结构力学中反弯点法计算例题
框架结构在水平荷载下的计算反弯点法和值法详解
A
B
Ma
4i a
2ib
6i l
Mb
4i b
2i a
6i l
a
b
l
V 6i a 6ib 12i
l
l
l2
37
第三十七页，共69页。
计算转角和位移的关系 – 节点 A 、B 处
Ma
4i a
2i b
6i l
V 6i a 6ib 12i
l
l
l2
M 0
A:
4(i3 i4 ic ic ) 2(i3 i4 ic ic )
i1、 i2
与柱A端相交的梁的线刚度 为
i3、 i4
i1
ic B
i2
i3
ic i4
A
ic
34
第三十四页，共69页。
35
第三十五页，共69页。
第三十六页，共69页。
ui D
B
hi
A
C
36
柱 AB 剪力与 相邻梁 、柱杆端的侧移△及转角 相关
因此需求出转角和位移的关系 预备公式 ： 转角位移方程
A、B 端均为刚结的杆端
端部的转角就很小，此时忽略节点转角的存在，对框架 内力计算影响不大。
由此也可以看出，反弯点法是有一定的适用范围 的，即框架梁、柱的线刚度之比应不小于3。
5
第五页，共69页。
水平荷载作用下框架 的变形情况：
第六页，共69页。
当梁刚度无限大 时，水平荷载作用 下框架的变形情况 ：节点转角为0，各 节点水平位移相同 。
V1k
h1 3
Mb c1k
V1k
2h1 3
上部各层柱，上下 柱端弯矩相等
Mt cjk
混凝土反弯点法计算题例题
混凝土反弯点法计算题例题混凝土反弯点法是一种用于计算混凝土梁的强度和刚度的方法。
它基于混凝土在受拉应力作用下的裂缝性质，将混凝土截面分为受压区和受拉区。
在混凝土的受拉区出现第一根裂缝时，混凝土截面的强度随之降低，这个裂缝的位置就是梁的反弯点。
以下是一个混凝土反弯点法计算题的例题：【例题】一根混凝土矩形梁的截面宽度为b=200mm，高度为h=400mm，长度为L=4m。
梁的配筋已经确定，钢筋面积为As=2515mm2，混凝土强度等级为C30，梁的工作状态为常规状态。
使用混凝土反弯点法计算梁的极限承载力。
解题思路：1. 计算混凝土截面面积Ac和受拉区高度a。
$$Ac=bh=200mm\times400mm=80000mm^2$$根据混凝土抗拉强度σc和配筋率ρ，可以计算出混凝土受拉区高度a。
$$a=\frac{\sigma_c}{0.85f_y}\frac{1-\sqrt{1-2\rho}}{1.6}h$$其中，fy为钢筋的屈服强度，ρ为配筋率。
根据题目中的数据，可以计算出a的值为：$$a=\frac{2.6\times10^6Pa}{0.85\times300\times10^6Pa}\frac{1-\sqrt{1 -2\times\frac{2515mm^2}{200mm\times400mm}}}{1.6}\times400mm=7 7.57mm$$2. 计算混凝土受拉区的受拉力N和弯矩M。
根据梁的几何尺寸和工作状态，可以计算出梁上的荷载为：$$q=\frac{1.5kN}{m^2}$$其中，kN为单位长度的荷载。
因此，梁上的集中荷载为：$$P=qL=1.5kN/m^2\times4m=6kN$$根据静力平衡条件，可以计算出混凝土受拉区的受拉力N和弯矩M。
$$N=P=\frac{6kN}{2}=3kN$$$$M=\frac{PL}{4}=6kN\times4m/4=6kNm$$3. 计算混凝土受拉区的应力σ1和混凝土截面的极限承载力M1。
框架结构在水平荷载下的计算反弯点法和D值法
柱 D 值计算
D V
计算假定 例 ：柱 AB 的 D 值计算
层间侧移△相等 ，
剪切角为
u j hj
梁、柱结点转角相等，设为
计算柱与相邻柱线刚度相同 ic
与柱B端相交的梁的线刚度为
i1、 i2
与柱A端相交的梁的线刚度 为
i3 、i 4
i1
ic B
i2
i3
ic i4
A
ic
34
35
