρsin θ，从而有 x 2+y 2= 2 3y , 所以x 2+ (y -3 )2= 3 ．(Ⅱ)设P (3 += ，故当t =0 时，| PC |取最小值，此时 P 点的直角坐标为(3, 0) ．21t,3t), 又C(0, 3) ，则| PC |=3222 3 ⎪55⎨y = 2 - 2t⎩⎩31．(2023 全国Ⅰ文理)已知曲线C ： x 4 + y 29 = 1，直线l ： ⎧x = 2 + t ( t 为参数)． ⎩(Ⅰ)写出曲线C 的参数方程，直线l 的一般方程；(Ⅱ)过曲线C 上任一点 P 作与l 夹角为30o的直线，交l 于点 A ，求| PA |的最大值与最小值．⎧x = 2 cos θ.（解析）〔I 〕曲线C 的参数方程为⎨ y = 3sin θ. (θ为参数).直线l 的一般方程为2x + y - 6 = 0. ……5 分(Ⅱ)曲线C 上任意一点P(2cos θ.3sin θ)到l 的距离为d =4 cos θ+ 3sin θ- 6 .则 PA =d = sin 30︒ 5sin(θ+α) - 6 , 其中α为锐角，且tan α= 4 . 3当sin (θ+α)=-1时，PA 取得最大值，最大值为22 5 .5当sin(θ+α) = 1时，PA 取得最小值，最小值为2 5 .532．(2023 全国Ⅱ文理)在直角坐标系 xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，半圆 C 的极坐标方程为ρ= 2 cos θ，θ∈ ⎡0,π⎤ ．(Ⅰ)求 C 的参数方程；⎣⎢ 2 ⎥⎦(Ⅱ)设点 D 在 C 上，C 在 D 处的切线与直线l : y = 3x + 2 垂直，依据(Ⅰ)中你得到的参数方程，确定 D 的坐标．（解析）(I)C 的一般方程为(x -1)0 ≤ t ≤ x )．2 + y 2⎧x = 1+ cos t , = 1(0 ≤ y ≤ 1) ，可得 C 的参数方程为⎨ y = sin t ,(t 为参数，(Ⅱ)设 D (1+ cos t , sin t ) ．由(I)知 C 是以 G(1，0)为圆心，1 为半径的上半圆． π因为 C 在点D 处的切线与 t 垂直，所以直线 GD 与 t 的斜率相同， tan t = 3, t =．32 5523⎩⎩⎩1⎩⎩ππ 3故D 的直角坐标为(1+ cos , s in ) ，即( , ) ．3 3 2 233．(2023 全国Ⅰ文理)已知曲线C 的参数方程为⎧x = 4 + 5 cos t( t 为参数)，以坐标原点为极点，x 轴的正1 ⎨y = 5 + 5sin t半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2 的极坐标方程为ρ= 2 s inθ．(Ⅰ)把C1 的参数方程化为极坐标方程；(Ⅱ)求C1 与C2 交点的极坐标( ρ≥0 ，0 ≤θ≤2π)．⎧x = 4 + 5 c os t2 2（解析）将⎨y = 5 + 5sin t消去参数t ，化为一般方程(x - 4) + ( y -5) = 25 ，即C1 ：x 2 +y2⎧x =ρcosθ-8x -10 y+16 = 0 ，将⎨y =ρsinθ代入x 2 +y2- 8x -10 y + 16 = 0 得，ρ2 - 8ρcosθ-10ρsinθ+16 = 0 ，∴C 的极坐标方程为ρ2 - 8ρcosθ-10ρsinθ+16 = 0 ．⎪x2+y2-8x-10y+16=0(Ⅱ) C 的一般方程为x2 +y2 - 2 y = 0 ，由⎨⎧x =1解得⎨⎧x = 0或⎨，2∴C1 与C2 的交点的极坐标分别为(⎩x2+y2-2y=0π)，(2, ) ．4 2⎩y =1 ⎩y = 2 34．(2023 全国Ⅱ文理)已知动点P ，Q 都在曲线C与β= 2α( 0 <α< 2π) M 为PQ 的中点．⎧x = 2 c os β：⎨y = 2 s in β(β为参数)上，对应参数分别为β=α(Ⅰ)求M的轨迹的参数方程(Ⅱ)将M 到坐标原点的距离d 表示为α的函数，并推断M 的轨迹是否过坐标原点．（解析）(Ⅰ)由题意有P(2c osα,2sinα),Q(2c os2α,2sin2α),因此M(cosα+cos2α,sinα+sin2α)，⎧x = cosα+ cos 2α,M 的轨迹的参数方程为⎨y = sinα+ sin 2α, (0 <α< 2π)．(Ⅱ)M 点到坐标原点的距离d ==0 <α< 2π)，当α=π时，d = 0 ，故M 的轨迹过坐标原点．2,π3⎩100⎩135．(2023 全国文理)已知曲线C 的参数方程是⎧x = 2 cos ϕϕ为参数)，以坐标原点为极点， x 轴的正半轴1⎨y = 3sin ϕ(为极轴建立极坐标系，曲线C 2 的极坐标方程是ρ= 2 ．正方形 ABCD 的顶点都在C 2 上，且 A 、 B 、C 、πD 依逆时针次序排列，点 A 的极坐标为(2, ) ． 3(Ⅰ)求点 A 、 B 、C 、 D 的直角坐标；(Ⅱ)设 P 为C 上任意一点，求| PA |2 + | PB |2 + | PC |2 + | PD |2 的取值范围．π5π 4π 11π（解析）(1)点 A , B , C , D 的极坐标为(2, ), (2, ), (2, ), (2, ) ，3 6 3 6点 A , B , C , D 的直角坐标为(1, 3),(-⎧x 0 = 2cos ϕ3,1), (-1, - 3),( 3, -1) ．(2)设 P (x 0 , y 0 ) ；则⎨ y = 3sin (ϕ为参数) ， ⎩ 0ϕt = PA 2+ PB 2+ PC 2+ PD 2= 4x 2 + 4 y 2 +16 = 32 + 20 sin 2ϕ∈32, 52．⎧x = 2 c os α 36．(2011 全国文理)在直角坐标系 xOy 中，曲线C 1 的参数方程为⎨ y = 2 + 2 s in(α为参数)，M 是C 上 α的动点， P 点满足OP = 2OM ， P 点的轨迹为曲线C 2(Ⅰ)求C 2 的方程(Ⅱ)在以 O 为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线θ= π与C 的异于极点的交点为 A ，与C 的异于极点的交点为 B ，求 AB ．31 2（解析）(I)设 P (x , y ) ，则由条件知 M( x , y)．由于 M 点在C 上，⎧ x = 2 cos α ⎪ 2 2 2⎧ x = 4 cos α 1⎧ x = 4 cos α 所以⎨ y ，即⎨y = 4 + 4 s in ，从而C 2 的参数方程为⎨y = 4 + 4 s in (α为参数)， ⎪ = 2 + 2 s in α ⎩ α ⎩ α⎩ 2(Ⅱ)曲线C 1 的极坐标方程为ρ= 4sin θ，曲线C 2 的极坐标方程为ρ= 8sin θ．射线θ= π与C 的交点 A 的极径为ρ = 4sin π，射线θ= π与C 的交点 B 的极径为ρ = 8sin π．3 1 1 3 32 23所以| AB |=| ρ2 - ρ1 |= 2 ．。

极坐标与参数方程大题及答案

极坐标与参数方程大题及答案一、极坐标问题1.求解方程$r = 2\\cos(\\theta)$的直角坐标方程。

首先，根据极坐标到直角坐标的转换公式：$$x = r\\cos(\\theta)$$$$y = r\\sin(\\theta)$$将$r = 2\\cos(\\theta)$代入上述两式，得到：$$x = 2\\cos(\\theta)\\cos(\\theta)$$$$y = 2\\cos(\\theta)\\sin(\\theta)$$化简上述两个式子，得到直角坐标方程为：$$x = 2\\cos^2(\\theta)$$$$y = 2\\cos(\\theta)\\sin(\\theta)$$2.将直角坐标方程x2+y2−4x=0转换为极坐标方程。

