二次根式全章总复习

二次根式全章总复习
三个概念
概念1 二次根式
1．下列各式一定是二次根式的是( ) 2．下列式子中为二次根式的是( ) a B .x ＋1 C .1－x D .x ＋1 A .8 B .－1 C . 2 D .x(x ＜0)
3.在代数式：①；②；③；④；⑤；⑥
中，一定是二次根式
的有（ ）A.5个 B.4个 C.3个 D.2个 4．二次根式
13
)3(2++m m 的值是（ ）
A ．23
B ．32
C ．22
D ．0 5.已知a 为实数，下列式子一定有意义的是（ ）
A. B. C. D.
6．已知x ，y 为实数，且满足1＋x －(y －1)1－y ＝0，那么x 2 016－y 2 017
的值是多少？
概念2 代数式
1．下列式子中属于代数式的有( )①0；②a ；③x ＋y ＝2；④x －5；⑤2a ；⑥a 2
＋1；⑦a ≠1；⑧x ≤3. A ．7个 B ．6个 C ．5个 D ．4个
2．农民张大伯因病住院，手术费为a 元，其他费用为b 元，由于参加农村合作医疗，手术费报销85%，其他费用报销60%，则张大伯此次住院共报销_________________元(用代数式表示)． 概念3 最简二次根式
1．二次根式45a ，2a 3
，8a ，b ，13
(其中a ，b 均大于或等于0)中，是最简二次根式的有_________
个。

2．把下列各式化成最简二次根式．
(1) 1.25； (2)4a 3b ＋8a 2
b(a ≥0，b ≥0)； (3)－n m 2(mn ＞0)； (4)x －y x ＋y
(x ≠y)．
3．下列二次根式中，哪些是最简二次根式？哪些不是？不是最简二次根式的请说明理由．
412－402，8－x 2，22，x 2－4x ＋4(x>2)，－x 12x ，0.75ab ，ab 2(b>0，a>0)，9x 2＋16y 2
，
（a ＋b ）2
（a －b ）(a>b>0)，x 3，x 3
.
二次根式的性质
性质1 (a)2＝a(a ≥0)
1，下列计算正确的是( )
A ．－(7)2
＝－7 B ．(5)2
＝25 C ．(9)2
＝±9 D ．－⎝
⎛
⎭
⎪⎫－
9162＝916 2．在实数范围内分解因式：x 4
－9＝________．
3.要使等式(8－x)2
＝x －8成立，则x ＝________． 性质2 a 2＝a(a ≥0)
1．实数a 在数轴上对应点的位置如图所示，则（a －4）2＋（a －11）2
化简后为( ) A ．7 B ．－7C ．2a －15 D ．无法确定 2.若
成立，则m 的取值范围是__________
3．已知三角形的两边长分别为3和5，第三边长为c ，化简：c 2
－4c ＋4－
14
c 2
－4c ＋16.
4．先化简再求值：当a ＝5时，求a ＋1－2a ＋a 2
的值，甲、乙两人的解答如下：甲的解答为：原式＝a ＋
（1－a ）2＝a ＋(1－a)＝1；乙的解答为：原式＝a ＋（1－a ）2
＝a ＋(a －1)＝2a －1＝9. 请问谁的解答正确？请说明理由．
性质3 积的算术平方根
1．化简24的结果是( )A ．4 6 B ．2 6 C ．6 2 D ．8 3
2．能使得（3－a ）（a ＋1）＝3－a ·a ＋1成立的所有整数a 的和是________． 3．若3)3(-⋅=
-m m m m ，则m 的取值范围是
4.将根号外的移到根号内； .
性质4 商的算术平方根1．化简下列二次根式：(1)44
9； (2)121b
5
16a
2(a ＜0，b ＞0)．
性质5。

