一道课本问题的解决引发的思考
由一道教材例题引起的思考
由一道教材例题引起的思考新课程改革已经在我省全面展开，笔者认为新课程目标下，最基本的还是应该重视对教材资源的充分挖掘和利用。
这也是实现注意从学生已有的经验出发，让他们在熟悉的情景中感受物理思想的重要性，了解物理与日常生活的密切关系，逐步学会分析和解决与物理有关的一些简单的实际问题。
”的教学理念和实现高中新课程教育目标的基础与关键。
我以高中新课标教材《物理选修-3-4》为例，分别对新教材例题的研究；新教材概念的深入挖掘；新教材插图的充分利用，谈谈我的看法和做法。
一、重视教材例题习题我们虽然总是在提素质教育，可真正教学时，很容易让学生陷入题海当中。
如果我们能充分挖掘教材潜力，以课本为纲，让学生知道什么是最重要的。
实现让学生可以从教材走出去，也可以从容走回来。
教材例题是编委从大量习题中精选出来的，有很强的代表性。
我们应该从例题出发，触类旁通，举一反三。
我想这也是给学生减负的好方法。
笔者最近和学生曾经讨论一道习题，感受颇丰。
原题是这样的。
“井底之蛙”这个成语常被用来讽刺没有见识的人，现有井口大小和深度相同的两口井，一口是枯井，一口是水井(水面在井口之下)，两井底都各有一只青蛙，则( )a．枯井中青蛙觉得井口大些b．水井中青蛙觉得井口大些c．晴天的夜晚，枯井中青蛙能看到更多的星星d．晴天的夜晚，水井中青蛙能看到更多的星星学生们开始普遍感到无从下手。
而我在备课时想尽量降低学生理解的难度，从学生熟悉的知识入手。
后来我发现如果从教材一道例题出发就能很好的解决问题。
教材原题是一个储油桶的底面直径与高均为d.当桶内没有油时,从某点a恰能看到桶底边缘的某点b. 如图(a)所示,当桶内油的深度等于桶高的一半时，仍沿ab方向看去,恰好看到桶底上的点c, 如图(b)所示,c、b两点相距d/4.求油的折射率和光在油中传播的速度。
这是一道很常规的习题，学生很容易入手，当时讲的时候学生也普遍接受。
现在我换一个角思维问题。
第一步按着题中所说开始c点看不到a，a也看不到c。
一道课本习题的解答修正与教学启示
一道课本习题的解答修正与教学启示普通高中教科书·数学（人教A版）》必修第一册（2019年6月第1版）第156页拓广探索第13题：本题为开放探究题，考查学生对函数零点及零点存在定理的理解与应用.试题以含参数的类二次函数为背景，由函数的零点个数求参数取值范围，需对最高次系数、判别式进行讨论.在解决问题的过程中，渗透化归与转化思想、函数与方程思想、分类讨论和数形结合思想，是一道培养学生直观想象、逻辑推理、数学抽象等核心素养的好题.下面笔者给出几点教学启示，供读者参考.1 教学内容与要求的变化本题考查内容为必修第一册第四章《4.5函数的应用（二）》第一课时《函数的零点与方程的解》.与上一版教科书相比，新版教科书有几点重要变化：1.1 零点定义提前给出必修第一册第二章《2.3二次函数与一元二次方程、不等式》就给出了二次函数的零点的定义，用二次函数的观点认识一元二次方程，为一般函数零点的定义作了铺垫.这种由特殊到一般给出定义的方法，既符合《普通高中数学课程标准（2017年版）》的意图，又遵循了学生的认知规律，帮助学生从函数的观点认识方程，领悟函数的本质.1.2 课题调整，结论升级新版教科书的课题由原来“方程的根与函数的零点”调整为“函数的零点与方程的解”，将“函数的零点”提前，同时将上一版的“结论”升级为新版的“定理”，并给出了“函数零点存在定理”的名称.这种处理加强了该内容作为数学内部应用的定位，突出了函数的核心地位，并将重心放在应用函数性质研究方程的解上，体现了“用联系的观点看待问题”“用新观点看待旧事物”“用动态变化的观点看待静态确定的事物”等思想.1.3 例题要求提高新版教科书第143页例1：求方程lnx+2__6=0的实数解的个数.本题虽与上一版相同，但却提高了要求，不仅将该题作为引例使用，而且在教师教学用书中通过尝试函数的取值、放缩判断函数值符号f（2）=ln2-20，寻找函数零点所在的区间;也可转化为两个基本函数g（x）=lnx 与h（x）=-2x+6的交点个数.这些解法更符合教学实际，既有助于提高学生的估算意识，也拓展了学生的数学思维.2 “函数零点存在定理”的理解与把握“函数零点存在定理”在数学分析上是“闭区间上连续函数的介值定理”的特例，由捷克数学家波尔察诺在1817年首先证明.但由于当时缺乏实数理论，证明不严格，后由德国数学家魏尔斯特拉斯将这个证明严密化.可以看出，由含参数的函数在某个区间上的零点个数求参数取值范围，实际是用函数在某个区间上存在零点的必要性，由于必要性不一定成立，解题时要格外小心，不要遗漏情况.当然如果给出的函数在定义域上是单调函数，那么函数最多有一个零点，这样就一定成立了.。
对一道课本例题的多解探究及教学反思
对一道课本例题的多解探究及教学反思在教学过程中，常常会遇到一些例题，这些例题既能帮助学生巩固知识，又能训练他们的思维能力。
然而，经过一段时间的教学实践，我发现学生在解答例题时，通常只能掌握一种解题方法，缺乏灵活运用的能力。
为了提高学生的多解思维能力和解题技巧，我进行了一次关于一道课本例题的多解探究，并进行了相应的教学反思。
这道例题是关于求解二次方程根的问题：已知二次方程 x² - 5x + k = 0 有两个不相等的实根 m 和 n，且 m、n的和为 10，求 k 的值。
