阻尼自由振动例题

的反映可看成临界阻尼系统，并有 x(0) = 0.05m ，和 x&(0) = 0 ，
有
x(t) = 0.05e−ω0t (1+ ω0t )
要求 x(0.5) = 0.0005m ，可推出
0.0005 = 0.05e−0.5ω0 (1 + 0.5ω0 )
由试凑法可得到ω0 = 13.2rad / s ，由此解出
tm = 0
xmax
=
x0
= mg K
最大速度应发生在 &x& = 0 时，由（2）式可得
cosω d tm
−
ξω 0 ωd
sin ω d tm
=
0
或
tgω d tm
=
ωd ξω 0
时速度最大，代入（2）式得
x& max
= g e −ξω0tm ω0
应注意最大速度并不发生在质量 m 过静平衡位置时，这是和无阻尼自由振
其中
T1 = T2 = 0 ，
V1
=
1 2
kX
2 1
,
V2
=
1 2
kX
2 2
并且摩擦力作功为
W1→2 = −µmg(X 1 + ) X 2 ，
则有
1 2
kX
2 1
−
µmg ( X 1
+
X
2
)
=
1 2
kX
2 2
，
( ) 1 k
2
X
2 1
−
X
2 2
= µmg (X 1 + X 2 )
所以在半个循环里振幅的改变为
k
=
mω
2 0
=
(10kg )⎜⎛13.2
⎝
rad s
⎟⎞ 2 ⎠
= 17400
N m
，
c
=
2mω 0
=
2(10kg )⎜⎛13.2 rad
⎝
s
⎟⎞ ⎠
=
264
N ⋅s m
。
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例 4． 质量为 m 的物体与刚度为 k 的弹簧相连，并 沿摩擦系数为 µ 的表面上滑移，试用动能定理确定物体 每次循环的振幅的变化量。
例 1 一弹簧 K 与阻尼器 C 并联于无质量的水平板 上。今将一质量 m 轻纺在板上后立即释手，系统即作衰 减振动。
问质量 m 的最大振幅是多少？发生在何时？最大速 度是多少？发生在何时？设ξ ＜1。
1
例 1 一弹簧 K 与阻尼器 C 并联于无质量的水平板上。今将一质量 m 轻放 在板上后立即释手，系统即作衰减振动。
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例 4． 质量为 m 的物体与刚度为 k 的弹簧相连，并沿摩擦系数 为 µ 的表面上滑移，试用动能定理确定物体每次循环的振幅的变
化量。 解 令X1为循环运动开始，并出现速度为零时的振幅；X2为
下次循环又出现速度为零时的振幅。在此时间间隔上，应用动能 定理为
T1 + V1 + W1→2 = T1 + V2 ，
X1
−
X2
=
2µmg k
由于振幅的改变量与振幅无关，在每半个循环中它为常数。所以， 一个循环运动振幅改变量为
∆A = 4µmg
k
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例 5 用一自由振动测试装置来确定一弹性构件的刚 度和阻尼性质。构件上系有 20kg 的物块，移动物块 1cm 然后释放，监测的振荡结果如图所示，求构件的 k 和 c。
或
m&x& + (C − mgb)x& + Kx = −mg(a − bv)
当 b＞0，C＜mgb 时系统将出现负阻尼，导致系统动态不稳定。
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例 3．枪的机械反冲通常设计成临界阻尼情况，以致 它迅速的返回到它开枪时的位置而产生过冲，为一个 10kg 的枪设计一个机械反冲装置（即求 c 和 k），使其具 有 5cm 的反冲，并要求在最大反冲后的 0.5s 内，开火机 械能返回到 0.5mm 以内。
x
=
x0e −ξω0t
⎜⎜⎝⎛ cosωd t
+
ξ ω0 ωd
sinωd t
⎟⎟⎠⎞
（1）
式中 ω d = ω 0 1 − ξ 2
对（1）式取一次导数
x&
=
− x0e −ξ ω0t
ω02 ωd
sin ωd t
（2）
最大振幅应发生在 x& = 0 时，由（2）式可知
时质量 m 振幅最大，代入（1）式得
f = a − bu ， u 为工件与刀具之间相对速度， a、b 为常数。试写
出系统的振动微分方程，并问 C 在什么范围内时，系统将动态不 稳定。
解：设 x 座标如图。刀具受到的摩擦力
F = −mg[a − b(v + x&)]
系统的振动微分方程为
m&x& + Cx& + Kx = −mg[a − b(v + x&)]
Λ = lnη = δTd =
2πζ Biblioteka Baidu−ζ 2
因此，阻尼比可确定为
ξ= Λ =
0.693
= 0.11
4π 2 + δ 2 4π 2 + (0.693)2
从图可知阻尼周期为 0.06s，阻尼固有频率为
ωd
=
2π Td
=
2π 0.06s
= 104.7 rad s
无阻尼固有频率为
ω0 =
ωd
104.7 rad
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例 5 用一自由振动测试装置来确定一弹性构件的刚度和阻尼性 质。构件上系有 20kg 的物块，移动物块 1cm 然后释放，监测的振 荡结果如图所示，求构件的 k 和 c。
解 图中的物块在第一循环的末尾位移为 0.005。其对数减缩 率可计算为
Λ = ln⎜⎛ 0.01m ⎟⎞ = 0.693 ⎝ 0.005m ⎠
动不同之处。
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例 2． 图示为铣床切削过程的力学模型，工件随平 台以等速 v 向左运动。刀具与工件之间摩擦系数在一定范 围内可表达为 f = a − bu ， u 为工件与刀具之间相对速度， a、b 为常数。试写出系统的振动微分方程，并问 C 在什 么范围内时，系统将动态不稳定。
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例 2． 图示为铣床切削过程的力学模型，工件随平台以等速 v 向 左运动。刀具与工件之间摩擦系数在一定范围内可表达为
问质量 m 的最大振幅是多少？发生在何时？最大速度是多少？发生在
何时？设ξ ＜1。
解：系统自由振动的微分方程为
m &x& + C x& + Kx = 0
x
=e −δt ( x 0 cosω
dt
+
x&0 + δx 0 ωd
sin ω
dt)
在 t = 0 ， x = x0 ， x& = 0 的初始条件下的响应为
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例 3．枪的机械反冲通常设计成临界阻尼情况，以致它迅速的返回 到它开枪时的位置而产生过冲，为一个 10kg 的枪设计一个机械反 冲装置（即求 c 和 k），使其具有 5cm 的反冲，并要求在最大反冲 后的 0.5s 内，开火机械能返回到 0.5mm 以内。
解 当机械达到最大反冲时，设 t = 0 。机械从这个时刻开始
=
s
= 105.3 rad
1 − ξ 2 1 − (0.11)2
s
所以刚度和阻尼系数为
k
=
mω
2 0
=
(20kg )⎜⎛105.3 rad
⎝
s
⎟⎞ 2 ⎠
=
2.22 ×105
N m
，
c
=
2ξ mω 0
=
2(0.11)(20kg )⎜⎛105.3 rad
⎝
s
⎟⎞ ⎠
=
4.63 ×102
N ⋅s m
。
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