抛物线的简单几何性质PPT优秀课件
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抛物线的性质ppt课件
x
p
2
P1
l
p
p
端点为
(
, p )
特别地, 当x1 x2 时, AB 2 p, 此时 AB 为抛物线的通径.
2
2
y
y
设P ( x0 , y0 )，
l
P
P1
F
P
O
l
则由抛物线的定义，
|PF| | P1 P | x0
p
2
设P ( x0 , y0 )，
P1
x
O
则由抛物线的定义，
p
y k ( x 1)
联立 2
得k 2 x 2 (2k 2 4) x k 2 0(k 0).
y 4x
4
4
x1 x2 2 2 . PQ PF QF x1 x2 2 4 2 8.
k
k 2 1. k tan [1,0) (0,1].
(1)若直线l的倾斜角为60, 求 AB 的值.
(2)若 AB 9, 求线段AB的中点M到准线的距离.
3
3
解 : (1) F ( ,0), l : y 3 ( x )
2
2
3
9
y 3( x ) 2
联立
2 得x 5 x 0. 设A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ).
F
B
p
AF AA' p AF cos AF (1 cos ) p AF
1 cos
p
BF p BF cos BF
1 cos
上－下+
为直线的倾斜角.
2024(精品课件)抛物线的简单几何性质
(精品课件)抛物线的简单几何性质contents •抛物线基本概念及引入•抛物线标准方程及性质•抛物线平移变换规律探究•抛物线焦点弦性质研究•抛物线切线问题解决方法•抛物线综合应用举例目录抛物线基本概念及引入抛物线定义与数学表达式定义抛物线是指平面内到一个定点（焦点）和一条定直线（准线）距离相等的点的轨迹。
数学表达式一般形式为$y = ax^2 + bx + c$（开口向上或向下）或$x = ay^2 + by + c$（开口向左或向右）。
其中，$a$、$b$、$c$ 为常数，$a neq 0$。
体育运动工程设计科学研究桥梁、拱门等建筑结构的形态设计。
弹道学、天文学等领域的研究。
0302 01抛物线在实际生活中应用如篮球、足球、铅球等运动项目的轨迹分析。
当椭圆的长轴无限延长时，椭圆将趋近于抛物线。
与椭圆关系双曲线的一支在无限远处与抛物线相交。
与双曲线关系抛物线、椭圆和双曲线都是二次曲线，具有一些共同的几何性质，如对称性、切线性质等。
二次曲线共性抛物线与其他二次曲线关系通过学习抛物线的基本概念，为进一步学习其他二次曲线打下基础。
掌握基本概念通过对抛物线几何性质的探究，培养学生的几何直觉和空间想象力。
培养几何直觉掌握抛物线知识，可以帮助学生更好地理解和解决一些实际问题，如运动轨迹分析、建筑设计等。
解决实际问题引入课程目的和意义抛物线标准方程及性质标准方程形式及推导过程标准方程形式y^2=2px(p>0)或x^2=2py(p>0)，其中p为焦准距，表示焦点到准线的距离。
推导过程通过抛物线的定义（平面内到一个定点和一条定直线的距离相等的点的轨迹）和几何性质，可以推导出抛物线的标准方程。
焦点、准线概念及其性质焦点抛物线上的一个固定点，记为F，对于标准方程y^2=2px，焦点坐标为(p/2,0)；对于x^2=2py，焦点坐标为(0,p/2)。
准线抛物线的一条固定直线，记为l，对于标准方程y^2=2px，准线方程为x=-p/2；对于x^2=2py，准线方程为y=-p/2。
抛物线的简单几何性质ppt课件
思索：
1、题中没有给出的条件，但现实上我以 p>0的条件来求解的,过程有没有问题 2. x1x2能否为定值.
3.能否借助此题结论研讨AB的变化.
课堂小结：
(1)经过本节学习, 要求大家掌握抛物线的 几何性质,并在详细运用时留意区分抛物 线规范方程的四种方式及求解抛物线规范 方程的方法,留意灵敏运用定义； (2)了解抛物线知识在消费生活实践中的 运用.
布置作业：
1、课本P47 感受4、8、9 2、正三角形的一个顶点位于坐标轴原点，
另外两个顶点在抛物线y2=2px(p>0)上， 求这个三角形的边长。
：t./ ；:；2
Байду номын сангаас
练习：一辆载有货物的机动车，车宽
1.6m，要经过跨度为8m,拱高为4m的抛物
线形的隧道为保证平安，车顶离隧道顶至
少应有0.5m，求机动车车身最高可几米？
解:
y
O
4
x
8
例3、在直角坐标平面上给定一曲线y2=2x (1)设点A的坐标为〔 2 ，0〕，求曲线上
3
间隔A最近的点P的坐标及相应的间隔PA (2)设点B的坐标为(a,0),求曲线上的点
到点B间隔的最小值d，并写出d=f(a) 的函数表达式
例4、设过抛物线y2=2px的焦点F的一条直线 和抛物线分别交于A、B 两点，且两个 交点的纵坐标为y1、y2， 求证： y1y2=-p2。
例4、设过抛物线y2=2px的焦点F的一条直线 和抛物线分别交于A、B 两点，且两个 交点的纵坐标为y1、y2， 求证： y1y2=-p2。
：t./ ；:；2
方程 图 形
焦点 准线 范围
y2 = 2px
〔p＞0〕
y
1、题中没有给出的条件，但现实上我以 p>0的条件来求解的,过程有没有问题 2. x1x2能否为定值.
