03运动学圆周运动 自然坐标系角速度角加速度切向加速度法向加速度

r r
其中 dr/dt 表示矢量 r 的模的变 化率。
与可圆以周证运明动平的面情况比较d r：erdrr0 d
极坐标的速度为 dt dt er r dt e
10
例2、以仰角θ=450、初速v0=20m/s抛出 一物体。求抛出后第2秒末物体的切向加 速度、法向加速度、和轨道的曲率半径。
心（即法向）。
d

d
n
dt dt
得：a

dv

v
d
n
dt dt
切向加速度分量 法向加速度分量
a

dv dt
d v d v ds v2
an v dt
dt

dt
9
4 平面运动的极坐标表示：
e
er r p
wk.baidu.com
在 平面内取一个定点O， 叫极点，引一条射 线Ox，叫做极轴，再选定一个长度单位和角
解法：用积分或求解微分方程的方法求解。
t
x x0
vdt
t0
t
v v0
adt
t0
12
11 醉翁亭记
1．反复朗读并背诵课文，培养文言语感。
2．结合注释疏通文义，了解文本内容，掌握文本写作思路。
3．把握文章的艺术特色，理解虚词在文中的作用。
4．体会作者的思想感情，理解作者的政治理想。一、导入新课范仲淹因参与改革被贬，于庆历六年写下《岳阳楼记》，寄托自己“先天下之忧而忧，后天下之乐而乐”的政治理想。实际上，这次改革，受到贬谪的除了范仲淹和滕子京之外，还有范仲淹改革的另一位支持者——北宋大文学家、史学家欧
。 沿S的法向且指向曲率中心的单位矢量记为n（法向单位矢量）
质点在P点的速度
v

ds

v
质点在P点的加速度
dt
a

dv

v
d
dt
dt
8
c τ'

ρ τ'
τ
由于 dv 其方向沿轨道的切向，称为切向
再看
dt
d

加速度。 ?
dt
△τ=1× △ θ
当△t→0时， dτ=1× d θ、方向指向曲率中
度的正方向（通常取逆时针方向）。对于平面 内任何一点M，用r表示线段OM的长度，θ表 示从Ox到OM的角度，r叫做点M的极径，θ叫 做点M的极角，有序数对 (r,θ)就叫点M的极坐 标，这样建立的坐标系叫做极坐标系。
r re 0
位置矢量为：
r
ddtr ddrt e r ddet 质点的运动速度：
方向在圆周的切线方向上。 5
同样可以得到加速度：
a

R
d


(sini cosj) R( cos
d

i sin
d
j)
dt
dt
dt




R( sini cosj ) R 2 (cosi sinj )
令： τ为圆周的切向上的单位矢量
an=Rω2=0.5×152=112.5(m/s2)
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3 用自然坐标系描述平面曲线运动的速度与加速度 自然坐标系将质点的运动轨迹 作为坐标的一个轴，在质点运 动轨道上任取一点作为坐标原
点O ，运动函数为：S=S(t)
质点在P点的坐标轴的方向由 沿S的切向及法向矢量构成。
将沿S的切向指向弧坐标正向的单位矢量记为τ（切向单位矢量）。
α与ω方向相反。质点作减速圆周运动。
α等于恒量时作匀角加速度运动。
3
对匀角加速运动有： ω=ω0+ α t

0
0t

1
2
t2

0

1 2
(
0 )t
2


2 0

2 (
0)
4
2 线量与角量的关系：质点做圆周运动时也可以用速 度、加速度来描述。
由于位置矢量可以表示为
r



sini cosj
切向加速度为
a

R

R d
dt

d ( R)
dt
dv
dt

n为圆周法向上的单位矢量 n (cosi sinj )
法向加速度为
an

R 2

(R)2
R

v2 R
这时加速度可以表示为
a aτt ann
6
由于τ与n相互垂直，加速度a的大小与aτ 、an的 关系为
Vx=V0cosθ=20cos450=14.14m/s
vy
vx


g at
v
Vy=V0sinθ-gt= -5.46m/s
V Vx2 Vy2 15.13m / s
an
an=gcos γ =gV x/V=9.13m/s2
aτ=gcosβ=gVy/V=3.53m/s2
ρ=V2/an=25.03m 11
5 质点运动学小结：
12、、定描义述：运速动度的物v理量d：r t加、Δ速t、度r：、Δra、v、dva 、s
dt
dt
对一维的情况：v=dx/dt a=dv/dt
3、质点运动学的两类问题：
1）已知运动方程，求速度、加速度。
解法：用求导数的方法解决。
2）已知速度（或加速度）及初始条件求运动方程。
瞬时角速度 (SI)单位：rad/s 弧度/秒

t
lim d
t0 t dt
工程单位 rev/min(转/分）
2
平均角加速度
t
瞬时角加速度 lim d
t0 t dt
(SI)单位：rad/s2 角速度与角加速度都是矢量，角速度的方向由右手定 则确定。（规定用右手螺旋定则来判定：四指方向为 绕向，大拇指方向为角速度方向！！ ） α与ω同向。质点作加速圆周运动。

xi

yj

R

cosi

R
sin
j
v

dr dt
Y

R sin
V
d
dt
i

R cos
d
dt
j

R d
R
d
(
sin

i


cosj )
dt
[cos(


)i

sin(


)
j]

r
dt
2
2
括号中的项是与r垂直的单位矢量
X 速度大小为 v=Rω
a a2 an2
例1、半径R=0.5米的飞轮绕中心轴转动， 其运动函数 为θ=t3+3t(SI)求t=2秒时，轮缘上一点的角速度角加速 度以及切向加速度、法向加速度。
解：ω=3t2+3 α =6t
t=2s时 ω=3×22+3=15(rad/s)
α=6×2=12(rad/s2) aτ =R α =0.5×12=6(m/s2)
第一章 质点运动学
1
§1-3 圆周运动
1 圆周运动的角量描述：质点做圆周运动时，轨道上 的任意点到圆心距离为R,用一个变量θ即可描述其运动。
Y
r

r =R θ确定后：x=Rcosθ
θ=θ(t)
y=Rsinθ
X 定义：角位置 θ 单位 rad 弧度
角位移△θ=θ（t+ △t) -θ(t)
平均角速度