工程力学27 压杆稳定的概念

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压杆稳定专家讲座

固定，长度系数2=0.5，惯性半径
iy
Iy A
hb3 /12 bh
b 40 11.5 mm 12 12
则柔度
2
2l
iy
0.5 2.3 11.5 103
100
27
因为1>2，所以该杆将在xy平面内失稳。该
杆属于细长杆，可用欧拉公式计算其临界力。
Fc r
2EIz ( 1l ) 2
2Ebh3 /12 ( 1l ) 2
b
a
b
b
满足此条件旳杆件称为中柔度杆或中长压杆。
* < s旳压杆称为小柔度杆或短粗杆，属强度破坏，其临界应力为极限应力。
32
2. 抛物线公式
cr u a2
式中，a 是与材料力学性能有关旳常数。例如钢构造设计规范对小柔度杆提出了如下抛物线型近似公式：
cr
f
1
1
c2 Biblioteka ( c ) ；第十章压杆稳定
§10−1 压杆稳定旳概念粗短压杆——强度破坏低碳钢短柱：屈服破坏；铸铁短柱：断裂破坏；
细长压杆——失稳破坏
s或 b
1
2
桁架构造
3
失稳破坏
4
稳定性：指构件或体系保持其原有平衡状态旳能力。失稳：指构件或体系丧失原始平衡状态旳稳定性，
由稳定平衡状态转变为不稳定状态。
两重性——既可在直线状态保持平衡，又可
在微弯状态维持平衡。
临界（压）力：压杆处于临界平衡状态时所受旳
Fcr
轴向压力。
或使压杆保持直线状态平衡旳最大
轴向压力。
或使压杆失稳旳最小轴向压力。
9
其他形式旳构件也存在稳定性问题：

压杆稳定

iy = Iy 288×10−7 = = 0.0346m −6 A 200×120×10
∵ 两端固定 ∴ µy = 0.5
∴λy =
17
µyl
iy
0.5×7 = =101 0.0346
在垂直于屏幕平面内绕 z 轴失稳时
bh3 1 Iz = = ×120×2003 ×10−12 = 8×10−5 m4 12 12
π 2EI 假设为细长杆： cr 假设为细长杆： P = nst P ax = ⇒d = 25mm m 2 (µl)
π 2E 经验算： λ = µl = 0.7×500 = 58.3 Qλ1 = 经验算： =101 σp i 24 / 4
假设不合理！假设不合理！
a −σs 304 − 240 λ2 = = = 57.1 b 1.12
9
3.临界应力总图 3.临界应力总图
σcr σcr=σs σsA σP
O B
σcr=a−bλ
C
σ cr π 2E = 2 λ
D
λs
λP
λ
0 < λ < λs 称为小柔度杆，σcr = σs
λs < λ < λp 称为中柔度杆，σcr = a − b λ
10
1 细长杆的临界应力
π 2E π 2E σcr = 2 ≤ σ p ⇒λ ≥ λ σp
29
P
⋅ ⋅ ⋅
d l
解：首先计算该压杆柔度，该丝杆可简化为图示下端固定，上端自由的压杆。 P µ＝2
I d = A 4 × µl µl 2 × 0 . 375 λ = = = = 75 d i 0 . 14 / 4 4 i=
考虑一定的安全储备，稳定条件为：
P P ≤ cr nst

压杆稳定

表细长压杆临界力与杆端支承的关系
两端铰支
Fcr
L l 相当（折算）长度
（与支承有关的）长度系数
Fcr
π 2 EI
L 2
l
EI
L 1l
O
一端固定一端自由
Fcr
一端固定一端铰支
Fcr
两端固定
Fcr
L 0.7l
l
EI
l
EI L 0.5l
O
O
EI l
L 2l
O
图示材料相同，直径相同的四根细长圆杆，（）杆能承受的压力最大。
Fcr=?
●其它构件的稳定性问题
深梁失稳
薄壁圆管失稳
压杆稳定
Stability of Compressed Columns
2 细长压杆的临界力
2.1 两端铰支细长压杆的临界力——欧拉公式
临界状态：微弯状态的平衡杆的任一横截面上的弯矩：
x Fcr
Fcr wM x
Fcr
M x Fcrw
EI
l
cr F
A
cr
1 安全系数法
cr
nst
cr
nst：稳定安全系数
[cr]：稳定许用应力
稳定条件：
F A
cr
例5：图示结构中，支承柱CD的直径d=20mm，
材料为A3钢，A、C、D三铰均为球铰。已知： P=25kN，l1=1.25m，l2=0.55mm，E=106 GPa，规定的稳定安全系数nst=2.0，试校核CD杆是否安全。
压杆稳定
1 压杆稳定性的概念 2 细长压杆的临界力 3 压杆的柔度与压杆的非弹性失稳 4 压杆的稳定计算 5 提高压杆稳定性的措施
压杆稳定