3.能否借助此题结论研讨AB的变化.
课堂小结：
(1)经过本节学习, 要求大家掌握抛物线的 几何性质,并在详细运用时留意区分抛物 线规范方程的四种方式及求解抛物线规范 方程的方法,留意灵敏运用定义； (2)了解抛物线知识在消费生活实践中的 运用.
布置作业：
1、课本P47 感受4、8、9 2、正三角形的一个顶点位于坐标轴原点，
另外两个顶点在抛物线y2=2px(p>0)上， 求这个三角形的边长。
：t./ ；:；2
Байду номын сангаас
练习：一辆载有货物的机动车，车宽
1.6m，要经过跨度为8m,拱高为4m的抛物
线形的隧道为保证平安，车顶离隧道顶至
少应有0.5m，求机动车车身最高可几米？
解:
y
O
4
x
8
例3、在直角坐标平面上给定一曲线y2=2x (1)设点A的坐标为〔 2 ，0〕，求曲线上
3
间隔A最近的点P的坐标及相应的间隔PA (2)设点B的坐标为(a,0),求曲线上的点
到点B间隔的最小值d，并写出d=f(a) 的函数表达式
例4、设过抛物线y2=2px的焦点F的一条直线 和抛物线分别交于A、B 两点，且两个 交点的纵坐标为y1、y2， 求证： y1y2=-p2。
例4、设过抛物线y2=2px的焦点F的一条直线 和抛物线分别交于A、B 两点，且两个 交点的纵坐标为y1、y2， 求证： y1y2=-p2。
：t./ ；:；2
方程 图 形
焦点 准线 范围
y2 = 2px
〔p＞0〕
y
抛物线的几何性质 教学课件(共46张PPT)高中数学人教B版(2019)选择性必修第一册
2
5.已知抛物线 y2 2 px( p 0) 的焦点坐标为 F(1,0) ，则抛物线上的动点 P 到点
C M (3p,0) 的距离 MP 的最小值为( )
A.2
B.4
C. 2 5
D.4 5
解析：由题意，得抛物线的标准方程为 y2 4x .设抛物线上动点 P 的坐标为
x0, y0 ，则 y02 4x0 .由 M (6, 0) ，得| MP |2 x0 62 y02 x02 12x0 36 4x0 x0 42 20 .因为 x0 0 ，所以当 x0 4 时，| MP |2 取得最小值 20，即| MP |2 20 ，
y2
4ty
4s
0
.
则 y1 y2 4t ， y1 y2 4s .
OA OB ，OAOB 0 ，即 x1x2 y1y2 0 ，
即
y12 4
y22 4
y1 y2
0
，化简，得
y1 y2
16
解析： 抛物线 y 4x2 的标准方程为 x2 1 y ， 其准线方程为 y 1 .
4
16
直线 y 1 关于 y x 对称的直线的方程为 x 1 ，
16
16
所求的抛物线的准线方程为 x 1 . 16
9.抛物线 y2 2 px( p 0) 的焦点为 F，过抛物线上一点 P 作 x 轴的平行线交 y 轴 于点 M，抛物线的准线交 x 轴于点 N，四边形 PMNF 为平行四边形，则点 P 到 x
所以| MP | 2 5 ，即动点 P 到点 M (3p,0) 的距离的最小值为 2 5 .故选 C.
6.过抛物线 y2 4x 的焦点 F 的直线交该抛物线于 A，B 两点，且| AB | 16 . 3
D 若 AF t FB （其中t 1），则实数 t 的值为( )
5.已知抛物线 y2 2 px( p 0) 的焦点坐标为 F(1,0) ，则抛物线上的动点 P 到点
C M (3p,0) 的距离 MP 的最小值为( )
A.2
B.4
C. 2 5
D.4 5
解析：由题意，得抛物线的标准方程为 y2 4x .设抛物线上动点 P 的坐标为
x0, y0 ，则 y02 4x0 .由 M (6, 0) ，得| MP |2 x0 62 y02 x02 12x0 36 4x0 x0 42 20 .因为 x0 0 ，所以当 x0 4 时，| MP |2 取得最小值 20，即| MP |2 20 ，
y2
4ty
4s
0
.
则 y1 y2 4t ， y1 y2 4s .
OA OB ，OAOB 0 ，即 x1x2 y1y2 0 ，
即
y12 4
y22 4
y1 y2
0
，化简，得
y1 y2
16
解析： 抛物线 y 4x2 的标准方程为 x2 1 y ， 其准线方程为 y 1 .
