周期图谱估计——频谱泄露及改进
基于广义柯西分布的最大后验准则频谱估计方法
基于广义柯西分布的最大后验准则频谱估计方法作者：宋俊才张曙来源：《现代电子技术》2010年第07期摘要:经典的频谱估计方法和现代的频谱估计方法在低信噪比及小数据量的情况下,谱估计的分辨率和方差性能不能满足实际应用需要。
因此,提出一种高分辨率、高精度DFT变换的新方法,此方法特别适用于线性频谱的估计。
该方法基于最大后验概率准则,建立广义柯西-高斯分布模型,克服了短数据情况下的DFT变换分辨率低的缺点,具有收敛快、频率分辨率高、频率精度高的优点。
计算机仿真结果证实了新方法的有效性。
关键词:最大后验概率; 离散傅里叶变换; 频谱估计; 广义柯西分布中图分类号:TN911.6 文献标识码:A文章编号:1004-373X(2010)07-0017-04New Method for Spectrum Estimation Based on Generalized Cauchy Distribution and MAPSONG Jun-cai, ZHANG Shu(College of Information and Communication Engineering, Harbin Engineering University, Harbin 150001, China)Abstract: In the low SNR and small amount of data, the resolution and variance performance of spectral estimation can not meet the actual requirement by using classical or modern spectrum estimation methods. Therefore, a new high-resolution and high-precision method of DFT transform is proposed. It is suitable for estimation of linear spectra. Based on maximum a posteriori probability criterion, a generalized Cauchy-Gaussian distribution model to overcome the low resolution of DFT in the case of short data is established. The proposed method has advantages of fast convergence, high efficiency and high accuracy.The results of computer simulation show that the novel method is effective.Key words: maximum a posterior probability; discrete Fourier transform; spectrum estimation; generalized Cauchy distribution0 引言信号的频谱分析是研究信号特征的重要手段之一,该技术在雷达、通信、震动、地震信号处理及电子监测领域有着广泛的应用。
用FFT做频谱分析
用FFT 做频谱分析一、实验目的(1) 在理论学习的基础上，通过本实验，加深对FFT 的理解，熟悉FFT 子程序。
(2) 熟悉应用FFT 对典型信号进行频谱分析的方法。
(3) 了解应用FFT 进行信号频谱分析过程中可能出现的问题，以便在实际中正确应用FFT 。
(4) 熟悉应用FFT 实现两个序列的线性卷积的方法。
(5) 初步了解用周期图法做随机信号谱分析的方法。
二、实验原理与方法在各种信号序列中，有限长序列信号处理占有很重要的地位，对有限长序列，我们可以使用离散傅里叶变换(DFT)。
这一变换不但可以很好地反映序列的频谱特性，而且易于用快速算法在计算机上实现，当序列x (n )的长度为N 时，它的DFT 定义为21j 0()()e N knN NN n X k x n W W π--===∑，逆变换为101()()N kn N k x n X k W N --==∑ 有限长序列的DFT 是其z 变换在单位圆上的等距采样，或者说是序列傅里叶变换的等距采样，因此可以用于序列的谱分析。
FFT 并不是与DFT 不同的另一种变换，而是为了减少DFT 运算次数的一种快速算法。
它是对变换式进行一次次分解，使其成为若干小点数的组合，从而减少运算量。
常用的FFT 是以2为基数的，其长度2L N =，其中，L 为正整数。
它的效率高，程序简单，使用非常方便。
当要变换的序列长度不等于2的整数次方时，为了使用以2为基数的FFT ，可以用末位补零的方法，使其长度延长至2的整数次方。
1) 在运用DFT 进行频谱分析的过程中可能产生的三种误差(1) 混叠。
序列的频谱是被采样信号的周期延拓，当采样速率不满足奈奎斯特定理时，就会发生频谱混叠，使得采样后的信号序列频谱不能真实地反映原信号的频谱。
避免混叠现象的唯一方法是保证采样速率足够高，使频谱混叠现象不致出现，即在确定采样频率之前，必须对频谱的性质有所了解。
在一般情况下，为了保证高于折叠频率的分量不会出现，可在采样前先用低通模拟滤波器对信号进行滤波。
高速铁路(京沪、沪宁、沪杭线)轨道不平顺谱分析
(2)京沪高铁和沪宁高铁高低、水平不平顺谱存在32～33 m和24～25 m波长的谱峰。资料表明，京沪、沪宁高铁线路中，桥梁的长度分别占线路总长度的80．7%和71．8%，其中，京沪高铁常用跨度桥梁长度占桥梁总长的90%，常用桥梁跨度以32 m跨度为主，辅以24 m配跨。由此可见，轨道高低、水平不平顺谱中存在的33 m和25 m的周期成分与桥梁所选用的梁型长度是非常接近的。
频谱混叠、栅栏效应、频谱泄露、谱间干扰 (旁瓣效应、细化技术)
(e) 对滤波后的信号的时间序列进行重采样，此时分析的是一段小频段为原来的1/M。这样在一小频段上采样，采样量还是N，但采样时间加了M倍，提高了分辩率。
细化FFT技术的应用：
