中科大量子力学课件6

kr

1 2
l

l

是散射波第 l
个分波的位相。
所以， l 是入射波经散射后第 l 个分波的位
i
2
(ik
1
* 1
ik1* )
k N
（10）
散射波的几率流密度
12
二、散射振幅 (续6)
Chapter.6 .Scattering
Jr

i
2

2


* 2
r

* 2
2
r



r2
|
f
( ,) |2
（11）
单位时间内，在沿 ( ,) 方向d立体角内
22
三、分波法 (续8)
Chapter.6 .Scattering
可见，求散射振幅f()的问题归结为求 l ，
求 l 的具体值关键是解径向波函数 Rr 的方
程（3-3）
l 的物理意义：
由（3-8），（3-9）知，kr 1 l 是入射 平面波的第 l 个分波的位相； 由2（3 -6）知，
散射截面：
3
一 散射截面 (续2)
Chapter.6 .Scattering
设单位时间内散射到（，）方向面积元ds
百度文库
上（立体角d内）的粒子数为dn，显然
dn

ds r2

d
dn N
综合之，则有： dn Nd
或 dn q( ,)Nd
（1）
比例系数q(，)的性质：
q(，)与入射粒子和靶粒子（散射场）的
出现的粒子数为
dn

Jr ds
|
f ( ,) |2

r2
ds
| f ( ,) |2 Nd
（12）
比较（1）式与（12），得到
q( ,) | f ( ,) |2
（13）
13
二、散射振幅 (续7)
Chapter.6 .Scattering
由此可知，若知道了 f (,) ，即可求得 q(,)， f (,) 称为散射振幅。所以，对于能量给定的入
ds
θ
Z
2
一 散射截面 (续1)
Chapter.6 .Scattering
散射角：入射粒子受靶粒子势场的作用，其 运动方向偏离入射方向的角度。
弹性散射：若在散射过程中，入射粒子和靶 粒子的内部状态都不发生变化，则称弹性散 射，否则称为非弹性散射。
入射粒子流密度N ：单位时间内通过与入射
粒子运动方向垂直的单位面积的入射粒子数， 用于描述入射粒子流强度的物理量，故又称 为入射粒子流强度。
函数。
设 r 时，V (r) 0 ，方程（5）变为
2 k 2 0
令

r
（6）
（7）
8
二、散射振幅 (续2)
Chapter.6 .Scattering
将（6）式写成
2
r 2

k
2

Lˆ2 r2


0
在 r 的情形下，此方程简化为
2 k 2 0
射粒子，速率 v 给定，于是，入射粒子流密度
N v 给定，只要知道了散射振幅 f (,)，也就能 求出微分散射截面。 f (,) 的具体形式通过求 Schrödinger方程（5）的解并要求在 r 时 具有渐近形式（9）而得出。
下面介绍两种求散射振幅或散射截面的方 法：分波法，玻恩近似方法。
r
（9）
11
二、散射振幅 (续5)
Chapter.6 .Scattering
为方便起见，取入射平面波eikx的系数 A 1 ，
这表明|1 |2 1 ，入射粒子束单位体积中的粒 子数为1。
入射波几率密度（即入射粒子流密度）
Jz

i
2

1


* 1
z

* 1
1
z


（4）
令 k 2 2E V (r) 2 U (r)
2
2
方程（4）改写为 7
二、散射振幅 (续1)
2 [k 2 V (r)] 0
Chapter.6 .Scattering
（5）
由于实验观测是在远离靶的地方进行的，从
微观角度看，可以认为r ，因此，在计算
q( ,) 时，仅需考虑 r 处的散射粒子的 行为，即仅需考虑r 处的散射体系的波
1)

Rl
(r)

0
（3-3）
16
三、分波法 (续2)
Chapter.6 .Scattering
令
Rl
(r)

Ul (r) r
代入上方程
d 2Ul dr 2


k
2
V (r)
l
(l r2
1)

U
l
(r
)

0
（3-4）
考虑方程（3-4）在 r 情况下的极限解
令 r 方程（3-4）的极限形式
d
2Ul (r) dr 2

k
2Ul
(r)

0
由此求得： Ul (r) Alsin(kr l)
r
Rl (r)
Al kr
sin

kr

1 2
l

l

（3-5） 17
三、分波法 (续3)
Chapter.6 .Scattering
为了后面的方便起见，这里引入了两个新的
常数
（3-9）
2ikr
19
三、分波法 (续5)
Chapter.6 .Scattering
利用（3-8）、（3-9），可将（3-7）写成
(r, )
r

f ( ) eikr
r


l0
(2l 1)il 2ikr
i
[e
(kr

1 l 2
)

i
e
(kr

1 l 2
)
]PL
(cos
)
（3-10）
eikz eikrcos (2l 1)il jl (kr)Pl (cos ) （3-8）
l0
式中jl(kr)是球贝塞尔函数
jl (kr)

2kr
J
l

1 2
(kr
)
r
1 kr
sin
kr

1 2
l


1
i(kr 1l )
i(kr 1l )
[e 2 e 2 ]
ei
(
kr

1 l 2
l
)

Pl (cos
)
（3-6）
18
三、分波法 (续4)
Chapter.6 .Scattering
另一方面，按上节的讨论，在远离散射中
心处，粒子的波函数
(r, ) r eikz f ( ) eikr
r
（3-7）
将平面波 eikz 按球面波展开
l
Pl
(cos
)
l0
l0
（3-12）
用 Pl (cos ) 乘以（12）式，再对从 0
积分，并利用Legradrer多项式的正交性
0
Pl
(cos )Pl (cos )sind

