长沙市小学数学教师招聘历年试题

长沙市教师招聘历年试题-考生回忆版
小学数学试题
一、单项选择题（本大题共28 小题，满分36 分，其中第1-20小题每题0.6 分，21-28小题每题3 分）
二、填空题（每题3 分，共12 分。

）
三、解答题（本大题共8 小题，满分64 分）
四、综合分析题（本大题共1 小题，满分8 分）
缺29-31 题填空题，3 分/题，共9 分
一、单项选择题（本大题共28 小题，满分36 分，其中第1-20 小题每题0.6 分，21-28 小题每题 3 分，下列每小题备选答案中，只有一项最符合题意。

）
1、（）是新一轮基础教育课程改革的核心。

A、改变学习理念
B、改变学习态度
C、改变学习方式
D、改变学习手段
2、学生综合素质评价内容分为思想品德、学业水平、身心健康、艺术修养和（）。

A、创新精神
B、社会实践
C、教育理念
D、未来规矩
3、学校和教师按照确定的教育教学内容和课程设置开展教育教学活动，保证达到国家基本素质要求。

同时，国家鼓励学校和教师采用（）教育等教育教学方式，提高教学质量。

A、填鸭式
B、题海式
C、启发式
D、奖惩式
4、我国全面推行教师资格全国统考，提高教师入职门槛，并打破教师资格终身制，实行教师定期（）。

A、注册制度
B、考核制度
C、淘汰制度
D、培训制度
5、义务教育是国家统一实施的所有适龄儿童、少年必须接受的教育，是国家必须予以保障的（）事业。

A、普及性
B、公平性
C、社会性
D、公益性
6、2017 年 9 月 10 日是中国第（）个教师节。

A、25
B、28
C、33
D、36
7、学校教育对人的发展起（）。

A、主导作用
B、根本作用
C、辅助作用
D、基础作用
8、（）是教师教育学生的感情基础。

A、爱工作
B、爱学生
C、爱学习
D、爱教育事业
9、（）不属于受教育者应当履行的义务。

A、加强社会主义核心价值观学习，增强社会责任感和倡导良好社会风气
B、遵守学生行为规范，尊敬师长，养成良好的思想品德和行为习惯
C、努力学习，完成规定的学习任务
D、遵守所在学校或其他教育机构的管理制度
10、学生为了获得教师和家长的赞许而努力学习的动机称为（）。

A、认知内驱力
B、自我提高内驱力
C、主体内驱力
D、附属内驱力
11、班级管理的模式主要有（）。

A、常规管理、民主管理、平行管理、目标管理
B 、常规管理、系统管理、平行管理、民主管理
C 、常规管理、系统管理、平行管理、目标管理
D 、常规管理、交叉管理、平行管理、目标管理
12、一般在教学开始时进行的摸清学生现有水平及个别差异，以便安排教学的评价叫（）。

A 、标准参照评价 B 、配置型评价 C 、诊断型评价 D 、普遍参照评价
13、（）是根据国家教育方针和课程标准编写，内容力求精简，精选必备的基础知识，基本技能，经济实用，保证质量。

A 、学科教学理念
B 、教师教案
C 、教科书
D 、学校教学计划
14、在人的发展阶段，被称为“危机期”或“心理断乳期”的时间阶段是（）。

A 、幼儿期 B 、儿童期 C 、少年期 D 、青年期
15、教师了解学生的基本方法是（）。

A 、观察法 B 、问卷法 C 、谈话法 D 、调查法
16、孔子说：“其身正，不令而行；其身不正，虽令不从。

”这反映教师劳动的（）特点。

A 、主体性
B 、问卷法
C 、谈话法
D 、青年法
17、（）是依法治教的根本大法。

A 、《中国教育改革和发展纲要》
B 、《中华人民共和国教育法》
C 、《中华人民共和国义务教育法》
D 、《中华人民共和国教师法》 18、下列选项中，不属于《中小教师职业道德规范》内容的是（）。

A 、教书育人
B 、爱岗敬业
C 、尊重科学
D 、终身学习 19、“有的学生情感深沉、含蓄，而有的学生则表现为奔放、热烈。

”这说明了青少年身心发展的（）。

A 、顺序性 B 、不均衡性 C 、可变性 D 、个体差异性
20、学生已经有“四边形”的概念，现在要学习“平行四边形”。

这是一种（）。

A 、派生类属学习 B 、相关类属学习 C 、借鉴类属学习 D 、并列类属学习 21、如果一个三角形的两边长分别为 2 和 4，则第三边可能是（ ）． A ．2 B ．4 C ．6 D ．8
22、湖南卫视举行歌手大奖赛，每场比赛都有编号为 1—10 号共 10 道综合素质测试供选手随机抽取作答。

