吉林大学《线性代数》线性代数1-7

x1 4x2 7x3 6x4 0
2 1 5 1
0 7 5 13
1 3 D
0
6 r1 2r2 1 3
0
6
0 2 1 2 r4 r2 0 2 1 2
1 4 7 6
0 7 7 12
7 5 13
3 5 3
2 1
2 c1 2c2 0
1
3 0
3 27
7 7 12 c3 2c2 7 7 2 7 2
x1
D1 D
, x2
D2 D
,L
, xn
Dn D
,
a11 L a1, j1 b1 a1, j1 L a11
❖ 其中 Dj M
MMM
M
an1 L an. j1 bn an, j1 L an1
解线性方程组
2x1 x2 5x3 x4 8
x1 3x2
6x4 9
2x2 x3 2x4 5
第一章
7、克拉默法则
n个线性方程的n元方程组
a11x1 a12 x2 L a1n xn b1
a21 x1
a22 x2
L M
a2n xn
b2
an1x1 an2 x2 L ann xn bn
克拉默法则
❖ 如果
a11 L D M
an1 L
a1n M 0 ann
❖ 则方程组有唯一解：
求曲线方程系数
y a0 a1x a2 x2 a3 x3
(1,3) (2, 4) (3,3) (4, 3)
a0 a1 a2 a3 3 a0 2a1 4a2 8a3 4 a0 3a1 9a2 27a3 3 a0 4a1 16a2 64a3 3
11 1 1
12 4 8
8 1 5 1
9 3 0 6
D1 5
2
1
61 2
0 4 7 6
21 8 1
1 3 9 6
D3 0
2
5
27 2
14 0 6
2 8 5 1
1 9 0 6
D2 0 5 1
108 2
1 0 7 6
2 1 5 8
1 3 0 9
D4 0
2
27 1 5
1 4 7 0
D 27, x1 3, x2 4, x3 1, x4 1
6 3
1 4 16 3
D 12
y 3 3 x 2x2 1 x3
2
2
解的唯一性与存在性
❖ 定理4:如果线性方程组的系数行列式非零， 则方程组一定有解，且解是唯一的。
D 0 唯一解
❖ 定理4’：如果方程组无解或者有两个不同的 解，则它的系数行列式必为零。
无解或不唯一解 D 0
方程解的三种情形
a21 x1
a22 x2
L M
a2n xn
0
an1x1 an2 x2 L ann xn 0
❖ 必然有零解 x1 x2 L xn 0 ❖ 关心是否有非零解。
齐次线性方程组的解
❖ 只有零解
3x 2y 0
2x
y
0
3 2
D
0
21
❖ 无穷多组解
3x 2y 0 6x 4y 0
3 2
D
0
6 4
x 0
y
0
x
2 3
t
, (t
R)
y t
有非零解？
(5 )x 2 y 2z 0
2x
(6
)
y
0
2x
(4 )z 0
5 2 2 D 2 6 0
2 0 4 (5 )(2 )(8 )
2,5,8 D 0 唯一零解
❖ 其它情况下，验证之后都有非零解。
❖
唯一解
3x 2y 12
2x y 1
❖ 无穷多3解x 2y 12
6x 4y 24
❖ 无解3x 2y 12
6x 4y 25
3 2
D
0
21
3 2
D
0
6 4
3 2
D
0
6 4
x2
y
3
x
4
2 3
t
,
(t
R)
y t
3x 2y 12
0 1
齐次方程组
a11x1 a12 x2 L a1n xn 0
D
12
1 3 9 27
百度文库
1 4 16 64
范德蒙德行列式
311 1
424 8
D1 3
3
9
36 27
3 4 16 64
13 1 1
14 4 8
D2 1 3
18 9 27
1 3 16 64
11 3 1
12 4 8
D3 1 3
3
24 27
1 4 3 64
11 1 3
12 4 4
D4 1 3 9