一些不能增加总的采样点数而分辨率又要求精细的场合，细化FFT分析是很有用的。例如：（a）区分频谱图中间距很近的共振尖峰，用常规分析不能很好分开时，用细化分析就能得到满意的结果。（b）用于增加信噪比，提高谱值精度，这是由于细化时采用了数字滤波器，混叠与泄漏产生的误差都非常小;(c ) 用于分离被白噪声淹没的单频信号，由于白噪声的功率谱与频率分辨率有关，每细化一个2倍，白噪声的功率谱值降低3dB，若细化256倍，白噪声功率谱值即下降24 dB，而单频信号的谱线就会被突出出来。
解决办法，可以扩大窗函数的宽度（时域上的宽了，频域上就窄了，（时域频域有相对性），也就是泄露的能量就小了），或者不要加矩形的窗函数，可以加缓变的窗函数，也可以让泄露的能量变下。
因为泄露会照成频谱的扩大，所以也可能会造成频谱混叠的现象，而泄露引起的后果就是降低频谱分辨率。
频谱泄露会令主谱线旁边有很多旁瓣，这就会造成谱线间的干扰，更严重就是旁瓣的能量强到分不清是旁瓣还是信号本身的，这就是所谓的谱间干扰。
另外，增加0可以更细致观察频域上的信号，但不会增加频谱分辨率
答案是此时分辨率不变。从时域来看，假定要把频率相差很小的两个信号区分开来，直观上理解，至少要保证两个信号在时域上相差一个完整的周期，也即是相位相差2*pi。举个例子，假定采样频率为1Hz，要将周期为10s的正弦信号和周期为11s的正弦信号区分开来，那么信号至少要持续110s，两个信号才能相差一个周期，此时周期为10s的那个信号经历的周期数为11，而11s的那个信号经历的周期书为10。转化到频域，这种情况下，时域采样点为110，分辨率为1/110=0.00909，恰好等于两个信号频率只差（1/10-1/11）。如果两个信号在时域上不满足“相差一个完整周期“的话，补零同样也不能满足“相差一个完整周期”，即分辨率不发生变化。另外，从信息论的角度，也很好理解，对输入信号补零并没有增加输入信号的信息，因此分辨率不会发生变化。
适用于频率偏移情况下谐波参数估计的改进算法
适用于频率偏移情况下谐波参数估计的改进算法马也驰;陈隆道【摘要】Aiming at the problem that the traditional phase difference correction method has a large error in the measurement of the funda-mental frequency offset of the power grid signal, it may even produce the problem of measurement failure. An improved algorithm based on the traditional phase difference was proposed. The voltage signal of the grid was added to the Blackman-Harris window. By analyzing the spectral expression of the windowed signal, the error source of the electrical parameter estimation was studied, and the spectral expression was polynomial transformed to accelerate the sidelobe decay rate, further reduce the spectral leakage and the spectrum Line, and then re-esti-mate the electrical parameters according to the new spectral expression obtained from the estimation formula of the traditional phase difference method and the polynomial transformation. Respectively, using the traditional phase difference method and the polynomial transformation of the improved phase difference method for numerical simulation comparison. The results indicate that the improved algorithm is improved by at least one order of magnitude compared with the traditional phase difference method, and it is suitable for the high accuracy estimation of the harmonic parameters of the power system under the frequency offset. Even under the noise condition, The advantages of the algorithm is also more obvious.%针对电网信号基波频率偏移时传统相位差校正法测量结果存在较大误差,甚至可能产生测量失败的问题,提出了一种基于传统相位差的改进算法.将电网电压信号加入Blackman-Harris窗,通过分析加窗信号的频谱表达式,研究了电参量估计的误差来源,将频谱表达式进行了多项式变换从而加快了旁瓣衰减速度,进一步减轻频谱泄漏和各谱线之间的干扰,再依据传统相位差法的估计公式和多项式变换所得的新频谱表达式对电参量进行了重新估计.分别使用传统相位差法和经多项式变换的改进相位差法进行了数值仿真对比.研究结果表明:改进算法较传统相位差法相比各次谐波的测量精度提高了至少一个数量级,适用于频率偏移情况下电力系统谐波参数的高准确度估计;即使在噪声条件下,改进算法的优势也比较明显.【期刊名称】《机电工程》【年(卷),期】2017(034)009【总页数】6页(P1038-1043)【关键词】谐波分析;频率偏移;加窗傅里叶变换;相位差;多项式变换【作者】马也驰;陈隆道【作者单位】浙江大学电气工程学院,浙江杭州310027;浙江大学电气工程学院,浙江杭州310027【正文语种】中文【中图分类】TM935.21近年来，电力系统谐波污染日益严重[1-5]。
