吉林大学《线性代数》线性代数1-7
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吉林大学《线性代数》线性代数1-7.ppt
424 8
D1 3
3
9
36 27
3 4 16 64
13 1 1
14 4 8
D2 1 3
18 9 27
1 3 16 64
11 3 1
12 4 8
D3 1 3
3
24 27
1 4 3 64
11 1 3
12 4 4
D4 1 3 9
6 3
1 4 16 3
D 12
y 3 3 x 2x2 1 x3
6x 4y 24
❖ 无解3x 2y 12
6x 4y 25
3 2
D
0
21
3 2
D
0
6 4
3 2
D
0
6 4
x2
y
3
x
4
2 3
t
,
(t
R)
y t
3x 2y 12
0 1
齐次方程组
a11x1 a12 x2 a21x1 a22 x2 an1x1 an2 x2
a1n xn 0 a2n xn 0
0 4 7 6
21 8 1
1 3 9 6
D3 0
2
5
27 2
14 0 6
2 8 5 1
1 9 0 6
D2 0 5 1
108 2
1 0 7 6
2 1 5 8
1 3 0 9
D4 0
2
27 1 5
1 4 7 0
D 27, x1 3, x2 4, x3 1, x4 1
求曲线方程系数
y a0 a1x a2 x2 a3 x3
0 7 5 13
1 3 D
0
6 r1 2r2 1 3
吉林大学线性代数全集PPT精选文档
4
第一章 行列式
本章主要介绍n阶行列式的定义， 性质及其计算方法。此外还要介绍用 n阶行列式求解n元线性方程组的克拉
默（Cramer）法则。
5
§1 阶行列式的定义
一、n阶行列式的引出
1、 二元线性方程组
aa2111xx11aa1222xx22
b1 b2
6
用消元法求解，得：
(a1a 122a1a 221 )x1b1a22a1b 22 (a1a 122a1a 221 )x2a1b 12b1a21
3
x2
D2 D
1
x3
D3 D
1
21
3. n元线性方程组
a11x1a12x2
a21
x
1
a22
x2
an1x1 an2x2
a1nxn b1 a2nxn b2
annxn bn
22
构造：
a11 a12 a1n
D
a21
a22
a2n
an1 an2 ann
a11 b1 a1n
n
tt1t2tn ti
i1
28
例如，设排列3 2 5 1 4,其逆序数为：
t=1+3+0+1+0=5 当我们把上面排列改为 3 1 5 2 4，相当于 把3 2 5 1 4 这个排列的第2、4两个数码对 换（将一个排列中任意两个元素对调， 其余的元素不动，这种作出新排列的手 续叫做对换）。通过计算可知 3 1 5 2 4 的逆序数为
a12 a22
D2
a11b2
b1a21
a11 a21
b1 b2
9
方程组的解可以写成：
x1
x
第一章 行列式
本章主要介绍n阶行列式的定义， 性质及其计算方法。此外还要介绍用 n阶行列式求解n元线性方程组的克拉
默（Cramer）法则。
5
§1 阶行列式的定义
一、n阶行列式的引出
1、 二元线性方程组
aa2111xx11aa1222xx22
b1 b2
6
用消元法求解，得：
(a1a 122a1a 221 )x1b1a22a1b 22 (a1a 122a1a 221 )x2a1b 12b1a21
3
x2
D2 D
1
x3
D3 D
1
21
3. n元线性方程组
a11x1a12x2
a21
x
1
a22
x2
an1x1 an2x2
a1nxn b1 a2nxn b2
annxn bn
22
构造：
a11 a12 a1n
D
a21
a22
a2n
an1 an2 ann
a11 b1 a1n
n
tt1t2tn ti
i1
28
例如，设排列3 2 5 1 4,其逆序数为：
t=1+3+0+1+0=5 当我们把上面排列改为 3 1 5 2 4，相当于 把3 2 5 1 4 这个排列的第2、4两个数码对 换（将一个排列中任意两个元素对调， 其余的元素不动，这种作出新排列的手 续叫做对换）。通过计算可知 3 1 5 2 4 的逆序数为
