(完整版)椭圆双曲线的离心率专题复习.

如果通过设椭圆上的点P(x，y)，利用椭圆本 身的范围，也可以求出离心率e的范围．在本题 中，运用此法可以做，但比较复杂（关键是点P的 坐标不易表示）．因此，在解题过程中要注意方法 的选择．
思路2：利用基本不等式
由椭圆的定义有： 2a | PF1|| PF2 |
两边平方后得：
4a2 | PF1 |2 | PF2 |2 2 | PF1 | | PF2 | 2(| PF1 |2 | PF2 |2 ) 2 | F1F2 |2 8c2
2 2

y2 b2
1(a

0, b

0)
的左、右焦点，过F1且垂直于x轴的直线与
双曲线交于A，B两点，若△ABF2是直角三角
形，求该双曲线离心率的值。
解：由
AF1

F1F2
有 b2 a
2c
即：b2 2ac c2 a2 2ac
e2 1 2e e 1 2
题型二:求离心率的取值范围：
即a2

e2 x2

2c2，x2

2c2 e2
a2
又点P（x，y）在椭圆上，
且x a，则知0 x2 a2，即
0
2c2 a2 e2
a2得e [
2 ，1） 2
关键：建立离心率与变量X的等量关系
思路4：利用三角函数有界性
设 PF1F2 ，PF2 F1 ，由正弦定理有
如果我们从几何的角度考虑，易知PF 不超过a＋c，得到一个关于基本量a，b， c，e的不等式，从而求出离心率e的范围；
解法一：椭圆上存在点P，使得线段AP的垂直平
分线过点F，即PF＝FA． 而FA＝ac2－c，PF≤a＋c， 所以ac2－c≤a＋c． 又e=ac，所以2e2＋e－1≥0，解得12≤e＜1．
由椭圆定义知
| PF1|| PF2 | 2a | PF1|2 | PF2 |2 2| PF1|| PF2 | 4a 2
如果我们通过设椭圆上的点P(x，y)，注意到
椭圆本身的范围，也可以求出离心率e的范围．
解法二：设点P(x，y)．由题意，椭圆上存在点P，使得线段AP 的垂直平分线过点F，所以PF＝FA． 由 acP2－F x＝e，所以PF＝a－ex．而FA＝ac2－c， 所以a－ex ＝ac2－c，解出x＝1e(a＋c－ac2)． 由于－a≤x≤a，所以－a≤1e(a＋c－ac2)≤a， 所以2e2＋e－1≥0，解得12≤e＜1．
2.利用源自文库知条件建立a,c的等量关系
例 2：在平面直角坐标系中，椭圆ax22＋by22＝1(a＞b＞0)的
焦距为 2c，以 O 为圆心，a 为半径的圆，过点
(
a2 c
，
0)
作
圆
的
两
切
线
互
相
垂
直
，
则
y
离
心
率
e= ．
A
O
Px
B
2.利用已知条件建立a,c的等量关系：
例3：已知F1，F2分别是双曲线
x a
4.焦半径： PF ed
题型一:求离心率的值：
1、根据条件先求出 a，c，利用 e=ac求解
例1. 已知椭圆经过原点，且焦点为 F1(1，0)，F2(3，0)，求椭圆离 心率的值。
解析：由 F1、F2 的坐标知 2c=3﹣1， ∴c=1，又∵椭圆过原点，∴a﹣c=1， a+c=3，∴a=2，c=1, 所以离心率 e=ac=12.故选 C.
例4. 设M点是椭圆
x2 a2

y2 b2
1(a
0,b
0)
上一 点，F1、F2为椭圆的左右焦点，如果
∠F1MF2=900，求此椭圆的离心率的取值范
围。
Y
问题的关键是寻 找a、c的不等关 系
M
F1 O F2
X
思路1：巧用图形的几何特性
由 F1PF2 90，知点P在以| F1F2 | 2c 为直径的圆上。又点P在椭圆上，因此 该圆与椭圆有公共点P故有
| PF1 |
sin

| PF2 |
sin

| F1F2 | sin 90
|
F1F2
|
又 | PF1 | | PF2 | 2a，| F1F2 | 2c，则有
e c
1

a sin cos
2
1
sin(


)

2 2
4
从而可得 2 e 1 2
思路5：利用二次方程有实根
胡光启
知识回顾：
1.离心率的定义：e

c a
2.椭圆离心率的取值范围？离心率变
化对椭圆的扁平程度有什么影响？
e∈(0，1).
e越接近于0，椭圆越圆；
e越接近于1，椭圆越扁.
知识回顾：
3.双曲线离心率的取值范围？离心率 的变化对双曲线的扁平程度有什么影响？
e∈(1，+ ).
e越大，双曲线开口越开阔； e越接近于1，双曲线开口越窄.
c b c2 b2 a2 c2
由此可得e [ 2 ，1） 2
问题二：椭圆
x2 a2
＋
y2 b2
＝1(a＞b＞0)的右焦点F，其右准线与x
轴的交点为A，在椭圆上存在点P满足线段AP的垂
直平分线过点F，则椭圆离心
y
率的取值范围是
．
P
O
F
Ax
分析：由题意，椭圆上存在点P，使得线段AP的 垂直平分线过点F，即F点到P点与A点的 距离相等，即PF＝FA．
得 c2 a2

1 2
所以有e [ 2 ，1） 2
思路3：利用焦半径
由焦半径公式得
| PF1 | a ex，| PF2 | a ex又由| PF1 |2 | PF2 |2 | F1F2 |2 ， 所以有a2 2cx e2x2 a2 2cx e2x2 4c2
证明，在△F1PF2中，由余弦定理得，
cosF1PF2
PF1 2 PF2 2 F1F2 2 2 PF1 PF2
1
2
PF1 PF2 2 F1F2 2 a2 2c2
1 2
PF1 PF2
2
a2
当且仅当PF1＝PF2时，等号成立，即当M与椭圆
的短轴的顶点B1（或B2）时∠F1MF2最大．
问题三：已知椭圆xa22＋by22＝1(a＞b＞0)的焦点分别为F1，
F2，若该椭圆上存在一点P，使得∠F1PF2＝60°，
则椭圆离心率的取值范围是
．
y
B1 P
F1 O
F2
x
B2
分析：如果我们考虑几何的大小，我们发现当M为椭 圆的短轴的顶点B1（或B2）时∠F1PF2最大（需要 证明），从而有0＜∠F1PF2≤∠F1 B1F2．根据条 件可得∠F1 B1F2≥60°，易得ac≥12．故12≤e＜1．