Burg算法
功率谱估计的古典算法与现代算法的比较——选取周期图法与Burg算法为例现代信号分析中, 对于常见的具有各态历经的平稳随机信号, 不可能用清楚的数学关系式来描述, 但可以利用给定的 N 个样本数据估计一个平稳随机信号的功率谱密度叫做功率谱估计(PSD)。
功率谱估计可以分为经典功率谱估计(非参数估计)和现代功率谱估计(参数估计)。
一、古典功率谱估计古典功率谱估计是将数据工作区外的未知数据假设为零, 相当于数据加窗经典功率谱估计方法分为: 相关函数法(BT 法)、周期图法以及两种改进的周期图估计法。
1、相关法相关法是以相关函数为媒介来计算功率谱的，所以又叫间接法，它的理论基础是维纳--辛钦定理。
先对数据工作区外的未知数据赋值为零，再由序列x(n)估计出自相关函数R(n)，最后对R(n)进行傅立叶变换, 便得到 x(n)的功率谱估计。
2、周期图法周期图法是由获得的N点数据构成的有限长序列直接求fft得其频谱，取频谱幅度的平方再除以N，以此作为对x(n)真实功率谱的估计。
3、改进的周期图法改进的周期图法的主要途径是平滑和平均。
平滑是用一个适当的窗函数与算出的功率谱进行卷积，使谱线平滑，这种方法得出的谱估计是无偏的，方差也小，但分辨率下降；平均就是将截取的数据段再分成L个平均的小段，分别计算功率谱后取功率谱的平均，当L趋于无穷大的时候，L个平均的方差趋于零，可以达到一致谱估计的目的。
由于存在旁瓣，会产生两个后果：一是功率谱主瓣能量泄露到旁瓣使谱估计的方差增大，二是与旁瓣卷积后得到的功率谱完全属于干扰，严重情况下，强信号与旁瓣的卷积可能大于弱信号与主瓣的卷积，使弱信号淹没在强信号的干扰中无法检测出来。
这是古典法谱估计的主要缺点，即便是改进的周期图法也无法克服分辨率低的缺点。
我们从中选取周期图法作比较，其算法实现如下：Fs=600; %采样频率n=0:1/Fs:1;%产生含有噪声的序列xn=cos(2*pi*40*n)+cos(2*pi*90*n)+0.1*randn(size(n));n=1:length(xn);figure(1);subplot(2,1,1);plot(n,xn);window=boxcar(length(xn));%矩形窗nfft=1024;[Pxx,f]=periodogram(xn,window,nfft,Fs);subplot(2,1,2);plot(f,10*log10(Pxx));得到的图形为：二、现代谱估计参数模型法是现代谱估计中的主要内容，AR 模型参数的求解有三种方法：自相关法、Burg 递推算法和改进协方差法。
科氏质量流量计信号处理方法探究
DCWTechnology Study技术研究17数字通信世界2024.02科氏质量流量计是一种利用科里奥利效应原理直接测量管道流体质量流量的仪器，由传感器与变送器两部分组成。
其中，传感器通过法兰连接到管道，用于检测流体介质信号；变送器主要用于驱动传感器振动，对传感器输出的信号进行转换和处理，并将检测出的质量流量信号传到上位机控制系统中。
目前，科氏质量流量计被广泛应用于石油化工生产装置中，可以满足对流体质量流量的测量要求。
随着社会发展和人们对流量测量精度需求的提高，对科氏质量流量计数字信号处理方法也提出了更高的要求。
对于科氏质量流量计，相位差与质量流量存在比例关系。
通过测量相位差的大小，可以计算出流体的质量流量。
当前科氏质量流量计的信号处理方法主要针对相位差的估计方法，常用频谱分析法[1]、相关法[2]和时域法[3]对相位差进行分析。
采用合适的方法可以减小对质量流量的测量误差。
本文将对DFT 估计法、相关法和希尔伯特变换法的原理及发展过程进行介绍。
1 DFT相位差估计法DFT 相位差估计法是一种传统且高效的数字信号处理方法，能满足对相位差计算的基本要求。
该方法首先对两路信号进行离散傅里叶变换，得到在频域上的幅度和相位信息，然后利用频谱特性计算相位差。
DFT 算法能较好地消除谐波、噪音等对系统性能的干扰，能在较低的信噪比情况下对系统进行频率、相位的检测。
DFT 相位差估计法在对非整周期信号进行计算时会产生频谱泄漏现象，导致相位差估计结果的准确性受到影响。
另外，如果信号存在噪声或者频率偏移较大，会在频域上出现额外的能量分布，使信号频率和相位计算结果包含较大误差。
鉴于DFT 在计算非整周期信号时会产生频谱泄露现象，并在相位计算中引起严重误差的问题，美国和国内的一些研究人员建议使用频率扫描[4]的方法来实现DFT 的整周期截断。
但由于该算法对硬件资源的要求科氏质量流量计信号处理方法探究徐 媛，代显智(西华师范大学电子信息工程学院，四川 南充 637009）摘要：科氏质量流量计因能实现高精度的直接质量流量测量，成为目前国内外发展最为迅速的流量计之一。
SSCA算法改进及性能分析
SSCA算法改进及性能分析郑鹏;张鑫;刘锋;陶然【摘要】分段谱相关算法（SSCA）是循环谱估计常用的一种时域平滑算法。
为了解决SSCA在循环谱估计中出现循环谱泄露和错误循环频率峰值的问题，提出了一种改进算法，该算法改进之处在于线性内插和窗函数的选择。
给出了算法实现的具体步骤，并进行了计算机仿真。
仿真结果证明了所提出算法的有效性，得出了改进算法能够有效抑制循环谱泄露和错误循环频率的结论。
%SSCA （Strip Spectral Correlation Algorithm） is widely used as a time-smoothed method for estimating cyclic spectrum. To solve the problem of existing cycle leakage and introducing artificial cyclic features, an innovatory SSCA is proposed based on linear interpolation and proper window choice. The detailed procedure is given and the simulation is done. The simulation results have proved that the validity of the innovatory algorithm and the conclusion is that the innovatory SSCA can restrain cycle leakage and artificial cyclic features effectively.