高级微观经济学课件(上海财经大学夏纪军)2资料
高级微观经济课件
——愈来愈深化的问题,愈来愈能启发
新问题的问题。‛
5. 关于教材
教材:范里安:《微观经济学:现代观 点》(第八版),上海三联书店、上海人
民出版社2011年1月版
6. 主要参考书: 平狄克、鲁宾费尔德:《微观经济学》(
第七版),中国人民大学出版社2009年
7. 参考文献 ①图书:《经济学方法》,复旦大学出版社 2006年版 《青年经济学家指南》,上海财经大学出版 社2001年版 《应用经济学研究方法论》,经济科学出版 社1998年版 ②报刊杂志: 中国人民大学复印报刊资料经济类各专题、 CSSCI来源期刊
经济学中常用的数学理论
经济学是选择的科学,应用数学的目的——最优 化(优化理论) 数学分析、高等代数、微分方程、概率论、实变 函数、集合论、拓扑学、泛函分析——经济学语 言 经济学帝国主义——实证研究工具 社会科学研究现实的模式,数学研究逻辑可能的 模式。 理论研究:数理经济学(逻辑演绎) 经验研究:计量经济学(统计归纳)
数学(大海)与经济学(陆地)
人总希望脚踏实地。当被带离海岸线很远 时,会因失去对陆地的知觉而产生恐惧感 ,这是就初入海者而言的。渔民和航海家 则不同,他们会如鱼得水,如果把他们留 在岸边,他们会无所事事。但毕竟大多数 人都不是渔民和航海家,他们在海中游玩 时希望时刻看到岸边,并能随时上岸。岸 上的世界七彩斑斓,海中的世界单调乏味 ,但生命的本源却来自海洋。因此,我们 要培养自己在海中的生存能力。
know-what—知其然 显性知识 know-why—知其所以然 know-how—技巧、诀窍 隐性知识 know-who( 隔行如隔山
拥有:信息<知识<智慧<素质<觉悟
解决问题:?→。发现问题:?→? 波普尔《猜想与反驳》:‚科学和 知识的增长永远始于问题,终于问题
高级微观经济学2.ppt
analyze the maximum value function.
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2.1 Unconstrained Optimization
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2.2 Constrained Optimization
❖ 1. The same idea applies can be applied to the maximum-value function in constrained optimization.
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consume given income and prices.
❖ Note that the demand of a good depends on all prices. If we plot x1 (p, y) against pi, holding y and all prices other than pi constant, we get the demand curve of good i. A change in y or some pj , j≠ i, would be represented by a shift of the demand curve.
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5. Proof:
❖ (a) Multiplying both prices and income by the same factor leaves the budget set unchanged.
微观经济学课件-第三章消费者偏好
消费者偏好
应用1:边际替代率与交换
苹果与桔子
苹果 A
6
苹果 B
2
2
桔子
23
2
第二章 消费者选择理论
桔子
6
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消费者偏好
6 桔子 苹果
2
A
2
第二章 消费者选择理论
2
B
2
苹果 桔子 6
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消费者偏好
应用1:边际替代率与交换
交换比率(苹果:桔子)与交换结果:
初始拥有量 交换比例
在新产品开发投资中,是注重改进性能还是手机 的外观款式?
第二章 消费者选择理论
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消费者偏好
案例1:手机的设计
对消费者偏好的分析能够帮助企业决定什么 时候引入新产品,以及开发重点放在性能方 面还是款式方面。
第二章 消费者选择理论
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消费者偏好
款式
消费者喜欢 漂亮的外观: 较低的MRS
2
如果两条曲线相交于 A点,而组合 B属于U 2 ,
组合 D属于U 1 。根据偏好关系的传递性得到 B~D
,这与 B 和 D 在不同的无差异曲线上,具有不
同满足水平矛盾。
第二章 消费者选择理论
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消费者偏好
服装/周
U2 U1
无差异曲线不能相交
A D
根据传递性消费对于 A, B 和 D无差异,但是, 很显然B 在两种水平上 的消费量都要大于 D.