这道题目是一个典型的二次方程求解问题，解题思路及方法多种多样。
在进行多解探究时，我引导学生按照不同的思路和方法进行解答，并比较其优劣和适用性。
解法一：使用求和、求积关系根据题意可得：m + n = 10，mn = k。
由二次方程的求根公式可知：m + n = 5，mn = k。
通过联立这两组方程，可以求解出 m 和 n 的值，进而得到 k 的值。
解法二：使用平方差公式根据题意可得：m + n = 10，mn = k。
在代入二次方程的求根公式时，可以利用平方差公式将二次项进行拆分，进而求解出 m 和 n 的值，从而得到 k 的值。
解法三：使用因式分解思路根据题意可得：m + n = 10，mn = k。
我们可以将二次方程进行因式分解，将 x² - 5x + k = 0 变形为 (x - m)(x - n) = 0 的形式，通过比较系数可以求解出 m、n 的值，从而得到 k 的值。
通过对以上三种解法的探究，学生们发现了不同的思路和方法，并且比较了它们的优劣和适用性。
这种多解思维的培养有助于学生的创新思维能力和解题技巧的提高。
在教学中，我还可以引导学生探究更多的解题方法，培养他们的灵活性和思考能力。
在教学实施过程中，我结合多媒体教学手段，通过展示课本例题的多种解法，激发学生的学习兴趣和求知欲。
我注意引导学生思考每种解法的优缺点，并帮助他们总结出适用场景和适用对象。
由一道课本试题引发的思考
由一道课本试题引发的思考七年级学生经常会在练习题中遇到这样的一道几何习题（例1），此题是全等三角形的经典习题，从它上面，我们可以发掘更多、更深的知识。
笔者在实际教学中对此题的讲解，深得学生的赞赏，现将此题拿出来，跟广大师生读者分享，希望大家能获得更多的解题心得。
图1例1如图1，在△ABC中，已知AB=AC,BE=CD。
求证：AD=AE。
??分析：此题的常规思路是通过说明△ABD≌△ACE来证明AD=AE。
显然求证条件是足够的，在△ABC中，AB=AC已经隐含了∠B=∠C，加之BE=CD，即BD+DE=DE+EC，实际上就是BD=CE，故△ABD≌△ACE（SAS）。
当然如果考虑到AD，AE是△ADE的两边时，那么说明△ADE是等腰三角形也不失为一种方法，但要说明△ADE是等腰三角形时，就要证明∠ADE=∠AED，而要证明∠ADE=∠AED，就得证明∠ADB=∠AEC，其实就是说明△ABD≌△ACE，可见我们回到了第一种方法上，当我们把题目多角度思考时，总会收获许多知识。
另外，从等腰三角形的性质入手，也可以找到解题途径；通过作底边上的高，可以得到多个直角三角形，再结合其他条件（BE=CD）就可以解讲问题。
??证明：由AB=AC?荨?B=∠C。
??BE=DC（BD+DE=DE+CE)??BD=CE。
??在△ABD和△ACE中，AB=AC，??∠B=∠C，??BD=CE?荨?ABD≌△ACE(SAS)。
??图2另证：如图2，取BC的中点F，连结AF，则BF=CF，AF ⊥BC。
（△ABC是等腰三角形）??∵BE=BF+EF，CD=CF+DF，CD=BE，??∴DF=EF，∴在??Rt??△AEF和??Rt??△ADF中，??AF=AF，?ぁ?AFD=∠AFE，??FO=FE，∴??Rt??△AEF≌??Rt??△ADF。
??∴AD=AE。
??笔者在第一题的基础上，稍作改变，得到了以下两道新题，这两个题目的解题思路可以极大地丰富我们对全等三角形及相关知识点的认识。
一道课本例题教学所引发的思考
一道课本例题教学所引发的思考——为学生打开自主学习的空间浙江省天台中学王修凯摘要：新课程改革遵循“以学生发展为本”的理念，大力倡导建立自主、合作、探究的学习方式，改变原有的单一、被动的学习方式，促进学生主动地、富有个性的学习。
自主学习以学生自己的认知与经验来建构活动过程的，通过亲身体验、讨论、反思实现由感性认识发展到理性认识。
自主学习能激活、诱导学生的学习积极性，促进学生思维能力的发展，提高学生探究的意识。
关键词：自主学习优化反思转变观念现在，整个教育界都在提倡创新教育，自主探究式学习，我也曾经尝试着在课堂上渗透让学生自主学习的思想，我也曾努力创设情景给学生们多一些创新的机会，允许并鼓励他们在课堂上提出自己的看法，但课堂教学，特别是目前仍受考试压力影响的高中课堂中，教师和学生依然面临着升学压力。
无奈的现实让我很难在课堂上落实这些“理念”：毕竟学生这么多、课时这么少、教学任务又如此之重，作出一个教学决定又要考虑方方面面的因素，权衡各种关系。
可一次偶然的机会，让我彻底改变了原先的观念，原来，教育的机会就在平时普通的课堂中。
一、例题教学的再现例题高中新课本《数学》第二册（上）第106页例3一炮弹在某处爆炸，在A处听到爆炸声的时间比在B处晚2s。
（1）爆炸点应在什么样的曲线上？（2）已知A、B两地相距800m，并且此时声速为340m/s，求曲线的方程。
如何通过这道例题的讲解，为学生打开自主学习的空间呢？首先设爆炸点为P，那么在A处听到爆炸声比在B处晚2s，说明什么问题？学生思考后很快说出点P在距A处较远、距B处较近的位置上，且点P到A处的距离与它到B处的距离的差是一个常数3402⨯m。
我进一步问道，那么点P在怎样的曲线上？学生回答，点P在以A、B为焦点的双曲线上，且在离B处较近的一支上。