4
16
直线 y 1 关于 y x 对称的直线的方程为 x 1 ，
16
16
所求的抛物线的准线方程为 x 1 . 16
9.抛物线 y2 2 px( p 0) 的焦点为 F，过抛物线上一点 P 作 x 轴的平行线交 y 轴 于点 M，抛物线的准线交 x 轴于点 N，四边形 PMNF 为平行四边形，则点 P 到 x
所以| MP | 2 5 ，即动点 P 到点 M (3p,0) 的距离的最小值为 2 5 .故选 C.
6.过抛物线 y2 4x 的焦点 F 的直线交该抛物线于 A，B 两点，且| AB | 16 . 3
D 若 AF t FB （其中t 1），则实数 t 的值为( )
抛物线的简单几何性质ppt课件
所以开口向左，焦点坐标为
1 2
,
0
，准线为
x
1 2
，对称轴为
x
轴，
即 D 正确，ABC 错误.
2.若抛物线 y2 4x 过焦点的弦被焦点分成长为 m 和 n 两部分，则 m 与 n 的关系式
为( C )
A. m n 4
B. mn 4
C. 1 1 1 mn
D. 1 1 2 mn
解析：令过焦点的弦为 x ky 1，与抛物线交点分别为 A、B，
下面介绍另一种方法——数形结合的方法
在图中，设 A x1, y1 ， B x2, y2 .由抛物线的定义可知， AF 等于点 A 到准线的
距离 AA' .由 p
2， p 2
1 ，得 AA'
x1
BF
BB '
x2
p 2
x2 1 ，于是得 AB
p 2
x1
AF
1 .于是 AF x1 1 ，同理， BF =x1+x2 +p x1+x2 +2 .
4.已知抛物线 y2 8x 上一点 P 到准线的距离为 d1 ，到直线l : 4x 3y 12 0 的距离
D 为 d2 ，则 d1 d2 的最小值为( )
A.1
B.2
C.3
D.4
解析：由抛物线 y2 8x 知，焦点 F 2,0 ，准线方程为l : x 2 ，根据题意作图如下；
点 P 到直线 l : 4x 3y 12 0 的距离为 PA ，到准线l1 : x 2 的距离为 PB ， 由抛物线的定义知： PB PF ， 所以点 P 到直线 l : 4x 3y 12 0 和准线l1 : x 2 的距离之和为 PF PA ，
高二数学抛物线的简单几何性质2省公开课获奖课件市赛课比赛一等奖课件
M
N OF
B1
B(x2,y2)
(5)证明:以AB为直径旳圆与准线相切 ∠AM1B=Rt ∠,
∠A1FB1=Rt ∠
练习1：
已知抛物线方程为y2=4x，直线l 过定点P（-2，1），斜率为k. 则k为何值时，直线l与抛物线 y2=4x 只有一种公共点；有两个 公共点；没有公共点呢。
提出问题 过抛物线
线
相交于两点
，
问在直线MN：x=2上能否找到一定
点P（坐标与b 旳值无关），使得直
线PA与PB旳倾斜角互补？
变式3 如图，抛物线
，
过点P(1,0)作斜率为k旳直线l交抛物
线于A、B两点，A有关x轴旳对称点
为C，直线BC交x轴于Q点，当k变化
时，探究点Q是否为定点？
练习1：
如图，定长为3旳线段AB旳两 端点在抛物线y2=x上移动，设 线段AB旳中点为M，求点M到y 轴旳最短距离。
练习2：正三角形旳一种顶点位 于坐标原点，另外两个顶点在 抛物线y2=2px(p>0)上，求这个 三角形旳边长。
变式：已知在抛物线y=x2上三个 点A、B、C构成一种等腰直角三 角形，且顶点B是直角顶点，
(1)设直线BC旳斜率为k，求顶点 B旳坐标；
(2)求等腰直角三角形旳面积旳最 小值。
抛物线旳对称性问题
例.已知直线过原点，抛物线旳顶点 在原点，焦点在x轴旳正半轴上，且 点A（-1，0）和B（0，8）有关直 线旳对称点都在抛物线上，求直线 和抛物线旳方程。
； 微信分销系统 ；
阳镜,叶静云奇怪の说："你们看,在那壹块地域上,有壹块黑色の区域,难道那混蛋藏在那壹带?""只是那壹块,壹,本,读,比较广,咱们怎样寻找?"晴文婷并不是太乐观.姑素纤纤说："
N OF
B1
B(x2,y2)
(5)证明:以AB为直径旳圆与准线相切 ∠AM1B=Rt ∠,
∠A1FB1=Rt ∠
练习1：
已知抛物线方程为y2=4x，直线l 过定点P（-2，1），斜率为k. 则k为何值时，直线l与抛物线 y2=4x 只有一种公共点；有两个 公共点；没有公共点呢。
提出问题 过抛物线
线
相交于两点
，
问在直线MN：x=2上能否找到一定
点P（坐标与b 旳值无关），使得直
线PA与PB旳倾斜角互补？
