《13简单的逻辑联结词全称量词与存在量词》教案

教学过程一、课堂导入
正确地使用逻辑用语是现代社会公民应该具备的基本素质。

无论是进行思考、交流，还是从事各项工作，都需要正确的运用逻辑用语表达自己的思维。

常用逻辑用语是认识问题、研究问题不可缺少的工具；在学习数学过程中需要准确全面地理解概念，正确地进行表述、判断和推理，这些都离不开对逻辑知识的掌握和运用，所以逻辑用语在数学中也具有很重要的作用。

而要正确的使用逻辑用语首要的就是准确的使用逻辑联结词.
在数学中，有时会使用一些联结词，如“且”“或”“非”。

在生活用语中，我们也使用这些联结词，但表达的含义和用法与数学中的含义和用法不尽相同。

下面介绍数学中使用联结词“且”“或”“非”联结命题时的含义和用法。

为叙述简便，今后常用小写字母p、q、r、s、……，来表示命题。

（注意与上节学习命题的条件p与结论q的区别）
二、复习预习
1、四种命题的相互关系
2、充分条件与必要条件及其判断方法
三、知识讲解
考点1 命题p∧q、p∨q、非p的真假判定
考点2 全称量词和存在量词
(1)全称量词有：所有的，任意一个，任给，用符号“∀”表示；存在量词有：存在一个，至少有一个，有些，用符号“∃”表示．
(2)含有全称量词的命题，叫做全称命题．“对M中任意一个x，有p(x)成立”用符号简记为：∀x∈M，p(x)．
(3)含有存在量词的命题，叫做特称命题．“存在M中元素x0，使p(x0)成立”用符号简记为：∃x0∈M，p(x0)．
考点3 含有一个量词的命题的否定
三、例题精析
【例题1】
【题干】(2013·长春名校联考)命题p：若a·b>0，则a与b的夹角为锐角；命题q：若函数f(x)在(－∞，0]及(0，＋
∞)上都是减函数，则f(x)在(－∞，＋∞)上是减函数．下列说法中正确的是() A．“p或q”是真命题B．“p或q”是假命题
C．非p为假命题D．非q为假命题
【答案】B
【解析】∵当a ·b >0时，a 与b 的夹角为锐角或零度角，
∴命题p 是假命题；命题q 是假命题，
例如f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧
－x ＋1，x ≤0，－x ＋2，x >0，
综上可知，“p 或q ”是假命题
【例题2】
【题干】下列命题中是假命题的是( )
A ．存在α，β∈R ，使tan(α＋β)＝tan α＋tan β
B ．对任意x >0，有lg 2x ＋lg x ＋1>0
C ．△ABC 中，A >B 的充要条件是sin A >sin B
D ．对任意φ∈R ，函数y ＝sin(2x ＋φ)都不是偶函数
【答案】选D
【解析】对于A ，当α＝β＝0时，tan(α＋β)＝0＝tan α＋tan β，因此选项A 是真命题；对于B ，注意到lg 2x ＋lg x ＋1
＝⎝ ⎛⎭⎪⎫lg x ＋122＋34≥34
>0，因此选项B 是真命题；对于C ，在△ABC 中，A >B ⇔a >b ⇔2R sin A >2R sin B ⇔sin A >sin B (其中R 是△ABC 的外接圆半径)，因此选项C 是真命题；对于D ，注意到当φ＝π2时，y ＝sin(2x ＋φ)＝cos 2x 是偶函数，因此选项D
是假命题．
【例题3】
【题干】命题“能被5整除的数，末位是0”的否定是________．
【解析】有些可以被5整除的数，末位不是0
【解析】省略了全称量词“任何一个”，否定为：有些可以被5整除的数，末位不是0.
【例题4】
【题干】已知c >0，且c ≠1，设p ：函数y ＝c x 在R 上单调递减；q ：函数f (x )＝x 2－2cx ＋1在⎝ ⎛⎭
⎪⎫12，＋∞上为增函数，若“p 且q ”为假，“p 或q ”为真，求实数c 的取值范围．
【答案】C
【解析】∵函数y ＝c x 在R 上单调递减，∴0<c <1.
即p ：0<c <1，∵c >0且c ≠1，∴非p ：c >1.
又∵f (x )＝x 2－2cx ＋1在⎝ ⎛⎭
⎪⎫12，＋∞上为增函数，∴c ≤12.即q ：0<c ≤12， ∵c >0且c ≠1，
∴非q ：c >12且c ≠1.
又∵“p 或q ”为真，“p 且q ”为假，
∴p 真q 假或p 假q 真．
①当p 真，q 假时，{c |0<c <1}∩⎩⎨⎧⎭⎬⎫c |c >12且c ≠1＝⎩⎨⎧⎭
