结构力学第10章矩阵位移法

i
F
e Qi
M ie
θ ie
Me j
FNe i
j
u je
FQe j
θ je
FNe j
u ie
v ie
e
v je
x
图10-1局部坐标系中的平面杆单元 局部坐标系中的平面杆单元
EA e e F = (ui − u j ) l EA e e FN j = − (ui − u je ) l
e Ni
FQei
M ie
FNe j
FQe j
Me j
}
T
2 平面一般单元的刚度方程 按照位移法基本结构的做法 ， y 在杆两端人为地引入附加约束， 在杆两端人为地引入附加约束 ， 使 其两端发生指定位移， 其两端发生指定位移 ， 根据位移可 以推算出所需的杆端力向量。 以推算出所需的杆端力向量 。 在小 变形的情况下， 变形的情况下 ， 可以不考虑轴向变 形与弯曲变形的耦合作用。 形与弯曲变形的耦合作用。 由 u ie 和 u je，利用虎克定律可以推得
整理易得
FNe i EA 1 − 1 u ie e = FN j l − 1 1 u je
12 EI l3 6 EI l2 0 − 12 EI l3 6 EI l2
e
对称 4 EI l 0 − 6 EI l2 2 EI l EA l 0 0 12 EI l3 − 6 EI l2
1 结构离散化 任何杆系结构，总可以假想地将其拆开，视为有限个单跨超静定 任何杆系结构，总可以假想地将其拆开，视为有限个单跨超静定 有限个 梁（或杆）在两端相互联接而成。这些单跨超静定梁（或杆）称为 或杆）在两端相互联接而成。这些单跨超静定梁（或杆） “单元”，联结点称为“结点”。显然对于给定的结构而言，“单元” 单元” 联结点称为“结点” 显然对于给定的结构而言， 单元” 和“结点”都是有限的。如 结点”都是有限的。
对称 4 EI l 0 − 6 EI l2 2 EI l EA l 0 0 12 EI l3 − 6 EI l2
4 EI l
3 单元刚度矩阵的性质 (1) k
[]
e
采用顺序排列i、 中的每一个元素 k ije （采用顺序排列 、j=1,2,3,4,5,6）称为单 ）
e
Mi
i
θi
θj
Mj
j
图10-2连续梁单元 连续梁单元
因此， 因此，此时单元的杆端位移列向量为 {∆} = { i e θ je } θ 杆端力列向量为 单元刚度矩阵为
T
{F } = {M
e
e i
Me j
}
T
[k ]
e
EI = l
4 2
2 4
(b) 桁式杆单元 对于桁式杆单元如图10对于桁式杆单元如图 3所示。令平面一般情况 所示。 所示 中
图10-1局部坐标系中的平面杆单元 局部坐标系中的平面杆单元 i
y
F
e Qi
M ie
θ ie
Me j
FNe i
j
u je
FQe j
θ je
FNe j
u ie
v ie
e
v je
x
{∆} = {u
e
e
e i
vie θ i e
u je
v je θ je
}
T
局部坐标系中的单元的杆端力列向量为
{F } = {F
vi = θ i = v j = θ j = 0
EA l 0 0 − EA l 0 0
y
FN i
i j
FN j
x
图10-3桁式杆单元 桁式杆单元
u i FN i v i FQ i Mi θ i = u F j N j v j FQ j 4 EI θ j M j l
{F } = [k ] {∆}
e e
e
上式即为局部坐标 系下的单元刚度方 程。其中 [k 度矩阵。 度矩阵。
]
e
为局
[k ]
e
部坐标系下单元刚
EA l 0 0 = − EA l 0 0
12 EI l3 6 EI l2 0 − 12 EI l3 6 EI l2
