华东师范大学2010年数学分析考研试题
合集下载
相关主题
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
华东师大 2010 数学分析
一. 求解下列各题 （1） 求 曲 线 Γ : x = x(t) = t2 , y = y(t) = et + 2, z = z(t) = t + cos t,t ∈
c 在点
( x(0), y(0), z(0)) 处的切线方程与法线方程.
（2） 求由方程 x2 + 2xy + 2 y2 = 1所确定的隐函数 y = f (x) 的极值
（6） 设 f ( x) 在 [a,b] 可导（ a < b 为实数）.证明 f (x) 在[a,b] 一致可导的充要 条件是： f ( x) 在 [a,b] 上连续. 这里的一致可导指：对 ∀ε > 0, ∃δ > 0 s.t.
对 ∀x, y ∈[a,b] ，只要 0 < x − y < δ 就有
（3） 计算 ∫∫ ( x − a)3 dydz + ( y − b)3 dzdx + ( z − c)3 dxdy ，其中 S 是球面的外侧
S
（4） 求函数 f (x) = ex 在 x = 0 处的泰勒展开式并求出 f (n) (0) . 2 − 2x
（5） 求 gxy ( x, y) 此处
g(x,
∀ε > 0, ∃δ > 0 使得对任意分割T ： a = x0 < x1 < L < xk = b ，只要
max
1≤i≤k
∆xi
<δ
，就有
Hale Waihona Puke Baidu
∫ ∑ b a
k
fn (x)dx −
i =1
fn (ξi )∆xi
<ε
对任意ξi ∈[ xi−1, xi ],1 ≤ i ≤ l 及任意 n ∈ 成立；
（3）举例说明（2）的逆命题不成立.
k =1
根，记为 an ；
（2）证明数列{an} 有极限，并求出此极限. （4） 设在 f ( x, y) [a,b]×[c, d ] （ a,b, c, d 为实数且 a < b, c < d ）上连续. 令
M ( x) = max f (x, y), x ∈[a,b] y∈[c,d ]
证明：在 M ( x) 上[a,b] 连续.
成立.
f (x) − f ( y) − f ′(x) < ε x− y
三. 设可积函数列{ fn (x)} 在[a,b] （ a < b 为实数）上一致收敛于 f (x) .
∫ ∫ （1）
证明 f (x) 在上可积且 lim n→∞
b
a fn (x)dx =
b f (x)dx ；
a
（2） { fn (x)} 在[a,b] 上一直可积，这里{ fn (x)} 在[a,b] 上一致可积指：对于
（2） 设 f ( x) 为 定 义 在 [a, +∞) ， (a ∈ ) 上 的 正 值 连 续 函 数 . 证 明 ： 若
lim f (x +1) = q < 1，则反常积分 ∫∞ f (x)dx 收敛.
x→∞ f (x)
a
∑∞
（3） 证明：（1）对于 ∀n ∈ ，关于 x 的方程 ekx = n +1在中[0,1] 存在唯一实
y)
=
∫ +∞ 0
arctan ( xt ) arctan ( yt )
t2
dt,
( x,
y) ∈(0, ∞)× (0, ∞) .
二. 证明下列各题
（1） 已知 f ( x, y) 在 (x0, y0 ) 处可微且 f ( x0, y0 ) = 0 ，g ( x, y) 在 (x0, y0 ) 处连续. 证 明 f (x, y)g(x, y) 在 (x0, y0 ) 处可微且 d ( fg ) (x0, y0 ) = g(x0, y0 )df (x0, y0 )
一. 求解下列各题 （1） 求 曲 线 Γ : x = x(t) = t2 , y = y(t) = et + 2, z = z(t) = t + cos t,t ∈
c 在点
( x(0), y(0), z(0)) 处的切线方程与法线方程.
（2） 求由方程 x2 + 2xy + 2 y2 = 1所确定的隐函数 y = f (x) 的极值
（6） 设 f ( x) 在 [a,b] 可导（ a < b 为实数）.证明 f (x) 在[a,b] 一致可导的充要 条件是： f ( x) 在 [a,b] 上连续. 这里的一致可导指：对 ∀ε > 0, ∃δ > 0 s.t.
对 ∀x, y ∈[a,b] ，只要 0 < x − y < δ 就有
（3） 计算 ∫∫ ( x − a)3 dydz + ( y − b)3 dzdx + ( z − c)3 dxdy ，其中 S 是球面的外侧
S
（4） 求函数 f (x) = ex 在 x = 0 处的泰勒展开式并求出 f (n) (0) . 2 − 2x
（5） 求 gxy ( x, y) 此处
g(x,
∀ε > 0, ∃δ > 0 使得对任意分割T ： a = x0 < x1 < L < xk = b ，只要
max
1≤i≤k
∆xi
<δ
，就有
Hale Waihona Puke Baidu
∫ ∑ b a
k
fn (x)dx −
i =1
fn (ξi )∆xi
<ε
对任意ξi ∈[ xi−1, xi ],1 ≤ i ≤ l 及任意 n ∈ 成立；
（3）举例说明（2）的逆命题不成立.
k =1
根，记为 an ；
（2）证明数列{an} 有极限，并求出此极限. （4） 设在 f ( x, y) [a,b]×[c, d ] （ a,b, c, d 为实数且 a < b, c < d ）上连续. 令
M ( x) = max f (x, y), x ∈[a,b] y∈[c,d ]
证明：在 M ( x) 上[a,b] 连续.
成立.
f (x) − f ( y) − f ′(x) < ε x− y
三. 设可积函数列{ fn (x)} 在[a,b] （ a < b 为实数）上一致收敛于 f (x) .
∫ ∫ （1）
证明 f (x) 在上可积且 lim n→∞
b
a fn (x)dx =
b f (x)dx ；
a
（2） { fn (x)} 在[a,b] 上一直可积，这里{ fn (x)} 在[a,b] 上一致可积指：对于
（2） 设 f ( x) 为 定 义 在 [a, +∞) ， (a ∈ ) 上 的 正 值 连 续 函 数 . 证 明 ： 若
lim f (x +1) = q < 1，则反常积分 ∫∞ f (x)dx 收敛.
x→∞ f (x)
a
∑∞
（3） 证明：（1）对于 ∀n ∈ ，关于 x 的方程 ekx = n +1在中[0,1] 存在唯一实
y)
=
∫ +∞ 0
arctan ( xt ) arctan ( yt )
t2
dt,
( x,
y) ∈(0, ∞)× (0, ∞) .
二. 证明下列各题
（1） 已知 f ( x, y) 在 (x0, y0 ) 处可微且 f ( x0, y0 ) = 0 ，g ( x, y) 在 (x0, y0 ) 处连续. 证 明 f (x, y)g(x, y) 在 (x0, y0 ) 处可微且 d ( fg ) (x0, y0 ) = g(x0, y0 )df (x0, y0 )