首先，我们可以将直角坐标方程中的x2和y2替换成r2，从而得到：r2+y2−4x=0然后，将直角坐标方程中的x和y替换成$r\\cos(\\theta)$和$r\\sin(\\theta)$，得到：$$r^2 + (r\\sin(\\theta))^2 - 4(r\\cos(\\theta)) = 0$$将上述方程化简，得到极坐标方程为：$$r^2 + r^2\\sin^2(\\theta) - 4r\\cos(\\theta) = 0$$3.将极坐标方程$r = \\sin(\\theta)$转换为直角坐标方程。

使用极坐标到直角坐标的转换公式，将$r = \\sin(\\theta)$代入，得到：$$x = \\sin(\\theta)\\cos(\\theta)$$$$y = \\sin^2(\\theta)$$化简上述两个式子，得到直角坐标方程为：$$x = \\frac{1}{2}\\sin(2\\theta)$$$$y = \\sin^2(\\theta)$$二、参数方程问题1.求解方程$\\frac{x + y}{x - y} = 2$的参数方程。

(完整word版)高中数学极坐标与参数方程大题(详解)

参数方程极坐标系解答题1．已知曲线C：+=1，直线 l：（t为参数）（Ⅰ）写出曲线 C 的参数方程，直线l 的一般方程．（Ⅱ）过曲线 C 上随意一点P 作与 l 夹角为 30°的直线，交l 于点 A ，求 |PA|的最大值与最小值．考点：参数方程化成一般方程；直线与圆锥曲线的关系．专题：坐标系和参数方程．剖析：（Ⅰ ）联想三角函数的平方关系可取x=2cos θ、y=3sin θ得曲线 C 的参数方程，直接消掉参数t 得直线 l 的一般方程；（Ⅱ ）设曲线C 上随意一点P（ 2cosθ， 3sinθ）．由点到直线的距离公式获得P 到直线 l 的距离，除以sin30°进一步获得 |PA|，化积后由三角函数的范围求得|PA|的最大值与最小值．解答：解：（Ⅰ）对于曲线 C：+=1 ，可令 x=2cos θ、 y=3sin θ，故曲线 C 的参数方程为，（θ为参数）．对于直线l：，由① 得： t=x ﹣ 2，代入②并整理得： 2x+y ﹣ 6=0；（Ⅱ ）设曲线C 上随意一点P（ 2cosθ， 3sinθ）．P 到直线 l 的距离为．则，此中α为锐角．当 sin（θ+α）=﹣ 1 时， |PA|获得最大值，最大值为．当 sin（θ+α）=1 时， |PA|获得最小值，最小值为．评论：本题考察一般方程与参数方程的互化，训练了点到直线的距离公式，表现了数学转变思想方法，是中档题．2．已知极坐标系的极点在直角坐标系的原点处，极轴与x 轴的正半轴重合，直线l 的极坐标方程为：，曲线 C 的参数方程为：（α为参数）．（I）写出直线 l 的直角坐标方程；（Ⅱ）求曲线 C 上的点到直线 l 的距离的最大值．考点：参数方程化成一般方程．专题：坐标系和参数方程．剖析：（1）第一，将直线的极坐标方程中消去参数，化为直角坐标方程即可；（2）第一，化简曲线 C 的参数方程，而后，依据直线与圆的地点关系进行转变求解．解答：解：（ 1）∵直线 l 的极坐标方程为：，∴ρ（sinθ﹣cosθ） =，∴，∴ x ﹣ y+1=0 ．（2）依据曲线 C 的参数方程为：（ α为参数）．得（ x ﹣ 2） 2+y 2=4 ，它表示一个以（ 2， 0）为圆心，以 2 为半径的圆，圆心到直线的距离为： d= ，∴曲线 C 上的点到直线l 的距离的最大值= ．评论：本题要点考察了直线的极坐标方程、曲线的参数方程、及其之间的互化等知识，属于中档题．3．已知曲线 C 1：（ t 为参数），C 2：（ θ为参数）．（ 1）化 C 1，C 2 的方程为一般方程，并说明它们分别表示什么曲线；（ 2）若 C 1 上的点 P 对应的参数为 t=， Q 为 C 2 上的动点，求 P Q 中点 M 到直线 C 3：（ t 为参数）距离的最小值．考点：圆的参数方程；点到直线的距离公式；直线的参数方程．专题：计算题；压轴题；转变思想．剖析：（1）分别消去两曲线参数方程中的参数获得两曲线的一般方程，即可获得曲线C 1 表示一个圆；曲线C 2表示一个椭圆；（2）把 t 的值代入曲线 C 1 的参数方程得点 P 的坐标，而后把直线的参数方程化为一般方程，依据曲线 C 2 的参数方程设出 Q 的坐标，利用中点坐标公式表示出M 的坐标，利用点到直线的距离公式表示出M 到已知直线的距离，利用两角差的正弦函数公式化简后，利用正弦函数的值域即可获得距离的最小值．解答：（t 为参数）化为一般方程得：（x+4 ） 2+（ y ﹣ 3） 2=1，解：（ 1）把曲线 C 1：所以此曲线表示的曲线为圆心（﹣4， 3），半径 1 的圆；把 C 2：（ θ为参数）化为一般方程得： + =1，所以此曲线方程表述的曲线为中心是坐标原点，焦点在 x 轴上，长半轴为 8，短半轴为 3 的椭圆；（2）把 t=代入到曲线 C 1 的参数方程得： P （﹣ 4， 4），把直线 C 3：（t 为参数）化为一般方程得： x ﹣ 2y ﹣ 7=0，设 Q 的坐标为 Q （ 8cos θ， 3sin θ），故 M （﹣ 2+4cos θ， 2+ sin θ）所以 M 到直线的距离d= =，（此中 sin α= ， cos α= ）进而当 cos θ= ， sin θ=﹣时， d 获得最小值．评论：本题考察学生理解并运用直线和圆的参数方程解决数学识题，灵巧运用点到直线的距离公式及中点坐标公式化简求值，是一道综合题．4．在直角坐标系xOy 中，以 O 为极点， x 轴正半轴为极轴成立直角坐标系，圆 C 的极坐标方程为，直线 l 的参数方程为（t为参数），直线l和圆C交于A，B两点，P是圆 C上不一样于 A ， B 的随意一点．（Ⅰ ）求圆心的极坐标；（Ⅱ）求△ PAB 面积的最大值．考点：参数方程化成一般方程；简单曲线的极坐标方程．专题：坐标系和参数方程．剖析：（Ⅰ ）由圆 C 的极坐标方程为2，把，化为ρ=代入即可得出．（II ）把直线的参数方程化为一般方程，利用点到直线的距离公式可得圆心到直线的距离d，再利用弦长公式可得 |AB|=2，利用三角形的面积计算公式即可得出．解答：C 的极坐标方程为2，解：（Ⅰ ）由圆，化为ρ=把代入可得：圆 C 的一般方程为x 2+y2﹣ 2x+2y=0 ，即（ x﹣ 1）2+（ y+1 ）2=2．∴圆心坐标为（ 1，﹣ 1），∴圆心极坐标为；（Ⅱ ）由直线l 的参数方程（t为参数），把t=x代入y=﹣1+2t 可得直线l 的一般方程：，∴圆心到直线l 的距离，∴|AB|=2==，点 P 直线 AB 距离的最大值为，．评论：本题考察了把直线的参数方程化为一般方程、极坐标化为直角坐标方程、点到直线的距离公式、弦长公式、三角形的面积计算公式，考察了推理能力与计算能力，属于中档题．5．在平面直角坐标系xoy 中，椭圆的参数方程为为参数）．以o为极点，x轴正半轴为极轴成立极坐标系，直线的极坐标方程为．求椭圆上点到直线距离的最大值和最小值．考点：椭圆的参数方程；椭圆的应用．专题：计算题；压轴题．剖析：由题意椭圆的参数方程为为参数），直线的极坐标方程为．将椭圆和直线先化为一般方程坐标，而后再计算椭圆上点到直线距离的最大值和最小值．解答：解：将化为一般方程为（ 4 分）点到直线的距离（ 6 分）所以椭圆上点到直线距离的最大值为，最小值为．（ 10 分）评论：本题考察参数方程、极坐标方程与一般方程的差别和联系，二者要会相互转变，依据实质状况选择不一样的方程进行求解，这也是每年高考必考的热门问题．6．在直角坐标系xoy 中，直线 I 的参数方程为（t为参数），若以O为极点，x轴正半轴为极轴成立极坐标系，曲线 C 的极坐标方程为ρ=cos（θ+）．（1）求直线 I 被曲线 C 所截得的弦长；（2）若 M （ x， y）是曲线 C 上的动点，求 x+y 的最大值．