显然，这种解答不够全面，接下去是老师讲出正确答案，还是让学生讨论探讨出其他的可能性呢？我用鼓励的目光望着大家，问：大家还有其他想法吗？过了一会，有同学提出了不同意见：点P不一定在双曲线上，因为由题意只能知道点P 到A处的距离与它到B处的距离的差是一个常数3402⨯m，但并未说明这个常数小于A、B 两处的距离。
一道课本例习题教学引发的思考
一道课本例习题教学引发的思考摘要：课本中例习题是从数不清的数学题中海选出来，就赋予所选出来的都是典型性和启示性，因此在“活”用课本例习题应当注意特别是变式教学时要注重如何更好的形变，如何更好的在“度”、“宽”上的掌控，让学生从不同角度、不同层面去看问题，从学会更好地解决问题。
关键词：数学；课本例习题；反思课本中例习题是从数不清的数学题中海选出来，就赋予所选出来的都是典型性和启示性，因此在教学过程中对教材中的例题，习题可以从多个角度来挖掘其深层次的数学本质，并结合利用变式教学通过改变数学表征问题，来达到更好地揭示数学本征问题的目的。
下面以八年级上册第十三章轴对称13.3.2等边三角形习题13.3综合运用(P83)12题为例谈谈针对一道课本例习题教学引发的一些思考：一、注重引导，寻思关键在课本例习题教学中，教师要先指引学生从题设出发，通过观察图形，自主学习与探讨交流，然后写出证明过程。
本题对于学生来说，没有障碍，由已知条件等边三角形自然联想到其性质：三条边相等，三个角相等，学生由图形自主探究构建全等三角，再进行合作交流，找出间边与角之间对应关系，且角的相等是证明全等的关键。
课本这道例习题的教学价值在于学生通过学习后能够完成文字语言与符号语言之间的转换，检验学生对基本概念知识、方法的掌握情况，目的在于让学生学会观察、分析、概括、归纳，提升语言表达能力。
二、深入挖掘，一题多解数学教学中，为了激发学生的思维和建构知识间的链接，往往是在解决问题时从多角度促使知识间的联系。
因此十分有必要对课本中例习题进一步进行挖掘，比如八年级上册第十三章轴对称13.3.2等边三角形习题13.3综合运用(P83)12题，这是一道基础题，如若在教学过程中教师讲过就将之抛在一旁，那乃是捡了芝麻丢了西瓜之举。
在数学课堂中，时常用来拓展学生数学思维形成的教学策略之一是一题多解，这种教学策略能很好地引导学生从不同角度看待问题、解决问题。
一道课本习题的解题教学反思
一道课本习题的解题教学反思设计一：本题从题目上读字面意义要求画出函数的图象，并求出函数的解析式，训练的是奇函数的图象关于原点成中心对称图形，由已知x≥0时，f（x）=x（1+x）是二次函数，做出此时函数的图象，再利用高一学生在初中就已经很熟知的中心对称的方法，画出x0时的图象，利用待定系数法，求出此时的解析式。
设计二：运用转化的数学思想。
题目中给出条件是奇函数，满足f（__）=-f（x），利用奇函数的定义及转化的数学思想方法，将所要求x0时的解析式转化到已知解析式（x≥0）上，求出函数的解析式。
反思一：教学设计。
本节课达到了教学目标，使学生感受了数学思想方法的应用，对上述三种解题设计方案我比较倾向于第一种和第二种，第一种方案遵循教材原有意图，符合高一学生的原有的认知规律，是学生很容易接受的，但是第一种方案的局限性很强，当遇到不好作图的题目或者是学生不熟悉的函数图象时，学生是无从下手了，第二种解法更具有一般性，利用了转化的数学思想，适用于这一类的题目，因此设计上比第一种方案好，第三种方案从理论上讲是应用了转化的数学思想，但这种方法在学习了解析几何之后能够更好的理解，对高一学生有认知困难。
反思二：学生接受的情况。
课堂上学生对第一种方案接受较好，完全是自主完成解题过程，相应的练习及课后的作业接受的都很到位。
对第二种方案就如预期的一样，有部分学生不知道应该设x的什么范围，也不知道为什么要将__代入x≥0时的解析式中，这是对分段函数的不理解造成的问题。
对于第三种方案，在课后的习题及测试中，我发现有部分同学喜欢这种方法，他们的解释是只需要将（__，-y）代入就行了，很简单。
应该说从函数的意义上，他们不是完全理解。
反思三：对今后教学的指导意义。
我对这节解题教学设计的预期基本达到，但不足之处也很多，由于第二种方法还有部分同学不是很能掌握，要继续对他们的个别指，针对此方法对分段函数做更多的课前复习，达到双嬴。
第三种方法不是很适合在高一这么早的时候讲解，会给学生养成不好的学习习惯，只是死记解题过程，而不求思维过程，学生在此方法中对符号的使用也易混乱。
一道课本习题的多种解法及反思
题目 (人教A 版《数学》选择性必修一课本P38第2题)PA ，PB ，PC 是从点P 出发的三条射线，每两条射线的夹角均为60 ，那么直线PC 与平面PAB 所成角的余弦值为（ ）A.12B. 22 C. 33 D. 36几何问题通性通法通性通法是具有普遍意义的方法和相关知识，因为问题中PA ，PB ，PC 的长度没有给出，需要用一般的量来表示解决问题，体现对数学本质的思考．解法1 在PC 上任取一点D 并作DO APB ⊥平面,则 DPO 即为直线PC 与平面PAB 所成的角．过点O 作OE PA ,OF PB ,垂足分别为E F ,．因为DO APB 平面，所以DE PA ,DF PB ,所以△△DEP DFP Ｑ．所以EP FP =,所以△△OEP OFP Ｑ．因为 APB =60 ,所以 OPE OPF ==30 ．