常系数线性微分方程的解法

2
2i
另外,还有如下重要性质:
(1) e( K1 K2 )t e K1t ge K2t ,
(2) de Kt KeKt , dt
(3)
dn dt n
(e Kt
)

K ne Kt
.
复值解 : 如果实变量复值函数z(t)满足方程
dnx dt n

a1
(
t
)
d n1 x dt n1
L

于是，为求L[ x] 0的形式为x eit解，只须求特征方程
F n a1 n1 ... an 0的根即可。
下面根据特征根是单根还是重根，分两种情况讨论。
I: 特征根是单根的情形
结果1：
如果L[ x] 0的特征方程F n a1 n1 ... an 0 有n个互异的根1，2，...,n (1，2，...,n中可能有一些是 复数)，则e1t，e2t , ..., ent为L[ x] 0的一个基本解组。
有复值解x U(t) iV (t),这里ai (t), u(t),v(t)都是实 函数,那么这解的实部U(t)和虚部V (t)分别是方程
dnx
d n1 x
dx
dt n a1(t ) dt n1 L an1(t ) dt an (t )x u(t )
和
dnx
d n1 x
an1
(t
)
dx dt
an(t)x
f (t)
则称实变量复值函数z(t )为方程(4.1)的复值解.
(4.1)
关于复值解有如下结论 :
dnx
d n1 x
dx
dt n a1(t ) dt n1 L an1(t ) dt an (t )x 0
(4.2)
定理4.2.1 如果方程(4.2)中所有系数ai (t)都是实值
函数,而x z(t) (t) i (t)是方程的复值解,则z(t) 的实部 (t),虚部 (t)和其共轭复数z (t )也都是方程
(4.2)的解.
定理4.2.2 设方程
dnx
d n1 x
dx
dt n a1(t ) dt n1 L an1(t ) dt an(t)x u(t ) iv(t )
为L[x] 0的一个实值基本解组。
II: 特征根有重根的情形
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2020/3/1
结果2：如果L[ x] 0的特征方程F n a1 n1 ... an 0 有m个互异的实根1，2，...,m , (1，2，...,m中可能有
例1：求方程
d3 dt
x
3

d2x dt 2

ห้องสมุดไป่ตู้
2x

0的一个基本解组。
问题：如何求实系数方程的实值基本解组？
结果1'：如果L[ x] 0的特征方程F n a1 n1 ... an 0 有k个互异的实根1，2，...,k , 及2l(k 2l n)个复根
实变量的复值函数的极限, 连续性, 可导性与实 变量的实值函数相应概念一致.
设K i是任一复数,定义
eKt et (cos t i sin t )
则有
cos t 1 (ei t ei t ), sin t 1 (ei t ei t )
为代数方程
F n a1 n1 ... an 0
的根。
定义1：
称多项式F n a1 n1 ... an为L[ x] 0的特征多项式； 称方程F n a1 n1 ... an 0为L[ x] 0的特征方程； 称方程F n a1 n1 ... an 0的根为L[ x] 0的特征根。
a1
d n1 x dt n1

...
an1
dx dt

an x，
则方程(1)可简记为L[x] f ( x)，而它所对应的齐线性方程可
记为L[x] 0。
一、常系数齐线性微分方程的 解法
I: 特征根是单根的情形 II: 特征根有重根的情形
定理1：函数x eit为方程L[x] 0的解当且仅当＝０
i1 1 i1 , i1 1 i1 , ..., il l il , il l il
则
e1t，e2t , ..., eit ,
e1t cos 1t，e1t sin 1t，...，eit cos it，eit sin it
dx
dt n a1(t ) dt n1 L an1(t ) dt an (t )x v(t )
的解.
如果n阶线性微分方程
dnx
d n1 x
dx
dt n a1(t ) dt n1 ... an1(t ) dt an (t )x f (t )
中的系数a1(t)(t 1, 2, ..., n)都是常数，则称它们为n阶常系数 线性微分方程，即
dnx dt n
a1
d n1 x dt n1 ... an1
dx dt an x
f (t)，
(1)
其中ai (i 1, 2,..., n)都是常数。特别地，如果方程中的非齐次 项f ( x) 0，则称它为n阶常系数齐线性微分方程。如果令
L[ x]

dnx dt n

§4.2 常系数线性微分方程的解法
一、复值函数与复值解 二、常系数齐线性微分方程的解法 三、常系数非齐线性微分方程的解法
一. 复值函数与复值解
定义 : 如果对于区间a t b中的每一个实数t,有复
数z(t)=(t)+i (t)与它对应,则称z(t)是定义在实值
区间[a, b]上的一个复值函数.
一些是复数)，重次分别为k1，k2，...,km (k1+k2+...+km n), 则
e1t，te1t , ..., t k1 1e1t , e2t，te2t , ..., t k2 1e2t ,