考点：参数方程化成一般方程．专题：计算题；直线与圆；坐标系和参数方程．剖析：（1）将曲线 C 化为一般方程，将直线的参数方程化为标准形式，利用弦心距半径半弦长知足的勾股定理，即可求弦长．（2）运用圆的参数方程，设出M ，再由两角和的正弦公式化简，运用正弦函数的值域即可获得最大值．解答：解：（ 1）直线 I 的参数方程为（t为参数），消去t，可得， 3x+4y+1=0 ；因为ρ= cos（θ+ ） = （），2 2 2﹣x+y=0 ，其圆心为（，﹣），半径为 r= ，即有ρ=ρcosθ﹣ρsinθ，则有 x +y圆心到直线的距离d==，故弦长为2=2=；（2）可设圆的参数方程为：（θ为参数），则设M （，），则 x+y=因为θ∈R，则x+y 的最大值为=sin （1．），评论：本题考察参数方程化为标准方程，极坐标方程化为直角坐标方程，考察参数的几何意义及运用，考察学生的计算能力，属于中档题．7．选修 4﹣ 4：参数方程选讲已知平面直角坐标系xOy ，以 O 为极点， x 轴的非负半轴为极轴成立极坐标系，P 点的极坐标为，曲线 C 的极坐标方程为．（Ⅰ）写出点 P 的直角坐标及曲线 C 的一般方程；（Ⅱ）若 Q 为 C 上的动点，求PQ 中点 M 到直线 l：（t为参数）距离的最小值．考参数方程化成一般方程；简单曲线的极坐标方程．点：专坐标系和参数方程．题：分（ 1）利用 x= ρcosθ， y= ρsinθ即可得出；析：（ 2）利用中点坐标公式、点到直线的距离公式及三角函数的单一性即可得出，解解（ 1）∵ P 点的极坐标为，答：∴=3，= ．∴点 P 的直角坐标2 2 2把ρ=x +y， y= ρsinθ代入可得，即∴曲线 C 的直角坐标方程为．（ 2）曲线 C 的参数方程为（θ为参数），直线 l 的一般方程为 x﹣ 2y﹣ 7=0设，则线段 PQ 的中点．那么点 M 到直线 l 的距离. ，∴点 M 到直线 l 的最小距离为．点本题考察了极坐标与直角坐标的互化、中点坐标公式、点到直线的距离公式、两角和差的正弦公式、三角函数的评：单一性等基础知识与基本技术方法，考察了计算能力，属于中档题．8．在直角坐标系xOy 中，圆 C 的参数方程（φ为参数）．以O为极点，x轴的非负半轴为极轴成立极坐标系．（Ⅰ）求圆 C 的极坐标方程；（Ⅱ）直线 l 的极坐标方程是ρ（sinθ+）=3，射线OM：θ=与圆C的交点为O， P，与直线l 的交点为Q，求线段 PQ 的长．考点：简单曲线的极坐标方程；直线与圆的地点关系．专题：直线与圆．剖析：（I）圆 C 的参数方程（φ为参数）．消去参数可得：（ x﹣ 1）2+y2=1．把 x= ρcosθ， y= ρsinθ代入化简即可获得此圆的极坐标方程．（II ）由直线 l 的极坐标方程是ρ（ sinθ+ ）=3 ，射线 OM ：θ= ．可得一般方程：直线 l ，射线 OM ．分别与圆的方程联立解得交点，再利用两点间的距离公式即可得出．解答：解：（ I）圆 C 的参数方程（φ为参数）．消去参数可得：（ x﹣1）2+y2=1．把 x= ρcosθ，y= ρsinθ代入化简得：ρ=2cosθ，即为此圆的极坐标方程．（II ）如下图，由直线l 的极坐标方程是ρ（ sinθ+ ） =3 ，射线OM ：θ= ．可得一般方程：直线l ，射线OM ．联立，解得，即Q．联立，解得或．∴P．∴|PQ|= =2．评论：本题考察了极坐标化为一般方程、曲线交点与方程联立获得的方程组的解的关系、两点间的距离公式等基础知识与基本方法，属于中档题．9．在直角坐标系 xoy 中，曲线 C1的参数方程为（α为参数），以原点 O 为极点， x 轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线 C2的极坐标方程为ρsin（θ+ ） =4 ．（ 1）求曲线 C1的一般方程与曲线 C2 的直角坐标方程；（ 2）设 P 为曲线 C1上的动点，求点 P 到 C2上点的距离的最小值，并求此时点P 的坐标．考点：简单曲线的极坐标方程．专题：坐标系和参数方程．剖析：（1）由条件利用同角三角函数的基本关系把参数方程化为直角坐标方程，利用直角坐标和极坐标的互化公式x=ρcosθ、 y=ρsinθ，把极坐标方程化为直角坐标方程．（2）求得椭圆上的点到直线x+y﹣8=0的距离为，可得 d 的最小值，以及此时的α的值，进而求得点P的坐标．解答：解：（ 1）由曲线 C1：，可得，两式两边平方相加得：，即曲线 C1 的一般方程为：．由曲线 C2 ：得：，即ρsinθ+ρcosθ=8，所以 x+y ﹣ 8=0，即曲线 C2 的直角坐标方程为：x+y ﹣ 8=0 ．（2）由（ 1）知椭圆 C1与直线 C2无公共点，椭圆上的点到直线 x+y ﹣ 8=0 的距离为，∴当时， d 的最小值为，此时点P 的坐标为．评论：本题主要考察把参数方程、极坐标方程化为直角坐标方程的方法，点到直线的距离公式的应用，正弦函数的值域，属于基础题．10．已知直线l 的参数方程是（t为参数），圆C的极坐标方程为ρ=2cos（θ+）．（Ⅰ）求圆心 C 的直角坐标；（Ⅱ）由直线l 上的点向圆 C 引切线，求切线长的最小值．考点：简单曲线的极坐标方程．专题：计算题．剖析：（I）先利用三角函数的和角公式睁开圆 C 的极坐标方程的右式，再利用直角坐标与极坐标间的关系，即利用2 2 2C 的直角坐标．ρcosθ=x ，ρsinθ=y ，ρ=x +y ，进行代换即得圆 C 的直角坐标方程，进而获得圆心（II ）欲求切线长的最小值，转变为求直线l 上的点到圆心的距离的最小值，故先在直角坐标系中算出直线l 上的点到圆心的距离的最小值，再利用直角三角形中边的关系求出切线长的最小值即可．解答：解：（ I）∵，∴，∴圆 C 的直角坐标方程为，即，∴圆心直角坐标为．（ 5 分）（II ）∵ 直线 l 的一般方程为，圆心 C 到直线 l 距离是，∴直线 l 上的点向圆 C 引的切线长的最小值是（ 10 分）评论：本题考察点的极坐标和直角坐标的互化，能在极坐标系顶用极坐标刻画点的地点，领会在极坐标系和平面直角坐标系中刻画点的地点的差别，能进行极坐标和直角坐标的互化．11．在直角坐标系 xOy 中，以 O 为极点， x 轴正半轴为极轴成立坐标系，直线l 的参数方程为，（ t 为参数），曲线 C 1 的方程为 ρ（ ρ﹣ 4sin θ） =12 ，定点 A （ 6， 0），点 P 是曲线 C 1 上的动点， Q 为 AP 的中点．（ 1）求点 Q 的轨迹 C 2 的直角坐标方程；（ 2）直线 l 与直线 C 2 交于 A ，B 两点，若 |AB| ≥2 ，务实数 a 的取值范围．考点：简单曲线的极坐标方程；参数方程化成一般方程．专题：坐标系和参数方程．剖析：（1）第一，将曲线 C 1 化为直角坐标方程，而后，依据中点坐标公式，成立关系，进而确立点Q 的轨迹 C 2 的直角坐标方程；（2）第一，将直线方程化为一般方程，而后，依据距离关系，确立取值范围．解答：解：（ 1）依据题意，得22﹣ 4y=12 ，曲线 C 1 的直角坐标方程为： x +y 设点 P （ x ′， y ′）， Q （ x ， y ），依据中点坐标公式，得，代入 x 2+y 2﹣ 4y=12 ，得点 Q 的轨迹 C 2 的直角坐标方程为：（ x ﹣3） 2+（ y ﹣ 1） 2=4，（ 2）直线 l 的一般方程为： y=ax ，依据题意，得，解得实数 a 的取值范围为： [0， ] ．评论：本题要点考察了圆的极坐标方程、直线的参数方程，直线与圆的地点关系等知识，考察比较综合，属于中档题，解题要点是正确运用直线和圆的特定方程求解．12．在直角坐标系 xoy中以O 为极点，x轴正半轴为极轴成立坐标系．圆 C 1，直线C 2 的极坐标方程分别为ρ=4sin θ，ρcos（） =2．