⎬⎫c |12<c <1. ②当p 假，q 真时，{c |c >1}∩⎩⎨⎧⎭
⎬⎫c |0<c ≤12＝∅. 综上所述，实数c
的取值范围是⎩⎨⎧⎭⎬⎫c |12<c <1.
四、课堂运用
【基础】
1．(2013·长沙模拟)设p、q是两个命题，则“复合命题p或q为真，p且q为假”的充要条件是() A．p、q中至少有一个为真B．p、q中至少有一个为假
C．p、q中有且只有一个为真D．p为真，q为假
解析：选C∵p或q为真⇒p、q中至少有一个为真；p且q为假⇒p、q中至少有一个为假，∴“命题p或q为真，p且q为假”⇒p与q一真一假．
而由C选项⇒“命题p或q为真，p且q为假”．
2．(2013·揭阳模拟)已知命题p：∃x0∈R，cos x0＝5
4；命题q：∀x∈R，x
2－x＋1>0，则下列结论正确的是()
A．命题p∧q是真命题B．命题p∧非q是真命题C．命题非p∧q是真命题D．命题非p∨非q是假命题
解析：选C命题p是假命题，命题q是真命题，∴p∧q是假命题，p∧非q是假命题，
非p∧q是真命题，非q∨非p是真命题．
3．已知命题p：抛物线y＝2x2的准线方程为y＝－1
2；命题q：若函数f(x＋1)为偶函数，则f(x)关于x＝1对称．则
下列命题是真命题的是()
A．p∧q B．p∨(非q) C．(非p)∧(非q) D．p∨q
解析：选D 抛物线y ＝2x 2，即x 2＝12y 的准线方程是y ＝－18
；当函数f (x ＋1)为偶函数时，函数f (x ＋1)的图象关于直线x ＝0对称，函数f (x )的图象关于直线x ＝1对称(注：将函数f (x )的图象向左平移一个单位长度可得到函数f (x ＋1)的图象)，因此命题p 是假命题，q 是真命题，p ∧q 、p ∨(非q )、(非p )∧(非q )都是假命题，p ∨q 是真命题．
【巩固】
4．命题“对任何x ∈R ，|x －2|＋|x －4|>3”的否定是____________．
解析：全称命题的否定为特称命题，所以该命题的否定为：∃x0∈R，|x0－2|＋|x0－4|≤3.答案：∃x0∈R，|x0－2|＋|x0－4|≤3
5．若命题“∀x∈R，ax2－ax－2≤0”是真命题，则实数a的取值范围是________．
解析：当a ＝0时，不等式显然成立；当a ≠0时，由题意知⎩⎨⎧ a <0，Δ＝a 2＋8a ≤0，
得－8≤a <0.综上，－8≤a ≤0. 答案：[－8,0]
【拔高】
6．已知命题p 1：函数y ＝2x －2－x 在R 上为增函数，
p 2：函数y ＝2x ＋2－x 在R 上为减函数．
则在命题q 1：p 1∨p 2，q 2：p 1∧p 2，q 3：(非p 1)∨p 2和q 4：p 1∧(非p 2)中，真命题是(
) A ．q 1，q 3 B ．q 2，q 3
C ．q 1，q 4
D ．q 2，q 4
解析：选C p1是真命题，则非p1为假命题；p2是假命题，则非p2为真命题．所以q1：p1∨p2是真命题，q2：p1∧p2是假命题，q3：(非p1)∨p2为假命题，q4：p1∧(非p2)为真命题．即真命题是q1，q4.
7．已知命题p：∀x∈[1,2]，x2－a≥0，命题q：∃x0∈R，x20＋2ax0＋2－a＝0，若“p且q”为真命题，求实数a的取值范围．
解：由“p 且q ”为真命题，则p ，q 都是真命题．
p ：x 2≥a 在[1,2]上恒成立，只需a ≤(x 2)min ＝1，
所以命题p ：a ≤1；
q ：设f (x )＝x 2＋2ax ＋2－a ，存在x 0∈R 使f (x 0)＝0，
只需Δ＝4a 2－4(2－a )≥0，
即a 2＋a －2≥0⇒a ≥1或a ≤－2，
所以命题q ：a ≥1或a ≤－2.
由⎩⎨⎧
a ≤1，a ≥1或a ≤－2
得a ＝1或a ≤－2 故实数a 的取值范围是a ＝1或a ≤－2. 课程小结
1.逻辑联结词与集合的关系
“或、且、非”三个逻辑联结词，对应着集合运算中的“并、交、补”，因此，常常借助集合的“并、交、补”的意义来解答由“或、且、非”三个联结词构成的命题问题．
2．正确区别命题的否定与否命题
“否命题”是对原命题“若p ，则q”的条件和结论分别加以否定而得到的命题，它既否定其条件，又否定其结论；“命题的否定”即“非p”，只是否定命题p 的结论． 命题的否定与原命题的真假总是对立的，即两者中有且只有一个为真，而原命题与否命题的真假无必然联系．。