第七章 固体电子输运理论

2 x
得到 利用
1 e2 σ= ⋅ 3 12π
2 1/ 3
2 2/3
∫
SF
τ vdS F
得到
k F = (3nπ )
v = k / m*
ne τ ( EF ) σ= m*
2
S F = 4π (3nπ )
和在自由电子气模型中得到的 结果形式上相同，不同之处有 两点，一是电子的质量为有效 质量，二是驰豫时间为费米面 上电子的驰豫时间。
（r , k , t ) f
（r , k , t )
f (r , k , t ) = f (r − υ dt , k − kdt , t − dt ) + 碰撞项
若将因碰撞引起的 f 变化写 成 (∂f / ∂t )coll 则有
∂f f (r , k , t ) = f (r − υ dt , k − kdt , t − dt ) + ( )coll dt ∂t
•
•
∂f 0 ∂f ∂f 0 (1)温度场 ≈ ∇T + ∇u ∂r ∂T ∂u
coll
f = f 0 + f1
(3)磁场
e E ∂f 0 ∂f (2)电场 k . ∂k ≈ − . ∂k
∂f1 e ∂f = − (υ × B). (3)磁场 k . k ∂k ∂k
•
•
k =− υ ×B
•
•
e
• • ∂f 0 ∂f1 ∂f ∂f1 e ∂f1 k . ∂k = k .[ ∂k + ∂k ]= k . ∂k = − (υk × B). ∂k
∂f • ∂f • ∂f ∂f + r• + k• = ( )coll ∂t ∂r ∂t ∂k
对于稳态
∂f =0 ∂t
∂f r ⋅∇f + k ⋅∇ k f = ∂t
•
•
玻尔兹曼方程
coll
Boltzmann方程
半经典模型
∂f r ⋅∇f + k ⋅∇ k f = ∂t
•
•
coll
决定于体系的能带结构
§7.4.2 电-声子相互作用 §7.4.2 电-声子相互作用
对理想完整的晶体，绝对零度时离 子实处在严格周期排列的位置 晶体中共有化运动的电子是在和 晶格具有相同周期的势场中运动：
Rn = n1a1 + n2 a2 + n3 a3
V (r ) = ∑ VL (r − Rn )
Rn
在这样的周期场中运动的电子，其状态是由确定能量和确定 波矢的Bloch波所描述的稳定态，这种稳定态不会发生变化。 当温度不为零时，离子实会在平衡位置附近发生 小的振动，使得电子势变成 V ' (r ) = V (r − R − u( R )) ∑ L L n n
2 x
考虑一个立方体晶体， 外场方向沿着Ox方向， 电流沿着Ox
所以立方体晶体的电导率
e σ= 3 4π
2
dS F SF τ v ∫ ∇kε
2 x
1 2 e2 利用对称性 v = v σ= 3 3 4π 1 以及关系 v = k / m = ∇ k ε ( k )
2 x
dS F ∫ SF τ v ∇ k ε
∂f 0 e2 dSd ε J = − 3 ∫τ v (v ⋅ E ) ∂ε ∇kε 4π
由于 ∂f0 / ∂ε 只在费米 面附近才不为零，即
所以积分只需考虑 在费米面附近进行
∂f 0 − = δ (ε − ε F ) ∂ε dS F e2 J = 3 ∫ S F τ v (v ⋅ E ) 4π ∇kε e2 Jx = 3 4π dS F ∫ SF τ v ⋅ Ex ∇ k ε = σ Ex
∂f1 e ∂f = − (υ × B). (3)磁场 k . k ∂k ∂k
•
•
∂f r ⋅∇f + k ⋅∇ k f = ∂t
•
•
coll
f − f0 f1 (4)碰撞 ( ∂f ) =− coll = − ∂t τ τ
得 到
温度场、电场、磁场及碰撞作 用同时存在下的Boltzmann方程
∂f 0 e E ∂f 0 f1 e ∂f1 r⋅ − ⋅ = − + (υ × B) ⋅ k ∂r τ ∂k ∂k
电流没有贡献
J =−
1 4π
3
∫ eυ
k 1
f dk
在没有温度场、磁场的情况下，仅有电场时的Boltzmann方程为 e E ∂f 0 f1 − ⋅ =− τ 同时注意到 ∂k
相 当 于
f （k ) = f 0 (k +
eτ
E ) = f 0 (k −
−eτ
E)
df f + ...... 泰勒定理： （x) = f (0) + f '(0) ∂f 0 eτ dx x =0 f = f0 + E ⋅ ∂f 0 eτ ∂k ∴ f = f0 + E ⋅ + .... ∂k 因此，该式相当于上述泰