变式3 如图，抛物线
，
过点P(1,0)作斜率为k旳直线l交抛物
线于A、B两点，A有关x轴旳对称点
为C，直线BC交x轴于Q点，当k变化
时，探究点Q是否为定点？
练习1：
如图，定长为3旳线段AB旳两 端点在抛物线y2=x上移动，设 线段AB旳中点为M，求点M到y 轴旳最短距离。
练习2：正三角形旳一种顶点位 于坐标原点，另外两个顶点在 抛物线y2=2px(p>0)上，求这个 三角形旳边长。
变式：已知在抛物线y=x2上三个 点A、B、C构成一种等腰直角三 角形，且顶点B是直角顶点，
(1)设直线BC旳斜率为k，求顶点 B旳坐标；
(2)求等腰直角三角形旳面积旳最 小值。
抛物线旳对称性问题
例.已知直线过原点，抛物线旳顶点 在原点，焦点在x轴旳正半轴上，且 点A（-1，0）和B（0，8）有关直 线旳对称点都在抛物线上，求直线 和抛物线旳方程。
； 微信分销系统 ；
阳镜,叶静云奇怪の说："你们看,在那壹块地域上,有壹块黑色の区域,难道那混蛋藏在那壹带?""只是那壹块,壹,本,读,比较广,咱们怎样寻找?"晴文婷并不是太乐观.姑素纤纤说："
抛物线的简单几何性质 课件
对称轴
_x_轴
_y_轴
顶点 性 质 焦点
准线
F(p ,0) ___2___ _x____p2_
_O_(_0_,_0_)_
F( p ,0) ____2____
_x___p2__
F(0, p) _____2__ yp ______2_
F(0, p) ______2__
y p ____2__
离心率
e=_1_
即又yx020y=02p2p(x0,xy∴∴00x)y00=2=21p,xp2+0(x0=-52p),.
p 2
因此直线AB的方程为x=5p .
2
【互动探究】题2中,若把“垂心”改为“重心”,AB的方程如 何? 【解析】根据抛物线的对称性,因为F为△OAB的重心,所以A,B 两点关于x轴对称.又根据重心的性质, ∵|OF|= p,
FA FB
【解题探究】1.判断直线与圆位置关系时最常用的方法是什 么? 2.什么是定值? 探究提示: 1.判断直线与圆的位置关系时,一般利用几何法进行判断,即判 断圆心到直线的距离与半径的大小. 2.定值就是代数式化简的结果与任何参数都无关.
【证明】1.如图,作AA1⊥l于A1,BB1⊥l于B1,
抛物线的简单几何性质
抛物线的简单几何性质
标准方程
y2=2px (p>0)
y2=-2px (p>0)
x2=2py (p>0)
x2=-2py (p>0)
图象
标准方程
y2=2px (p>0)
y2=-2px (p>0)
x2=2py (p>0)
x2=-2py (p>0)
范围 _x_≥_0_,_y_∈__R_ _x_≤__0_,_y∈__R_ _x_∈__R_,_y_≥_0_ x_∈__R_,_y_≤__0_
抛物线的简单几何性质市公开课一等奖课件名师大赛获奖课件
且OA⊥OB ，则_直__线__l过定点(2p_,_0_)__.
设A x1, y1 、B x2, y2
y
A
设l : x my a代如y2 2 px得 O
P
x
B
y2=2px
y2 2 pmy 2 pa 0
l
y1 y2
2 pa又x1
y12 2p
、x2
y22 2p
x1x2 a2
....................
对称性 有关x轴对称 有关x轴对称 有关y轴对称 有关y轴对称
顶点 （0,0） （0,0） （0,0） （0,0）
焦半径
焦点弦 的长度
p 2
x0
p x1 x2
p 2
x0
p (x1 x2 )
p 2
y0
p y1 y2
p 2
y0
p ( y1 y2 )
1、求焦点为F (2,3)，准线方程为y 5的抛物线方程.
(1)求AB中点的轨迹方程；
y
(2)证明AB与x轴的交点为定值.
解：(1)设lOA : y kx,
则lOB
:
y
1 k
x
A
.
联立
y y
kx 2 2
x
yA
2 k
,
xA
2 k2
O F •M
x
B
联立
y
1 k
x
yB
2k, xB
2k 2
y2 2x
x
y
xA yA
2
xB yB
1 k2
k2
(1 k
解：曲线y2 4(x 1)表示顶点在(1,0) 焦点到准线的距离为2的抛物线 所以抛物线的准线:x 0,焦点:F (2, 0)
抛物线的简单几何性质 课件
变量y(或x)得到关于x(或y)的一元二次方程,考虑该一元二次方程的
判别式,则有:
Δ>0⇔直线与圆锥曲线相交于两点;
Δ=0⇔直线与圆锥曲线相切;
Δ<0⇔直线与圆锥曲线相离.
