截面的几何性质

附录A 截面设计的几何基础
引 言
杆件的应力与变形，失效问题以 及强度、刚度、稳定问题，都要涉及 到与截面图形的几何形状和尺寸有关 的量，这些量统称为几何量，包括： 形心、静矩、惯性矩、惯性半径、极 惯性矩、惯性积等。
天津大学工程力学
A.1 形心和一次距（静矩）
图形对于 x 轴的静矩
y x Ω y O x dA
bh3 I z1 12
，求：Iz2
z2 h
C
zC
h/3
b
z1
ห้องสมุดไป่ตู้
天津大学工程力学
二、组合截面二次矩
I x I xi
i 1 n
n
I y I yi
i 1 n
I xy I xi yi
i 1
组合截面对某轴的二次矩等于各简单截面对同一轴的 二次矩之和。
天津大学工程力学
例2. 求图示槽形截面图形的Ixc、Iyc、Ixcyc
2
讨论：
● 因为A、a2、b2恒为正，故自形心 轴移至与之平行的任 意轴，惯性矩总是增加的。或者说：截面关于形心轴的惯 性矩最小。 ● a、b为原坐标系原点在新坐标系中的坐标，可正可负； 二者同号时abA为正，异号时为负。所以移轴后惯性积有可 能增加也可能减少。
天津大学工程力学
例1. 图示三角形截面，底边长为b，高为h，已 知
2
如果C为图形形心，上述各式中的Sy＝Sx＝0
I x I x0 a A 2 I y I y0 b A I xy I x0 y0 abA
2
天津大学工程力学
平行移轴公式：
I x I x0 a A 2 I y I y0 b A I xy I x0 y0 abA
2. 二次矩（惯性矩、惯性积、极惯性矩）和惯性半径
① 截面关于互相垂直的两轴的惯性矩之和为常数； ② 惯性矩Ix、Iy和极惯性矩Ip恒为正； ③ 惯性积Ixy可正、可负、可为零，当x、y轴中有一个轴为 截面对称轴时，Ixy=0 0。
天津大学工程力学
3. 平行移轴公式 4. 组合截面的二次矩
天津大学工程力学
对 x 轴的惯性矩： I x 对 y轴的惯性矩：


y dA
2
2
y x ρ Ω y x dA
I y x dA

对 y x 轴的惯性积: I yx yx dA 对 O 点的极惯性矩: I P
2 dA O
讨论:
因为 2 x 2 y 2 所以 I P = I y + I x 截面关于互相垂直的两轴的惯性矩之和为常数； 惯性矩Ix、Iy、Ip恒为正；惯性积Ixy可正可负可为零，当x、y 轴中有一个轴为截面对称轴时， Ixy=0. 天津大学工程力学
O
y x xC Ω C yC y x dA
yc
天津大学工程力学
形心坐标和静矩的关系
xc
结论
S
y
A
,
yc
Sx A
静矩的量纲是 L3 静矩是面积矩，同一截面对不同轴的静矩不同； 形心坐标可正可负可为零，静矩可正可负可为零，当坐 标轴过形心，则该截面对此轴的静矩为零； 若截面对某轴的静矩为零，则该轴必过形心。
y
b
y0
x0
dA
y0
I x y dA
2
C Ω O
x0 a x
I y x 2dA

I yx yxdA

y=y0＋a x = x 0＋ b
天津大学工程力学
2 I y I y0 2bS Sy b A I xy y I x0 y0 aS y bS x abA I x I x0 2aS x a A
y 10 C1 C3 C 300 C2
O 10
天津大学工程力学
x 10
180
例3. 图示截面由2个28a槽钢组成的图形，已知 a=18cm 18 ，求：Iy＝？ ？
y0 z0
天津大学工程力学
小结
1. 形心和一次矩（静矩、面积矩）
① 形心和一次矩的关系； ② 截面对过形心坐标轴的静矩为零；反之若截面对某 轴的静矩为零，则该轴必过形心； ③ 组合截面的形心。
惯性半径
截面对x 轴的惯性半径
Ix ix A
截面对 y 轴惯性半径
iy
量纲 L
天津大学工程力学
Iy A
例1. 已知：矩形截面b× h，求：Iy， Ix.
y
bh Ix 12
3
dA dy dA y C x dx
3
h
x
hb Iy 12
天津大学工程力学
b
例2. 已知圆截面直径D，求：Iy， Ix
x 10
180
A.2 截面的二次距和惯性半径
y
惯性矩 Ix、 Iy 惯性积 Ixy 极惯性距 Ip 惯性半径 ix、iy
dI x y 2 dA
O x ρ Ω y
dA
x
dI y x 2dA
dI xy xydA
dI p 2dA ( x 2 y 2 )dA
天津大学工程力学
惯性矩、惯性积、极惯性矩
天津大学工程力学
例1. 试求图示半圆形截面的形心C位置。
y
O
x
天津大学工程力学
组合截面的静矩
S x A1 yC1 A2 yC 2 An yCn Ai yCi i 1 n S y A1 xC1 A2 xC 2 An xCn Ai xCi i 1
y
dA
dr
r O
x
天津大学工程力学
A 3 组合截面二次矩 A.3
一、平行移轴公式 平行移轴公式：是指图形对于互相平行轴的惯 性矩、惯性积之间的关系。 目的：通过已知图形对于一对坐标轴的惯性矩、 惯性积，求图形对另一对坐标轴的惯性矩与惯 性积。
天津大学工程力学
已知： Ix0、Iy0、Ix0y0 求：Ix、Iy、Iyx
S x dS x ydA

图形对于 y 轴的静矩
S y dS y xdA

天津大学工程力学
形心：截面图形的几何中心。
当截面有对称轴时，形心一定在对称轴上；当界面具有两 个对称轴时，二者的交点就是该截面的形心 。
形心坐标公式:
xc


xdA A
ydA dA A
n
天津大学工程力学
组合截面的形心
yC
Sx A
Ay
i 1 i n i 1
n
Ci
A Ax
i 1 i n i 1 n Ci
xC
Sy A

A

天津大学工程力学
例2 求图示图形的形心
y 10 C1 C3 C 300 C2
O 10
天津大学工程力学