周期图谱估计——频谱泄露及改进

Triangular窗 函 数 的 频 谱
0.6 0.4 0.2 0 0 40 n Hanning窗 函 数 20 60
-200 -300 0 0.5 w/pi Hanning窗 函 数 的 频 谱 1
0.6 0.4 0.2 0
幅 度 (dB)
0.8
-100
0.8
0.5 w/pi Hanming窗 函 数 的 频 谱
6
第4章 非参数谱估计
简介

因此，周期图法功率谱估计中频谱泄露 的改进办法既是选择合适的窗函数，尽 量减少频谱泄露，改善功率谱估计的性 能。
7
常用窗函数特性
Rectangle窗 函 数 0 1
幅 度 (dB)
Rectangle窗 函 数 的 频 谱 1
Triangular窗 函 数 0 -100 -200 -300 0 40 n Hanming窗 函 数 20 60 0
n blackman窗 函 数 0 1
幅 度 (dB)
0 1
幅 度 (dB)
0.8 0.6 0.4 0.2 0 0 20 n 40 60
-100 -200 -300 0 0.5 w/pi 1
0.8 0.6 0.4 0.2 0 0 20 n 40 60
-100 -200 -300 0 0.5 w/pi 1
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小结

本文详细分析了周期图谱中频谱泄露产生的原因，同 时在matlab中采用不同的窗函数对频谱泄露的改进效 果进行了仿真，结果表明，不同的窗函数对谱估计质 量的影响不一样，应根据不同的用途采用合适的窗函 数。
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8
周期图法

定义
1 1 ( Per ) j ˆ S x ( ) X (e ) N N
2
j n x ( n ) e n 0
N 1
2

在实际应用中，周期图谱估计的计算式为：
1 ( PW ) ˆ S x (k ) N
x(n)w(n)e
n 0
N 1
2 2 j kn N
Bartlett方法：D=L。Welch方法： D=L/2
第4章 非参数谱估计
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多个周期图求平均

设K 个数据分段之间互不相关，则
1 1 2 j ( PA ) ( Per ) ˆ ˆ Var[ S x ( )] Var[ S x ( )] S x (e ) K K 为一个渐近无偏估计和一致性估计。
Baidu Nhomakorabea

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多个周期图求平均
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第4章 非参数谱估计
多个周期图求平均

用Welch方法估计随机过程的功率谱及演示 穿函数对估计性能的影响
x(n) cos(0.35 n 1 ) 2cos(0.4 n 2 ) 0.5cos(0.8 n 3 ) v(n)
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Rectangle Welch Estimate,N=4096,K=4,D=819,L=1638 20 20
10 0 -10 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 Frequency (radian/pi) 0.7 0.8 0.9 1
Magnitude (dB)
10 0 -10 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 Frequency (radian/pi) 0.7 0.8 0.9 1
周期图法功率谱估计 ——频谱泄漏及改进
简介

功率谱估计一般分成两大类：

经典谱估计，也称为非参数谱估计。 现代谱估计，也称为参数谱估计。

经典谱估计是建立在传统的傅立叶变换基础之 上的。经典谱估计又可以分为两种方法：

相关图法。

1958年，Blackman和Tukey首先提出相关图法。 1898年，Schuster在寻找太阳黑子数据中隐藏的周期性 的研究工作中，提出了周期图法，但直到1965年提出FFT 以后，周期图法才受到人们的重视。

其中，w(n)为窗函数。
1 2 DFT {x(n) w(n)} , k 0,1,..., N 1 N
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第4章 非参数谱估计
周期图法

估计性能

渐近无偏性
N
ˆ ( Per ) ( )] S ( ) lim E[ S x x

周期图的方差(当N较大时)
2 S ( Per ) x ( ) ˆ Var[ S x ( )] ; 2 2S x ( )
Magnitude (dB)
10 0 -10 0 0.1 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 Frequency (radian/pi) Kaiser Welch Estimate,N=4096,K=4,D=819,L=1638,Beta=50 0.2 0.3 1
20
20
Magnitude (dB)