设OE b =，所以OP b PF b PD b =2,=3,=23,所以cos === DPO OP PD 一道课本习题的多种解法及反思王希红ABC DE FPO由n nPA PB,,则n a b c a⋅=++⋅PA x y z()=+⋅+⋅x y za b a c a2=+a x aby212+=012acz, n a b c b⋅=++⋅PB x y z()⋅++⋅x y za b b c b2=+12abx b y bcz2+=012．取x b y a=,=,则z=−3abc，所以n a b c=+−b a3abc,n a b c c⋅+−⋅PC b a3abc⋅+⋅−b aa cbc c3abc2=+−=−1122abc abc abc abc32,||n===6ab, cos<,>nPC=||||nn⋅PCPC==设直线PC与平面PAB所成角为θ，则sin=|cos<,>|=θPCn36．因为θ∈0,π2，所以cos1sinθθ=−=233．所以 x z y z −=−=00，，取z =1，则x y ==1,所以平面PAB 的一个法向量n =(1,1,1)．则cos ,<>===n PC |||| PCPC ⋅n n 23¨263．设直线PC 与平面PAB 所成角为θ，则sin |cos ,|θ=<>=nPC 36．因为θ∈0,π2，所以cos 1-sin θθ==233．直线PC 与平面PAB 所成角的余弦值为33． （王希红，山东省聊城第一中学）第34页参考答案：1.P 到直线C D 11的距离即为PC 1，在面BCC B 11中，动点P 到定点C 1的距离与到定直线BC 的距离之比为2，因此点P 轨迹所在曲线是离心率为2的双曲线，选C.2.设侧面PAB 与底面ABC 所成的二面角大小为θ，过M 作MO 垂直于底面ABC 于O ，过O 作OD 垂直于AB 于D ，则∠MDO 即为θ，所以MO MD =sin θ，即MDMP=sin θ.因为θθ∈π∈(0,),sin (0,1]，当0sin 1<<θ时M 所在曲线为椭圆；当sin 1θ=时M 所在曲线为抛物线．故选BD.第44页参考答案：证明：（法1）记不等式左边为A ，构造A 的对偶式：B =...+a a a a a a a a 122311a a ++++2122+++a a 322n n n −n ，同例3的方法可证明．（法2）由柯西不等式，设a a 1+1=n ，知不等式左边∑i =n1a a i i +aii 2+1≥=∑i =n1()()∑aa =n1ii a +i 2+112.（本题由于数列平方因子出现，显然直接用柯西不等式最简单．）。
一道课本立体几何题引发的思考讲解
一道课本立体几何题引发的思考丰县华山中学王永青85683561为什么有些学生花了很多时间，做了大量题目，就是不得解题的要领呢？缺少对解题过程的反思是其中一个非常重要的原因，数学解题过程分以下几个步骤：审题→探索→表达→反思；反思是解题过程的深层次的思考；是进一步深化，整理和提高的过程，是进一步开发解题的智力价值过程；也是再发现和再创造的过程。
下面从课本一道立几题的反思入手来分析和解答此题。
倒1：P、A、B、C是球O的面上的四个点，PA、PB、PC两两垂直，且PA=PB=PC=1，求球O的体积和表面积。
（课本P73，例2）图1 图2具体解法见课本例题解答反思：仔细研究此图形，不难发现这三条互相垂直的线可以看作是某个正方体的一个顶点出发的三条棱，如果能看到这一点的话，我们可以利用补形的方法来完成此题的解答过程，把它补成球的内切正方体，而球的内切正方体的体对角线必过球心，这样就很容易地求出D球的直经，从而求出球的体积S=3 。
由此可见在立几中，正、长方体是立几中的重要模型，教学积累使我们感到有不少 的数学问题通过构建正、长方体，可使复杂的问题简单化，抽象问题直观化，实施问题的有效转换，使问题的解决变的简捷易行。
此为课本立几中的一例题，在此题中我们感受到立几中的基本图形的重要性，同时要对基本图形有一个比较深刻的了解，能感受到它的内部结构，这样就可用补形的方法来完成解题的过程。
变式1：P 、A 、B 、C 是球O 的面上的四个点，PA 、PB 、PC 两两垂直，且PA=1，PB=2，PC=3，求球O 的体积和表面积。
(构建球内接长方体可解)变式2：已知球面上的四点O 、A 、B 、C 满足OA 、OB 、OC 两两垂直，且球面上一点P ，到OA 、OB 、OC 的距离分别为3、4、5，求球的直径。
例2：一个正方体如图那样截去四个三棱锥，得到一个正三棱锥A-BCD ，则截得到的正三棱锥的体积是正方体体积的几分之几。
对课本一道例题解法的反思
评价研究2014-03对课本一道例题解法的反思文/李国强在数学必修4第一章1.4.2节中求三角函数周期的例题2（课本34页）中，开始时总觉得学生有点难理解，当时问了旁边的学生，学生确实同感。
后来必修4学完后，经过反思，我对三角函数求周期的问题也有了进一步的了解与认识。
现在和大家一起分享我的反思过程。
学习三角函数的图象后，不难发现三角函数值及其图象具有“周而复始”的变化规律，如下图所示的正弦函数和余弦函数的图象y通过函数图象我们可以观察到每隔2k π（k ∈Z）个单位，函数图象以及函数值都会重复出现，根据周期函数的定义知：而对于函数f （x ），如果存在一个非零的常数T ，使得当x 取定定义域内的每一个值时，都有f （x+T ）=f （x ），那么f （x ）就是周期函数，而T 就是这个函数的周期，所以正弦函数和余弦函数也是周期函数.三角函数的周期性是三角函数最基本、最重要的性质之一。