工程力学压杆稳定

4
MA=MA =0 相当长为2l旳两端简支杆
Fcr
EI 2
(2l ) 2
l
F
0.5l
两端固定 EI 2
Fcr (0.5l) 2
图形比拟：失稳时挠曲线上拐点处旳弯矩为0，故可设想此处有一铰，而将压杆在挠曲线上两个拐点间旳一段看成为两端铰支旳杆，利用两端铰支旳临界压力公式，就可得到原支承条件下旳临界压力公式。
两端铰支
= 1
一端固定，一端自由 = 2
一端固定，一端铰支 = 0.7
两端固定
= 0.5
§11-4中小揉度杆旳临界压力
一、临界应力与柔度
cr
Fcr A
对细长杆
cr
2 EI (l)2 A
2 Ei2 ( l ) 2
2E ( l )2
记 l
i
i
cr
2E 2
––– 欧拉公式
：柔度，长细比
[cr] = [] < 1，称为折减系数
[ cr ] [ ]
根据稳定条件
F Fcr nst
F A
Fcr Anst
cr
nst
[ cr ：工作压力
：折减系数
A：横截面面积
[]：材料抗压许用值
解：首先计算该压杆柔度，该丝杆可简化为图示
下端固定，上端自由旳压杆。
＝2
F
l=0.375m
i I d A4
l l 2 0.375 75
i d 0.04 / 4 4
查表， = 0.72
F
A
80 103
0.72 0.042
88.5106 88.5MPa [ ] 160MPa
4
故此千斤顶稳定性足够。

压杆稳定的概念

二、压杆的失稳12-2 细长压杆临界力公式——欧拉公式一、两端钝支细长压杆的j l P令： EI K j =则： Y K Y ⋅-=即： 02=⋅+''Y K Y此微分方程的通解：Y=C ；kx C kx cos sin 2+ ——（1）边界条件：当X=0， 02=C ， kx C Y sin 1= ——（2）又杆上端边界条件：X=l 代入（2）式kl sin 0=——（3）若要使（3）式成立必有1C 或0sin =kl 方可。

如果 01=C 式就不成立，所以必定是0sin =kl πn kl =当 ππππn kl 3,2,,0=时，0sin =kl 得 ln EI P K jl π==又得 222l EI n P j l π= n=1 时， 2min2l EI P j l π=——临界力欧拉公式j l P ——临界力min I ——截面z I 、y I 选小值l ——杆长二、其他支座j l P()2min25.0l EI P j l π= u=0.5三、临界应力()()()2222min22min2r ul EAul EI Aul EI AP lj l j πππσ====——（1）式中： AI r min= ——截面的回转半径λ=rul——压杆的长细比（1）式可成： 22λπσEjl =12-3 临界应力总图目的：了解临界应力适应范围关键是看懂j l σ总图一、临界应力的公式的适用范围（因为挠曲线近似微分方程只在材料服从虎克定律的前提下成立，即在材料不超过比例极限时成立，而j l P 又是通过挠曲线微分方程推倒出来的故p l j σσ≤）P l E jσλπσ≤=22 即： P p EE σπσπλ=≥2 即只有当λ大于或等于极限值p p Eσπλ=时 22λπσEjl *=方成立。

那么j l σ适用的范围总：p λλ≥ 如：钢 100≥p λ 铸铁 80≥p λ 木材 100≥p λ二、超过p σ后压杆的临界应力⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=21c l j λλασσ ——经验公式其中： s σ——材料的屈服极限 α——系数 0.43 Sc Eσπλ57.0=例： S A 钢： cmkgs 2400=σ 26102cm kgE ⨯=20715.02400λσ-=j l三、j l σ总图总图：p l j σσ≤和p l j σσ>的图形， j l σλ-曲线图12-4 压杆稳定计算一、压杆的稳定条件： []σϕσ≤=APjj l l K P P ≤其中j l P 压杆的临界力jl K 稳定安全系数，随λ变化比例强度安全系数K 的实际作用在杆上的应力则： []j jjj j l l l l l K K A P A Pσσσ==*≤=其中σ为实际杆内力[]j l σ为稳定许用应力稳定条件：[]j l σσ≤ []jjj l ll K σσ=，[]Kσσ=[]︒*=∴σσσKK JJJ L LL ，[][]σϕσ= 其中 ϕ 为折减系数，可查表又[]σϕσ≤=∴AP说明：（1）式中j l σ总小于︒σ，()︒<σσj l ；k K j l > 故ϕ是小于1的。