a12 a22
D2
a11b2
b1a21
a11 a21
b1 b2
9
方程组的解可以写成：
x1
x
线性代数习题课吉林大学术洪亮
a11a23a32a44，a11a23a34a42 两项
行标按自然排列，列标排列旳逆序数为
J（1 3 2 4）= 1 J（1 3 4 2）= 2
a11a23a32a44旳项带负号,a11a23a34a42
旳项前带正号。
具有因子 a11a23 旳项为 - a11a23a32a44
a11a23 a34 a42
A44=4
(-1)(-2)+0×4 + 2 ×(- a)+4 ×4=0
a=9
例7：计算行列式
2 4 1 D1 3 6 3
5 10 4
解： D1 2 (6) 4 3101 (4) 3 (5)
1 (6)(5) (4) 3 4 310 2
48 30 60 30 48 60 0
p1 p2 pn
ann
1．行列式与它旳转置行列式相等；
2．互换行列式旳两行（列），行列式变号； 3．某行（列）有公因子能够提到行列式符号外面； 4．若行列式中某一行（列）旳全部元素均为两元素之和，则行
列式可写成两个行列式旳和； 5．行列式某行（列）旳K倍后加到另一行（列）代数习题课
吉林大学 术洪亮
第一讲 行 列 式
前面我们已经学习了关 于行列式旳概念和某些基本 理论，其主要内容可概括为：
行列式
概念 性质 展开定理 计算 应用
概念 性质
排列，逆序数，奇排列与偶排列
行 a11 a12
列 式
a21
a22
旳
定 义
an1
an 2
a1n
a2n
(1)t a1p1 a2 p2 anpn
1 0
4
0
1 0 1 1 0 2
2
2 4
行标按自然排列，列标排列旳逆序数为
J（1 3 2 4）= 1 J（1 3 4 2）= 2
a11a23a32a44旳项带负号,a11a23a34a42
旳项前带正号。
具有因子 a11a23 旳项为 - a11a23a32a44
a11a23 a34 a42
A44=4
(-1)(-2)+0×4 + 2 ×(- a)+4 ×4=0
a=9
例7：计算行列式
2 4 1 D1 3 6 3
5 10 4
解： D1 2 (6) 4 3101 (4) 3 (5)
1 (6)(5) (4) 3 4 310 2
48 30 60 30 48 60 0
p1 p2 pn
ann
1．行列式与它旳转置行列式相等；
2．互换行列式旳两行（列），行列式变号； 3．某行（列）有公因子能够提到行列式符号外面； 4．若行列式中某一行（列）旳全部元素均为两元素之和，则行
列式可写成两个行列式旳和； 5．行列式某行（列）旳K倍后加到另一行（列）代数习题课
吉林大学 术洪亮
第一讲 行 列 式
前面我们已经学习了关 于行列式旳概念和某些基本 理论，其主要内容可概括为：
行列式
概念 性质 展开定理 计算 应用
概念 性质
排列，逆序数，奇排列与偶排列
行 a11 a12
列 式
a21
a22
旳
定 义
an1
an 2
a1n
a2n
(1)t a1p1 a2 p2 anpn
1 0
4
0
1 0 1 1 0 2
2
2 4
吉林大学《线性代数》线性 习题2.ppt
an
an1
解矩阵方程
2 5 4 6
1
3
X
2
1
2
5
1
4
6
X
1
3
2
1
3 1
5 4
2
2
6
1
2 0
23
8
解矩阵方程
1 1
1 4 3
1
1
X
1
1
2 1
0 2
01
1 1 1 4 3 1
1
X
1
2
0
1
1 1 2 0
1
2
2
1
验证：A
1
1
2
此题书后答案有误
矩阵方程
AB A 2B (A 2E)B A B ( A 2E)1 A
AB E A2 B ( A E)B A2 E ( A E)(A E) B AE
矩阵方程
A*BA 2BA 8E
( A* 2E)BA 8E
B 8( A* 2E)1 A1
A*
5
2
2
1
A1
|
1 A|
A*
5
2
2
1
求逆矩阵
cos
sin