a 的双重非负性 利用二次根式被开方数的非负性求字母取值范围 1．下列说法正确的是（ ）
A ．若a a -=2，则a<0
B ．0,2
>=a a a 则若 C ．4284b a b a = D ． 5的平方根是5
2．若
b
a
是二次根式，则a ，b 应满足的条件是（ ） A ．a ，b 均为非负数 B ．a ，b 同号 C ．a ≥0，b>0 D ．0≥b
a
3．若5-x 不是二次根式，则x 的取值范围是
4.二次根式
4
1
22
--x x 有意义时的x 的取值范围是 ，式子中x 的取值范围是
____________________，当x 满足条件______________时，式子有意义.
5.
有意义，则点P （a ，b ）在（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 6．若3)3(-⋅=
-m m m m ，则m 的取值范围是
②利用二次根式的性质化简二次根式 1. 若x ≥0，那么
等于（ ） 2.当a ≥1，则
=（ ）
A. X
B.－x
C.－2x
D. 2x A.2a －1 B. 1－2a C.－1 D. 1
3．化简)0(||2<<--y x x y x 的结果是（ ） 4.已知a<b ，化简二次根式b a 3-的正确结果是（ ） A ．x y 2- B ．y C ．y x -2 D ．y - A ．ab a -- B ．ab a - C ．ab a D ．ab a -
5.已知a<b 化简二次根式b a 3-的正确结果是（ ）6．把m
m 1
-根号外的因式移到根号内，得（ ） A ．ab a --B ．ab a -C ．ab a D ．ab a - A ．m B ．m - C ．m -- D ．m -
7．下列各式中，一定能成立的是（ ） A ．22)5.2()5.2(=-B ．22)(a a =C ．1-x 122
=+-x x D ．3392+⋅-=
-x x x
8．若x+y=0，则下列各式不成立的是（ ）
A ．02
2
=-y x B ．033=+y x C ．022
=-
y x D ．0=+y x
9．若a ≤1 ）
A ．（a －1.(1.(.(1
B a
C a
D a ---
10．已知a ，b ，c 为三角形的三边，则222)()()(a c b a c b c b a -++--+-+= 11．已知a<2，=-2)2(a . 12.已知3<x<6，则化简的结果是________.
13.=--x x
1 ；
③利用二次根式的性质求代数式的值 1.
2.已知1888+-+-=x x y ，求代数式
x
y y x xy
y x y x ---+2的值
3.的值
4.
5.、已知实数a 满足,求a －20082
的值.
1.
2．若20042005a a a -+-=，求2
2004a -的值 3.已知|x ＋y －7|＋，求x 2＋y 2
的值.
1. 2。

求代数式13432---x x 的最小值
3.
4．若m =m 的值．
（4）利用被开方数相同的最简二次根式的条件求字母的值 1．如果最简根式
b －a
3b 和2b －a ＋2是被开方数相同的最简二次根式，那么( )
A ．a ＝0，b ＝2
B ．a ＝2，b ＝0
C ．a ＝－1，b ＝1
D ．a ＝1，b ＝－2
2．若最简二次根式5a ＋b 和2a －b 能合并，则代数式－3a
2b
＋(3a ＋2b)2的值为________．
3．如果最简二次根式3a －8与17－2a 在二次根式加减运算中可以合并，求使4a －2x 有意义的x 的取值范围．
4．若m，n均为有理数，且3＋12＋3
4＝m＋n3，求(m－n)2＋2n的值．
考点三。

常见二次根式化简求值的九种技巧
估算法1．若将三个数－3，7，11表示在数轴上，则其中被如图所示的墨汁覆盖的数是________．
(第1题)
公式法2．计算：(5＋6)×(52－23)．
拆项法3．计算：6＋43＋32
（6＋3）（3＋2）
.[提示：6＋43＋32＝(6＋3)＋3(3＋2)]
换元法4．已知n＝2＋1，求n＋2＋n2－4
n＋2－n2－4
＋
n＋2－n2－4
n＋2＋n2－4
的值．
整体代入法5．已知x＝1
3－22，y＝
1
3＋22
，求
x
y＋
y
x－4的值．
已知x ＝2－1，y ＝2＋1，求x y ＋y
x
的值． 已知x ＋y ＝－8，xy ＝8，求y
y x ＋x x
y
的值．
已知a －b ＝3＋2，b －c ＝3－2，求2(a 2＋b 2＋c 2
－ab －bc －ac)的值．
因式分解法6．计算：2＋3
2＋6＋10＋15.
配方法7．若a ，b 为实数，且b ＝3－5a ＋5a －3＋15，试求b a ＋a
b ＋2－b a ＋a
b
－2的值．
辅元法8．已知x ∶y ∶z ＝1∶2∶3(x>0，y>0，z>0)，求x ＋y
x ＋z ＋x ＋2y
的值．
先判后算法9．已知a ＋b ＝－6，ab ＝5，求b b a
＋a a
b
的值．
考点4.比较二次根式大小的八种方法
平方法1．比较6＋11与14＋3的大小． 作商法2．比较
a ＋1a ＋2与a ＋2a ＋3
的大小．
分子有理化法3．比较15－14与14－13的大小． 比较 2 018－ 2 017与 2 017－ 2 016
分母有理化法4．比较12－3与1
3－2的大小．
作差法5．比较
19－13与2
3
的大小．
倒数法6．已知x ＝n ＋3－n ＋1，y ＝n ＋2－n ，试比较x ，y 的大小．
特殊值法7．用“<”连接x ，1
x
，x 2，x(0<x<1)．
定义法8．比较5－a 与3
a －6的大小．
考点5运算——二次根式的运算
1.计算：(1)(33＋32)×(27－42)； (2)【中考·临沂】(3＋2－1)(3－2＋1)；
(3)3105ab c ÷⎝ ⎛⎭⎪⎫35b 2ac ×⎝ ⎛⎭⎪⎫－215bc a ＋abc.
【同步练习】
一、选择题（每小题3分，共30分） 1．下列说法正确的是（ ）
A ．若a a -=2，则a<0
B ．0,2>=a a a 则若
C ．4284b a b a =
D ． 5的平方根是5 2．二次根式
13
)3(2++m m 的值是（ ）
A ．23
B ．32
C ．22
D ．0 3．化简)0(||2<<--y x x y x 的结果是（ ）
A ．x y 2-
B ．y
C ．y x -2
D ．y - 4．若
b
a
是二次根式，则a ，b 应满足的条件是（ ） A ．a ，b 均为非负数 B ．a ，b 同号 C ．a ≥0，b>0 D ．
0≥b
a
5．（2005·湖北武汉）已知a<b ，化简二次根式b a 3
-的正确结果是（ ） A ．ab a -- B ．ab a - C ．ab a D ．ab a - 6．把m
m 1
-
根号外的因式移到根号内，得（ ）
A ．m
B ．m -
C ．m --
D ．m - 7．下列各式中，一定能成立的是（ ）
A ．22)5.2()5.2(=-
B ．22)(a a =
C ．
1-x 122=+-x x D ．
3392+⋅-=
-x x x
8．若x+y=0，则下列各式不成立的是（ ） A ．02
2
=-y x B ．033=+y x C ．022=-
y x D ．0=+y x
9．当3-=x 时，二次根7522++x x m 式的值为5，则m 等于（ ） A ．2 B ．22 C ．5
5 D ．5 10．已知10182
22=++x x
x x
，则x 等于（ ） A ．4 B ．±2 C ．2 D ．±4
二、填空题（每小题3分，共30分）
11．若5-x 不是二次根式，则x 的取值范围是 12．（2005·江西）已知a<2，=-2)2(a
13．当x= 时，二次根式1+x 取最小值，其最小值为 14．计算：=⨯÷182712 ；=÷-)32274483( 15．若一个正方体的长为cm 62，宽为cm 3，高为cm 2，则它的体积为
3
cm
16．若433+-+-=
x x y ，则=+y x
17．若3的整数部分是a ，小数部分是b ，则=-b a 3 18．若3)3(-⋅=-m m m m ，则m 的取值范围是
19．若=-⎪⎪⎭⎫ ⎝
⎛-=-=
y x y x 则,43
2311,
132
20．已知a ，b ，c 为三角形的三边，则222)()()(a c b a c b c b a -++--+-+= 三、化简（前5题每小题6分，后两题每题7分，共44分） 21．2
1
4
181
22-+- 22.3)154276485(÷+-
23.x x
x x 3)1
246(÷- 24.21)2()12(18---+++
25．已知：132-=
x ，求12
+-x x 的值。