压杆稳定的概念及三种平衡状态-PPT

cr s
a s
b
令
2
a s
b
2 (小柔度杆)
cr s
令 1
2E p
目录
表 1 直线公式的系数 a 和 b
材料低碳钢优质碳钢硅钢铬钼钢铸铁强铝松木
a(MPa) 304 461 578
980.7 332.2
373 28.7
b(MPa) 1.12 2.568 3.744 5.296 1.454 2.15 0.19
(b): 木杆的横截面与(a)相同，高为 1.4m(细长压杆），当压力为 0.1KN时杆被压弯，导致破坏。
(a)和(b)竟相差60倍，为什么？
(a)
(b)
平衡的三种状态
稳定平衡状态
随遇平衡状态
不稳定平衡状态
平衡刚性圆球受干扰力，刚球离开原位置；干扰力撤消：
稳定平衡 —— 凹面上，刚球回到原位置；随遇平衡 —— 平面上，刚球在新位置上平衡；不稳定平衡 —— 凸面上，刚球不回到原位置，
压杆的稳定校核已知拖架D处承受载荷例题F=10kN。AB杆外径D=50mm，内径d=40mm，材料为Q235钢， E[=n2st0]0=G3P。a，校核A=B1杆01 0的，稳定性。
解： CD梁
MC 0
F 2000 FN sin 30 1500
得 FN 26.6kN
AB杆
l 1
dx
x l, v
B
Ak 0
Asin kl B coskl
cos kl 0
kl (2n 1) (n 1,2)
2 k2 F
EI
F
(2n
1)2
(2l)2
2 EI
取 n=1, 得：

材料力学之压杆稳定课件

变形量等，绘制压力与变形关系曲线。
分析实验数据，得出压杆的临界压力和失稳形式。
实验结果分析
分析压杆在不同压力下的变形情况，判断压杆的稳定性。
总结临界压力与失稳形式的规律，为实际工程应用提供依据。
对比不同长度、直径、材料等因素对压杆稳定性的影响。
总结词
机械装置中的压杆在承受载荷时，其稳定性对于机械的正常运转和安全性至关重要。
VS
详细描述
在机械装置中，如压力机、压缩机等，压杆是重要的承载元件。通过材料力学的方法，可以分析压杆的稳定性，确定其临界载荷和失稳模式，从而优化机械装置的设计，提高其稳定性和安全性。
05
压杆稳定的应用与发展
工程实例二：建筑压杆
总结词
建筑压杆在高层建筑、大跨度结构等建筑中广泛应用，其稳定性是保证建筑安全的重要因素。
详细描述
高层建筑和大跨度结构的稳定性分析中，建筑压杆的稳定性分析占据重要地位。通过材料力学的方法，可以对建筑压杆的承载能力和稳定性进行精确计算，从而为建筑设计提
供可靠的支持。
工程实例三：机械装置压杆
数值模拟
随着计算机技术的发展，数值模拟方法在压杆稳定性分析中得到广泛应用，能够更精确地预测结
构的稳定性。
材料性能研究
新型材料的不断涌现，对压杆稳定性的影响也日益受到关注，相关研究正在不断深入。
多因素耦合分析
在实际工程中，多种因素如载荷、温度、腐蚀等会对压杆稳定性产生影响，因此需要开展多因素耦合分析。
欧拉公式是由瑞士科学家欧拉提出的一个公式，用于计算等截面直杆的临界应力。根据欧拉公式，临界应力只与压杆的材料性质和截面形状有关，而与压杆的长度和外载大小无关。
稳定性校核