1
sin
cos
cos( ) sin( )
sin( )
cos( )
cos sin
sin
cos
AT A1 (正定矩阵)
旋转的逆变换 =顺时针旋转变换
求逆矩阵
对角矩阵的逆
a1
a2
1
a11
a21
习题2
矩阵
计算乘积
4 3 1 7 35
吉林大学《线性代数》线性代数17课xm4-1
等价说法
A : a1 , a2 ,L ,am B : b1 ,b2 ,L ,bl B能由A线性表示 存在一个矩阵K，使得B AK AX B，矩阵方程中X有解 R(A) R(A, B)
R( A) R(B)
例题3
A : a1 , a2 ,L ,am nm A (a1 , a2 ,L , am ) E (e1, e2 ,L en ) 单位坐标向量
第四章
向量组的线性相关性
向量
❖ n个有次序的数所组成的数组，称为n维向量。
a1, a2 ,L an
❖ 第i个数称为的第i个分量。
❖ 实向量，复向量。 ❖ 列矩阵 a,b,α,β ❖ 行矩阵 aT ,bT , αT ,βT
a1
a
a2
M
an
aT (a1, a2 ,L an )
空间
❖ 点和向量一一对应。 ❖ 向量构成空间
P(x, y, z) r (x, y, z)T
❖ 三维空间
R3 {r (x, y, z)T | x, y, z R}
❖ 平面
{P(x, y, z) | ax by cz d}
❖ n维空间，超平面：
Rn {r (x1, x2 ,L xn )T | x1, x2 ,L xn R} {x (x1, x2 ,L xn )T | a1x1 a2 x2 L an xn b}
M
kml
Kml (kij )
0 0
0
1
1
2 3
k1 k2
3 4
0 0
0
1
1
2 3
k3 k4
5 6
0 0
0
1
1
2 3
k5 k6
7 8
吉林大学《线性代数》线性代数22课xm5-1
长度
x y | x || y | cos
(x1, x2 , x3 ) ( y1, y2 , y3 ) x1 y1 x2 y2 x3 y3
|| x || 1，单位向量
长度性质
(i)x 0 || x || 0; x 0 || x || 0
(ii) || x ||| | || x ||
正交矩阵的性质
( A1 )T ( AT )1 ( A1 )1 AT A E | AT | | A | 1 | A |2 1 | A | 1 AT A1 , BT B1 ( AB)T BT AT B1 A1 ( AB)1
正不改变长度，常见的反射和旋转变换都是正交变换
夹角与正交
[x, y] 1 || x || || y ||
x 0, y 0
arccos [x, y]
|| x || || y || [x, y] 0，正交 x 0，与所有向量正交。
正交向量组
❖ 两两正交的向量组称为正交向量组
证明：设有1, 2 ,L r 使得1a1 2a2 L rar 0
a1T a2T
1 1
1 2
1 1
Ax 0
1 1
1 2
1 1
x1 x2 x3
0 0
A
~
1 0
1 3
1 0
~
1 0
0 1
1
0
x1 x3 x2 0
1 1
基础解系
0
,
a3
0
1
1
规范正交基
规范正交基便于计算坐标
a 1e1 2e2 L rer
[b1 , b1 ]
b2
a2
[a2 [b1
, ,
b1 b1
吉林大学《线性代数》2017-2018学年第一学期期末试卷B
共 4 页 第 1 页吉 林大 学 考 试 卷（B 卷） 课程名称 线性代数B 考试学期 17-18-2 得分 适用专业 13、42系 考试形式 开卷 考试时间长度 120分钟一、填空题(30分，每空3分) 1. 设)1,2(),1,1(=−=βα，则=T αβ ；=+βα ； 2. 设 −−=1111A ， −=11B ，则=AB ；=)(AB r ； 3. 设n 阶矩阵A 满足O E A A =−+2，则=+−1)(E A ； 4. 与向量)0 ,1 ,1(1−=α和)2 ,1 ,1(2−=α均正交的单位向量=3α ； 5. 设A 是53×阶矩阵，秩3)(=A r ，则齐次线性方程组0=Ax 的基础解系中含有 个解向量； 6. 设3阶矩阵B A ~，且矩阵A 的特征值为2,1,1−，则矩阵E B +的3个特征值分别是 ；行列式=+E B ； 7. 二次型32212321321424),,(x x x x x x x x x f +−+=对应矩阵=A 。