2.运用抛物线的定义解决问题
剖析:抛物线的离心率e=1,体现了抛物线上的点到焦点的距离等
于它到准线的距离,因此,涉及抛物线的焦点、过焦点的弦的问题,
求抛物线的方程.
分析:先确定抛物线方程的形式,再由条件用待定系数法求解.
=
解法一:由已知条件可知抛物线的对称轴为x轴,
则可设抛物线的方程为y2=2px或y2=-2px(p>0).
∵抛物线的焦点到顶点的距离为5,
∴ = 5, ∴ = 10.
2
∴所求抛物线的方程为y2=20x或y2=-20x.
解法二:由已知条件可知抛物线的对称轴为x轴.
=
2
, 1·y2=p·(-p)=-p2(定值).
4
(4)当 AB 与 x 轴不垂直时,由抛物线的定义,知
|AF|=x1+ , || = 2 + ,
2
2
2 + + 1 +
2
2
1 +
+
2 2 2
1
1
1
1
故
+
=
+
=
|| || +
+
1
2 2 2
1 + 2 +
1
+
|| ||
2
=
2
1
1
判别式,则有:
Δ>0⇔直线与圆锥曲线相交于两点;
Δ=0⇔直线与圆锥曲线相切;
Δ<0⇔直线与圆锥曲线相离.
2.运用抛物线的定义解决问题
剖析:抛物线的离心率e=1,体现了抛物线上的点到焦点的距离等
于它到准线的距离,因此,涉及抛物线的焦点、过焦点的弦的问题,
求抛物线的方程.
分析:先确定抛物线方程的形式,再由条件用待定系数法求解.
=
解法一:由已知条件可知抛物线的对称轴为x轴,
则可设抛物线的方程为y2=2px或y2=-2px(p>0).
∵抛物线的焦点到顶点的距离为5,
∴ = 5, ∴ = 10.
2
∴所求抛物线的方程为y2=20x或y2=-20x.
解法二:由已知条件可知抛物线的对称轴为x轴.
=
2
, 1·y2=p·(-p)=-p2(定值).
4
(4)当 AB 与 x 轴不垂直时,由抛物线的定义,知
|AF|=x1+ , || = 2 + ,
2
2
2 + + 1 +
2
2
1 +
+
2 2 2
1
1
1
1
故
+
=
+
=
|| || +
+
1
2 2 2
1 + 2 +
1
+
|| ||
2
=
2
1
1
3.3.2抛物线简单几何性质 课件(共21张PPT)
2
y2
2
2
3 ，∴ 2 0 y 0 3 ∴y =2
1
2
的距离 d=1-（-
或 y =-6（舍去）
，∴x=
2
3
1
=
.
）
2
2
∵点 M 到抛物线焦点的距离等于点 M 到抛物线 y2=2x 的准线的距离，
3
∴点 M 到该抛物线焦点的距离为 2 .
y2
2
=1
7.设 P 是抛物线 y 2 4 x 上的一个动点，F 为抛物线的焦点.
(x2, y2)
即时巩固
过点M(2,0)作斜率为1的直线l，交抛物线y2=4x于两点A、B，求焦点，求|AB|．
解：设A(1 ,1 ), B(2 ,2 ),
直线l为 = − 2，代入抛物线方程，得x2-8x+4=0，
∴ 1 +2 =8, 1 2 =4
∴ =
1 + 2 ∙
线准线的距离等于（
A.2
B.1
C ）
C.4
D.8
3.已知抛物线 y 2 2 px( p 0) 的准线与圆 ( x 3) 2 y 2 16 相切，则 p 的值为（ C ）
A.
1
2
B.1
C.2
D.4
4.抛物线 x 2 8 y 焦点为 F，准线为 l，P 为抛物线上一点， PA l ，A 为垂足，如果直线 AF 的倾
第一章
3.3
抛物线
3.3.2 抛物线的简单几何性质
学习目标
1.了解抛物线的简单几何性质.
2.能运用抛物线的几何性Байду номын сангаас解决相关问题.
抛物线的简单几何性质 课件
解：如图，设等腰直角三角形OAB的 顶点A，B在抛物线上． 根据抛物线的性质知A，B关于x轴对称． 由题意得A(2,2)在抛物线y2＝2px上， ∴p＝1，抛物线的方程为y2＝2x.
[例3] 已知过抛物线y2＝4x的焦点F的弦长为36，求 弦所在的直线方程．
[思路点拨] 由弦所在直线经过焦点(1,0)，且弦长为 36，可知直线的斜率存在且不为0，只需求出直线的斜率 即可．
[一点通] 抛物线的几何性质在解与抛物线有关的问 题时具有广泛的应用，但是在解题的过程中又容易忽视这 些隐含的条件．解本题的关键是根据抛物线的对称性和正 三角形的性质证明A，B两点关于x轴对称．另外，抛物线 方程中变量x，y的范围也是常用的几何性质．
3．若双曲线x32－1p62y2＝1(p>0)的左焦点在抛物线 y2＝2px 的
即 x21－x22＋2px1－2px2＝0， 整理得(x1－x2)(x1＋x2＋2p)＝0. ∵x1>0，x2>0,2p>0， ∴x1＝x2，由此可得|y1|＝|y2|， 即线段 AB 关于 x 轴对称． 由此得∠AOx＝30°， 所以 y1＝ 33x1，与 y21＝2px1 联立， 解得 y1＝2 3p.∴|AB|＝2y1＝4 3p.