在某场比赛中，前三位选手分别抽走了 2 号，7 号，5 号题，第四位选手抽中 8 号题的概率是 （ ）．
A.
1
10
B.
1
9
C.
1
8
D.
1
7
22、下列几何体中，主视角是三角形的是（ ）．
A ．
B ．
C ．
D ．
23、已知半径为 1 的扇形的圆心角为 60°，则扇形的弧长为（
）．
A ．
π
B ．π
C ．
π
D ． π
6
2 3
24、二次函数 y
ax2 bx c 的图像中如图所示，则下列关系式错误的是（ ）．
89
A ．a ＞0
B ．c ＞0
C ． b 2
-4ac ＞0
D ．a+b+c ＞0
25、如果关于 x 的方程式 ax2 2x a 0 只有一个实数根，则实数 a 的值是（ ）．
A ．a=1
B ．a= ±1 C. a=0 或 a= ±1
D. a=0
26、如图，矩形 AEHC 是由三个全等矩形拼成的，AH 与 BE 、BF 、DF 、DG 、CG 分别交于点 P 、Q 、K
、M 、N
，设
△B P Q ，△D
K M 、
△C N H 的面
A ．6
B ．8
C ．10
D ．12 27．如图，矩形 AEHC 是由三个全等矩形拼成的，AH 与 B
E 、B
F 、DF 、D
G 、CG 分别交于点 P 、Q 、K
、M 、N ，设△
B
P Q ，△D K M
A ．6
B ．8
C ．10
D ．12
28、如图，四边形 BDCE 内接于以 BC 为直径的ʘA ，已知 BC=10，
cos ÐBCD = 3
， ÐBCE =30，
5
则线段 D E 的长是（ ．
A ．
B ．7
C ．4+3
D ．3+4
3
3
3
1 4
1 1
= -
二、填空题（本大题共 4 题，每题 3 分，共 12 分） 29-31 缺
32．已知 1
= 1- ， 1 1 1 1 1
， ，……根据你发现的规律写出第 n （ n 为正 1⨯ 2
2
2 ⨯
3 2 3 3⨯
4 3 4
整 数 ） 个 式 子 是
， 利 用 这 个 规 律 可 得 方 程
1 +
1 + 1 = 1 的解是 ．
x (x +1) (x +1)(x + 2) (x + 2012)(x + 2013) x + 2013
三、解答题（本大题共 8 题，共 64 分）
（5 分）计算： (-1)2015 +
+ (π- 3.14)0
+ 2sin 60o - 2-1 ．
34 5
m - 2
÷ (1- 1 ) ，其中
m 满足一元二次方程 m 2 + 4m + 3 = 0 ．
（ 分）先化简，再求值：
2
m -1 m - 2m +1
（8 分）下表是长沙市 2016 年 6 月份前 10 天的空气质量指数统计表
（一）2016 年 6 月 1 日—10 日空气质量指数（AQI ）情
况
日期 1 日
2 日
3 日
4 日
5 日
6 日
7 日
8 日
9 日
10 日
空气质量指数(AQI)
56
69
88
90
99
129
120
143
178
96
（二）空气质量污染指数标准（AQI ） 污染指数 等级 0-50 优 51-100 良 101-150 轻度污染 151-200 中度污染 201-300 重度污染 ＞300
严重污染
（1） 请
你计
算这
（2） 按规定，当空气质量指数 A QI ≤100 时，空气质量才算“达标”，请你根据表（一）和表（二）所提供的信（8 分）如图，四边形 A BCD 内接于圆 O ，且 A D 是圆 O 的直径，DC 于 A B 的延长线相交于 E
点，OC//AB ．
（1） 求证：AD=AE ；
（2） 若 OC=AB=4，求 BCE 的面积．
（9 分）如图，已知矩
形
A
B C
D 的边
长 A B =
2，B C
（1） 求证：△APE ∽△ADQ ；
（2） 设 A P 的长为 x ，试求△PEF 的面积 S △PEF 关于 x 的函数关系式，并求当 P 在何处时，S △PEF 取得
最大值？最大值为多少？ （3） 当 Q 在何处时，△ADQ 的周长最小？（须给出确定 Q 在何处的过程或方法，不必给出证明）
（9 分）某次足球邀请赛的记分规则及奖励方法如下表：
胜一场
平一场 负一场 积分
3
1
当比赛进行到 12 轮结束（每队均要比赛 12 场）时，A 队共积 19 分，若 A 队胜的场数记为 x ． （1）若 A 队胜的场数为 4，则平、负各几场？ （2）A 队胜、平、负一共有多少种情况？并列举出来．
（10 分）已知：二次函数
y = a x 2
+ b
（1， -
，其中 a > b > 0 且a 、b 为实数．
（1） 求
一次
函数的表达式（2） 试说明：这两个函数的图像交于不同的两点； （3） 设（2）中的两个交点的横坐标分别为 x 1、x 2 ，求 x 1 - x 2
的范围．
40．（10 分）如图，抛物线 y = ax 2 + bx + c 关于 y 轴对称，他的顶点坐标原点o ，点 B (2, - 4
) 和 3
点C (-3, -3) 两点均在抛物线上，点 F (0, - 3
) 在轴上，过点(0, 3
) 作直线l 与 x 轴平行．
4 4
（1） 求抛物线的解析式和直线 BC 的解析式．
（2） 设
点
D (
x , y
) 是
线段 B C 上的一个动点（点 D 不与 B C
x 线交于点 G ，设线段 GD 的长度为 h ，求 h 与 x 之间的函数关系式，并求出当 x 为何值时，线段 GD 的长
度 h 最大，最大长度 h 的值是多少？ （3） 若点 P (m , n ) 是抛物线上位于第三象限的一个动点，连接 PF 并延长，交抛物线于另一点 Q ， 过点 Q 作 QS ⊥l,垂足为点 N ，试判断 FNS 的形状，并说明理由． 订
正：（3）若点 P (m , n ) 是抛物线上位于第三象限的一个动点，连接 P F 并延长，交抛物线于另一 点 Q ，过点 Q 作 QS ⊥l,垂足为点 S ，过 P 点作 PN ⊥ l ，垂足为点 N ．试判断 FNS 的形状，并说明理由．
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小学数学试题--解析
1.【答案】C。