在必修4第一章1.4.2节中的例题2中就是有关求三角函数周期的例题。
下面是摘自课本原题的一个小题。
课本（必修4）第34页求下列函数的周期。
例2（2）y =sin2x ，x ∈R ，解：∵sin2（x +π）=sin （2x +2π）=sin2x ，∴由周期函数的定义可知，原函数的周期为π对于以上例题所用的解法，看似简单但对学生来说，却不太容易理解。
很多学生都会提出质疑：例2的小题是类似f （x ）=sin x 的正弦函数，但它们都不是正弦（或余弦）函数。
所以没办法直接用我们学习正弦函数的周期2k π直接带入，此时也并不懂得如何去求类似正弦函数的周期函数的周期。
而课本在解答时为何直接在函数的变量后加一个π呢？如sin2x =sin2（x +π），正弦函数的周期不是2k π吗？为何此函数不直接写成sin2x =sin2（x +2k π），抑或为什么不在x 后加上2π，3π，4π…n π呢？同样的道理为什么2sin （12x -π6）=2sin ［12（x +4π）-π6］？为什么要加上4π，就不加2π，5π，…n π呢？这些问题令很多学生迷惑不解.后来经过仔细阅读，我发现每道题的解答后都有一句话:“由周期函数的定义可知……”但是仅凭周期函数的定义就可以直接这样判断出函数的周期，这样的说法对刚接触周期函数的高一学生来说难度有点大。
一道课本例题的解法思考
一道课本例题的解法思考时逢数学课程改革, 我们在概率的教学过程中遇到了一个例题, 从而引发了备课组内的一场争论, 进而引起我们对以前同类型的概率问题的反思。
现将我们争论的问题作一归纳, 并给出我个人的理解和解决的办法和同行们交流题目某种饮料每箱装6听，如果其中有2听不合格，问质检人员从中随机抽出2听，质检出不合格产品的概率有多大？(人教A版数学必修3第129页例5)解法1 (教材解法)用1,2,3,4分别表示合格的4听饮料,不合格的2听分别记作,a b，只要检测的2听中有1听不合格，就表示查出了不合格产品.依次不放回从箱中取出2听饮料,得到的两个标记分别记为x,y,则(x,y)表示一次抽取的结果,即基本事件.由于是随机抽取,所以抽到任何基本事件的概率相等.用A表示抽出的2听饮料中有不合格产品0,A1表示/仅第一次抽出的是不合格产品0,A2表示/仅第二次抽出的是不合格产品0,A12表示/二次抽出的都是不合格产品0,则A1,A2和A12是互斥事件,且A=A1GA2GA12,从而P(A)=P(A1)+P(A2)+P(A12).所以P(A)=830+830+230=016.解法2 (来自学生的解法)用1,2,3,4分别表示合格的4听饮料,不合格的2听分别记作a,b,只要检测的2听中有1听不合格,就表示查出了不合格产品.一次从箱中取出2听饮料,我们列出试验的所有结果是{1,2},{1,3},{1,4},{1,a},{1,b},{2,3},{2,4},{2,a},{2,b},{3,4},{3,a},{3,b}, {4,a},{4,b},{a,b},共15个基本事件.由于是随机抽取,所以抽到任何基本事件的概率相等.用A 表示/抽出的2听饮料中有不合格产品0,则事件A中包含的基本事件是{1,a},{1, b},{2,a},{2, b},{3,a},{3,b},{4,a},{4,b},{a,b},共9个.所以P(a)=915=0.6.上述两种解法虽然得到了相同的答案，但思路却不同，解法1采用逐次不放回的抽取，即抽法是有次序的，而解法2采用了一次抽取，抽法是无次序的。
由一道题的解法引发的思考
由一道题的解法引发的思考我是一名小学教师，从教以来一直承担数学教学工作，工作成绩多次得到了上级领导和许多家长的肯定，自己也觉得对小学数学教学工作已是胸有成竹。
但是在教授了北师大版教材五年级下册《数学与购物》之“购物策略”后，我的学生却给我上了一节使我印象非常深刻的“课”，深深体会到了“学无止境”。
本节课的教学目标是：使学生通过购物具体情境经历探索最佳购物的方法，形成解决问题的基本策略，重点是发展学生的实践能力以及应用知识解决生活中实际问题的能力，特别是通过比较找出最佳的购物策略。
重点是让学生通过实践掌握如何选择最佳购物策略。
课前我引导学生们首先做社会实践调查，使学生初步了解了实际生活中人们是怎样选择最佳的购物策略的。
比如说同一种商品怎样购买会更合算：既省钱又实惠或怎样花最少的钱买最多的商品。
学生们有了这样调查及相应的知识准备后，本节课的内容教起来非常容易，对于课本上出现的题目学生都能快速准确解决。
我感觉这节课又成功了！但后来发生的一件事却使我深受震撼。
有一次我们在做练习时遇到了这样一道题：骊山风景区门票是每位50元，20人以上（含20人）的团体票可打八折，现有17人，如何购票比较合算？学生们根据自己的经验解决了这个问题，学生的解法有两种，一种是：先算正常购票要花的钱数，50×17=850（元）再看优惠政策：20人以上（含20人）的团体票可打八折，因为17人达不到20人的优惠条件，所以不加考虑，因此结论是只能按正常方式买票。
另一种解法是：先算正常购票要花的钱数，50×17=850（元），但对优惠政策想法不同：50×20×80﹪=800（元）。