（ Ⅰ ）求C 1 与 C 2 交点的极坐标；（ Ⅱ ）设 P 为 C 1 的圆心， Q 为 C 1 与 C 2 交点连线的中点，已知直线 PQ 的参数方程为（ t ∈R 为参数），求 a ，b 的值．考点：点的极坐标和直角坐标的互化；直线与圆的地点关系；参数方程化成一般方程．专题：压轴题；直线与圆．剖析：（I ）先将圆 C 1，直线 C 2 化成直角坐标方程，再联立方程组解出它们交点的直角坐标，最后化成极坐标即可；（II ）由（ I ）得， P 与 Q 点的坐标分别为（ 0， 2），（1， 3），进而直线 PQ 的直角坐标方程为 x ﹣y+2=0 ，由参数方程可得 y= x ﹣+1，进而结构对于 a ， b 的方程组，解得 a ， b 的值．解答：解：（ I ）圆 C 1，直线 C 2 的直角坐标方程分别为x 2+（ y ﹣2） 2=4， x+y ﹣ 4=0 ，解得或，∴C 与 C 交点的极坐标为（ 4，）．（ 2，）．12（II ）由（ I ）得， P 与 Q 点的坐标分别为（ 0， 2），（1， 3），故直线 PQ 的直角坐标方程为 x ﹣ y+2=0 ，由参数方程可得 y= x ﹣ +1，∴，解得 a=﹣ 1，b=2 ．评论：本题主要考察把极坐标方程化为直角坐标方程、把参数方程化为一般方程的方法，方程思想的应用，属于基础题．13．在直角坐标系 xOy 中， l 是过定点 P （ 4， 2）且倾斜角为 α的直线；在极坐标系（以坐标原点 O 为极点，以 x 轴非负半轴为极轴，取同样单位长度）中，曲线 C 的极坐标方程为 ρ=4cos θ（ Ⅰ ）写出直线 l 的参数方程，并将曲线C 的方程化为直角坐标方程；（ Ⅱ ）若曲线 C 与直线订交于不一样的两点 M 、 N ，求 |PM|+|PN|的取值范围．解答：解：（ I ）直线 l 的参数方程为（ t 为参数）．2曲线 C 的极坐标方程 ρ=4cos θ可化为 ρ=4 ρcos θ．把 x= ρcos θ，y= ρsin θ代入曲线 C 的极坐标方程可得 x 2+y 2=4x ，即（ x ﹣ 2） 2+y 2=4．（II ）把直线 l 的参数方程为（ t 为参数）代入圆的方程可得： t 2+4（ sin α+cos α） t+4=0 ． ∵曲线 C 与直线订交于不一样的两点 M 、 N ，∴△ =16 （ sin α+cos α）2﹣ 16＞ 0， ∴sin αcos α＞0，又 α∈[0，π），∴．又 t 1+t 2=﹣ 4（ sin α+cos α）， t 1t 2=4．∴|PM|+|PN|=|t 1|+|t 2|=|t 1+t 2|=4|sin α+cos α|=，∵ ， ∴，∴．∴|PM|+|PN| 的取值范围是．评论：本题考察了直线的参数方程、圆的极坐标方程、直线与圆订交弦长问题，属于中档题．14．在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为（t为参数），以原点为极点，x 轴正半轴为极轴成立极坐标系，⊙C 的极坐标方程为ρ=2 sinθ．（Ⅰ）写出⊙ C 的直角坐标方程；（Ⅱ）P 为直线 l 上一动点，当P 到圆心 C 的距离最小时，求P 的直角坐标．考点：点的极坐标和直角坐标的互化．专题：坐标系和参数方程．剖析：2，把代入即可得出；．（I）由⊙ C 的极坐标方程为ρ=2 sinθ．化为ρ=2（II ）设 P ，又 C ．利用两点之间的距离公式可得|PC|= ，再利用二次函数的性质即可得出．解答：解：（ I）由⊙ C 的极坐标方程为ρ=2 sin θ．2 2 2，∴ρ=2 ，化为 x +y =配方为=3．（II ）设 P ，又 C ．∴|PC|= = ≥2 ，所以当 t=0 时， |PC|获得最小值 2 ．此时 P（ 3，0）．评论：本题考察了极坐标化为直角坐标方程、参数方程的应用、两点之间的距离公式、二次函数的性质，考察了推理能力与计算能力，属于中档题．15．已知曲线C1的极坐标方程为ρ=6cosθ，曲线C2的极坐标方程为θ=（p∈R），曲线C1，C2订交于A，B两点．（Ⅰ）把曲线 C1， C2的极坐标方程转变为直角坐标方程；（Ⅱ）求弦 AB 的长度．考点：简单曲线的极坐标方程．专题：计算题．剖析：（Ⅰ ）利用直角坐标与极坐标间的关系，即利用C1的直角坐标方程．（Ⅱ ）利用直角坐标方程的形式，先求出圆心（长度．解答：解：（Ⅰ）曲线 C2 ：（ p∈R）表示直线 y=x，2ρcosθ曲线 C1：ρ=6cosθ，即ρ=62 2 2 2所以 x +y =6x 即（ x﹣3） +y =92 2 2C2及曲线ρcosθ=x ，ρsinθ=y ，ρ=x +y ，进行代换即得曲线3，0）到直线的距离，最后联合点到直线的距离公式弦AB 的（Ⅱ ）∵圆心（ 3， 0）到直线的距离，r=3 所以弦长 AB==．∴弦 AB 的长度．评论：本小题主要考察圆和直线的极坐标方程与直角坐标方程的互化，以及利用圆的几何性质计算圆心到直线的距等基本方法，属于基础题．16．在直角坐标系xOy 中，以 O 为极点， x 轴正半轴为极轴成立坐标系，直线l 的极坐标方程为ρsin（θ+）=，圆 C 的参数方程为，（θ为参数，r＞0）（Ⅰ）求圆心 C 的极坐标；（Ⅱ）当 r 为什么值时，圆 C 上的点到直线l 的最大距离为3．考点：简单曲线的极坐标方程；直线与圆的地点关系．专题：计算题．剖析：（1）利用两角差的余弦公式及极坐标与直角坐标的互化公式可得直线l 的一般方程；利用同角三角函数的基本关系，消去θ可得曲线 C 的一般方程，得出圆心的直角坐标后再化面极坐标即可．（2）由点到直线的距离公式、两角和的正弦公式，及正弦函数的有界性求得点P 到直线 l 的距离的最大值，最后列出对于 r 的方程即可求出r 值．解答：解：（ 1）由ρsin（θ+ ） = ，得ρ（ cosθ+sin θ） =1，∴直线 l： x+y ﹣ 1=0 ．由得 C：圆心（﹣，﹣）．∴圆心 C 的极坐标（ 1，）．（2）在圆 C：的圆心到直线l 的距离为：∵圆 C 上的点到直线l 的最大距离为3，∴．r=2﹣∴当 r=2 ﹣时，圆C上的点到直线l 的最大距离为3．评论：本小题主要考察坐标系与参数方程的有关知识，详细波及到极坐标方程、参数方程与一般方程的互化，点到直线距离公式、三角变换等内容．17．选修 4﹣ 4：坐标系与参数方程在直角坐标 xOy 中，圆 C 1： x 2+y 2=4，圆 C 2：（x ﹣ 2） 2+y 2=4．（ Ⅰ ）在以 O 为极点， x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，分别写出圆 C 1， C 2 的极坐标方程，并求出圆 C 1， C 2的交点坐标（用极坐标表示）；（ Ⅱ ）求圆 C 1 与 C 2 的公共弦的参数方程．考点：简单曲线的极坐标方程；直线的参数方程．专题：计算题；压轴题．剖析：（I ）利用，以及 x 2 2 2C 1， C 2 的极坐标方程，求出圆 C 1， C 2 的交点极坐标，+y =ρ，直接写出圆而后求出直角坐标（用坐标表示）；（II ）解法一：求出两个圆的直角坐标，直接写出圆 C 1 与 C 2 的公共弦的参数方程．解法二利用直角坐标与极坐标的关系求出，而后求出圆 C 1 与 C 2 的公共弦的参数方程．解答：解：（ I ）由 222， x +y =ρ，可知圆，的极坐标方程为 ρ=2，圆，即的极坐标方程为 ρ=4cos θ，解得： ρ=2，，故圆 C 1， C 2 的交点坐标（ 2，），（ 2，）．（II ）解法一：由得圆 C 1， C 2 的交点的直角坐标（ 1，），（1，）．故圆 C 1， C 2 的公共弦的参数方程为（或圆 C 1， C 2 的公共弦的参数方程为）（解法二）将 x=1 代入得 ρcos θ=1进而于是圆 C 1， C 2 的公共弦的参数方程为．评论：本题考察简单曲线的极坐标方程，直线的参数方程的求法，极坐标与直角坐标的互化，考察计算能力．。