解析：转变学习方式是新一轮基础教育课程改革的核心，新的学习方式以学生学习的主动性和独立性为特征。

2.【答案】B。

解析：2014 年 12 月，教育部发布《关于加强和改进普通高中学生综合素质评价的意见》，将学生综合素质评价内容分为“思想品德、学业水平、身心健康、艺术素养、社会实践”五个方面，形成了从“写实记录、整理遴选、公示审核到形成档案、材料使用”流程完整的体系。

3.【答案】C。

解析：《中华人民共和国义务教育法》第三十五条规定，国务院教育行政部门根据适龄儿童、少年身心发展的状况和实际情况，确定教学制度、教育教学内容和课程设置，改革考试制度，并改进高级中等学校招生办法，推进实施素质教育。

学校和教师按照确定的教育教学内容和课程设置开展教育教学活动，保证达到国家规定的基本质量要求。

国家鼓励学校和教师采用启发式教育等教育教学方法，提高教育教学质量。

4.【答案】A。

解析：《国务院关于加强教师队伍建设的意见》提到严格教师资格和准入制度：修订《教师资格条例》，提高教师任职学历标准、品行和教育教学能力要求。

全面实施教师资格考试和定期注册制度。

完善符合职业教育特点的职业学校教师资格标准。

健全新进教师公开招聘制度，探索符合不同学段、专业和岗位特点的教师招聘办法。

继续实施并逐步完善农村义务教育阶段学校教师特设岗位计划，探索吸引高校毕业生到村小学、教学点任教的新机制。

5.【答案】D。

解析：《中华人民共和国义务教育法》第二条规定，国家实行九年义务教育制度。

义务教育是国家统一实施的所有适龄儿童、少年必须接受的教育，是国家必须予以保障的公益性事业。

6.【答案】C。

解析：教师节，旨在肯定教师为教育事业所做的贡献。

在中国近现代史上，多次以不同的日期作为过教师节。

直至 1985 年，第六届全国人大常委会第九次会议通过了国务院关于建立教
师节的议案，才真正确定了 1985 年 9 月 10 日为中国第一个教师节。

所以 2017 年 9 月 10 日是第33 个教师节。

7.【答案】A。

解析：影响人的身心发发展的因素包括遗传素质、环境、学校教育和主观能动性。

其中学校教育在人的发展中起主导作用。

8.【答案】B。

解析：师爱是指教师对学生的爱，它是学生成长的力量之源，是教师道德修养的灵魂，也是教育成功的根本前提。

教师对学生的爱，就是“师爱”。

在一定程度上，热爱学生就是热爱教育事业。

教师对学生的爱在性质上是一种只讲付出不计回报的、无私的、广泛的且没有血缘关系的爱，在原则上是一种严慈相济的爱。

这种爱是神圣的，这种爱是教师教育学生的感情基础，学生一旦体会到这种感情，就会“亲其师”，从而“信其道”，也正是在这个过程中，教育实现了其根本的功能。

因此，师爱就是师魂。

9.【答案】A。

解析：《中华人民共和国教育法》第四十四条规定，受教育者应当履行下列义务：（1）遵守法律、法规；（2）遵守学生行为规范，尊敬师长，养成良好的思想品德和行为习惯；（3）努力学习，完成规定的学习任务；（4）遵守所在学校或者其他教育机构的管理制度。