二、计算题（8分）计算行列式411211111−=D共 4 页 第 2 页三、（12分）假设=200011012A ，求矩阵方程X A E AX +=−的解。
四、（12分）设向量组A ： −=42111α， =21302α；与B ： =147031β，=105122β。
1. 证明向量组A 与B 等价；2. 求向量组A 与B 相互线性表示的表示系数。
共 4 页 第 3 页五、（15分）给定线性方程组 −=++−=++−=++322321321321λλλλx x x x x x x x x1. 参数λ取什么值时，上面的线性方程组无解、有唯一解和无穷解？2. 在方程组有无穷多解时，求出其通解。
六、（15分）设二次型323121232221321222222),,(x tx x tx x tx x x x x x x f −−−++=。
吉林大学《线性代数》线性代数06课xm2-2第二章
(iii) A(B C) AB AC (B C) A BA CA
ABCD ( AB)(CD) A(BC)D ACBD ( A B)( A B) AA AB BA BB ( A B)( A B) AA BA AB BB (3A 4B)( A 2B) 3AA 4BA 6AB 8BB
A
1
3
2 1
0
1
1 3
AT
2
1
0 1
转置的性质
(i) ( AT )T A (ii) ( A B)T AT BT
(iii) ( A)T AT
(iv) ( AB)T BT AT
( AB)T BT AT
3 4 5
1
2
1 2
1 2
3 3Biblioteka 4 45 5 9 18
12 24
1 3 1
| 10A | 1000 | A |
第二章 第二节
矩阵的运算
矩阵的加法
❖ 定义2：两个 m n 矩阵A,B
A (aij )
B (bij )
a11 b11
A
B
a21
b21
M
a12 b12 L a22 b22 L
M
am1 bm1 am2 bm2 L
a1n b1n
a2n
b2n
M
amn bmn
加法运算规律
cos k
sin
sin
cos
cos k cos sin k cos
sin cos
k k
sin sin
cos k sin sin k cos
sin
k
sin
cos
k
cos
cos(k sin(k
ABCD ( AB)(CD) A(BC)D ACBD ( A B)( A B) AA AB BA BB ( A B)( A B) AA BA AB BB (3A 4B)( A 2B) 3AA 4BA 6AB 8BB
A
1
3
2 1
0
1
1 3
AT
2
1
0 1
转置的性质
(i) ( AT )T A (ii) ( A B)T AT BT
(iii) ( A)T AT
(iv) ( AB)T BT AT
( AB)T BT AT
3 4 5
1
2
1 2
1 2
3 3Biblioteka 4 45 5 9 18
12 24
1 3 1
| 10A | 1000 | A |
第二章 第二节
矩阵的运算
矩阵的加法
❖ 定义2：两个 m n 矩阵A,B
A (aij )
B (bij )
a11 b11
A
B
a21
b21
M
a12 b12 L a22 b22 L
M
am1 bm1 am2 bm2 L
a1n b1n
a2n
b2n
M
amn bmn
加法运算规律
cos k
sin
sin
cos
cos k cos sin k cos
sin cos
k k
sin sin
cos k sin sin k cos
sin
k
sin
cos
k
cos
cos(k sin(k
吉林大学《线性代数》线性代数第二课xmxydluu1-4
