四川省绵阳市2015届高三一诊模拟考试数学(文)试题 Word版含答案
四川省绵阳南山实验高中2015届高三一诊模拟考试试题数学理Word含答案
数学阶段性测试题一、选择题(本大题共10小题，每小题5分。
1. 集合 M 2,0,1,2, N x 2x1 1 ,则 N M=()A. {-2,1,2 }B. {0,2}C. {-2 , 2}D. [-2 , 2]2. 已知 a=(2,1), b x,3 ,且 a//b ，则 x 的值为()A.2B.1C.3D.63. 在各项均为正数的等比数列 a n 中，3a 1,-a 3,2a 2成等差数列，则■a11—岂()2a 8 a10A. 1或3B.3C.1 或 27D.27 4.卜列 J 说法错误的是( ) A. 若p : xR,：x 2x 1 0，贝U p: x R, x 2 x 1 0;B.sin1 ” 2是“30： ”的充分不必要条件；C. 命题“若 a 0，则 ab 0”的否命题是：“若a 0，则ab 0D.若 p: x R,cosx 1，q ： x R,x 2 x 10，则“ p q ”为假命题.5. 为了得到函数y cos(2x )的图象，只需将函数y sin 2x 的图象()3A.向左平移—个单位B •向右平移—个单位12 12 C.向左平移5个单位D•向右平移5个单位666. 设x R ，若函数f(x)为单调递增函数，且对任意实数x ，都有f f (x) e x e 1 ( e 是自然对数的底数)，则f (ln 2)的值等于()A. 1 B . e 1 C.3 D . e 32x 3y 57.若实数x, y 满足约束条件2x y 5 0 ,则函数z | x y 1|的最小值是()x 0A.0B.4C.8 D.7328.已知函数f xsin x ,0x 1log2014x , x1若a,b,c 互不相等，且f a f b f c ,则a b c 的取值范围是(). A.(1,2014) B.(1,2015)C.[2,2015]D.(2,2015)二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分.） 11.幕函数y （m 2 3m 3）x m 过点 112.计算 log 3 6 log 3 2 42 3叫4点，且在A,B 两点处的切线互相平行，则$的取值范围为亠X 1三、解答题（解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤共 75分）16.（本小题满分12分）数m 的取值范围.17.（本小题满分12分） 设公差不为0的等差数列a n 的首项为1,且32,35,3!4构成等比数列.9.已知定义为R 的函数f x 满足f 4，且函数f x 在区间2,上单调递增.如果x 12 x 2，且x 1X 2 4，则f 捲f X 2的值（ A.恒小于0 B.恒大于 C.可能为0 D.可正可负10.设函数f x的导函数为fx ，对任意x R 都有fA. 3f(ln2) 2f (l n3)B. 3f (l n2) 2f(l n3)C. 3f (ln2)2f (l n3) D.3f （l n 2）与2f （l n3）的大小不确定2,4，贝U m =的结果为13已知菱形ABCD 的边长为2， 若 A E A F BC 3BE ， DC DF .14.已知x,y R , x 22y_ 215.已知ABAD 120，点 E,F 分别在边 BC, DC 上,1，则的值为j 则決口的最大值为 X 2』2咅 x 2是函数f x 3 x 图象上的两个不同已知函数f x 2cos x -sin x 3玉sx 「（I ）求f x 的值域和最小正周期；（U ）若对任意°,「使得mfx2 0恒成立，求实(I)求数列a n的通项公式；(U)若数列b n满足P直…％1 A，n a i a2 a n 218. (本小题满分12分)已知函数f(x) .3 sin( x )( 0,2 2)的图像关于直线x-对称，且图像上相邻两个最高点的距离为.(I)求和的值；(II)若电)4 ,( 6 3)，求COS( 2)的值.19. (本小题满分12分)已知二次函数f(x) Ax2 Bx(A 0), f(1) 3,其图象关于x 1对称，数列a n的前n项和为S n,点n,S n n N*均在y f (x)图象上.(I)求数列a n的通项公式，并求S n的最小值；1 11 3 1 (n)数列b n , b n - , b n的前n项和为T n ,求证：-一T n --.S n 3 4n 4 n 3 20. (本小题满分13分)N*，求b n的前n项和T n1 a 设函数f (x) x2ax ln x ( a R).(I)当a 1时，求函数f (x)的极值；(U)当a R时，讨论函数f(x)的单调性；(川)若对任意a (2,3)及任意x i , X2 1,2，恒有ma ln2 f(xjf(X2)成立, 求实数m的取值范围.21. (本小题满分14分)已知 f (x) In x mx(m R).(I)若曲线y f (x)过点P(1, 1)，求曲线在P点处的切线方程;(U)求f (x)在区间1,e上的最大值；(川)若函数f (x)有两个不同的零点X1,X2，求证X1X2 e2.绵阳南山中学.南山中学实验学校绵阳市“一诊”模拟考试试题理科数学参考答案一、 C DDBA CADAB 二、 填空题 11.2 12. -1 13 . 2 14. 3 2 15. (-1,0 )8三、 解答题 16.解：(1)f(x) = 2sin x +"3 cos x + -3 — 2 3cos2 x + -3n r — n2X +~3 < 1. /.— 2 — 3< 2sin 2x+p — 3< 2— 3, T = 今=冗，即卩f(x)的值域为[—2 — , 3, 2— ,3]，最小正周期为n .. n r n n 2n,, n\/3⑵当 x € 0,舌时，2x + -3 € -3, -3，故 sin 2x +§ € 电,1 ,此时 f(x) + 3= 2sin 2x +nn € [ 3,2].由 m[f(x) + 3] + 2= 0知，帀0, /• f(x)m 的取值范围是一^3^,— 117. 解：(I )设等差数列a n 的公差为d,(d 0),则还％a 52，即(1 4d )2 (1 d ))1 13d )解得 d=0 (舍去)或 d=2, a n 1+2(n-1)=2n-12n=sin 2X +~32ncos 2X +~3 + 1 = sin2 n 厂 2 n 2x +3 — 3cos 2x +~3=2sin 2x + 3 —"』3. I — 1w sin+ 3= — m 即 3< — m 2,即m+ 3< 0,2+ 2> 0, m解得-2.331.即实数a 2, a 5, a 14构成等比数列,.3分(II 由已知 b ,云b n a1-(n2n(当n=1时，牛1 ；2时,b n a n (1(1一)=丄12n'b n a n丄,(n N * )2n由（I ）, a n 2n-1 b n2n 1 2n 2n1 ~22n 1两式相减得 2 24 2n 2n 11 2n 12n 2n 2n 2n.1218.解 由题可知, 二 f(x) = . 3 2 n T = 一| 3|sin 2(x- )= .. 3 sin(2x--n ), ©二 12 6 周期 w = 2nn T n n n_为对称轴f (_-_)= f ( ) = 0,且-_ wg _33 412227t 12 -丄所以，3=2, 6n (^=-— 6(II )f (》=彳.3 sin( a - ” = —，即 sin( a -n ) = 14 6 4 3 n n n n -J 3 cos(a + —) = sin a = Sin[( a-—) + 6] = sin( a - —) 2-2 + j n 2 n . n n n 15 < a < .I 0< a - —< ,COS (a-—)=6 3 6 2 6 4 ■■- 3+15 审 所以,cos(a+——)= n 1 COS (a-—) ?— 6 2 3 / .3n_ - --COS(a + ---- )= 2 4 1?2』?丄= 2 3n .3+、15 2， 8 19.解：(1) f (1)3,2AA 1,B 2,, f (x )x 22x..1分点 n, S h n 均在y=f(x) 图象上, S nn 2 2n ① ..2分S n 1(n1)22；n 1) (n 2[②①-②得S nS n 12n 1,即 a n =2n+1 (.4 分,又 a 1 s 1 a n =2n+1 (n N )⑵b n1n ( n 2)丄).7分1 T n 尹1 1)(14) 4(丄 n宀］1 =2[(1 )]丄)即证- n (n丄), -,所以右边成立 2 10分,1又T n 随n 的增大而增大，T n T 1 - 3 14n ，左边成立..11 分所以，原不等式成立 . ................ 20.解：(I)函数的定义域为(0,)，当a .12分1时, f(x) x In x, f '(x) 1 1 —•令 f'(x) x x0,得x 1.,当 0 x 1 时，f '(x) 0 ;当x 1时, f'(x) f(x)在(0,1)单调递减，在(1,)单调递增, f (x)极小值 f(1) 无极大值； f'(x) (1 a)x a (1 a)x 2ax 1 [(1 a)x 1](x 1) x (1 a)(x1七(x 1)a 1 _____ x① a 1 时，(1 a )x 10,f (x )在(0,1)单减，(1,)单增;1②1 a 2时， ------------ a 1(川)由(U)知，当a (2,3)时，f(x)在［1,2］上单调递减，当x 1时，f (x)有a 3最大值，当 x 2 时，f (x)有最小值，|f(x ,) f (x 2)| f (1) f (2)ln2，2 2a 3 ma ln 2In 2 ，2 2而a 0经整理得m I—由2 a 3得11— 0, m 0.……13分 22a 4 2 2a21.解：(1)因为点P (1, -1 )在曲线上，所以f(1)=-1,得m=11-f /(x )— 1， f /(1)=0，故切线方程为y=-1.……3分 x1④当 m 1 即 m 1 时，x(1,e )，f/(x)f (x )在］1，e ］上的最大值f (x )max =I 1 mx/(x )- m=- 一①当 mO 时，x(1, e )x x1③当丄1即a 2时，f'(x) a 1(x 1)2 x0, f (x)在(0,)上是减函数；④当1 a 1 1 a 11, 即 a 2时，令 f'(x) x 10，得 0 x 丄 或x 1,令 f'(x)a 1 ................ 9分0,得x (1, e )，f /(x )>0, ②当1 e m ，即0 m1时 ef(X )max ：=f(e)=1-me ;③当111 1e 时，即—一 1时,me m单减，1f (X )max =f (―)= ln m m 1x (1, e )， f /(x ) >0, f (x )单增，1 1x (1, e )，f (x )在(1,—)单增，在(-,e )0，f (x)单减，f (X )max = f(1)=-mf (x )单增，f (x )max =f(e)=1-me ;8分f (x 2) 0, In X r mx 0 ,1 , f (x )在(0,1)单增，在(1,单减，,)单增;a 1 a 1要证 x 1x 2 e 2,即证In x 1InX22 ,即证m j x 1 X 2)2，......... 10分 In x 1 In m x 1 x 2 X 2In 2，即证 X 1 In x 2 2即证X 1X 2X 1 X 2In x 1In x 2心1 X 2)x即证In 」X2X 1X21)…12分X 1 x 21X2x令亠=t,则tx1，即证In tt 1 (t )In tt1t 1，t 1，1 则 /(t )1 4 9(t1)290， 函数 (t)在 (1,)单增0, In x r In x 2m j x 1x 2) , In x r In x 2 m (X i X 2), t (t 1)2t (t 1)(t ) (1)=0, 原不等式成立.14分r1 — me,—fiwn — 1, 1(-<m<I)伽 A 1).....(3)不妨设x 1X20，: f(xjIn x 2 m>。
2015绵阳一诊文科数学答案
绵阳市高2012级第一次诊断性考试数学(文史类)参考解答及评分标准一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．BBDDC BACCA二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．11．53-12．-1 13．-2 14．15 15．(0，2)三、解答题：本大题共6小题，共75分．16．解：(Ⅰ)=)(x f 2m·n -11cos 2cos sin 22-+⋅=x x x ωωω=)42sin(22cos 2sin πωωω+=+x x x ． ……………………………6分由题意知：π=T ，即πωπ=22，解得1=ω．…………………………………7分 (Ⅱ) 由(Ⅰ)知)42sin(2)(π+=x x f ，∵6π≤x ≤4π，得127π≤42π+x ≤43π， 又函数y =sin x 在[127π，43π]上是减函数，∴ )34sin(2127sin2)(max πππ+==x f ……………………………………10分 3sin 4cos 23cos4sin 2ππππ+==213+．…………………………………………………………12分 17．解：(Ⅰ) 由题知⎩⎨⎧≥->-，，0102t t 解得21<≤t ，即)21[，=D ．……………………3分 (Ⅱ) g (x )=x 2+2mx -m 2=222)(m m x -+，此二次函数对称轴为m x -=．……4分① 若m -≥2，即m ≤-2时， g (x )在)21[，上单调递减，不存在最小值； ②若21<-<m ，即12-<<-m 时， g (x )在)1[m -，上单调递减，]2(，m -上递增，此时22)()(2mi n ≠-=-=m m g x g ，此时m 值不存在；③m -≤1即m ≥-1时， g (x )在)21[，上单调递增， 此时221)1()(2mi n =-+==m m g x g ，解得m =1． …………………………11分 综上：1=m ． …………………………………………………………………12分18．解：(Ⅰ) 51cos 5=∠=ABC AB ，，4BC =， 又(0,)ABC π∠∈，所以562cos 1sin 2=∠-=∠ABC ABC ， ∴645624521sin 21=⨯⨯⨯=∠⋅⋅=∆ABC BC BA S ABC ． ………………6分 (Ⅱ) 以BC BA ，为邻边作如图所示的平行四边形ABCE ，如图，则51cos cos -=∠-=∠ABC BCE ，BE =2BD =7，CE =AB =5，在△BCE 中，由余弦定理：BCE CE CB CE CB BE ∠⋅⋅-+=cos 2222．即)51(5225492-⨯⨯⨯-+=CB CB ，解得：4=CB ． ………………………………………………………………10分 19．解：(Ⅰ) 由832539a a a S ⋅==，，得：⎪⎩⎪⎨⎧+⋅+=+=⨯+，，)7()2()4(9223311211d a d a d a d a 解得：121==d a ，．∴ 1+=n a n ，n n n n S n 2322)12(2+=++=． …………………………………5分 (Ⅱ) 由题知=n c )1(2++n n λ． ………………………………………………6分 若使}{n c 为单调递增数列，则=-+n n c c 1-+++)2()1(2n n λ)]1([2++n n λ=012>++λn 对一切n ∈N *恒成立，即： 12-->n λ对一切n ∈N *恒成立， ………………………………… 10分 又12)(--=n n ϕ是单调递减的, ∴ 当1=n 时，max )(n ϕ=-3，∴ 3->λ． …………………………………………………………………12分 20．(Ⅰ)证明： 由1)(--=ax e x f x ，得a e x f x -=')(．…………………………1分由)(x f '>0，即a e x ->0，解得x >ln a ，同理由)(x f '<0解得x <ln a ， ∴ )(x f 在(-∞，ln a )上是减函数，在(ln a ，+∞)上是增函数， 于是)(x f 在a x ln =取得最小值．又∵ 函数)(x f 恰有一个零点，则0)(ln )(min ==a f x f ， ………………… 4分BCD A E即01ln ln =--a a e a ．………………………………………………………… 5分 化简得：1ln 1ln 01ln -=-==--a a a a a a a a a 于是，即，，∴ 1-=a a e a ． ………………………………………………………………… 6分 (Ⅱ)解：由(Ⅰ)知，)(x f 在a x ln =取得最小值)(ln a f ，由题意得)(ln a f ≥0，即1ln --a a a ≥0，……………………………………8分 令1ln )(--=a a a a h ，则a a h ln )(-='， 由0)(>'a h 可得0<a <1，由0)(<'a h 可得a >1．∴ )(a h 在(0，1)上单调递增，在(1，+∞)上单调递减，即0)1()(max ==h a h ， ∴ 当0<a <1或a >1时，h (a )<0，∴ 要使得)(x f ≥0对任意x ∈R 恒成立，.1=a ∴a 的取值集合为{1}……………………………13分 21．解：(Ⅰ) 1==b a 时，x x x x f ln 21)(2+-=，xx x f 11)(+-='， ∴21)1(-=f ，1)1(='=f k ，…………………………………………………2分 故)(x f 点()1(1f ，)处的切线方程是2230x y --=．……………………3分 (Ⅱ)由()()∞+∈+-=，，0ln 22x x bx x a x f ，得x bx ax x f 1)(2+-='． (1)当0=a 时，xbxx f -='1)(．①若b ≤0，由0>x 知0)(>'x f 恒成立，即函数)(x f 的单调递增区间是)0(∞+，． ………………………………………………5分 ②若0>b ，当b x 10<<时，0)(>'x f ；当bx 1>时，0)(<'x f ． 即函数)(x f 的单调递增区间是(0，b 1)，单调递减区间是(b1，+∞)．……………………………………………7分 (2) 当0<a 时，0)(='x f ，得012=+-bx ax ，由042>-=∆a b 得aa b b x a a b b x 24242221--=-+=，．显然，0021><x x ，，当20x x <<时，0)(>'x f ，函数)(x f 的单调递增， 当2x x >时，0)(<'x f ，函数)(x f 的单调递减，所以函数)(x f 的单调递增区间是(0，a ab b 242--)，单调递减区间是(aa b b 242--，+∞)．………………………………………………………………9分综上所述：当a =0，b ≤0时，函数)(x f 的单调递增区间是)0(∞+，； 当a =0，b >0时，函数)(x f 的单调递增区间是(0，b 1)，单调递减区间是(b1，+∞)；当0<a 时，函数)(x f 的单调递增区间是(0，a ab b 242--)，单调递减区间是(aa b b 242--，+∞)． ……………………………………………………………10分(Ⅲ)由题意知函数)(x f 在2=x 处取得最大值．由(II)知，a ab b 242--是)(x f 的唯一的极大值点，故aa b b 242--=2，整理得a b 412--=-．于是ln()(2)ln()(14)ln()14a b a a a a ---=----=-++ 令()ln 14(0)g x x x x =+->，则1()4g x x'=-． 令0)(='x g ，得14x =，当1(0)4x ∈，时，0)(>'x g ，)(x g 单调递增；当1()4x ∈+∞，时，0)(<'x g ，)(x g 单调递减．因此对任意0x >，)(x g ≤11()ln 044g =<，又0a ->，故()0g a -<，即041)ln(<++-a a ，即ln()142a a b -<--=-， ∴ ln()2a b -<-．……………………………………………………………14分 2015高考英语签约提分，保证最低涨10-40分，不达目标全额退费，详情QQ2835745855,其它各科试题及答案登陆QQ757722345或关注微信公众号qisuen。
2015年绵阳一诊数学试卷(文科、理科+答案)
