金融数学课件

可以证明,在确定状态下的序数效用函数存在，在不确定性状态下基数 效用函数存在.
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第一章 基础知识
效用函数的应用—风险态度

风险厌恶型
这类投资者的效用函数满足：
U ( x) 0
至少在某一点不等号成立. U ( x) 0
实际上,绝大多数的投资者都具有该类效用函数,即属于风险厌恶型投资者. 如假定,效用函数的二阶导数小于零,即人们通常所说的边际效用递减规律.
第一章 基础知识
几种常用的风险厌恶型效用函数： 1、指数效用函数 U ( x) 1 e x 显然
( x 0, 0)
U ( x) e x 0
RA ( x) U ( x) 0 U ( x)
U ( x) 2e x 0
CE[( R - ER)( R - ER)]C CC 0
E(Y 2 ) CC 0
证毕.
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第一章 基础知识
证明
2 C12 C2 m 2 Cm
(C i)2 1 m2 m2
CC CPP PPC CPdiag (1 , 2
, m ) PC Y diag (1, 2
, m )Y
i yi2 min
i
2 y i minY Y minCPPC i
min C C min Ci2
i
min
m
.
证毕.
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第一章 基础知识
具体到由收益率为RA 和 RB 两种证券组成的投资组合而言，假定收益率 均为离散型随机变量，并且联合分布律为
W aW0 (1 id ) (1 a)W0 (1 i f ) W0[1 i f a(i f id )]
于是，该投资者的期望效用为
E[U (W )] p
{W0 [a(iu i f ) 1 i f ]}
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第一章 基础知识
风险厌恶型效应函数为凹函数,即期望的效用大于效用的期望,这就是重 要的不等式—Jensen不等式.
证明
y U (u) U (u)( x u)
，
y U (u) U (u)( x u) U ( x)
不等式两边同时求期望,可得
E[U (u)] U (u)( Ex u) E[U ( x)]
即 亦即
E[U (u)] E[U ( x)]
U [ E ( x)[ E[U ( x)]
证毕.
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第一章 基础知识

风险爱好型
这类投资者（现实生活中很少）的效用函数满足：
U ( x) 0
U ( x) 0 至少在某一点不等号成立.
显然,该函数是增函数,而且是凸函数,其曲线如图所示
同理,可以证明风险爱好型投资者的期望的效用小于效用的期望,即


于是
E[U ( x)] b[n ln 2 ln a] b ln
2 U (2) U ( E ( x)) a
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这说明，如果参赌者的偏好真正由效用函数确定,那么他们至多只会花2元来参加赌博.
第一章 基础知识
单期Merton比率
资产分配优化中的一个重要的比率—Merton比率，是1997年诺贝尔经济学奖 获得主Merton于1969年在他的一篇重要论文中推导出来的。
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第一章 基础知识
引例2
按照期望收益最大准则，不难得到参赌人所获得收入的期望值为：
1 1 1 2 2 2 2
2n
1 n 1 2

也就是说参赌人只要拿出有限的钱来参加这种赌博得到的收益都是无限 大的。这显然不符合事实！
单独运用期望收益来进行投资决策不合理！
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第一章 基础知识
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第一章 基础知识
效用函数的具体应用分为确定性状态和不确定性状态两种. 确定性状态下的效用函数:（如商品配置问题）
不确定性状态下的效用函数（期望效用函数） 所谓期望效用函数是定义在一个随机变量集合上的函数，它在一个 随机变量上的取值等于它作为数值函数在该随机变量上取值的数学 期望。用它来判断有风险的利益，那就是比较“钱的函数的数学期望”.
E(rAi ) 110%=10%
E(rBi ) (20%) 1/10+0 6/10+50% 3/10=13%
应该选择投资机会B。 然而，对于投资机会A而言，虽然期望收益率低于投资机会B，但是它的收益是 确定的，而投资机会B却有7/10的可能得到的为负或者是零收入,对于一个谨慎的投资 者而言，宁愿选择投资机会A，而不选择B。
投资机会的风险可以用 R ( R1 , R2 ,
, Rm ) 的协方差矩阵来表示：
12 12 2 21 2 E[( R ER)( R ER)] m1 m 2 2 2 ij 其中 i E(Ri ERi ) 为证券i收益率的方差；
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第一章 基础知识
另外，一个周期末，风险性资产的期望收益率为
m piu (1 p)id p(iu id ) id
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第一章 基础知识
W aW0 (1 iu ) (1 a)W0 (1 i f ) W0[a(iu i f ) 1 i f ]
效用函数概述

效用（utility）
效用的本意是一种主观感受,是一种主观意愿的满足程度. 本课程考察的是在投资活动中对投资结果的满意程度,即为投资的效用.