ui D
B
b
hj
a
39 A
（二）柱的抗侧刚度D值
柱的抗侧刚度D值
D
12ic h2
式中
h—层高
ic —柱的线刚度，ic EIc /h ； E—柱混凝土弹性模量； I c —柱截面惯性矩； —与梁柱刚度比有关有刚度修正系数
40
i2 ic
i4
K i2 i4 2ic
i2 ic
K i2 ic
48
（三）确定柱反弯点高度比y
１.标准反弯高度比y０ 标准反弯点高度比是在各层等高、各跨相等、 各层梁和柱线刚度都不改变时框架在水平荷载作 用下的反弯点高度比。 按该框架总层数n，所在楼层数j以及梁柱线 刚度比K查附表2.1、附表2.2。 在查取y0时，风荷载（均布水平荷载）作用下 和水平地震作用（三角形荷载）下应采用相应的 表格。
2
uj 2 uj
221 ic(i1i2i3i4) hj 2Khj
K ib 2ic
38
V 6 ia 6 ib 1 i 2 a b V 1 i 2 1 i 2
l l l2
l l2
框架结构在水平荷载下的计算反弯点法和D值法
a
A B 则 D jk V 1 h ji2 c2 2 K K ,
K,K ib 2 K 2 ic
B
b l
a
b
D jk
12 ic hj2
l
框架梁的线刚度无穷大时
，
1,
D
12ic hj 2
同理可推导底层柱 D 值
0.5K,Kib
2K
ic
42
（二）柱的抗侧刚度D值
2.带有夹层的柱，其抗推刚度按下式计算：
D'
1 1
1
D1D2 D1 D2
D1 D2
D D
1 2
12 i c 1
c1
h
2 1
12 i c 2
c2
h
2 2
43
计算各柱所分配的剪力：
44
（三）确定柱反弯点高度比y
上、下端约束对梁反弯点的影响
由此可见，反弯点法的关键是反弯点的位置 确定和柱子抗推刚度的确定。
4
１.反弯点法的假定及适用范围 ①假定框架横梁抗弯刚度为无穷大。 如果框架横梁刚度为无穷大，在水平力的作用
下，框架节点将只有侧移而没有转角。实际上，框 架横梁刚度不会是无穷大，在水平力下，节点既有 侧移又有转角。但是，当梁、柱的线刚度之比大于 3时，柱子端部的转角就很小，此时忽略节点转角 的存在，对框架内力计算影响不大。
77
48
0.7)5
2.1
4k N80.7kN
A
E
（3）求各柱柱端弯矩：
MDC
MCD
VDC
3.3 2
19.42k
值法,反弯点法
1 水平荷载作用下框架结构的受力及变形特点
2
D 值法
（ 1）层间剪力在各柱间的分配
Vij Dij
Dij
j 1
s
Vi
该式即为层间剪力Vi在各柱间的分配公式，它适用于整个框架结构 同层各柱之间的剪力分配。可见，每根柱分配到的剪力值与其侧向刚度 成比例。
K i2 i4 2ic
i2 ic i2 ic
简
图
K
K i1 i2 i3 i4 2ic
i1 i2 ic i1 i2 ic
c
c
K 2 K
一般层
底
固接
K
K
c
0 .5 K 2K
0.5 K 1 2K
层
铰接
K
K
c
柱高不等及有夹层的柱
c
3
反弯点法
由上述分析可见，D值法考虑了柱两端节点转动对其侧向刚度和反弯 点位置的影响，因此，此法是一种合理且计算精度较高的近似计算方法， 适用于一般多、高层框架结构在水平荷载作用下的内力和侧移计算。
当梁的线刚度比柱的线刚度大很多时（例如ib/ic>3），梁柱节点的 转角很小。如果忽略此转角的影响，则水平荷载作用下框架结构内力的 计算方法，尚可进一步简化，这种忽略梁柱节点转角影响的计算方法称 为反弯点法。 在确定柱的侧向刚度时，反弯点法假定各柱上、下端都不产生转动， c 即认为梁柱线刚度比为无限大。将趋近于无限大代入D值法 的公式， c 可得 =1。因此，由式可得反弯点法的柱侧向刚度，并用D0表示为：
标准反弯点位置简化求解
框架结构在水平荷载下的计算(反弯点法和D值法)PPT精选文档
2
uj 2 uj
221 ic(i1i2i3i4) hj 2Khj