A 选项不属于受教育者应当履行的义务。

10.【答案】D。

解析：奥苏贝尔认为，学校情境中的成就动机至少应包括三方面的内驱力，即认知内驱力、自我提高内驱力、附属内驱力。

（1）认知内驱力指一种学生渴望了解和理解、要求掌握知识以
及系统地阐述问题并解决问题的倾向。

（2）自我提高内驱力是个体要求凭自己胜任工作的才能和工作成就而赢得相应地位的愿望。

（3）附属内驱力是学生为了保持家长和教师等的赞许或认可而努力学习的一种需要。

题干中学生为了获得教师和家长的赞许而努力学习的动机属于附属内驱力。

11.【答案】A。

解析：班级管理的模式主要包括常规管理、民主管理、平行管理和目标管理模式。

（1）班级常规管理是指通过制定和执行规章制度管理班级的经常性活动。

（2）班级平行管理是指班主任既通过对集体的管理去影响个人，又通过对个人的直接管理去影响集体，从而把对集体和个人的管理结合起来的管理方式。

（3）班级民主管理是指班级成员在服从班集体的正确决定和承担责任的前提下参与班级全程管理的一种管理方式。

（4）班级目标管理是指班主任与学生共同确定班集体总体目标，然后转化为小组目标和个人目标，使其与班级总体目标融为一体，形成目标体系，以此推动班级管理活动，实现班级目标的管理方法。

12.【答案】B。

解析：从教学评价的功能看，有配置性评价与诊断性评价之分。

配置性评价，也称准备性评价，一般在教学开始前进行，摸清学生的现有水平及个别差异，以便安排教学。

通过配置性评价，教师可以了解学生是否具备学习某种新科目所需要的基本知识或技能，也可以了解在新科目的教学目标中有哪些知识技能是学生已经掌握的。

如果学生在知识和技能方面准备充足，可以对学生进行新知识的教学，如果学生在知识和技能方面准备不足，先实施必要的补救教学，然后教授新知识。

诊断性评价，有时与配置性评价意义相当，指了解学生的学习基础与个体差异，有时指对学习困难的学生所作的评价，多半是在形成性评价之后实施。

诊断性评价不是为了给学生评定成绩或排名次。

13.【答案】C。

解析：教材是教师和学生据以进行教学活动的材料，包括教科书、讲义、讲授提纲、参考书、活动指导书以及各种视听材料。

狭义的教材即教科书。

教科书的编排要求：首先，教科书的编排形式要有利于学生的学习，符合卫生学、教育学、心理学和美学的要求。

其次，教科书的内容阐述，要层次分明；文字表述要简练、精确、生动、流畅；篇幅要详略得当。

再次，标题和结论要用不同的字体或符号标出，使之鲜明、醒目；封面、图表、插图等，要力求清晰、美观；字体大小要适宜，装订要坚固，规格大小、厚薄要合适，便于携带。

14.【答案】C。

解析：我国的心理学家将个体的发展划分为八个阶段：即乳儿期（0-1 岁）、婴儿期（1-3 岁）、幼儿期（3-6、7 岁）、童年期（6、7-11、12 岁）、少年期（11、12-14、15 岁）、青年期（14、15-25 岁）、成年期（25-65 岁）、老年期（65 岁以后）。

