关于三角函数单调区间的补充说明

是这部分教学的一个关键. 由于以上单调区间用 k
表示显得较为抽象 ,在实际解题中 ,怎样才能将这个
问题具体化 , 便于同学们的理解 , 记忆和实际运用
呢 ? 本人在教学实践中曾总结了几点补充说明 :
11 不要把正 (余) 切函数的定义域看成其单调
区间 ,误认为正 ( 余) 切函数在其 定 义 域 内 都 是 增
是减函数. 正切函数在 ( -
π 2
+
kπ,
π 2
+
kπ)
(k ∈
Z) 内是增函数. 余切函数在 ( kπ, ( k + 1)π) ( k ∈Z)
内是减函数.
如果要以象限划分来帮助记忆 , 也要注意加上
“单调区间”的条件. 例如 ,可说“正弦函数在一 、四象
限的单调区间内是增函数”等等 .
正确阐述三角函数单调区间这一概念的内涵 ,
数值) .
ct g
15π 8
=
-
ct g
π 8
, ct g
3π 5
=
-
ct g
2π5 .
∵ ct g
π 8
>
ctg
2π5 ,
∴
-
ctg
π 8
<
-
ct g
2π 5
,
即 ctg 158π< ctg 3π5 .
例
4
比较
sin
π 7
和
sin
178π的大小 .
分析
π :7
和17π虽同属于第一象限 8
,
但其差的绝
的学生极易造成认识上的模糊和混乱. 诸如“某三角
函数在某象限内是增 (减) 函数”之说 ,便是一种常见
的典型错误. 例如 , 如果误为“正弦函数在第一象限
内是增函数”, 那么
,对第一象限内的两个角
π 3
<
2π
+
π 6
, 是否有
sin
π 3
<
sin ( 2π+
π 6)
呢
?
答案显然是
否定的. 因此 ,必须严格遵循教材中对三角函数单调
(减) 函数.
21 在正弦 、正切函数单调区间内的角同属于
一 、四象限或二 、三象限 (即一 、四象限可连在一起 ;
二 、三象限可连在一起 ,其余不可混连) .
在余弦 、余切函数单调区间内的角同属于一 、二
象限或三 、四象限.
但反之 ,同属于一 、四象限或二 、三象限的角不
一定在正弦 、正切函数的单调区间内 ; 同属于一 、二
一单调区间内 ,再比较其大小. 下面试举几例.
例 1 比较角170°和 175°的正切值大小.
分析 :因两角同属于第二象限 ,且其差的绝对值
不超过 180°,故都在正切函数的单调增区间内 ,可直
接判断得 :tg170 < tg175°.
源自文库
例 2 比较 cos310°和 cos320°的大小.
分析 :因为 310°角和 320°角都在第四象限内 ,且
其差的绝对值不超过 180°, 故都在余弦函数的单调
增区间内 ,有 cos320°> cos310°.
例
3
比较
ct g
15π和 8
ctg
3π5 的大小.
分析
:158π和
3π分 5
属于四
、二
象限
,
不属
于
余切
函数的同一单调区间. 需先用诱导公式化为同一单
调区 间 的 角 的 余 切 值 ( 最 好 化 成 锐 角 的 三 角 函
2001 年第 6 期 数 学 通 讯
1
辅教导学
关于三角函数单调区间的补充说明
罗中寿
(柳州市一中 ,广西 柳州 545005)
中图分类号 :O124 文献标识码 :A 文章编号 :0488 - 7395 (2001) 06 - 0001 - 01
对三角函数单调区间这部分内容的学习 , 初学
象限或三 、四象限的角不一定在余弦 、余切函数的单
调区间内.
31 不难看出 , 在三角函数的单调区间内 , 任意
两角之差的绝对值不超过π. ( 从函数图象可看出 ,
亦可用单调区间两端点的值相减看出这一点)
41 怎样判断两角是否在某三角函数的单调区
间内 ? 较方便和适用的判别法是 , 将上述 2 , 3 两点
对值超过π,不属于正弦函数的同一单调区间. 可先
化为同一单调区间内的角的正弦值 ,然后比较 ,从而
有
:sin
17π 8
=
sin
π 8
<
sin
π 7.
收稿日期 :2000 - 09 - 15 作者简介 :罗中寿 (1948 —) ,男 ,广西融安县人 ,广西柳州市一中高级教师.
区间的 说 明. 即 : 正 弦 函 数 在 [ -
π 2
+ 2 kπ,
π 2
+
2 kπ]
(
k
∈Z)
上是增函数
;
在
[
π 2
+ 2 kπ,
3π 2
+
2
kπ]
( k ∈Z) 上是减函数. 余弦函数在 [ ( 2 k - 1)π, 2 kπ]
( k ∈Z) 上是增函数 ;在 [2 kπ, (2 k + 1)π] ( k ∈Z) 上
综合考虑即可. 例如 :当且仅当两角 α,β均为第一 、
四象限内的角 ,且其差的的绝对值不超过π时 ,此两
角同属于正弦函数的单调增区间. 对其余三角函数
的单调区间 ,可仿此法.
51 根据第 4 点结论 , 若要用三角函数的单调性
比较两角函数值的大小 , 必须先看两角是否同属于
这一函数的同一单调区间内. 不属于的 ,可先化至同