《压杆的稳定》课件

塑性失稳通常发生在粗短杆或厚壁杆中，因为这些杆件在受到压力时容易发生塑性变形。
失稳的判别准则
欧拉准则
欧拉准则是最早的判别压杆失稳的准则，它基于弹性理论的推导，通过计算临界压力来判断压杆是否失稳。
伯奇准则
伯奇准则是在欧拉Байду номын сангаас则的基础上发展而来的，它考虑了压杆的柔度系数，通过比较柔度系数和临界柔度系数来判断压杆是否失稳。
新型设计方法的研究
数值模拟
利用计算机模拟技术，预测压杆在不同工况下的稳定性，为设计提供更精确的依据。
拓扑优化
通过优化压杆的截面形状和结构，使其在满足强度和刚度要求的同时，具有更好的稳定性。
压杆稳定与其他学科的交叉研究
流体力学
研究压杆在流体作用下的稳定性，如流体诱发的振动和失稳。
控制理论
将控制理论应用于压杆的稳定性分析中，实现主动控制和优化控制。
和安全性。
在这些领域中，压杆的稳定性分析需要考虑更为复杂的因素，如风载、地震、海浪等外部作用力
。
05
压杆稳定的未来发展
新材料的应用
高强度钢
通过改进制造工艺和合金元素，提高钢材的强度和韧性，使其在承受更大压力时仍能保持稳定性。
复合材料
利用纤维增强复合材料的各向异性特性，优化压杆的截面形状和结构，提高其稳定性。
实验设备
压杆试样
不同材料、截面形状和长度的压杆试样。
测量仪器
位移计、应变计、力传感器等，用于测量压杆的变形和受力情况。
加载装置
砝码、杠杆、滑轮等，用于施加压力或拉伸力。
支撑装置
支架、底座等，用于固定压杆和加载装置。
实验步骤
1. 准备压杆试样，确保其质量和尺寸符合实验要求。

工程力学压杆的稳定问题

稳定安全系数一般大于强度安全系数。
例题： 1000吨双动薄板液压冲压机的顶出器杆为一
端固定、一端铰支的压杆。已知杆长 l=2m ，直径 d=65mm，材料的E=210GPa，p=288MPa，顶杆工作时承受压力F=18.3吨，取稳定安全系数nst=3.0。试校核该顶杆的稳定性。
①

90
②

l
解：由静力平衡条件可解得两杆的压力分别为：
N1 P cos ， N 2 P sin
两杆的临界压力分别为：
2E I 2E I Pcr 1 2 ， Pcr 2 2 l1 l2
要使P最大，只有 N1、 N2 都达
到临界压力，即
P
（） 1 （） 2
①

P cos P sin
2E cr 2 p
或写成：
2E p
令： 2 E p
p
欧拉公式的适用范围：
p
满足该条件的杆称为细长杆或大柔度杆
如对A3钢，当取E=206GPa，σp=200MPa,则
E p p
2
2 206 109
200 106
应用欧拉公式
654 1012 2 (210 109 ) ( ) 2 EI 64 Fcr N 925.2kN 2 2 (l ) (0.7 2)
Fcr 925.2 103 5.16 n 3 18.3 10 9.8 F
该杆满足稳定性要求
＞ nst 3.0
x l时：v 0
sin kl 0
kl n (n 0,1, 2,)
n k l

压杆稳定

sinkl 0
kl n n 0 1 ，，，2
k n l
Fcr = n2π 2 EI l2
n 2 2 Fcr k2 2 l EI
n 2 2 EI Fcr 2 l
由题意取n=1
临界压力是使压杆失稳的最小压力，故Fcr应该取最小值
2 EI Fcr 2 l
Fcy

l
i

1 1.732 108 c AB杆为非细长杆，采用经验公式 3 16 10
对于Q 235钢：a1 s 235MPa
s2 235 2 10 3 b1 6800Pa 2 2 4 E 4 3.14 206
cr a1 b12 235 0.0068 1082
E d Facr cr A 2 2600kN a 4
2 2
(a)
(b)
2 Fbcr (a1 b1b ) A 2990kN
例3：图示三根压杆，横截面面积及材料各不相同，但它们的（ B ）相同。 A. 长度因数； B. 相当长度； C. 柔度； D. 临界压力
定性就越差。而柔度又与压杆的长度、约束条件、截面
形状和尺寸有关。
提高压杆稳定性的措施主要有：
为细长杆，临界应力 cr c , 按欧拉公式计算；② c时压
杆为中长杆或粗短杆，临界应力按抛物线经验公式计算。
例1：图示两端饺支压杆，横截面直径d=50mm，材料为 Q235钢，其弹性模量E=200GPa，λp=100。试确定此压杆的临界应力。
解：计算柔度，确定临界应力计算公式。
稳定安全因数 F Fcr A Fcr cr A nst A
Fcr nst nFcr为临界压力，F为工作压力，n为工作安全因数 F