数学(文史类)参考解答及评分标准一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．CBCBD BACCC二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．11．[)∞+，10 12．3 13．a ≥2 14．7 15．②③三、解答题：本大题共6小题，共75分．16．解 ：（1）∵ m ⊥n ，∴ m ·n =(cos α，1-sin α)·(-cos α，sin α)=0，即-cos 2α+sin α-sin 2α=0． ……………………………………………………3分由sin 2α+cos 2α=1，解得sin α=1，∴ 22ππα+=k ，k ∈Z .…………………………………………………………6分（2） ∵ m -n =(2cos α，1-2sin α)，∴ |m -n |=22)sin 21()cos 2(αα-+αααsin 41)sin (cos 422-++=αsin 45-=， ………………………………………………………9分∴ 5-4sin α=3，即得21sin =α， ∴ 21sin 212cos 2=-=αα． ……………………………………………………12分 17．解：（1）由已知a n +1=2a n +1，可得a n +1+1=2(a n +1)．∴ 2111=+++n n a a （常数）．………………………………………………………3分 此时，数列}1{+n a 是以211=+a 为首项，2为公比的等比数列，∴ n n n a 22211=⋅=+-，于是a n =2n -1． ………………………………………6分（2）∵n n n b 2=.…………………………………………………………………7分 ∴ n n n S 2232221321++++= ， 两边同乘以21，得,2232221211432+++++=n n n S 两式相减得 12221212121+-+++=n n n n S 12211)211(21+---=n n n 12211+--=n n n ， ∴n n n n S 22121--=-．…………………………………………………………12分 18．解：（1）设第n 年的受捐贫困生的人数为a n ，捐资总额为b n ．则a n =80+(n -1)a ，b n =50+(n -1)×10=40+10n . ……………………………2分∴ 当a =10时，a n =10n +70，∴ 8.070101040>++=n n a b n n ， 解得：n >8． ……………………………………………………………………5分即从第9年起每年的受捐大学生人均获得的奖学金才能超过0.8万元． …6分（2）由题意：n n n n a b a b >++11(n >1)， 即 an n na n )1(80104080)1(1040-++>+++，………………………………………………8分 整理得 (5+n )[80+(n -1)a ]-(4+n )(80+na )>0，即400+5na -5a +80n +n 2a -na -320-4na -80n -n 2a >0，化简得80-5a >0，解得a <16，……………………………………………………………………11分∴ 要使人均奖学金年年有增加，资助的大学生每年净增人数不超过15人．……………………………………………12分19．解：（1）在Rt △ABC 中，AC =AB cos60º=3216=⨯，231==AB AD . ∵ AD CA CD +=，∴ CA AD CA CA AD CA CA CD ⋅+=⋅+=⋅2)( ><⋅⋅+=CA AD CA AD CA ，cos ||||||2=9+2×3×cos120º=6. …………………………………………………………………4分（2）在△ACD 中，∠ADC =180º-∠A -∠DCA=120º-θ， 由正弦定理可得ADC AC A CD ∠=sin sin ，即)120sin(233)120sin(233θθ-︒=-︒⨯=CD . ………………………………………5分 在△AEC 中，∠ACE =θ+30º，∠AEC =180º-60º-(θ+30º)=90º-θ， 由正弦定理可得：AEC AC A CE ∠=sin sin ，即θθcos 233)90sin(233=-︒⨯=CE ， ……6分 ∴ θθcos 233)120sin(2334130sin 21⋅-︒⋅=︒⋅⋅=∆CE CD S DCE θθc o s )120sin(11627⋅-︒⋅=，………………………7分令f (θ)=sin(120º-θ)cos θ，0º≤θ≤60º，∵ f (θ)=(sin120ºcos θ-cos120ºsin θ)cos θθθθcos sin 21cos 232+= θθ2sin 212122cos 123+++⨯= )2sin 212cos 23(2143θθ++= )602sin(2143︒++=θ，………………………………………………10分 由0º≤θ≤60º，知60º≤2θ+60º≤180º，∴ 0≤sin(2θ+60º)≤1，∴ 43≤f (θ)≤2143+，∴ )32(4-≤)(1θf ≤334， ∴ DCE S ∆≥)32(427-， 即DCE S ∆的最小值为)32(427-．……………………………………………12分 20．解：（1）c bx ax x f ++='23)(，由题意得3ax 2+bx +c ≥0的解集为{x |-2≤x ≤1}， ∴ a <0，且方程3ax 2+bx +c =0的两根为-2，1． 于是13-=-ab，23-=a c ， 得b =3a ，c =-6a ．………………………………………………………………2分 ∵ 3ax 2+bx +c <0的解集为{x |x <-2或x >1}，∴ f (x )在(-∞，-2)上是减函数，在[-2，1]上是增函数，在(1，+∞)上是减函数． ∴ 当x =-2时f (x )取极小值，即-8a +2b -2c -1=-11， 把b =3a ，c =-6a ，代入得-8a +6a +12a -1=-11，解得a =-1． ……………………………………………………………………5分 （2）由方程f (x )-ma +1=0，可整理得0112123=+--++ma cx bx ax ， 即ma ax ax ax =-+62323． ∴ x x x m 62323-+=．…………………………………………………………7分 令x x x x g 623)(23-+=，∴ )1)(2(3633)(2-+=-+='x x x x x g ． 列表如下：x(-∞，-2)-2 (-2，1) 1 (1，+∞))(x g '+ 0 - 0 + g (x )↗极大值↘极小值↗∴ g (x )在[-3，-2]是增函数，在[-2，0]上是减函数．……………………11分 又∵29)3(=-g ，g (-2)=10，g (0)=0， 由题意知直线y =m 与曲线x x x x g 623)(23-+=有两个交点， 于是29<m <10.…………………………………………………………………13分 21．解：（1）∵ a xx f -='1)(，x >0， ∴ 当a <0时，0)(>'x f ，即f (x )在(0，+∞)上是增函数．当a >0时， x ∈(0，a 1)时0)(>'x f ，f (x )在(0，a 1)上是增函数；x ∈(a 1，+∞) 时0)(<'x f ，f (x )在(a1，+∞)上是减函数．∴ 综上所述，当a <0时f (x )的单调递增区间为(0，+∞)；当a >0时，f (x )的单调递增区间为(0，a1)，f (x )的单调递减区间为(a1，+∞)．…………5分 （2）当a=1时，()ln 1f x x x =-+，∴ 1ln ln ln ln 12121211221212---=-+--=--=x x x x x x x x x x x x y y k ，∴ 1212ln ln 1x x x x k --=+.要证2111x k x <+<，即证212211ln ln 11x x x x x x -<<-， 因210x x ->，即证21221211ln x x x x x x x x --<<， 令21x t x =(1t >)，即证11ln 1t t t-<<-(1t >). 令()ln 1k t t t =-+(1t >)，由(1)知，()k t 在(1，+∞)上单调递减， ∴ ()()10k t k <=即ln 10t t -+<， ∴ ln 1t t <-．①令1()ln 1h t t t=+-(1t >)，则22111()t h t t t t-'=-=>0， ∴()h t 在(1，+∞)上单调递增，∴()(1)h t h >=0，即1ln 1t t>-(1t >)．② 综①②得11ln 1t t t -<<-(1t >)，即2111x k x <+<．……………………9分 （3）由已知)21(2)(xk ax x f ->-+即为)2()1(ln ->-x k x x ，x >1， 即02)1(ln >+--k kx x x ，x >1．令k kx x x x g 2)1(ln )(+--=，x >1，则k x x g -='ln )(． 当k ≤0时，0)(>'x g ，故)(x g 在(1，+∞)上是增函数， 由 g (1)=-1-k +2k =k -1>0，则k >1，矛盾，舍去．当k >0时，由k x -ln >0解得x >e k ，由k x -ln <0解得1<x <e k ， 故)(x g 在(1，e k )上是减函数，在(e k ，+∞)上是增函数， ∴ )(x g min =g (e k )=2k -e k ．即讨论)(x g min =2k -e k >0(k >0)恒成立，求k 的最小值． 令h (t )=2t -e t ，则t e x h -='2)(， 当t e -2>0，即t <ln2时，h (t )单调递增， 当t e -2<0，即t >ln2时，h (t )单调递减， ∴ t =ln2时，h (t )max =h (ln2)=2ln2-2. ∵ 1<ln2<2， ∴ 0<2ln2-2<2．又∵ h (1)=2-e <0，h (2)=4-e 2<0， ∴ 不存在整数k 使2k -e k >0成立．综上所述，不存在满足条件的整数k ．………………………………………14分绵阳市高2013级第一次诊断性考试数学(理工类)参考解答及评分标准一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．CDADD BACBC二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．11．(]100，12．3 13．a ≥2 14．2 15．①③三、解答题：本大题共6小题，共75分．16．解 ：（1）∵ m ⊥n ，∴ m ·n =(cos α，1-sin α)·(-cos α，sin α)=0，即-cos 2α+sin α-sin 2α=0． ……………………………………………………3分 由sin 2α+cos 2α=1，解得sin α=1， ∴ 22ππα+=k ，k ∈Z .…………………………………………………………6分（2） ∵ m -n =(2cos α，1-2sin α)， ∴ |m -n |=22)sin 21()cos 2(αα-+αααsin 41)sin (cos 422-++=αsin 45-=， ………………………………………………………9分∴ 5-4sin α=3，即得21sin =α， ∴ 21sin 212cos 2=-=αα．……………………………………………………12分 17．解：（1）由已知a n +1=2a n +λ，可得a n +1+λ=2(a n +λ)．∵ a 1=1，当a 1+λ=0，即λ=-1时，a n +λ=0，此时{a n +λ}不是等比等列． …………3分 当a 1+λ≠0，即λ≠-1时，21=+++λλn n a a （常数）．此时，数列}{λ+n a 是以λλ+=+11a 为首项，2为公比的等比数列，∴ 12)1(-⋅+=+n n a λλ，于是12)1(-⋅+=+n n a λλ． ………………………6分 （2）当λ=1时，a n =2n -1，∴ n n nb 2=. ……………………………………………………………………7分 ∴ n n nS 2232221321++++= ，两边同乘以21，得,2232221211432+++++=n n n S两式相减得 12221212121+-+++=n n n nS12211)211(21+---=n n n 12211+--=n n n， ∴nn n nS 22121--=-．…………………………………………………………12分 18．解：（1）设第n 年的受捐贫困生的人数为a n ，捐资总额为b n ．则a n =80+(n -1)a ，b n =50+(n -1)×10=40+10n . ……………………………2分 ∴ 当a =10时，a n =10n +70， ∴8.070101040>++=n na b n n ， 解得：n >8． ……………………………………………………………………5分 即从第9年起受捐大学生人均获得的奖学金才能超过0.8万元． …………6分 （2）由题意：nnn n a b a b >++11， 即an nna n )1(80104080)1(1040-++>+++，………………………………………………8分整理得 (5+n )[80+(n -1)a ]-(4+n )(80+na )>0， 即400+5na -5a +80n +n 2a -na -320-4na -80n -n 2a >0， 化简得80-5a >0，解得a <16，……………………………………………………………………11分 ∴ 要使人均奖学金年年有增加，资助的大学生每年净增人数不超过15人．……………………………………………12分19．解：（1）在Rt △ABC 中，AC =AB cos60º=3216=⨯，231==AB AD .∵ AD CA CD +=，∴ CA AD CA CA AD CA CA CD ⋅+=⋅+=⋅2)(><⋅⋅+=CA AD CA AD CA ，cos ||||||2=9+2×3×cos120º=6.…………………………………………………………………4分（2）在△ACD 中，∠ADC =180º-∠A -∠DCA=120º-θ，由正弦定理可得ADCAC A CD ∠=sin sin ，即)120sin(233)120sin(233θθ-︒=-︒⨯=CD . ………………………………………5分 在△AEC 中，∠ACE =θ+30º，∠AEC =180º-60º-(θ+30º)=90º-θ，由正弦定理可得：AECAC A CE ∠=sin sin ，即θθcos 233)90sin(233=-︒⨯=CE ， …6分 ∴θθcos 233)120sin(2334130sin 21⋅-︒⋅=︒⋅⋅=∆CE CD S DCEθθc o s)120sin(11627⋅-︒⋅=， …………………7分 令f (θ)=sin(120º-θ)cos θ，0º≤θ≤60º， ∵ f (θ)=(sin120ºcos θ-cos120ºsin θ)cos θθθθcos sin 21cos 232+= θθ2sin 212122cos 123+++⨯= )2sin 212cos 23(2143θθ++=)602sin(2143︒++=θ，………………………………………………10分 由0º≤θ≤60º，知60º≤2θ+60º≤180º， ∴ 0≤sin(2θ+60º)≤1， ∴43≤f (θ)≤2143+， ∴ )32(4-≤)(1θf ≤334， ∴)32(427-≤DCE S ∆≤12327．……………………………………………12分 20．解：（1）c bx ax x f ++='23)(，由题意得3ax 2+bx +c ≥0的解集为{x |-2≤x ≤1}， ∴ a <0，且方程3ax 2+bx +c =0的两根为-2，1． 于是13-=-ab，23-=a c ， 得b =3a ，c =-6a . ………………………………………………………………2分 ∵ 3ax 2+bx +c <0的解集为{x |x <-2或x >1}，∴ f (x )在(-∞，-2)上是减函数，在[-2，1]上是增函数，在(1，+∞)上是减函数． ∴ 当x =-2时f (x )取极小值，即-8a +2b -2c -1=-11，把b =3a ，c =-6a 代入得-8a +6a +12a -1=-11，解得a =-1.………………………………………………………………………5分 （2）由方程f (x )-ma +1=0，可整理得0112123=+--++ma cx bx ax ， 即ma ax ax ax =-+62323． ∴ x x x m 62323-+=．…………………………………………………………7分 令x x x x g 623)(23-+=，∴ )1)(2(333)(2-+=-+='x x b x x x g ． 列表如下：x(-∞，-2)-2 (-2，1) 1 (1，+∞))(x g '+ 0 - 0 + g (x )↗极大值↘极小值↗∴ g (x )在[-3，-2]是增函数，在[-2，0]上是减函数．……………………11分 又∵29)3(=-g ，g (-2)=10，g (0)=0， 由题意，知直线y =m 与曲线x x x x g 623)(23-+=仅有一个交点， 于是m =10或0<m <29. ………………………………………………………13分 21．解：（1）1111)(+=-+='x xx x f ， ∴当x ∈(-1，0)时，0)(>'x f ，即f (x )在(-1，0)上是增函数，当x ∈(0，+∞)时，0)(<'x f ，即f (x )在(0，+∞)上是减函数．∴ f (x )的单调递增区间为(-1，0)，单调递减函数区间为(0，+∞)．………3分（2）由f (x -1)+x >k )31(x -变形得)31()1(ln xk x x x ->+--，整理得x ln x +x -kx +3k >0，令g (x )=x ln x +x -kx +3k ，则.2ln )(k x x g -+=' ∵ x >1， ∴ ln x >0若k ≤2时，0)(>'x g 恒成立，即g (x )在(1，+∞)上递增， ∴ 由g (1)>0即1+2k >0解得21->k ， ∴ .221≤<-k 又∵ k ∈Z ， ∴ k 的最大值为2．若k >2时，由ln x +2-k >0解得x >2-k e ，由ln x +2-k <0，解得1<x <2-k e . 即g (x )在(1，2-k e )上单调递减，在(2-k e ，+∞)上单调递增． ∴ g (x )在(1，+∞)上有最小值g (2-k e )=3k -2-k e ， 于是转化为3k -2-k e >0(k >2)恒成立，求k 的最大值． 令h (x )=3x -2-x e ，于是23)(--='x e x h ．∵ 当x >2+ln3时，0)(<'x h ，h (x )单调递减，当x <2+ln3时0)(>'x h ，h (x )单调递增． ∴ h (x )在x =2+ln3处取得最大值． ∵ 1<ln3<2， ∴ 3<2+ln3<4， ∵ 013)1(>-=eh ，h (2+ln3)=3+3ln3>0，h (4)=12-e 2>0，h (5)=15-e 3<0， ∴ k ≤4．∴ k 的最大取值为4．∴ 综上所述，k 的最大值为4.…………………………………………………9分 （3）假设存在这样的x 0满足题意，则 由20)(210x a e x f -<等价于01120020<-++x e x x a （*）． 要找一个x 0>0，使(*)式成立，只需找到当x >0时，函数h (x )=1122-++x ex x a 的最小值h (x )min 满足h (x )min <0即可． ∵ )1()(xe a x x h -='， 令)(x h '=0，得e x =a1，则x =-ln a ，取x 0=-ln a ， 在0<x <x 0时，)(x h '<0，在x >x 0时，)(x h '>0，∴ h (x )min =h (x 0)=h (-ln a )=1ln )(ln 22-++a a a a a， 下面只需证明：在0<a <1时，1ln )(ln 22-++a a a a a<0成立即可．又令p (a )=1ln )(ln 22-++a a a a a，a ∈(0，1)， 则2)(ln 21)(a a p ='≥0，从而p (a )在a ∈(0，1)时为增函数． ∴ p (a )<p (1)=0，因此x 0=-ln a 符合条件，即存在正数x 0满足条件． …………………………………………………14分。
四川省绵阳南山实验高中2015届高三数学一诊模拟考试题_理
四川省绵阳南山实验高中2015届高三一诊模拟考试数学（文、理）试题第I 卷（共50分）一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
） 1.集合{}2,0,1,2M -=，{}211N x x =->,则N M ⋂=( )A.｛-2,1,2｝B.｛0,2｝C.｛-2，2｝D.［-2，2］2.已知a =(2,1), (),3b x =,且 b a//，则x 的值为（ ）A.2B.1C.3D.6 3.在各项均为正数的等比数列{}n a 中，13213,,22a a a 成等差数列，则1113810a aa a +=+（ ） A.1-或3B.3C.1或27D.274.下列说法错误的是 （ ）A ．若2:,10p x R x x ∃∈-+=，则 2:,10p x R x x ⌝∀∈-+≠；B ．“1sin 2θ=”是“30θ=”的充分不必要条件；C ．命题“若0a =，则0ab =”的否命题是：“若0a ≠，则0ab ≠”；D ．若1cos ,:=∈∃x R x p ，01,:2>+-∈∀x x R x q ，则“q p ⌝∧”为假命题.8.已知函数⎩⎨⎧>≤≤=1,log 10,sin )(2014x x x x x f π若,,a b c 互不相等,且()()()f a f b f c ==,则a b c ++的取值范围是( ).A.(1,2014)B.(1,2015)C.[2,2015]D.(2,2015)9.已知定义为R 的函数()f x 满足()()4f x f x -=-+，且函数()f x 在区间()2,+∞上单调递增.如果122x x <<，且124x x +<，则()()12f x f x +的值（ ）A. 恒小于0B.恒大于0C ．可能为0D ．可正可负10.设函数()f x 的导函数为()'fx ，对任意x R ∈都有()()'f x f x >成立，则（ ）A. 3(ln 2)2(ln3)f f> B. 3(ln 2)2(ln3)f f <C. 3(ln 2)2(ln3)f f =D. 3(ln 2)f 与2(ln 3)f 的大小不确定第Ⅱ卷二、填空题(本大题共5小题，每小题5分，共25分．)11.幂函数2(33)my m m x =-+错误！未找到引用源。
2015届高三一诊模拟数学(文)试题及答案
一 .选择题 (共 10 小题 ,每小题 5 分 ,满分 50 分 )
1.已知集合 A { x || x 1| 2} , B { x | log 2 x 2} ,则 A B (
A. ( 1,4)
B. ( 1,3)
C. (0,3)
a 3i
2.若复数
(a
1 2i
A. 6
,对其加工的零件进行检测 ,若两人
加工的合格零件个数之和大于 17 ,则称该车间“质量合格” ,求该车间“质量合格”的概率 .[来源:]
(注 :方差
s2=
1 [(
x1
x)2
( x2
x) 2
n
(xn x)2] ，其中 x 为数据 x1, x2 , , xn 的平均数 ).