极坐标与参数方程经典题型(附含详细解答)

专题：极坐标与参数方程1、已知在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为14cos 24sin x y θθ=+⎧⎨=+⎩（θ为参数），直线l 经过定点(3,5)P ，倾斜角为3π. （1）写出直线l 的参数方程和曲线C 的标准方程；（2）设直线l 与曲线C 相交于A ，B 两点，求||||PA PB 的值.2、在直角坐标系中，以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线2:sin 2cos C ρθθ=，过点(2,1)P -的直线2cos 45:1sin 45x t l y t ⎧=+⎪⎨=-+⎪⎩（t 为参数）与曲线C 交于,M N 两点.（1）求曲线C 的直角坐标方程和直线l 的普通方程；（2）求22||||PM PN +的值.3、在平面直角坐标系xOy 中，已知曲线：23cos 3sin x y αα⎧=+⎪⎨=⎪⎩（α为参数），以平面直角坐标系xOy 的原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，取相同的单位长度建立极坐标系，已知直线l ：(cos sin )6ρθθ-=.（1）求曲线C 上点P 到直线l 距离的最大值；（2）与直线l 平行的直线1l 交C 于,A B 两点，若||2AB =，求1l 的方程．4、在平面直角坐标系xOy 中，以原点为极点，轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线1C 的参数方程为22cos 2sin x y θθ⎧=⎪⎨=⎪⎩（为参数），曲线 2C 的极坐标方程为cos 2sin 40ρθρθ--=．（1）求曲线1C 的普通方程和曲线 2C 的直角坐标方程；（2）设P 为曲线1C 上一点，Q 为曲线2C 上一点，求||PQ 的最小值．5.在平面直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为2cos sin x y ϕϕ=⎧⎨=⎩（ϕ为参数），在以原点为极点，轴的正半轴为极轴，建立的极坐标系中，曲线2C 是圆心为3,2π⎛⎫⎪⎝⎭，半径为1的圆.（1）求曲线1C 的普通方程，2C 的直角坐标方程；（2）设M 为曲线1C 上的点，N 为曲线2C 上的点，求||MN 的取值范围.6. 在平面直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为2cos sin x y ϕϕ⎧=⎪⎨=⎪⎩（ϕ为参数），曲线2C ：2220x y y +-=，以原点为极点，轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，射线():0l θαρ=≥与曲线1C ，2C 分别交于,A B （均异于原点O ）.（1）求曲线1C ，2C 的极坐标方程；（2）当02πα<<时，求22||||OA OB +的取值范围.7. 在平面直角坐标系xOy 中，曲线1C 过点(,1)P a ，其参数方程为212x a ty t ⎧=+⎪⎨=+⎪⎩（t 为参数，a R ∈），以原点为极点，轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为2cos 4cos 0ρθθρ+-=.（1）求曲线1C 的普通方程和2C 的直角坐标方程；（2）已知曲线1C 与2C 交于,A B 两点，且||2||PA PB =，求实数a 的值.8. 在平面直角坐标系xOy 中，以原点为极点，轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为(sin 3cos )43ρθθ+=，若射线6πθ=，3πθ=，分别与l 交于,A B两点.（1）求||AB ；（2）设点P 是曲线2219y x +=上的动点，求ABP ∆面积的最大值.极坐标与参数方程——练习1.在平面直角坐标系xOy 中,已知直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋12t ，y ＝32t ，(t 为参数),椭圆C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos θ，y ＝2sin θ(θ为参数).设直线l 与椭圆C 相交于A,B 两点，求线段AB 的长.2.在直角坐标系xOy 中,曲线C 1：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝tcos α，y ＝tsin α(t 为参数,t≠0),其中0≤α＜π,在以O 为极点,x 轴正半轴为极轴的极坐标系中,曲线C 2：ρ＝2sin θ,C 3：ρ＝23cos θ.(1)求C 2与C 3交点的直角坐标；(2)若C 1与C 2相交于点A,C 1与C 3相交于点B ,求|AB |的最大值.3.在直角坐标系xOy 中,直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3＋12t ，y ＝32t(t 为参数).以原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,⊙C 的极坐标方程为ρ＝23sin θ.(1)写出⊙C 的直角坐标方程；(2)P 为直线l 上一动点,当P 到圆心C 的距离最小时,求P 的直角坐标.4.在平面直角坐标系xOy 中,曲线C 的方程为x 2－2x ＋y 2＝0,以原点为极点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系,直线l 的极坐标方程为θ＝π4(ρ∈R ).(1)写出C 的极坐标方程,并求l 与C 的交点M,N 的极坐标； (2)设P 是椭圆x 23＋y 2＝1上的动点,求△PMN 面积的最大值.5.直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋12t ，y ＝32t(t 为参数),曲线C 的极坐标方程为(1＋sin 2θ)ρ2＝2. (1)写出直线l 的普通方程与曲线C 的直角坐标方程.(2)设直线l 与曲线C 相交于A ,B 两点,若点P 为(1,0),求1|PA |2＋1|PB |2的值.6. 在直角坐标系xoy 中，直线l 的参数方程为325:45x t C y t ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数），以原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，圆C 的极坐标方程为sin a ρθ=．（1）若2a =，求圆C 的直角坐标方程与直线 l 的普通方程；（2）设直线l 截圆C 的弦长等于圆Ca 的值．7. 在直角坐标系xOy 中，直线1C ：y =，曲线2C 的参数方程是cos 2sin x y ϕϕ⎧=⎪⎨=-+⎪⎩（ϕ为参数），以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．（1）求1C 的极坐标方程和2C 的普通方程；（2）把1C 绕坐标原点沿顺时针方向旋转3π得到直线3C ，3C 与2C 交于A ，B 两点，求||AB ．8.将圆x 2＋y 2＝1上每一点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的2倍,得曲线C. (1)写出C 的参数方程；(2)设直线l ：2x ＋y －2＝0与C 的交点为P 1,P 2,以坐标原点为极点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求过线段P 1P 2的中点且与l 垂直的直线的极坐标方程.极坐标与参数方程参考答案1.【解答】解：（1）∵曲线C的参数方程为（θ为参数），消去参数θ，得曲线C的普通方程：（x﹣1）2+（y﹣2）2=16；∵直线l经过定点P（3，5），倾斜角为，∴直线l的参数方程为：，t为参数．（2）将直线l的参数方程代入曲线C的方程，得t2+（2+3）t﹣3=0，设t1、t2是方程的两个根，则t1t2=﹣3，∴|PA|•|PB|=|t1|•|t2|=|t1t2|=3．2．【解答】解：（1）曲线C：ρsin2θ=2cosθ，即ρ2sin2θ=2ρcosθ，∴曲线C的直角坐标方程为y2=2x；直线l：（t为参数），消去t，可得直线l的普通方程x﹣y﹣3=0；（2）将直线l：代入曲线C的标准方程：y2=2x得：t2﹣4t﹣6=0，∴|PM|2+|PN|2=|t1|2+|t2|2=（t1﹣t2）2+2t1t2=32．3、【解答】（1）直线l ：(cos sin )6ρθθ-=化成普通方程为60x y --=．曲线化成普通方程为22(2)3x y -+=∴圆心(2,0)C 到直线l 的距离为d ==∴曲线C 上点P 到直线l 距离的最大值为（2）设直线1l 的方程为0x y λ-+=， (2,0)C 到直线1l 的距离为d === ∴或∴直线1l 的方程为或4.【解答】（1）由曲线C 1的参数方程为（θ为参数），消去参数θ得，曲线C 1的普通方程得+=1．由ρcos θ﹣ρsin θ﹣4=0得，曲线C 2的直角坐标方程为x ﹣y ﹣4=0…（2）设P （2cos θ，2sin θ），则点P 到曲线C 2的距离为d==，当cos （θ+45°）=1时，d 有最小值0，所以|PQ|的最小值为0.5．【解答】解：（1）消去参数φ可得C1的直角坐标方程为+y2=1，∵曲线C2是圆心为（3，），半径为1的圆曲线C2的圆心的直角坐标为（0，3），∴C2的直角坐标方程为x2+（y﹣3）2=1；（2）设M（2cosφ，sinφ），则|MC2|====，∴﹣1≤sinφ≤1，∴由二次函数可知2≤|MC2|≤4，由题意结合图象可得|MN|的最小值为2﹣1=1，最大值为4+1=5，∴|MN|的取值范围为[1，5]6.【解答】解：（1）∵，∴，由得曲线C1的极坐标方程为，∵x2+y2﹣2y=0，∴曲线C2的极坐标方程为ρ=2sinθ；（2）由（1）得，|OB|2=ρ2=4sin2α，∴∵，∴1＜1+sin2α＜2，∴，∴|OA|2+|OB|2的取值范围为（2，5）．7．【解答】解：（1）曲线C1参数方程为，∴其普通方程x﹣y﹣a+1=0，由曲线C2的极坐标方程为ρcos2θ+4cosθ﹣ρ=0，∴ρ2cos2θ+4ρcosθ﹣ρ2=0∴x2+4x﹣x2﹣y2=0，即曲线C2的直角坐标方程y2=4x．（2）设A、B两点所对应参数分别为t1，t2，联解得要有两个不同的交点，则，即a＞0，由韦达定理有根据参数方程的几何意义可知|PA|=2|t1|，|PB|=2|t2|，又由|PA|=2|PB|可得2|t1|=2×2|t2|，即t1=2t2或t1=﹣2t2∴当t1=2t2时，有t1+t2=3t2=，t1t2=2t22=，∴a=＞0，符合题意．当t1=﹣2t2时，有t1+t2=﹣t2=，t1t2=﹣2t22=，∴a=＞0，符合题意．综上所述，实数a的值为或．8．【解答】解：（1）直线，令，解得，∴，令，解得ρ=4，∴又∵，∴，∴|AB|=2．（2）∵直线，曲线，∴=当且仅当，即时，取“=”，∴，∴△ABP面积的最大值为3．极坐标与参数方程——练习参考答案1．【解答】解：由，由②得，代入①并整理得，．由，得，两式平方相加得．联立，解得或．∴|AB|=．2．【解答】解：（1）曲线C2：ρ=2sinθ得ρ2=2ρsinθ，即x2+y2=2y，①C 3：ρ=2cosθ，则ρ2=2ρcosθ，即x2+y2=2x，②由①②得或，即C2与C3交点的直角坐标为（0，0），（，）；（2）曲线C1的直角坐标方程为y=tanαx，则极坐标方程为θ=α（ρ∈R，ρ≠0），其中0≤a＜π．因此A得到极坐标为（2sinα，α），B的极坐标为（2cosα，α）．所以|AB|=|2sinα﹣2cosα|=4|sin（α）|，当α=时，|AB|取得最大值，最大值为4．3．【解答】解：（1）由⊙C的极坐标方程为ρ=2sinθ．∴ρ2=2，化为x2+y2=，配方为=3．（2）设P，又C．∴|PC|==≥2，因此当t=0时，|PC|取得最小值2．此时P（3，0）．4．【解答】解：（1）因为x=ρcosθ，y=ρsinθ，所以C的极坐标方程为ρ=2cosθ，直线l的直角坐标方程为y=x，联立方程组，解得或，所以点M，N的极坐标分别为（0，0），（，）．（2）由（1）易得|MN|=因为P是椭圆+y2=1上的点，设P点坐标为（cosθ，sinθ），则P到直线y=x的距离d=，所以S△PMN==≤1，当θ=kπ﹣，k∈Z时，S△PMN取得最大值1．5．【解答】解：（1）直线l的参数方程为（t为参数），消去参数t得直线l的普通方程为x﹣y﹣=0，曲线C的极坐标方程ρ2+ρ2sin2θ=2，化成直角坐标方程为x2+2y2=2，即+y2=1．（2）将直线l的参数方程代入曲线C：x2+2y2=2，得7t2+4t﹣4=0．设A，B两点在直线l的参数方程中对应的参数分别为t1，t2，则t1+t2=﹣，t1t2=﹣，∴+=+==．6．【解答】解：（1）当a=2时，ρ=asinθ转化为ρ=2sinθ整理成直角坐标方程为：x2+（y﹣1）2=1直线的参数方程（t为参数）．转化成直角坐标方程为：4x+3y﹣8=0 （2）圆C的极坐标方程转化成直角坐标方程为：直线l截圆C的弦长等于圆C的半径长的倍，所以：2|3a﹣16|=5|a|，利用平方法解得：a=32或．7．【解答】解：（1）∵直线，∴直线C1的极坐标方程为，∵曲线C2的参数方程是（θ为参数），∴消去参数θ，得曲线C2的普通方程为．（2）∵把C1绕坐标原点沿逆时针方向旋转得到直线C3，∴C3的极坐标方程为，化为直角坐标方程为．圆C2的圆心（，2）到直线C3：的距离：．∴．8．【解答】解：（1）在曲线C上任意取一点（x，y），由题意可得点（x，）在圆x2+y2=1上，∴x2+=1，即曲线C的方程为x2+=1，化为参数方程为（0≤θ＜2π，θ为参数）．（2）由，可得，，不妨设P1（1，0）、P2（0，2），则线段P1P2的中点坐标为（，1），再根据与l垂直的直线的斜率为，故所求的直线的方程为y﹣1=（x﹣），即x﹣2y+ =0．再根据x=ρcosα、y=ρsinα可得所求的直线的极坐标方程为ρcosα﹣2ρsinα+=0，即ρ=．。