微观经济学课件-第三章消费者偏好
第三章
消费者偏好
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上海财经大学 经济学院
消费者偏好
《高级微观经济学》课件
公共支出
政府通过提供公共服务和基础 设施,弥补市场失灵,提高社 会福利。
监管和行政干预
政府对市场进行监管和行政干 预,防止垄断和不公平竞争。
市场失灵与政府干预的案例分析
环境污染案例
政府通过制定环保法规和排污标准,限制企 业排污,保护环境。
医疗保障案例
政府通过提供医疗保险和医疗救助,弥补市 场失灵,保障公民健康。
最优消费选择
在预算约束下,消费者选择能够最大化效用的商品组合。
边际替代效应
描述消费者在保持效用不变的情况下,一种商品对另一种商品的 替代程度。
消费者行为理论的扩展
风险偏好与不确定性
研究消费者在面临风险和不确定性时的消费行 为。
跨期消费选择
探讨消费者在不同时期之间的消费决策和储蓄 行为。
消费外部性
分析消费行为对其他个体或社会的影响,以及如何通过政策干预来改善消费行 为。
微观经济学的重要性
微观经济学是现代经济学的重要组成部分,它为政策制定者、企业家和消费者提供了理解和预测市场运作的基础 。通过研究微观经济学,人们可以更好地理解市场机制、价格体系和资源配置,从而做出更明智的决策。
微观经济学的基本假设和概念
基本假设
微观经济学通常基于一些基本假设, 如完全竞争、理性行为、完全信息等 。这些假设为理论分析提供了基础, 但在实际生活中可能并不完全成立。
公共选择理论与政治经济学
01
公共选择理论
研究公共物品和服务的供给和需求,以及政府决策的经济学分析。
02
政治经济学
研究政治和经济之间的相互作用,以及政治制度对经济发展的影响。
03
总结
公共选择理论和政治经济学是微观经济学的前沿领域,它们对于理解政
高级微观经济学(上海财经大学 陶佶)note02
Let x1 , x2 and x3 be any three consumption bundles in X .
Axiom 2.1 - Complete. Either x1 \ x2 or x2 \ x1 .
上海财大经济学院
2
作者:陶佶
2005 年秋季
高等微观经济学 I
Axiom 2.2 - Reflexive. For all x in X , x \ x . Axiom 2.3 - Transitive. If x1 \ x2 and x2 \ x3 , then x1 \ x3 .
Let X be a consumption set, a collection of all alternatives or complete consumption plans. The consumption set is also called as the choice set. Let xi ∈ be the number of units of ith
good, and x = ( x1, x2 , , xn ) be a vector containing different quantities of n commodities,
called as a consumption bundle or a consumption plan.
Properties of the Consumption Set, X : The minimal requirements are
Terminology 1. Let x0 be any points in the consumption set X . Relative to any such point,
高级微观经济学第一节PPT课件
根据这个定义,如果围绕一个集 合,总是能够画出某个球,则该 集合是有界的。
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数学基础(一)
upper and lower bound of S in R
upper bound: u ux, xS
商品定义
时点:
➢ 今天的面包 VS 每天的面包
地点:
➢ 上海的房产与北京的房产
状态:
➢ 生产期为1天的面包与生产期为2天的面包
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1.1 消费集
例:跨期消费决策
两种商品:
➢ x 1 : 第一期消费
➢ x 2 : 第二期消费
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凸集是形状良好的,没有孔洞,没有断点, 没有令人不愉快的曲率。完美的集合!
定理A1.1 凸集的交集也是凸集
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数学基础(一)A1.2.3关系与函数
:binary relation between S and T
Any collection of ordered pairs
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数学基础(一)
Bounded Sets (有界集)
A set S in Rn is called bounded if it is entirely contained within some ball.
