离散序列傅里叶变换习题

1、 试求以下各序列的时间傅里叶变换 （1）1()(3)x n n δ=- （2）211

()(1)()(1)22

x n n n n δδδ=

+++- （3）3()(),01n

x n a u n a =<<

（4）4()(3)(4)x n u n u n =+--

2、 设()j X e ω

是序列()x n 的离散时间傅里叶变换，利用离散时间傅里叶变换的定义与性质，求

下列各序列的离散时间傅里叶变换。 （1）()()(1)g n x n x n =-- （2）()*()g n x n = （3）()*()g n x n =- （4）()(2)g n x n = （5）()()g n nx n = （6）2()()g n x n =

（7）(),

()2

0,

n x n g n n ⎧⎪=⎨⎪⎩为偶数为奇数

3、 试求以下各序列的时间傅里叶变换

（1）1()(),||1n

x n a u n a =< （2）2()(),||1n

x n a u n a =->

（3）||3,

||()0,

n a n M x n n ⎧≤=⎨

⎩为其他

（4）4()(3),||1n

x n a u n a =+<

（5）501()()(3)4

n m x n n m δ∞

==

-∑ （6）6sin(/3)sin(/4)()n n x n n n ππππ⎡⎤⎡⎤

=⎢

⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦

4、 设()x n 是一有限长序列，已知

1,2,0,3,2,1,

0,1,2,3,4,5()0,

n x n n --=⎧=⎨

⎩为其他

它的离散傅里叶变换为()j X e ω

。不具体计算()j X e ω

，试直接确定下列表达式的值。 （1）0

()j X e （2）()j X e π （3）()j X e

d π

ω

πω-

⎰

（4）

2|()|j X e d π

ωπ

ω-

⎰

（5）2

()|

|j dX e d d ωπ

πωω

-⎰ 5、 试求以下各序列的时间傅里叶变换 （1）11,

||()0,

n N x n n ≤⎧=⎨

⎩为其他

（2）21||/,

||()0,

n N n N x n n -≤⎧=⎨

⎩为其他

（3）3cos(

),||()20,

n n N x n N

n π⎧

≤⎪=⎨⎪⎩为其他

6、证明：若()j X e ω

是序列()x n 的离散时间傅里叶变换，而

1(),

()0,

n n

x x n k

k

⎧⎪=⎨⎪⎩为整数

其他

则1()()j j X e X e ωω

=。

7、设序列()()x n u n =，证明()x n 的离散时间傅里叶变换为

1

()(2)1j j l X e l e ω

ωπδωπ∞

-=-∞

=+--∑

8、如图所示四个序列，已知序列1()x n 的离散时间傅里叶变换为1()j X e ω，试用1()j X e ω

表示其

他序列的离散时间傅里叶变换。

9、证明离散时间傅里叶变换性质中的帕塞瓦尔定理，即

221|()||()|2j n x n X e d π

ωπ

ωπ

∞

-

=-∞

=

∑⎰

10、证明离散时间傅里叶变换性质中的频域微分性质，即

()

[()]j dX e DTFT nx n j d ωω

=

式中，()j X e ω

是序列()x n 的离散时间傅里叶变换。 11、证明：

（1）若()x n 是实偶函数，则其离散时间傅里叶变换()j X e ω

是ω的实偶函数。 （2）若()x n 是实奇函数，则其离散时间傅里叶变换()j X e ω是ω的虚奇函数。

12、设4()()x n R n =，试求()x n 的共轭偶对称序列()e x n 和共轭奇对称序列()o x n ，并分别画出其波形。

13、设实序列()x n 的偶对称序列1

()[()()]2

e x n x n x n =

+-，奇对称序列1

()[()()]2

o x n x n x n =--，试证明

2

2

2

|()|

|()|

|()|

e

o

n n n x n x n x n ∞

∞

∞

=-∞

=-∞

=-∞

=

=

∑∑∑

14、设实序列()x n 的波形如图所示，

（1）试求()x n 的共轭偶对称序列()e x n 和共轭奇对称序列()o x n ，并分别画出其波形。 （2）设序列1()()()e o x n x n x n =+，式中，()e x n 和()o x n 为（1）所求结果。画出1()x n 的波形，并与上图结果进行比较，结果说明了什么？

（3）分别求序列()x n 、()e x n 和()o x n 的离散时间傅里叶变换()j X e ω

、()j e X e ω和()j o X e ω，分析()j X e ω

、()j e X e ω和()j o X e ω的实部Re{()}()j j R X e X e ωω=、虚部

Im{()}()j j I X e X e ωω=的关系。

15、已知序列()()(01)n

x n a u n a =<<，试分别求()x n 的共轭偶对称序列()e x n 和共轭奇对称

序列()o x n 的离散时间傅里叶变换()j e X e ω和()j o X e ω

。

16、若序列()x n 是因果序列，已知其离散时间傅里叶变换()j X e ω

的实部()j e X e ω为 ()1cos j R X e ω

ω=+

求序列()x n 及其离散时间傅里叶变换()j X e ω

。

17、若序列()x n 是实因果序列，(0)1x =，

已知其离散时间傅里叶变换()j X e ω

的虚实部()j I X e ω为

()sin j I X e ω

ω=-

求序列()x n 及其其离散时间傅里叶变换()j X e ω

。 18、如果()x n 是实序列，试证明*()()j j X e X e

ω

ω

-=

19、设()x n 是已知的实序列，其离散时间傅里叶变换为()j X e ω

，若序列()y n 的离散时间傅里叶变换为

221(){()][()()]2

j j j Y e DTFT y n X e X e ωω

ω

-==+ 试求序列()y n 。