2014~2017年极坐标与参数方程全国高考题汇总(精编完美版)

2014~2017年极坐标与参数方程全国高考题汇总(精编完美版)1.【2014·全国Ⅱ】在直角坐标系xoy中，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，半圆C的极坐标方程为ρ＝2cosθ，θ∈(0,π)。

⑴求C的参数方程；⑵设点D在C上，C在D处的切线与直线l:y＝3x＋2垂直，根据⑴中你得到的参数方程，确定D的坐标。

解：⑴C的普通方程为(x-1)²+y²=1(0≤y≤1)，可得C的参数方程为x=1+cost。

y=sint} (t为参数，0≤t≤π)。

⑵设D(1+cost。

sint)。

由⑴知C是以G(1,0)为圆心，1为半径的上半圆。

因为C在点D处的切线与t垂直，所以直线GD与t的斜率相同，tant=3，t=π/3.故D的直角坐标为(1+cosπ/3.sinπ/3)，即(2.3√3)。

2.【2014·全国Ⅰ】已知曲线C：x²/4+y²/9=1，直线l：y=2-2t。

⑴写出曲线C的参数方程，直线l的普通方程；⑵过曲线C上任意一点P作与l夹角为30°的直线，交l 于点A，求|PA|的最大值与最小值。

解析：⑴曲线C的参数方程为：{x=2cost。

y=3sint} (θ为参数)。

直线l的普通方程为：2x+y-6=0.⑵在曲线C上任意取一点P(2cost。

3sint)，到l的距离为d=|2cost+3sint-6|/√(4+9)，则|PA|=d/sin(30°)=2d。

设α为PA与x轴正半轴的夹角，则tanα=(2sint-3cost+3)/2cosθ，令其等于tan(30°)=√3/3，解得sinθ=5/√58，cosθ=7/√58.代入d的式子可得d=5/√58，故|PA|max=10/√58，|PA|min=2d=10/√58.3.【2015·全国Ⅰ】在直角坐标系xOy中。

直线⑴求C1，C2的极坐标方程；⑵若直线C3的极坐标方程为θ=π/4(ρ∈R)，设C2与C3的交点为M，N，求△C2MN的面积。

极坐标与参数方程高考题(含答案)