如果N 固定，且 N = KL，为了降低方差而增 加K，会导致L的减少，也就是分辨率的下降。
在实际应用中，用DFT/FFT计算DTFT，则
K 1 K 1 1 1 2 ˆ ( PA) (k ) @ S ˆ ( PA) ( ) ˆ ( ) S S X ( k ) x,i k KL x x k i K i 0 i 0 k 2 k / N FFT , X i (k ) DFT {xi (n)}, k 0,1,..., N FFT
1
0 1
幅 度 (dB)
0 1
幅 度 (dB)
0.8 0.6 0.4 0.2 0 0 20 40 60
-100 -200 -300 0 0.5 w/pi blackman窗 函 数 的 频 谱 1
0.8 0.6 0.4 0.2 0 0 40 n Kaiser窗 函 数 20 60
-100 -200 -300 0 0.5 w/pi Kaiser窗 函 数 的 频 谱 1
Triangular Welch Estimate,N=4096,K=4,D=819,L=1638
Magnitude (dB)
10 0 -10 0 0.1 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 Frequency (radian/pi) Hanning Welch Estimate,N=4096,K=4,D=819,L=1638 0.2 0.3 1
4
简介

FFT 产生离散的频谱，出现在FFT 每个 谱线的是在每个谱线上的连续卷积频谱。 如果原始信号的频谱成份与FFT 中的谱 线完全一致，这种情况下采样数据的长 度为信号周期的整数倍，频谱中只有主 瓣。没有出现旁瓣的原因是旁瓣正处在 窗函数主瓣两侧采样频率间隔处的零分 量点。
5
简介

如果时间序列的长度不是周期的整数倍， 窗函数的连续频谱将偏离主瓣的中心， 频率偏移量对应着信号频率和FFT 频率 分辨率的差异，这个偏移导致了频谱中 出现旁瓣，所以，窗函数的旁瓣特性直 接影响着各频谱分量向相邻频谱的泄漏 宽度。

周期图法。

2
简介

相关图法中，先由有限个观测数据估计 自相关函数，然后计算自相关序列的傅 里叶变换得到功率谱。 周期图法直接对观测数据进行傅里叶变 换，取模的平方，再除以N得到功率谱。 周期图法比相关图法简单，可用FFT进行 计算，得到了广泛的应用。

3
简介

在周期图谱估计中，我们取一段有限长 的数据进行傅里叶变换，相当于对原始 信号作了矩形窗运算。输入数据通过一 个窗函数相当于原始数据的频谱与窗函 数频谱的卷积。窗函数的频谱由一个主 瓣和几个旁瓣组成，主瓣以时域信号的 每个频率成份为中心。旁瓣在主瓣的两 侧以一定的间隔衰减至零。

0
0,
周期图谱估计的方差不随数据记录长度 N 的增大而减小， 而是近似于功率谱理论值的平方。 周期图谱估计不是一致，这是一个令人失望的结果。

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周期图法改进——多个周期图 求平均

把数据记录切分为K个分段，分别求周期 图，然后求平均。
xi (n) x(iD n)w(n) 0 n L 1,0 i K 1
Magnitude (dB)
10 0 -10 0 0.1 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 Frequency (radian/pi) Hamming Welch Estimate,N=4096,K=4,D=819,L=1638 0.2 0.3 1
20
20
Magnitude (dB)
10 0 -10 0 0.1 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 Frequency (radian/pi) Blackman Welch Estimate,N=4096,K=4,D=819,L=1638 0.2 0.3 1
j n x ( n ) e i n 0 L 1 2
1 1 j 2 ˆ S x ,i ( ) @ X i (e ) L L
ˆ S

( PA) x
1 K 1 ˆ 1 K 1 j 2 ( ) @ S x ,i ( ) X i (e ) K i 0 KL i 0