压杆稳定

对于塑性材料: 令 cr s 对于Q235钢:
a s s b
（中长杆）。
304 235 s 61.6 1.12 工程中将柔度介于s 和p 之间的这一类压杆称为中柔度杆
3、小柔度杆
对于 < s的压杆，小柔度杆将因压缩引起屈服或断裂破坏，属于强度问题，当然也可以将屈服极限 s（塑性材料）和强度极限 b（脆性材料）作为极限应力。
Fcr
2 EI
l2
(a)
F (b)
两端铰支压杆的欧拉公式
2、其它支承情况下细长压杆的临界力不同约束形式压杆的临界力，可以用类似的方法求解微分方程导出。但在已经导出两端铰支压杆的临界压力公式之后，便可以用比较简单的方法，得到其他约束条件下的临界力。
l
F
F
一端固定，一端自由，长为l 的的压杆的挠曲线和两端铰支，长为2l的压杆的挠曲线的上半部分相同。则临界压力:
1 压杆稳定的概念
1）稳定平衡和不稳定平衡
稳定：施加一个微小干扰，结构当前平衡状态有所偏离，但最终仍能得到恢复；临界：施加一个微小干扰，结构会改变到新的平衡状态；不稳定：施加一个微小干扰，结构会失去平衡。
2）压杆失稳与临界压力
F小于某个值
F大于某个值
稳定平衡
不稳定平衡
2、压杆失稳与临界压力
如图所示3根压杆的材料及截面都相同，那一种情况的压杆最容易发生失稳？说明理由。
F F F
5m
A
7m
B
9m
C
求压杆临界压力的基本步骤
求压杆的临界压力是本章的重点内容。而压杆的临界压力的计算是由其柔度决定的，不能简单地套用欧拉公式。计算步骤: 根据压杆的长度、截面、约束情况确定其柔度。根据计算得到的柔度确定其压杆类型，是属于大柔度杆、中柔度杆还是小柔度杆；大柔度杆采用欧拉公式，中柔度杆采用经验公式，小柔度杆采用材料的极限应力来确定其临界应力；根据临界应力计算临界压力。

压杆稳定

材料力学
Fcr n nst FN 2
柔度:
l 2 1 0 .6 80 d2 / 4 i2
0 < p
可用直线公式.
因此
Fcr cr A2 (a b ) A2
6
2 (304 1.12 80) 10 d 2 4
151.47 KN
二、细长压杆的临界力
1、两端铰支的细长压杆的临界力 2、其他杆端约束细长压杆的临界力
材料力学
压杆稳定问题/细长压杆的临界力
1、两端铰支的细长压杆的临界力考察微弯状态下局部压杆的平衡
FBx Fp
材料力学
y
压杆稳定问题/细长压杆的临界力
若 p , 则压杆的弯曲变形为 d2y EI 2 M ( x) Fp y dx Fp y d2y 2 dx EI Fp 2 设k , 则 EI
二、压杆的稳定条件:
P A
材料力学
例
杆的 AB 杆为圆松木，长 L= 6m，[ ] =11MPa 直径 d = 0.3m，试此杆的容许压力解：折减系数法
B
①最大柔度
T1 T2
x y面内， =1.0
A
y W
xy
1 6 4 80 i 0.3
L
z y面内， =2.0
l2 y(x)=a sin nx l —欧拉公式
F cr =
材料力学
2EI
l2
压杆稳定问题/细长压杆的临界力
• 分析
1）、I 如何确定？
压杆总是在抗弯能力最小的纵向平面内弯曲
I I min
F h b
y
x
F
z 例如矩形截面压杆首先在哪个平面内失稳弯曲？（绕哪个轴转动）