K ib 2ic
38
V 6 ia 6 ib 1 i 2 a b V 1 i 2 1 i 2
l l l2
l l2
A
将 2 2 K l代入 ,可 V 上 得 2 K K 1 式 l2 i 2
(0.9) F
(0.9) J
HG
0.6 0.7 0.6 0.9
0.273
(0.6) A
(0.8) E
(0.8) I
MK
0.9 0.7 0.6 0.9
0.409
二层：
CB
0.7 0.70.90.9
0.280
GF
KJ
0.9 0.70.90.9
0.360
29
底层：
BA
0.6 0.60.80.8
D1 D2
D D
1 2
12 i c 1
c1
h
2 1
12 i c 2
c2
h
2 2
43
计算各柱所分配的剪力：
44
（三）确定柱反弯点高度比y
上、下端约束对梁反弯点的影响
h 2
yhh
yh
h 2
yh h
上下都是固端
上端为简支承
上端约束小
反弯点在柱中点 无反弯点或
下端约束大
反弯点在顶点 反弯点在上半柱间
由
d 12 ic
h2
有
V jk
i jk
m
gV j
i jk
k 1
i j k ——柱子的线刚度
11
５.柱端弯矩
求得各柱子所承受的剪力以后，由假定(2)便可
结构力学中反弯点法计算例题2
例：用反弯点法计算图1所示刚架，并画出弯矩图。
括号内数字为杆件线刚度的相对值。
图1解：顶层柱反弯点位于柱中点22h ，底层柱的反弯点位于柱高123h 处，在反弯点处将柱切开，脱离体如图2、图3所示。
F QIF图2 顶层脱离体F QAD F QBE F QCFGIFED817图3 底层隔离体（1）求各柱剪力分配系数kk ik k μ=∑ 顶层：20.286223GD IF μμ===⨯+30.428223HE μ==⨯+底层：30.3324DA FC μμ===⨯+40.4324EB μ==⨯+（2）计算各柱剪力：0.2868kN 2.29kN QGD QIF F F ==⨯= 0.4288kN 3.42kN QHE F =⨯= 0.325kN 7.5kN QAD QCF F F ==⨯= 0.425kN 10kN QBE F =⨯=（3）计算杆端弯矩，以节点E 为例说明杆端弯矩的计算 杆端弯矩：2 3.33.42kN 5.64kN m 22EH QHE h M F m =-⨯=-⨯=-⋅（反弯点位于22h 处）1 3.610kN 12kN m 33EB QBE h M F m =-⨯=-⨯=-⋅（反弯点位于柱123h 处） 计算梁端弯矩时，先求出节点柱端弯矩之和为：17.64kN m EH EB M M M =+=-⋅按梁刚度分配：1217.647.84kN m 27ED M =⨯=⋅ 1517.649.8kN m 27EFM =⨯=⋅ 图3是刚架弯矩图。
8 173.782.515.643.783.133.783.783.78912.785.649.87.841212.783.781824189图3 弯矩图（单位kN m）。
水平荷载作用下采用反弯点法计算
水平荷载作用下采用反弯点法计算反弯点法是结构力学中一种常用的计算方法，用于计算水平荷载作用下的结构变形和受力状态。
通过找出结构中的反弯点，即弯矩变化方向以及弯矩大小变化的位置，可以得到结构中各个截面的内力和变形情况。
本文将介绍反弯点法的基本原理和计算步骤，并用一个实例进行具体分析。
反弯点法的基本原理是假设结构在水平荷载作用下呈现弯矩分布曲线的形状是一条抛物线。
这条抛物线有一个最高点，称为反弯点。
利用这个假设，可以将结构截面沿着水平方向划分为两部分，即反弯点之前和反弯点之后。
反弯点之前的部分为正弯矩区域，反弯点之后的部分为负弯矩区域。
通过计算这两个区域的弯矩大小和位置，可以得到结构中各个截面的内力和变形。
对于一个梁的水平荷载作用下的反弯点法计算，具体步骤如下：1.画出结构的截面和荷载图，确定结构的几何形状和载荷情况。