这部分学生的思路是：17人接近20人，我们可以按20人来买票，只要花钱少就合算了。
说实话，当时我认同的是第一种做法，我也认为17人不够优惠条件所要求的人数，因此不能享受优惠条件，所以当时我给学生表明了我的观点。
小学生，老师怎么说他们就怎么信，于是就集体认同了第一种解法。
由一道课本例题带来的日常教学思考
由一道课本例题带来的日常教学思考对数学问题多种解法的不懈追求，体现了数学思维的深刻性、发散性、变通性、灵活性、流畅性和开放性.本文介绍一道课本习题的多解、推广、反思.一、课本上的一道例题：浙教版八上《3.2直棱柱的表面展开图》P58书本例题：如图，有一长方体形的房间，地面为边长4米的正方形，房间高3米.一只蜘蛛在A处，一只苍蝇在B处.⑴试问，蜘蛛去抓苍蝇需要爬行的最短路程是多少？⑵若苍蝇在C处，则最短路程是多少？问题解决——谜底：二、例题教学后的反思：对于立方体表面展开图这个概念的形成，由于很难下一个简洁明了的定义，所以课本先安排了一个合作学习的栏目，让学生把一个立方体纸盒沿某些棱剪开，且使六个面连在一起，然后铺平，得到一些平面图形，然后再通过体例、练习和作业题来理解概念，进一步迁移到其他直棱柱的表面展开图。
从学生能力发展的要求来看，形成数学概念(或定义)，提示其内涵与外延，比数学概念(或定义)本身更重要。
当学生对于概念、定义有了初步理解(或了解)，但这种理解还不十分稳定、清晰的时候，可以在变式中辨别是非。
在复习概念(或定义)的教学过程中，利用问题变式可加速加深学生对概念的理解，巩固所学知识，提高学习的兴趣和积极性，从而培养学生阅读理解、观察与分析、抽象与概括等能力。
三、题目变式教学题目变式包括条件的探究(增加、减少或变更条件)、结论的探究(结论是否唯一)、数与形的探究、引申探究(命题是否可以推广)等。
在解题复习课或试卷讲评课的教学中，利用问题变式可使学生掌握姊妹题甚至一类题的解法，从而使学生运用数学思想方法去分析问题和解决问题的能力得到提高，探究创新的能力得到发展。
．变式1：如图1，有一个圆锥粮仓，其正视图为边长是 6em的正三角形。
粮仓的母线AC的中点P处有一老鼠正在偷吃粮食。
此时，小猫正在B处，它要沿粮仓侧面到达P处捕捉老鼠，求小猫所经过的最短路程的长。
变式2：如图2所示的圆柱体中，底面圆的半径是 1，高为2。
由一道课本习题引发的教学反思
与信 封标号都不 同的装法种数 ” ，设 “ ｉ 封信与信封 的标号都 不
同的装法 种数 ”为 （ ｉ ＝２ ，３ ，４ ，５ ） ，用 枚举 法易得 ａ ｓ ＝１ ，
、
错 解 呈 现
ｓ ：２ ａ ．现在先求 ａ ４ ，显然 ４封信 分别装入 ４个信封 的装法种 数 共有 ＝４ １种 ，它们可 以分成 以下 四类 ：４封信都与信封标 号 不 同 ，恰有 ３封信 与信封标 号不 同，恰有 ２封信 与信封标 号不 同 ，４封信都 与信封标号 相同．于是 有 ４ Ｉ －ａ ４ ＋ｃ ； Ⅱ ３ ＋Ｃ ｊ ｏ ， ２ ＋１ ， 所以ｏ ４ ＝４ １ 一Ｃ １ ｓ —ｃ ａ ； 啦一１ ＝９ ．同理可得 ，５ 封信 与信 封标 号都
Ｂ＋Ｃ ） ＝ Ｊ ｐ （ Ａ） ＋Ｊ ｐ （ ＋ 有标号 为 １ ，２ ，３ ，４ ，５的五封信 ，另有 同样标号 的五个信封． 又显然事件 Ａ、Ｂ、Ｃ彼此互斥，所以 Ａ＋
现将五 封信任意地装 人五个 信封 中 ，每个信 封装一封 信 ，试求 “ ｐ ｆ 、 一 墨 — — ＋ 王 — 一 ＋＿ ｌ ＿ ， 一 Ｌ
生平时的解 题水平 ．
收稿 日期 ：２ ０ １ ３ — ０ ２ — １ ６
Ｅ ｕ ｌ ｅ ｒ ，１ ７ Ｏ ７ 一ｌ ７ ８ ３ ） 称为 “ 组合数 论 ”的一个妙 题．很 多数 学
作者简 介：施 永新 （ １ ９ ６ ３ 一） ，男 ，江苏海 门人 ，副教授 ，主要 从事数学教育与数 学教 育技 术研 究
有 一封信 与信封 的标 号一致 ”两种情况 ．
１ ７ ４ ８ ） 的儿 子丹 尼尔 ・ 伯努 利 （ Ｄ ａ ｎ ｉ ｅ ｌ Ｂ ｅ ｎｏ ｒ ｕ ｌ ｌ ｉ ，１ ７ ０ ０ —１ ７ ８ ２ ）
对人教版小学数学教材“解决问题”教学的一些思考
对人教版小学数学教材“解决问题”教学的一些思考根据《数学课程标准（2011年版）》重新编写的人教版《义务教育教科书数学》有了很多的新变动，其中一个显著的变化是设置了专门的“解决问题”教学版块，它也成为人教版新教材的一大特色。
正如人教社教材的编者所说的：“每一例题都呈现了解决问题的一般步骤，即理解现实的问题情境，发现要解决问题的数学问题——分析问题从而找到解决的数学问题——对解答的结果和解决的方法进行检验和回顾反思。
”诚然，新教材给我们带来新的希望，同时也给我们带来新的挑战。
通过回顾和反思近两年的教学实践，我们注意到这一相关内容的教学是不尽不意的。
主要表现在：第一，忽视对“解决问题”的三个基本步骤的教学，要么是仍然按照以往应用题教学的方法和程序进行教学，带领学生急于“找方法”、求答案；要么又显得比较僵化，在三个步骤的教学上过于纠结，很多时候失去了在“解决问题”过程中获取知识、积累经验的契机。
第二，由于在一、二年级的教材中过早地出现了相当多的“方法”，使得很多教师觉得很多困惑，是不是每种都需要教学呢？这样做的结果使得解决问题的教学显得过于琐碎。
