毕达哥拉斯学派与第一次数学危机

毕达哥拉斯学派与第一次数学危机

王立波

古希腊数学家芝诺曾经提出一系列关于运动的不可分性的悖论，其中最著名的便是“芝诺悖论”（也被称为“两分法悖论”）。其论点为： 因为一运动物体在到达目的地之前，必须先抵达距离目的地之一半的位置，即：若要从A 处到达B 处，必须先到AB 中点C ，要到达C ，又须先到达AC 的中点D ，如此继续划分下去，所谓的“一半距离”数值将越来越小。最后“一半距离”几乎可被视为零。这就形成了此一物体若要从A 移动到B ，必须先停留在A 的悖论。这样一来，此物体将永远停留在初始位置（或者说物体初始运动所经过的距离近似0），以至这物体的运动几乎不能开始。中国古代的名家惠施也提出过，“飞鸟之景，未尝动也”的类似说法。这些悖论由于被记录在亚里士多德的《物理学》一书中而为后人所知。而芝诺就是毕达哥拉斯学派的成员之一。

毕达哥拉斯学派（亦称“南意大利学派”）是由古希腊哲学家毕达哥拉斯创立的一个集政治、学术、宗教三位于一体的组织。毕达哥拉斯学派认为数是万物的本原，事物的性质是由某种数量关系决定的，万物按照一定的数量比例而构成和谐的秩序；由此他们提出了“美是和谐”的观点。

毕达哥拉斯学派在数学上的一项重大发现是证明了毕达哥拉斯定理即我们所说的勾股定理。就是指直角三角形三边有如下关系的一个命题，即：

222c b a =+ (1)

a 和

b 分别代表直角三角形的两条直角边，

c 表示斜边。这个学派还认为满足（1）式的数有无穷多个，并提供了下述三元数组，即若是奇数，并且1>m ,则有:

m a =,)1(212-=m b ,)1(2

12+=m c (2)

这三元数组只是使（1）式成立的充分条件，而不是必要条件。当毕达哥拉斯学派进一步致力于等式（1）和等式（2）的研究时，米太旁登的希帕苏斯，发现了在等腰直角三角形中，（1）式中出现了下述结果：

222c a = (3)

如果直角三角形的两条直角边都等于1 时，其斜边的长就恰好等于2。而12与找不到可以公度的几何实体，这在当时的认识水平下，无疑是一个矛盾。此外，2是否是个数？对于毕达哥拉斯学派来说，这确实是一个可怕的问题。因为如果承认它是数，就要与“数即万物”中所说的整数发生不可调和的矛盾。相传当时毕达哥拉斯学派的人正在海上，就因这一发现把希帕苏斯投到海里，因为他在宇宙中搞出这样一个东西否定了毕达哥拉斯学派的信条——宇宙中的一切现象都归结为正整数或正整数之比。等式(3）所引出的2对于毕达哥拉斯学派是一个致命的打击。“ 数即万物”的世界观被彻底地动摇了。由此引发了数学的第一次危机!

第一次数学危机的影响是巨大的。

首先，它推动了数学及其相关学科的发展。例如，欧几里得几何就是在第一次数学危机中产生的。除此而外，数理天文学的发展也有赖于第一次数学危机。由于宇宙是几何的，宇宙的规律是几何规律，因此研究宇宙就离不开几何图形以及几何理论。 其次，第一次数学危机使古希腊数学基础发生了根本性的变化。我们知道，在第一次数学危机之前，古希腊的数学是以数为基础的。第一次数学危机之后，古希腊的数学基础则转向几何。以几何为基础，使数学的公理化成为可能。

最后，数学公理系统的建立，还对整个科学的发展起了巨大的推动作用。我们知道，近代科学诞生于西方，其原因是多方

面的。譬如，生产的发展、实验之风的流行、文艺复兴运动或宗教改革运动带来的思想解放，等等。但我们若追根溯源就会发现，近代科学的源头是古希腊文明。古希腊文明包括很多因素，但与近代科学最直接相关的是它的科学精神和科学方法。古希腊的数学公理系统，是它的科学精神和科学方法的集中体现。近代西方学者正是通过学习古希腊的数学公理系统，才领悟并把握古希腊的科学精神和科学方法的。借助这种科学精神和科学方法，他们创立了近代科学。

参考文献

1.毛建儒，《第一次数学分析及其哲学分析》

2.赵文军《论第一次数学危机产生的原因和影响》

3、（美）H.伊夫斯，《数学史概论》，欧阳绛等译