周期函数注意点以及常见抽象函数周期性的证明

周期函数注意点以及常见抽象函数周期性

的证明

Revised on November 25, 2020

周期函数

一、 周期函数的定义

1、 对于函数()f x ，如果存在一个非零常数．．．．T ，使得当x 取定义域内的每一个值．．．．

时，都有()()f x T f x +=，那么函数()f x 就叫做周期函数，非零常数T 叫做这个函数的周

期。

注意：

① 定义域：对于任何函数，都需要明确其定义域，对于周期函数来说，其定义域必为至少一端无界的集合。

理由：设周期为T,由周期函数的定义知f(x+T)=f(x),易得f(x+nT)=f(x) (其中n 是整数),即x+nT 也在定义域内,故周期函数定义域必是无界集。

例题：sin (010)y x x π=≤≤ 是周期函数吗 ② 变的只能是x

T 的变化只能发生在x 上。例如()sin(38)f x x =+ 是周期函数，则()sin[3()8]f x T x T +=++，不能写成()sin(38)f x T x T +=++。

例题：sin 2sin 33x x π⎛⎫⎛⎫

+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭

，那么2π 是sin ()3x 的周期吗

③ 图像为周期波动的函数不一定是周期函数，要观察定义域。

例如：()[]f x x x =-（33x -≤≤ ）（[]x 是取整函数，表示不超过x 的最大整数），该函数的图像如下所示，该图像重复出现，但是因为其定义域两端都有界，所以其必不为周期函数。 二、 周期函数问题的相关题型及解答。

核心：所有周期函数的问题，核心在求出周期T ，即将题目里各种()f x 的等式往()()f x T f x +=方向化简。

化简过程中需要注意的相关函数概念：化简过程中要注意()f x 本身的对称性和奇偶性。

三、 抽象函数的周期总结

1. f x f x T ()()=+型：f x ()的周期为T 。

证明：对x 取定义域内的每一个值时，都有f x T f x ()()+=，则f x ()为周期函数，T 叫函数f x ()的周期。

2. f x a f x b ()()+=+型：f x ()的周期为||b a -。 证明：f x a f x b f x f x b a ()()()()+=+⇒=+-。

3. f x a f x ()()+=-型：f x ()的周期为2a 。

证明：f x a f x a a f x a f x ()[()]()[()]+=++=-+=--2=f x ()

4. f x a f x ()()

+=-

1

型：f x ()的周期为2a 。 证明：f x a f x a a f x a f x f x ()[()]()

()

()+=++=-

+=-

-

=21

1

1。 5. f x a f x ()()

+=

1

型：f x ()的周期为2a 。 证明：f x a f x a a f x a f x f x ()[()]()

()

()+=++=

+=

=21

1

1。 6. f x a f x f x ()()

()

+=

+-11型：f x ()的周期为4a 。

证明：f x a f x a a f x a f x a ()[()]()

()+=++=++-+211 =

+

+--+-

=-1111111f x f x f x f x f x ()

()()()

()， ∴f x a f x a a f x a f x f x ()[()]()

()

()+=++=-

+=-

-

=4221

21

1。 7. )

(1)

(1)(x f x f a x f +-=

+ )(x f y =的周期为a T 2=

证明：1()(2)[()]1()f x a f x a f x a a f x a -++=++=++=1()11()

()1()11()

f x f x f x f x f x -

-

+

=

=-++

。 8、 1

)(1

)(+-

=+x f a x f ⇔)(x f y =的周期为3T a =

证明：1

1()1

[()]1()1()1()1

11

[(2)]()()1(2)11()

(3)()

f x f x a a f x a f x f x f x a a f x f x f x a f x f x a f x +++=-

=-

=-

++-

++++=-=-=+++-++=

9、)()()2(x f a x f a x f -+=+ )(x f y =的周期为a T 6= 证明：)()()2(x f a x f a x f -+=+

10.两线对称型：函数f x ()关于直线x a =、x b =对称，则f x ()的周期为

||22b a -。

证明：

f x f a x f x f b x f a x f b x f x f x b a ()()()()()()()()=-=-⎧⎨

⎩

⇒-=-⇒=+-222222，

。 8. 一线一点对称型 ： 函数f x ()关于直线x a =及点（b ，0）对称，则f x ()的周期为||44b a -。 证明：

f x f a x f b x f x f a x f b x f x b a f x ()()

()()()()()()=--=-⎧⎨

⎩

⇒-=--⇒+-=-222222，所以f x b a f x b a b a f x b a f x f x ()[()]()[()]()+-=+-+-=-+-=--=44222222

9. 两点对称型： 函数f x ()关于点（a ，0）、（b ，0）对称，则f x ()的周期为

||22b a -。证明：

f a x f x f b x f x f a x f b x f x f x b a ()()

()()

()()()()222222-=--=-⎧⎨

⎩⇒-=-⇒=+-。