2.假定结构的反弯点在梁的中点位置，即距离梁两端等分。
若已知反弯点的位置，可直接进行下一步骤的计算。
3.计算反弯点之前的正弯矩区域的弯矩大小和位置。
利用弯矩方程可以得到：M1 = (wl^2)/8其中，M1为反弯点之前的正弯矩，w为单位长度的均布荷载，l为梁的长度。
4.计算反弯点之后的负弯矩区域的弯矩大小和位置。
利用弯矩方程可以得到：M2 = (wl^2)/8其中，M2为反弯点之后的负弯矩。
5.通过计算得到的弯矩大小和位置，可以得到结构中各个截面的内力和变形。
根据梁的受力平衡条件，可以计算出梁的剪力和弯矩分布。
根据弹性力学理论，可以得到梁的挠度曲线和变形情况。
下面以一个简单的例子来说明反弯点法的具体应用。
假设有一根长度为6m的梁，受到均布荷载q=10kN/m作用。
我们要计算梁在水平荷载作用下的内力和变形情况。
首先，确定反弯点的位置。
由于荷载是均布荷载，梁的长度等分为两个部分，所以反弯点的位置在梁的中点，即3m处。
然后，计算反弯点之前的正弯矩区域的弯矩大小和位置。
根据反弯点法的计算公式，可以得到：M1=(q*l^2)/8=(10*3^2)/8=11.25kNm再计算反弯点之后的负弯矩区域的弯矩大小和位置，也得到：M2=(q*l^2)/8=(10*3^2)/8=11.25kNm最后，根据梁的受力平衡条件和弹性力学理论，可以计算出梁的剪力和弯矩分布，以及梁的挠度曲线和变形情况。
反弯点法
水平荷载作用下的反弯点法1.受力特点风荷载或水平地震对框架结构的作用，一般可简化为作用于框架节点上的水平集中力，在此荷载的作用下，框架结构上的弯矩特征如图3-2-7所示，变形如图3-2-8所示。
其受力与变形具有如下特点（1）各杆的弯矩为直线分布，且每个杆均有一个零弯矩点即反弯点；（2）在固定端处，角位移为零,但上部各层节点均有转角存在,节点的转角随梁柱线刚度比的增大而减小；（3）如忽略梁的轴向变形，同层内各节点具有相同的侧向位移，同层各柱具有相同的层间位移。
2.解题思路鉴于框架结构在水平荷载作用下具有上述受力变形特点，如能求出各柱的反弯点位置及反弯点处的剪力，就可以利用静力平衡条件求出各杆件的内力。
因此解题的关键是确定各柱反弯点的位置及反弯点处的剪力。
3.基本假定由受力特点可知，框架受力后节点会产生转角和侧移，但根据分析，当梁与柱的线刚度之比大于3时，节点转角很小，对内力影响不大，故可忽略即转角 =0（图3-2-9），实际上这等于是把框架梁简化为一刚性梁。
基本假定如下：（1）在求各柱子的剪力时，假定梁与柱的线刚度比为无穷大，即各节点转角为零；（2）在确定柱的反弯点位置时，假定除底层以外的其余各柱，受力后上下两端转角相同；(图3-2-10)（3）梁端弯矩可按梁的线刚度进行分配。
4.柱的反弯点高度——反弯点高度，指反弯点至柱下端的距离。
对于底层以上的各层柱，根据假定（2），各柱的上下端转角相等,则柱的上下端弯矩也应相同,所以反弯点在柱中部。
对于底层柱,当柱脚固定时,柱下端转角为零(图3-2-11(a))，上端转角为，因此柱上端弯矩比下端弯矩小,其反弯点则偏离柱中点而向上移,可取在层高处。
各柱反弯点的高度为：底层柱其余各柱5.各柱反弯点处的剪力设框架结构共有n层，每一层有m 个柱子，框架节点上作用有水平荷载、……，如图3-2-12(a)所示。
（1）第j层所受到的总剪力将框架沿第j层各柱的反弯点处切开，代以剪力和轴力，如图3-2-12(b)所示，本层总剪力为。
三种方法计算框架水平作用下的内力(D值法,反弯点法,门架法)
C 9.08E+4
21.88
35.01
D 2.38E+4
24.99
42.48
E 4.64E+4 94000 98.7 48.72 1.7
82.82 77.49 81.65 69.40 77.49
F 2.38E+4 1
A
24.99 24.99
42.48 82.47
B