第三，作为“解决问题”的课堂教学是否有其特有的课开型要求或教学范式，其基本的模式又是怎样的？等等。
产生这些教学困难和困惑的原因有多方面的因素，因此及时总结、研究问题、改进教学、做好衔接应该是用好新教材的重要举措。
为此通过回顾教学实际、研讨新教材、结合专题调研案例，我人们就人教版新修订教材中“解决问题”教学版块的一些问题提出我们的一些思考。
一、关于“解决问题”的步骤，要帮助学生从知道“形模”到形成“意模”针对一些教师对“解决问题”的三个基本步骤教学不够重视和僵化处理的问题，必须引起我们足够的重视，为此我们提出两点建议：1．立足起步和基础，重视三个基本步骤的教学。
其实教材在进行“解决问题”教学的起步阶段就设置和安排了“解决问题”三个基本步骤的学习是有着非常重要意义的。
一道课本例题的教学反思及优化设计
一道课本例题的教学反思及优化设计教学反思是教师教育教学过程中一种重要的思考方式，它可以帮助教师反思教学中的不足之处，寻找教学的有效方法与策略，从而不断提升教学质量。
在本文中，我将分享一道课本例题的教学反思及优化设计，以期为教学实践提供参考。
例题内容为一个关于代数化简的问题，如下：已知表达式为 2(a + b) - 3a + 5b - 4a + b + 2(a + b) + 3a - 5b + 4a - b，求该表达式的结果。
在教学反思中，我发现学生在解决这道题时遇到了一些困难。
首先，他们对于如何将同类项合并，以及如何运用加法和减法的规则进行化简还没有很好的掌握。
其次，他们在计算过程中容易出错，导致最终结果有误。
在此基础上，我对该例题的教学设计进行了优化。
首先，为了帮助学生更好地理解同类项的概念和运算规则，我设计了一个开放性的启发式问题：小明有3个苹果，小红有2个苹果，小李有5个苹果。
请问他们一共有多少个苹果？通过这个问题，我引导学生将同类项进行合并，将问题转化为简单的加法运算。
这样可以帮助学生更直观地理解同类项的概念，并掌握同类项合并的方法。
接下来，我设计了一个练习题，让学生巩固所学的概念和方法：计算表达式 (2x + 3y) - x + 4y - 2x + y + (3x + 2y) - y - 4x + 2x - y通过这个练习题，学生可以运用所学的同类项合并的方法，将表达式简化为最简形式。
同时，我会要求学生逐步展示计算过程，并鼓励他们交流和分享自己的思考。
这样可以提高学生的思维逻辑能力，帮助他们理解和应用代数化简的方法。
在教学过程中，我会根据学生的实际情况进行差异化教学，对于掌握较好的学生，我会提供更多的挑战性例题，以拓展他们的思维能力；对于掌握较差的学生，我会提供更多的练习机会，并进行个别辅导。
此外，为了增加学生的参与度和兴趣，我还设计了一个小组合作活动。
我将学生分成若干小组，每个小组共同完成一个复杂的代数化简问题。
问题教材的教师心得体会
作为一名教师，我深知教材在教育教学中的重要性。
教材是教师传授知识的载体，是学生获取知识的重要来源。
然而，在教育教学实践中，我们经常会遇到一些问题教材，这些问题教材不仅影响了学生的学习效果，也让我这个教师深感困扰。
以下是我对问题教材的一些心得体会。
首先，问题教材的存在让我们教师难以把握教学进度。
问题教材中存在着诸多错误，如概念混淆、数据不准确、内容重复等。
这些问题使得我们在教学过程中不得不花费大量时间去纠正学生的错误观念，从而影响了教学进度。
面对这种情况，我深感无奈，只能通过加强课堂讲解和辅导，尽量弥补教材的不足。
其次，问题教材的存在让学生难以掌握正确知识。
教材是学生获取知识的重要途径，问题教材中的错误会导致学生形成错误观念，进而影响他们的学习效果。
例如，在数学教材中，如果出现了错误的计算方法，那么学生在解决实际问题时就会陷入误区。
为了让学生掌握正确的知识，我不得不花费更多的时间和精力去讲解、纠正，让他们在正确的道路上前进。
再次，问题教材的存在增加了教师的工作量。
由于问题教材中的错误，教师需要花费更多的时间和精力去备课、讲解、辅导，从而增加了我们的工作量。
在这种情况下，教师往往会感到疲惫不堪，影响了教育教学质量。
针对以上问题，我在教育教学实践中总结出以下几点心得体会：1. 提高自身素养，增强对问题教材的识别能力。
作为一名教师，我们要具备较高的专业素养，对教材中的问题有敏锐的识别能力。
这样，我们才能在教学中及时发现并纠正问题，确保学生掌握正确的知识。
2. 注重与学生的沟通，了解他们的学习需求。
在教学中，我们要关注学生的实际需求，了解他们在学习过程中遇到的问题。
这样，我们才能有针对性地进行教学，提高教学效果。
3. 加强与同行的交流，共同探讨问题教材。
在教育教学中，我们要与同行分享经验，共同探讨问题教材。
通过交流，我们可以找到解决问题的方法，提高教育教学质量。
4. 积极向有关部门反映问题教材，推动教材质量的提高。
一个课本应用问题引发的思考
０＝０， －９ －１ ５ ） （ 负 ｈ ＝－ （ １ ２
２ ） ｈ ４ ０ｍ ｉ ｎ或 ＝ （ ＝ ３
