压缩映像原理公式

定义1.1.1

（1） ρ x ，y ≥0而且 ρ x ，y =0，当且仅当x =y

（2） ρ x ，y =ρ y ，x

（3）ρ x ，z ≤ρ x ，y +ρ y ，z ∀x ，y ，z ∈φ

例1.1.2

ρ x ，y ≜

|x t −y(t)| a ≤t ≤b max （1在此处键入公式。.1.2）

定义1.1.3

ρ（x n ，x 0）→0（n →∞）。记做lim n →∞x n =x 0或简单的记做 x n →x 0

定义1.1.4

∀{x n }∁E 若x n →x 0则x 0∈E

定义1.1.5

ρ x n ，x m →0 n ，m →∞ 这也就是说：∀ε>0，∂N ε ，

使得m ，n ≥N ε →ρ x n ，x m <ε

例1.1.7 {x n } ∀ε>0,∂N ε 使得对∀m ，n ≥N ε 有：

Ρ x m ，x n = x m t −x n t a ≤t ≤b max <ε因此，对∀t ∈ a ，b

|x m t −x n (t)|<ε （∀ m ，n ≥N ε ）

定义1.1.8 设 T ：（φ，ρ）→（φ，γ）

ρ x n ，x 0 →0 γ Tx n ，Tx 0 →0（n →∞） 命题1.1.9为了T ：（φ，ρ）→（φ，γ） ∀ε>0 x 0∈φ，∂φ=φ（x 0，ϵ）>0 使得 ρ x ，x 0 <δ

Tx ，Tx 0 <ϵ ∀x ∈φ （1.1.4） 必要性：∂x 0∈φ，∂ε>0使得∀n ∈N ，∂x n

使得 ρ x n ，x 0 <1n 但γ Tx n ，Tx 0 ≥ϵ，既得lim n →∞ρ（x n ，x 0）=0

lim n →∞γ Tx n ，Tx 0 ≠0

充分性：设lim n →∞ρ（x n ，x 0）=0 ∂ε>0 ∂N =N(δ（x 0，ε）)

使得当n >N 时 有ρ x n ，x 0 <δ从而γ Tx n ，Tx 0 <ε既得

lim n →∞

γ Tx n ，Tx 0 =0

初值问题： dx dt

=F （t ，x ）x 0 =ε 1.1.5 x t =ε+ F （τ，x(τ)）d τt 0 1.1.6

Tx t =ε+ F （τ，x(τ)）d τt

0 1.1.7

定义1.1.10

T x ∈ 0,1 （∀x ∈[0,1]） 1.1.8

以及

|T ‘ x |≤α<1（∀x ∈[0,1]）1.1.9

直观与算法∀x 0ϵ[0,1] x (n+1)=Tx n (n =0,1,2……)

x n+1 −x n =|Tx n −Tx n −1|≤α|x n −x n −1|< αn+i −1p i=1|x 1−x 0|=αn

1−α |x 1−x 0|→0 从x n+1=Tx n

俩边取极限得：x ∗=Tx ∗

则： x ∗−x ∗∗ =|Tx ∗−Tx ∗∗|≤α x ∗−x ∗∗ 由此推出x ∗=x ∗∗

x n+1=Tx n （n=0,1,2……）

ρ x n+1，x n =ρ Tx n −Tx n −1 ≤αρ x n −x n −1 ≤⋯≤αn ρ（x 1，x 0）

从而∀p ϵN

ρ x n+p ，x n ≤

x n+i ，x n+i −1 p i=1≤αn 1−α ρ（x 1，x 0）→0

例1.1.12

ρ Tx,Ty =| F τ,x τ d τ

t o − F τ,y τ d τt o |≤|t|≤h max | F τ,x τ d τt o − F τ,y τ d τt o

||t|≤h max

∂σ>0,L >0,使得当 t ≤h ， x 1−ε ≤σ，|x 2−ε|≤σ时 有：

|F t ，x 1 −F t ，x 2 |≤L|x 1−x 2| （1.1.10）

这时就有： Tx,Ty ≤Lh ρ x ，y （（ ∀x ，y ）∈（ε，σ）B −）

其中（ε，σ）B −≜ x t ∈C −h ，h | x t −ε ≤σ t ≤h max }

我们取φ=（ε，σ）B − 再设 M ≜max ⁡{|F （t ，x ）||（t ，x ）ϵh,h]×[ε−σ,ε+σ]}取h>0足够小，以使max ⁡|(T x t −ε|=max ⁡| F τ,x τ d τt o |≤Mh ≤σ

定理1.1.13 设函数F t ，x 在[−h ，h]× ε−σ,ε+σ 上定义，连续并满足条件（1.1.10）则当h

例1.1.14 f ：

R m ×R m →R m ,U ×V ⊂R m ×R m 是 x 0，y 0 ∈R m ×R m 的一个临域，设f 及

∂f ∂y 在U ×

V 内连续又设：

f x 0，y 0 =0；[det ⁡（∂f ∂y ）] x 0，y 0 ≠0 则∂ x 0，y 0 的一个邻域U 0×V 0⊂U ×V φ：U 0→V 0满足

f x ，φ x =0 φ x 0 =y 0 证明：T ：φ→T φ，

T φ x ≜φ x − ∂f ∂y x 0，y 0

−1f （x ，φ x ） 其距离规定：ρ（φ，ψ）≜|φi x −ψi （x ）|x ϵ（x 0，γ）1≤i ≤m

B −max 其中φ=（φ1，φ2，…φm )

ψ=(ψ1,ψ2,…，ψm ）对x ∈R n 与y i ∈R n 记D y f （x ，y 1，……，y m ）≜ ∂f 1∂y 1（x ，y 1）⋯∂f 1

∂y m （x ，y 1

）⋮ ⋮∂f m ∂y 1（x ，y m ）⋯∂f m

∂y m （x ，y m ）

因为假设∂f ∂y

在U ×V 上连续∂σ>0使得： |σij −[(∂

f

∂y x 0，y 0 D y f （x ，y 1，……，y m ）]ij |<12m

其中（i ，j ）=1.2，……，m ，x ∈（ε，σ）B −，y 1，……，y m ∈（ε，σ）B −

）而

σij ≜ 1 i =j

0 i ≠j

记d i x ≜φi x −φi x 根据微分中值定理：φi x =|d i （x ）x ϵ（x 0，γ）1≤i ≤m B −max −

[∂f ∂y x 0，y 0 −1

D y f （x ，……y 1）]ij m j=1d j x |<12 d i x x ϵ x 0，γ 1≤i ≤m B −max =12

ρ（φ，ψ） 1.1.11