高级微观经济学(上海财经大学 陶佶)note01
d x , y ≡ ( x1 − y1 ) 2 + ( x2 − y2 ) 2 ≡ x − y
for x and y in . It is obvious to see that the space with the metric d above is a metric space. The metric d called as Euclidean metric or Euclidean norm (欧几里德范数) can be generalized to an n-dimensional Euclidean space. Definition 8. Open and Closed ε -Balls (开球和闭球): Let ε be a real positive number.
11nn10and0nnnn?????????????
2005 年秋季
高等微观经济学 I
实分析简介
Lecture Note I
1. Logic Consider two statements, A and B. Suppose B ⇒ A is true. 1. A is necessary (必要条件) for B. 2. B is sufficient (充分条件) for A. Contra-positive (逆否) form of B ⇒ A: ~A ⇒ ~B. If both A ⇒ B and B ⇒ A are true, then A and B are equivalent: A ⇔ B. 2. Set Theory We begin with a few definitions. A set (集合) is a collection of objects called elements (元素). Usually, sets are denoted by the capital letters A, B,
高级微观经济学课件上海财经大学夏纪军 .ppt
抵赖 坦白
囚徒1
抵赖 坦白
-1,-1 0, -9
-9, 0 -8 -8
22
合作博弈与非合作博弈
如果参与者能够达成有约束力的协议,那么该 博弈称为合作博弈 (Cooperative Game)
23
参与者2
L
M
R
U 3,0 0,-5 0,-4 参与者1 C 1,-1 3,3 -2,4
存在性、唯一性
10
信息
共同知识(Common Knowledge)
我们说知识M是共同知识,如果每个参与者知 道M,每个参与者知道“每个参与者知道 M”,……
11
信息
私人信息
在博弈中(开始博弈前或博弈中),参与者 i 的私人信息是指他知道,但不是所有参与者的 共同知识。
12
信息
不完全信息博弈
D 2,4 4,1 -1,8
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严格劣战略 称参与者战略 sˆi 是战略 si 的严格占优战略,
如果有
ui (sˆi , si ) ui (si , si ) si Si
同时称 si 为参与者在S上的严格劣战略
25
严格劣战略 对于战略 si ,如果存在战略 sˆi,
Ch 7 Game Theory: Introduction
1
博弈论初步
博弈的描述
参与者(players) 行动(actions) 信息(information) 战略(strategies) 支付(payoff)
2
Байду номын сангаас
博弈的描述
参与者 N
决策主体,其目标是通过选择行动来最大化 自身的效用
高级微观经济学讲义-577页文档
(PF = 1/2)
(PF = 2)
食物
40
80
120
Chapter 1
160 (单位/周)
28
预算约束
预算约束
• 两件商品和劳务
P X X P Y Y I,X 0 ,Y 0
• N件商品和劳务
P 1 X 1 P 2 X 2 P n X n I ,X i 0 , i 1 , 2 , n
O
50
C
Chapter 1
33
消费者偏好和无差异曲线
关于消费选择的基本假设
• 完备性假设:给定消费空间里任何一对消费组 合A和B,下列三者关系之一必成立:或者A>B, 或者B>A,或者A∽B。这意味着,消费者可以 在两组消费组合中作出一种明确的判断。
Chapter 1
34
消费者偏好和无差异曲线
预期、相关商品的价格 • 需求函数(求曲线) • 需求的变动和需求量的变动 • 需求规律(法则)
Chapter 1
15
经济学基础-需求和供给
供给
• 企业供给、市场供给 • 价格、生产技术、劳动、资本、原料等的投入
品价格 • 供给函数(供给曲线) • 供给的变动和供给量的变动 • 供给规律(法则)
Chapter 1
36
消费者偏好和无差异曲线
无差异曲线
无差异曲线代表了能给一个人相同程度满足 的市场篮子的所有商品组合。
无差异曲线包含了全体给予某消费者同等满 意程度的消费组合。
Chapter 1
37
消费者偏好和无差异曲线
衣服(单位/周)
50
B
40
H
比起蓝色方框中的任一市场篮子, 消费者偏好于市场篮子A; 而比起市场篮子A,消费者偏好于 粉红色方框中的任一市场篮子。 (“多比少好”的第三个假定)
高级微观经济学第二讲
• 但是,进一步仔细观察就会发现,商品的 买卖活动不见得要在某个固定或特定地方 或场所进行,它可以分散在许多不同的地 方。由此可见,交易活动的场所并不是市 场的特征。