离， 又要考虑运动的方向 ， 因此物体的运动过程可 用向量表述 ．课本例题也要 求求 出相 应的 舰艇 航 行的方向 ． （ ）我们先考虑舰船可能航行的方向 １ 结合向 量 有 关 知 识 ， 在先不知道舰艇航行方 向时 ， 可以以军舰 ≏ 的出发点为圆心构造一个 圆， 该圆的半径是以速度 ２ ／ １ｎｍ ｉ ｌ ｅ ｈ 的速度向外 小时后 ， 军舰应该 在以 ２ １ ｎｍ ｉ ｌ ｅ 海里 为 半 径 的 圆 上 ， 任何一点 都有 可 能 ． 又因为本题中渔船 的航向一定 ， 从 点出发沿方位 角１ 如 图 ２ 所 示， ０ ５ ʎ方向航行 ， → 按照向量 方向匀速运动 ． （ ）考虑两船的相遇点 ２ 圆， 此时渔轮是以 为端点 ， 沿 则经过 扩展 ，
， 方位 角 １ ． ８ ʎ ≈２
图２
圆 ≏ 在动 态 扩 张 过 程 中 ， 产生若干个同心 方向所在射线 匀速递增的一条变 化 线 段 ， 则动线段与动圆第一
２ ０ １ ７ 年第 １ １ 期 中学数学月刊 · ５ ７· 次有公共点时的位置 为以 ≏ 处， 也即两船相遇时 ， 点 该小艇沿直线方向以ˊ ｎｍ ／ ｉ ｌ ｅ ｈ的航行速度匀速 行驶 ， 经过ˇｈ 与轮船相遇 ． （ ）若希 望 相 遇 时 小 艇 的 航 行 距 离 最 小 ， 则 １ 小艇航行速度的大小应为多少？ （ ） 为保证小艇在３ 含３ ） 能与 ２ ０ｍ ｉ ｎ内 （ ０ｍ ｉ ｎ 试确定小艇航行速度的最小值 ． 轮船相遇 ， 分析 对于第 （ ） 问， 与例题为同一题型 ， 但 １ 方程中含两个未知 直接使用余弦定理 无 法 处 理 ， 量． ⦠
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一道课本问题的解决引发的思考
摘要：数学课程改革应倡导教学探究，让学生在探究过程中理解数学的本质。
笔者认为这里的探究的含义是多方面的，对我们一线教师而言对课本上的知识生成、例习题解法以及涉及的思想方法的探究意义尤为重要。
关键词：探究；课本问题；多种方法；数学思想
中图分类号：g427 文献标识码：a 文章编号：1992-7711（2012）23-068-1
选自苏教《选修1-1》p90 练习8：已知海岛a与海岸公路bc的距离为ab为50km b，c间的距离为100km.从a 到c，先乘船，船速为25km/h50km/h
分析：易知点p一定在b，c之间，可设bp=x，则水路ap=2500+x 2公里，陆路pc=（100-x）公里，将这里的总时间y表示成关于x的函数，得y=2500+x225+100-x50，这里由题意可知x∈（0，100），下面就是如何解函数的最小值问题了。
方案1 由于我们刚刚学习过导数，我们可以对函数进行求导
y′=12（2500+x2）′252500+x2-150=x252500+x2-150，令y′=0则x2500+x2=12，
x=5033（负值舍去）
当x∈（0，5033）时，y′0。
所以当x=5033时，函数有最小值。
所以当登陆点距离b点x=5033km
这种处理问题的方式是用导数来研究函数的最值，学生容易想到这种处理方案。
“这个世界本不缺少美，只是缺少发现的眼睛”，同样，我们是不是少了探索的眼睛呢？是不是我们对问题的解决就仅限如此呢？
方案2 u=22500+x2-x，为了求解u的最小值，除了平方，我们还可以考虑把根式里面的式子配成完全平方式，联想到1+tan 2θ=sec2θ，我们可以将函数关系变形为u=22500+x 2-x=1001+（x50）2-x，令x50=tanθ，θ∈（0，arctan 2），则
u=1001+tan2θ-50tanθ=100secθ-50sin
θ=100cosθ-50sinθcosθ=50·2-sin
θcosθ
上面两种方案中我们都是选择的长度为变量，实际上我们在处理这种图形类应用题时经常选择一个活动的角为变量。
下面我们来看如下解法。
方案3 设∠bpa=θ，（arctan120，函数单调递增
所以当θ=π3，即bp=50tanθ=5033∈（0，100）时，函数有最小值，即着陆点据点b为5033km
我们再回头看几种解法，方案2为了去掉根号，我们采用了三角
换元，我们没有考虑角θ的几何意义。
但是在方案3中，我们直接选择了∠bpa=θ作为变量，实际上方案2中的角实际上就是∠bap 啊！
这两种方案本质是相同的呀！总结起来前面的3种方案可以变化为8种解题方法。
辩证唯物主义认为事物是普遍联系的，在数学中，不同的数学分支，不同的思想方法之间也都具有这种联系性，有的显而易见，有的则较为隐秘。
数学教学的一个功能就是要向学生揭示这种关系，在这个过程中，可以使学生的知识体系得到整合，并逐渐对数学中的各种思想方法如转化、数形结合等思想产生较为清晰的认识。
回顾这几种方法，无非是选择长度为变量，还是角为变量列出时间与变量之间的函数关系。
但当你看问题的视角不同，切入口不同时，所面临的问题也不尽相同。
虽然这几种方法中有些处理问题的方法现在不常用甚至不用，但我们不能否认这种思维方式的存在。
一道课本问题的解决背后有着丰富数学思想，如果没有认真探究和深入的思考是没有办法领悟到的。
王国维在《人间词话》说：“古今之成大事业、大学问者，必经过三种之境界。
数学解题也何尝不是呢？第一重境界是“解”，就是想尽一切办法解决当前问题；第二重境界是“思”，就是解题后的回顾和反思，总结解题的思想、方法和变化；第三重境界是“归”，就是将获得的知识经验与书本知识联系起来，在回归到书本上来。
只有这样多思考，多探索才能谙熟课本例、习题目功能，对数学本质有着更深入的理解。
只有这样，数学教师才能引领学生跳出题海，数学才能真正从学术形态走向教育形态。