极坐标与参数方程高考题1。

在直角坐标系xOy 中，直线1:2C x =-，圆()()222:121C x y -+-=，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系.(I)求12,C C 的极坐标方程.(II ）若直线3C 的极坐标方程为()πR 4θρ=∈,设23,C C 的交点为,M N ，求2C MN ∆ 的面积. 解:(Ⅰ)因为cos ,sin x y ρθρθ==，∴1C 的极坐标方程为cos 2ρθ=-，2C 的极坐标方程为22cos 4sin 40ρρθρθ--+=.（Ⅱ)将=4πθ代入22cos 4sin 40ρρθρθ--+=，得240ρ-+=，解得1ρ=,2ρ=,｜MN|=1ρ－2ρ，因为2C 的半径为1，则2C MN 的面积o 11sin 452⨯=12。

2。

已知曲线194:22=+y x C ，直线⎩⎨⎧-=+=t y t x l 222:(t 为参数) （1）写出曲线C 的参数方程，直线l 的普通方程；（2）过曲线C 上任意一点P 作与l 夹角为30°的直线,交l 于点A ，求PA 的最大值与最小值.解:（1）曲线C 的参数方程为(θ为参数)。

在直角坐标系xOy 中,以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系,半圆C 的极坐标方程为ρ=2cos θ02πθ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，,（1）求C 的参数方程;（2）设点D 在C 上,C 在D 处的切线与直线x+2垂直，根据（1）中你得到的参数方程，确定D 的坐标.解：(1)C 的普通方程为(x-1)2+y 2=1(0≤y ≤1)。

高考数学23题(极坐标与参数方程)大训练(含答案)

高考23题(极坐标与参数方程)大训练1.(1)在极坐标系中，O 为极点，已知圆C 的圆心为⎝⎛⎭⎫2，π3，半径r ＝1，P 在圆C 上运动，求圆C 的极坐标方程；(2)．设直线l 经过点)3,2(πP ，倾斜角6πα=，写出直线l 的极坐标方程.2．(2009·高考辽宁卷)在直角坐标系xOy 中，以O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立坐标系．曲线C 的极坐标方程为ρcos(θ－π3)＝1，M 、N 分别为C 与x 轴、y 轴的交点．(1)写出C 的直角坐标方程，并求出M 、N 的极坐标； (2)设MN 的中点为P ，求直线OP 的极坐标方程．3.已知曲线C 的极坐标方程是=ρ2sin θ ，设直线l 的参数方程是32,545x t y t ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数）．（1）将曲线C 的极坐标方程转化为直角坐标方程；（2）设直线l 与x 轴的交点是,M N 是曲线C 上一动点，求MN 的最大值.4.已知曲线1C 的参数方程为210cos ,10sin x y θθ⎧=-+⎪⎨=⎪⎩ （θ为参数），曲线2C 的极坐标方程为θθρsin 6cos 2+=．（1）将曲线1C 的参数方程化为普通方程，将曲线2C 的极坐标方程化为直角坐标方程. （2）曲线1C ，2C 是否相交？若相交，请求出公共弦的长；若不相交，请说明理由．5.(2015·高考全国卷Ⅰ)在直角坐标系xOy 中，直线C 1：x ＝－2，圆C 2：(x －1)2＋(y －2)2＝1，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系． (1)求C 1，C 2的极坐标方程；(2)若直线C 3的极坐标方程为θ＝π4(ρ∈R)，设C 2与C 3的交点为M ，N ，求△C 2MN 的面积．6.(本题满分12分)已知圆的极坐标方程为ρ2－42ρcos ⎝⎛⎭⎫θ－π4＋6＝0.(1)将极坐标方程化为普通方程，并选择恰当的参数写出它的参数方程；(2)若点P (x ，y )在该圆上，求x ＋y 的最大值和最小值．7.(2014·高考课标全国卷Ⅱ)在直角坐标系xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，半圆C 的极坐标方程为ρ＝2cos θ，θ∈⎣⎡⎦⎤0，π2. (1)求C 的参数方程；(2)设点D 在C 上，C 在D 处的切线与直线l ：y ＝3x ＋2垂直，根据(1)中你得到的参数方程，确定D 的坐标．8.(2013·高考课标全国卷)已知曲线C 1的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4＋5cos t ，y ＝5＋5sin t (t 为参数)，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程为ρ＝2sin θ.(1)把C 1的参数方程化为极坐标方程；(2)求C 1与C 2交点的极坐标(ρ≥0，0≤θ＜2π)．9.(2015·高考陕西卷)在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝3＋12t ，y ＝32t(t 为参数)．以原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，⊙C 的极坐标方程为ρ＝23sin θ. (1)写出⊙C 的直角坐标方程；(2)P 为直线l 上一动点，当P 到圆心C 的距离最小时，求P 的直角坐标．10.（2013·福建高考理科·Ｔ21）在直角坐标系中，以坐标原点为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系.已知点A 的极坐标为⎪⎭⎫⎝⎛4,2π，直线l 的极坐标方程为a =-)4cos(πθρ，且点A 在直线l 上。

极坐标与参数方程含答案

极坐标系与参数方程一．高考真题1．设b a b a b a +=+∈则,62,,22R 的最小值（ C ）A ．22-B ．335-C ．－3D ．27-2.在极坐标系中，圆心在()2，π且过极点的圆的方程为（ B ）A.ρθ=22cosB.ρθ=-22c o sC.ρθ=22sinD.ρθ=-22s i n3.极坐标方程ρ＝cos θ与ρcos θ＝ 12的图形是( B )A.C.D.4.极坐标方程ρ２ｃｏｓ２θ＝１所表示的曲线是（ D ）A ．两条相交直线B ．圆C ．椭圆D ．双曲线5．在极坐标系中，直线l 的方程为ρsin θ=3，则点(2，π/6)到直线l 的距离为 2 ．6．点)0,1(P 到曲线⎩⎨⎧==ty t x 22（其中参数R t ∈）上的点的最短距离为（ B ）（A ）0 （B ）1 （C ）2 （D ）27.在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为)(33R t t y t x ∈⎩⎨⎧-=+=参数，圆C 的参数方程为[])20(2sin 2cos 2πθθθ，参数∈⎩⎨⎧+==y x ，则圆C 的圆心坐标为（0,2），圆心到直线l 的距离为22.二．极坐标与参数方程知识点回顾及练习(一)极坐标1．平面直角坐标系中的坐标伸缩变换设点(,)P x y 是平面直角坐标系中的任意一点,在变换(0):(0)x x y yλλϕμμ'=>⎧⎨'=>⎩ 的作用下,点(,)P x y 对应到点(,)P x y ''',称ϕ为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换,简称伸缩变换.例1：在平面直角坐标系中，方程1y x 22=+所对应的图形经过伸缩变换⎩⎨⎧='='3y y 2x,x 后的图形所对应的方程是19422='+'y x .例2：在同一平面直角坐标系中，经过伸缩变换⎩⎨⎧='='yy 3x,x 后，曲线C 变为曲线9y 9x 22='+'，则曲线C 的方程是122=+y x例3：在同一平面直角坐标系中，使曲线2sin3x y =变为曲线sinx y =的伸缩变换是⎪⎩⎪⎨⎧='='y y x x 2132.极坐标系的概念如图所示,在平面内取一个定点O ,叫做极点,自极点O 引一条射线Ox ,叫做极轴;再选定一个长度单位,一个角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向),这样就建立了一个极坐标系.设M 是平面内一点,极点O 与点M 的距离|OM|叫做点M 的极径,记为ρ；以极轴Ox 为始边,射线OM 为终边的角xOM ∠叫做点M 的极角,记为θ.有序数对（，）叫做点M 的极坐标.例1：极坐标系中，点M )4,4(π表示的意思是在正方向45°处的距极点距离为4的点。

(完整word版)极坐标与参数方程(近年高考题和各种类型总结)