在每一个人生阶段都会形成一般的、典型的、本质的特征。

少年期的年龄特征：少年期又称为“危险期”或“心理断乳期”。

故选 C。

15.【答案】A。

解析：班主任一般采取四种方法了解和研究学生：（1）观察法：这是班主任了解学生最基本的方法。

（2）谈话法：这是班主任了解学生、管理班级时常用的一种方法。

通过集体谈话和个别谈话深入了解真实可靠的信息。

（3）书面材料和学生作品分析法：班主任可以通过书面问卷调查、心理测验等书面材料以及学生的作业了解学生。

（4）调查访问：这是一种间接了解学生的方法。

班主任可以通过家访、走访学生前任班主任或任课教师等，了解学生个体或群体的成长经历，深入了解有关背景原因。

16.【答案】C。

解析：“其身正，不令而行；其身不正，虽令不从。

”意为“自我品行端正了，即使不发布命令，老百姓也会去实行；若自身不端正，那么，纵然三令五申，被管理者也不会服从的。

”教师劳动的示范性是指教师的言行举止，如人品、才能、治学态度等都会成为学生学习的对象。

所以题干中“其身正，不令而行；其身不正，虽令不从。

”体现了教师劳动的示范性。

因此，教师必须以身作则、为人师表。

17.【答案】B。

解析：《中华人民共和国教育法》是教育的根本大法，在我国教育法规体系中处于“母法”地位，具有最高的法律权威。

所以，《中华人民共和国教育法》是依法治教的根本大法。

18.【答案】C。

解析：《中小学教师职业道德规范》（08 年修订版）的内容包括：爱国守法、爱岗敬业、关爱学生、教书育人、为人师表、终身学习。

所以不包括尊重科学。

19. 【答案】D 。

解析：个别差异性在不同层次上存在。

从群体的角度看，首先表现为男女性别的差
异；不仅是自然性别上的差异，还包括由性别带来的生理机能和社会地位、角色、交往群体的差别。

其 次，个别差异表现在身心的所有构成方面，其中有些是发展水平的差异，有些是心理特征表现方式上的差异。

题干中“有的学生”“而有的学生”等词反映出不同学生有不同的个性特点，所以体现出个别差异性。

20. 【答案】A 。

解析：下位学习（类属学习）：指将概括程度或包容范围较低的新概念或命题，归
属到认知结构中原有的概括程度或包容范围较高的适当概念或命题之下，从而获得新概念或新命题的意义。

下位学习可以分为两种形式：一种是派生类属，即新学习内容仅仅是学生已有的、包容面较广命题的一个例证，或是能从已有命题中直接派生出来的。

另一种是相关类属，即新内容纳入可以扩展、修饰或限定学生已有的概念、命题，并使其精确化。

题干中新学习内容“平行四边形”仅仅是学生已有的、 包容面较广命题“四边形”的一个例证，能从已有命题中直接派生出来，所以是派生类属学习。

21. 如果一个三角形的两边长分别为 2 和 4，则第三边可能是（ ）．
A ．2
B ．4
C ．6
D ．8
答案】B ．解析：由两边之和大于第三边可以得出 C 的 D 是错的，两边之差小于第三边得出 A 错，因此答案选 B ．
【知识点】三角形——三角形的基本概念——认识三角形——三角形的边角关系
【难度等级】★★
南卫视举行歌手大奖赛，每场比赛都有编号为 1—10 号共 10 道综合素质测试供选手随机抽取作答。