• 但是,任何市场都离不开买者、卖者以及 他们之间的交易活动,缺少其中任何一个, 市场都无法形成。三者并存才能使交易活 动得以进行,从而才能形成市场。因此, 买卖双方及其交易才是构成市场的基本要 素。经济学最关心的是交易活动如何影响 和决定商品的价格。
• 所谓完全的信息,是指买卖双方完全了解市场现在和未来 的情况,信息不需付出任何代价即可得到。因此,完全市 场中没有不确定性问题,一切都是事先可知的,至少客观 概率存在。信息的畅通,使得买卖双方对市场上的任何变 化都了如指掌。 • 第二个条件是说买卖双方听从价格召唤,完全依据价格行 事。某个销售者抬高物价,他就会失去顾客;反之,降价 则会招引顾客。为了获利,卖者必然希望高价售出他的商 品,而买者必然希望低价买进他所需的商品。在这种频繁 的买卖交易过程中,价格在不同买者与卖者之间的差别便 会趋于消失。
• (一)经济人是经济活动的主体 经济学中所说的人是经济人(agent),是 发生经济活动的社会基本单位。他可以是 一个个人、一个家庭 、一个集团或者一个 组织,具有独立的决策机构或中心,这个 机构或中心决定和指挥着它的一切经济活 动。因此,经济人是经济活动的主体。
• 经济人概念的关键,在于经济人能够独立 决策。例如一个企业是一个经济人,企业 具有领导核心机构(如董事会、董事长、总 经理),这个机构决定和指挥着企业的一切 经济活动。企业雇用的工人不是企业经济 人,因为他决定不了企业的经济活动。但 工人是劳动活动的主体,他有权决定自己 是否向企业提供劳动,因而工人作为劳动 者一方是劳动经济人。
上海财经大学经济学课件m
少数几家大企业占据大部分市场份额,价格由几家企业协商决定。
消费者行为
消费者如何根据价格、收入和个人偏好做出购买决策,以及如何最大化其效用或满足度。
生产者行为
生产者如何根据成本、市场条件和生产要素价格决定生产什么、生产多少以及如何生产。
边际分析
分析决策时考虑边际成本和边际收益的方法,是消费者和生产者行为分析的重要工具。
失业与通货膨胀
失业与通货膨胀
总结词:菲利普斯曲线是描述失业率与通货膨胀率之间关系的曲线。
宏观经济政策是指政府为了实现一定的经济目标而采取的一系列措施的总称。
总结词
宏观经济政策的主要目标是实现经济增长、物价稳定、国际收支平衡等
详细描述
宏观经济政策
04
CHAPTER
国际经济学
国际贸易的概念
国际贸易是指不同国家之间进行的商品和服务的交换,是全球经济的核心组成部分。
01
03
CHAPTER
宏观经济学
要点三
总结词
国民收入核算是对一个国家或地区一定时期内所有居民所获得的最终产品和劳务的价值总和的统计。
要点一
要点二
详细描述
国民收入核算主要关注一个国家或地区在一定时期内的总收入,包括工资、利润、利息、租金等收入,以及折旧和间接税等。国民收入核算的目的是了解一个国家或地区的经济规模和结构,为制定经济政策提供依据。
经济学的核心目标是提高人类社会的整体福利水平,它通过研究经济增长、就业、价格水平、国际收支等问题来实现这一目标。
经济学定义
经济学的研究对象是经济现象和人类经济行为,它关注的是人类如何利用稀缺资源来满足需求和欲望。
经济学还采用了数学、统计学、计量经济学等定量分析工具,以及案例研究、实验等方法来深入探究经济问题。
高级微观经济学上财经济学院课件(1)
2. Utility function is a convenient way to describe a preference relation. For example, if I tell you that my preferences over apples and bananas is u (a, b) = a0.5 + b, then you would know how I would choose between any combinations of apples and bananas. 3. Theorem. A preference relation can be represented by a utility function only if it
∀x, y ∈ X, y ≫ x =⇒ y (b) Strict monotonicity: The prtone if x
∀x, y ∈ X, y ≥ x =⇒ y while y ≫ x =⇒ y ≻ x. (c) Strong monotonicity: The preference
notation ∼ to represent the indifference relation. If x
strictly prefers x to x′ . We use ≻ to represent the strict preference relation. 5. The transitivity of implies the transitivity of ∼ and the transitivity of ≻, and vice
1.2
Utility function
1. A utility function defined over X assigns a real number to each member of X . We say a utility function u : Rn → R represents a preference relation and x′ , x x′ iff u(x) ≥ u(x′ ). if for any objects x