19.(本小题满分 12 分 )
6
x02 ,
∴方程①为 x2 2 x0 x x02 0 ,即
0 ,∴直线 l 与椭圆 C 有唯一的公共点 .
(ⅱ )∵ F ( 2,0) ,∴过点 F 且与 l 垂直的直线方程为 3 y0 y x0x 6 0 .
∵联立方程组
x
3y0 y x0x 6 0
,∴
x0 x 3y0 y 6 0
y
6x0 18 y02 x0 2 9 y02
③ x2 f ( x1) x1 f ( x2 ) ；
④当 ln x1 1时 , x1 f ( x1) x2 f ( x2 ) 2x2 f (x1) .
其中所有正确命题的序号为
.
三 .解答题 (本大题共 6 小题 ,共 75 分 .解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 )
16.(本小题满分 12 分 )
l ,垂足为 A , | PF | 4,则直线 AF 的倾斜角等于 ( )
【名师解析】四川省绵阳南山实验高中2015届高三一诊模拟考试数学(文)试题(解析版)
四川省绵阳南山实验高中2015届高三一诊模拟考试数学（文）试题（解析版） 【试卷综析】试卷注重对基础知识和基本方法全面考查的同时,又突出了对数学思想、数学核心能力的综合考查, 试卷以考查考生对“双基”的掌握情况为原则,重视基础,紧扣教材,回归课本,整套试卷中有不少题目可以在教材上找到原型.对中学数学教学和复习回归课本,重视对基础知识的掌握起到好的导向作用.第Ⅰ卷（选择题，共50分）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的.【题文】1.已知全集R U =,集合{}{})2sin(,)13ln(+==-==x y y B x y x A ，则A ．⎪⎭⎫ ⎝⎛∞+，31B ．⎥⎦⎤ ⎝⎛310，C ．⎥⎦⎤⎢⎣⎡-311， D ．φ【知识点】交、并、补集的混合运算．A1【答案解析】C 解析：由A 中y=ln （3x ﹣1），得到3x ﹣1＞0，即x ＞， ∴A=（，+∞），∵全集U=R ，∴∁U A=（﹣∞，]， 由B 中y=sin （x+2），得到﹣1≤y ≤1，∴B=[﹣1，1]， 则（∁U A ）∩B=[﹣1，]．故选：C ．【思路点拨】求出A 中x 的范围确定出A ，求出B 中y 的范围确定出B ，根据全集U=R 求出A 的补集，找出A 补集与B 的交集即可．【题文】2.若角α的终边在直线x y 2-=上，且0sin >α，则αcos 和αtan 的值分别为 A ．2,55- B ．21,55-- C ．2,552-- D ．2,55-- 【知识点】同角三角函数间的基本关系．C2【答案解析】D 解析：∵角α的终边在直线y=﹣2x 上，且sin α＞0， ∴α为第二象限角，则tan α=﹣2，cos α=﹣=﹣．故选：D ．【思路点拨】由角α的终边在直线y=﹣2x 上，且sinα＞0，得到α为第二象限角，利用同角三角函数间的基本关系求出cosα和tana 的值即可．【题文】3.设b a ，为平面向量，则”“b a b a ⋅=⋅是”“b a //的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件 【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断；向量的模；平行向量与共线向量．A2F2【答案解析】C 解析：∵•=，若a，b为零向量，显然成立；若⇒cosθ=±1则与的夹角为零角或平角，即，故充分性成立．而，则与的夹角为为零角或平角，有．因此是的充分必要条件．故选C．【思路点拨】利用向量的数量积公式得到•=，根据此公式再看与之间能否互相推出，利用充要条件的有关定义得到结论．【题文】4.已知等差数列{}n a，且410712a a a+=-，则数列{}n a的前13项之和为A．24 B．39 C．52D．104【知识点】等差数列的性质；等差数列的前n项和．D2 D4【答案解析】C 解析：在等差数列{a n}中，由a4+a10=12﹣a7，得3a7=12，a7=4．∴S13=13a7=13×4=52．故选：C．【思路点拨】直接利用等差数列的性质结合已知求得a7=3，然后由S13=13a7得答案．【题文】5．已知O是坐标原点，点()11，-A，若点()yxM,为平面区域⎪⎩⎪⎨⎧≤≤≥+212yxyx上的一个动点，则⋅的取值范围是A．[]01，- B．[]20， C．[]10， D．[]21，-【知识点】简单线性规划的应用；平面向量数量积的运算．E5 F3【答案解析】B 解析：满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≤≤≥+212yxyx的平面区域如下图所示：将平面区域的三个顶点坐标分别代入平面向量数量积公式 当x=1，y=1时，•=﹣1×1+1×1=0 当x=1，y=2时，•=﹣1×1+1×2=1 当x=0，y=2时，•=﹣1×0+1×2=2故OM OA ⋅和取值范围为[0，2] 故选B .【思路点拨】先画出满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≤≤≥+212y x y x 的平面区域，求出平面区域的角点后，逐一代入⋅分析比较后，即可得到•的取值范围．【题文】6.在ABC ∆中，M 是BC 的中点，1=AM ,点P 在AM 上且满足2=,则()=+⋅A ．94 B ．34 C ．34- D ．94- 【知识点】平面向量数量积的运算．F3 【答案解析】A 解析：如图因为M 是BC 的中点，根据向量加法的几何意义，=2，又，所以==．故选：A ．【思路点拨】根据向量加法的几何意义，得出=2，从而所以=．【题文】7.已知函数()πϕωϕω<>>+=,0,0)sin()(A x A x f 的图象与直线()A b b y <<=0的三个相邻交点的横坐标分别是842、、，则)(x f 的单调递增区间为 A.[]()Z k k k ∈+34,4 B.[]()Z k k k ∈+36,6 C.[]()Z k k k ∈+54,4D.[]()Z k k k ∈+56,6【知识点】正弦函数的单调性．C3【答案解析】B 解析：与直线y=b （0＜b ＜A ）的三个相邻交点的横坐标分别是2，4，8知函数的周期为T==2（﹣），得ω=，再由五点法作图可得 •+φ=，求得φ=﹣，∴函数f （x ）=Asin （x ﹣）． 令2k π﹣≤x ﹣≤2k π+，k ∈z ，求得x ∈[6k ，6k+3]（k ∈Z ），故选：B ．【思路点拨】由题意可得，第一个交点与第三个交点的差是一个周期；第一个交点与第二个交点的中点的横坐标对应的函数值是最大值．从这两个方面考虑可求得参数ω、φ的值，进而利用三角函数的单调性求区间．【题文】8.已知函数()y f x =是定义在实数集R 上的奇函数，且当(,0)x ∈-∞时()()xf x f x '<-成立（其中()()f x f x '是的导函数），若a =，(1)b f =，2211(log )(log )44c f =则,,a b c 的大小关系是A ．c a b >>B ．c b a >>C ．a b c >>D ．a c b >>【知识点】函数的单调性与导数的关系；函数奇偶性的性质．B11B4 【答案解析】A 解析：∵函数y=f （x ）是定义在实数集R 上的奇函数，∴当x ∈（﹣∞，0）时，xf ′（x ）＜f （﹣x ）等价为xf ′（x ）+f （x ）＜0， 构造函数g （x ）=xf （x ）， 则g ′（x ）=xf ′（x ）+f （x ）＜0， ∴当x ∈（﹣∞，0）时，函数g （x ）单调递减， 且函数g （x ）是偶函数， ∴当x ∈（0，+∞）时，函数g （x ）单调递增， 则a=f （）=g （），b=f （1）=个（1），c=（log 2）f （log 2）=g （log 2）=g （﹣2）=g （2），∵1＜2， ∴g （1）＜g （）＜g （2）， 即b ＜a ＜c ， 故选：A ．【思路点拨】根据条件构造函数，利用函数的奇偶性和单调性之间的关系，即可得到结论． 【题文】9.设定义在R 上的偶函数)(x f 满足)1()1(+=-x f x f ，且当[]1,0∈x 时，3)(x x f =，若方程)0(02cos)(<=--a a x x f π无解，则实数a 的取值范围是A ．()2,-∞-B ．(]2,-∞-C ．(]1,-∞-D ．()1,-∞-【知识点】抽象函数及其应用．B10 【答案解析】D 解析：由f （x ）﹣cos x ﹣a=0得f （x ）﹣cos x=a ，设g （x ）=f （x ）﹣cosx ，∵定义在R 上的偶函数f （x ）， ∴g （x ）也是偶函数， 当x ∈[0，1]时，f （x ）=x 3， ∴g （x ）=x 3﹣cosx ，则此时函数g （x ）单调递增，则g （0）≤g （x ）≤g （1），即﹣1≤g （x ）≤1， ∵偶函数f （x ）满足f （1﹣x ）=f （x+1）， ∴f （1﹣x ）=f （x+1）=f （x ﹣1）， 即f （x ）满足f （x+2）=f （x ）， 即函数的周期是2，则函数g （x ）在R 上的值域为[﹣1，1]，若方程f（x）﹣cos x﹣a=0（a＜0）无解，即g（x）=f（x）﹣cos x=a无解，则a＜﹣1，故选：D【思路点拨】根据函数的奇偶性和单调性之间的关系，推出函数的周期性，求出函数的最值即可得到结论．【题文】10. 已知正方形ABCD的边长为1，P、Q分别为边AB,DA上的点，若45PCQ︒∠=，则APQ∆面积的最大值是A．2 B．3- C．18D．14【知识点】三角形的面积公式．C8【答案解析】B 解析：如图所示，C（1，1）．设P（a，0），Q（0，b），0＜a，b＜1．则k PC=，k PQ=1﹣b．∵∠PCQ=45°，∴tan45°===1，化为2+ab=2a+2b，∴2+ab，化为，解得（舍去），或，当且仅当a=b=2﹣时取等号．∴．∴△APQ面积=ab≤3﹣2，其最大值是3．故选：B ．【思路点拨】C （1，1）．设P （a ，0），Q （0，b ），0＜a ，b ＜1．可得k PC =，k PQ =1﹣b ．利用到角公式、一元二次不等式的解法、三角形的面积计算公式即可得出． 第 Ⅱ 卷（非选择题，共100分）二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.【题文】11.化简求值：431lglg 254+-=________． 【知识点】有理数指数幂的化简求值；有理数指数幂的运算性质．B8【答案解析】0 解析：原式=：（）+lg =+lg =2﹣2=0．故答案为：0【思路点拨】根据指数幂的运算法则进行化简即可.【题文】12.已知函数f (x )的图象是两条线段(如图，不含端点)，则f (f (13))＝_______.【知识点】函数奇偶性的性质；函数的值．B4【答案解析】13解析：由图象可得函数f （x ）=．∴=，=．∴f （f （））==．故答案为：．【思路点拨】由图象可得函数f （x ）=．即可得出．【题文】13.已知πααα≤≤=-0,51cos sin ，则=⎪⎭⎫⎝⎛+απ22sin ________． 【知识点】二倍角的余弦；运用诱导公式化简求值．C6 C2 【答案解析】725- 解析：∵sin α﹣cos α=，①0≤x ≤π ∴1﹣2sin αcos α=，∴2sin αcos α=，∴α∈（0，）∴1+2sin αcos α=，∴sin α+cos α=，② 由①②得sin α=，cos α=， ∴sin （+2α）=cos2α=2cos 2α﹣1==﹣，故答案为：﹣．【思路点拨】把所给的条件两边平方，写出正弦和余弦的积，判断出角在第一象限，求出两角和的结果，解方程组求出正弦和余弦值，进而用二倍角公式得到结果．【题文】14.已知实数0,0>>b a ，且1=ab ，那么ba b a ++22的最小值为________．【知识点】基本不等式．E5【答案解析】﹣1 解析：由于ab=1，则又由a ＜0，b ＜0，则，故，当且仅当﹣a=﹣b 即a=b=﹣1时，取“=”故答案为﹣1． 【思路点拨】将整理得到，利用基本不等式即可求得的最大值．【题文】15.设R x ∈,用[]x 表示不超过x 的最大整数，称函数[]x x f =)(为高斯函数，也叫取整函数.现有下列四个命题： ①高斯函数为定义域为R 的奇函数；②[][]”“y x ≥是”“y x ≥的必要不充分条件；③设xx g ⎪⎭⎫⎝⎛=21)(，则函数[])()(x g x f =的值域为{}1,0；④方程⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+2141x x 的解集是{}51<≤x x . 其中真命题的序号是________．（写出所有真命题的序号） 【知识点】命题的真假判断与应用．A2【答案解析】②③④ 解析：对于①，f （﹣1.1）=[﹣1.1]=﹣2，f （1.1）=[1.1]=1，显然f （﹣1.1）≠﹣f （1.1），故定义域为R 的高斯函数不是奇函数，①错误； 对于②，“[x ]”≥“[y ]”不能⇒“x ≥y ”，如[4.1]≥[4.5]，但4.1＜4.5，即充分性不成立；反之，“x ≥y ”⇒“[x ]”≥“[y ]”，即必要性成立，所以“[x ]”≥“[y ]”是“x ≥y ”的必要不充分条件，故②正确；对于③，设g （x ）=（）|x|，作出其图象如下：由图可知，函数f （x ）=[g （x ）]的值域为{0，1}，故③正确； 对于④，[]=[]=[]=[]﹣1， 即[]+1=[]，显然，＞，即x ＞﹣1；（1）当0≤＜1，即﹣1≤x ＜3时，[]=0，[]+1=1；要使[]+1=[]，必须1≤＜2，即1≤x ＜3，与﹣1≤x ＜3联立得：1≤x ＜3；（2）当1≤＜2，即3≤x ＜7时，[]=1，[]+1=2；要使[]+1=[]，必须2≤＜3，即3≤x ＜5，与3≤x ＜7联立得：3≤x ＜5；（3）当2≤＜3，即7≤x ＜11时，[]=2，[]+1=3；要使[]+1=[]，必须3≤＜4，即5≤x ＜7，与7≤x ＜11联立得：x ∈∅；综上所述，方程[]=[]的解集是{x|1≤x ＜5}，故④正确．故答案为：②③④．【思路点拨】①，举例说明，高斯函数f （x ）=[x ]中，f （﹣1.1）≠﹣f （1.1），可判断①错误； ②，利用充分必要条件的概念，举例如[4.1]≥[4.5]，但4.1＜4.5，说明“[x ]”≥“[y ]”是“x ≥y ”的必要不充分条件；③，作出g （x ）=（）|x|的图象，利用高斯函数f （x ）=[x ]可判断函数f （x ）=[g （x ）]的值域为{0，1}； ④，方程[]=[]⇔[]+1=[]，通过对0≤＜1，1≤＜2，2≤＜3三种情况的讨论与相应的的取值范围的讨论可得原方程的解集是{x|1≤x ＜5}，从而可判断④正确．三、解答题:本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
四川省绵阳南山中学2015届高考模拟数学文试题 Word版含答案
四川高2015届文科绵阳南山中学高考模拟试题数学（文史类）本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分，满分150分。
考试时间120分钟。
注意事项：1．答题前，考生务必将自己的姓名、考号用0.5毫米的黑色签字笔填写在答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡的指定位置。
2．选择题使用2B 铅笔填涂在答题卡对应题目标号的位置上，非选择题用0.5毫米的黑色签字笔书写在答题卡的对应框内，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷 上答题无效。
3．考试结束后，将答题卡收回。
第Ⅰ卷（选择题 共50分）一．选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的.请将答案填在答题卷相应表格内. 1．已知i 为虚数单位，R a ∈，若ia i+-2为纯虚数，则复数i a z 2)12(++=的模等于 A ．2 B ．3 C ．6 D ．112．已知集合{}0122≥--=x x x A ，集合⎭⎬⎫⎩⎨⎧--==2)1()13ln(2x y x B x ，则=B A A ．)1,0( B ．]1,0( C ．),1(+∞ D ．),1[+∞ 3．直线l ：y ＝kx ＋1与圆O ：x 2＋y 2＝1相交于A ，B 两点，则“k ＝1”是“AB =的（ ）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件 4．已知向量a ＝(1，3)，b ＝(3，m)．若向量b 在a 方向上的投影为3，则实数m ＝（ ） A ．2 3 B ． 3 C ．0D ．－ 35．当m ＝6，n ＝3时，执行如图所示的程序框图， 输出的S 值为（ ） A ．6 B ．30 C ．120 D ．3606．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为 A ．316 B ．332C ．16D ．32 7．如果若干个函数的图象经过平移后能够重合，则称这些函数为“同簇函数”．给出下列函第11题图数：①x x x f cos sin )(=，②22sin 2)(+=x x f ，③)4sin(2)(π+=x x f ，④x x x f cos 3sin )(-=，其中属于“同簇函数”的是 A ．①② B ．①④ C ．②③ D ．③④8．已知双曲线22221x y a b-=，过其左焦点F 作圆222x y a +=的两条切线，切点记作C ，D ,原点为O ,23COD π∠=，其双曲线的离心率为（ ） A ．32B ．2 CD9．已知定义在R 上的函数)(x f 满足(1)1f =，且对于任意的x ，21)(<'x f 恒成立，则 不等式22lg 1(lg )22x f x <+的解集为A ．1(0,)10 B ．1(0,)(10,)10+∞ C ．1(,10)10D ．(10,)+∞．10．如图所示几何体中，AB ∥CD ∥EG ， 90=∠ABC ，AB EG CD 21==，平面⊥BCEF 平面ABCD ，点M为侧面BCEF 内的一个动点，若点M 到直线EG 的距离 与到平面ABCD 的距离相等，则点M 在侧面BCEF 内的轨迹是A ．一条线段B ．圆的一部分C ．抛物线的一部分D ．椭圆的一部分二．填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.请将答案填在答题卷相应横线上. 11．如图，在△ABC 中，已知∠B ＝45°，D 是BC 边上的一点，AD ＝5，AC ＝7，DC ＝3，则AB= .12．已知点),(y x P 是满足⎪⎩⎪⎨⎧≤->-≥+42244x y x y x 的区域内的动点，则12++x y 的取值范围是 .13．已知x 是7,6,5,,3,2,1x 这七个数据的中位数，且y x -,,2,12这四个数据的平均数为1，则xy 1-的最小值为 ． 14．已知偶函数)(x f 满足()(2)0f x f x -+=，且当]1,0[∈x 时，xe x xf ⋅=)(，若在区间]3,1[-内，函数k kx x f x g 2)()(--=有且仅有3个零点，则实数k 的取值范15．对于具有相同定义域D 的函数()f x 和()g x ，若存在x D ∈，使得()()1f x g x -<，则称()f x 和()g x 在D 上是“密切函数”。
四川省绵阳市高三数学第一次诊断性考试试题 文 (清晰扫描版)新人教A版