【期刊名称】《电子设计工程》【年(卷),期】2011(019)017【总页数】4页(P105-108)【关键词】SSCA;循环谱;线性内插;窗函数【作者】郑鹏;张鑫;刘锋;陶然【作者单位】海军航空工程学院电子信息工程系,山东烟台264001;海军航空工程学院电子信息工程系,山东烟台264001;海军航空工程学院电子信息工程系,山东烟台264001;北京理工大学信息科学技术学院,北京100081;北京理工大学信息科学技术学院,北京100081【正文语种】中文【中图分类】TN911谱相关理论由Gardner W A等人深入研究并发展[1-2]，其优点主要表现在分辨率高、抗干扰能力强、双频率域信息丰富且易于提取等。
(实验六 随机信号功率谱分析)
实验报告实验课程：数字信号处理实验开课时间：2020—2021 学年秋季学期实验名称：随机信号功率谱分析实验时间： 2020年9月30日星期三学院：物理与电子信息学院年级：大三班级：182 学号：1843202000234 姓名：武建璋一、实验预习实验目的要求深刻理解随机信号的特性，掌握随机信号功率谱估计的基本原理，灵活运用各种随机信号功率谱估计的基本方法。
实验仪器用具装有Matlab的计算机一台实验原理功率谱估计是随机信号处理中的一个重要的研究和应用领域.功率谱估计基本上可以非参数估计的经典方法和参数估计的近代方法.典型功率谱估计是基于FFT 算法的非参数估计,对足够长的记录数据效果较好。
在工程实际中，经典功率谱估计法获得广泛应用的是修正期图发。
该方法采取数据加窗处理再求平均的办法。
通过求各段功率谱平均，最后得到功率谱计P（m），即：式中：为窗口函数ω[k]的方差。
K表示有重叠的分数段。
由于采用分段加窗求功率谱平均，有效地减少了方差和偏差，提高了估计质量，使修正周期图法在经典法中得到普遍应用。
但在估计过程存在两个与实际不符的假设，即（1）利用有限的N个观察数据进行自相关估计，隐含着在已知N个数据之外的全部数据均为零的假设。
（2）假定数据是由N个观察数据以N为周期的周期性延拓。
同时在计算过程中采用加窗处理，使得估计的方差和功率泄露较大，频率分辨率较低，不适用于短系列的谱分析和对微弱信号的检测。
近代谱估计是建立在随机信号参数模型的基础上，通过信号参数模型或预测误差滤波器（一步预测器）参数的估计，实现功率谱估计。
由于既不需要加窗，又不需要对相关函数的估计进行如经典法那样的假设，从而减少公里泄露，提高了频谱分辨率。
常用的参数模型有自回归（AR）模型、滑动平均（MA）模型、自回归滑动平均（ARMA）模型。
其中AR模型是基本模型，求解AR模型的参数主要有L—D算法和Burg算法。
1.某随机信号由两余弦信号与噪声构成x(t)=cos(20*pi*t)+cos(40*pi*t)+s(t)式中：s(t)是均值为0、方差为1的高斯白噪声。
路面激励载荷时频域分析研究
毕业论文说明书路面激励载荷时频域分析研究1 引言1．1 本课题研究的背景及意义随着经济的发展，高等级公路里程的增加，长途客流已成为我国公路运输的主要特征，长距离、长时间的驾驶作业已是平常。
这样使得隔振装置在汽车上发挥着越来越重要的作用，如轮胎、弹簧钢板、减振器、座椅、气囊等等。
这些装置缓和了路面不平传给人体的冲击，衰减了由此引起的振动，给驾驶员和乘员提供了舒适、安全的乘座条件及工作条件，车辆运输路面激励载荷的分析对隔振装置的设计起着关键性的作用。
此外，一些产品在运输过程中，由于包装不当而遭到破坏，这方面的损失是很大的。
产品在运输过程中遭到破坏的主要原因是包装方法、包装材料及包装结构不合理所致，其根本原因就是包装缺乏科学性。
车辆运输路面激励载荷的分析举证了包装产品在振动与冲击作用下的动力学规律。
同时，有助于商家在减振包装的设计方法与设计步骤中做到最好。
本文以汽车运输过程中路面的激励数据为对象，进行随机路面振动激励载荷特性的时频域分析和研究。
实际生活中路面对车辆的激励载荷在垂直、前进、左右三个方向上都存在，由于三个方向上激励载荷的相关性不是很大，且垂直方向上的激励载荷影响最为明显，故我们仅对这一方向上的数据进行分析。
1．2 振动信号的研究及现状车辆在行驶状态下的振动信号是不平稳的，用Fourier分析法和通常的时域分析方法是不能反映出车辆振动的本质特征的，这样也就是车辆的减震降噪相对变得困难。
因为非平稳动态信号的统计特性与时间有关，对非平稳信号的处理需进行时频分析，希望得到时域和频域中非平稳信号的全貌和局化结果[1]。
非平稳振动信号的处理方法中有短时傅立叶分析、Winger-vile分析、小波分析、Hilbert-huang变换和神经网络技术[6]。
短时傅立叶变换（STFT）[15]：通过一个窗口观察信号，将整个信号转化为若干个局部“平稳”的信号，再进而施行傅立叶变换，从而将一维信号映射为时间一频率面内的二维函数。
频谱泄露的分析及其处理方法
频谱泄露的分析及其处理方法在现代信号处理中，由于信号的频域分析比时域分析具有更加清晰的物理概念和深刻含义，因而在信息技术领域中，FFT运算和频谱分析是一种常用的分析手段。
对信号进行频谱分析首先需要通过信号的傅里叶变换计算出信号对应的频谱函数，但是由于实际应用中接触到的大量非周期连续信号x(t)的频谱函数X(j ω)是连续函数，利用计算机对其进行频谱分析时往往需要对信号进行离散化处理以近似分析相应的频谱。
在离散化处理过程中由于被处理信号的有限记录长度和时域、频域的离散性往往造成在频谱分析中会出现一些特殊的效应，例如混叠现象、泄漏现象以及栅栏现象，频谱泄漏就是这样出现的。
一．频谱泄漏的分析所谓频谱泄露，就是信号频谱中各谱线之间相互影响，使测量结果偏离实际值，同时在谱线两侧其他频率点上出现一些幅值较小的假谱，导致频谱泄漏的原因是采样频率和信号频率的不同步，造成周期采样信号的相位在始端和终端不连续。
设X(t)为实际信号，T0为信号周期，f0=1/T0为信号频率，Ts为采样周期，fs=1/Ts为采样频率，L是截取的周期数，N是采样点数，L、N均为正整数，X(t)经过长度为LT0的时间窗后得到离散序列X(n)，必须满足采样频率和信号频率同步，即同步采样的要求: LT0/Ts=Nfs/f0。