26．已知：的值。

求代数式22,211881-+-+++
-+-=x y y x x y y x x x y
27、阅读下面问题：12)
12)(12()
12(1211
-=-+-⨯=+； ;23)23)(23(23231-=-+-=+25)
25)(25(2
5251-=-+-=+ 试求：⑴671
+的值； ⑵17231+的值； ⑶n n ++11
（n 为正整数）的值。

【培优练习】
一、二次根式的非负性
1．若2004a a -=，则22004a -=_____________．
2．代数式13432---x x 的最小值是_____________．
3．已知1888+-+-=
x x y ，求代数式x y y x xy y x y x ---+2的值．
4．若m =
m 的值．
二、二次根式的化简技巧
（一）构造完全平方
1、22222222222222])
1(1[)1(121)1(11)(1)2n(n 1)1(1221)1()1(1)1(111+++⋅+=+++++=++++=++++=+++n n n n n n n n n n n n n n n n n n 由 化简得_________________)
1(11122=+++n n （拓展）计算2222222220041200311413113121121111++++++++++++
．
2．化简：
5225232-+---++y y y y ．
3．化简241286+++． 4．化简：
23246623+--．
（二）分母有理化
1．计算：
4947474917557153351331++++++++ 的值．
2．分母有理化：
5
3262++． 3．计算：321232+++-．
三、二次根式的应用
（一）无理数的分割
1．设a 为5353--+的小数部分，b 为336336--+的小数部分，则 a b 12-的值为（ ）（A ）126+- （B ）41 （C ）12-π （D ）832π--
2
的整数部分为x ，小数部分为y ，试求2212x xy y ++的值．
3的整数部分为a ，小数部分为b ，试求1a b b ++
的值
（二）性质的应用
1．设m 、x 、y 均为正整数，且y x m -=
-28，则m y x ++ =_________．
2．设 +++=222x ， 222=y ，则（ ）
（A ） y x > （B ） y x < （C ） y x = （D ） 不能确定
（三）有二次根式的代数式化简
1．已知)56()2(y x y y x x +=
+，求y xy x y xy x 32++-+的值．
2=的值。

3．已知：7878+-=
x ，7878-+=y ，求：y x xy y x +++2的值．
4．已知321
+=a ，求a a a a a a a -+---+-22212121的值．
5．已知：a ，b 为实数，且22222+-+-=
a a a
b ．求()222a b a b ---+-的值．。