压杆稳定

(L / i)
2

E
2

2
cr

2E 2
其中：i
I A
— —惯性半径。
3.柔度：

L
i
— —杆的柔度（或长细比
）
13
第三节欧拉公式的适用范围及经验公式二、欧拉公式的适用范围
欧拉公式是在弹性范围内应用
比例极限
cr
E
2

2

P

E
2

P
P
满足 P的杆称为大柔度杆其临界应力用欧拉公式求。
2
F cr
EI
2
l
2
μ =1
μ 0.7
μ =0.5
μ =2
μ =1
0.5l
10
第二节细长杆的临界压力公式
[例] 如图所示压杆由14号工字钢制成，其上端自由，下端固定。已知钢材的弹性模量E＝210 GPa，屈服点 s ＝240 MPa ，杆长l＝3000 mm。试求该杆的临界力FPcr和屈服载荷Fs。解 (1) 计算临界力对14号工字钢，查型钢表得
F cr
π EI l
2
2
也称临界压力的欧拉公式
E——压杆材料的弹性模量 I——压杆横截面的惯性矩，对于矩形截面有IX 、Iy ；Imax 、Imin EI——压杆的抗弯刚度 L——压杆的长度
8
第二节细长杆的临界压力公式二、其他约束情况下细长杆临界压力公式
F cr
EI
2
l
27
第五节提高压杆承载能力的措施
(1) 改善杆端约束情况压杆两端约束愈强，值就愈小，柔度也就愈小，临界应力就愈大。因此，尽可能加强杆端约束的刚性，可提高压杆的稳定性。 (2) 减小压杆的长度减小压杆长度l是提高其稳定性的有效措施。如图a)所示两端铰支的细长压杆，若在杆的中点增加一铰支座，变为如图b)所示的情形，相当于计算长度减小一半，则其临界应力将增加为原来的4倍。

工程力学压杆稳定ppt课件

解（1）圆形截面
直径惯性半径
D 4 A 4 90 3 0 .8 3 m 5 m 3.8 3 5 1 3 0 m
iI A
D D 4 2 //6 4 4 D 4 3.8 3 4 1 5 3 0 8 .4 1 6 3 0 m
柔度
l 11.2 142
i 8.461 03
P
E P
200190 9.93
200160
因为 14 2 P9.3 9，所以属细长压杆，用欧拉公式计算临界力
F cr 2 lE 2 I 2 20 1精0 9 选1 0 p6 p1 t课.2 件4 2 23 021.8 3 5 1 3 0 48.3 8 KN 35
（2）正方形截面
截面边长 aA 90 3 0 0 1 3 0 m
p, crp cr22Ep.
2E p
p
2E p
cr
无效
（细长压杆临界柔度）
p
欧拉公式的适用围: p，
有效
cr
2E 2
称大柔度杆（细长压杆）
例：Q235钢，E20G0P ,p a20M o 0.Pa p
l i
p
2 E 2200103 99 .35100
p
20精0选ppt课件2021
kln （n = 0、1、2、3……）
由 k2 Fcr 可得 EI
Fcr
n2 2EI
l2
精选ppt课件2021
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临界载荷:
Fcr
n2 2EI
l2
屈曲位移函数 :y(x)Asinnx
l
临界力 F c r 是微弯下的最小压力，故取 n = 1。且杆将绕惯性矩最小
的轴弯曲。
最小临界载荷:

《工程力学》压杆稳定

n = Fcr ≥[nst] F
(10-11)
cr
2E 2
≤σp
用柔度表示为
λ≥
2E
p
(10-5)
令
λp= 2E
(10-6)
p
λp是对应于材料比例极限时的柔度值，称为压杆的极限柔度，也就是适用欧拉公式的最小柔度值。
临界应力总图欧拉公式适用范围的讨论可知，根据杆件柔度的大小，可以将压杆分为三类，并按其不同方式确定其临界应力。细长杆，即λp ≥λ 时，用欧拉公式计算临界应力；中长杆，即λs ≤λ<λp时，用经验公式计算临界应力；短杆，即λ<λs时，这类压杆一般不会失稳，而可能发生屈服或是断裂，按强度问题处理。塑性材料压杆的临界应力随其柔度而变化的情况如图10-8，此图称为临界应力总图。从图中可以看出，短杆的临界应力与λ 值无关，而中长杆的临界应力则随λ 值的增加而减小；中长杆的临界应力大于比例极限，而细长杆的临界应力小于比例极限σp。
截面对 y, z 轴的惯性矩分别为
Iy
hb3 12
160 903 12
972 104 mm4
Iz
hb3 12
160 903 12
3072104 mm4
由于 Iy< Iz ，所以压杆必然绕y轴弯曲失稳，应将Iy代入公式(11.3)计算临界力，根据杆端约束μ=2，即
Fcr
2EI (l)2
2 10 109 972 104 1012 (2 2)2
(10-2)
对于两端固定的压杆如图 10-4(c)所示，其挠曲线上有两个距端部L/4处的拐点，即弯矩等于零的点，在力学上相当于
铰链。因此在这种支承形式下，压杆的临界力只要在两端铰支的临界力公式中，以0.5L替代长度L即可。