当信号X(t)的频率f0是fs/N的整数倍时，这说明在处理长度NT内有信号的K个整周期。
这时由X(t)构成的以NT为周期的周期性信号是连续的。
当信号X(t)的频率f0不是fs/N的整数倍时，则在NT的处理长度内，就不是恰好为信号周期的整数倍，有X(t)以NT为周期进行周期延拓所得到的周期性信号就出现了不连续点，造成了频谱分量从其正常频谱扩展开来，就这样形成了频谱泄漏现象。
在对信号做FFT分析时，如果采样频率固定不变，由于被采样信号自身频率的微小变化以及干扰因素的影响，就会使数据窗记录的不是整数个周期。
从时域来说，这种情况在信号的周期延拓时就会导致其边界点不连续，使信号附加了高频分量；从频域来说，由于FFT算法只是对有限长度的信号进行变换，有限长度信号在时域相当于无限长信号和矩形窗的乘积，也就是将这个无限长信号截短，对应频域的傅里叶变换是实际信号傅里叶变换与矩形窗傅里叶变换的卷积。
频谱分析(完整版)
Matlab 信号处理工具箱 帮助文档 谱估计专题翻译：无名网友 & Lyra频谱分析Spectral estimation （谱估计）的目标是基于一个有限的数据集合描述一个信号的功率（在频率上的）分布。
功率谱估计在很多场合下都是有用的，包括对宽带噪声湮没下的信号的检测。
从数学上看，一个平稳随机过程n x 的power spectrum （功率谱）和correlation sequence （相关序列）通过discrete-time Fourier transform （离散时间傅立叶变换）构成联系。
从normalized frequency （归一化角频率）角度看，有下式()()j mxx xx m S R m eωω∞-=-∞=∑注：()()2xx S X ωω=，其中()/2/21limN j n n N n N X x e Nωω→∞=-=∑πωπ-<≤。
其matlab近似为X=fft(x,N)/sqrt(N)，在下文中()L X f 就是指matlab fft 函数的计算结果了使用关系2/s f f ωπ=可以写成物理频率f 的函数，其中s f 是采样频率()()2/sjfm f xx xxm S f R m eπ∞-=-∞=∑相关序列可以从功率谱用IDFT 变换求得：()()()/22//22sss f jfm f j m xx xx xx sf S e S f e R m d df f πωππωωπ--==⎰⎰序列n x 在整个Nyquist 间隔上的平均功率可以表示为()()()/2/202ss f xx xx xx sf S S f R d df f ππωωπ--==⎰⎰ 上式中的()()2xx xx S P ωωπ=以及()()xx xx sS f P f f = 被定义为平稳随机信号n x 的power spectral density (PSD)（功率谱密度） 一个信号在频带[]1212,,0ωωωωπ≤<≤上的平均功率可以通过对PSD 在频带上积分求出[]()()211212,xxxx P P d P d ωωωωωωωωωω--=+⎰⎰从上式中可以看出()xx P ω是一个信号在一个无穷小频带上的功率浓度，这也是为什么它叫做功率谱密度。
数字信号处理中的功率谱密度估计
数字信号处理中的功率谱密度估计数字信号处理（Digital Signal Processing，简称DSP）是一种对连续时间信号进行数字化处理的技术，广泛应用于通信、音频、图像、雷达等领域。
在数字信号处理中，功率谱密度估计是一项重要的技术，用于分析信号的频率成分和能量分布。
一、引言功率谱密度（Power Spectral Density，PSD）是信号功率在频域上的分布，它反映了信号在不同频率上的能量强弱情况。
在数字信号处理中，由于信号是以数字形式存在的，因此需要通过一定的方法来估计信号的功率谱密度。
二、频谱估计方法频谱估计方法是用于估计信号功率谱密度的技术。
常见的频谱估计方法包括周期图法、自相关法、Burg方法、Welch方法等。
1. 周期图法周期图法是一种直接估计信号周期图的方法，通过将信号分成若干段进行快速傅里叶变换（Fast Fourier Transform，FFT），然后将各段频谱进行平均得到功率谱密度估计。
2. 自相关法自相关法是通过信号与自身进行相关计算，得到自相关函数，并通过傅里叶变换得到功率谱密度估计。
自相关法能够较好地估计周期性信号的功率谱密度。
3. Burg方法Burg方法是一种模型拟合的方法，通过拟合信号的自回归（Auto-regressive，AR）模型，从而得到信号的频谱估计。
Burg方法适用于非平稳信号，并且能够较好地估计窄带信号的功率谱密度。
4. Welch方法Welch方法是一种经典的频谱估计方法，它将信号分段，对每段信号进行窗函数加权，然后通过傅里叶变换得到每段信号的功率谱密度估计，最后将所有段的功率谱密度进行平均得到最终的估计结果。
三、功率谱密度估计的应用功率谱密度估计在数字信号处理中具有广泛的应用。
以下列举几个常见的应用领域：1. 通信领域在通信系统中，功率谱密度估计用于信号频谱分析、频率选择性衰落分析、频带分配等。
准确的功率谱密度估计可以提供可靠的信号分析结果，对系统性能评估和调试具有重要意义。
思考题参考答案
第一次思考题1.什么是能量信号，什么是功率信号？ 若一个信号的能量E 有界，则称为能量信号。
若一个信号的能量E 无限，而平均功率P 为不等于零的有限值，则称为功率信号。
其中2lim ()TT T E x t dt →∞-=⎰21lim()2TT TP x t dt T→∞-=⎰2.总体平均与时间平均有何不同？3.当你接到一个信号处理任务后，你就根据你已有的知识，用你熟悉的一种方法对信号进行处理。
这样做法是否合适？为什么？ 首先通过模—数转换把原始模拟信号转换成数字信号，如果原始信号是离散时间信号，只需要经过量化过程就能成为数字信号。
然后将数字信号送入数字系统，数字系统是通过数字计算机或者专用数字硬件构成的系统，它按预先给定的处理程序对数字信号进行运算处理，处理结果是数字形式的。
最后，在一些情况下，这些数字结果就能满足处理的要求，直接可用，但在另一些情况下，为了得到模拟输出，则将数字输出经过数—模转换即可。