4 特殊单元的刚度矩阵
对于连续梁单元如图10-2所示。令 所示。 对于连续梁单元如图 所示 平面一般情况中 u i = v i = u j = v j = 0 整理易得
M ie EI 4 2 θ i e = e l 2 4 θ je M j
2 ② 3 ⑧ ③ ⑨ 2 4 ① 1 ② ③ 4 3
① ⑦ 1 ⑥6 ⑤ 5 ④
2 单元分析 所谓的单元分析就是对上述离散化后的各单跨超静定梁 或杆） 所谓的单元分析就是对上述离散化后的各单跨超静定梁（或杆）进 单元分析就是对上述离散化后的各单跨超静定梁（ 行分析。通过分析可以建立单元杆端力和杆端位移之间的关系，而 行分析。 通过分析可以建立单元杆端力和杆端位移之间的关系， 这种关系是通过被称为单元刚度矩阵的矩阵向量把二者联系起来的 这种关系是通过被称为单元刚度矩阵的矩阵向量把二者联系起来的。 单元刚度矩阵的矩阵向量把二者联系起来的。 单元分析的主要目的是确定单元刚度矩阵。 单元分析的主要目的是确定单元刚度矩阵。
结构力学
第10章 矩阵位移法
主要内容
1 基本概念 2 局部坐标系下单元刚度矩阵 3 整体坐标系下单元刚度矩阵 4 直接刚度法 5 引入边界条件的方法 6 等效结点荷载 7 直接刚度法的另一种形式——先处理法 8 用先处理法计算矩形刚架
§10.1引言 引言
以传统的结构力学作为理论基础， 矩阵位移法 以传统的结构力学作为理论基础，用矩阵为数学表达形 式以计算机作为计算工具的分析结构力学问题的方法。 式以计算机作为计算工具的分析结构力学问题的方法。 矩阵位移法的基本原理与前面所述的位移法相同， 矩阵位移法的基本原理与前面所述的位移法相同，都是以结构的 结点位移作为基本未知量。不同之处是在矩阵位移法中， 结点位移作为基本未知量。不同之处是在矩阵位移法中，采用了 “矩阵”这一数学工具。其优点是 矩阵”这一数学工具。 •结构分析时的计算公式更紧凑； 结构分析时的计算公式更紧凑； 结构分析时的计算公式更紧凑 •计算过程统一化、公式化； 计算过程统一化、公式化； 计算过程统一化 •全部的计算过程便于在计算机上实现。 全部的计算过程便于在计算机上实现。 全部的计算过程便于在计算机上实现 采用矩阵位移法分析结构的力学问题时，思路与“有限元法” 采用矩阵位移法分析结构的力学问题时，思路与“有限元法”十 分相近。 分相近。矩阵位移法对结构进行力学分析的基本步骤为 •结构离散化； 结构离散化； 结构离散化 •单元分析； 单元分析； 单元分析 •结构整体分析。 结构整体分析。 结构整体分析
e
引起的六个杆端力的大小。 为0）时，引起的六个杆端力的大小。 ） 是对称的，满足反力互等定理。 [ ] 是对称的，满足反力互等定理。 (4)单元刚度矩阵 [k ] 是奇异的，即 [k ] = 0 是奇异的， 单元刚度矩阵 (3)单元刚度矩阵 k 单元刚度矩阵
e e
e
说明，可以根据单元的杆端位移向量唯一地确定杆端力向量， 说明 ， 可以根据单元的杆端位移向量唯一地确定杆端力向量 ， 反 之不成立。这是因为自由的杆单元受任意杆端力作用时， 之不成立。这是因为自由的杆单元受任意杆端力作用时 ，除有变 形外，还可能存在任意的刚体位移。 形外，还可能存在任意的刚体位移。
§10.2局部坐标系下单元刚度矩阵 局部坐标系下单元刚度矩阵
1 单元杆端位移与杆端力的表示法 在局部坐标系中， 在局部坐标系中 ， 平 面杆单元每端有三个位移 分量， 分量 ， 和相应的杆端力分 中均为正方向。 量 。 图 10-1中均为正方向 。 中均为正方向 则局部坐标系中的单元的 杆端位移列向量为
e T j