高级微观经济学课件(上海财经大学夏纪军) 3
L 1 2 * 1 0 x2
10 1 x1 -2 0=0
x1 10
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作业3
1.20、1.22、1.23、1.24、1.25、 1.26、1.27
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*
(2)
Slide 20
Ch 1.3.2 解的充要条件
定理1.4:内点解必要条件的充分性 * 如果效用函数连续拟凹,在 x 可导, 而且 (p,y) 0,* 0。那么满足以下必 x 要条件的解一定是消费者的效用最大 化解。
(1.10)
u (x ) * pi 0 xi
*
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Ch 1.3.2 解的充要条件
必要条件:Kuhn-Tucker条件
L u (x * ) * pi 0 I、 xi xi
u (x * ) xi* ( * pi ) 0 xi
II、 y p x 0
*
* (y p x* ) 0
Ch 1.3.1 解的性质:唯一性
非严格凸偏好
x2
x tx (1 t )x t [0,1]
t 1 2
x1 x2
x1
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Ch 1.3.1 解的性质:瓦尔拉斯法则
瓦尔拉斯法则
偏好的递增性
px
*
y
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Ch 1.3.1 解的性质
偏好的理性、连续性
Ch 1.3 消费者问题
Ch 1.3 消费者选择问题
最优解的性质 最优解的充分必要条件
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Ch 1.3 消费者选择问题
夏纪军-高级微观经济学讲义1
微观经济理论I上海财经大学经济学院1微观经济理论•参考书:–G. A. Jehle & P. Reny•Advanced Microeconomic Theory,–A. Mas-Colell, M. D. Whinston & J. R. Green •Microeconomic TheoryA. Rubinstein–A Rubinstein•Microeconomics Lecture noteVarian H R Microeconomic Analysis–Varian, H. R., Microeconomic Analysis2第一讲第讲偏好与选择31. 偏好与选择问题界定:选择函数(choice function)•(choice function)•偏好关系(preference relation)•显示偏好弱公理(weak Axiom of revealed preference)•理性选择与WA:选择函数的可合理化定理选择函数的可合理化定理41.1 选择函数择项•选择项:x–根据问题分析需要,设定个体可以选择的变量•比如–例1:利率或税收政策对消费会产生怎样的影响?•选项:x=(c1, c2)–例2:要素投入决策•选项:x=(k, l)–例3:地方政府基础设施投资激励•选项:x=(I i,C i )51.1 选择函数•选择项:x•选择集:X给定经济环境下,个体可以–想象自己可能选择的各种选择项的集合。
–根据经济环境设定每个变量可能的取值范围•例:•消费者选择集:={(0X {(c 1, c 2):c 1 0, c 2 0}•生产者选择集:X ={(k , l ):k 0, l 0}X 0•地方政府选择集:={(I i , C i ):I i 0, C i 0}61.1 选择函数•选择项:x•选择集:X•可行集:A X⊂–决策者可以选择的选项的集合–反映各种约束对选择的影响•例, c2):(1+r)c1+ c2≤(1+r)y1+ y2}消费者可行集{((1+)+(1+)+–消费者可行集:B={(c1–生产者可行集:B={(x1, x2):y≤f(k, l) }, C i):I i +C i ≤S+tF i }地方政府的可行集{(–地方政府的可行集:B={(Ii71.1 选择函数择项•选择项:x•选择集:X•可行集:A⊂X•D:可能的可行集的集合(X部分子集的集合)–例:–消费者可行集:B(r, y1,y2)–生产者可行集:B(ρ)–地方政府可行集: B(t, F,S)81.1 选择函数•例:大学的选择–可以申请的所有学校:X={x1,x2,..,x N}–A:接受申请的所有学校,可以从中选择一所接受申请的所有学校可以从中选择所–D:2N -1 种可能的选择情形(不考虑∅)•如果学校根据排名,从高到低进行了排序,而且排名高的学校录取了该学生,排名较低的学校都会录取。
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{x Rn+ a u(x) b} (定义)
{x
R
n +
ae
u(x) e
b e}(单调性)
{x
R
n +
ae
x
b e}
(传递性)