4.如何证明时域的采样定理，请简述其思路。
为了从抽样信号()s x t 中恢复原信号()x t ，可将抽样信号的频谱()ωs X 乘上幅度为s T 的矩形窗函数/2()0/2ωωωωω⎧≤⎪=⎨≥⎪⎩s s s T G得到()()()ωωω=s X X G在时域中则有()()*()=s x t x t g t其中()()2ω=sg t Sa t所以求得()()()*()()(())22ωωδ∞∞=-∞=-∞=-=-∑∑sss s s s n n x t x nT t nT Sa t x nT Sa t nT如果12ωω=m s ，则有 sin ()()()(())()()ωωω∞∞=-∞=-∞-=-=-∑∑m s s m s s n n m t nT x t x nT Sa t nT x nT t nT上式说明，如果指导连续信号的最高角频率ωm ，则在采样频率2ωω≥s m 的条件下，把各抽样样本值()s x nT 代入式中，就能无失真地求得原信号()x t 。
功率谱估计方法的比较与评价
功率谱估计方法的比较与评价功率谱估计是信号处理领域的重要工具，用于分析信号的频率内容和能量分布。
随着科技的进步，出现了多种功率谱估计方法，例如经典的周期图法、快速傅里叶变换法以及最小二乘法等。
本文将对这些方法进行比较与评价，旨在找出最适合于不同应用场景的功率谱估计方法。
一、周期图法周期图法是一种常用的功率谱估计方法，它利用信号的自相关函数来计算功率谱。
该方法适用于稳态信号，并能够较好地估计信号的频谱特征。
但周期图法在非稳态信号的估计上存在一定的局限性，并且计算复杂度较高，需要较长的计算时间。
二、快速傅里叶变换法快速傅里叶变换（FFT）法是一种高效的功率谱估计方法，通过将信号从时域转换为频域，可以快速计算出信号的功率谱。
FFT法的优点是计算速度快，适用于大数据量的处理。
然而，由于FFT法是基于信号的离散采样点进行计算的，对于非周期信号的估计效果可能不够准确。
三、最小二乘法最小二乘法是一种经典的信号处理方法，可以用于估计信号的功率谱密度函数。
该方法利用样本点间的相关性来估计信号的频谱分布，并通过最小化误差的平方和来求解最优的谱估计。
最小二乘法的优点是估计结果较为准确，对于非稳态信号的估计效果也较好。
然而，最小二乘法在计算复杂度上稍高，并且对于信噪比较低的信号，估计结果可能受到较大影响。
四、窗函数法窗函数法是一种常见的功率谱估计方法，它通过在时域上对信号进行窗函数加权来减小频谱泄露的影响。
窗函数法对于非周期性和非稳态信号的功率谱估计具有一定的优势，可以提供更准确的估计结果。
然而，在窗函数选择上需要权衡分辨率和频谱失真的平衡，不同的窗函数选择会对结果产生一定的影响。
综上所述，不同的功率谱估计方法适用于不同的应用场景。
周期图法适用于稳态信号的估计；快速傅里叶变换法适用于大数据量的处理；最小二乘法适用于需要较高估计准确度的场景；窗函数法适用于非周期性和非稳态信号的估计。
在具体应用中，需要根据信号特性和实际需求选择合适的功率谱估计方法，以获得准确可靠的结果。
频谱泄露和栅栏效应
频谱泄露和栅栏效应
频谱泄露（Spectral Leakage）是指在进行离散傅立叶变换（DFT）或快速傅立叶变换（FFT）等频谱分析时，由于信号
不是完全周期的或者信号窗口不起作用等原因，导致信号的频谱泄露到相邻频率上的现象。
频谱泄露会导致原始信号的频谱图与实际频谱有所偏差，使得某些频率成分的能量被分散到相邻的频率上，影响频率分析的准确性。
特别是对于低频信号或者窄带信号，频谱泄露问题更加显著。
栅栏效应（Scalloping Effect）是频谱泄露的一种特殊形式，它在频谱图上表现为频率分量之间出现隔离的栅栏状结构。
栅栏效应是由于在信号窗口边界上进行截断造成的，可以看做是频谱泄露的一种形式。
栅栏效应会导致频谱分析的主瓣宽度变宽，频率分辨率下降，从而使得相邻频率成分之间难以区分。
栅栏效应也会干扰谱图的峰值测量和频率估计。
为了减少频谱泄露和栅栏效应的影响，可以使用窗函数来对信号进行加窗处理。
常用的窗函数有矩形窗、汉宁窗、汉明窗等，选择合适的窗函数可以使信号频谱的泄露和栅栏效应得到一定程度上的缓解，提高频谱分析的准确性。
功率谱图应用
1.基本方法周期图法是直接将信号的采样数据x(n)进行Fourier变换求取功率谱密度估计的方法。
假定有限长随机信号序列为x(n)。
它的Fourier变换和功率谱密度估计存在下面的关系：式中，N为随机信号序列x(n)的长度。
在离散的频率点f=kΔf,有：其中，FFT[x(n)]为对序列x(n)的Fourier变换，由于FFT[x(n)]的周期为N，求得的功率谱估计以N为周期，因此这种方法称为周期图法。
下面用例子说明如何采用这种方法进行功率谱用有限长样本序列的Fourier变换来表示随机序列的功率谱，只是一种估计或近似，不可避免存在误差。
为了减少误差，使功率谱估计更加平滑，可采用分段平均周期图法（Bartlett法）、加窗平均周期图法（Welch 法）等方法加以改进。
2. 分段平均周期图法（Bartlett法）将信号序列x(n)，n=0,1,…,N-1，分成互不重叠的P个小段，每小段由m个采样值，则P*m=N。
对每个小段信号序列进行功率谱估计，然后再取平均作为整个序列x(n)的功率谱估计。
平均周期图法还可以对信号x(n)进行重叠分段，如按2:1重叠分段，即前一段信号和后一段信号有一半是重叠的。
对每一小段信号序列进行功率谱估计，然后再取平均值作为整个序列x(n)的功率谱估计。
这两种方法都称为平均周期图法，一般后者比前者好。
程序运行结果为图9-5，上图采用不重叠分段法的功率谱估计，下图为2:1重叠分段的功率谱估计，可见后者估计曲线较为平滑。
与上例比较，平均周期图法功率谱估计具有明显效果（涨落曲线靠近0dB）。
3.加窗平均周期图法加窗平均周期图法是对分段平均周期图法的改进。
在信号序列x(n)分段后，用非矩形窗口对每一小段信号序列进行预处理，再采用前述分段平均周期图法进行整个信号序列x(n)的功率谱估计。
由窗函数的基本知识（第7章）可知，采用合适的非矩形窗口对信号进行处理可减小“频谱泄露”，同时可增加频峰的宽度，从而提高频谱分辨率。
welch谱估计
welch谱估计Welch谱估计一、引言在信号处理领域，谱估计是一种常见的分析技术，用于研究信号的频谱特性。
Welch谱估计是其中一种重要的方法。