答案：C
2．平面直角坐标系xOy中，有一定点A(2,1)，若线段OA的 垂直平分线过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点，则该抛物线 的标准方程是________． 解析：线段 OA 的垂直平分线为 4x＋2y－5＝0， 与 x 轴的交点为(54，0)， ∴抛物线的焦点为(54，0)， ∴其标准方程是 y2＝5x. 答案：y2＝5x
1.抛物线只位于半个坐标平面内，虽然它可以无限延 伸，但它没有渐近线．
2.抛物线只有一条对称轴，没有对称中心． 3.抛物线只有一个顶点、一个焦点、一条准线，这与 椭圆、 双曲线不同． 4.抛物线的离心率e＝1(定值)． 5.抛物线方程中的参数p的几何意义是焦点到准线的 距离.由方程y2＝2px(p≠0)知，对同一个x，p越大，|y|也越 大，说明抛物线开口越大．
[例3] 已知过抛物线y2＝4x的焦点F的弦长为36，求 弦所在的直线方程．
[思路点拨] 由弦所在直线经过焦点(1,0)，且弦长为 36，可知直线的斜率存在且不为0，只需求出直线的斜率 即可．
[一点通] 抛物线的几何性质在解与抛物线有关的问 题时具有广泛的应用，但是在解题的过程中又容易忽视这 些隐含的条件．解本题的关键是根据抛物线的对称性和正 三角形的性质证明A，B两点关于x轴对称．另外，抛物线 方程中变量x，y的范围也是常用的几何性质．
3．若双曲线x32－1p62y2＝1(p>0)的左焦点在抛物线 y2＝2px 的
即 x21－x22＋2px1－2px2＝0， 整理得(x1－x2)(x1＋x2＋2p)＝0. ∵x1>0，x2>0,2p>0， ∴x1＝x2，由此可得|y1|＝|y2|， 即线段 AB 关于 x 轴对称． 由此得∠AOx＝30°， 所以 y1＝ 33x1，与 y21＝2px1 联立， 解得 y1＝2 3p.∴|AB|＝2y1＝4 3p.
答案：C
2．平面直角坐标系xOy中，有一定点A(2,1)，若线段OA的 垂直平分线过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点，则该抛物线 的标准方程是________． 解析：线段 OA 的垂直平分线为 4x＋2y－5＝0， 与 x 轴的交点为(54，0)， ∴抛物线的焦点为(54，0)， ∴其标准方程是 y2＝5x. 答案：y2＝5x
1.抛物线只位于半个坐标平面内，虽然它可以无限延 伸，但它没有渐近线．
2.抛物线只有一条对称轴，没有对称中心． 3.抛物线只有一个顶点、一个焦点、一条准线，这与 椭圆、 双曲线不同． 4.抛物线的离心率e＝1(定值)． 5.抛物线方程中的参数p的几何意义是焦点到准线的 距离.由方程y2＝2px(p≠0)知，对同一个x，p越大，|y|也越 大，说明抛物线开口越大．
抛物线的简单几何性质 课件
抛物线的几何性质在解与抛物线有关的问题时具有广泛的 应用，但是在解题的过程中又容易忽视这些隐含条件，例2 的关键是根据对称性求出线段|AB|的长，进而表示面积求 出m.
抛物线的性质在求最值中的应用
●
已知P为抛物线y2＝4x上的动点，过P分别作y
轴与直线x－y＋4＝0的垂线，垂足分别为A，B求|PA|＋|PB|
类型 y2＝2px(p>0) y2＝－2px(p>0) x2＝2py(p>0) x2＝－2py(p>0)
范围 _x≥__0_，__y∈__R__ x≤_0_，__y_∈__R___ y≥_0_，__x_∈__R___ y≤_0_，__x_∈__R___
对称 轴
性 顶点 质 离心
率
_x_轴___
_原__点__(0_,_0_)__ e＝1
__y_轴___
开 方向
_向__右___
向__左____
向__上____
_向__下___
● 抛物线的性质特点
● (1)抛物线只有一个焦点，一个顶点，一条对称轴，一 条准线，无对称中心，因此，抛物线又称为无心圆锥曲 线．
● (2)抛物线只位于半个坐标平面内，虽然它可以无限延 伸，但它没有渐近线．
● (3)抛物线的离心率定义为抛物线上的点到焦点的距离 和该点到准线的距离的比，所以抛物线的离心率是确定的， 为1.
的最小值．
● 思路点拨：
p2＝1.
如图，延长 PA 交准线 l 于 A′，焦点 F(1,0)， 2分
|PA|＋|PB|＝|PA′|－1＋|PB|
＝|PF|＋|PB|－1.
