材料力学课件4第四章弯曲内力4-3(附录I))

n
I xy I xyi i 1
后面应用。
(2) 主惯性轴,主惯性矩等概念
主惯性轴：如图形对一对正交坐标轴的惯性 积等于零（一定存在），这一对 坐标轴称为主惯性轴，一般简称 为主轴。
存在性证明见343(332)页，计算（I—14）式。 主惯性矩：对主惯性轴的惯性矩。 形心主惯性轴：通过图形形心的主惯性轴，
149.22×104mm4 z02=2.67cm= 26.7mm
将有关尺寸(mm)标在图中 y'
250 C1
C2
O'
x
98 .3
C3
26 .7
26 .7 19 .21
.
y 0
x Ai xi 4491 (19.21 26.7) 220300
A
4491 22030
24.1mm
将有关尺寸标在图中，标形心轴x-y轴 y
ix和iy 分别称为图形对x、y轴的惯性半径。
ix
Ix A
iy
Iy A
从截面A 中坐标为(x , y ) 处取一面积
元素dA , 则 dA分别与y 轴距离 x和与x 轴距离
y 的乘积 xydA 称为面积元素dA 对于两坐标
轴的惯性积 。其和(即积分)为截面面积A对于 y 轴和 x 轴的惯性积—记为I xy。量纲为m4, mm4
Ix +Iy= Ix1 +Iy1
由于I x1y1的值可为正，为负或为零。因此
必有一特定的 α值α0使截面对于新坐标轴
(x1—y1定义为xo—yo) xo—yo的I x0y0=0
坐标轴xo—yo称为主惯性轴 ，一般简
称为主轴。 Ixo , Iy0 称为主惯性矩。
α0 , Ixo , Iy0 按下式求：
24 .1 y'
C2
250 C1
C
O'
24 .81 24 .1
C3
x
98 .3
26 .7
26 .7 19 .21
②由上图尺寸计算Ix , Iy
3
3
Ix
Ixi
i 1
i 1
(I
xic
ai2 Ai )
3690104 2(149.22104 98.32 2030
7910104 mm4
3
3
Iy
Iyi
1 截面的静矩和形心
(1) 截面的静矩(或一次矩) (2) 形心及形心坐标公式 (3) 形心坐标与静矩的关系 (4) 截面静矩的计算
(1) 截面的静矩(一次矩)
y
任意面积元素dA
y
O
x
截面面积A
x
从截面A 中坐标为（x , y ) 处取一面积
元素dA , 则 dA与y 轴距离 x 的乘积 x ·dA
h
O
x
b
解：由 Ix = A y2dA， dA的选取？
y
h
O
x
b
dA=b·dy
y
h
O
dy
y x
b
Ix =
y2dA=
A
h/2 y2bdy bh3
h/2
12
( 公式熟练掌握：宽×高3/12）
同理：
Iy =
x2dA=
A
b/2 x2hdy hb3
b / 2
12
例I-4：计算如图的惯性矩Ix , Iy,。 y
(I—1')
Sx Sx,i
o
x
y
(2) 形心及形心坐标公式
平面图形的几何中心——形心。 均质薄板的重心与平面图形的形 心有相同的坐标(即重合)。
由于均质薄板的重心与平面图形的形 心有相同的 坐标C ( x , y )，则：
x A xdA
A
x A xdA A
y A ydA
A
y A ydA A
Sx Ay Sx,i Ai yi
Sy Ax Sy,i Ai xi
2 极惯性矩,惯性矩,惯性积 惯性半径等概念
(1) 截面的极惯性矩, 惯性矩(二次矩 ) , 惯性积
(2) 主惯性轴,主惯性矩等概念 (3) 惯性矩的计算
(1) 截面的极惯性矩, 惯性矩, 惯性积
y
面积元素dA
y
轴, 记为：Sx , Sy 。 ② 轴的位置不同，静矩值不同。
如: Sx S'x
y
面积元素dA
y
y
x'
O
x
③ 静矩值可能：Sx> 0 , Sx= 0 , Sx < 0 。
y
面积元素dA
Sx > 0
O
Sx < 0
y
x
y
Sx = 0
④利用静矩的积分性质——组合图形时式
(I—1)为：
Sy Sy,i
y1
y x1
面积元素dA
y1
y1
y
α
E
C
x1
α
D
O
x
B
x
转轴公式 :
I x1
Ix
2
Iy
Ix
2
Iy
cos 2
I xy
sin 2
I y1
Ix
2
Iy
Ix
2
Iy
cos 2
I xy
sin 2
I x1y1
Ix
2
Iy
sin 2
I xy
cos 2
(I-12 a,b,c)
(I-12 a)和 (I-12b)相加：
简称为形心主轴。 形心主惯性矩：对形心主惯性轴的惯性矩。
(3) 惯性矩的计算
对形心轴的简单图形的惯性矩计算—— 积分法。
计算中注意坐标轴的名称：4种惯性 矩….。 ①一般坐标轴（辅助坐标） ②形心坐标轴（常用） ③主坐标轴 ④主形心坐标轴（目前常用）
例I-3：计算如图的惯性矩Ix , Iy,。 y
i1
i1
(I
yic
bi2 Ai )
218.42104 (19.21 26.7 24.1)2 4491
2 (149.22104 24.12 2030)
965104 mm4
例：如何计算截面形心主轴的惯性矩Iz , Iy ?