四川省绵阳市2013届高三数学第一次诊断性考试试题文（清晰扫描版）新人教A版绵阳市高2013级第一次诊断性考试 数学(文)参考解答及评分标准一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．CCBAD BAADD AB二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分．13．-4 14．2 15．k >-3 16．①③三、解答题：本大题共6小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．解：（Ⅰ）f (x )=a ·b =(cos2x ，1)·(1x )x+ cos2x=2sin(2x+6π)，………………………………………6分 ∴ 最小正周期22T ππ==． 令2x+6π=2k ππ+，k ∈Z ，解得x=26k ππ+，k ∈Z ，即f (x )的对称轴方程为x=26k ππ+，k ∈Z ．…………………………………8分（Ⅱ）当x ∈[0，2π]时，即0≤x ≤2π，可得6π≤2x+6π≤76π，∴ 当2x+6π=2π，即x=6π时，f (x )取得最大值f (6π)=2；当2x+6π=76π，即x=2π时，f (x )取得最小值f (2π)=-1．即f (x ) 的值域为[-1，2]．……………………………………………………12分18．解：（Ⅰ）设公比为q ，由已知a 6=2，a 3=41，得5211124a q a q ==，，两式相除得q 3=8，解得q =2，a 1=116， ∴ a n =1512216n n --⨯=．…………………………………………………………6分 （Ⅱ）b n =3log2a n =523log 2n -=3n -15，∴ ()()12123153272222n n n b b n n T n n +-+-===-239243228n ⎛⎫=--⎪⎝⎭， 当n =4或5时，T n 取得最小值，最小值为-30．……………………………12分 19．解：（Ⅰ）∵ a sin A =(a -b )sin B +c sin C ，结合0C π<<，得3C =． …………………………………………………6分（Ⅱ）∵ △ABC 的面积为3，即1sin 2ab C =，化简得ab =4，①又c =2，由（Ⅰ）知，224a b ab +-=，∴ 2()3416a b ab +=+=，得a +b =4，②由①②得a=b=2． ……………………………………………………………12分 20．解：（Ⅰ）由已知y = f (x )是二次函数，且f (x )<0的解集是(0，5)，可得f (x )=0的两根为0，5， 于是设二次函数f (x )=ax (x -5)，代入点(1，-4)，得-4=a ×1×(1-5)，解得a =1，∴ f (x )=x (x -5)． ………………………………………………………………4分（Ⅱ）h (x )=2f (x )+g (x )=2x (x -5)+x 3-(4k -10)x +5=x 3+2x 2-4kx +5， 于是2()344h x x x k '=+-，∵ h (x )在[-4，-2]上单调递增，在[-2，0]上单调递减， ∴ x =-2是h (x )的极大值点，∴ 2(2)3(2)4(2)40h k '-=⨯-+⨯--=，解得k=1． …………………………6分 ∴ h (x )=x 3+2x 2-4x +5，进而得2()344h x x x '=+-．令22()3443(2)()03h x x x x x '=+-=+-=，得12223x x =-=，．由下表：可知：h (-2)=(-2)3+2×(-2)2-4×(-2)+5=13，h (1)=13+2×12-4×1+5=4，h (-3)=(-3)3+2×(-3)2-4×(-3)+5=8，h (23)=(23)3+2×(23)2-4×23+5=9527，∴ h (x )的最大值为13，最小值为9527．……………………………………12分 21．解：（Ⅰ）由题设知(t -1)S 1=2ta 1-t -1，解得a 1=1，由(t -1)S n =2ta n -t -1，得(t -1)S n+1=2ta n+1-t -1， 两式相减得(t -1)a n +1=2ta n +1-2ta n ，∴ 121n n a t a t +=+（常数）．∴ 数列{a n }是以1为首项，21tt +为公比的等比数列．………………………4分 （Ⅱ）∵ q = f (t )=21tt +，b 1=a 1=1，b n +1=21f (b n )= 1n n b b +，∴11111n n n nb b b b ++==+， ∴ 数列1n b ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是以1为首项，1为公差的等差数列， ∴1nn b =．………………………………………………………………………8分 （III ）当t =13时，由（I ）知a n =11()2n -，.于是数列{c n }为：1，-1，12，2，2，21()2，-3，-3，-3，31()2，… 设数列{a n }的第k 项是数列{c n }的第m k 项，即a k =k m c ，当k ≥2时，m k =k +[1+2+3+…+(k -1)]=(1)2k k +， ∴ m 9=910452⨯=． 设S n 表示数列{c n }的前n 项和，则S 45=[1+12+21()2+…+81()2]+[-1+(-1)2×2×2+(-1)3×3×3+…+(-1)8×8×8]．显然 1+12+21()2+…+81()2=9811()1221212-=--， ∵ -1+(-1)2×2×2+(-1)3×3×3+…+(-1)8×8×8=-1+22-32+42-52+62-72+82=(2+1)(2-1)+(4+3)(4-3)+(6+5)(6-5)+(8+7)(8-7) =3+7+11+15 =36．∴ S 45=8122-+36=38-812．∴ S 50=S 45+(c 46+c 47+c 48+c 49+c 50)=38-812+5×(-1)9×9=17256-．即数列{c n }的前50项之和为17256-．………………………………………12分22．解：（Ⅰ）由已知：1()f x a x'=-，∴由题知11(2)22f a '=-=-，解得a =1．于是11()1xf x x x-'=-=，当x ∈(0，1)时，()0f x '>，f (x )为增函数，当x ∈(1，+∞)时，()0f x '<，f (x )为减函数，即f (x )的单调递增区间为(0，1)，单调递减区间为(1，+∞)． ……5分 （Ⅱ）∀x ∈(0，+∞)，f (x )≤g (x )，即ln x -(k +1)x ≤0恒成立，设()ln (1)h x x k x =-+，有11(1)()(1)k xh x k x x-+'=-+=．①当k +1≤0，即k ≤-1时，()0h x '>， 此时(1)ln1(1)h k =-+≥0与()h x ≤0矛盾． ②当k +1>0，即k >-1时，令()h x '=0，解得11x k =+， 101x k ⎛⎫∈ ⎪+⎝⎭，，()h x '>0，h (x )为增函数，11x k ⎛⎫∈+∞ ⎪+⎝⎭，，()h x '<0，h (x )为减函数， ∴ max 11()()ln 111h x h k k ==-++≤0，即()ln 1k +≥-1，解得k ≥11e-．综合k >-1，知k ≥11e-．∴ 综上所述，k 的取值范围为11e ⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭，．………………………………10分 （Ⅲ）由（Ⅰ）知f (x )在(0，1)上是增函数，在(1，+∞)上是减函数， ∴ f (x )≤f (1)=0， ∴ ln x ≤x -1．当n =1时，b 1=ln(1+1)=ln2， 当n ≥2时，有ln(n +1)<n ，∵ ()3ln 1n n b n +=321111(1)1n n n n n n n<=<=---， ∴ 1211111112123131n b b b b n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++<+-+-++-⎪ ⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭⎝⎭L L 1ln 2(1)n=+-<1+ln2．……………………………………………………14分。
四川省绵阳市2015届高三“一诊”模拟考试数学文试题
绝密★启用前绵阳南山中学∙绵阳南山中学实验学校四川省绵阳市2015届高三“一诊”模拟考试数学文试题本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共4页，满分150分，考试时间120分钟。
注意事项：1．答题前，考生务必先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．选择题答案使用2B 铅笔填涂,如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案的标号；非选择题答案使用0.5毫米的黑色中性（签字）笔或碳素笔书写，字体工整、笔迹清楚。
3．请按照题号在各题的答题区域(黑色线框)内作答,超出答题区域书写的答案无效。
4．保持卡面清洁，不折叠，不破损。
第Ⅰ卷（选择题，共50分）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的.1.已知全集R U =,集合{}{})2sin(,)13ln(+==-==x y y B x y x A ，则()=B A C UA ．⎪⎭⎫⎝⎛∞+，31B ．⎥⎦⎤ ⎝⎛310，C ．⎥⎦⎤⎢⎣⎡-311， D ．φ2.若角α的终边在直线x y 2-=上，且0sin >α，则αcos 和αtan 的值分别为A ．2,55- B ．21,55-- C ．2,552-- D ．2,55-- 3.设b a ，为平面向量，则”“b a b a ⋅=⋅是”“b a //的 A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件 4.已知等差数列{}n a ，且410712a a a +=-，则数列{}n a 的前13项之和为 A ．24 B ．39 C ．52D ．1045．已知O 是坐标原点，点()11，-A ，若点()y x M ,为平面区域⎪⎩⎪⎨⎧≤≤≥+212y x y x 上的一个动点，则OM OA ⋅的取值范围是A ．[]01，-B ．[]20，C ．[]10，D ．[]21，-6.在ABC ∆中，M 是BC 的中点，1=AM ,点P 在AM 上且满足2=,则()=+⋅PC PB APA ．94 B ．34 C ．34- D ．94- 7.已知函数()πϕωϕω<>>+=,0,0)sin()(A x A x f 的图象与直线()A b b y <<=0的三个相邻交点的横坐标分别是842、、，则)(x f 的单调递增区间为 A.[]()Z k k k ∈+34,4 B.[]()Z k k k ∈+36,6 C.[]()Z k k k ∈+54,4D.[]()Z k k k ∈+56,68.已知函数()y f x =是定义在实数集R 上的奇函数，且当(,0)x ∈-∞时()()xf x f x '<-成立（其中()()f x f x '是的导函数），若a ，(1)b f =，2211(log )(log )44c f =则,,a b c 的大小关系是 A ．c a b >> B ．c b a >>C ．a b c >>D ．a c b >>9.设定义在R 上的偶函数)(x f 满足)1()1(+=-x f x f ，且当[]1,0∈x 时，3)(x x f =，若方程)0(02cos)(<=--a a x x f π无解，则实数a 的取值范围是A ．()2,-∞-B ．(]2,-∞-C ．(]1,-∞-D ．()1,-∞-10. 已知正方形ABCD 的边长为1，P 、Q 分别为边AB ,DA 上的点，若45PCQ ︒∠=，则APQ ∆面积的最大值是A ．2B ．3-C ．18 D ．14第 Ⅱ 卷（非选择题，共100分）二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.11.化简求值：431lglg 254+-=________． 12.已知函数f (x )的图象是两条线段(如图，不含端点)，则f (f (13))＝_______.13.已知πααα≤≤=-0,51cos sin ，则=⎪⎭⎫⎝⎛+απ22sin ________．14.已知实数0,0>>b a ，且1=ab ，那么ba b a ++22的最小值为________．15.设R x ∈,用[]x 表示不超过x 的最大整数，称函数[]x x f =)(为高斯函数，也叫取整函数.现有下列四个命题： ①高斯函数为定义域为R 的奇函数； ②[][]”“y x ≥是”“y x ≥的必要不充分条件； ③设xx g ⎪⎭⎫⎝⎛=21)(，则函数[])()(x g x f =的值域为{}1,0；④方程⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+2141x x 的解集是{}51<≤x x . 其中真命题的序号是________．（写出所有真命题的序号）三、解答题:本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
四川省绵阳市高三第一次诊断性考试数学(文)试题
绵阳市高中2015级第一次诊断性考试数学（文史类） 第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．设集合()(){}410A x x x =∈-+<Z ，{}2,3,4B =，则A B =I （ ） A ．()2,4 B ．{}2,4 C ．{}3 D ．{}2,3 2．若x y >，且2x y +=，则下列不等式成立的是（ ） A ．22x y < B ．11x y< C ．1x > D ．0y < 3．．已知向量()1,2a x =-r ，(),1b x =r，若a b ∥r r ，则x 的值是（ ）A ．1-B ．0C ．1D ．2 4．若tan 24πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则tan 2α=（ ） A ．3- B ．3 C ．34-D ．345．某单位为鼓励职工节约用水，作出如下规定：每位职工每月用水不超过10立方米的，按每立方米3元收费；用水超过10立方米的，超过的部分按每立方米5元收费.某职工某月缴水费55元，则该职工这个月实际用水为（ ）立方米. A ．13 B ．14 C ．15 D ．166．已知命题0:p x ∃∈R ，使得00xe ≤；命题:,q a b ∈R ，若12a b -=-，则1a b -=-.下列命题为真命题的是（ ）A ．pB ．q ⌝C ．p q ∨D ．p q ∧7．函数()f x 满足()()2f x f x +=，且当11x -≤≤时，()f x x =.若函数()y f x =的图象与函数()log a g x x =（0a >，且1a ≠）的图象有且仅有4个交点，则a 的取值集合为（ ） A ．()4,5 B ．()4,6 C ．{}5 D ．{}68．已知函数()()sin 0f x x x ωωω=>，若将()y f x =的图象向右平移16个单位得到()y g x =的图象，则函数()y g x =图象的一条对称轴方程是（ ） A ．56x =B ．13x =C ．12x = D ．0x = 9．在ABC ∆中，“2C π=”是“sin cos A B =”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件 10．已知01a b <<<，给出以下结论：①1123a b⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；②1132a b >；③1123log log a b >. 则其中正确的结论个数是（ ）A ．3个B ．2个C ．1个D ．0个11．已知1x 是函数()()1ln 2f x x x =+-+的零点，2x 是函数()2244g x x ax a =-++的零点，且满足121x x -≤，则实数a 的最小值是（ ）A ．1-B ．2- C．2-．1-12．已知,,a b c ∈R ，且满足221b c +=，如果存在两条互相垂直的直线与函数()cos sin f x ax b x c x =++的图象都相切，则a +的取值范围是（ ）A ．[]2,2- B．⎡⎣ C．⎡⎣ D．⎡-⎣第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．已知变量,x y 满足约束条件6,32,1,x y x y x +≤⎧⎪-≤-⎨⎪≥⎩，则2z x y =+的最小值是 ．14．已知偶函数()f x 在[)0,+∞上单调递减，且()21f =，若()211f x +<，则x 的取值范围是 ．15．在ABC ∆中，2AB =，4AC =，3A π∠=，且,M N 是边BC 的两个三等分点，则AM AN ⋅=uuu r uuu r．16．已知数列{}n a 的首项1a m =，且121n n a a n ++=+，如果{}n a 是单调递增数列，则实数m 的取值范围是 ．三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17.若函数()()sin f x A x ωϕ=+0,0,22A ππωϕ⎛⎫>>-<<⎪⎝⎭的部分图象如下图所示.（1）求函数()f x 的解析式； （2）设0,3πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，且()65f α=，求sin 2α的值. 18.设公差大于0的等差数列{}n a 的前n 项和为n S .已知315S =，且1413,,a a a 成等比数列，记数列11n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为n T . （1）求n T ；（2）若对于任意的*n ∈N ，11n n tT a <+恒成立，求实数t 的取值范围.19．在ABC ∆中，23B π∠=，D 是边BC上一点，且AD =2BD =. （1）求ADC ∠的大小；（2）若AC =ABC ∆的面积. 20．已知函数()()32f x x x x a a =+-+∈R .（1）求()f x 在区间[]1,2-上的最值；（2）若过点()1,4P 可作曲线()y f x =的3条切线，求实数a 的取值范围. 21．函数()()()21ln 122f x x ax a x a =-++--∈R .（1）求()f x 的单调区间； （2）若0a >，求证：()32f x a≥-. 请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分． 22．选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程是35cos ,45sin x y αα=+⎧⎨=+⎩（α为参数），以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴，建立极坐标系. （1）求曲线C 的极坐标方程； （2）设1:6l πθ=，2:3l πθ=，若12,l l 与曲线C 分别交于异于原点的,A B 两点，求AOB ∆的面积.23．