6分
当 F，P，B 共线时，|PA|＋|PB|最小，即转化为 F 到 x
抛物线的几何性质优质ppt课件
在抛物线上，且坐标分别为A(x1,y1)、
B(x2,y2),则
又|OA|=|OB|，所以x 2+y 2=x 2+y 2 1122
o
即 x 2-x 2+2px -2px =0, (X 2-x 2)+2p(x -x )=0,
12
1
2
12
12
(x1-x2)(x1+x2+2p)=0. X1>0，X2>0，2p>0,
二、探索新知
如何研究抛物线y2 =2px（p>0）的几何性质?
1、 范围
由抛物线y2 =2px（p>0）
有
所以抛物线的范围为
2、 对称性
关于x轴 对称
若点(x,y)在抛物线上, 即满足y2 = 2px， 则 (-y)2 = 2px
即点(x,-y) 也在抛物线上,
故 抛物线y2 = 2px(p>0)关于x轴对称.
焦半径公式：|PF|=x0+p/2
下面请大家推导出其余三种标准方程 抛物线的焦半径公式。
补、焦点弦：
通过焦点的直线，与抛物
y
A
线相交于两点，连接这两点的
F
线段叫做抛物线的焦点弦。
O
B
x
焦点弦公式：
下面请大家推导出其余三种标准方程 抛物线的焦点弦公式。
方程 图
形 范围
y2 = 2px
（p＞0） y
所以： 因此所求抛物线标准方程为：
探照灯、汽车前灯的反光曲面，手电筒的反光镜面、 太阳灶的镜面都是抛物镜面。 抛物镜面：抛物线绕其对称轴旋转而成的曲面。 灯泡放在抛物线的焦点位置上，通过镜面反射就变 成了平行光束，这就是探照灯、汽车前灯、手电筒的 设计原理。
抛物线的简单几何性质 课件
x2＝－2py (p>0)
|AF|＝_p2_－__y0
4．焦点弦问题 如图所示：AB 是抛物线 y2＝2px(p>0)过焦点 F 的一条弦，设 A(x1，y1)、B(x2， y2)，AB 的中点 M(x0，y0)，抛物线的准线为 l. (1)以 AB 为直径的圆必与准线 l__相__切____；
(2)|AB|＝2(x0＋p2)＝x1＋x2＋__p____； (3)A、B 两点的横坐标之积、纵坐标之积为定值， 即 x1·x2＝___p4_2____，y1·y2＝___－__p_2___.
_y__轴
___(0_,_0_)_____ ____(0_,_0_)____
__F_(－__p2_，__0_)__ ____x_＝__p2____
___F_(_0_，__p2_)__ ___y_＝__－__p2___
离心率
e＝___1____
2．通径
过焦点垂直于轴的弦称为抛物线的通径，其长为_______.
命题方向1 ⇨抛物线的对称性
正三角形的一个顶点位于坐标原点，另外两个顶点在抛物线 y2＝ 2px(p>0)上，求这个正三角形的边长.
[规范解答] 如图，设正三角形 OAB 的顶点 A、B 在抛物线上，且它们坐标 分别为(x1，y1)和(x2，y2)则：y21＝2px1，y22＝2px2.
又|OA|＝|OB|，∴x21＋y21＝x22＋y22， 即 x21－x22＋2px1－2px2＝0， ∴(x1－x2)(x1＋x2＋2p)＝0.
2p
3．焦半径
抛物线上一点与焦点F连接的线段叫做焦半径，设抛物线上任一点A(x0，y0)，则四种标准方程形式 下的焦半径公式为
标准 方程
焦半径|AF|
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过
点
2.顶点 在原 点 ,准 线为 y 2 的 抛 物5线的 方程是
______x_2____8__y____.
3.抛物线 ( x 1)2 4( y 2) 的顶点坐标为_(_1_,___2_,)
对 称 轴 方 程 是 __x______1_, 焦 点 坐 标 为 ___(_1_,___1_,) y 3 准线方程为____________________.
9
抛物线的简单几何性质(二)
问题(接上一节的思考): 倾斜角为 的直线经过抛物线 y2 2 px ( p 0) 的
焦点,与抛物线相交于 A、B ,求线段 AB 的长.
解本题,可尝试用的方法有: 法一:设而不求,运用韦达定理, 计算弦长; 法二:设而不求,数形结合,运用 定义转化,计算弦长.
ห้องสมุดไป่ตู้
p
2
2
对称你性和认顶为点这关个于 x标轴对准称,方顶点程(0,对0)(应抛物的线和抛轴的物交点线)
还有范围什么几x≥何0性, y质 R呢(向?右上方和右下方无限延伸)
离心率 e
e 1 (即 MF d )
2
怎样画抛物线 y 2 4 x 呢?
用画函数图象方法作图：(课后同学们自己画一画)
法三: 纯几何计算,这也是一种 较好的思维.
