第8讲 二次函数与幂函数(原卷版)

第8讲 二次函数与幂函数

思维导图

知识梳理

1．幂函数

(1)定义：形如y ＝x α

(α∈R )的函数称为幂函数，其中底数x 是自变量，α为常数．常见的五类幂函数为

y ＝x ，y ＝x 2，y ＝x 3，y ＝x 1

2，y ＝x －

1.

(2)五种幂函数的图象

(3)性质

①幂函数在(0，＋∞)上都有定义；

②当α>0时，幂函数的图象都过点(1，1)和(0，0)，且在(0，＋∞)上单调递增； ③当α<0时，幂函数的图象都过点(1，1)，且在(0，＋∞)上单调递减． 2．二次函数

(1)二次函数解析式的三种形式 ①一般式：f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)． ②顶点式：f (x )＝a (x －m )2＋n (a ≠0)． ③零点式：f (x )＝a (x －x 1)(x －x 2)(a ≠0)． (2)二次函数的图象和性质

解析式 f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a >0) f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a <0)

图象

定义域 (－∞，＋∞)

(－∞，＋∞)

值域

⎣⎡⎭⎫4ac －b 24a ，＋∞ ⎝

⎛⎦⎤－∞，4ac －b 24a

单调性

在⎝⎛⎦⎤－∞，－b 2a 上单调递减； 在⎝⎛⎭

⎫－b

2a ，＋∞上单调递增 在⎝⎛⎦⎤－∞，－b 2a 上单调递增； 在⎝⎛⎭

⎫－b

2a ，＋∞上单调递减 对称性

函数的图象关于x ＝－b

2a

对称

核心素养分析

本讲主要考查幂函数的图象与性质、二次函数的图象与性质，重点提升逻辑推理、直观想象素养.

题型归纳题型1 幂函数的图象与性质

【例1-1】（2020春•本溪月考）已知幂函数2

242

()(1)()m

m f x m x m R -+=-∈，在(0,)+∞上单调递增．设5log 4a =，

15

log 3b =，0.20.5c -=，则f （a ）

，f （b ），f （c ）的大小关系是( ) A ．f （b ）f <（a ）<（c ） B ．f （c ）f <（b ）f <（a ）

C ．f （c ）f <（a ）f <（b ）

D ．f （a ）f <（b ）f <（c ）

【例1-2】（2020春•沈河区校级月考）设113

24

4342(),(),()433

a b c ===，则a ，b ，c 的大小顺序是( )

A ．c a b <<

B ．c b a <<

C ．a c b <<

D ．b c a <<

【跟踪训练1-1】（2019秋•杨浦区校级期末）幂函数2

23

()(1)(,)m m f x a x a m N --=-∈为偶函数，且在(0,)+∞上

是减函数，则a m += ．

【跟踪训练1-2】已知幂函数f (x )＝(n 2＋2n －2)x n 2－3n (n ∈Z )的图象关于y 轴对称，且在(0，＋∞)上是减函数，则n 的值为( )

A ．－3

B ．1

C．2 D．1或2

【名师指导】

幂函数的性质与图象特征的关系

(1)幂函数的形式是y＝xα(α∈R)，其中只有一个参数α，因此只需一个条件即可确定其解析式．

(2)判断幂函数y＝xα(α∈R)的奇偶性时，当α是分数时，一般将其先化为根式，再判断．

(3)若幂函数y＝xα在(0，＋∞)上单调递增，则α>0，若在(0，＋∞)上单调递减，则α<0.

题型2 二次函数的解析式

【例2-1】（2019秋•道里区校级月考）已知二次函数2

=++≠图象过点(3,0)

f x ax bx a

()3(0)

A-，对称轴为x=．

1

（1）求()

=的解析式；

y f x

（2）若函数()

y g x

+=，求函数()

=的解析式．

=满足(21)()

g x f x

y g x

【例2-2】(一题多解)已知二次函数f(x)满足f(2)＝－1，f(－1)＝－1，且f(x)的最大值是8，试确定此二次函数的解析式．

【跟踪训练2-1】（2019秋•贺州期中）已知一个二次函数()f x ，(0)4f =，f （2）0=，f （4）0=．求这个函数的解析式．

【跟踪训练2-2】（2019秋•沈阳期中）已知一次函数(())43f f x x =+，且()f x 在R 上递增，二次函数()g x 的图象的顶点是(1,2)-且过(0,1)-．

（1）分别求函数()f x 与函数()g x 的解析式； （2）求函数(())f g x 与(())g f x 的解析式．

【名师指导】

求二次函数解析式的方法

根据已知条件确定二次函数的解析式，一般用待定系数法，但所给条件不同选取的求解方法也不同，选择规律如下：

题型3 二次函数的图象与性质

【例3-1】已知abc >0，则二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c 的图象可能是( )

【例3-2】（2020•海南模拟）已知函数2()5f x x mx =-+在(2,)+∞上单调递增，则m 的取值范围为( ) A ．[4，)+∞

B ．[2，)+∞

C ．(-∞，4]

D ．(-∞，2]

【例3-3】（2019秋•庐江县期末）函数223y x x =-+在闭区间[0，]m 上有最大值3，最小值为2，m 的取值范围是( ) A ．(-∞，2]

B ．[0，2]

C ．[1，2]

D ．[1，)+∞

【例3-4】（2020•江苏一模）已知函数2()(2)(8)()f x m x m x m R =-+-∈是奇函数，若对于任意的x R ∈，关于x 的不等式2(1)f x f +<（a ）恒成立，则实数a 的取值范围是 ．

【跟踪训练3-1】（2019秋•吉安期末）函数2()2(21)3f x x a x =--++在区间[2，3]上是增函数，则a 的取值范围是( ) A ．13

(,]2

-∞-

B ．13(,

]2

-∞ C ．13

[,)2-

+∞ D ．13

[,)2

+∞

【跟踪训练3-2】（2019秋•宜昌期末）函数221y x x =--在闭区间[0，3]上的最大值与最小值的和是(

) A ．1-

B ．0

C ．1

D ．2

【跟踪训练3-3】（2019秋•长春期末）已知函数2()2()f x x x a x R =++∈． （1）若函数()f x 的值域为[0，)+∞，求实数a 的值；

（2）若()0f x >对任意的[1x ∈，)+∞成立，求实数a 的取值范围．