本文将对Welch谱估计进行详细介绍，并探讨其应用与局限性。
二、基本原理Welch谱估计是一种非参数估计方法，通过将信号分割成多段来获得频谱估计。
其基本原理包括以下步骤：1. 信号分段：将长时信号分割成多个短时段，以获得频谱信息的局部特征。
2. 加窗处理：对每个短时段的信号进行加窗处理，以减小频谱泄露效应。
3. 快速傅里叶变换（FFT）：对加窗后的信号进行FFT计算，得到每个短时段的频谱估计。
4. 谱平均：将多个短时段的频谱估计平均，得到频谱估计的更可靠结果。
三、应用场景Welch谱估计广泛应用于信号处理、通信系统、声学分析等领域。
以下是几个典型的应用场景：1. 语音信号处理：通过对语音信号进行Welch谱估计，可以分析语音信号的频谱特性，用于语音识别、声纹识别等应用。
2. 无线通信：Welch谱估计可用于分析频谱资源的利用情况，检测干扰信号以及频谱分配等。
3. 音频信号处理：对音频信号进行Welch谱估计，可以分析音频信号的频谱分布，用于音频编码、音频增强等应用。
四、优缺点分析Welch谱估计具有以下优点：1. 噪声鲁棒性好：由于对信号进行分段处理并进行平均，能够有效抑制噪声的影响，提高估计的准确性。
2. 高分辨率：通过加窗处理及FFT计算，能够获得高频分辨率的频谱估计结果。
然而，Welch谱估计也存在一些局限性：1. 频谱泄露：由于加窗处理的边缘效应，会导致频谱泄露现象，影响频谱估计的准确性。
2. 时间分辨率与频率分辨率权衡：选择不同的分段长度及窗函数会影响到时间分辨率与频率分辨率之间的权衡关系。
五、总结与展望Welch谱估计作为一种常见且实用的频谱估计方法，已广泛应用于信号处理领域。
在使用时，我们需要充分认识其基本原理与特点，并针对具体的应用场景进行参数的优化与选择，以获得更准确、可靠的频谱估计结果。
离散信号与系统的频谱分析实验报告
实验二 离散信号与系统的频谱分析一、实验目的1.掌握离散傅里叶变换（DFT ）及快速傅里叶变换（FFT ）的计算机实现方法。
2.检验序列DFT 的性质。
3.掌握利用DFT （FFT ）计算序列线性卷积的方法。
4.学习用DFT 对连续信号和时域离散信号进行谱分析的方法，了解可能出现的分析误差，以便在实际中正确应用DFT 。
5.了解采样频率对谱分析的影响。
6.了解利用FFT 进行语音信号分析的方法。
二、实验设备1.计算机2.Matlab 软件7.0以上版本。
三、实验内容1.对不同序列进行离散傅里叶变换并进行分析；DFT 共轭对称性质的应用（通过1次N 点FFT 计算2个N 点实序列的DFT ）。
2.线性卷积及循环卷积的关系，以及利用DFT （FFT ）进行线性卷积的方法。
3.比较计算序列的DFT 和FFT 的运算时间。
4.利用FFT 实现带噪信号检测。
5.利用FFT 计算信号频谱及功率谱。
6.扩展部分主要是关于离散系统采样频率、时域持续时间、谱分辨率等参数之间的关系，频谱的内插恢复，对语音信号进行简单分析。
四、实验原理1.序列的离散傅里叶变换及性质离散傅里叶变换的定义：10, )()]([)(102-≤≤==∑-=-N k en x n x DFT k X N n nk Nj π离散傅里叶变换的性质：（1）DFT 的共轭对称性。
若)()()(n x n x n x op ep +=，[])()(n x DFT k X =，则：)()]([k X n x DFT R ep =， )()]([k jX n x DFT I op =。
（2）实序列DFT 的性质。
若)(n x 为实序列，则其离散傅里叶变换)(k X 为共轭对称，即10),()(*-≤≤-=N k k N X k X 。
（3）实偶序列DFT 的性质。
若)(n x 为实偶序列，则其离散傅里叶变换)(k X 为实偶对称，即10),()(-≤≤-=N k k N X k X 。
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0
0,
周期图谱估计的方差不随数据记录长度 N 的增大而减小， 而是近似于功率谱理论值的平方。 周期图谱估计不是一致，这是一个令人失望的结果。
10
周期图法改进——多个周期图 求平均
把数据记录切分为K个分段，分别求周期 图，然后求平均。
xi (n) x(iD n)w(n) 0 n L 1,0 i K 1
12
多个周期图求平均
13
第4章 非参数谱估计
多个周期图求平均
用Welch方法估计随机过程的功率谱及演示 穿函数对估计性能的影响
x(n) cos(0.35 n 1 ) 2cos(0.4 n 2 ) 0.5cos(0.8 n 3 ) v(n)
14
Rectangle Welch Estimate,N=4096,K=4,D=819,L=1638 20 20
TriangБайду номын сангаасlar窗 函 数 的 频 谱
0.6 0.4 0.2 0 0 40 n Hanning窗 函 数 20 60
-200 -300 0 0.5 w/pi Hanning窗 函 数 的 频 谱 1
0.6 0.4 0.2 0
幅 度 (dB)
0.8
-100
0.8
0.5 w/pi Hanming窗 函 数 的 频 谱
4
简介
FFT 产生离散的频谱，出现在FFT 每个 谱线的是在每个谱线上的连续卷积频谱。 如果原始信号的频谱成份与FFT 中的谱 线完全一致，这种情况下采样数据的长 度为信号周期的整数倍，频谱中只有主 瓣。没有出现旁瓣的原因是旁瓣正处在 窗函数主瓣两侧采样频率间隔处的零分 量点。
5
简介
如果时间序列的长度不是周期的整数倍， 窗函数的连续频谱将偏离主瓣的中心， 频率偏移量对应着信号频率和FFT 频率 分辨率的差异，这个偏移导致了频谱中 出现旁瓣，所以，窗函数的旁瓣特性直 接影响着各频谱分量向相邻频谱的泄漏 宽度。
15
小结
本文详细分析了周期图谱中频谱泄露产生的原因，同 时在matlab中采用不同的窗函数对频谱泄露的改进效 果进行了仿真，结果表明，不同的窗函数对谱估计质 量的影响不一样，应根据不同的用途采用合适的窗函 数。
16
周期图法。
2
简介
相关图法中，先由有限个观测数据估计 自相关函数，然后计算自相关序列的傅 里叶变换得到功率谱。 周期图法直接对观测数据进行傅里叶变 换，取模的平方，再除以N得到功率谱。 周期图法比相关图法简单，可用FFT进行 计算，得到了广泛的应用。