(ae) (be) 是开集
(因为 (ae)和 (be) 的补集是闭集)
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III、u(x) 是连续函数
数学基础:函数
连续性(Cauchy)
函数f : D R m在点x0 D处连续,如果 0,都 0,使得:f (B (x0 ) D) B ( f (x0 ))
Slide 3
数学基础:函数
象与原象(inverse image)
A D, f (A)是A的象; S Rn , f -1(S)是S的原象
定理A1.6:(P429)
f ( ) : R n R m,在任意开集S Rm
的逆央射 f 1(S ) 在 R n 是开集
f ( ) : R n R m 连续
u1((a, b)) 是开集
u(
)
:
R
n
R
连续
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1.2.2.2 效用函数的唯一性
设u(x) 表示的是偏好关系 · 的结构。
· 严格单调 u(x) 严格递增
x x0 ,都有x S(u(x0 ))
x2
S ( y0 )
x2 x0
L( y0)
x3
x1
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1.2.2.3 效用函数的性质
· 具有凸性 u(x) 拟凹
x1 · x2 xt · x2 t [0,1]
u(xt ) min{u(x1),u(x2 )}
R
n
由(P.1)式得到u(x1) 和u(x2 )
x1 · x2
u(x1) e · u(x2 ) e (传递性)
u(x1) u(x2 ) (严格单调性)
——u(x)是表示偏好关系 · 效用函数
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III、u(x)是连续函数
效用函数u(x)在开区间(a,b)上的逆央射(原象)
S(y) {x f (x) y}
证明:充分性 S( y)是凸集 f 是拟凹函数,
x1,x2 D,设f (x1) f (x2 ) y2 =min{ f (x1), f (x2 )}
x1,x2 S ( y2 ) S( y2 )是凸集 xt S ( y2 )
f (xt ) y2 min[ f (x1), f (x2 )]
e
x
B :{t 0 te ¶ x}
A, B 是非空闭集 0
x1
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I、效用函数的构造
严格单调性
如果t A 那么 t t 都有t A
t, A [t, ) (A是有下界闭集)
如果 t B 那么t tቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ都有t B
t , B [0, t ] (B是有界闭集)
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1.2.2.4 效用函数实例
位似偏好(homothetic preference)
x1 x0
x2
x1 x0 0
2X1
X1
2X0
X0
x1
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1.2.2.4 效用函数实例
位似偏好效用函数
如果 · 是位似偏好,那么就可以用一
个一次齐次效用函数来表示。
·
x1 u(x0 ) u(x1)
存在性
唯一性
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1.2.2.1 效用函数存在性
定理1.1 (P14)
定义在 X 的偏好关系满足连续性
和严格单调性,那么就存在一个
连续的实值函数
u(
)
:
R
n
R
表
示· 。
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1.2.2.1 效用函数存在性
定理1.1证明思路
1.2.2.2 效用函数的唯一性
定理1.2:效用函数对正单调不欢的 不变性 实值函数u(x)能够表示偏好关系· , 那么,当且仅当v(x)是u(x)的正单 调变换,v(x)也能够表示该偏好关系。
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1.2.2.3 效用函数的性质
效用函数与无差异曲线
无差异集:L(x0 ) {x u(x) u(x0) u0} u(x1, x2 ) u0 x2 g(x1, u0 )
假设 t1e x和t2e x
t1e t2e(传递性)
t1 t2 (严格单调性)
x R+ 存在唯一的 t*(x) 0使得 t*e x
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I、效用函数的构造
(P.1)u(x) : t*
x2
u(x)e x
e
0
x1
Slide 20
II、u(x) 是效用函数
x1 ,x 2
x2
x0
L (x0 )
x1
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1.2.2.3 效用函数的性质
上等值集(Superior Set)
S(u0) {x x X ,u(x) u0}