选修4-5：不等式选讲 已知函数()2123f x x x =-++. （1）解不等式()6f x ≥；（2）记()f x 的最小值是m ，正实数,a b 满足22ab a b m ++=，求2a b +的最小值.绵阳市高2015级第一次诊断性考试 数学(文史类)参考解答及评分标准一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分． DCADC BCBAB AB二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．3 14．)21()23(∞+--∞，， 15．320 16．(21，23) 三、解答题：本大题共6小题，共70分．17．解 ：（Ⅰ）由图得，2=A ． …………………………………………………1分43125343πππ=+=T ，解得π=T ， 于是由T =πωπ=2，得2=ω．…………………………………………………3分∵ 2)32sin(2)3(=+=ϕππf ，即1)32sin(=+ϕπ，∴2232ππϕπ+=+k ，k ∈Z ，即62ππϕ-=k ，k ∈Z ， 又)22(ππϕ，-∈，所以6πϕ-=，即)62sin(2)(π-=x x f ． …………………6分(Ⅱ) 由已知56)62sin(2=-πα，即53)62sin(=-πα， 因为)30(πα，∈，所以)26(62πππα，-∈-，∴ 54)62(sin 1)62cos(2=--=-παπα． …………………………………8分 ∴]6)62sin[(2sin ππαα+-=6sin)62cos(6cos)62sin(ππαππα-+-==21542353⨯+⨯ 10334+=． ………………………………………………………12分 18．解：（Ⅰ）设{a n }的公差为d (d >0)，由S 3=15有3a 1+d 223⨯=15，化简得a 1+d =5，① ………………………2分 又∵ a 1，a 4，a 13成等比数列，∴ a 42=a 1a 13，即(a 1+3d )2=a 1(a 1+12d )，化简3d =2a 1，② ………………4分 联立①②解得a 1=3，d =2，∴ a n =3+2(n -1)=2n +1． ……………………………………………………5分∴)321121(21)32)(12(111+-+=++=+n n n n a a n n ， ∴ )32(3)32131(21)]321121()7151()5131[(21+=+-=+-+++-+-=n nn n n T n ．……………………………………………………7分(Ⅱ) ∵ n n a tT <+11，即122)32(3+<+n n tn，∴ 90)9(12)36304(3)32)(122(32++=++=++<nn n n n n n n t ，………………9分又nn 9+≥6 ，当且仅当n =3时，等号成立， ∴ 90)9(12++nn ≥162， ……………………………………………………11分∴ 162<t ．……………………………………………………………………12分 19．解：（Ⅰ）△ABD 中，由正弦定理BADBDB AD ∠=∠sin sin ，得21sin sin =∠⨯=∠AD B BD BAD ， …………………………………………4分∴ 66326πππππ=--=∠=∠ADB BAD ，， ∴ 656πππ=-=∠ADC ． ……………………………………………………6分 (Ⅱ)由（Ⅰ）知，∠BAD =∠BDA =6π，故AB =BD =2． 在△ACD 中，由余弦定理：ADC CD AD CD AD AC ∠⋅⋅-+=cos 2222， 即)23(32212522-⋅⋅⨯-+=CD CD ， ……………………………………8分 整理得CD 2+6CD -40=0，解得CD =-10（舍去），CD =4，………………10分 ∴ BC =BD +CD =4+2=6． ∴ S △ABC =33236221sin 21=⨯⨯⨯=∠⨯⨯⨯B BC AB ． ……………………12分 20．解：（Ⅰ）)1)(13(123)(2+-=-+='x x x x x f ， ……………………………1分由0)(>'x f 解得31>x 或1-<x ；由0)(<'x f 解得311<<-x ，又]21[，-∈x ，于是)(x f 在]311[，-上单调递减，在]231[，上单调递增． …………………………………………………………………3分∵ a f a f a f +-=+=+=-275)31(10)2(1)1(，，，∴ )(x f 最大值是10+a ，最小值是a +-275．………………………………5分 (Ⅱ) 设切点)41()(23，，，P a x x x x Q +-+， 则14123)(232--+-+=-+='=x a x x x x x x f k PQ， 整理得0522223=-+--a x x x ， ……………………………………………7分 由题知此方程应有3个解． 令a x x x x -+--=5222)(23μ， ∴ )1)(13(2246)(2-+=--='x x x x x μ， 由0)(>'x μ解得1>x 或31-<x ，由0)(<'x μ解得131<<-x ，即函数)(x μ在)31(--∞，，)1(∞+，上单调递增，在)131(，-上单调递减． ……………………………………………………………………10分要使得0)(=x μ有3个根，则0)31(>-μ，且0)1(<μ，解得271453<<a ， 即a 的取值范围为)271453(，． ………………………………………………12分 21．解：（Ⅰ）xx ax x x a ax a ax x x f )1)(1(1)1()1(1)(2+-=--+=-++-='． …1分 ① 当a ≤0时，0)(<'x f ，则)(x f 在)0(∞+，上单调递减；………………3分 ② 当0>a 时，由0)(>'x f 解得a x 1>，由0)(<'x f 解得ax 10<<． 即)(x f 在)10(a ，上单调递减；)(x f 在)1(∞+，a上单调递增； 综上，a ≤0时，)(x f 的单调递减区间是)0(∞+，；0>a 时，)(x f 的单调递减区间是)10(a ，，)(x f 的单调递增区间是)1(∞+，a ． ……………………5分(Ⅱ) 由（Ⅰ）知)(x f 在)10(a ，上单调递减；)(x f 在)1(∞+，a上单调递增， 则121ln )1()(min --==aa a f x f ． …………………………………………6分 要证)(x f ≥a 23-，即证121ln --a a ≥a 23-，即a ln +11-a≥0，即证a ln ≥a11-．………………………………………………………………8分 构造函数11ln )(-+=a a a μ，则22111)(aa a a a -=-='μ，由0)(>'a μ解得1>a ，由0)(<'a μ解得10<<a ，即)(a μ在)10(，上单调递减；)(a μ在)1(∞+，上单调递增； ∴ 01111ln )1()(min =-+==μμa ，即11ln -+aa ≥0成立． 从而)(x f ≥a23-成立．………………………………………………………12分 22．解：（Ⅰ）将C 的参数方程化为普通方程为(x -3)2+(y -4)2=25，即x 2+y 2-6x -8y =0． ……………………………………………………………2分 ∴ C 的极坐标方程为θθρsin 8cos 6+=． …………………………………4分 （Ⅱ）把6πθ=代入θθρsin 8cos 6+=，得3341+=ρ，∴ )6334(π，+A ． ……………………………………………………………6分把3πθ=代入θθρsin 8cos 6+=，得3432+=ρ，∴ )3343(π，+B ． ……………………………………………………………8分∴ S △AOB AOB ∠=sin 2121ρρ )63sin()343)(334(21ππ-++= 432512+=． ……………………………………………………10分 23．解：（Ⅰ）当x ≤23-时，f (x )=-2-4x ， 由f (x )≥6解得x ≤-2，综合得x ≤-2，………………………………………2分当2123<<-x 时，f (x )=4，显然f (x )≥6不成立，……………………………3分当x ≥21时，f (x )=4x +2，由f (x )≥6解得x ≥1，综合得x ≥1，……………4分所以f (x )≥6的解集是)1[]2(∞+--∞，，．…………………………………5分 （Ⅱ）)(x f =|2x -1|+|2x +3|≥4)32()12(=+--x x ，即)(x f 的最小值m =4． ………………………………………………………7分 ∵ b a 2⋅≤2)22(b a +， …………………………………………………………8分 由224ab a b ++=可得)2(4b a +-≤2)22(b a +， 解得b a 2+≥252-，∴ b a 2+的最小值为252-．………………………………………………10分。
2017年绵阳市高2015级第一次诊断性考试文科数学答案
绵阳市高2015级第一次诊断性考试数学(文史类)参考解答及评分标准一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．DCADC BCBAB AB二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．3 14．)21()23(∞+--∞，， 15．32016．(21，23) 三、解答题：本大题共6小题，共70分．17．解 ：（Ⅰ）由图得，2=A ． …………………………………………………1分 43125343πππ=+=T ，解得π=T ， 于是由T =πωπ=2，得2=ω．…………………………………………………3分 ∵ 2)32sin(2)3(=+=ϕππf ，即1)32sin(=+ϕπ， ∴ 2232ππϕπ+=+k ，k ∈Z ，即62ππϕ-=k ，k ∈Z ， 又)22(ππϕ，-∈，所以6πϕ-=，即)62sin(2)(π-=x x f ． …………………6分 (Ⅱ) 由已知56)62sin(2=-πα，即53)62sin(=-πα， 因为)30(πα，∈，所以)26(62πππα，-∈-， ∴ 54)62(sin 1)62cos(2=--=-παπα． …………………………………8分 ∴]6)62sin[(2sin ππαα+-=6sin )62cos(6cos )62sin(ππαππα-+-= =21542353⨯+⨯ 10334+=． ………………………………………………………12分 18．解：（Ⅰ）设{a n }的公差为d (d >0)，由S 3=15有3a 1+d 223⨯=15，化简得a 1+d =5，① ………………………2分 又∵ a 1，a 4，a 13成等比数列，∴ a 42=a 1a 13，即(a 1+3d )2=a 1(a 1+12d )，化简3d =2a 1，② ………………4分 联立①②解得a 1=3，d =2，∴ a n =3+2(n -1)=2n +1． ……………………………………………………5分∴ )321121(21)32)(12(111+-+=++=+n n n n a a n n ，∴ )32(3)32131(21)]321121()7151()5131[(21+=+-=+-+++-+-=n n n n n T n ． ……………………………………………………7分(Ⅱ) ∵ n n a tT <+11，即122)32(3+<+n n tn ， ∴ 90)9(12)36304(3)32)(122(32++=++=++<nn n n n n n n t ，………………9分 又nn 9+≥6 ，当且仅当n =3时，等号成立， ∴ 90)9(12++nn ≥162， ……………………………………………………11分 ∴ 162<t ．……………………………………………………………………12分19．解：（Ⅰ）△ABD 中，由正弦定理BADBD B AD ∠=∠sin sin ， 得21sin sin =∠⨯=∠AD B BD BAD ， …………………………………………4分 ∴ 66326πππππ=--=∠=∠ADB BAD ，， ∴ 656πππ=-=∠ADC ． ……………………………………………………6分 (Ⅱ)由（Ⅰ）知，∠BAD =∠BDA =6π，故AB =BD =2．在△ACD 中，由余弦定理：ADC CD AD CD AD AC ∠⋅⋅-+=cos 2222， 即)23(32212522-⋅⋅⨯-+=CD CD ， ……………………………………8分 整理得CD 2+6CD -40=0，解得CD =-10（舍去），CD =4，………………10分∴ BC =BD +CD =4+2=6． ∴ S △ABC =33236221sin 21=⨯⨯⨯=∠⨯⨯⨯B BC AB ． ……………………12分 20．解：（Ⅰ）)1)(13(123)(2+-=-+='x x x x x f ， ……………………………1分 由0)(>'x f 解得31>x 或1-<x ；由0)(<'x f 解得311<<-x ， 又]21[，-∈x ，于是)(x f 在]311[，-上单调递减，在]231[，上单调递增． …………………………………………………………………3分∵ a f a f a f +-=+=+=-275)31(10)2(1)1(，，， ∴ )(x f 最大值是10+a ，最小值是a +-275．………………………………5分 (Ⅱ) 设切点)41()(23，，，P a x x x x Q +-+，则14123)(232--+-+=-+='=x a x x x x x x f k PQ ， 整理得0522223=-+--a x x x ， ……………………………………………7分 由题知此方程应有3个解．令a x x x x -+--=5222)(23μ，∴ )1)(13(2246)(2-+=--='x x x x x μ，由0)(>'x μ解得1>x 或31-<x ，由0)(<'x μ解得131<<-x ， 即函数)(x μ在)31(--∞，，)1(∞+，上单调递增，在)131(，-上单调递减． ……………………………………………………………………10分要使得0)(=x μ有3个根，则0)31(>-μ，且0)1(<μ， 解得271453<<a ， 即a 的取值范围为)271453(，． ………………………………………………12分 21．解：（Ⅰ）xx ax x x a ax a ax x x f )1)(1(1)1()1(1)(2+-=--+=-++-='． …1分 ① 当a ≤0时，0)(<'x f ，则)(x f 在)0(∞+，上单调递减；………………3分 ② 当0>a 时，由0)(>'x f 解得ax 1>，由0)(<'x f 解得a x 10<<． 即)(x f 在)10(a ，上单调递减；)(x f 在)1(∞+，a上单调递增； 综上，a ≤0时，)(x f 的单调递减区间是)0(∞+，；0>a 时，)(x f 的单调递减区间是)10(a ，，)(x f 的单调递增区间是)1(∞+，a． ……………………5分 (Ⅱ) 由（Ⅰ）知)(x f 在)10(a ，上单调递减；)(x f 在)1(∞+，a上单调递增， 则121ln )1()(min --==aa a f x f ． …………………………………………6分 要证)(x f ≥a 23-，即证121ln --a a ≥a 23-，即a ln +11-a≥0， 即证a ln ≥a11-．………………………………………………………………8分 构造函数11ln )(-+=aa a μ，则22111)(a a a a a -=-='μ， 由0)(>'a μ解得1>a ，由0)(<'a μ解得10<<a ，即)(a μ在)10(，上单调递减；)(a μ在)1(∞+，上单调递增；∴ 01111ln )1()(min =-+==μμa ， 即11ln -+aa ≥0成立． 从而)(x f ≥a23-成立．………………………………………………………12分 22．解：（Ⅰ）将C 的参数方程化为普通方程为(x -3)2+(y -4)2=25，即x 2+y 2-6x -8y =0． ……………………………………………………………2分 ∴ C 的极坐标方程为θθρsin 8cos 6+=． …………………………………4分 （Ⅱ）把6πθ=代入θθρsin 8cos 6+=，得3341+=ρ，∴ )6334(π，+A ． ……………………………………………………………6分 把3πθ=代入θθρsin 8cos 6+=，得3432+=ρ，∴ )3343(π，+B ． ……………………………………………………………8分 ∴ S △AO B AOB ∠=sin 2121ρρ )63sin()343)(334(21ππ-++= 432512+=． ……………………………………………………10分 23．解：（Ⅰ）当x ≤23-时，f (x )=-2-4x ， 由f (x )≥6解得x ≤-2，综合得x ≤-2，………………………………………2分当2123<<-x 时，f (x )=4，显然f (x )≥6不成立，……………………………3分当x ≥21时，f (x )=4x +2，由f (x )≥6解得x ≥1，综合得x ≥1，……………4分 所以f (x )≥6的解集是)1[]2(∞+--∞，， ．…………………………………5分 （Ⅱ）)(x f =|2x -1|+|2x +3|≥4)32()12(=+--x x ，即)(x f 的最小值m =4． ………………………………………………………7分∵ b a 2⋅≤2)22(b a +， …………………………………………………………8分 由224ab a b ++=可得)2(4b a +-≤2)22(b a +， 解得b a 2+≥252-， ∴ b a 2+的最小值为252-．………………………………………………10分。
2015届绵阳市高三“一诊”试题及答案
保密 ★ 启用前 【考试时间：2014年11月1日上午9∶00～11∶30】绵阳市高中2012级第一次诊断性考试理科综合·化学理科综合考试时间共150分钟，满分300分。
其中，物理110分，化学100分，生物90分。
化学试题卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）。
第Ⅰ卷5至6页，第Ⅱ卷7至8页，共4页。
考生作答时，须将答案答在答题卡上，在本试题卷、草稿纸上答题无效。
考试结束后，将答题卡交回。
可能用到的相对原子质量：H 1 C 12 O 16 S 32 Na 23 Cu 64第Ⅰ卷（选择题 共42分）注意事项：必须使用2B 铅笔在答题卡上将所选答案对应的标号涂黑。
第Ⅰ卷共7题，每题6分。
每题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1. 由塑化剂引起的食品、药品问题受到广泛关注。
下列关于塑化剂DBP （结构如下图）的说法不．正确．．的是 A ．属于芳香族化合物，能溶于水 B ．其核磁共振氢谱共有6种吸收峰 C ．分子中一定有12个原子位于同一平面上 D ．水解得到的酸性产物能与乙二醇发生缩聚反应 2. 下列关于物质分类的说法正确的是A ．油脂、糖类、蛋白质均是天然高分子化合物B ．三氯甲烷、氯乙烯、三溴苯酚均是卤代烃C ．CaCl 2、烧碱、聚苯乙烯均为化合物D ．稀豆浆、硅酸、雾霾均为胶体 3. 下列离子方程式正确的是A ．向Fe(NO 3)3溶液中滴入少量的HI 溶液：2Fe 3＋＋2I －==2Fe 2＋＋I 2B ．向苯酚钠溶液中通入少量CO 2气体：2C 6H 5O －＋CO 2＋H 2O —→2C 6H 5OH↓＋CO 2-3C ．Cu(OH)2沉淀溶于氨水得到深蓝色溶液：Cu(OH)2＋4NH 3== [Cu(NH 3)4]2+＋2OH －D ．澄清石灰水中加入少量NaHCO 3溶液：Ca 2+＋2OH －＋2HCO －3==CaCO 3↓＋CO 2-3 ＋2H 2OOO O O4. 短周期主族元素R 、T 、Q 、W 在元素周期表中的相对位置如右下图所示，T 元素的最高正价与最低负价的代数和为0。