在某场比赛中，前三位选手分别抽走了 2 号，7 号，5 号题，第四位选手抽中 8 号题的概率是 （ ．
A. 1
10
B. 1
9 C. 1
8 D. 1
7
1
【答案】D ．解析：10 个题中先被抽走了 3 道题，还剩 7 道题，其中 8 号题被抽中的概率为 ，
7
1
因此第四位选手抽中 8 号题的概率是 7
【知识点】统计与概率——概率
【难度等级】★★
，答案选 D ．
下列几何体中，主视角是三角形的是（ ）．
A ．
B ．
C ．
D ．
答案】C ．解析：A 的主视图为正方形，B 的主视图为圆形，C 的主视图为三角形，D 的主视图为矩形，因此答案选 C ．
【知识点】图形与变换——视图与投影——三视图
【难度等级】★★
知半径
为 A ． π B ．π C ． π D ． π 6 2 3
【答案】D ．解析：由弧长公式l =
n πR
（ n 为圆心角的度数， R 为圆半径）得到l = π
，答案
选 D ．
180
3
【知识点】圆——圆的概念与性质——与角有关的概念与性质——弧长与扇形 【难度等级】★★
次
函数
y = a x 2
+
b x
+
c
的
图像中如
图所示，则下列关系式错误的是（ ．
A ．a ＞0
B ．c ＞0
C ． b 2
-4ac ＞0
D ．a+b+c ＞0
25. 【答案】D ．解析：根据二次函数图像的性质，图像开口向上，a>0，A 选项正确．当 x = 0 时，
y = c ，根据图像可知，ｃ＞0，B 选项正确．根据二次函数与一元二次方程的联系可知∆ = b 2 - 4ac ， 图像与 x 轴有 2 个交点，所以∆ > 0 ，即b 2 - 4ac > 0 ，C 选项正确．当 x = 1时， y = a + b + c < 0，D 选项错误，因此答案选 D ． 【知识点】函数——二次函数——二次函数的图像与性质和应用 【难度等级】★★
26.
如果
关于
x 的
方
程式
a x 2
- 2x +
A ．a=1
B ．a= ±1 C. a=0 或 a= ±1 D. a=0 答案】
C ．解析：首先判断 a 是否等于 0，若a ¹ 0 ，根据二元一次方程的根的判别式∆ = b 2 - 4ac ， 由题可知只有一个实数根，则∆ = 0 ，即b 2 - 4ac = 0 ，即4 - 4a 2 = 0 ，解得 a = ±1；若 a = 0 ，则关于 x 的方程变为一元一次方程，为-2x = 0 ，此时方程也只有一个实数根；因此答案选 C ． 【知识点】方程与不等式——一元二次方程——一元二次方程概念和根的判别式 【难度等级】★★★ 图，矩形 AEHC 是由三个全等矩形拼成的，AH 与 BE 、BF 、DF 、DG 、CG 分别交于点 P 、
Q 、K 、M 、N ，设△BPQ ，△DKM 、△CNH 的面积依次为 s 1、s 2、s 3 ，若 s 1 + s 2 = 20 ，则 s 2 的值为（ ．
89
订正：27．如图，矩形 AEHC 是由三个全等矩形拼成的，AH 与 BE 、BF 、DF 、DG 、CG 分别交于点
P 、Q 、K 、
M 、N
，设
△
B
P Q ，△D K M 、△C N H 的面积
A ．6
B ．8
C ．10
D ．12
答案】B ．解析：因为矩
形 A E H C 是由三个全等矩
因为 ABQ ADM ，
ABQ ACH ，所以 AB
= BQ = 1 , BQ = AB = 1 ， AD MD 2 CH AC 3 所以 BPQ DKM CNH ，所以 BQ = 1 , BQ = 1
，所以 S 1 = 1 , S 1 = 1 ，所以 S = 4S , S = 9S ，
MD 2 CH 3
S 4 S 9 2
1
3
1
2 3
又因为 S 1 + S 3 = 20 ，所以 S 1 = 2 ，所以 S 2 = 8 ，因此答案选 B ． 【知识点】三角形——三角形相似——三角形相似的性质及判定 【难度系数】★★★
如图，四边形 BDCE 内接于以 BC 为直径的ʘA ，已知 BC=10，
cos ÐBCD = 3
， ÐBCE =30，
5
则线
段 D E 的长
是（ ．
A ．
B ．7
C ．4+3
D ．3+4
28．【答案】D ．解析：过 B 作 BF ⊥ DE 交于点 F ． A ．6 B ．8 C ．10
D ．12 3 3 3
3
1 1
=- 1 1
在Rt CBD 中，BC=10，cosÐBCD =3
，所以BD=8；在Rt BCE 中，BC=10，ÐBCE =30°，5
所以B E=5；在R t BDF 中，ÐBDF =ÐBCE = 30o ，BD=8，所以D F =BD * cos 30o = 4 ；在
Rt BEF ，ÐBEF =ÐBCD ，即cos ÐBEF = cosÐBCD ==3
，B E=5，所以B F =BE *cos ÐBEF = 3 ，5
所以DE =DF =EF = 3 + 4 ，因此答案选D．【知识点】圆——与圆有关的位置关系——三角形与圆【难度系数】★★★
二、填空题（本大题共 4 题，每题 3 分，共12 分）
29-31 缺32．已知
1
=1-， 1 1 1
，=-，……根据你发现的规律写出第n （n为正1⨯ 2 2 2 ⨯3 2 3 3⨯ 4 3 4