效用函数（utility function）
效用函数是对满意程度的量化.效用函数可分为: 序数效用函数（ordinal utility function）: 这种效用函数只反映一种满意程度的顺序关系. 基数效用函数（cardinal utility function） 这种效用函数能够度量效用的具体数值.因此它不仅能反映投资 效用的顺序,也度量出了它们之间的大小数量关系.
之间的协方差，即
1m 2m
2 m
为证券i和证券j的收益率
ij cov(Ri , Rj )
显然，协方差矩阵是对称矩阵。
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第一章 基础知识
协方差矩阵通常有如下性质：
证明
E(Y 2 ) E(Y Y ) E[C( R - ER)( R - ER)C]
P( RA rA , RB rB ) hi
投资机会的风险可以用两种证券收益率的协方差来表示：
AB cov(RA , RB ) [rA E(rA )][rB E(rB )]hi
i i
AB
cov(rA , rB )
A B
（无量纲！）
实际应用中，由于无法得到证券整体的指标，一般用样本指标来近似替代。
( x 0, 0 1)
RR ( x) x RA ( x) 1
第一章 基础知识
如果假设参赌者具有对数效用函数,就能解决圣彼得堡悖论，于是又称对数效 用函数为Bernoulli函数。
假设参加赌博者都是风险厌恶型，他们都具有相同的效用函数
U ( x) b ln
x a
( x 0, 0 1)
U [ E ( x)] E[U ( x)]
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第一章 基础知识

风险中性型
这类投资者的效用函数满足:
U ( x) 0
U ( x) 0
显然,该函数是斜率为正的直线,如图所示:
同理,可以证明风险中性型投资者的期望的效用等于效用的期望,即
U [ E ( x)] E[U ( x)]
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dRA ( x) 0 dx
将绝对风险厌恶函数代入上式展开,得到
U ( x)U ( x) [U ( x)]2 0 2 [U ( x)]
即：绝对风险厌恶型投资者的效用函数须同时满足：
U ( x) 0
U ( x) 0
U ( x) 0
至少在某一点不等号成立.
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第一章 基础知识
常见的风险厌恶型效用
绝对风险厌恶函数
U ( x) RA ( x) U ( x)
相对风险厌恶函数
xU ( x) RR ( x) x RA ( x) U ( x)
绝对风险厌恶递减型投资者:该类型的投资者的偏好表现为:当R 的数值相当 大时,他们对风险的厌恶程度就会降低,往往还会多进行一些风险性投资.即:
AB
1 N N cov( RA , RB ) (rAi rA )(rBi rB ) (rA rB rA rB ) N 1 N 1 t 1
AB
AB A B
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第一章 基础知识
解Leabharlann Baidu
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第一章 基础知识
第二节 效用函数
引例1
按照期望收益率最大准则,
2n U ( x) b ln b[n ln 2 ln a] a
1 E[U ( x)] n 1 b[n ln 2 ln a] b n 1 2
而
n ln 2 ln a b n 1 n 1 2 2 n 1 n 1 n n 1 n n 1 n 1 n 2 n1 2 n 1 2 n 1 2 2
LPV (r ) (ri r ) hi
2 r ri
还有用概率来刻画风险的，如Domar认为：如果某一投资机会的最小 容许量用r0表示，就可以用p(R≤ r0)的大小来描述风险。 实际上，我们可以采用一个一般的数学度量—范数来描述风险，以上对风 险的描述方法只不过是其中的特例罢了。
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第一章 基础知识
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第一章 基础知识
有时也用R的下侧方差（lower partial variance,简记为LPV）来描述风险。 若收益率服从分布函数为F(r)的连续型分布，则其下侧方差为：
LPV (r )

2 ( x r ) dF ( x)
r
若收益率服从分布律为P(R=ri)=hi的离散型分布，则其下侧方差为：
第一章 基础知识
第一节 风险与收益的数学度量
证券投资收益率的数学公式
Pt Pt 1 Dt Rt Pt 1
Pt 1 为证券第t期初的价格；
Pt
为证券第t期末的价格； 为证券在第t期的股息、红利等现金收入；
Dt
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第一章 基础知识
单个证券收益和风险的度量
对于单个证券而言，若收益率服从离散型分布
证券组合收益和风险的度量
若某个投资者面临的是一组由m个证券组成的投资机会，令第i个证券 的投资收益率为Ri (i 1, 2 , m) ,投资组合的收益率为随机变量
R (R1 ,R2
, Rm )
, ERm ) (u1, u2 , , um )
投资机会（组合）的收益可表示为
ER ( ER1 , ER2 ,
3、对数效用函数(Bernoulli函数) U ( x) b ln 显然

( x 0, 0 1)
a 1 b U ( x) b 0 x a x U ( x) 1 RA ( x) U ( x) x
U ( x)
b 0 x2
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x a
p( R ri ) hi
投资机会的盈利性（收益）和风险可表示为：
u ER rh i i
i
2 ( R) (ri u)2 hi
i
实际应用中，常常用样本均值与方差，来做近似替代：
1 N u ER r ri N i 1
N 1 N 2 1 N 2 2 2 2 ˆ ( R) (ri r ) ( r 2 rr r ) [ r r ] i i N 1 i 1 N 1 i 1 N 1
RR ( x) x RA ( x) x 0
2、幂效用函数 U ( x) 显然
x 1
U ( x) x 1 0 U ( x) ( 1) x 2 0 U ( x) ( 1)( 2) x 3 0 U ( x) 1 RA ( x) ( 1) x 1 0 RR ( x) x RA ( x) x 1 0 U ( x) x 幂效用函数的投资者是绝对风险厌恶递减型。