因此， 因此，此时单元的杆端位移列向量为 {∆} = u ie 杆端力列向量为 单元刚度矩阵为 k
{
u
}
{F } = {F
e
e Ni
FNe j
}
T
[]
e
EA = l
1 − 1 − 1 1
§10.3 整体坐标系下单元刚度矩阵
元刚度系数，其物理意义为第j个杆端位移分量等于 个杆端位移分量等于1（其余全为0） 元刚度系数，其物理意义为第 个杆端位移分量等于 （其余全为 ）时， 引起的第i个杆端力的大小。 引起的第 个杆端力的大小。 个杆端力的大小 (2) 中的每一列的六个元素代表某一杆端位移分量等于1（ [k ] 中的每一列的六个元素代表某一杆端位移分量等于 （其余全
e Qi
(
)
( (
) ) )
(

y
F
e Qi
M
Hale Waihona Puke Baidu
e i
Me j
F
e Ni
FQe j
θ je
FNe j
u ie
i
θ ie
u je
v ie
e
v je
j
x
图10-1局部坐标系中的平面杆单元 局部坐标系中的平面杆单元
把上两式组合在一起，并写成矩阵的形式， 把上两式组合在一起，并写成矩阵的形式，可得
3 整体分析 对于每一个单元分析完成之后，还不能解决问题， 对于每一个单元分析完成之后，还不能解决问题，这是因为这 些量（或杆）不是独立的， 些量（或杆）不是独立的，它们是靠结点和外部约束组成一个整体 形成结构的。因此，在结点处各单元之间必须保持位移（变形） 形成结构的。因此，在结点处各单元之间必须保持位移（变形）协 调，同时在结点处还应满足平衡条件。这个过程就是整体分析。 同时在结点处还应满足平衡条件。这个过程就是整体分析。 其目的是建立结构的结点（各单元的联结点） 其目的是建立结构的结点 （各单元的联结点）位移与结点荷载 作用于结点上的荷载）之间的关系， （作用于结点上的荷载）之间的关系，这种关系是靠所谓的刚度矩 阵联系起来的，整体分析的目的是建立结构的刚度矩阵。 阵联系起来的，整体分析的目的是建立结构的刚度矩阵。结构刚度 矩阵是由单元刚度矩阵按照一定的集成规则组装而成的， 矩阵是由单元刚度矩阵按照一定的集成规则组装而成的，这种集成 规则是矩阵位移法的核心。 规则是矩阵位移法的核心。
EA u l i FN i 12 EI 0 vi 对称 平面一般单元刚度方程中的杆端位移分量可以指定为任意值。 平面一般单元刚度方程中的杆端位移分量可以指定为任意值。i FQ l3 6 EI θ i 在结构分析中还存在一些特殊单元， 4 EI 在结构分析中还存在一些特殊单元，这些单元中某些位移分量为已i 0 M l l2 = EA 知值。其单元刚度矩阵不必重新推导， 0 知值。其单元刚度矩阵不必重新推导，对一般单元刚度方程做简单j − EA u F 0 l j N l 处理即可得到。 处理即可得到。 − 12 EI − 6 EI 12 EI 0 v j FQ j 0 l3 l2 l3 6 EI 2 EI − 6 EI 4 EI 0 (a) 连续梁单元 2 2 0 θ j M j l l l l
e Ni
v 利用位移法一章中的转角位移方程， θ 由 v ie 、 i e 、 je 和 θ je ，利用位移法一章中的转角位移方程，可得
6EI e 12EI e e F = 2 (θ i + θ j ) + 3 vi − v je l l 4EI e 2EI e 6EI e M ie = θi + θ j + 2 vi − v je l l l − 6EI 12EI FQe j = 2 (θ i e + θ je ) − 3 vie − v je l l 2EI e 4EI e 6EI e Me = θi + θ j + 2 vi − v je j l l l