四川省绵阳市高中2015届高三第二次诊断性考试数学文试题(扫描版)
四川省绵阳市高中2015届高三第二次诊断性考试绵阳市高2012级第二次诊断性考试数学(文史类)参考解答及评分标准一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．AADCB BDCBC10．提示：问题转化为1)(max ≤x f ．由)00)((333)(22><+=+='b a b ax b ax x f ，，得abx x f a b x x f ->⇒<'-<<⇒>'0)(00)(，，即)(x f 在)0(a b -，递增，在)(∞+-，ab 递减， ①当1≥-ab，即a b -≥时，13)1()(0)0()(max min ≤+====b a f x f f x f ，， 即211313≤⇒+≤⇒⎩⎨⎧≤--≤b b b b a a b ，，． ②当1<-ab即a b -<时， 233403)1(12)()(0)0(3max≤⇒⎩⎨⎧≤--≤⇒⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥+=≤-=-==b b a a b b a f a b b a b f x f f ，，，，，，此时233-=a . 将233-=a ，23=b 代入检验正确. 二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．11．27 12．8.5 13． 23- 14．187- 15．6 15．提示：)()(MB PM MA PM PB PA +⋅+=⋅)(2+⋅+=12-=⋅+PM MB MA ，同理：⋅=12-，P42==a ， ∴ 222-+=⋅+⋅PN PM PD PC PB PA=222-⋅-+PN PM 6)2(142142=+-≥⋅-=PNPM PN PM ．三、解答题：本大题共6小题，共75分．16．解：(Ⅰ)由茎叶图可知，所抽取12人中有4人低于9分，即有4人不是 “满意观众”，∴ P =31124=， 即从这12人中随机选取1人，该人不是“满意观众”的概率为31． ……4分(Ⅱ)设本次符合条件的满意观众分别为A 1(9.2)，A 2(9.2)，A 3(9.2)，A 4(9.2)，B 1(9.3)，B 2(9.3)，其中括号内为该人的分数． ……………………………6分则从中任意选取两人的可能有 (A 1，A 2)，(A 1，A 3)，(A 1，A 4)，(A 1，B 1)，(A 1，B 2)，(A 2，A 3)，(A 2，A 4)，(A 2，B 1)，(A 2，B 2)，(A 3，A 4)，(A 3，B 1)，(A 3，B 2)，(A 4，B 1)，(A 4，B 2)，(B 1，B 2)，共15种，……………………8分其中，分数不同的有(A 1，B 1)，(A 1，B 2)，(A 2，B 1)，(A 2，B 2)，(A 3，B 1)，(A 3，B 2)，(A 4，B 1)，(A 4，B 2)，共8种， ………………………………10分 ∴ 所求的概率为158． ………………………………………………………12分 17．解：(Ⅰ)∵ S n =121-⋅-n λ，∴ a 1=S 1=λ-1，a 2=S 2-S 1=2λ-1-(λ-1)=λ，a 3=S 3-S 2=4λ-1-(2λ-1)=2λ，……………………………………2分∵ {a n }是等比数列，∴ a 22=a 1a 3，即λ2=2λ(λ-1)，解得λ=0(不合题意，舍去)，或λ=2． ……4分 ∴ 在{a n }中，a 1=1，公比q =12a a =2， ∴ a n =1×12-n =12-n ． …………………………………………………………6分 (Ⅱ)由(Ⅰ)知，a 2=2，a 3=4，于是x x f 2sin 4)(=， ∴ )32sin(4)]6(2sin[4)(ππ+=+=x x x g ． ……………………………………8分∵ 6π-≤x ≤6π， ∴ 0≤32π+x ≤32π，…………………………………………………………10分∴ 0≤)32sin(4π+x ≤4，即)(x g 在]66[ππ，-上的最大值为4． ………………………………………12分18．解：(Ⅰ)由余弦定理得412212cos 222==-+=bc bcbc a c b A ， 则415cos 1sin 2=-=A A ． …………………………………………………4分 (Ⅱ)由A +B +C =π有C =π-(A +B )， 于是由已知sin B +sin C =210得210)sin(sin =++B A B ，即210sin cos cos sin sin =++B A B A B ， 将415sin =A ，41cos =A 代入整理得210cos 415sin 45=+B B ．①………7分 根据1cos sin 22=+B B ，可得B B 2sin 1cos -±=．代入①中，整理得8sin 2B -410sin B +5=0， 解得410sin =B ． ……………………………………………………………10分 ∴ 由正弦定理BbA a sin sin =有364154101sin sin =⨯==A B a b ． ………………12分19．解：(Ⅰ)如图，连结BC 1．∵ E ，F 分别是AB ，AC 1的中点， ∴ EF // BC 1．∵ BC 1⊂面BB 1C 1C ，EF ⊄面BB 1C 1C ， ∴ EF ∥平面BB 1C 1C ．………………4分 (Ⅱ) 如图，连结A 1E ，CE ． ∵ AB // A 1B 1，AB =2A 1B 1，E 为中点，∴ BE //A 1B 1，且BE =A 1B 1，即A 1B 1BE 是平行四边形， ∴ A 1E //B 1B ，且A 1E =B 1B ．由四边形BB 1C 1C 是长方形，知C 1C //B 1B ，且C 1C =B 1B ， ∴ A 1E //C 1C ，且A 1E =C 1C ，即C 1A 1EC 是平行四边形，∴ A 1C 1//EC ．…………………………………………………………………7分 ∵ B 1B ⊥BC ，B 1B ⊥AB ， ∴ B 1B ⊥面ABC ，∴ B 1B ⊥EC ． …………………………………………………………………9分 由CA =CB ，得EC ⊥AB ，∴ EC ⊥平面ABB 1A 1．………………………………………………………10分 ∴ A 1C 1⊥平面ABB 1A 1． ∵ A 1C 1⊂平面C 1AA 1，∴ 平面C 1AA 1⊥平面ABB 1A 1． ……………………………………………12分 20．解：(Ⅰ)由已知可设圆E 的圆心(0，b )，则半径为b ．∵ 圆心到直线x -y =0的距离d =22)222(-b =22110+-b ，解得b 2=4，b =-2(舍去)，b =2，∴圆E 的标准方程为x 2+(y -2)2=4． ……………………………………… 5分 (Ⅱ) 设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，H (x 0，y 0)，由已知直线MN 的斜率一定存在，设为k ，则其方程为y =kx +3k ，联立方程⎩⎨⎧+==-+，，k kx y y x 34)2(22消去y ，得04)23()23(2)1(222=--+-++k x k k x k ，于是x 1+x 2=21)23(2k k k +--，x 1x 2=2214)23(k k +--．① ………………………8分又P ，M ，H ，N 四点共线，将四点都投影到x 轴上，ABB 1C 1 A 1CE F=2102133x x x x x x --=++， 整理得：)(6)(322121210x x x x x x x ++++=． …………………………………………10分将①代入可得=+--++--⨯++--⨯=222201)23(261)23(2314)23(2k k k k k k k k x 326+-k k， …… 11分 由213202<++-⋅k kk ，可解得5120<<k ，……………………………………12分 由0x =326+-k k =-3+329+k ，于是可得1324-<x 0<0，满足-2<x 0<2，∴ 1324-<x 0<0． ………………………………………………………………13分 21．解：(Ⅰ) ∵ xx a x a x x x f 2)1()1(2)(2++-=+-+='，………………………2分∴ 当a =2时，xx x x f 23)(2+-='．由已知有m ，n 是方程x 2-3x +2=0的两个根，∴ m =1，n =2．…………………………………………………………………4分 (Ⅱ)由已知有m ，n 是方程x 2-(a +1)x +2=0的两个根，∴ Δ=(a +1)2-8>0，m +n =a +1>0，mn =2>0． ………………………………5分 ∴ n a n n m a m m n f m f )1(21ln 2)1(21ln 2)()(22+-+++-+=+ ))(1()(21ln 222n m a n m mn ++-++=))(1(]2)[(212ln 22n m a mn n m ++--++=22)1(]4)1[(212ln 2+--++=a a2ln 22)1(212+-+-=a ． …………………………………7分∵ (a +1)2>8，∴ ()()f m f n +62ln 2-<，即()()f m f n +的取值范围为(-∞，62ln 2-)．…………………………………………………8分 (Ⅲ)证明：m a m m n a n n m f n f )1(21ln 2)1(21ln 2)()(22++--+-+=- ))(1()(21ln222m n a m n m n -+--+=))(()(21ln 222m n n m m n m n -+--+= )(21ln222m n m n --=， 又2=mn ，所以m =n2， 于是，2224212ln 2)()(nn n m f n f +-=-． …………………………………10分由 0<m <n ，可得n 2>2，解得n >2． ∵ a ≥122-+ee ， ∴ m +n =a +1≥e e 22+，即n2+n ≥e e 22+， 可解得0<n ≤e2(舍去)，或n ≥e 2． ……………………………………11分 令22n =t ，则n 2=2t ，且t ≥e ，tt t m f n f 1ln 2)()(+-=-，令tt t t g 1ln 2)(+-=，则0)1(1212112)(2222222<--=+--=--=--='tt t t t t t t t t t g ， ∴ tt t t g 1ln 2)(+-= 在)[∞+，e 上单调递减． ∴ ee t g 12)(max +-=， ∴ ()()f n f m -≤ee 12+-． …………………………………………………14分。
四川省绵阳市高三数学第一次诊断性考试试题文(含解析)新人教A版.doc
2013年四川省绵阳市高考数学一模试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分•在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.（5 分）（2013*绵阳一模）设集合A二{2, 3, 4）, B={0, 1, 2},则AC1B 等于（）A.{0}B. {0, 1, 2, 3, 4}C. {2}D. 0考点：交集及其运算.专题：阅读型.分析：集合A与集合B都是含有三个元素的集合，且有一个公共元素2,所以AAB可求. 解答：解：因为集合A二{2, 3, 4}, B={0, 1, 2},所以ACB二{2}.故选C.点评：木题考查了交集及英运算，两个集合的交集是冇两个集合的公共元索组成的集合，是基础题.2.（5 分）（2013*绵阳一模）命题P：“0xWR, cosxMl”，则「p 是（）A. 3x^R, cosMlB. \/xGR, cos< 1C. 3x^R, cosx<lD. Vx^R, cosx>l 考点：特称命题；命题的否定.专题：计算题.分析：利用全称命题：VxeM, p（X）；的否定是特称命题3X EM, p （x）直接得到结果. 解答：解：因为全称命题：VxeM, p （x）；的否定是特称命题3xeM, p （x）.所以命题P："VxGR, cosxMl”，贝lj「p 是3 x^R, cosx<l. 故选C.点评：本题考查命题的否定，全称命题：VxEM, p（X）；与特称命题3X EM, p （x）互为命题的否定.3.（5分）（2013-绵阳一模）已知数列{%}为等差数列,且站迦,则tan （a5+a9）的值3为（）A. VIB. -y/3C. 土逅D. VI飞考点：等差数列的性质.专题：计算题；等差数列与等比数列.分析：山等差数列的性质可得，时斫&+&尸等，然后求解正切函数值即可解答：解：由等差数列的性质可得，亦斫耐禺迦，3/. tan （as+ag）=tan^-^-= ~ V33故选B点评：木题主要考查了等差数列的性质及特姝角的」］沏函数值的求解，属于基础试题4. （5分）（2009*湖南）如图，D, E, F 分别是ZkABC 的边AB, BC, CA 的中点,则（考点：向量加减混合运算及其儿何意义.分析：模相等、方向相同的向量为相等向量，得出图中的相等向量，再由向量加法法则得选 项. 解答：解：山图可知血二证，CF=FA=ED在ADBE 屮，DB+BE+ED=0,即亞+页+範二0. 故选项为A.点评：考查向虽相等的定义及向虽加法的三角形法则.5. (5 分)(2013-绵阳一模)己知 f (x)二xsinx,则 f‘ ( n )=( ) A. 0B. - 1C. JID. - Ji考点：导数的乘法与除法法则. 专题：导数的概念及应用.分析：先对函数f （x ）求导，进而可求出f （31）的值. 解答：解：•/ f （x ）二sinx+xcosx,f （兀）二sin 兀+ n cos 兀二-只.故选D.点评：本题考查导数的值，匸确求导是解决问题的关键.6. (5分)(2013*绵阳一模)两数f (x) =e x - x - 2的零点所在的区间为( )A. ( - 1, 0)B. (1, 2)C. (0, 1)D. (2, 3)考点：函数零点的判定定理. 专题：计算题.分析：将选项中各区间两端点值代入f （x ）,满足f Q ） -f （b ） <0 （a, b 为区间两端点） 的为答案.解答：解:因为f （l ）=e ・3<0, f （2） =e 2・e ・2>0,所以零点在区间（1, 2）上， 故选:B.点评：本题考查了函数零点的概念与零点定理的应川，属于容易题.函数零点附近函数值的 符号相反，这类选择题通常采用代入排除的方法求解.J.丄7. （5分）（2013-绵阳一模）设&二0.巨 b=0.庇B. BD - CF+DF=0C. AD+CE - CF=0D. BD - BE - FC=0A. c<b<aB. c<a<bC. a<b<cD. b<a<cc=log 30.7,则(考点：根式与分数指数幕的互化及其化简运算. 专题：计算题.分析：利用幕函数的性质比较两个正数a, b 的人小，然后推出a, b, c 的大小即可. 解答： 1 1解：因为y 二仏是增函数，所以apO ・ 72<b=0. 82,又c=lo g 30. 7<0所以c<a<b 故选B点评：本题考查根式与分数指数幕的互化及具化简运算，考查计算推理能力，是基础题.TT8. (5 分)(2013*绵阳一模)已知函数 f (x)二Asin (G )X +4>) (A>0, W >0,4> <—),2 其导数f‘ (x)的部分图象如下图所示，则两数f (x)的解析式为：()Y i bA ・ f(x)=sin(2xAB * f(x)=2in(2x+^)C * f(x>sin(2x - ^)D * f(X )=2in(2x - ^)考点：由y 二Asin (3x+")的部分图象确定其解析式. 专题：计算题.分析:通过导函数的图象求出A3=2, T,利用周期公式求出3,通过函数图象经过的特殊 点，求出"，得到函数的解析式.所以 0=sin ( - 2X —+*),所以(!>』，8 4 所以函数的解析式为：f (x)二sin (2x+—). 4故选A.点评：本题是中档题，考查三角函数以及导函数的图彖的应用，考査学生的视图能力、分析 问题解决问题的能力，计算能力.9. (5分)(2013-绵阳一模)已知定义在R 上的奇函数f (x)是(-8, 0］上的增函数，且 f (1) =2, f (・2)解答:解：由函数的图象可得A3=2, TMX 由导函数的图象，可知函数的图象经过兀,所以 3=2, A=l,=-4,设P={x|f (x+t) -4<0}, Q={x|f (x) < - 2}.若“xWP” 是“xWQ”的充分不必要条件，则实数t的取值范围是( )( )A・ tW ・ 1 B・ t> ・ 1 C・ t>3 D. t>3考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断.专题：计算题.分析：根据定义在R上的奇函数f (x)是(-I 0］上的增函数，且f (1) =2, f ( - 2)= -4,可以画出f (x)的图象，然后再求出P和Q集合，根据“xWP”是“xWQ”的充分不必要条件可得PCQ,从而求出t的范围；解答：解：・・•定义在R上的奇函数f (x)是(0］上的增函数，且f (1)二2, f ( -2) =-4, 可得f ( - 1)二-2, f (2) =4,・・・“xWP”是“xWQ”的充分不必要条件，・・・PQQ,・・・2・tV・1,解得t>3,当恬3,可得P二Q,不满足“xGP”是“xEQ”的充分不必耍条件，At >3,故选D；点评：此题主要考查奇函数的定义及其应用，考杳的知识点比较全面，利用了数形结合的方法，是一道中档题；10.(5分)(2009・四川)某金业生产甲、乙两种产品.已知生产每吨甲产品要用A原料3 吨、B原料2吨；生产每吨乙产品要用A原料1吨、B原料3吨.销售每吨甲产品可获得利润5万元、每吨乙产品可获得利润3万元.该企业在一个生产周期内消耗A原料不超过13 吨、B原料不超过18吨，那么该企业可获得最大利润是( )A. 12万元B. 20万元C. 25万元D. 27万元考点:简单线性规划的应用.专题：应用题；压轴题.分析：先设该企业生产甲产品为X吨，乙产品为y吨，列出约束条件，再根据约束条件画出可行域，设z=5x+3y,再利用刁的几何意义求最值，只需求出直线沪5x+3y过可行域内的点时，从而得到z值即可.解答：解：设该企业生产甲产品为x吨,乙产品为y吨,则该企业可获得利润为z二5x+3y, y^>0且3x+y<^132x+3y<il8■［2x+3y=18 y=4由图可知,最优解为P (3, 4), ・・・z的最大值为z=5X3+3X4=27 (万元). 故选D.点评：在解决线性规划的应用题时，其步骤为：①分析题Id屮相关最的关系，列出不等式组, 即约束条件J②由约束条件画出可行域今③分析冃标函数Z与直线截距Z间的关系乍④使用平移肯线法求出最优解今⑤述原到现实问题屮.11.(5分)(2013-绵阳一模)已知偶函数f (x)在区间［0, +8)上满足f‘ (x) >0,则满足f (x'-2x) <f (x)的X的取值范围是( )A. (1, 3)B.