热物理过程的数值模拟-计算传热学2

2．迁移性

传递过程的两种机制：扩散传递、对流传递

两种机制在物理特上的差异：对信息或扰动的传递性质上有很大的区别

扩散传递：物质分子不规则热运动所致，这种分子的不规则热运动对空间不同方向的几率是一样，所以扩扩散作用可以把发生在某一位置处的扰动影响向各个方向传递。

对流传递：是流体微团的宏观定向运动，带有强烈的方向性。对流作用只能将发生在某一位置处的扰动向其下游方向传递，而不会逆向传播。

图示

ε扩散

对流

ε

扩散与对流作用在物理本质上的这种差异，应在其各自的差分格式中反映出来。

（1）扩散项的中心差分把扰动向四周均匀传递 一堆非稳态扩散方程：

)()(x

x ∂∂Γ∂∂=∂∂φ

τρφ 对于常物性222x

∂∂Γ=∂φτφρ 差分格式：时间导数向前差分，空间导数中心差分（显式），均匀网格x x δ=∆

2

1

11)

(2x n

i n i n i n i n i ∆+-Γ=∆--++φφφτφφρ 为简化起见，假定初始时刻物理量场已均匀化，且0=φ，在某一时刻（例如第n 时层），节点i 处突然有一个扰动ε，而其余各节点的扰动均匀为零，如图所示，随着时间的推移，这一扰

动传递的情形可由上述差分方程来确定，（n+1）时层：

2

1

11)

(2x n

i n i n i n i n i ∆+-Γ=∆--++φφφτφφρ 其中011==-+n

i n i φφ ∴

)21())(21(2

21x

x n i n i ∆Γ∆-=Γ∆∆-

=+ρτ

ερτφφ 在这里，网格傅里叶数)/(2

x F ∆Γ∆=∆ρτ，按稳定性要求，

1210,2/12

2≤∆Γ∆-≤∴≤∆Γ∆x

x ρτ

ρτ，

对节点i+1：

2

121112x

n i n i n i n i n i ∆+-Γ=∆-+++++φφφτφφρ 其中0211==+++n

i n i φφ

∴

)()(

2

211x

x n

i n i ∆Γ∆=∆Γ∆=++ρτ

ερτφφ 类似地有：

2

1

1)

(x

n i ∆Γ∆=+-ρτε

φ 如果取25.0)/(2=∆Γ∆x ρτ，则：εφφεφ25

.0,

5.011111===+-+++n i n i n i

x

φ

ε

x

φ

25.0)/(2=∆Γ∆x ρτ时，在扩散作用下扰动的传递

由图可见，在扩散作用下，n 时刻发生在节点i 处的扰动ε，到n+1时刻均匀地向两侧传递开去。可见扩散项的中心差分格式具有迁移特性，与扩散过程的物理本质一致。

（2）对流项差分数表达式的物理特性

如果对流项的某种差分格式使扰动仅沿着流动方向传递，则称此格多具有迁移特性。 ①对流项的中心差分格式不具有迁移特性

0=∂∂+∂∂x

u φτφ 均匀网格，则有

x

u n i n i n i n i ∆--=∆--++21

11φφτφφ

类似地有：

x u n i

n i n i n i ∆--=∆-++++22111φφτφφ

x

u n i n i n i n i ∆--=∆---+-22

111φφτφφ

n 时层，仅节点i 处有扰动ε，则：εφφ==+n i n i 1

)

(2)(2)

(

2)(

211

1

1x

u x u x

u x u n i n i n i n i ∆∆-=∆∆-=∆∆=

∆∆=

+-++τετφφτ

ετ

φφi 处扰动同时向相反的两上方向传递

②对流项的迎风差格式具有迁移性

迎风差分：对流项中的一阶导数由该点及上游方向一个邻点的φ值确定。

,/)(/1∆-=∂∂+u x x i

i i φφφ

,/)(1>∆-=-u x i i φφ

以u>0的情形来分析，n 时刻，仅节点i 处有扰动ε。

)1(,11

1x

u x u x

u n i n i n i n i n i n i n i n i ∆∆-=∆∆-

=∆--=∆-+-+τ

φφτφφφφτφφ

0,)()(,11121111111111==∆--=∆-∆∆=∆∆=∆--=∆--+----+-++++++n

i n i n i n i n i n i n i

n i n

i

n i n i n i u x u x u x u φφτ

φφτφφτετφφφφτφφi 扰动仅向流动方向传递

对流项中心差分的截差为二阶 迎风差分 一 但就它们对流动过程的物理特性的模拟而言，迎风格式反而比中心差分更合理

∴求解实际物理问题时，只注意差分格式的截差等级是不够的。 *背风格式的截差与迎风格式相同，但它只能使扰动逆流而上而不是顺流而下，这就完全违背了物理规律。

3-5 两个指导原则和四项基本法则

不言而喻，对于数值解的总的要求应当是：

1、物理真实性，即分布规律和变化趋势与实际过程一致，以物

体冷却为例；热量分析，离散集总。

（1）数值解有偏差；（2）离散方程（或差分格式）非唯一（不同的型线选择），其所得的离散方程不相同）其数学特性和物理特性

不相同，相应的数值解也不相同，随着网格节点数目↑，不同的离

散方程将会给出相同的解，但节点数↑会导致内存↑，机时增加，是不希望的，希望在粗网格情形下，解也是真实的。

所以首先保证数值解的物理真实性，然后才是提高准确性。

t

0 τ

不真实的 近似而物理 真实的

准确的

不真实的