2018届江苏高考数学二轮专题复习课件 专题二第2课时平行与垂直

所以 AQ⊥PD. 又 PA⊥平面 ABCD， 所以 CD⊥PA.
又 CD⊥DA，PA∩DA＝A，所以 CD⊥平面 ADP. 又因为 AQ⊂平面 ADP，所以 CD⊥AQ， 又 PD∩CD＝D，所以 AQ⊥平面 PCD. (2)取 PC 的中点 M， 连结 AC 交 BD 于点 N， 连结 MN， ME， 1 在△PAC 中，易知 MN＝ PA，MN∥PA， 2 1 又 PA∥EB，EB＝ PA， 2 所以 MN＝EB，MN∥EB， 所以四边形 BEMN 是平行四边形，所以 EM∥BN. 又 EM⊂平面 PEC，BN⊄平面 PEC， 所以 BN∥平面 PEC，即 BD∥平面 PEC.
两平面之间位置关系的证明
[例 2] (2017· 南京模拟)如图，直线 PA 垂直 于圆 O 所在的平面，△ABC 内接于圆 O，且 AB 为圆 O 的直径，M 为线段 PB 的中点，N 为线段 BC 的中点． 求证：(1)平面 MON∥平面 PAC； (2)平面 PBC⊥平面 MON. [证明] (1)因为 M，O，N 分别是 PB，AB，BC 的中点，
[变式训练] 1．(2017· 无锡期末)在四棱锥 PABCD 中，底面 ABCD 为矩形，AP⊥平面 PCD，E，F 分别 为 PC，AB 的中点．求证： (1)平面 PAD⊥平面 ABCD； (2)EF∥平面 PAD. 证明：(1)因为 AP⊥平面 PCD，CD⊂平面 PCD，
所以 AP⊥CD， 因为四边形 ABCD 为矩形，所以 AD⊥CD, 又因为 AP∩AD＝A，AP⊂平面 PAD，AD⊂平面 PAD， 所以 CD⊥平面 PAD，因为 CD⊂平面 ABCDwenku.baidu.com 所以平面 PAD⊥平面 ABCD.
(2)若 AC1⊥A1B，求证：AC1⊥BC.
证明：因为侧面 AA1C1C 是菱形，所以 AC1⊥A1C, 又 AC1⊥ A1B ， A1C∩A1B ＝A1 ，A1C⊂ 平面 A1BC， A1B⊂平面 A1BC，所以 AC1⊥平面 A1BC, 因为 BC⊂平面 A1BC，所以 AC1⊥BC.
2 ． (2017· 苏州模拟 ) 在如图所示的空间几何体 ABCDPE 中，底面 ABCD 是边长为 4 的正方 形，PA⊥平面 ABCD，PA∥EB，且 PA＝AD ＝4，EB＝2. (1)若点 Q 是 PD 的中点，求证：AQ⊥平面 PCD； (2)证明：BD∥平面 PEC. 证明：(1)因为 PA＝AD，Q 是 PD 的中点，
(2)EF∥平面 PAD. 证明：连结 AC，BD 交于点 O，连结 OE，OF，
因为四边形 ABCD 为矩形， 所以 O 点为 AC 的中点， 因为 E 为 PC 的中点， 所以 OE∥PA， 因为 OE⊄平面 PAD，PA⊂平面 PAD， 所以 OE∥平面 PAD, 同理可得：OF∥平面 PAD， 又因为 OE∩OF＝O，所以平面 OEF∥平面 PAD, 因为 EF⊂平面 OEF，所以 EF∥平面 PAD.
[证明] (1)在平面 ABD 内，因为 AB⊥AD，EF⊥AD， 所以 EF∥AB. 又因为 EF⊄平面 ABC，AB⊂平面 ABC， 所以 EF∥平面 ABC. (2)因为平面 ABD⊥平面 BCD， 平面 ABD∩平面 BCD＝BD， BC⊂平面 BCD，BC⊥BD， 所以 BC⊥平面 ABD. 因为 AD⊂平面 ABD， 所以 BC⊥AD. 又 AB⊥AD， BC∩AB＝B， AB⊂平面 ABC， BC⊂平面 ABC， 所以 AD⊥平面 ABC. 又因为 AC⊂平面 ABC，所以 AD⊥AC.
[方法归纳]
(1)证明面面平行依据判定定理，只要找到一个面内两条相交直 线与另一个平面平行即可，从而将证明面面平行转化为证明线面平 行，再转化为证明线线平行. (2)证明面面垂直常用面面垂直的判定定理，即证明一个面过另 一个面的一条垂线，将证明面面垂直转化为证明线面垂直，一般先 从现有直线中寻找，若图中不存在这样的直线，则借助中线、高线 或添加辅助线解决.
[变式训练] 1 ． (2017· 苏锡常镇一模)如图，在斜三棱柱 ABCA1B1C1 中，侧面 AA1C1C 是菱形，AC1 与 A1C 交于点 O，E 是棱 AB 上一点，且 OE∥平 面 BCC1B1. (1)求证：E 是 AB 的中点； (2)若 AC1⊥A1B，求证：AC1⊥BC.
证明：(1)连结 BC1，因为 OE∥平面 BCC1B1， OE⊂平面 ABC1，平面 BCC1B1∩平面 ABC1＝ BC1，所以 OE∥BC1 . 因为侧面 AA1C1C 是菱形，AC1∩A1C＝O， AE AO 所以 O 是 AC1 中点，所以EB＝ ＝1，E 是 AB 的中点. OC1
[方法归纳]
立体几何证明问题的注意点 (1)证明立体几何问题的主要方法是定理法， 解题时必须按照 定理成立的条件进行推理．如线面平行的判定定理中要求其中一 条直线在平面内，另一条直线必须说明它在平面外；线面垂直的 判定定理中要求平面内的两条直线必须是相交直线等，如果定理 的条件不完整，则结论不一定正确． (2)证明立体几何问题，要紧密结合图形，有时要利用平面几 何的相关知识，因此需要多画出一些图形辅助使用．
第2课时平行与垂直
[常考题型突破]
线线、线面位置关系的证明
[例 1]
(2017· 江苏高考)如图，在三棱锥
ABCD 中，AB⊥AD，BC⊥BD，平面 ABD⊥ 平面 BCD，点 E，F(E 与 A，D 不重合)分别 在棱 AD，BD 上，且 EF⊥AD. 求证：(1)EF∥平面 ABC； (2)AD⊥AC.
所以 MO∥PA，NO∥AC， 又 MO∩NO＝O，PA∩AC＝A， 所以平面 MON∥平面 PAC.
(2)平面 PBC⊥平面 MON. [证明] 因为 PA⊥平面 ABC，BC⊂平面 ABC，
所以 PA⊥BC. 由(1)知，MO∥PA， 所以 MO⊥BC. 连结 OC，则 OC＝OB，因为 N 为 BC 的中点， 所以 ON⊥BC. 又 MO∩ON＝O，MO⊂平面 MON，ON⊂平面 MON， 所以 BC⊥平面 MON.又 BC⊂平面 PBC， 所以平面 PBC⊥平面 MON.