3
简介
在周期图谱估计中，我们取一段有限长 的数据进行傅里叶变换，相当于对原始 信号作了矩形窗运算。输入数据通过一 个窗函数相当于原始数据的频谱与窗函 数频谱的卷积。窗函数的频谱由一个主 瓣和几个旁瓣组成，主瓣以时域信号的 每个频率成份为中心。旁瓣在主瓣的两 侧以一定的间隔衰减至零。
10 0 -10 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 Frequency (radian/pi) 0.7 0.8 0.9 1
Magnitude (dB)
10 0 -10 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 Frequency (radian/pi) 0.7 0.8 0.9 1
Triangular Welch Estimate,N=4096,K=4,D=819,L=1638
Magnitude (dB)
10 0 -10 0 0.1 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 Frequency (radian/pi) Hanning Welch Estimate,N=4096,K=4,D=819,L=1638 0.2 0.3 1
n blackman窗 函 数 0 1
幅 度 (dB)
0 1
幅 度 (dB)
0.8 0.6 0.4 0.2 0 0 20 n 40 60
-100 -200 -300 0 0.5 w/pi 1
0.8 0.6 0.4 0.2 0 0 20 n 40 60
-100 -200 -300 0 0.5 w/pi 1
6
第4章 非参数谱估计
简介
因此，周期图法功率谱估计中频谱泄露 的改进办法既是选择合适的窗函数，尽 量减少频谱泄露，改善功率谱估计的性 能。
7
常用窗函数特性
Rectangle窗 函 数 0 1
幅 度 (dB)
Rectangle窗 函 数 的 频 谱 1
Triangular窗 函 数 0 -100 -200 -300 0 40 n Hanming窗 函 数 20 60 0
1
0 1
幅 度 (dB)
0 1
幅 度 (dB)
0.8 0.6 0.4 0.2 0 0 20 40 60
-100 -200 -300 0 0.5 w/pi blackman窗 函 数 的 频 谱 1
0.8 0.6 0.4 0.2 0 0 40 n Kaiser窗 函 数 20 60
-100 -200 -300 0 0.5 w/pi Kaiser窗 函 数 的 频 谱 1
Magnitude (dB)
10 0 -10 0 0.1 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 Frequency (radian/pi) Kaiser Welch Estimate,N=4096,K=4,D=819,L=1638,Beta=50 0.2 0.3 1
20
20
Magnitude (dB)
周期图法功率谱估计 ——频谱泄漏及改进
简介
功率谱估计一般分成两大类：
经典谱估计，也称为非参数谱估计。 现代谱估计，也称为参数谱估计。
经典谱估计是建立在传统的傅立叶变换基础之 上的。经典谱估计又可以分为两种方法：
相关图法。
1958年，Blackman和Tukey首先提出相关图法。 1898年，Schuster在寻找太阳黑子数据中隐藏的周期性 的研究工作中，提出了周期图法，但直到1965年提出FFT 以后，周期图法才受到人们的重视。
如果N 固定，且 N = KL，为了降低方差而增 加K，会导致L的减少，也就是分辨率的下降。
在实际应用中，用DFT/FFT计算DTFT，则
K 1 K 1 1 1 2 ˆ ( PA) (k ) @ S ˆ ( PA) ( ) ˆ ( ) S S X ( k ) x,i k KL x x k i K i 0 i 0 k 2 k / N FFT , X i (k ) DFT {xi (n)}, k 0,1,..., N FFT
8
周期图法
定义
1 1 ( Per ) j ˆ S x ( ) X (e ) N N
2
j n x ( n ) e n 0
N 1
2
在实际应用中，周期图谱估计的计算式为：
1 ( PW ) ˆ S x (k ) N
x(n)w(n)e
n 0
N 1
2 2 j kn N
j n x ( n ) e i n 0 L 1 2
1 1 j 2 ˆ S x ,i ( ) @ X i (e ) L L
ˆ S
( PA) x
1 K 1 ˆ 1 K 1 j 2 ( ) @ S x ,i ( ) X i (e ) K i 0 KL i 0
Bartlett方法：D=L。Welch方法： D=L/2
第4章 非参数谱估计
11
多个周期图求平均
设K 个数据分段之间互不相关，则
1 1 2 j ( PA ) ( Per ) ˆ ˆ Var[ S x ( )] Var[ S x ( )] S x (e ) K K 为一个渐近无偏估计和一致性估计。
其中，w(n)为窗函数。
1 2 DFT {x(n) w(n)} , k 0,1,..., N 1 N
9
第4章 非参数谱估计
周期图法
估计性能
渐近无偏性
N
ˆ ( Per ) ( )] S ( ) lim E[ S x x
周期图的方差(当N较大时)
2 S ( Per ) x ( ) ˆ Var[ S x ( )] ; 2 2S x ( )
Magnitude (dB)
10 0 -10 0 0.1 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 Frequency (radian/pi) Hamming Welch Estimate,N=4096,K=4,D=819,L=1638 0.2 0.3 1
20
20
Magnitude (dB)
10 0 -10 0 0.1 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 Frequency (radian/pi) Blackman Welch Estimate,N=4096,K=4,D=819,L=1638 0.2 0.3 1