48.72 3.3 160.78
C
24.99
令 i左边梁 为 1.0，梁柱的相对线刚度如图 4 所示。
图.4 梁柱相对线刚度
（3）求修正的反弯点高度（图 5）
图.5 修正的反弯点高度图
反弯点高度比的修正：
y = y0 + y1 + y2 + y3 A、B、C 轴柱的反弯点高度的计算如表 3、表 4 和表 5 所示。
表 3 A 轴框架柱反弯点位置、D 值的计算
=
12
53
= 4.64 ×10 4 kN / m
其余各层边柱：
D余边柱
= 12EI h3
12 × 3.25 ×107 × 1 × 0.55 × 0.553
=
12
3.23
= 9.08 ×104 kN / m
其余各层中柱：
D余中柱
= 12EI h3
12 × 3.25 ×107 × 1 × 0.65 × 0.653
4
3.20 0.56 0.45
0
0
0
0.45 1.44 0.219 90758 19876
3
3.20 0.56 0.480 Nhomakorabea0
0
0.48 1.54 0.219 90758 19876
反弯点法例题
选择题
在反弯点法中，关于框架柱的反弯点位置，以下说法正确的是：
A. 总是位于柱的中点
B. 与楼层高度无关
C. 与梁柱线刚度比有关（正确答案）
D. 总是位于柱的顶端
反弯点法主要用于计算哪种结构的侧移？
A. 剪力墙结构（正确答案）
B. 框架结构
C. 筒体结构
D. 悬挑结构
反弯点法中，对于多层框架，哪一层的侧移通常最大？
A. 顶层
B. 底层（正确答案）
C. 中间层
D. 所有层侧移相同
在反弯点法中，框架柱的剪切变形与哪项因素有关？
A. 柱的长度
B. 梁的线刚度
C. 柱的线刚度（正确答案）
D. 楼层数
反弯点法中，若某框架柱的反弯点位于柱高的0.4倍处，则该柱的哪部分主要承受弯矩？
A. 上部0.6倍柱高处
B. 下部0.6倍柱高处（正确答案）
C. 柱中点
D. 整个柱均匀分布
对于高层剪力墙结构，采用反弯点法计算时，哪一层的反弯点位置最高？
A. 顶层（正确答案）
B. 底层
C. 中间层
D. 所有层反弯点位置相同
在反弯点法中，框架结构的整体侧移主要由什么引起？
A. 柱的轴向变形
B. 梁的弯曲变形
C. 柱的弯曲变形（正确答案）
D. 梁的剪切变形
使用反弯点法计算框架结构的侧移时，通常假设框架柱的哪一部分刚度为无穷大？
A. 柱顶
B. 柱底
C. 反弯点以上部分（正确答案）
D. 反弯点以下部分。
框架结构在水平荷载下的计算反弯点法和D值法
l
l l2
46
（三）确定柱反弯点高度比y
柱反弯点高度，取决于柱子两端转角的相对大小。 如果柱子两端转角相等，反弯点必然在柱子中间；如 果柱子两端转角不一样，反弯点必然向转角较大的一 端移动。
影响柱子反弯点高度的因素主要有以下几个方面： ①结构总层数及该层所在的位置； ②梁、柱线刚度比； ③荷载形式； ④上、下层梁刚度比； ⑤上、下层层高变化。
(0.8)
A
E
2.7m
(1.2)
8.1m
(0.9) 3.3m
J
(0.8) 3.9m
I
28
解：由于框架同层各柱 h 相等，可直接用杆件线刚度的相对值计算各柱的
分配系数。
DH
M
（1）求各柱剪力分配系数：
(0.7)
(0.6)
(0.9)
C
G
K
顶层：
DC
0.7
0.318
0.7 0.6 0.9
任务二 水平荷载作用下的近似计算
框架结构在水平荷载作用下的 近似计算方法：
一、反弯点法 二、改进反弯点法——D值法
1
一、反弯点法
(一)水平荷载作用下框架结构的受力特点
框架所承受 的水平荷载主要 是风荷载和水平 地震作用，它们 都可以转化成作 用在框架节点上 的集中力。
2
一、反弯点法
(一)水平荷载作用下框架结构的受力特点
由此也可以看出，反弯点法是有一定的适用范 围的，即框架梁、柱的线刚度之比应不小于3。
5
水平荷载作用下框 架的变形情况：