S(u0) {x x X ,u(x) u0}【严格上等值集】
x2
S (u0 )
x2 x0
L(u0 )
x3
x1
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1.2.2.3 效用函数的性质
2. if 0 u(x1, x2 ) x1 x2 3. if u(x1, x2 ) min{x1 , x2 ]
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作业2:
1.12、1.13、1.14、1.15
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u(x) x sin(x) u(x) 1 cos(x)
u()
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1.2.2.3 效用函数的性质
¿ 拟凹 边际效用递减
u(x) 是凹函数
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1.2.2.3 效用函数性质
海塞矩阵 H (x) 满足
u(x) 拟凹 zT H(x) z 0 s.t. " u(x) z=0
zMz 0
那么,称M是半负定矩阵; 如果不等号严格成立,那么称M为负定矩阵。
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数学基础:拟凹函数
f : D R是拟凹函数,如果对 x1,x2 D,都有 f (xt ) min[ f (x1), f (x2 )] t [0,1]
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数学基础:拟凹函数
定理 f : D R是拟凹函数,当且仅当 上等值集S( y)是凸集
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数学基础:函数
极值存在性定理
设S是Rn上的非空紧集,如果f : S R连续,
那么,存在x*,x S,使得:
f (x) f (x) f (x*) x S
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数学基础:多变量函数的微分
y f (x1, x2,.., xn )
一阶微分: f (x) f (x)
如果 · 是位似偏好,那么就可以用一
个一次齐次函数的正单调变换来表示。
u(x) g( f (x))
f ( )是一次齐次函数 g( )是单调递增函数
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1.2.2.4 效用函数实例
拟线性偏好(quasilinear preference)
偏好关系 · 是相对于商品1的拟 线性偏好,如果
先构造一个实值函数 然后证明它满足效用函数的条件
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I、效用函数的构造
e=(1,1,...,1)
te
X
R
n
t0
E {t e t 0} X
EA :{t e t e · x ,t 0} x2
EB :{t e t e ¶ x ,t 0}
连续性EA, EB是非空闭集 A :{t 0 te · x}
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数学基础:拟凹函数
f : D R是严格拟凹函数,如果对 x1,x2 D,都有 f (xt ) min[ f (x1), f (x2 )] t (0,1)
上等值集S( y)是严格凸集
x x
x
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数学基础:拟凹函数
定理:连续可微函数 f
f : D R是拟凹函数
x0 · x1 u(x0 ) u(x1)
v(x) u(x) 8
v(x) u(x)3
v(x) u(x)2
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1.2.2.2 效用函数的唯一性
正单调变化
v(x) f (u(x)) 其中
u f : R R在 的取值范围上是严格递增函数。
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" f (x)( x-x) 0 f (x) f (x) (1)
z H (x) z 0 f (x) z=0 (2)
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1.2.2 效用函数
定义1.5:
实值函数
u(
)
:
R
n
R
是表示偏
好关系 · 的效用函数,如果
x0
,x1
R
n
,
x0
f(x)是拟凹函数
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数学基础:拟凹函数
必要性:f 是拟凹函数 S( y)是凸集
x1,x2 S( y),y R 有f (x1) y, f (x2 ) y
f (x)是拟凹函数 f (xt ) min[ f (x1), f (x2 )] f (xt ) y xt S(y) S(y)是凸集