极坐标与参数方程（近年高考题和各种类型总结）一、最近8年极坐标与参数方程题型归纳（2018）【点差法】在直角坐标系xOy 中，曲线C的参数方程为2cos 4sin x y θθ=⎧⎨=⎩(θ为参数)，直线l 的参数方程为1cos 2sin x t y t αα=+⎧⎨=+⎩(t 为参数) (1)求C 和l 的直角坐标方程(2)若曲线C 截直线l 所得线段的中点坐标为(1,2)，求l 的斜率（2017）【极坐标求轨迹问题】在直角坐标系xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线1C 的极坐标方程为4cos =θρ.（1）M 为曲线1C 上的动点，点P 在线段OM 上，且满足16=⋅OP OM ，求点P 的轨迹2C 的直角坐标方程；（2）设点A 的极坐标为)3,2(π，点B 在曲线2C 上，求OAB ∆面积的最大值.（2016）【极坐标方程求长度】在直角坐标系xOy 中，圆C 的方程为22(+6)+=25x y .（Ⅰ）以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，求C 的极坐标方程；（Ⅱ）直线l 的参数方程是（t 为参数），l 与C 交于A ，B 两点，10AB =,求l 的斜率.(2015）【极坐标方程求长度】在直角坐标系xOy 中,曲线1cos ,:sin ,x t C y t αα=⎧⎨=⎩（t 为参数,且0t ≠ ）,其中0απ≤<,在以O 为极点,x 轴正半轴为极轴的极坐标系中,曲线23:2sin ,:23cos .C C ρθρθ==（I ）求2C 与3C 交点的直角坐标；（II ）若1C 与 2C 相交于点A ,1C 与3C 相交于点B ,求AB 最大值.（2014）【根据极角范围求轨迹】在直角坐标系xoy 中，以坐标原点为极点，x 轴为极轴建立极坐标系，半圆C 的极坐标方程为2cos ρθ=，0,2πθ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦. （Ⅰ）求C 的参数方程；（Ⅱ）设点D 在C 上，C 在D 处的切线与直线:32l y x =+垂直，根据（Ⅰ）中你得到的参数方程，确定D 的坐标.（2013）【轨迹问题】已知动点P ，Q 都在曲线C ：2cos ,2sin x t y t =⎧⎨=⎩(t 为参数)上，对应参数分别为t ＝α与t ＝2α(0＜α＜2π)，M 为PQ 的中点．(1)求M 的轨迹的参数方程；(2)将M 到坐标原点的距离d 表示为α的函数，并判断M 的轨迹是否过坐标原点．（2012）【参数坐标求最值、范围】已知曲线1C 的参数方程是)(3s i n y 2c o s x 为参数ϕϕϕ⎩⎨⎧==，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立坐标系，曲线2C 的坐标系方程是2=ρ，正方形ABCD 的顶点都在2C 上，且,,,A B C D 依逆时针次序排列，点A 的极坐标为(2,)3π（1）求点,,,A B C D 的直角坐标；（2）设P 为1C 上任意一点，求2222PA PB PC PD +++的取值范围。

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12
t1 t2 2 4t1t2
16 5
，
|
PA
|
|
PB
||
t
t
1
|
2
12 5
6. 以直角坐标系的原点O 为极点， x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知点 P 的直角坐
(3, )
标为 (1,2) ，点 M 的极坐标为
2
lP
6
CM
，若直线过点，且倾斜角为，圆以为圆心，
3 为半径．
1 求直线l 的参数方程和圆C 的极坐标方程；
2 设直线l 与圆C 相交于 A, B 两点，求 PA PB ．
x 1
3 t,
y 2
2 1 t,
解：（1）直线l 的参数方程为
2 (t为参数），（答案不唯一，可酌情给分）
圆的极坐标方程为 6 sin .
x 1
3 t,
2
y 2 1 t,
x2 ( y 3)2 9
t2 (
（2）把
高考极坐标与参数方程大题题型汇总
x 1 cos
1. 在直角坐标系 xoy 中，圆 C 的参数方程 y sin
( 为参数）．以 O 为极点， x 轴
的非负半轴为极轴建立极坐标系．
1 求圆C 的极坐标方程； 2 直线l的极坐标方程是 (sin 3 cos ) 3 3 ，射线OM : 与圆C 的交点
3x 4 y 3a 4 0 ，∵直线l 截圆 M 所得弦长为 3 ，且圆 M 的圆心 M (0,3) 到直线
l 的距离 d |16 3a | 12 ( 3 )2 1 a 9 或 a 37 ，∴ a 37 或 a 9 ．(10
5
22
2
6
6
2
分）
x 2 5 cos 3. 已知曲线 C 的参数方程为 y 1 5sin
x cos 将 y sin 代入并化简得：
=4cosθ+2sinθ
即曲线 c 的极坐标方程为 =4cosθ+2sinθ (2)
∵ l 的直角坐标方程为 x+y-1=0 2
∴圆心 c 到直线l 的距离为 d= 2 = 2 ∴弦长为 2 5 2 =2 3
x2 y2 1
4. 已知曲线C ： 9
，以坐标原点为极点， x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直
解得
.
1 3
设 ( 2 2, )为点Q 的极坐标，则有 2(sin 2
3 cos 2 ) 33
3
2
解得
2 3
2 3
由于 1 2，所以 PQ 1
2 ，所以线段 PQ 的长为 2.
2
2. 已知直线l 的参数方程为xy3t4t 1 a （ t 为参数），在直角坐标系 xOy 中，以O点为极点， x 轴的非负半轴为极轴，以相同的长度单位建立极坐标系，设圆 M 的方程为
2 6 sin 8 ． 1 求圆 M 的直角坐标方程； 2 若直线l 截圆 M 所得弦长为 3 ，求实数a 的值．
解：（1）∵ 2 6 sin 8 x2 y2 6 y 8 x2 (y 3)2 1， ∴圆 M 的直角坐标方程为 x2 ( y 3)2 1；(5 分）
（2）把直线l 的参数方程x 4t a （t 为参数）化为普通方程得： y 3t 1
2 代入
，得
1)t 7 0
3
，
t1t2 7 ，设点 A, B 对应的参数分别为 t1, t2 ，则 PA t1 , PB t2 ,
PA PB 7.
2
x 2 y
2t 2t
7. 在平面直角坐标系 xOy 中，直线 l 的参数方程是
2
（t 为参数），以原点 O
为极点，以 x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，已知圆 C 的极坐标方程为
所以 1 t2
(t1t )22 4tt 1 2 2 6.
4 2 cos( )
4.
（1）将圆 C 的极坐标方程化为直角坐标方程；
（2）若直线 l 与圆C 交于A，B 两点，点 P 的坐标为(2,0) ，试求
4 2 cos( )
解：（1）由
4 ，展开化为
11 PA PB
的值.
2 4 2 2 ( cos sin ) 4( cos sin )
2
，
sin(
l
4) 2
线的极坐标方程为
.
1 写出曲线C 的参数方程，直线l 的直角坐标方程；
2 设 P 是曲线C 上任一点，求 P 到直线l 的距离的最大值.
C
xy3sicnos
解：（1）曲线的参数方程为
（为参数），
直线l 的直角坐标方程为 x y 2 0
（2）设 P(3cos , sin ) ，
xy
cos sin
x2 y2 4x 4y0
将
代入,得
，
所以，圆 C 的直角坐标方程是x2y2 4x 4y0 .
2
x22t
y
2 t
（2）把直线l的参数方程
2
（t 为参数）代入圆的方程并整理，
可得：t2 2 2t4 0 .
设 A，B 两点对应的参数分别为1,t2，
则
1 t2 2 2,1 t2 4 0，
Ox 轴正半轴为极轴建立极坐标系。
( 为参数)，以直角坐标系原点为极点，
1 求曲线 c 的极坐标方程
2 若直线l 的极坐标方程为 (sinθ+cosθ)=1，求直线l 被曲线 c 截得的弦长。
x 2 5 cos 解：(1)∵曲线 c 的参数方程为y 1 5 sin
(α 为参数)
∴曲线 c 的普通方程为(x-2)2+(y-1)2=5
P
l
d 3cos
到直线的距离
sin 2
2
10 cos( ) 2
tan
1 3
2
（其中为锐角，且
）
当 cos( )1时， P 到直线l 的距离的最大值dmax 5 2
x 2cos 5. 设经过点 P(1, 0) 的直线l 交曲线 C： y 3 sin ( 为参数)于 A、B 两点．
（1）写出曲线 C 的普通方程；
（2）当直线l 的倾斜角 60 时，求| PA | | PB | 与| PA | | PB | 的值．
x2 y2 1
解：（1）C ： 4 3 ．
x 1 1 t
y
2 3t
（2）设 l ：
2
（t 为参数）
联立得： 5t 2 4t 12 0
| PA | | PB || t t |
3 为O 、 P ,与直线l 的交点为Q ，求线段 PQ 的长．
解:(1)圆 C 的普通方程是(x 1)2 y2 1，又 x c标方程是 2 cos .
---5 分
(2)设 ( 1 ,1 )为点 P 的极坐标，则有 1 2cos 1 1 3
1 1