2 2l
1

ll
可以得到
A ei(
l

1l 2
)
l

(2l

1)i
l
i
e
1 l 2
（3-6）和（3-10）两式右边应相等，即

l 0
A [e l
i
(
kr
1 2
l
l
)
2ikr

e
i
(
kr
1 2
l
l
)
]Pl
(c
os
)

f
( ) eikr
r

l0
(2l

1)i
l
[e
i(kr
1 l 2
)
2ikr
i(kr1l )
e 2 ]PL
cos
分别比较等式两边 eikr 和 eikr 前边的系数，得 20
Chapter.6 .Scattering
Chapter.6
散射
scattering
1
一 散射截面
Chapter.6 .Scattering
散射过程： 方向准直的均匀单能粒子由远处沿z轴方
向射向靶粒子，由于受到靶粒子的作用，朝 各方向散射开去，此过程称为散射过程。散 射后的粒子可用探测器测量。 靶粒子的处在位置称为散射中心。
内。 q( ,)N dn
d
（2）
5
一 散射截面 (续4)
总散射截面：
Chapter.6 .Scattering
2
Q q(,)d 0 0 q(,)sindd
[注]
由（2）式知，由于N、dn d 可通过实
验测定，故而求得 q( ,)
。
量子力学的任务是从理论上计算出q( ,) ，
性质，它们之间的相互作用，以及入射粒子
的动能有关，是， 的函数
4
一 散射截面 (续3)
Chapter.6 .Scattering
q(，)具有面积的量纲
[q]


dn Nd


L2
故称q(，)为微分散射截面，简称为截面
或角分布
如果在垂直于入射粒子流的入射方向取截
面面积q(，)，则单位时间内通过此截面的 粒子数恰好散射到(，)方向的单位立体角
三、分波法 (续6)
Chapter.6 .Scattering

Al
ei(l

1 l 2
)
Pl
(cos
)

2ikf
(
)


(2l
1)
i
l
i
e
1 l 2
Pl
(cos
)
l0
l0
（3-11）

Al
ei(l

1 2
l
)
Pl
(cos
)


(2l
1)
i
l
i
e
1 2
分波法是准确的求散射理论问题的方法，即 准确的散射理论。
14
三、分波法
Chapter.6 .Scattering
讨论粒子在中心力场中的散射。
粒子在辏力场中的势能为 U (r) ，状态方程
2 [k 2 V (r)] 0
（3-1）
取沿粒子入射方向并通过散射中心的轴线 为极轴z，显然与无关，按照§3.3.的讨 论，对于具有确定能量的粒子，方程（3-1） 的特解为
21
三、分波法 (续7)
Chapter.6 .Scattering
即
Al
(2l 1)ileil

(2l

i(
1)e
1 l 2
l
)
（3-13）
将此结果代入（3-11）式


(2l 1)ei2l Pl (cos ) 2ikf ( ) (2l 1)Pl (cos )
l
Rl r为待定的径向波函数，每个特解称为一
个分波，Rl (r)Pl (cos ) 称为第 l 个分波，通常称 l 0,1,2,3, 的分波分别为s, p, d, f…分波
（3-2）代入（3-1），得径向方程
1 r2
d dr

r
2
dRl dr


k 2
V (r)
l
(l r2
r 2
（8）
此方程类似一维波动方程。我们知道，对于
一维势垒或势阱的散射情况
k x Aeikx Beikx
k x ceikx 9
二、散射振幅 (续3)
Chapter.6 .Scattering
式中 eikx为入射波或透射波，eikx 为散射波，
波只沿一方向散射。 对于三维情形，波可沿各方向散射。三维
散射时，在 r 处的粒子的波函数应为入
射波和散射波之和。
方程（8）有两个特解
(r, ,) f ( ,)eikr
(r, ,) f ( ,)eikr
10
二、散射振幅 (续4)
Chapter.6 .Scattering
因此
2 (r, ,)
f ( , ) eikr
r
2 (r, ,)

f ( , ) eikr
r
2 代表由散射中心向外传播的球面散射波，
2 代表向散射中心会聚的球面波，不是散射
波，应略去。
在r 处，散射粒子的波函数是入射平
面波 1 eikz 和球面散射波 2 之和。即
(r ) r Aeikz f ( ,) eikr
以便于同实验比较，从而反过来研究粒子间 的相互作用以及其它问题。
6
二、散射振幅
Chapter.6 .Scattering
现在考虑量子力学对散射体系的描述。设 靶粒子的质量远大于散射粒子的质量，在碰 撞过程中，靶粒子可视为静止。
取散射中心A为坐标原点，散射粒子体系的 定态Schrödinger方程
2 2 U (r) E 2
Rl (r)Ylm ( ,)
由于现在与无关(m=0)，所以，方程（1） 的特解可写成
15
三、分波法 (续1)
Chapter.6 .Scattering
Rl (r)Pl (cos ) 方程（3-1）的通解为所有特解的线性迭加
(r, ) Rl (r)Pl (cos )
（3-2）
l 0
f ( )
1 2ik

(2l 1)(ei2l
l 1
l0
1)Pl (cos )

1 2ik

(2l 1)eil (eil
l 1
eil )Pl (cos )

1 k
l 0
(2l
1)eil
sin l

Pl
(cos ) （3-14）
Al kAl,
l

l
2
l
将（3-5）代入（3-2），得到方程（3-1）在
r 情形下通解的渐近形式
(r, ) r
l0
Al kr
sin

kr

1 2
l
l
Pl
(cos
)

l0
Al 2ikr
ei
(
kr

1 2
l

l

)