a11 a12 L a1i L a1n a11 a12 L a '1i L a1n
D a21 a22 L a2i L a2n a21 a22 L a '2i L a2n
MM
M
M MM
M
M
an1 an2 L ani L ann an1 an2 L a 'ni L ann
1 81 4 1 80 4 1 1 4 2 46 1 2 40 1 2 6 1 3 29 2 3 20 2 3 9 2
ax b y a by x by a b a y x b x y
cz dw c dw z dw c d c w z d z w
1 3 1 2 1 3 1 2
1 3 1 2
1 D
0
5 2
3 1
4 r2 r1 0 8 1 r4 5r1 0 2
4 1
6 1
r2 r3
0 2 1 1
0 8 4 6
5 1 3 3 0 16 2 7
总结行列式变换方式
❖ 换行（列）
12
34
3 4 r1r2 1 2
❖ 提取公因子
12
11
3 4 c2 2 2 3 2
❖ 行列消元
12 1 0 3 4 3 c2 2c1 2
6 11 3 1
11 1 3
1111
r2 r1
r3 r1
0200
r4 r1 6
48
0020
0002
ab
c
d
a ab abc abcd D
a 2a b 3a 2b c 4a 3b 2c d
a 3a b 6a 3b c 10a 6b 3c d
ab c
新编文档-线性代数习题课吉林大学术洪亮-精品文档
与它的转置行列式相等；
2．互换行列式的两行（列），行列式变号； 3．某行（列）有公因子可以提到行列式符号外面； 4．若行列式中某一行（列）的所有元素均为两元素之和，则行
列式可写成两个行列式的和； 5．行列式某行（列）的K倍后加到另一行（列）上，行列式不变。
展开定理 计算 应用
483060304860 0
0 1 1 2 1 1 0 2 D2 1 2 1 0 2 1 10
0 1 1 2
r3 r2
1 1 0 2 r4 ( 2 ) r2 0 1 1 2
0 3 1 4
0 1 1 2
r3 r1 1 1 0 2
r4 3 r1
0 0
0 0
2 4 2 2
r1 r2
1
0 0
1 1 0
0 1 2
2
2 r4 (1)r3
4
1 0 0
1 0 1 1 0 2
2
2 4
4
0 0 2 2
0 0 0 2
xa
a
例8： D n a x
a
aa
x
解：第2列、第3列直到第n列，
依次乘以 1倍后加到第1列上去，得：
x (n 1)a a a
1a
a
x (n 1)a x a
1x
a
Dn
线性代数习题课
吉林大学 术洪亮
第一讲 行 列 式
前面我们已经学习了关 于行列式的概念和一些基本 理论，其主要内容可概括为：
行列式
概念 性质 展开定理 计算 应用
概念 性质
排列，逆序数，奇排列与偶排列
行 a11 a12
列 式
a21
a22
的
定 义
an1
2．互换行列式的两行（列），行列式变号； 3．某行（列）有公因子可以提到行列式符号外面； 4．若行列式中某一行（列）的所有元素均为两元素之和，则行
列式可写成两个行列式的和； 5．行列式某行（列）的K倍后加到另一行（列）上，行列式不变。
展开定理 计算 应用
483060304860 0
0 1 1 2 1 1 0 2 D2 1 2 1 0 2 1 10
0 1 1 2
r3 r2
1 1 0 2 r4 ( 2 ) r2 0 1 1 2
0 3 1 4
0 1 1 2
r3 r1 1 1 0 2
r4 3 r1
0 0
0 0
2 4 2 2
r1 r2
1
0 0
1 1 0
0 1 2
2
2 r4 (1)r3
4
1 0 0
1 0 1 1 0 2
2
2 4
4
0 0 2 2
0 0 0 2
xa
a
例8： D n a x
a
aa
x
解：第2列、第3列直到第n列，
依次乘以 1倍后加到第1列上去，得：
x (n 1)a a a
1a
a
x (n 1)a x a
1x
a
Dn
线性代数习题课
吉林大学 术洪亮
第一讲 行 列 式