整数）个式子是，利用这个规律可得方程
1
+1 + 1= 1 的解是．
x(x +1) (x +1)(x + 2) (x + 2012)(x + 2013) x +2013
1
【答案】=1
-
1
, x = 2013 ．
n ⨯(n +1) n n +1
1
解析：根据已知判断=1 - 1 ，因此
1
+1
n ⨯(n +1)
+
n n +1
1
x(x +1) (x +1)(x + 2) (x + 2012)(x + 2013)
=1
-
1
+
1
-
1 + 1 -1
x x +1 x +1 x +2 x + 2012 x + 2013
=1
-
1
=
1
x x + 2013 x + 2013
去分母得2x =x + 2013 解得x = 2013 ．【知识点】数与代数
【难度等级】★★★
3
1 4
3
三、解答题（本大题共 8 题，共 64 分）
（5 分）计算： (-1)2015 +
+ (π- 3.14)0
+ 2sin 60o - 2-1 ．
【答案】 ．解析： (-1)2015
= -1 ， = 1 ， (π- 3.14)0 = 1 ， 2 s in 60o = ， 2-1 = 1 ． 2
2
【知识点】数与代数 【难度等级】★★
34 5
m - 2
÷ (1-
1 ) ，其中
m 满足一元二次方程 m 2 + 4m + 3 = 0 ．
（ 分）先化简，再求值：
2
4 【答案】2 或 ．
3
m -1
m - 2m +1
m - 2
1
m - 2 m 2 - 2m m - 2 (m -1)2 m -1
解析：化简得
÷ (1- ) = ¸( ) = ´ = ． m -1 m 2 - 2m +1 m -1 m 2
- 2m +1 m -1 m (m - 2) m
又因为 m 满足一元二次方程 m 2 + 4m + 3 =0 ． 所以(m +1)(m + 3) = 0 ，解得 m = -1, m =-3． 所以将 m = -1, m = -3代入
m -1
中，得最终的结果为 2 或
4
．
m
3
【知识点】数与式——分式——分式的运算
【难度系数】★★
（8 分）下表是长沙市 2016 年 6 月份前 10 天的空气质量指数统计表
（一）2016 年 6 月 1 日—10 日空气质量指数（AQI ）情
况
日期 1 日
2 日
3 日
4 日
5 日
6 日
7 日
8 日
9 日
10 日
空气质量指数(AQI)
56
69
88
90
99
129
120
143
178
96
（二）空气质量污染指数标准（AQI ） 污染指数 等级 0-50 优 51-100 良 101-150
轻度污染
3 1 4
3 151-200 中度污染 201-300 重度污染 ＞300
严重污染
（1） 请
你计
算这 10 天长沙市空气质量
指
数的平
均
数
，
并
据此判断这 10
（2） 按规定，当空气质量指数 A QI ≤100 时，空气质量才算“达标”，请你根据表（一）和表（二）所提供的信息，估计
今年（365 天）长沙市空气质量“达标”的天数．35．【答案】（1）106.5，轻度污染；（2）219．
解析：（1）10 天空气质量总数 56+69+88+90+99+129+120+143+178+96=1068，因此空气质量指数平均数为 1068÷10=106.8，106.8 在 101~150 之间，属于轻度污染． （2）由表（一）得 10 天中达标天数为 6 天，频率为 0.6，因此今年达标天数为 365×0.6=219 天． 【知识点】统计与概率——用样本估计总体
【难度等级】★★
（8 分）如图，四边形 A BCD 内接于圆 O ，且 A D 是圆 O 的直径，DC 于 A B 的延长线相交于 E 点，OC//AB ． （1） 求证：AD=AE ；
（2） 若 OC=AB=4，求 BCE 的面积． 【
（1）见解析；（2）
4 .
解析：（1）因为 OC//AB ， 所以ÐOCD = ÐAED ， 又因为 OD=OC ，所以ÐOCD = ÐODC ， 所以ÐAED = ÐODC ， 所以 AD=AE ． （2）连接 BD ，AC ．
3
因为 OC=AB 且 OC//AB ，
所以四边形 ABCO 是平行四边形，所以 BC//AD ， 又因为 C 为 DE 的中点，所以 AB=BE=4， 因为 AD=AE ，所以 BC=BE=4，
又因为点 B 在圆 O 上，所以ÐDBE = 90 ，
所以 CE=BC=4，
所以∆BCE 的面积为 4 ．
【知识点】圆——圆的概念、性质、以及与圆有关的位置关系——三角形与圆 【难度系数】★★ （9 分）如图，已知矩
形 A B C D
的边长
（1） 求证：△APE ∽△ADQ ；
（2） 设 A P 的长为 x ，试求△PEF 的面积 S △PEF 关于 x 的函数关系式，并求当 P 在何处时，S △PEF 取得
最大值？最大值为多少？ （3） 当 Q 在何处时，△ADQ 的周长最小？（须给出确定 Q 在何处的过程或方法，不必给出证明） 37. 【答案】见解析．
解析：（1）因为 PE//DQ ，所以ÐAPE = ÐPDF ， ÐPAE = ÐADQ ，所以△APE ∽△ADQ ．