o
z
o
z
y
y
计算截面形心主轴惯性矩的基本步骤:
①先分块编号； ②利用对称性,取辅助坐标x' ，y' (画在图中)； ③计算分块的形心(标在图中)、 面积； ④求截面的形心(标在图中)； ⑤画形心轴,确定分块的形心与形心轴的距离
在图上。
例I-1：计算如下图形的静矩Sx。 y
h
x b
解：(1) 积分法 y
dy h
b(y)
b
b/ h=b(y) /( h-y) b(y)= b/ h× ( h-y)
dA= b(y) ·dy = b/ h× ( h-y) ·dy
y Sx=A y·dA x = 0h y ·b/ h× ( hy) ·dy
d x
O
解：
由(I—7) 知： IP= Ix +Iy
圆的对称性，Ix =Iy ，所以IP=2 Ix
又由：
IP
d4
32
d4
Ix Iy 64
(公式熟练掌握)
百度文库
思考题:
y
h h0
C
x
b0 b
思考题:
y
h h0
C
b0 b
x
Ix
bh3 12
b0h
3 0
12
3 惯性矩、惯性积的平行移轴公式
由于同一平面图形对于平行的两对坐标 轴的惯性矩或惯性积并不相同，当其中一对 轴是图形的形心轴时，可得到如下表达式:
③（等号右边） x 0 推得静矩Sy =0
平面图形对于通过形心轴的静矩等于零， 即坐标轴通过形心时静矩为零。 ④组合图形时式(I—2b)为：
Sx Ay Sx,i Ai yi
Sy Ax Sy,i Ai xi
(I—3)
(4) 截面静矩的计算
静矩的计算有两种方法：
① 按定义(I－1)式计算—积分法 ② 按形心位置 (I－2b)式计算(常用) 注意：计算中需明确坐标轴的位置，并画
Ai xi
AAA
A
y A ydA Sx Sx,i Ai yi
A AA
A
(I—4)
形心坐标的公式(I—2a) 可改写为：
Sy Ax
常用，掌握
Sx Ay
(I—2b)
式(I—2b)说明： ① 静矩的几何意义：
图形的形心与轴的距离大小。
②（等号左边）静矩Sy=0 ，推得 x 0
若图形对某一轴的静矩等于零，则该轴 必然通过图形的形心。
附录I: 截面的几何性质
在外荷载作用下，杆件内的应力 分布一般与杆件截面的几何形状和尺 寸有关（几何性质），如截面的面积 A，扭转截面系数Wp 等。
1 截面的静矩和形心(掌握) 2 惯性矩、惯性积、极惯性矩、惯性半
径等概念 (掌握)
3 惯性矩、惯性积的平行移轴公式(掌握) 4 惯性矩、惯性积的转轴公式(简介)
IP
2dA
A
(I—5)
从截面A 中坐标为（x , y ) 处取一面积
元素dA , 则 dA与y 轴距离 x 平方的乘积
x2 dA 和dA与 x 轴距离 y平方的乘积y2 dA 分
别称为面积元素dA 对于 y 轴和 x 轴的惯性 矩。求其和（即积分）为截面面积A对于 y 轴和 x 轴的惯性矩(二次矩 ) — 记为Iy , Ix 。 量纲为m 4,mm 4, Iy , Ix值恒为正 。
查表: 面积 A1=44.91cm2 Ix1,c=3690.45cm4 =3690.45 ×104mm4 Iy1,c=218.415cm4 = 218.415×104mm4 z01=1.921cm =19.21mm
面积 A2=20.30cm2 =2030mm2 Ix2,c= Iy2,c =149.22cm4=
tan 20
2I xy Ix Iy
(I-13)
Ix0
Ix
2
Iy
1 2
Ix I y 2 4Ixy2
Iy0
Ix
2
Iy
1 2
Ix I y 2 4Ixy2
(I-14)
作业：附录I
五版教材: P350
I-1 (b) I-12 (a)