(・《,・3) U (3,C.(・3, 3)D.(・ 3, 1)考点：利用导数研究函数的单调性；奇偶性与单调性的综合.专题：函数的性质及应用；导数的概念及应用.分析：根据导数符号可判断函数的单调性，再利用条件偶函数对把f (x'・2x) <f (x)转化为/・2x与x 间不等式，从而得到x的取值范围.解答：解：因为函数f (x)为偶函数，所以f (x?-2x) <f (x)等价于f (|X2-2X|) <f < |x| ).又函数f (x)在区间［0, +8)上满足f，(x) >0,所以函数f (x)在区间［0, +8)上单调递增.所以| x" - 2x| < |x|,两边平方并化简得x2 (x - 1) (x - 3) <0,解得l<x<3. 故选A.点评：木题为函数奇偶性、单调性及导数的综合题，考杏了相关的基础知识及分析问题、解决问题的能力.解决本题的关键是去掉符号"f”，转化为自变量间的不等关系.12.(5分)(2013-绵阳一模)已知定义在R上的函数f (x)满足f (1) =1, f (1 -x) =1-f (x), 2f (x) =f (4x),且当0Wxi<X2Wl 时，f (xi) Wf(X2),则f (丄)等于( )考点：函数的值.专题：计算题.后根据函数的单调性，以及两边夹的性质可求岀所求. 解答：解：・・・f (1) =1, f (1 -X )=1・f (x)令 X 」得 f (2)+f (1)=1 即 f (2)=12 2 2 2 2 V2f (x) =f (4x)・・・f (x)丄f (4x)2在 f (x)二丄f (4x) 'I',令 x 二丄可得 f (2)二If (1)二22 4 4 2 2 在 f (1 -x) +f (x) =1 中，令 ％=丄可得 f (丄)+f (-) =1 即 f (上)二 244442同理可求f (2)丄f (丄)丄，f (丄)=1・f (2) 28 2 2 4 8 8 4f (―)丄f (丄)二丄，f (―) =1 - f (―)=-16 2 4 4 16 16 4 f (―)丄f (丄)二£ f (―) =1 - f (―)=- 32 2 8 8 32 32 8f (―)二丄f (丄)二丄，f (―) =1 ・- 64 2 16 8 64 8 8T 当 0WX1WX2WI 时，f (xi) Wf (X2),1-132 8・・・f (丄)丄33 8 故选B点评：木题主要考杏了抽象函数及其应用，考查分析问题和解决问题的能力，属于屮档题二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分.考点：平行向最与共线向最.分析：用两向量共线坐标形式的充耍条件公式：坐标交叉相乘相等. 解答：z 、 f 十、-* ii T解…a= (2, 3) , b= (x, 一 6)，bA2X ( -6)二3x ••• x 二-4A. 1 4B. 1 8C. 1D. 132分析:先求出f 中,然后根据条件求出叫)，叫) (存，最13. (4 分)(2013-绵阳一模)已知 &二(2, 3) b= (x, - 6),若方〃 b,则 x 二_^4_故答案为-4点评：考査两向量共线坐标形式的充耍条件公式.4n -n?14. (4分)(2013-绵阳一模)已知偶函数f (x) =x —厂 (nez)在(0, +^)上是增函数，则n 二2奇偶性与单调性的综合.函数的性质及应用.结合幕函数在(0, +-)上的单调性与指数的关系，我们可以求出n 的取值范围为1, 2, 3,结合幕函数的奇偶性讨论后，可得答案. 解：若幕函数f (x) =x ―厂 (neZ)在(0, +8)上是增函数，_ 2则 ~>0,即 4n - n 2>0,2又TnUZAnE ｛1, 2, 3｝乂 Vn=l,或n 二3时忙门 二,此时幕甫数f (x)为非奇非偶］羽数2 2n 二2时-4n -~2,幕函数f (x)为偶函数满足耍求故答案为:2点评：本题考查的知识点是幕函数的奇偶性和单调性及幕函数解析式的求法，幕函数是新课 标的新增内容，本题是求幕隊I 数解析式的经典例题，从单调性入手进行解答是解答本 题的关键.15. (4分)(2013*绵阳一模)已知｛&｝是递增数列，且对于任意的nGN*, a…=n 2+ X n 恒成立, 则实数X 的取值范围是 (-3, +8) •考点：数列与函数的综合. 专题：计算题.分析：由对于任意的n WN*,為二『+ X n 恒成立，知為+i - an=(n+1 )2+入(n+1) - n 2 - X n=2n+l+入,由｛aj 是递增数列，知aw ・a>a2・ai=3+入>0,由此能求出实数入的取值范围.解答：解：・・•对于任意的nEN*, a.二恒成立，a«*i - a n = (n+1) 2+ X (n+1) - n 2 - X n=2n+l + 入，・・• ｛%｝是递增数列，• • 1 "" 3n 0乂 a n -i - a n = (n+1) 2+ X (n+1) - n 2 - X n=2n+l+ X :.当 n 二 1 时，a n q - an 最小,考点: J 八、、• 专题: 分析:.*.an«i - a n>a2 一ai=3+ X >0,・\ X > - 3.故答案为：(・3, +8).点评：本题考查实数的取值范围的求法，具体涉及到数列的性质，解题时要认真审题，注意函数思想的灵活运用，是基础题.16.(4分)(2013-绵阳一模)设所有可表示为两整数的平方差的整数组成集合给出下列命题：①所有奇数都属于M.②若偶数2k属于M,贝iJkEM.③若beM,则abWM.④把所有不属于M的止整数从小到大依次排成一个数列，则它的前n项和S…eM.其中正确命题的序号是一①③.(写出所冇正确命题的序号)考点：命题的真假判断与应用.分析：根据已知中集合M的定义，根据集合元素与集合关系的判断，我们分别推证①③正确, 举反例推翻②④町得答案.解答：解：・・•所有对表示为两整数的平方差的整数组成集合M・设奇数2k+l (keZ)则:2k+l= (k+1) ",故①所有奇数都属于M正确;由12=42 - 22得，12WM,但6轴，故②若偶数2k属于M,贝iJk^M错误；VaEM, bEM,设a=m2 - n2, b=p2 - q2,则ab二(m2 - n2) (p2 - q2 ) = (mp) 2+ (nq) 2 -(mq) 2 - (pn) 2= (mp+nq) 2 - (mq+np) 故③正确；当n二1时，S“即为第一个不属于M的正整数，此时S总M,故④错课；故答案为：①③点评：本题考查的知识点是命题的真假判断与应用，其中熟练掌握集合M的元素的特征是解答的关键.三、解答题：本大题共6小题，共74分.解答应写出文说明、证明过程或演算步骤.17.(12 分)(2013・绵阳一模)设向量二(cos2x, 1), b= (1, V3sin2x), xER,函数f——*(x) =a e b ・(I)求函数f (x)的最小正周期及对称轴方程；(II)当xe[0,匹]时，求函数f (x)的值域.2考点：三角函数中的恒等变换应用；数量积的朋标表达式；复合三角函数的单调性.专题：计算题；三角函数的求值.分析：(I)通过向量的数量积，利用两角和的正弦函数，化简函数为一个角的一个三角函数的形式，即可求出函数f (x)的最小正周期及对称轴方程.(II )通过x的范围求出2x+芈的范围，利用正弦函数的值域，求解函数的值域即可.6解答： f -* /解：(I ) f (x) =a e b= (cos2x, 1) • (1, V3sin2x)=V3si n2x+cos2x=2 sin (2x+*),…(6 分) ・•・最小正周期T二麥二兀，2令2x+晋二1＜兀荷，kez,解得x-k； + : , kez,即f (x)的对称轴方程为kez.…(8分)(II)当xe[o,卫]时，即0WxW卫，可得匹W2x+匹W空，2 2 6 6 6.••当2x+—,即x=—时，f (x)収得最大值f (匹)二2；6 2 6 6当2x+匹二空，即x二卫时，f (x)取得最小值f (匹)二・1.6 6 2 2即f (x)的值域为[・1, 2]・…(12分)点评：本题以向量为依托，考查三角函数的两角和的正弦函数的应用，函数的周期，值域的求法，考查计算能力.18.(12分)(2013-绵阳一模)已知数列｛&｝是等比数列且念=丄,时2.4(I)求数列｛%｝的通项公式；(II)若数列⑹满足b n=31og2a…,且数列｛bj的前“项和为人，问当n为何值时，人取最小值，并求出该最小值.考点：数列的求和；等比数列的通项公式.专题：等差数列与等比数列.分析：(1)由已知屮数列&｝是等比数列且念丄，a6=2.求出数列的公比，易得数列的通项4(11)根据⑴及b…=31og2a n,可得数列｛bj的通项公式,进而结合二次函数的性质, 及n* 可求出当n为何值时，仏取最小值.解答1解：(I )设公比为q,由已知a&=2, a34,得a)q5=2,4 4两式相除得『二8,解得q二2, ai=-^,・・.a」x2「y16(II ) bn=31og2a n=31og2 (2n'5) =3n - 15,・T_3 2 _ 27•-Tn_s n "T n，又VneN*当n二4或5时，T“取得最小值，最小值为・30点评：本题考查的知识点是数列求和，等比数列的通项公式，其屮分别求出数列｛务｝和｛5｝的通项公式是解答的关键.19.(12分)(2013>绵阳一模)在厶ABC中,角A, B, C的对边分别是a, b, c若asinA= (a -b)sinB+csinC.(I )求角c的值；(II)若ZXABC的面积为逅，求a, b的值.考点：解三角形.专题：计算题；解三角形.分析：(I )把已知结合正弦定理整理可得a2+b2 - c2=ab,然后利用余弦定理2 . ,2 _ 2CosC二--- --- 町求cosC,结合C的范围可求C2ab(II)由三角形的面积公式可硝absinC二屈结合沪2,及由(I ) a+b2-4=ab,可求a+b,联立方程可求d, b解答：解：(I ) VasinA= (a - b) sinB+csinC,由正弦定理十一=^=^,得品(a-b) b+c2,si nA sinB sinC即a2+b ： - c2=ab.①2 + b2_ 2由余弦定理得Cos O*十仁c ,二丄,2ab 2结合0VCVn,得C二. …(6分)3(II) V AABC 的面积为73, BP-^absinC—A/3,化简得ab=4,①乂c=2，由(I )知，a2+b2 - 4=ab,・・・(a+b) 2=3ab+4=16,得a+b二4,②由①②得a=b=2. …(12分)点评：木题主要考杳了三角形的正弦定理、余弦定理及三角形的血•积公式的综合应用，属于知识的综合应用20.(12分)(2013-绵阳一•模)己知二次两数y二f (x)的图象过点(1, - 4),且不等式f (X)<0的解集是(0, 5).(I)求函数f (x)的解析式；(II)设g (x) =x'{ - (4k - 10) x+5,若函数h (x) =2f (x) +g (x)在［-4, - 2］上单调递增,在［- 2, 0］上单调递减,求y二h (x)在［-3, 1］上的最大值和最小值・・考点：二次函数的性质；二次函数在闭区间上的最值.专题：函数的性质及应用.分析：(1)根据函数零点，方程根与不等式解集端点Z间的关系，结合二次函数尸f(x)的图象过点(1,・4),可求出函数f (x)的解析式；(11)由(I)可求出函数h (x)的解析式(含参数k),进而由函数极人值点为-2, 求出k值，结合导数法求最值的步骤，可得答案.解答：解：(I )由已知y 二f (x)是二次函数，且f (x) <0的解集是(0, 5), 可得f (x) =0的两根为0, 5,于是设二次函数f (x) =ax (x ・5),代入点(1,・4),得-4=aXlX (1 - 5),解得 a=l,f (x) =x (x - 5). …(4 分)(II ) h (x) =2f (x) +g (x) =2x (x - 5) +x" - (4k - 10) x+5二x'+2x'- 4kx+5, 于是 h' (x) =3X 2+4X - 4k,Th (x)在［・4,・2］上单调递增，在［・2, 0］上单调递减，•lx 二・2是h (x)的极大值点，・・・h' (2)二3X ( -2) 2+4X (-2) - 4k 二0,解得 21.・-(6 分) Ah (x) =X 3+2X 2-4X +5,进而得 V (X ) =3X 2+4X - 4.令 h ，(x) =3X 2+4X - 4=0,得 x= - 2,或 x=-?.3 由下表:可知：h( - 2) = ( -2)3+2X ( -2)2-4X ( -2)+5=13, h (1) =13+2X l 2 - 4X 1+5=4, h( - 3) = ( - 3)'+2X (・3)2 - 4X (・ 3)+5=8, h (-?) = (-)3+2X (-?)2 - 4X 2+5=_95,3 33 3 27.•.h (x)的最大值为13,最小值为聖.…(12分) 27 点评：木题考杏的知识点是二次函数的性质，函数零点，方程根与不等式解集端点的关系， 导数法求函数的极值与最值，其中求出函数h (x)的解析式是解答的关键.21. (12分)(2013-绵阳一模)设数列｛&｝的前n 项和为S”且(t- 1) S n =2ta n ・t ・l (其 中t 为常数，t>0,且tHl).(I) 求证：数列｛a 』为等比数列；(II) 若数列｛an ｝的公比q 二f (t),数列｛bn ｝满足bi=ai, bn+1—f (bQ,求数列｛」■｝的通项2 b n公式；(HI)设对(II)屮的数列｛缶｝,在数列｛%｝的任意相邻两项氐与亦之间插入k 个和.考点：数列递推式；等比关系的确定；数列的求和. 专题：综合题；等羌数列与等比数列.(-1)(kEN*)后，得到一个新的数列: b k ai, (-1)(-1) 2 (-1) 2 b 2 ， b 2(-1) ' (-1) ' (-1)'' b 3…，记此数列为心｝・求数列心｝的前50项之(I )利用数列递推式,再写一式,两式相减,即可证得数列聞是以1为首项,备为公比的等比数列；(1【)确定数列｛丄｝是以1为首项，1为公差的等差数列，可求数列｛丄｝的通项公 b n b n 式；(III) 确定数列｛Cn ｝为：1, -1,2, 2, 2,(丄)2, -3, -3, -3,(吉)，…, 2 2 乙再分组求和，即可求得数列｛c n ｝的前50项之和.(I )证明：由题设知(t - 1) S!=2t ai -t - 1,解得 a.=l,由(t - 1) Sn =2ta tl - t - 1 > 得(t - 1) SnH =2ta n ti - t - 1, 两式相减得(t - 1) anii=2tann - 2ta“ ・・・数列&｝是以】为首项,备为公比的等比数列.…(4分)(II)解：・・・q=f (t)詈，心1, bn 诗(bn)二审・・・数列｛*｝是以1为首项，1为公差的等差数列， bn•I 占二…(8分) b n(111)解：当t 丄时，由(I)知aF (丄)n_1,于是数列心｝为：1,・1,丄，2, 32 2 2,(丄)'，-3, - 3, - 3,(吉),… 2 2设数列｛%｝的第k 项是数列｛c n ｝的第叫项,即斫c ， m ic当 k32 时，nik 二k+[l+2+3+・・・+ (k - 1) ]*厲+1 丿，2・.9X10 y ・・ ni9= -- - 45. 21 1 2设Sn 表示数列｛cj 的前n 项和,则S 疙[1+* (*)+・・・+ 乙 乙 'X2X2+ ( - 1) 'X3X3+…+ ( - 1) 8X8X8].-1+(-1) 2X2X2+ ( - 1) 'X3X3+・・・+ ( - 1 ) 8X8X8= - 1+22 - 32+4- - 52+62 - 72+8~ =(2+1) (2-1) + (4+3) (4-3) + (6+5) (6-5) + (8+7) (8 - 7) =3+7+11+15=36. ・・・S 併2 -±+36二3828 28Sso =S45+ ( C46+C47+C48+C49+C50) =38— +5 X ( - 1) 9 X 9- - 7―——. 28 256分析: 解答:2 1+ ( - 1)^n+1即数列｛cj的前50项之和为・7县.・・・(12分)256点评：本题考查等比数列与等差数列的证明，考杳数列的通项与求和，考查学牛的计算能力, 属于中档题.22.(14分)(2013-绵阳一模)已知函数f (x)二lnx・ax+l在x二2处的切线斜率为■丄.2 (I)求实数&的值及函数f (x)的单调区间；(II)设g (x)二kx+1,对Vx^ (0, +°°), f (x) Wg (x)恒成立，求实数k的取值范围；1… (□+])(III)设5二----- ——，证明：b1+b2+-+b n<l+ln2 (neN*, n$2).n考点：导数在授大值、最小值问题中的应丿山利川导数研究函数的单调性；利川导数研究曲线上某点切线方程.专题：综合题；导数的综合应用.分析：(I )求导数，利丿IJ函数f (x) =lnx - ax+1在x=2处的切线斜率为-—,可确定a2 的值，利用导数的正负，可得函数f (x)的单调区间；(II ) X/xG (0, +°°), f (x)Wg(x),即lnx- (k+1) xWO tU成立，构造函数h(x) =lnx - (k+1) x,利用h (x) ^WO,即可求得k的取值范围;(III)先证明当时,Win (n+1) <n,再利用放缩法,裂项法,即可证得结论.解；(I )解：由LL知：f7(x)二g 一a (x>0),•••函数f(x)=EZ在旦处的切线斜率为诗.・・f・・(2) =—- a=-丄，/•a=l.2 2 (x)亠X X当XW (0, 1)时，f‘ (x) >0, f (x)为增函数，当XG (1, +8)时，f， (x)<0, f (x)为减函数，・・・f (x)的单调递增区间为(0, 1),单调递减区间为(1, +8). ... (5分) (II )解：VxE (0, +8), f (x) Wg (x),即lnx- (k+1) xWO 恒成立,设h (x) =lnx - (k+1) x,有h‘ (x)二 -------------- .①当k+IWO,即kW - 1 吋，h‘ (x) >0,此吋h (1) =lnl - (k+1) 20 与h (x) WO矛盾.②当k+l>0,即k>-l时，令h‘ (x)二0,解得丄，k+1・・・x€(0, 丄)，h‘ (x) >0, h (x)为增函数，(丄，+8), h‘ (x) k+1k+1<0, h (x)为减函数，Ah (x) Ba X=h (―^)1W0,k+1 k+1即In (k+1) 2・1,解得k2丄一1.e综合k>・1,矢口kM丄一1.e・•・综上所述，k的取值范围为［—-1, +8).…(10分)e(III)证明：山(I )知f (x)在(0, 1)上是增函数，在(1, +8)上是减函数,・・・f (x) Wf (1) =0,・・・lnxWx - 1.当 n=l 时,bi=ln (1 + 1) =ln2,当 n32 时，有 In (n+1) <n,...二山(门+1)v n_ 1 =1 _ 1 _丄n 3 n 3 n 2 n (n~ 1) n~ 1 n ， .•.bi+b 2+-+b n <bi+ --) +・•・+ -丄)二ln2+ (1・丄)<l+ln2.…(14 2_ 1 2 n _ 1 n n分)点评：本题考查导数知识的运用，考查函数的单调性，考查恒成立问题，考查不等式的证明,考查学生分析解决问题的能力，属于中档题.高效能学习的十大学习方法方法一：目标激励法成就天才的必备索质就是远大志向，明确目标，勤奋刻苦，持Z 以恒，百折不挠。
2015绵阳一诊数学文(word含答案)