当梁刚度无限 大时，水平荷载作 用下框架的变形情 况：节点转角为0， 各节点水平位移相 同。
6
②假定底层柱子的反弯点位于柱子高度的2/3 处，其余各层柱的反弯点位于柱中。
框架结构在水平荷载下的计算(反弯点法和D值法)(专业教育)
12i l2
课件教育
37
计算转角和位移的关系 – 节点 A 、B 处
Ma
4i a
2i b
6i l
V
6ia l
6i b l
12i l2
M 0
A:
4(i3 i4 ic
ic )
2(i3 i4 ic
ic )
6(ic
ic
)
u hj
j
0
B:
4(i1 i2 ic
ic ) 2(i1 i2 ic
值为该杆的线刚度比值。
37kN D
H
(1.5)
M (0.8)
(0.7)
(0.6)
(0.9)
3.3m
74kN
C
(1.7) G
(1.0)
K
(0.7)
(0.9)
B
(2.4) F
(1.2)
80.7kN
(0.6)
(0.8)
A
E
2.7m
8.1m
课件教育
(0.9) 3.3m
J
(0.8) 3.9m
I
28
解：由于框架同层各柱 h 相等，可直接用杆件线刚度的相对值计算各柱的
侧移又有转角。但是，当梁、柱的线刚度之比大于
3时，柱子端部的转角就很小，此时忽略节点转角
的存在，对框架内力计算影响不大。
由此也可以看出，反弯点法是有一定的适用范
围的，即框架梁、柱的线刚度之比应不小于3。
课件教育
5
水平荷载作用下框 架的变形情况：
课件教育
当梁刚度无限 大时，水平荷载作 用下框架的变形情 况：节点转角为0， 各节点水平位移相 同。
6
②假定底层柱子的反弯点位于柱子高度的2/3
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结构力学中反弯点法计算例题
————————————————————————————————作者：————————————————————————————————日期：
例：用反弯点法计算图1所示刚架，并画出弯矩图。
括号内数字为杆件线刚度的相对值。
图1
解：顶层柱反弯点位于柱中点
22h ，底层柱的反弯点位于柱高12
3
h 处，在反弯点处将柱切开，脱离体如图2、图3所示。
F QIF
F QHE F QGD G
I
8
图2 顶层脱离体
F QAD F QBE F QCF
G
I
F
E
D
8
17
图3 底层隔离体
（1）求各柱剪力分配系数k
k i
k k μ=∑ 顶层：
2
0.286223
GD IF μμ==
=⨯+
3
0.428223
HE μ=
=⨯+
底层：
3
0.3324
DA FC μμ==
=⨯+
4
0.4324
EB μ=
=⨯+
（2）计算各柱剪力：
0.2868kN 2.29kN QGD QIF F F ==⨯= 0.4288kN 3.42kN QHE F =⨯= 0.325kN 7.5kN QAD QCF F F ==⨯= 0.425kN 10kN QBE F =⨯=
（3）计算杆端弯矩，以节点E 为例说明杆端弯矩的计算 杆端弯矩：
2 3.33.42kN 5.64kN m 22
EH QHE h M F m =-⨯
=-⨯=-⋅（反弯点位于2
2
h 处） 1 3.6
10kN 12kN m 3
3
EB QBE h M F m =-⨯
=-⨯
=-⋅（反弯点位于柱12
3
h 处） 计算梁端弯矩时，先求出节点柱端弯矩之和为：
17.64kN m EH EB M M M =+=-⋅
按梁刚度分配：
12
17.647.84kN m 27ED M =⨯=⋅ 15
17.649.8kN m 27
EF
M =⨯=⋅ 图3是刚架弯矩图。
8 17
3.78
2.51
5.64
3.78
3.13
3.78
3.78
3.789
12.78
5.64
9.8
7.84
12
12.78
3.78
182418
9
图3 弯矩图（单位kN m
）。