（2）
因为△APE ∽△ADQ ，所以
S ∆APE S ∆ADQ = ( AP )2 AD
x 2
9 ，因为 PF//AQ ，同（1）有△DPF ∽△DAQ ， =
2 = = x ⎨
⎩
S ∆DPF
所以 = ( DP ) (3 - x )2 ，所以 S PEQF 2 1- - (3 - x )2 ，由
P E //PF//AQ 得到四边形 P EQF S ∆DAQ AD 9 S ∆PEF = 1
S ∆ADQ S ∆PEF 9 9 = 1 - x 2 - (3 - x )2
1 为平行四边形，所以 PEQF
2 ，所以 S ∆ADQ 2 18 18 ，因为 S ∆ADQ = 2
AD × AB = 3 ，所
以 S = 3 - x ∆PEF
2 6 - (
3 - x )2 6 ，当 x = 3 时， 2 3
S ∆PEF 取最大值，最大值为 4
．
（3） 延长 AB 至 A ⅲ? AB = BA ¢ ，连接 A¢D 交 BC 于Q ，此时△ADQ 的周长最小，Q 点位于 BC
的中点．
【知识点】三角形——三角形的全等与相似
【难度等级】★★★
（9 分）某次足球邀请赛的记分规则及奖励方法如下表：
胜一场 平一场 负一场 积分
3
1
当比赛进行到 12 轮结束（每队均要比赛 12 场）时，A 队共积 19 分，若 A 队胜的场数记为 x ．
（1） 若 A 队胜的场数为 4，则平、负各几场？
（2）A 队胜、平、负一共有多少种情况？并列举出来．
38. 【答案】（1）平 7 场，负 1 场；（2）一共有 3 种情况.第一种：胜 4 场，平 7 场，负 1 场；第
二种：胜 5 场，平 4 场，负 3 场；第三种：胜 6 场，平 1 场，负 5 场．
解析：（1）设 A 队平局为 a 场，负局为 b 场，根据题意可知ì4 + a + b = 12 ，解得 a = 7, b = 1；
⎩3⨯ 4 + a = 19
所以平 7 场，负 1 场．
y z
⎧x + y + z = 12 ⎪
（2） 设 A 队平 场，负 场，根据题意可知í
3x + y = 19 ， ⎪x < 12, y < 12, z < 12
当 x = 4 时， y = 7, z = 1 ；当 x = 5 时， y = 4, z = 3 ；当 x = 6 时， y = 1, z = 5 ． 【知识点】计数原理，解方程组 【难度系数】★★
（10 分）已知：二次函数
y
= a x 2
+
（1， - ，其中 a > b > 0 且a 、b 为实数．
（1） 求一次
函
数的表达（2） 试说明：这两个函数的图像交于不同的两点； （3） 设（2）中的两个交点的横坐标分别为 x 1、x 2 ，求 x 1 - x 2
的范围． S 2
4b 2
+ 8a (x 1 + x 2 )
- 4x 1 x 2 4b 2 + 8a a 2 4b 2 + 8a a
2
3 39．【答案】（1）
y = -bx ；（2）见解析；（3） (2, 2 3 )
． 解析：（1）一次函数图像经过（0，0）与（1，-b ）两点，由两点式求直线解析式有
y - 0
= x - 0 ，
-b - 0 1- 0
化简得一次函数表达式 y = -bx ．
⎧ y = ax 2 + bx - 2 （2） 联立两个方程得到⎨
，化简得到二元一次方程 ax 2 + 2bx - 2 = 0 ，方程根的
判别式∆ =⎩ y = -bx
= ，其中，因为 a > b > 0 ，所以4b 2 + 8a > 0 ，由∆ > 0 得到二元
一次方程有两个不同的实根，所以两个函数图像交于不同的两点．
（3） 二次函数图像经过（1，0），带入函数表达式中有a + b = 2 ，x 1 ，x 2 为方程 ax 2 + 2bx - 2 = 0
x + x = - 2b x ⋅ x = - 2
的两个根，由韦达定理有 1 2 a ， 1 2
a ，所以 x 1 - x 2 = = ， 因为 a >
b > 0 ，所以 x 1 - x 2 = （ 2 > a > b > 0 ）； 2 2
4b 2 + 8a
2
4a 2
- 8a +16 16 8
t = 1 设 m = x 1 - x 2 = a 2
将 b = 2 - a 带入，得到 m = a 2 = - + 4 ，令 a 2 a a
（ 1 < t < 1 ），前式化为 m 2 = 16t 2 - 8t + 4 = (4t -1)2 + 3 ，方程在
æ 1 ,1ö
区间上单调递增，最小值 2 2 ⎪
⎝ ⎭
m min = 2 ，最大值 m max = 2
因此 m 的取值范围为(
2, 2 3 ) ，所以 x 1 - x 2 的取值范围为(2, 2 3 )
．
【知识点】直线解析式、二次函数的应用、韦达定理 【难度等级】★★★
40．（10 分）如图，抛物线 y = ax 2 + bx + c 关于 y 轴对称，他的顶点坐标原点o ，点 B (2, - 4
) 和 3
点C (-3, -3) 两点均在抛物线上，点 F (0, - 3
) 在轴上，过点(0, 3
) 作直线l 与 x 轴平行．
4 4
(2b )2 - 4ac。