继续
10
问题:
倾斜角为 的直线经过抛物线 y2 2 px ( p 0) 的
焦点,与抛物线相交于 A、B ,求线段 AB 的长.
解:设 A( x1, y1 ) , B( x2 , y2 )
∵焦点 F ( p , 0) ,直线 AB 的倾斜角为
焦点,与抛物线相交于 A、B ,求线段 AB 的长.
AB
2p
sin2
作业:课本 P79 A 组 4⑵,5
6
课外思考题:
1.AB 是抛物线 x=y2 的一条焦点弦，且｜AB｜=4，
则 AB 的中点到直线 x+1=0 的距离为( D )
(A) 5
(B)2
(C)3
(D) 11
2
4
2.点 A 的坐标为(3，1)，若 P 是抛物线 y2 4x 上
的一动点，F 是抛物线的焦点，则|PA|+|PF|的最小
值为( )
(A) 3
(B) 4
(C) 5
(D) 6
作业:课本 P79 A 组 4⑵,5
7
2.点 A 的坐标为(3，1)，若 P 是抛物线 y2 4x 上
的一动点，F 是抛物线的焦点，则|PA|+|PF|的最小
值为( )
(A) 3
(B) 4
(1)列表（在第一象限内列表）
x 0 1 23 4 …
y 0 2 2 .8 3 .5 4
…
(2)描点：
y4
3
(3)连线：
2
1
(4) 运用对称性画出全图 o 1 2 3 4
x
注:如果是画草图,一般取五点就连线,可确定大致形状.
且这个形状与双曲线是有很大区别的.
3
练习巩固:
1. M
顶 (5,
点4)在的原抛物点线, 的关方于程x是轴__对__y_称2__,_1并_6__且x__经_.
=
(1 cot2 )
( y1
y2 )2
4 y1 y2
2p
= sin2
解完后回味一下,这是一个很好的解题习惯,利于提高!
很奇怪!
11
发现一个结论:
过抛物线 y2 2 px( p 0) 的 焦点的 一条直
线和抛物线相交,两个交点的纵坐标为 y1 、y2 ,
则 y1 y2 p2 .
M
这一结论非常奇妙,变中有不变,动中有不动.
K
几何解释,就是
N
MK NK KF 2
思考: “一条直线和抛物线 y2 2 px( p 0) 相交,
两个交点的纵坐标为 y1 、y2 ,且 y1 y2 p2 .则 这条直线过焦点.”成立吗?
12
刚才发现的结论的逆命题是否成立?
已知直线 l 和抛物线 y2 2 px( p 0) 相交,两个交点的纵坐
标为
y1
、y2
,且
y1
y2
p2 ,求证:直线 l
过焦点 F(
p 2
,0) .
继续大胆猜想
太漂亮了!
13
大胆猜想: 过定点 P(a, 0) (a>0)的一条直线和抛物线
y2 2 px( p 0) 相 交 , 两 个 交 点 的 纵 坐 标 为 y1 、y2 ,求证: y1 y2 是定值.
4.以点 (1,1) 为焦点,直线 x 3 为准线的抛物线的
方程是_______________.
( y 1)2 4( x 2)
4
思考(课本第 74 页例 4) 斜率为 1 的直线 l 经过抛物线 y2 4x 的焦点 F ,
且与抛物线相交于 A、B 两点,求线段 AB 的长.
( x1, y1 )
∴直线
2
AB 的方程为 x
y cot
p
2
由
x
y cot
p 2
消去
x
并整理得
y2
(x2, y2)
2 py cot p2
0
y2 2 px
∴ y1 y2 2 p cot , y1 y2 p2
与直线 的倾斜角 无关!
AB ( x1 x2 )2 ( y1 y2 )2 = (1 cot2 )( y1 y2 )2
抛物线的简单几何性质(一)
一、知识学习
二、例题分析
问题思考
作业:课本 P79 A 组 4⑵,5
1
抛物线的简单几何性质(一)
标准方程y 图形
焦点和准线
y2 2 px( p 0)
Kd
﹒M p ─焦点到准线的距离.
o F x 2 p ─过焦点垂直轴的弦长.
焦点
F(
p
, 0)
和准线
l
通径.
:x
解这题,你有什么方法呢?
法一:直接求两点坐标,计算弦长(运算量一般较大);
法二:设而不求,运用韦达定理,计算弦长(运算量一般);
法三:设而不求,数形结合,活用定义,运用韦达定理,计 算弦长.
法四:纯几还何有计算没,这有也其是一他种方较好法的?思维.
5
一般地, 题目改为: 倾斜角为 的直线经过抛物线 y2 2 px ( p 0) 的
B 如右图
(C) 5
(D) 6
准线为 l，| PF | P 到 l 的距离. ∴ (| PA | | PF |)min A 到 l 的距离=4
8
抛物线的简单几何性质(二)
一、知识学习 问题思考 解题后反思 坐标法
二、例题分析 继续发现结论 课本第75 页例5
作业:课本 P79 A 组第 6 题、B 组第 1 题