前面我们已经学习了关 于行列式的概念和一些基本 理论，其主要内容可概括为：
行列式
概念 性质 展开定理 计算 应用
概念 性质
排列，逆序数，奇排列与偶排列
行 a11 a12
列 式
a21
a22
的
定 义
an1
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D
0
6 4
x 0
y
0
x
2 3
t
, (t
R)
y t
有非零解？
(5 )x 2 y 2z 0
2x
(6
)
y
0
2x
(4 )z 0
5 2 2 D 2 6 0
2 0 4 (5 )(2 )(8 )
2,5,8 D 0 唯一零解
❖ 其它情况下，验证之后都有非零解。
❖
唯一解
3x 2y 12
2x y 1
❖ 无穷多3解x 2y 12
6x 4y 24
❖ 无解3x 2y 12
6x 4y 25
3 2
D
0
21
3 2
D
0
6 4
3 2
D
0
6 4
x2
y
3
x
4
2 3
t
,
(t
R)
y t
3x 2y 12
0 1
齐次方程组
a11x1 a12 x2 L a1n xn 0
8 1 5 1
9 3 0 6
D1 5
2
1
61 2
0 4 7 6
21 8 1
1 3 9 6
D3 0
2
5
27 2
14 0 6
2 8 5 1
1 9 0 6
D2 0 5 1
108 2
1 0 7 6
2 1 5 8
1 3 0 9
D4 0
2
27 1 5
1 4 7 0
D 27, x1 3, x2 4, x3 1, x4 1
第一章
7、克拉默法则
n个线性方程的n元方程组
a11x1 a12 x2 L a1n xn b1
a21 x1
a22 x2
L M
a2n xn
b2
an1x1 an2 x2 L ann xn bn
克拉默法则
❖ 如果
a11 L D M
an1 L
a1n M 0 ann
❖ 则方程组有唯一解：
x1
D1 D
, x2
D2 D
,L
, xn
Dn D
,
a11 L a1, j1 b1 a1, j1 L a11
❖ 其中 Dj M
MMM
M
an1 L an. j1 bn an, j1 L an1
解线性方程组
2x1 x2 5x3 x4 8
x1 3x2
6x4 9
2x2 x3 2x4 5
6 3
1 4 16 3
D 12
y 3 3 x 2x2 1 x3
2
2
解的唯一性与存在性
❖ 定理4:如果线性方程组的系数行列式非零， 则方程组一定有解，且解是唯一的。
D 0 唯一解
❖ 定理4’：如果方程组无解或者有两个不同的 解，则它的系数行列式必为零。
无解或不唯一解 D 0
方程解的三种情形
a21 x1
a22 x2
L M
a2n xn
0
an1x1 an2 x2 L ann xn 0
❖ 必然有零解 x1 x2 L xn 0 ❖ 关心是否有非零解。
齐次线性方程组的解
❖ 只有零解
3x 2y 0
2x
y
0
3 2
D
0
21
❖ 无穷多组解
3x 2y 0 6x 4y 0
3 2
求曲线方程系数
y a0 a1x a2 x2 a3 x3
(1,3) (2, 4) (3,3) (4, 3)
a0 a1 a2 a3 3 a0 2a1 4a2 8a3 4 a0 3a1 9a2 27a3 3 a0 4a1 16a2 64a3 3
11 1 1
12 4 8
D
12
1 3 9 27
1 4 16 64
范德蒙德行列式
311 1
424 8
D1 3
3
9
36 27
3 4 16 64
13 1 1
14 4 8
D2 1 3
18 9 27
1 3 16 64
11 3 1
12 4 8
D3 1 3
3
24 27
1 4 3 64
11 1 3
12 4 4
D4 1 3 9
x1 4x2 7x3 6x4 0
2 1 5 1
0 7 5 13
1 3 D
0
6 r1 2r2 1 3
0
6
0 2 1 2 r4 r2 0 2 1 2
1 4 7 6
0 7 7 12
7 5 13
3 5 3
2 1
2 c1 2c2 0
1
3 0
3 27
7 7 12 c3 2c2 7 7 2 7 2