四版教材: P338
I-1 (b) I-13 (a)
I x I xC a2 A I y I yC b2 A I xy I xC yC abA
y
ya
O
yc
面积元素dA
x b
x
yc xc
C
y
xc
截面面积A
x
4 利用平行移轴公式计算Ix, Iy ,I xy
组合截面（图形）的惯性矩计算：
n
I x I xi i 1
n
I y I yi i 1
Ixy
xydA
A
(I—8)
按积分的定义，惯性积 Ixy 的值可能为 正，为负或为零。当平面图形有一个对称轴
(或两个对称轴) 且其为坐标轴时，平面图形
的惯性积为零。
按积分的定义——求和， (I－6)、(I－8)又有如 下形式：
n
I x I xi i 1
n
I y I yi i 1
(I—11)
n
I xy I i 1 xi yi
(I—11)
例I-6：截面由一个25c 号槽钢截面和两个 90mm× 90mm×12mm角钢截面组成。计 算组合截面对形心（主）轴的惯性矩Ix , Iy。
解：①求形心，做形心轴 先编号如图，利用对称性画辅助坐标xy '
(标在图中)。
y'
C22 C1
1
x
C3 3
= b h2 / 6
(2) 由 Sx Ay
Sy Ax
y
Sx
Ay
bh 2
h 3
bh2 6
h
C
h/3
x
b
补例：计算如图(a)的静矩Sz ,Sy, 图(b) Sz 。
h
C
zh
C
z
y
y
b
b
(a)
(b)
计算常用组合截面静矩的基本步骤: ①先分块编号； ②求每分块截面的形心； ③利用公式(I—3)计算静矩。
ai , bi ； ⑥由(I—11)计算形心主轴的惯性矩。
转轴公式略
z o
y
例：如何计算截面形心主轴的惯性矩?
5 惯性矩、惯性积的转轴公式 （略）
如前对于任意平面图形（如图）一对 坐标轴轴的惯性矩和惯性积可求得，若将 坐标轴绕原点旋转，且以逆时针转角为正，
则新坐标轴(x1—y1) 的Ix 1 , Iy 1 ,I x1y1与旧坐 标轴(x—y)的Ix ,Iy ,I xy之间应有如下关系：
和与 x 轴距离 y 的乘积y ·dA 分别称为(定
义)面积元素dA 对于 y 轴和 x 轴的静矩(或 一次矩)。求其和, 即积分为截面面积A对于 y 轴和 x 轴的静矩——记Sy、Sx ，量纲为 长度的三次方：m3、mm3
Sy
xdA
A
Sx
ydA
A
(I—1)
截面静矩定义的说明： ① 静矩是面积A对某一轴的矩。如x , y
平面图形的形心坐标公式:
x A xdA A
y A ydA A
y
y
y
O
面积元素dA C
x
x
截面面积A
x
(3) 形心坐标与静矩的关系
由静矩定义则：
x A xdA Sy AA
y A ydA Sx AA
(I—2a)
组合图形计算形心坐标的公式(I—2a)为：
x
xdA
A
Sy
Sy,i
O
x
截面面积A
x
y
面积元素dA
y
ρ
O
x
截面面积A
x
从截面A 中坐标为（x , y ) 处取一面积
元素dA ,则dA与坐标原点O的距离 ρ 平方的 乘积ρ2 dA，称为面积元素dA 对于 O 点的极
惯性矩。求其和, 即积分为截面面积A对于O 点的极惯性矩—记为IP。
量纲为长度的四次方：m 4,mm 4,恒为正。
Iy
x2dA
A
(I—
6)
Ix
y2dA
A
Iy
x2dA
A
Ix
y2dA
A
极惯性矩与惯性矩的关系：
ρ2= x2+y2 IP=A ρ2 ·dA= A(x2+y2)·dA= Iy+Ix
(I—7)
在力学计算中，有时也把惯性矩写成如下
形式:
Ix ix2A
(Ⅰ-9a)
Iy iy2A
(Ⅰ-9b)