保密 ★ 启用前 【考试时间：2014年10月31日15:00—17:00】绵阳市高中2012级第一次诊断性考试数 学（文史类）本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）。
第I 卷1至2页，第II 卷3至4页，共4页。
满分150分。
考试时间120分钟。
考生作答时，须将答案答在答题卡上，在本试题卷、草稿纸上答题无效。
考试结束后，将答题卡交回。
第Ⅰ卷（选择题，共50分）注意事项：必须使用2B 铅笔在答题卡上将所选答案对应的标号涂黑。
第I 卷共10小题。
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的．1． 已知集合A ={x ∈Z |x 2-1≤0}，B ={x |x 2-x -2=0}，则A ∩B =(A) ∅(B) {-1}(C) {0}(D) {2}2．命题“)0(∞+∈∀，x ，12>x ”的否定是 (A) )0(0∞+∉∃，x ，02x ≤1 (B) )0(0∞+∈∃，x ，02x ≤1 (C) )0(∞+∉∀，x ，2x ≤1 (D) )0(∞+∈∀，x ，2x < 1 3．设各项均不为0的数列{a n }满足n n a a 21=+(n ≥1)，S n 是其前n 项和，若5422a a a =，则a 3=(A) 2 (B) 2 (C)22(D) 44．如图，正六边形ABCDEF 的边长为1，则DB AD ⋅=(A) 3 (B) 3- (C) 3(D) -35．已知53)4cos(=-x π，那么sin 2x = (A)2518 (B) 2524± (C)257-(D)257 6．已知x ，y 满足⎪⎩⎪⎨⎧≤--≥-+≥+-，，，0330101y x y x y x 则2x -y 的最大值为(A) 1(B) 2(C) 3(D) 47．在(0，2π)内，使|sin x |≥cos x 成立的x 的取值范围为(A) ]474[ππ，(B) ]454[ππ，(C) ]450[π，(D) ]40[π，∪]247[ππ， 8．已知)(x f 是定义在(0，+∞)上的函数，对任意两个不相等的正数x 1，x 2，都有0)()(212112<--x x x f x x f x ，记5log )5(log 2.0)2.0(2)2(22222.02.0f c f b f a ===，，，则 (A) c b a <<(B) c a b << (C) b a c <<(D) a b c <<9．记函数212131)(23+-=x x x f 在)0(∞+，的值域为M ，g (x )=(x ＋1)2＋a 在)(∞+-∞，的值域为N ，若M N ⊆，则实数a 的取值范围是 (A) a ≥21 (B) a ≤21(C) a ≥31(D) a ≤31 10．已知函数⎪⎩⎪⎨⎧>≠><-=0)10(log 01)2sin()(x a a x x x x f a ，，且，，π的图象上关于y 轴对称的点至少有3对，则实数a 的取值范围是 (A) )550(， (B) )155(， (C) )133(，(D) )330(，第II 卷（非选择题 共100分）注意事项：必须使用0.5毫米黑色墨迹签字笔在答题卡上题目所指的答题区域内作答。
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注意事项：1．答题前，考生务必先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．选择题答案使用2B 铅笔填涂,如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案的标号；非选择题答案使用0.5毫米的黑色中性（签字）笔或碳素笔书写，字体工整、笔迹清楚。
3．请按照题号在各题的答题区域(黑色线框)内作答,超出答题区域书写的答案无效。
4．保持卡面清洁，不折叠，不破损。
第Ⅰ卷（选择题，共50分）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的.1.已知全集R U =,集合{}{})2sin(,)13ln(+==-==x y y B x y x A ，则()=B A C UA ．⎪⎭⎫⎝⎛∞+，31B ．⎥⎦⎤ ⎝⎛310，C ．⎥⎦⎤⎢⎣⎡-311， D ．φ2.若角α的终边在直线x y 2-=上，且0sin >α，则αcos 和αtan 的值分别为 A ．2,55- B ．21,55-- C ．2,552-- D ．2,55-- 3.设b a ，为平面向量，则”“b a b a ⋅=⋅是”“b a //的 A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件 4.已知等差数列{}n a ，且410712a a a +=-，则数列{}n a 的前13项之和为 A ．24 B ．39 C ．52D ．1045．已知O 是坐标原点，点()11，-A ，若点()y x M ,为平面区域⎪⎩⎪⎨⎧≤≤≥+212y x y x 上的一个动点，则OM OA ⋅的取值范围是A ．[]01，-B ．[]20，C ．[]10，D ．[]21，-6.在ABC ∆中，M 是BC 的中点，1=AM ,点P 在AM 上且满足2=,则()=+⋅A ．94 B ．34 C ．34- D ．94- 7.已知函数()πϕωϕω<>>+=,0,0)sin()(A x A x f 的图象与直线()A b b y <<=0的三个相邻交点的横坐标分别是842、、，则)(x f 的单调递增区间为 A.[]()Z k k k ∈+34,4 B.[]()Z k k k ∈+36,6 C.[]()Z k k k ∈+54,4D.[]()Z k k k ∈+56,68.已知函数()y f x =是定义在实数集R 上的奇函数，且当(,0)x ∈-∞时()()xf x f x '<-成立（其中()()f x f x '是的导函数），若a =，(1)b f =，2211(log )(log )44c f =则,,a b c 的大小关系是A ．c a b >>B ．c b a >>C ．a b c >>D ．a c b >>9.设定义在R 上的偶函数)(x f 满足)1()1(+=-x f x f ，且当[]1,0∈x 时，3)(x x f =，若方程)0(02cos)(<=--a a x x f π无解，则实数a 的取值范围是A ．()2,-∞-B ．(]2,-∞-C ．(]1,-∞-D ．()1,-∞-10. 已知正方形ABCD 的边长为1，P 、Q 分别为边AB ,DA 上的点，若45PCQ ︒∠=，则APQ ∆面积的最大值是A ．2B ．3-C ．18 D ．14第 Ⅱ 卷（非选择题，共100分）二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.11.化简求值：431lglg 254+-=________． 12.已知函数f (x )的图象是两条线段(如图，不含端点)，则f (f (13))＝_______. 13.已知πααα≤≤=-0,51cos sin ，则=⎪⎭⎫⎝⎛+απ22sin ________．14.已知实数0,0>>b a ，且1=ab ，那么ba b a ++22的最小值为________．15.设R x ∈,用[]x 表示不超过x 的最大整数，称函数[]x x f =)(为高斯函数，也叫取整函数.现有下列四个命题：①高斯函数为定义域为R 的奇函数；②[][]”“y x ≥是”“y x ≥的必要不充分条件； ③设xx g ⎪⎭⎫⎝⎛=21)(，则函数[])()(x g x f =的值域为{}1,0；④方程⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+2141x x 的解集是{}51<≤x x . 其中真命题的序号是________．（写出所有真命题的序号）三、解答题:本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
16.（本题满分12分）已知函数a x x x x f ++=cos sin 32cos 2)(2，且当⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈6,0πx 时，)(x f 的最小值为2.（Ⅰ）求a 的值，并求)(x f 的单调递增区间；（Ⅱ）先将函数)(x f y =的图象上的点纵坐标不变，横坐标缩小到原来的21，再将所得图象向右平移12π个单位长度，得到函数)(x g y =的图象，求方程2)(=x g 在区间⎥⎦⎤⎢⎣⎡20π，上所有根之和.17.（本题满分12分）已知函数bx x x f +=2)(为偶函数，数列{}n a 满足1)1(1+-=+n n a f a ，且31=a ，1>n a .（Ⅰ）设)1(log 2-=n n a b ，证明：数列{}n b 为等比数列； （Ⅱ）设()12-=n n b n c ，求数列{}n c 的前n 项和n S .18.（本题满分12，圆心角为60的扇形的弧上任取一点P ，作扇形的内接矩形PNMQ ，使点Q 在OA 上，点PA BQMN,N M 在OB 上，设矩形PNMQ 的面积为y , POB θ∠=，（Ⅰ）将y 表示成θ的函数关系式,并写出定义域；（Ⅱ）在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，若y 取最大值时12πθ+=A ，且10=a ，552cos =B ，D 为AC 中点，求BD 的值. 19.（本题满分12分）已知函数1()(),[1,1]3xf x x =∈-，函数2()[()]2()3g x f x af x =-+的最小值为()h a . （Ⅰ）求()h a ;（Ⅱ）是否存在实数,m n 同时满足下列条件：①3m n >>； ②当()h a 的定义域为[,]n m 时，值域为22[,]?n m 若存在，求出,m n 的值；若不存在，说明理由.20.（本题满分13分）已知函数()0)(223>+++=a a cx bx ax x f 的单调递减区间是()2,1且满足1)0(=f .（Ⅰ）求)(x f 的解析式；（Ⅱ）对任意(]2,0∈m ，关于x 的不等式3ln 21)(3+--<mt m m m x f 在[)+∞∈,2x 上有解，求实数t 的取值范围。
21.（本题满分14分）已知函数xe x g x a x xf =--=)(),1(ln )(. （Ⅰ）求函数()f x 的单调区间；（Ⅱ）过原点分别作函数()f x 与)(x g 的切线，且两切线的斜率互为倒数，证明：0=a 或12a <<；（Ⅲ）求证：12482(1)(1)(1)[1]233559(21)(21)nn ne -++++<⨯⨯⨯++（其中*n N ∈,e 是自然对数的底）.一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分. 1.C 2.D 3.C 4.C 5.B 6.A 7.B 8.A 9.D 10.B 三、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.11. 0 12. 13 13. 725- 14. 1 15. ②③④三、解答题:（本大题共6个小题，满分75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 16.解：（Ⅰ）函数1)62sin(22sin 312cos )(+++=+++=a x a x x x f π………2分⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈+∴⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈2,662,6,0ππππx x 22)(min =+=∴a x f ，故0=a ………4分 则1)62sin(2)(++=πx x f 由226222πππππ+≤+≤-k x k解得函数)(x f 的单调递增区间为()Z k k k ∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-6,3ππππ………6分（Ⅱ）由已知得1)64sin(2)(+-=πx x g ，又由2)(=x g 得21)64sin(=-πx ………9分 则有6526264πππππ++=-k k x 或 进而解得 ()Z k k k x ∈++=42122ππππ或 412,2,0πππ或=∴⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈x x 故所有根之和为3412πππ=+………12分 17.解：（Ⅰ） 函数bx x x f +=2)(为偶函数，,)(02x x f b =∴=∴，………2分 ()()()()1log 21log 11112122121-=-∴-=-∴+-=∴+++n n n n n n a a a a a a ，2)1(log )1(log 2)1(log )1(log 222121=--=--=∴++n n n n n n a a a a b b ∴数列{}n b 为等比数列 ………5分 （Ⅱ）n n c b b a nn n n -=∴=∴==∴=-22,12log ,31211， ………7分 设nn n A 223222132⨯+⋅⋅⋅+⨯+⨯+⨯=绵阳市“一诊”模拟考试试题数 学（文史类）参考答案及评分标准143222322212+⨯+⋅⋅⋅+⨯+⨯+⨯=∴n n n A2222222211132-⨯-=⨯-+⋅⋅⋅+++=-∴+++n n n n n n n A 22)1(1+-=∴+n n n A ………10分 设2)1(321+=+⋅⋅⋅+++=n n n B n 2)1(22)1(1+-+-=∴+n n n S n n ………12分 18.解：（Ⅰ）因为PN θ=，ON θ=，sin OM θθ==，所以sin MN ON OM θθ=-=-故sin )y θθθ-………3分即23sin cos )6y πθθθθ==+，((0,))3πθ∈………5分（Ⅱ）(0,)3πθ∈ ∴ θ=6π时 max y = ∴412ππθ=+=A 22cos =∴A ………7分由,552cos =B 可得55)552(1cos 1sin 22=-=-=B B . 所以()[]()()B A B A B A B A C sin sin cos cos cos cos cos --=+-=+-=π1010552255222-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯-⨯-= ………9分 由正弦定理得sin 2sin a Bb A=== 所以112CD AC ==,故在BCD ∆中，由余弦定理得222222cos 11310BD BC CD BC CD C ⎛=+-⋅=+--= ⎝⎭故13=BD ………12分19.解：（Ⅰ）∵[1,1]x ∈-∴11()()[,3]33xf x =∈ 设11()[,3]33xt =∈ 则222()23()3y t t at t a a φ==-+=-+- ………2分 ①当13a <时，min 1282()();393ay h a φ===- ②当133a ≤≤时，2min ()()3;y h a a a φ===-③当3a >时，min ()(3)126;y h a a φ===-∴22821,,9331()3,3,3126, 3.a a h a a a a a ⎧-<⎪⎪⎪=-≤≤⎨⎪->⎪⎪⎩………6分 （Ⅱ）假设存在,m n 满足题意.∵3,()126m n h a a >>=-在(3,)+∞上是减函数，又∵()h a 的定义域为[,]n m 时，值域为22[,]n m ， ∴22126,126,m n n m ⎧-=⎪⎨-=⎪⎩①②………10分②-①，得6()()()m n m n m n -=-+，即：6,3m n m n +=>>与矛盾， ∴满足题意的,m n 不存在………12分20.解：（Ⅰ）由已知，得c bx ax x f ++='23)(2,∵函数223)(a cx bx ax x f +++=的单调递减区是()2,1，∴0)(<'x f 的解是21<<x ． 所以023)(2=++='c bx ax x f 的两个根分别是1和2，且0>a ， 由1)0(2==a f ，且0>a ，可得1=a ． ………2分又⎩⎨⎧=++==++=0412)2('023)1('c b f c b f 得1629)(,62923++-=∴⎪⎩⎪⎨⎧=-=x x x x f c b ………5分（Ⅱ）由（Ⅰ）得)2)(1(3693)(2--=+-='x x x x x f ,∵当2>x 时，0)(>'x f ，∴)(x f 在[)∞+，2单调递增，[)∞+∈，2x 时，3)2()(min ==f x f ………7分要使3ln 21)(3+--<mt m m m x f 在[)∞+∈，2x 上有解， 需,33ln m 21,)(3ln 213min 3>+--∴>+--mt m m x f mt m m m m m m mt ln 213-<对任意(]2,0∈m 恒成立，即m m t ln 212-<对任意(]2,0∈m 恒成立. ………9分设m m m h ln 21)(2-=，(]2,0∈m ，则m)(m h t < ,mm m m m m m m h )1)(1(11)('2+-=-=-=，令0)(='m h 得1±=m ， 由(]2,0∈m ，列表如下：∴当1=m 时，2)()(min ==极小值m h m h ，2<∴t ……………13分 21.解: （Ⅰ）xaxa x x f -=-='11)(（0>x ） ……………2分 ①当0≤a 时，0)(>'x f ，增区间是),0(+∞； ②当0>a 时，增区间是)1,0(a ，减区间是),1(+∞a；……………4分 （Ⅱ）设)(x g 的切点),(11y x ，)(x f 的切点),(22y x ，⎪⎩⎪⎨⎧==='111111)(x x e y x y e x g 得⎪⎩⎪⎨⎧===e k e y x 111 ⎪⎩⎪⎨⎧--===-=')1(ln 11)(2222222x a x y x y e a x x f ， ∴2222)1(ln 1x x a x a x --=-，∴a x -=1ln 2，∴ae x -=12代入e a x 112=-得01=--ae e a ，令1)(--=ae e a p a ……………7分e e a p a -=')(，)(a p 在)1,(-∞递减，在),1(+∞上递增.当)1,(-∞∈a 时，因为0)0(=p ，所以0=a ；当),1(+∞∈a 时，01)1(<-=p ，012)2(2>--=e e p ，所以21<<a ，综上0=a 或21<<a ……………9分 （Ⅲ）由（Ⅰ）知：当1a =时，()ln (1)f x x x =--在(0,1)上单调递增，在(1,)+∞上单调递减，∴()ln (1)(1)0f x x x f =--≤= 即：ln (1)x x ≤-在(0,)+∞上恒成立 ∴ln(1)x x +<在(0,)+∞上恒成立……………11分∵112112()(21)(21)2121n n n n n--=-++++ ∴11112482ln{(1)(1)(1)[1]}233559(21)(21)2482ln(1)ln(1)ln(1)ln[1]233559(21)(21)2482233559(21)(21)11111111112[()()()()]2[]12335592121221nn nnn n nn n n n n ----++++⨯⨯⨯++=++++++++⨯⨯⨯++<++++⨯⨯⨯++=-+-+-++-=-<+++故得证：1242(1)(1)[1]2335(21)(21)nn ne -+++<⨯⨯++……………14分。