外场下Bloch电子运动的半经典模型 Boltzmann方程 外场和碰撞作用 驰豫时间的统计理论 电-声子相互作用 金属电导率 电阻率 磁输运性质 霍尔效应 磁电阻效应 热输运性质 热电效应 热导率 热电势
§7.1 Bloch电子运动的半经典模型 §7.1 Bloch电子运动的半经典模型
半经典含义 对外电场、磁场采用经典方式处理 对晶格周期场采用能带论量子力学方式处理 每个电子具有确定的位置 r 、波矢 k 和能带指标n 模型 能带指标 电子的速度 波矢随时间的变化
考虑K空间的两个等能面
两个等能面之间的距离为dk⊥ 面元为ds 体积元为
dk = dsdk⊥ = ∇ k ε dk⊥
由于： d ε
dsd ε dk = ∇kε
∂f 0 e dsd ε J = − 3 ∫τ v (v ⋅ E ) ∂ε ∇kε 4π
2
而：
1 f 0 ( Ek ) = exp[( Ek − EF ) / k BT ] + 1
（r , k , t ) f （r , k , t ) f
如何随时间变化呢？
t 时刻（r,k）处的电子
必来自t-dt 时刻（r-dr,k-dk）处 漂移来的电子 若没有碰撞，则有
（ r − vdt , k − kdt , t − dt )
（r − vdt , k − kdt , t − dt ) f
推断出电子的能带结构
输运性质
能带结构
同基于理论得到的能带结构进行比较从 而验证能带结构的理论基础的正确与否
§7.2 Boltzmann方程 §7.2 Boltzmann方程
对固体中电子输运性质的了解，除载流 子受到的散射或碰撞外，需要知道外场 作用下载流子的运动规律以及外场和碰 撞同时作用对载流子输运性质的影响。 现在要解决的是如何考虑碰撞以及碰撞和 外场同时作用对载流子运动规律的影响？ 定义
f (r , k , t ) = f (r − υ dt , k − kdt , t − dt )
由于碰撞的存在，dt 时间内从（r-dr,kdk）处出发的电子并不都能到达（r,k） 处，另一方面， t 时刻（r,k）处的电子也 并非都来自t-dt 时刻（r-dr,k-dk）处漂移 来的电子，因此有：
∂f ∂f 0 ∂f1 ∂f 0 ∂f 0 ∂f 0 = + ≈ = ∇T + ∇u ∂r ∂r ∂r ∂r ∂T ∂u • e (2)电场 k =− E
•
• • e E ∂f 0 ∂f 0 ∂f1 ∂f 0 ∂f = k .[ + ]≈ k . . =− . k ∂k ∂k ∂k ∂k ∂k
∂f r ⋅∇f + k ⋅∇ k f = ∂t
∂f 0 f = f0 + (v ⋅ E )eτ ∂ε
∂f 0 f1 = f − f 0 = (v ⋅ E )eτ ∂ε
代入
知道了分布函数就可以很方便的 求出电流密度，只需对分布函数 在相空间求积分：
J =−
1 4π
3
∫ evf dk
1
∂f 0 = − 3 ∫ veτ (v ⋅ E )dk ∂ε 4π e
第七章 固体电子输运理论 能带结构 能带结构 输运性质 输运性质
三个问题 载流子受到的散射或碰撞
引入驰豫时间描述 采用半经典模型
外场下作用下载流子的运动规律 外场和碰撞同时作用对载流子输运性质的影响
引入分布函数，并将这些影 响归结到对分布函数的影响
7.1 7.2 7.3 7.4 7.5 7.6 7.8 7.9
外场下载流子运动规 律可基于半经典模型
引入分布函数，并将这些 影响归结到对分布函数的 影响
对于单位体积样品，t时刻、第n个能带中，在（r,k） 处 drdk 相空间体积内的电子数为： n通常不标出，因为考虑
f n (r , k ; t )drdk / 8π 3
每一个电子对电 流密度的贡献为 所以总电 流密度为
f − f0 ∂f =− τ ∂t
方程的解：
该方程说明：由于碰撞作 用，系统将以时间常数 τ 弛豫回到平衡分布。
负号源于偏离随时 间的增加而减小。
f − f 0 = f1 = f1 (t = 0)e
−t /τ
∂f 0 ∂f ∂f 0 (1)温度场 ≈ ∇T + ∇u ∂r ∂T ∂u
代入
e E ∂f 0 ∂f (2)电场 k . ∂k ≈ − . ∂k
dr / dt = υn (k ) = ∇ k ε n (k )
1
与外场有关
dk / dt = −e ⎡ E (r , t ) + υn (k ) × B (r , t ) ⎤ ⎣ ⎦
因此，Boltzmann方程将能带结构、外场作用以及碰撞 作用通过引入分布函数而相联系，成为研究固体电子输 运性质的理论基础